Mec2-texto-cap5

151

Captulo 5

DINMICA (CINTICA) DE UM SISTEMA DE PARTCULAS

5.1 INTRODUO

Neste captulo estudar-se- a cintica de corpos rgidos, isto , as relaes que existem entre as foras que actuam num corpo, a sua forma e massa, e o movimento resultante. No captulo anterior estudaram-se relaes semelhantes, admitindo ento que o corpo podia ser considerado uma partcula, ou seja, que a sua massa podia ser concentrada num ponto e que todas as foras actuavam nesse ponto. A forma do corpo e a localizao exacta dos pontos de aplicao das foras vo ser agora tidas em devida conta. O objectivo o estudo do movimento do corpo como um todo, bem assim como o seu movimento em torno do seu centro de massa.

Nos sistemas de partculas abordados, considera-se que a distncia entre duas quaisquer partculas permanece inaltervel (noo de corpo rgido). Os corpos rgidos podem ser classificados em:

Conjuntos discretos (finitos): consistem em sistemas de partculas isoladas rigidamente ligadas entre si.

Conjuntos contnuos (infinitos): trata-se de sistemas contnuos, isto , as partculas no so numerveis.

Conjuntos mistos: consistem numa associao dos dois anteriores.

Dinmica (cintica) de um sistema de partculas

152

5.2 EQUAES DE MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE PARTCULAS

A abordagem a efectuar neste captulo assenta no princpio de que os corpos rgidos no so mais do que conjuntos de vrias partculas e, por essa razo, pode-se utilizar os resultados obtidos no captulo anterior para o movimento de uma partcula sujeita a um campo de foras, fazendo o somatrio (ou o integral) estendido a todas as partculas.

As foras actuantes num sistema de partculas podem ser classificadas em:

Foras interiores so foras que ocorrem entre as partes constituintes do sistema de partculas, as quais, pelo princpio de igualdade da aco e da reaco, constituem pares de foras auto-equilibradas por serem iguais e directamente opostas ( jiij FF

rr = ). Foras exteriores so foras cuja origem ou causa exterior ao sistema de partculas.

Figura 5.1 Foras interiores e exteriores.

No estudo da dinmica dos sistemas de partculas ir ser utilizada uma notao especfica para as foras. Assim, as foras com um s ndice designaro foras exteriores ao sistema de partculas, actuando sobre a parte ou partio com a designao do ndice. As foras interiores s partes constituintes so designadas por dois ndices, um indica de onde vm e o outro indica para onde vo:

iFr

resultante das foras exteriores aplicadas sobre mi;

ijFr

fora interior devida interaco entre as massas mi e mj, estando auto-equilibrada com jiF

r, isto , 0

rrr =+ jiij FF . Do princpio da fora de DAlembert ou da 2 lei de Newton aplicada

partcula i do sistema de partculas, resulta:

22

1 dtrdmamFF iiii

n

ijj

jii

rrrr ==+ =

(5.1)

Captulo 5

153

Como o princpio de DAlembert vlido para todas as partculas ou partes constituintes do sistema de partculas, isto , para i = 1, 2, ..., n, ter-se- o seguinte sistema de equaes:

=+

=+

=+

=

=

=

2

2

1

1

1

22

2

1

21

22

21

2

1

11

11

...

dtrdmFF

dtrdmFF

dtrdmFF

nn

jjnn

n

jj

j

n

jj

j

rrr

rrr

rrr

(5.2)

Ter-se- assim um sistema de n equaes diferenciais do movimento das partculas constituintes do sistema de partculas. A soluo deste sistema pode ser obtida por integrao directa (se for integrvel) ou por integrao numrica (por exemplo, o mtodo de Euler, o mtodo de Runge-Kutta, etc.) a partir das condies fronteira temporais apropriadas, tambm designadas por condies iniciais.

Note-se que enquanto o referido sistema de equaes diferenciais do movimento constitui uma condio necessria e suficiente do equilbrio dinmico do sistema de partculas, a soma vectorial das referidas equaes, membro a membro, resulta numa condio necessria mas no suficiente. De facto,

== ==

=

+ n

iii

n

i

n

ijj

ji

n

ii amFF

11 11

rrr

==

= ni

ii

n

ii amF

11

rr (5.3)

Esta uma condio necessria de equilbrio mas no condio suficiente, pois no garante que o sistema rode em torno de si prprio.

O somatrio de foras auto-equilibradas nulo.


154

Representando por irr o vector posio da partcula de massa mi que faz parte de um

sistema de partculas materiais e tomando os momentos em relao ao ponto O das vrias foras actuando em mi, vem:

)(1

iii

n

ijj

jiiii amrFrFrrrrrrr =+

= (5.4)

Figura 5.2 Equilbrio de um sistema de partculas.

