1

MECÂNICA GERAL O que é Mecânica? A Mecânica pode ser definida como a ciência que descreve e

prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças. É dividida em três partes: Mecânica dos Corpos Rígidos, Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluidos.

Figura 1 – Divisão da Mecânica dos Corpos Rígidos.

Princípios e Conceitos Fundamentais. Os conceitos básicos usados na Mecânica são os de espaço, tempo, massa e força. Estes conceitos não podem ser exatamente definidos; são aceitos com base em nossa intuição e experiência e usados como referência para nosso estudo de Mecânica.

Figura 2 – Conceitos fundamentais da Mecânica.

Mecânica dos Corpos Rígidos

Estática Dinâmica Cinemática

- Estudo das forças aplicadas em pontos materiais ou corpos rígidos em equilíbrio. - Seu resultado é ponto de partida para projetos estruturais.

- Estudo do movimento de pontos materiais e corpos rígidos. Relaciona posição, velocidade, aceleração e tempo, sem referência às causas do movimento.

- Estudo do movimento de pontos materiais e corpos rígidos. Relaciona as forças agentes num corpo e o seu movimento. Pode prever o movimento causado por forças.

Conceitos Fundamentais

Espaço Massa Tempo - É a posição de um ponto no espaço. Pode ser definida por três distâncias medidas a partir de um ponto de referência.

Força - Conceito indispensável para definir um evento. É o período que decorre durante o evento.

- Conceito usado para caracterizar e comparar os corpos, com base em certas experiências mecânicas fundamentais.

- Representa a ação de um corpo sobre o outro. Pode ser exercida por contato ou à distância. Força é representada por um vetor.

2

Na mecânica Newtoniana, espaço, tempo e massa são conceitos absolutos, sendo independentes um do outro. Por outro lado, o conceito de força não é independente dos outros três. Isto é indicado por um dos princípios fundamentais da Mecânica.

O estudo da Mecânica elementar repousa em seis princípios fundamentais, baseados em evidências experimentais, os quais são:

A Lei do Paralelogramo para Adição de Forças. Estabelece que duas forças atuantes sobre um ponto material podem ser substituídas por uma única força, chamada resultante, obtida pela diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às forças dadas, como será visto em seguida.

O Princípio de Transmissibilidade. Estabelece que as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido permanecerão inalteradas se uma força que atua num dado ponto do corpo rígido for substituída por outra de mesma intensidade, direção e sentido, mas que atua em um ponto diferente, desde que as duas forças tenham a mesma linha de ação.

As Três Leis Fundamentais de Newton. Formuladas por sir Isaac Newton em fins do século XVII, essas leis podem ser enunciadas como segue:

Primeira Lei. Se a intensidade da força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este permanecerá em repouso (se estava originalmente em repouso) ou permanecerá com velocidade constante e em linha reta (se estava originalmente em movimento).

Segunda Lei. Se a força resultante que atua sobre um ponto material não é zero, este terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante e na direção desta, com o mesmo sentido. Esta lei pode ser expressa pela equação 1.

aF ⋅= m (1)

sendo, F a força resultante que atua sobre o corpo, m a sua massa e a a sua aceleração. Terceira Lei. As forças de ação e reação entre corpos em contato têm a mesma

intensidade, mesma linha de ação e sentidos opostos. Lei de Gravitação de Newton. Estabelece que dois pontos materiais de massas M e m

são mutuamente atraídos com forças iguais e opostas F e –F de intensidade F dada pela fórmula apresentada na equação 2.

2

r

mMGF

⋅= (2)

sendo, r a distância entre os pontos materiais e G a constante universal chamada de constante de gravitação.

Um caso particular de grande importância é o da atração da Terra sobre um ponto material localizado em sua superfície. A força F exercida pela Terra sobre o ponto é então definida como o seu peso P. Tomando M igual a massa da Terra, m igual a massa do ponto material e r igual ao raio R da Terra, e introduzindo a constante da equação 3.

2

R

MGg

⋅= (3)

a intensidade P do peso de um ponto material de massa m pode ser expressa como:

gmP ⋅= (4)

3

1. ESTÁTICA

1.1 Forças e Momentos

Uma força representa a ação de um corpo sobre outro. Ela é caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.

A intensidade de uma força é definida por um certo número de unidades medidos em newtons (N); a direção é definida por sua linha de ação, a qual é caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo; e o sentido da força pode ser caracterizado por uma seta, conforme apresentado na figura 3.

Figura 3 – Força aplicada sobre um ponto material

Constata-se, experimentalmente, que duas forças P e Q, que atuam sobre um ponto material podem ser substituídas por uma única força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto. Essa força é chamada resultante das forças P e Q e pode ser obtida, como mostra a figura 4, pela construção de um paralelogramo, usando P e Q como seus lados. A diagonal que passa por A representa a resultante. Isto é conhecido como a lei do paralelogramo para a adição de forças.

Figura 4 – Aplicação da lei do paralelogramo.

Figura 5 – Comparação de vetores.

Figura 6 – Subtração de vetores utilizando a lei do paralelogramo.

30o

10 N

A 30o

10 N

A

P

P Vetores

iguais

P

-P

Vetores

opostos

Q A

P

Q A

P R

A

R

P + Q = R

Q

P

P - Q = P + (-Q)

-Q

P P - Q

4

A intensidade da força resultante pode ser definida graficamente, desde que os vetores estejam apresentados em escala e posição corretas. Uma forma mais prática faz uso da regra do triângulo, a qual está ilustrada na figura 7.

Figura 7 – Aplicação da regra do triângulo.

Outra opção seria utilizar a lei dos senos, como ilustrado na figura 8.

γβα sinsinsin

CBA==

Figura 8 – Aplicação da lei dos senos.

Em muitos problemas de Mecânica é desejável decompor uma força em

componentes normais entre si. Na figura 9, a força F foi decomposta nas componentes Fx, segundo o eixo x, e Fy, segundo o eixo y. O paralelogramo desenhado para a obtenção das duas componentes é um retângulo, e Fx e Fy são denominadas componentes cartesianas.

Figura 9 – Decomposição de um vetor em componentes cartesianas no plano.

Uma força no espaço tridimensional também pode ser decomposta em componentes cartesianas Fx, Fy e Fz. Representando por θx, θy e θz, respectivamente os ângulos que F forma com os eixos x, y e z, de acordo com a figura 10.

Os co-senos de θx, θy e θz são conhecidos como co-senos diretores da força F. definindo os vetores unitários i, j e k segundo os eixos coordenados, temos a equação 5.

F = Fx i + Fy j + Fz k (5)

Esta equação também pode ser escrita conforme a expressão 6.

Q A

P

Q A

P R

P + Q = R R

2 = P

2 + Q

2 – 2PQ cosβ β

C

M

A

C

M

A

B C + A = B

β

α γ

F

Fx

Fy

x

y

θ

Fx = F cosθ Fy = F senθ

Fx = Fx i Fy = Fy j

F = Fx i + Fy j

5

F = F (cos θx i + cos θy j + cos θz k) (6)

Fx = F cosθx Fy = F cosθy Fz = F cosθz

Figura 10 – Decomposição de um vetor em componentes cartesianas no espaço.

Equilíbrio de um ponto material. Nos estudos da estática é necessário que a resultante das forças atuantes em um ponto material seja igual a zero. Neste caso o ponto material está em equilíbrio.

Diagrama de Corpo Livre. Na prática, um problema de engenharia mecânica é tirado de uma situação física real. Um esquema mostrando as condições físicas do problema é conhecido como diagrama espacial. Grande número de problemas que envolvem estruturas reais pode ser reduzido, efetivamente, a problemas referentes ao equilíbrio de um ponto material. Isto é feito escolhendo-se um ponto material conveniente e esquematizando-se, em um diagrama separado, todas as forças que sobre ele são exercidas. Tal diagrama, apresentado na figura 11, é chamado de diagrama de corpo

livre.

Figura 11 – Típico problema de engenharia mecânica.

Até aqui, se considerou que cada corpo poderia ser tratado como um ponto material. No entanto, nem sempre isso é possível e, de maneira geral, um corpo deve ser tratado como um conjunto de grande número de pontos materiais, ou corpo rígido. O tamanho do corpo deve ser considerado em virtude do fato de as forças atuarem em pontos diferentes.

P

P1 P2

Problema físico real Diagrama de corpo livre Diagrama espacial

y

x

z

Fy

Fx

Fz

F θx

y

x

z

Fy

Fx

Fz

F θy

y

x

z

Fy

Fx

Fz

F

θz

6

As forças que atuam em corpos rígidos podem ser classificadas em dois grupos, de acordo com a figura 12.