Repetindo este procedimento para cada partcula mi do sistema, obtm-se n equaes idnticas anterior. A soma vectorial dessas equaes resulta tambm numa condio necessria alternativa anterior:

== ==

=

+ n

iiii

n

i

n

ijj

jii

n

iii amrFrFr

11 11)( rr

rrrr

==

= ni

iii

n

iii armFr

11)( rr

rr (5.5)

As equaes (5.3) e (5.5) representam somente condies necessrias de equilbrio, para as quais o efeito das foras internas, jiF

r, nulo. Note-se porm, que

isto no significa que as foras internas no tenham efeito sobre as partculas do sistema. Por exemplo, as foras de atraco gravtica que o Sol e os planetas exercem entre si consideram-se internas relativamente ao sistema solar, e, por essa razo equipolentes a zero. No entanto, estas foras so as responsveis pelo movimento dos planetas em redor do Sol.

Analogamente, no se pode concluir das duas equaes referidas que dois sistemas de foras externas, que possuem a mesma resultante e o mesmo momento

resultante, produzem o mesmo efeito sobre um sistema de partculas.

Os dois sistemas mostrados na figura 5.3 tm a mesma resultante e o mesmo momento resultante;

Figura 5.3 Sistemas de foras equivalentes.

O somatrio de momentos de foras auto-equilibradas nulo.

Captulo 5

155

no entanto, o primeiro sistema acelera a partcula A e deixa intacta a partcula B, enquanto o segundo sistema acelera B e no afecta A.

5.3 CENTRO DE MASSA. TEOREMA DO CENTRO DE MASSA

A equao (5.3) pode escrever-se de outra forma se for considerado o centro de massa do sistema de partculas. Como j se viu no captulo 3 (Geometria de Massas), o centro de massa do sistema o ponto G definido pelo seguinte vector posio Gr

r :

Sistema de partculas discreto,

=

==

==

=n

iiin

ii

n

iii

GGGG rmMm

rmzyxr

1

1

1 1),,( rr

r

=

=

=

=

=

=

M

zmz

M

ymy

M

xmx

n

iii

G

n

iii

G

n

iii

G

1

1

1

(5.6)

Figura 5.4 Centro de massa de um sistema discreto.

Sistema de partculas contnuo,

===

MM

MGGGG dmrMdm

dmrzyxr r

rr 1),,(


156

=

=

=

M

dmzz

M

dmyy

M

dmxx

MG

MG

MG

(5.7)

Figura 5.5 Centro de massa de um sistema contnuo.

Apenas por simplicidade de notao sero inferidos os princpios da dinmica a sistemas de partculas discretos, utilizando, por isso, a notao de somatrio e no de integral. Portanto, o centro de massa :

=

= =

= ni

iiG

n

iii

G rmrMM

rmr

1

1 rrr

r (5.8)

Derivando sucessivamente esta expresso em relao ao tempo, vem:

( ) == ==

n

i

ii

Gn

iiiG dt

rdmdtrdMrm

dtdrM

dtd

11

rrrr

=

= ni

iiG vm

dtrdM

1

rr (5.9)

=

=

==

n

i

ii

Gn

iii

G

dtvdm

dtrdMvm

dtd

dtrdM

dtd

12

2

1

rrrr

=

= ni

iiG amaM1

rr (5.10)

como,

FFamn

ii

n

iii

rrr == == 11

(5.11)

ento, substituindo em (5.10) vem:

GaMFrr = (5.12)

Captulo 5

157

A expresso (5.12) define o movimento do centro de massa G de um sistema de partculas, traduzindo assim o teorema do centro de massa:

O centro de massa de um sistema de partculas desloca-se como se toda a massa do sistema e todas as foras externas estivessem concentradas nesse ponto.

Este princpio pode ser melhor ilustrado pela anlise do movimento de uma granada que entretanto explode. Sabe-se de antemo que, se a resistncia do ar for desprezvel, o movimento da granada segue uma trajectria parablica. Aps a granada ter explodido, o centro de massa G dos fragmentos resultantes continua a descrever a mesma trajectria. Na verdade, o ponto G deve mover-se como se a massa e o peso de todos os fragmentos estivessem a concentrados; devem, por isso, deslocar-se como se a granada no tivesse explodido.

Do que foi referido, destacam-se trs pontos que traduzem a importncia do teorema do centro de massa:

1 Ponto) Reduo do sistema de partculas a um nico ponto

O teorema do centro de massa permite aplicar certas leis da mecnica quando se supe o sistema de partculas com massa concentrada num nico ponto o centro de massa.