Figura 12 – Forças externas e internas

O Princípio da Transmissibilidade, relacionado ao estudo dos corpos rígidos sob ação de forças está ilustrado na figura 13.

Figura 13 – Princípio da Transmissibilidade.

Momento de uma força. O momento Mo de uma força pode ser definido como a tendência de uma força F fazer determinado corpo rígido girar em torno de um eixo fixo definido. A intensidade deste momento pode ser definida como o produto escalar da intensidade da força aplicada pela menor distância existente entre a linha de ação da força até eixo definido. A figura 14 ilustra a vista superior de uma porta articulada em A, sofrendo a ação de forças aplicadas em direções distintas e seus respectivos momentos.

Figura 14 – Momento sendo gerado em uma porta.

Forças externas Forças internas

Representam a ação de outros corpos sobre o corpo rígido considerado,

sendo inteiramente responsáveis pelo comportamento externo do corpo rígido

São as forças que mantêm unidos os pontos materiais que formam o corpo

rígido. Se o corpo rígido é composto de diversas partes, as forças que mantêm

essas partes unidas são também chamadas de forças internas.

F F

F

d

Mo = Fd

F

d

Mo = Fd = Fr sen θ

θ

r 90o

F

Mo = Fd = Fr sen0 = 0

r

A A A

7

Do ponto de vista matemático, o momento é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição r e o vetor força F (Mo = r x F). Assim, o vetor que representa o momento deverá ser perpendicular ao plano que contém o vetor força e o vetor posição e seu sentido é definido pela regra da mão direita, onde o dedo polegar indica o sentido do vetor Mo e os demais dedos encurvados no sentido da rotação que F tende a comunicar ao corpo rígido.

Assim, no caso apresentado na figura 14 temos o vetor que representa o momento apontando para fora do papel, ou seja, a porta tende a girar no sentido anti-horário. Por definição, nesta situação o momento Mo é considerado positivo.

A propriedade distributiva do produto vetorial permite fazer a seguinte relação:

r x (F1 + F2 + ...) = r x F1 + r x F2 + ... (7)

Em palavras, o momento em relação a um dado ponto O da resultante de diversas

forças concorrentes é igual à soma dos momentos das várias forças em relação ao mesmo

ponto O. Essa propriedade foi enunciada originalmente pelo matemático francês Varignon (1654-1722), muito antes da utilização da álgebra vetorial, e é conhecida como Teorema de

Varignon. Essa relação permite determinar o momento de uma força F pela determinação dos

momentos de duas ou mais forças componentes, como ilustrado na figura 15.

Figura 15 – Aplicação do Teorema de Varignon.

Em geral, a determinação do momento de uma força no espaço será simplificada consideravelmente se a força F e o vetor posição r forem decompostos em componentes cartesianas x, y e z. Nestes casos é possível resolver o produto vetorial Mo = r x F, de acordo com a matriz da equação 8.

zyx

zyxo

FFF

rrr

kji

M = (8)

F

d

Mo = Fd = Fr sen θ

θ

r 90o

A

F

Mo = Fxdy - Fydx

θ

A

Fx

Fy

dy

dx

y

x

8

1.2 Treliças Planas

Os problemas estudados até o momento consideravam o equilíbrio de um único corpo rígido, e todas as forças consideradas eram externas ao corpo rígido. Consideraremos, agora, problemas tratando do equilíbrio de estruturas compostas de várias partes interligadas. Esses problemas tratam não apenas da determinação das forças externas que agem sobre uma estrutura, mas também da determinação das forças que mantêm unidas as várias partes da estrutura. Do ponto de vista da estrutura como um todo, essas forças são denominadas forças internas.

Considere-se, por exemplo, o guindaste ilustrado na figura 16a, que suporta uma carga P. As forças externas que agem no guindaste estão representadas no diagrama de corpo livre da figura 16b, as quais são P, as duas componentes Ax e Ay da reação em A e a forças T exercida pelo cabo D. As forças internas que mantêm unidas as varias partes do guindaste não aparecem no diagrama. Se, contudo, o guindaste fosse desmembrado, conforme a figura 16c, e se fosse traçado um diagrama de corpo livre para cada uma de suas partes componentes, as forças que mantêm os componentes da estrutura unidos deveriam também ser representadas.

Deve-se notar que a força exercida pela barra BE sobre o ponto B da barra AD foi representada como igual e oposta à força exercida no mesmo ponto da barra BE pela barra AD. Isto está de acordo com a terceira lei de Newton, que estabelece que forças de ação e reação entre corpos em contato possuem o mesmo módulo, a mesma linha de ação e sentidos opostos.

Figura 16 – Forças internas em uma estrutura complexa.

Uma das estruturas consideradas neste tipo de análise são as treliças. As treliças são projetadas para suportar cargas e são, usualmente, estruturas estacionárias, totalmente vinculadas. São formadas unicamente por elementos retilíneos conectados em juntas localizadas nas extremidades de cada elemento. Dessa forma, nos membros de uma treliça

P

A

B

C

D

G

E F

A

B

C

D

T E F

P

Ay

Ax

A

B

C

D

T

Ay

Ax

C E F

P

B

E

(a) (b)

(c)

9

atuam duas forças de mesmo módulo e direção, porém de sentidos opostos. As treliças oferecem, ao mesmo tempo, uma solução prática e econômica a muitas situações de engenharia, especialmente no projeto de pontes e edifícios. Em geral, as barras de uma treliça são delgadas e podem suportar pequena carga lateral. Sendo assim, todas as cargas devem ser aplicadas às várias juntas e não às barras em si. A figura 17 ilustra uma treliça típica.

Figura 17 – Exemplo de treliça simples.

1.2.1 Análise das treliças pelo método dos nós

Uma treliça pode ser considerada como um grupo de pinos e barras sob ação de duas forças. A treliça da figura 17, cujo diagrama de corpo livre é ilustrado na figura 18a, pode ser desmembrada e um diagrama de corpo livre desenhado para cada pino e cada barra conforme a figura 18b. Cada barra está submetida a duas forças, uma em cada extremidade; essas forças possuem o mesmo módulo, a mesma linha de ação e sentidos opostos. Além disso, a terceira lei de Newton indica que as forças de ação e reação de uma barra sobre um pino são iguais e opostas. Uma vez que as linhas de ação de todas as forças internas de uma treliça são conhecidas, a análise de uma treliça se reduz ao cálculo das forças em suas várias barras e à determinação da situação em cada barra, isto é, se a mesma está sujeita à tração ou compressão.

O fato de a treliça inteira ser um corpo rígido, em equilíbrio, pode ser usado para escrever três equações, as quais determinam imediatamente as componentes das reações nos apoios da treliça.

Figura 18 – Aplicação do método dos nós.

P

A B

C

D

P

A B

C

D

RAy

RAx

By

B

RB

D

P

A

RAy

RAx

C

(a) (b)

10

1.2.2 Análise de uma treliça pelo método das seções

O método dos nós é mais eficaz quando é necessário determinar as forças em todas as barras da treliça. Se, entretanto, a força em somente uma barra ou a força em apenas poucas barras forem desejadas, o método das seções será mais eficiente.

Supondo que se deseja determinar a força na barra BD da treliça ilustrada na figura 19a. Para tanto é necessário determinar a força com que a barra BD atua sobre os nós B e D. Utilizando o método das seções, pode-se escolher como corpo livre uma parte da treliça composta por vários nós e barras, desde que a força desejada seja uma das forças externas que agem nessa parte. Além disso, a seção deve estar localizada de tal forma que exista um total de, no máximo, três forças incógnitas agindo sobre ela. Assim, a força desejada poderá ser obtida resolvendo-se as equações de equilíbrio para essa parte da treliça, considerando-a como se fosse um corpo rígido sob ação apenas de forças externas. Após escolher o local da seção pode-se utilizar como corpo livre qualquer uma das duas partes da treliça.

Figura 19 – Aplicação do método das seções.

1.3 Propriedades de área e massa

A atração da Terra sobre um corpo rígido age sobre todos os pontos materiais que o compõem, devendo ser representada por um grande número de pequenas forças distribuídas e direcionadas para o centro da Terra. Em certos problemas estas forças podem ser substituídas por uma única força resultante P aplicada no baricentro do corpo rígido.

1.3.1 Centro de gravidade de um corpo bidimensional

Uma placa horizontal conforme a ilustrada na figura 20 é dividida em n pequenos elementos com coordenadas xn e yn. As forças exercidas sobre cada elemento são denominadas ∆Pn e estão orientadas em direção ao centro da Terra. Porém, para todas as finalidades práticas, elas podem ser consideradas paralelas.