Por exemplo, se um sistema de partculas executa um movimento de translao, este pode ser caracterizado completamente pelo movimento de translao de um nico ponto identificado com o centro de massa, com massa igual massa total do sistema e movendo-se com velocidade e acelerao, Gv

r e Gar , iguais s do

centro de massa.

2 Ponto) Permite ignorar as foras interiores do sistema

O teorema do centro de massa torna possvel desenvolver as equaes de movimento do sistema de partculas ignorando ou desconhecendo as foras interiores ao sistema. Note-se que o seguinte duplo somatrio nulo:


158

01 1

rr == =

n

i

n

ijj

jiF (5.13)

Isto significa que as foras interiores ao sistema de partculas no influenciam o movimento do centro de massa, qualquer que seja o sistema.

No entanto, as foras interiores influenciam o movimento de cada partcula individualmente, conforme se infere do princpio das foras de DAlembert, constituindo uma equao diferencial do movimento de cada partcula de massa mi. Veja-se, por exemplo, o movimento de uma granada que entretanto explode, como foi abordado anteriormente.

3 Ponto) Descrio do movimento numa perspectiva global

Como se verificou no 2 ponto, o movimento do centro de massa caracteriza o movimento do sistema de partculasnuma perspectiva global, isto , no seu conjunto; mas no caracteriza o movimento do sistema de partculas no seu aspecto local.

Exemplo de aplicao

Captulo 5

159

5.4 MOMENTO DE INRCIA DE MASSA

Como se viu na expresso (5.12), e de acordo com o princpio da fora de DAlembert, o anulamento da resultante das foras exteriores aplicada ao ponto fictcio de centro de massa do sistema de partculas garante apenas que o centro de massa est em equilbrio. Mas para assegurar o equilbrio de um sistema de partculas no basta que esteja em equilbrio o seu ponto fictcio, isto , o centro de massa. Por isso que a equao anterior constitui uma condio necessria de equilbrio de um sistema de partculas, pois nem sempre quando nula a resultante das foras exteriores o sistema estar em equilbrio. , ento, necessrio encontrar a equao suficiente de equilbrio, recorrendo a outros conceitos e princpios de dinmica do sistema de partculas.


160

O princpio de fora de DAlembert, na sua verso translao, pode ser expresso por:

amFFn

ii

rrr == =1

(5.14)

Daqui se conclui que a massa de uma partcula a constante de proporcionalidade entre a resultante das foras exteriores aplicadas numa direco e a correspondente acelerao vectorial linear nessa direco:

aFm = (5.15)

Assim se compreende a definio alternativa de massa como sendo uma caracterstica da inrcia da translao dos corpos.

Existe outra grandeza que caracteriza a inrcia de rotao dos corpos. Como se sabe, a massa de um corpo e a posio do centro de massa no permitem, por si ss, descrever de maneira nica a distribuio da massa do corpo.

Figura 5.6 Distribuio da massa de diferentes corpos.

Como se verifica na figura 5.6, a localizao do centro de massa independente da localizao e grandeza das massas parcelares, ou seja, independente da distribuio das massas. , por isso, necessrio fazer intervir outro conceito que traduza a distribuio das massas do corpo. Este conceito tem em conta as caractersticas da rotao do sistema de partculas.

Figura 5.7 Caractersticas de rotao de um sistema de partculas.

Captulo 5

161

Como se viu, a massa m definida como a seguinte constante de proporcionalidade:

aF

a

Fm

n

ii ==

=1 (5.16)

Se a massa se encontra em movimento de rotao, ento verifica-se a seguinte relao para as componentes tangenciais:

t

t

aF

aFm == ; com Rat = (5.17)

O momento, M F, da fora F em relao ao eixo tem a grandeza da componente tangencial dessa fora multiplicada pelo raio do crculo (dado que a componente normal no produz momento). Ento, esse momento igual a:

tFtF FRMRFM == (5.18)

Considerando a expresso (5.17) e substituindo em (5.18) vem:

== 2RMm

RRMm FF == IRm

M F 2 (5.19)

Esta quantidade mecnica, identificada por I, designada de momento de inrcia de massa de uma partcula de massa m relativamente ao eixo e dado pelo produto da massa pelo quadrado da distncia da partcula a esse eixo.

Considerando as definies de momento de inrcia abordadas no captulo 3 sobre geometria de massas, define-se:

Momento de inrcia de massa de sistemas de partculas discretos

=

=

=

=

n

iii

n

iii

urmI

dmI

1

2

1

2

ou

rr (5.20)

Figura 5.8 Momento de inrcia de massa de um sistema discreto.