Figura 20 – Baricentro de uma placa.

P1 P2 P3

A B D G

C E

P1 P2

A B

C E

FBD

FBE

FCD

(a) (b)

z

y

x

y

x

P

G

z

y

x

y1

x1

∆∆∆∆P1

11

Sua resultante é, então, uma única força na mesma direção, com módulo P = Σ∆Pn. , posicionado nas coordenadas x e y da placa, como ilustrado na figura 20. Para obter as coordenadas x e y do baricentro G, onde a resultante P deve ser aplicada, escreve-se que os momentos de P em relação aos eixos y e x são iguais à soma dos momentos correspondentes dos pesos elementares conforme a equação 9.

:yM∑ nn PxPxPxPx ∆++∆+∆= K2211

:xM∑ nn PyPyPyPy ∆++∆+∆= K2211 (9)

Aumentando o número de elementos em que a placa é dividida e diminuindo simultaneamente o tamanho de cada elemento, tem-se, no limite, as seguintes expressões.

∫= dPP ∫= xdPPx ∫= ydPPy (10)

1.3.2 Centróide de um corpo bidimensional

O centróide, ou centro geométrico de um corpo bidimensional pode ser determinado substituindo as expressões ∆P = γt∆A e P = γtA, nas equações 9 e 10. Sendo, γ o peso específico do material e t a espessura da placa. Assim obtém-se as equações 11 e 12.

:yM∑ nn AxAxAxAx ∆++∆+∆= K2211

:xM∑ nn AyAyAyAy ∆++∆+∆= K2211 (11)

∫= dAA ∫= xdAAx ∫= ydAAy (12)

1.3.3 Momentos de primeira ordem de superfícies

A integral ∫ xdA da equação 12 é conhecida como momento estático ou momento de

primeira ordem da superfície A em relação ao eixo y e é representada por Qy. Da mesma

forma a integral ∫ ydA define o momento estático ou momento de primeira ordem de A em

relação ao eixo x e é representada por Qx. Assim escrevem-se as equações 13.

AxxdAQy == ∫ AyydAQx == ∫ (13)

Assim, as coordenadas do centróide podem ser obtidas dividindo-se os primeiros momentos da superfície por sua área. Além disso, a equação 13 indica que, se o centróide de uma superfície estiver situado sobre um eixo coordenado o momento de primeira ordem da superfície em relação ao eixo será nulo.

O anexo A1 apresenta o centróide e área de figuras planas usuais.

12

1.3.4 Momento de Inércia e Raio de Giração

Considera-se a área A situada no plano xy e o elemento de área dA de coordenadas x e y, conforme ilustrado na figura 21.

Figura 21 – Representação de uma área qualquer definida por coordenadas retangulares.

O momento de inércia da área A em relação ao eixo x e em relação à y são definidos, respectivamente, conforme as equações 14 e 15.

∫=A

x dAyI 2 (14)

∫=A

y dAxI 2 (15)

Essas integrais são chamadas de momentos de inércia retangulares, uma vez que são calculadas pelas coordenadas retangulares do elemento dA.

Da mesma forma, pode-se definir o momento de inércia polar da área A em relação ao ponto O, como ilustrado na figura 22 e conforme a expressão 16.

Figura 22 – Representação de uma área qualquer definida por coordenadas polares.

∫=A

O dAJ 2ρ (16)

Resolvendo as integrais apresentadas nas equações 14, 15 e 16 percebe-se que seus valores são sempre positivos. No Sistema Internacional de Unidades eles são usualmente expressos em m4 ou mm4.

É possível estabelecer uma relação importante entre o momento de inércia polar JO de uma certa área e os momentos de inércia retangulares Ix e Iy dessa área, uma vez que ρ2

= x2 + y

2, conforme a expressão 17.

Y

X A

dA

O x

y

Y

X A

dA

O

ρ

13

∫∫∫∫ +=+==AAAA

O dAxdAydAyxdAJ 22222 )(ρ

yxO IIJ += (17)

O raio de giração de uma área A em relação ao eixo x é definido pela grandeza rx que satisfaz a relação 18.

ArI xx ⋅=2 (18)

Sendo Ix o momento de inércia de A em relação ao eixo x. Isolando rx na equação A.5 obtém-se a expressão 19.