( )iiiii rurur sensen == rrrrr1 di


162

Momento de inrcia de massa de sistemas de partculas contnuo

=

=

M

M

dmurI

dmdI

2

2

ou

rr (5.20)

Figura 5.9 Momento de inrcia de massa de um sistema contnuo.

5.5 RAIO DE GIRAO

O raio de girao, rG, representa uma distncia fictcia (relativamente a um ponto, a um eixo ou a um plano) onde se poderia supor concentrada a massa total de um sistema de partculas, sem alterar o seu momento de inrcia de massa (relativamente ao ponto, ao eixo ou ao plano).

Figura 5.10 Raio de girao.

Para um sistema de partculas contnuo tem-se:

M

dmrrrMdmrI MGG

M

=== 2

22 )()( (5.21)

Enquanto que para um sistema de partculas discreto se tem:

M

dmrrMdmI

n

iii

GG

n

iii

==

=== 1

2

2

1

2 )()( (5.22)

ou seja,

MIrG =)( (5.23)

Captulo 5

163

Note-se que esta distncia rG caracteriza no um nico ponto, mas uma infinidade de pontos, situados sobre a superfcie cilndrica de eixo de revoluo coincidente com o eixo . Ou seja, existe simetria de revoluo axial, esfrica ou plana, em relao caracterizao do raio de girao, consoante o momento de inrcia a que se refere seja relativamente a um ponto, eixo ou plano.

Nota: O raio de girao o anlogo mecnico do desvio padro estatstico.

5.6 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS. TEOREMA DE STEINER

Como se viu no captulo 3, uma vez conhecido o momento de inrcia em relao a um eixo , possvel obter rapidamente o momento de inrcia relativamente a qualquer eixo ' paralelo ao anterior e que se situe distncia d, considerando o teorema dos eixos paralelos:

Figura 5.11 Teorema dos eixos paralelos.

sendo =M

dmlI 2 e +==MM

dmdldmlI 22' )(' (5.24)

ento ++=MMM

dmlddmddmlI 222' (5.25)

ou seja, ++= SddMII 22' (5.26) Quando o eixo baricntrico (G), o teorema dos eixos paralelos assume

a verso do teorema de Steiner (S=0):

2' dMII += (5.27)


164

5.7 QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE UM SISTEMA DE

PARTCULAS

A quantidade de movimento de um sistema de partculas corresponde soma vectorial (ou integral, se o sistema for contnuo) das quantidades de movimento das partculas constituintes, ou das massas elementares em movimento.

Para sistemas de partculas discretos tem-se:

==

== ni

ii

n

ii tvmtptP

11)()()( rr

r (5.28)

Enquanto que para um sistema de partculas contnuo se tem:

==MP

dmtvpdtP )()( rrr

(5.29)

Considerando a definio para sistemas de partculas discretos (o que vem a seguir tambm vlido para sistemas de partculas contnuos), ento:

=== ===

n

iii

n

i

ii

n

iii trmdt

ddt

trdmtvmtP111

)()()()( rrrr (5.30)

Tendo em conta a definio de centro de massa,

M

trmtr

n

iii

G

=

= 1

)()(

rr (5.31)

Substituindo na expresso (5.30) vem:

[ ] )()()()()()(1

tvMdt

trdMtPMtrdtdtrm

dtdtP GGG

n

iii

rrrrrr ===

= =

(5.32)

ou seja,

)()()(1

tvMtvmtP Gn

iii

rrr == =

(5.33)

Esta expresso mostra que a quantidade de movimento de um sistema de partculas a mesma que teria uma partcula nica de massa igual massa total,

Captulo 5

165

localizada no centro de massa, e movendo-se com uma velocidade igual do centro de massa.

Fica assim justificado que para o estudo da dinmica de translao de sistemas de partculas rgidos quaisquer, poder-se- substituir a dinmica do todo, pela dinmica do seu centro de massa, no qual se supe concentrada a massa total.

5.8 TEOREMA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO DE UM SISTEMA

DE PARTCULAS. PRINCPIO DA CONSERVAO DA

QUANTIDADE DE MOVIMENTO

Derivando a quantidade de movimento em ordem ao tempo vem:

===

==

= ni

ii

n

i

ii

n

iii tamdt

tvdmtvmdtd

dttPd

111)()()()( r

rrr

(5.34)

como,

==

== ni

ii

n

ii tamFtF

11)()( r

rr (5.35)

ento, associando as expresses (5.34) e (5.35), vem:

)()( tF

dttPd r

r= (5.36)

Esta expresso est associada ao teorema da quantidade de movimento.

Foi tambm j visto, na expresso (5.33), que a quantidade de movimento de movimento P

r e a velocidade associada ao centro de massa Gv

r se encontram relacionadas por )()( tvMtP G

rr = . Assim, possvel tambm obter a seguinte relao:

[ ] )()()()( taMdt

tvdMtvMdtd

dttPd

GG

Grrr

r=== (5.37)

Tendo em conta a expresso (5.36) e substituindo em (5.37), vem:


166

)(taMF Grr = (5.38)

sendo Fr

a resultante das foras aplicadas ao sistema de partculas.

Assim, de acordo com o teorema da quantidade de movimento, em qualquer instante, a derivada da quantidade de movimento total em ordem ao tempo igual resultante das foras exteriores actuantes nesse instante no sistema de partculas.

Se a resultante das foras exteriores for nula, isto , se o sistema for isolado, ou no actuado por foras exteriores, ento:

constante00)( === PdtPdtF

rrrrr (5.39)

Isto traduz o princpio da conservao da quantidade de movimento, segundo o qual, num sistema isolado, a quantidade de movimento total permanece constante.

5.9 CHOQUE

5.9.1 Definio de choque

A coliso entre dois corpos que ocorre num intervalo de tempo muito curto, e durante o qual os corpos exercem entre si foras de interaco relativamente elevadas; designado por choque.

Estas foras de interaco so foras interiores ao sistema de partculas e, sendo elevadas, significa que a elas vo estar associados grandes gradientes temporais de velocidades (porque o intervalo de tempo de choque pequeno) o que significa variaes apreciveis das velocidades instantneas, antes e aps o choque. As leis da mecnica newtoniana permitem deduzir propriedades das trajectrias e das velocidades aps o choque, conhecendo as suas caractersticas antes do choque, sem ser necessrio conhecer as enormes foras de interaco.

A normal comum superfcie de contacto durante o choque designa-se linha de choque. Consoante as posies dos centros de massa dos dois corpos durante o choque, distingue-se os seguintes tipos de choques:

Captulo 5

167

Choque central: Os centros de massa dos corpos que colidem situam-se na linha de choque. Neste tipo de choque ainda se distinguem dois sub-tipos de choque:

Choque directo ou frontal As velocidades dos centros de massa dos corpos que colidem tm a direco da linha de choque.

Choque oblquo Pelo menos uma das velocidades dos centros de massa dos corpos que colidem no tm a direco da linha de choque.

Choque excntrico: Se algum dos corpos, ou ambos, tm um centro de massa que, antes ou aps o choque, no pertence linha de choque, ento o choque excntrico.

choque central directo choque central oblquo choque excntrico Figura 5.12 Tipos de choque.

Neste captulo s iro ser analisados os choques centrais.

5.9.2 Princpios da conservao aplicados ao choque central

No estudo do choque admite-se que os corpos antes e aps o choque so rgidos e que o fenmeno de choque ocorre em dois perodos distintos:

um perodo inicial de compresso desde o instante de contacto inicial pontual at ao instante de contacto mximo;

um perodo final de restituio entre o instante de contacto mximo e o instante de contacto final (pontual).


168

Figura 5.13 Fases de choque.

O objectivo do estudo do choque determinar as velocidades aps o choque, conhecidas as velocidades antes do choque.

Admite-se que o choque ocorre num plano horizontal no qual a energia potencial de posio a mesma para todas as massas envolvidas. Admite-se ainda que, antes e aps o choque, no so aplicadas aos corpos nenhumas foras exteriores (para alm dos pesos verticais, os quais, como se sabe, no realizam trabalho no plano horizontal) nem mesmo eventuais atritos de contacto com as superfcies.

Na ausncia de foras exteriores, as velocidades antes e aps o choque sero forosamente constantes, isto , o movimento antes e aps o choque ser rectilneo e uniforme (ou seja, movimento terico correspondente a acelerao nula porque as foras exteriores so nulas).

Assim, o sistema corpos em coliso comporta-se antes e aps o choque como um sistema isolado (isto , sem foras exteriores aplicadas), relativamente ao qual so vlidos os princpios da conservao da mecnica newtoniana, nomeadamente:

princpio da conservao da quantidade de movimento;

princpio da conservao da energia total (no apenas mecnica);

princpio da conservao do momento cintico (o qual dever ser aplicado no caso do choque excntrico, que no ir ser estudado).