A

Ir x

x = (19)

De maneira análoga é possível definir o raio de giração em relação ao eixo y e em relação à origem O, de acordo com as equações 20 e 21.

A

Ir

y

y = (20)

A

Jr O

O = (21)

1.3.5 Teorema dos Eixos Paralelos

Considerando-se o momento de inércia Ix de uma área A em relação a um eixo arbitrário x, conforme apresentado na figura 23 e chamando de y a distância de um elemento de área dA até esse eixo sabe-se que:

∫=A

x dAyI 2

Figura 23 – Representação de uma área em relação a um eixo arbitrário.

O eixo centroidal x’ é o eixo paralelo a x que passa pelo centróide C da área em questão. A distância do elemento dA até esse eixo será chamada de y’, e com isso obtém-se a relação y = y’+d, onde d é a distância entre os dois eixos. Substituindo este valor de y na integral que representa Ix chega-se à expressão 22.

X

A

dA

C x'

y

d

y'

14

∫ ∫ +==A A

x dAdydAyI 22 )'(

∫ ∫∫ ++=A AA

x dAddAyddAyI 22 '2' (22)

A primeira integral da equação 22 representa o momento de inércia Īx da área em relação ao eixo centroidal x’. A segunda integral representa o momento estático Qx da área em relação ao eixo x’. Por definição, esse momento estático é nulo, uma vez que o eixo x’ passa pelo centróide C. Por fim, a última integral da expressão é igual à área total considerada. Sendo assim, pode-se definir o momento de inércia Ix de uma área arbitrária em relação a um eixo paralelo ao seu eixo centroidal de acordo com a equação 23.

2' dAII xx ⋅+= (23)

Da mesma forma pode-se deduzir uma equação para o momento de inércia polar.

2dAJJ CO ⋅+= (24)

15

2. CINEMÁTICA

O estudo do movimento divide-se em duas partes: cinemática e dinâmica. A cinemática trata da “geometria” do movimento, relacionando posição, velocidade, aceleração e tempo, sem referência às causas do movimento. A dinâmica, por sua vez, trata das relações entre as forças agentes num corpo e o seu movimento; usa-se a dinâmica para se prever o movimento causado pelas forças aplicadas ou para se determinar as forças necessárias para gerar um determinado movimento.

2.1 Movimento retilíneo de um ponto material

Se um ponto material se desloca ao longo de uma trajetória retilínea, diz-se que ocupa uma certa posição na reta. Para definir a posição P do ponto, escolhemos uma origem O fixa na reta e um sentido positivo ao longo dela. Medimos a distância x de O a P e atribuímos-lhe um sinal positivo (+) ou negativo (-), de acordo com a orientação escolhida. Esta distância com o devido sinal define completamente a posição do ponto e é chamada de coordenada de posição do ponto. A figura 24 ilustra um ponto com coordenada de posição x = 5 m.

Figura 24 – Exemplo de posicionamento de partícula.

Quando a coordenada de posição x de um ponto material for conhecida para qualquer valor do tempo t, dizemos que o movimento do ponto é conhecido. O movimento pode ser representado na forma de uma relação entre x e t, tal como x = 6t

2 – t3, ou na forma de um gráfico., como ilustrado na figura 25.

Figura 25 – Representação gráfica do movimento em relação ao tempo.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

P O

x (m)

-20

-10

0

10

20

30

40

00.5 1

1.5 2

2.5 3

3.5 4

4.5 5

5.5 6

6.5

tempo (s)

dis

tân

cia

(m)

16

A velocidade escalar média de um ponto material ao longo do tempo é definida como o quociente entre o deslocamento ∆x e o intervalo de tempo ∆t.

t

xVm

∆

∆= (25)

A velocidade escalar instantânea ou simplesmente velocidade v do ponto material, no instante t, é obtida da velocidade escalar média, considerando-se intervalos de tempo ∆t cada vez menores.

dt

dx

t

xv

t=

∆

∆=

→∆ 0lim (26)

A aceleração escalar média de um ponto material ao longo do tempo é definida como o quociente entre a variação da velocidade ∆v e o intervalo de tempo ∆t.

t

vam

∆

∆= (27)

A aceleração escalar instantânea ou simplesmente aceleração a do ponto material, no instante t, é obtida da aceleração escalar média, considerando-se intervalos de tempo ∆t cada vez menores.

dt

dv

t

va

t=

∆

∆=

→∆ 0lim (28)

Quando se estuda o movimento retilíneo uniforme ou MRU considera-se a velocidade do ponto material uma constante e a aceleração nula. Assim, integrando a equação 26 temos.

x – xo = v . t (29)

Quando se estuda o movimento retilíneo uniformemente variado ou MRUV considera-se a velocidade do ponto material variável e a aceleração constante. Assim, integrando a equação 28 temos.

v – vo = a . t (30)

Substituindo a equação 26 na equação 30 e depois integrando ambos os termos é possível obter a relação 31.