Captulo 5

169

Neste captulo limita-se o estudo do choque aplicao dos dois primeiros princpios:

o princpio da conservao da quantidade de movimento que corresponde a uma equao vectorial no plano de choque:

finalou

choque do depois1inicialou choque do antes1

'

=

==

n

iii

n

iii vmvm

rr (5.40)

o princpio da conservao da energia total, que um princpio escalar que traduz a conservao da energia total de todas as origens:

= finalinicial EE etc.) atrito, (calor, dissipadasou perdidas Energias++=+ ffii UTUT (5.41)

Como se pressupe que o choque se d sobre um plano horizontal, ento fi UU = , logo:

ETT fi += (5.42)

Consoante o valor da parcela de energia dissipada, E, distingue-se: Choque elstico (ex.: bolas de bilhar) A parcela de energia dissipada,

E, nula. Isto , no h dissipao de energia, logo, a energia cintica inicial antes do choque elasticamente restituda pelo fenmeno do choque na cintica final das massas que colidiram.

Choque inelstico ou dissipativo (ex.: coliso de automveis) A parcela de energia dissipada, E, no nula.

No choque elstico, os corpos mantm invarivel o seu estado fsico, enquanto que no choque inelstico h alterao do estado fsico, isto , h deformao.

5.9.3 Choque central directo ou frontal

Considere-se as duas partculas A e B, com massas mA e mB, ilustradas na figura 5.14, que se deslocam na mesma linha recta e para a direita com velocidades

Avr e Bv

r conhecidas.


170

Se a velocidade da partcula A for superior velocidade da partcula B, a partcula A ir colidir com a partcula B. Sob o efeito do choque, as duas partculas deformar-se-o e, no fim do perodo de deformao, elas possuiro a mesma velocidade ur . Seguidamente, tem lugar um perodo de restituio, no fim do qual, e dependendo da intensidade das foras de choque e dos materiais em jogo, as duas partculas recuperaro a sua forma original ou permanecero deformadas.

Figura 5.14 Choque frontal.

O objectivo a determinao das velocidades Av 'r e Bv '

r das partculas no fim do perodo de restituio. Como no existem foras exteriores, a quantidade de movimento total das duas partculas mantm-se constante, logo:

BBAABBAA vmvmvmvm ''rrrr +=+ (5.43)

Uma vez que as velocidades esto dirigidas segundo o mesmo eixo (linha de choque), pode-se substituir a equao acima, considerando apenas as componentes escalares:

BBAABBAA vmvmvmvm '' +=+ (5.44) Para obter as velocidades Av '

r e Bv 'r torna-se necessrio estabelecer uma

segunda relao entre as componentes escalares Av' e Bv' . Com este propsito considere-se agora o princpio da conservao da energia total:

ETT fi +=

Evmvmvmvm BBAABBAA ++=+ 2222 '21'

21

21

21

( ) ( ) Evvmvvm BBBAAA += 2'' 2222 ( ) ( ) ( ) ( ) Evvvvmvvvvm BBBBBAAAAA ++=+ 2'''' (5.45)

Captulo 5

171

Aplicando nesta expresso o princpio da conservao da quantidade de movimento, ( ) ( )BBBAAA vvmvvm = '' , vem:

( ) ( )BBBAAABBAA vvmvvmEvvvv ==++=+ '';2''

( ) ==

evv

Evvvv

BABA

AB

21''

( )BAAB vvevv = '' (5.46) Nesta expresso e designa o coeficiente de restituio. Uma vez que AB vv ''

representa a velocidade relativa das duas partculas depois do choque, e ( )BA vv representa a velocidade relativa das duas partculas antes do choque. A expresso anterior significa que: a velocidade relativa das duas partculas depois do choque pode obter-se pela multiplicao da velocidade relativa antes do choque pelo coeficiente de restituio.

Assim, a velocidade das duas partculas depois do choque pode obter-se pela resoluo das equaes (5.44) e (5.46).

Como se pode verificar, o coeficiente de restituio, e, toma um valor qualquer entre [0, 1]. Existem trs casos conceptualmente distintos de choque frontal correspondentes aos seguintes valores do coeficiente de restituio:

e = 1 choque elstico e = 0 choque plstico 0 < e < 1 choque inelstico Existem dois casos particulares de choque frontal com interesse especial:

1. e = 0, choque frontal plstico

Quando e = 0, resulta que AB vv ''rr = , isto , significa que as massas, aps

o choque, se deformam e seguem juntas, com uma velocidade determinada pela equao:

( ) BABABBAA vvvvmmvmvm ''';' ==+=+ (5.47)


172

2. e = 1, choque frontal elstico

Quando e = 1, resulta que:

BBAABAAB vvvvvvvv '''' +=+= (5.48) isto significa que as velocidades relativas antes e depois do choque so iguais, ou seja, a velocidade de aproximao igual velocidade de afastamento entre as duas massas.

Considerando o princpio da conservao da quantidade de movimento:

)'()'( BBBAAA vvmvvm = (5.49) e tendo em conta a expresso (5.48), vem:

+=+ )'()'()'()'( BBBBBAAAAA vvvvmvvvvm 2)por (dividindo2222 '' = BBBBAAAA vmvmvmvm

2222 '21'

21

21

21

BBAABBAA vmvmvmvm +=+ (5.50)

Que traduz a conservao da energia cintica total das partculas.

5.9.4 Choque central oblquo

Considere-se duas partculas que colidem e cujas velocidades no esto dirigidas segundo a linha de choque. Est-se, por isso, na presena de choque oblquo.

Considera-se ainda que so conhecidas as velocidades, vA e vB, antes do choque e as respectivas inclinaes A e B em relao linha de choque. Desconhecem-se as velocidades, v'A e v'B, tanto em direco, 'A e 'B, como em grandeza, aps o choque.

Figura 5.15 Choque central oblquo.

Captulo 5

173

Assim, o problema associado ao estudo do choque central oblquo consiste em determinar v' A, v' B, ' A e ' B, uma vez conhecidos v A, v B, A e B.

Tem-se assim quatro incgnitas, sendo, por isso, necessrio estabelecer quatro equaes independentes para determinar essas incgnitas. No entanto, os princpios de conservao (da quantidade de movimento e da energia total) s permitem estabelecer as seguintes trs equaes (considerando os eixos coordenados segundo n e t):

Aplicao do princpio de conservao da quantidade de movimento

BBAABBAA vmvmvmvm ''rrrr +=+

+=++=

BBBAAABBBAAA

BBBAAABBBAAA

vmvmvmvm

vmvmvmvm

t

n

'sen''sen'sensen

'cos''cos'coscos

direco na

direco na

rr

rr (5.51)

Aplicao do princpio de conservao da energia total

ETTTT BABA ++=+ '' Evmvmvmvm BBAABBAA ++=+ 2'' 2222 (5.52)

Portanto, as trs equaes so:

++=++=+

+=

Evmvmvmvm

vmvmvmvm

vmvmvmvm

BBAABBAA

BBBAAABBBAAA

BBBAAABBBAAA

2''

'sen''sen'sensen

'cos''cos'coscos

2222

rr

rr

(5.53)

Verifica-se assim que o sistema indeterminado, sendo resolvel em casos particulares mediante a introduo ou conhecimento de algumas caractersticas adicionais.


174

1 caso) As superfcies de contacto so perfeitamente lisas e sem atrito

Figura 5.16 Choque oblquo com superfcies de contacto lisas e sem atrito.

Na hiptese da superfcie de contacto ser perfeitamente lisa e sem atrito, verifica-se que as foras de interaco entre as partculas so dirigidas ao longo da direco normal superfcie de contacto (isto , linha de choque), ou seja, segundo o eixo n. Conclui-se ento que:

1. As foras de interaco no tm componente segundo t, logo no h gradientes temporais da velocidade segundo este eixo, isto , as componentes de velocidade segundo a direco t no se alteram, ou seja:

==

==

BBBB

AAAA

tBtB

tAtA

vv

vv

vv

vv

'sen'sen

'sen'sen

)'()(

)'()(

(5.54)

2. Ao longo do eixo n, a componente da quantidade de movimento total das duas partculas mantm-se constantes (princpio da conservao da quantidade de movimento):

BBBAAABBBAAA vmvmvmvm 'cos''cos'coscos rr += (5.55) 3. Pelo princpio da conservao da energia total vem que:

[ ]nBnAnAnB vvevv )()()'()'( = (5.56) As expresses (5.54), (5.55) e (5.56) constituem as quatro equaes resolventes deste choque oblquo.

Captulo 5

175

2 caso) Choque oblquo de corpos de massas iguais

Considerando que as duas partculas tm um choque oblquo e que tm massas iguais a m, ento as trs equaes resultantes dos princpios de conservao vm:

+===

==

==

ETT

vmvm

vmvm

fi

n

itii

n

itii

n

inii

n

inii

11

11

)'()(

)'()(

( )

=+=+

+=

BAAB

BBAABBAA

BBAABBAA

vvevv

vvvv

vvvv

''

'sen''sen'sensen

'cos''cos'coscos

rr

rr

(5.57)

Quadrando e somando os dois membros das duas primeiras equaes vem:

+++=

=++22

22

)'sen''sen'()'cos''cos'(

)sensen()coscos(

BBAABBAA

BBAABBAA

vvvv

vvvv

rrrr

+++++

=+++++

)'cos'cos'sen'sen(''2

)'cos'sen(')'cos'sen('

)coscossensen(2

)cossen()cossen(

222222

222222

BABABA

BBBAAA

BABABA

BBBAAA

vv

vv

vv

vv

)''cos(''2''

)cos(2

22

22

BABABA

BABABA

vvvv

vvvv

+++=+++

(5.58)

Tendo em conta que a terceira equao resolvente pode ser escrita como:

m

Evvvv BABA++=+ 2'' 2222 (5.59)


176

Comparando com a equao anterior vem:

m

Evvvv BABABABA=++ 2)''cos(''2)cos(2 (5.60)

Esta equao forma, conjuntamente com as trs equaes resolventes anteriores, um sistema determinvel para as quatro incgnitas pretendidas. Note-se que esta condio adicional de origem trigonomtrica.