2

..).(

2

00

tatvxxdttavdx oo

t

o

x

+=−⇒+= ∫∫ (31)

Isolando dt da equação 26, substituindo na equação 28 e depois integrando ambos os termos é possível obter a relação 32.

∫ ∫ ∆=−⇒=⇒=v

vo

x

xoo xavvdxavdvdv

dx

va ..222 (32)

17

2.2 Movimento de vários pontos materiais

Quando vários pontos materiais se movem, equações independentes podem ser escritas para cada um deles. Sempre que possível, o tempo será contado a partir do mesmo instante inicial, para todos os pontos, e os deslocamentos serão medidos em relação à mesma origem e no mesmo sentido.

Considerando dois pontos materiais A e B que se deslocam de forma independente. Se, por exemplo, as coordenadas de posição xA e xB são medidas a partir de uma mesma origem, como ilustrado na figura 26, a diferença xB – xA define a coordenada de posição de B em relação a A e é representada por xB/A conforme a equação 33.

xB/A = xB – xA (33)

Figura 26 – Representação do deslocamento relativo entre pontos materiais.

Neste caso, um sinal positivo para xB/A significa que B está à direita de A e vice-versa, independentemente da posição de A e B em relação à origem.

A variação no tempo de xB/A é denominada velocidade de B em relação a A e representada por vB/A conforme a equação 34.

vB/A = vB – vA (34)

Um sinal positivo para vB/A significa que B é observado de A deslocando-se no sentido positivo e vice-versa.

A variação no tempo de vB/A é denominada aceleração de B em relação a A sendo representada por aB/A conforme a equação 35.

aB/A = aB – aA (35)

2.3 Movimento curvilíneo de um ponto material

Quando um ponto material se desloca ao longo de uma curva qualquer, dizemos que está em movimento curvilíneo. Para definir a posição P, ocupada pelo ponto material num instante t, deve-se selecionar um sistema de referência fixo, tal como apresentado na figura 27, e traçar um vetor r unindo a origem O e o ponto P. O vetor r é denominado vetor

x

xA

xB

xB/A O

A B

18

posição do ponto material, no instante t, e define completamente a sua posição em relação aos eixos coordenados.

Figura 27 – Movimento curvilíneo de um ponto material.

A velocidade média do ponto material é calculada pela variação do vetor posição num período de tempo. Os cálculos podem ser realizados considerando as componentes cartesianas do vetor posição. A velocidade instantânea do ponto material no instante t é obtida escolhendo-se intervalos de tempo cada vez menores. No limite, fazendo o tempo tender a zero, o vetor v obtido será tangente a trajetória do ponto material e pode ser calculado conforme a equação 36.

dt

rdv

rr

= (36)

A aceleração vetorial do ponto é definida pela variação da velocidade ao longo do tempo. Fazendo o tempo tender a zero, no limite, a aceleração vetorial instantânea é definida conforme a equação 37.

dt

vda

rr

= (37)

A velocidade instantânea de um ponto material sempre é tangente à sua trajetória, como foi exposto anteriormente, porém, como está ilustrado na figura 27, a aceleração não é necessariamente tangente à trajetória da partícula. Num movimento curvilíneo a aceleração é responsável tanto pela variação da velocidade ao longo do tempo como pela variação da trajetória da partícula. Assim, é conveniente, nestes casos, decompor a aceleração nas suas componentes, dirigidas, respectivamente, segundo a tangente e a normal à trajetória do ponto material, como ilustrado na figura 28.

Figura 28 – Componentes normal e tangencial da aceleração.

r

v

x

z

y

a

r

at

x z

y

a

an

19

Assim, a componente tangencial passa a ser responsável pela variação da velocidade da partícula e a componente normal, a qual está apontada para o centro da trajetória curvilínea, pela variação da direção do movimento, e são definidas pelas equações 38.

dt

vdat

rr

= ; ρ

2va n

rr

= (38)

2.4 Rotação em torno de um eixo fixo

Um dos tipos de movimento plano de corpos rígidos de grande interesse prático é o de rotação em torno de um eixo fixo. Neste caso considera-se o movimento relacionando o deslocamento angular em função do tempo, como ilustrado na figura 29.

Figura 29 – Rotação em torno de um eixo fixo.

2.4.1 Movimento circular uniforme

A velocidade angular (ω) de um ponto material é constante e é definida como a variação da sua posição em coordenadas polares (θ) ao longo do tempo, conforme a equação 39.

dt

dθω = (39)

Nesta condição, a velocidade tangencial do ponto P indicado na figura 29 também é constante e pode ser calculada de acordo com a equação 40.

rv ⋅= ω (40)

Sendo assim, a aceleração do ponto material tem a sua componente tangencial nula e sua componente normal calculada conforme a equação 38.

2.4.2 Movimento circular uniformemente acelerado

No movimento circular uniformemente acelerado tanto a velocidade angular como a velocidade tangencial variam ao longo do tempo. Neste caso, a aceleração é composta tanto

x

y

O

ρρρρ

θ

P

ω

20

pela sua componente normal como pela componente tangencial. Esta última está diretamente relacionada com a aceleração angular (α) que é definida pela equação 41.

dt

dωα = (41)

A relação apresentada entre a velocidade angular e a velocidade tangencial do ponto P também é válida para a aceleração angular e a aceleração tangencial, como indicado na equação 42.

rat ⋅= α (42)

As demais equações do movimento que descrevem o movimento circular uniformemente acelerado podem ser extraídas das equações utilizadas para descrever o movimento retilíneo, apenas substituindo as variáveis que se referem ao movimento linear (x, v e a) por aquelas que se referem ao movimento circular (θ, ω e α) conforme as equações 43 e 44.

2

..

2ttoo

αωθθ +=− (43)

θαωω ∆=− ..222

o (44)

2.5 Movimento plano de corpos rígidos

O movimento de corpos rígidos pode ser dividido em três tipos:

a) Translação: neste caso, todos os pontos do corpo rígido se deslocam no plano com a mesma velocidade e ao longo de trajetórias paralelas entre si;

b) Rotação em torno de um eixo fixo: o movimento dos pontos que compõem o corpo rígido descrevem trajetórias concêntricas e que podem ser determinadas pelas equações apresentadas no item 2.4.

c) Movimento plano geral: neste caso, há a superposição dos efeitos de um movimento de translação e o movimento de rotação do corpo rígido.

A.1 Centróides e Áreas de Figuras Planas

Figuras Planas x y A

Retângulo

2

b 2

h hb.

Triângulo

3

b

3

h

2

.hb

Círculo

0 0 2.rπ

Semicírculo

0 π.3

.4 r

2

. 2rπ

Quadrante

π.3

.4 r

π.3

.4 r

4

. 2rπ

Elipse

0 0 ba..π

r C

x

y

r C x

y

b

h C

x

y

b

h C

x

r C x

y

C x

y

a

b

A.2 Momentos de Inércia de Figuras Planas

Figuras Planas

Ix Iy Jo

Retângulo

3

. 3hb

I x =

12

. 3

'

hbI x = 3

.3hb

I y =

12

.3

'

hbI y = 12

).(. 22hbhb +

Triângulo

12

. 3hb

I x =

36

. 3

'

hbI x =

12

.3hb

I y = 36

.3

'

hbI y = -

Círculo

4

. 4

'

rI x

π=

4

. 4

'

rI y

π=

2

. 4rπ

Semicírculo

8

. 4rI x

π=

( )π

π

72

649 24

'

−=

rI x

8

. 4

'

rI y

π=

4

. 4rπ

Quadrante

16

. 4rI x

π=

( )π

π

144

649 24

'

−=

rI x

16

. 4rI y

π=

( )π

π

144

649 24

'

−=

rI y

8

. 4rπ

Elipse

4

.. 3baπ

4

.. 3 baπ 4

).(.. 22baba +π

O x

y

a

b

b

h O

x

y

x'

y'

r O x'

y'

r C x

y'

O

b

h C

x

x'

y'

x'

r C

x

y

O

x'

y'