Exemplos de aplicao

Exemplo 1

Captulo 5

177

Exemplo 2

Exemplo 3


178

Captulo 5

179

5.10 SISTEMAS MATERIAIS DE MASSA VARIVEL

Nos sistemas de partculas at agora estudados tem-se admitido que a massa total do sistema permanece invarivel no tempo. Existem, contudo, numerosas aplicaes da mecnica newtoniana (no relativista) de sistemas de partculas de massas variveis no tempo. o caso do estudo da dinmica de comboios com entrada e sada de passageiros, propulso de foguetes, veculos, etc..

Assim, nesta seco sero analisados sistemas de partculas que, durante o seu movimento, ganham massa pela absoro contnua de partculas ou perdem massa pela expulso contnua das mesmas.

Em qualquer dos casos, sistemas com ganho ou perda de massa, aplicar-se- o teorema da quantidade de movimento na sua verso de teorema do impulso, segundo o qual o impulso total de todas as foras exteriores aplicadas ao sistema de partculas num certo intervalo de tempo, igual variao da quantidade de movimento do sistema de partculas nesse intervalo de tempo.

5.10.1 Sistemas materiais com absoro de massa

Considere-se o sistema mostrado na figura 5.17. A sua massa, igual a m no instante t, aumenta m no intervalo de tempo t. A velocidade do sistema no instante t representa-se por vr , a velocidade desse sistema no instante t+t por vv rr + e a velocidade das partculas absorvidas por absv

r . De modo a ser possvel aplicar-se o princpio do impulso e da quantidade de movimento ao sistema em estudo, deve considerar-se no instante t o sistema inicial mais as partculas de massa m, que so absorvidas pelo sistema durante o intervalo de tempo t.

Figura 5.17 Sistema com absoro de massa.

A quantidade de movimento no instante t :

)()()( tvmtvmtp absrrr += (5.61)


180

enquanto que no instante t+t : [ ]( )tttvtvmmttp +++=+ ,)()()( rrr (5.62)

Aplicando o teorema do impulso entre os instantes t e t+t, vem:

[ ] )()()(1

, tpttpdttFIn

i

tt

tittt

rrrr +== =

++ (5.63)

para valores de t pequenos, tem-se:

ttFdttF itt

ti

+)()(

rr (5.64)

substituindo na equao (5.63) vem:

)()()(1

tpttpttFn

ii

rrr +==

(5.65)

como,

)()()( vvmmttp rrr ++=+ (5.66) absvmvmtp

rrr +=)( (5.67) substituindo as expresses (5.66) e (5.67) em (5.65) fica:

)()()(1

abs

n

ii vmvmvvmmtF

rrrrr +++==

absn

ii vmvmvmvmvmvmtF

rrrrrrr +++==1

vmvvmvmtF absn

ii

rrrrr ++==

)(1

(5.68)

Introduzindo a velocidade relativa das partculas que so absorvidas:

vvv absrrrr = (5.69)

e desprezando o ltimo termo da equao (5.68), vm r , que de segunda ordem, vem:

Captulo 5

181

rn

ii vmvmtF

rrr ==1

(5.70)

Dividindo por t e, depois, fazendo t tender para zero, tem-se no limite:

= = rtn

ii vt

mtvmF rrr

01lim

rn

ii vdt

dmdtvdmF rrr =

=1

amvdtdmF r

n

ii

rrr =+=1

(5.71)

Esta expresso mostra que o efeito da absoro de massa equivalente actuao de uma fora igual a rvdtdm

r com sentido contrrio ao do movimento. Ou seja, a fora devida absoro de massa tende a reduzir a velocidade do sistema. Uma vez que:

vvvvv absrabsrrrrr =< (5.72)

ento a velocidade relativa das partculas a absorver tem sentido contrrio velocidade do sistema. Por isso, a fora adicional rvdtdm

r conduz reduo da velocidade do sistema.

5.10.2 Sistemas materiais com perda de massa

As equaes obtidas no ponto anterior podem tambm utilizar-se para determinar o movimento de um sistema com perda massa. Neste caso, o caudal mssico e a aco, sobre o sistema das partculas que so expelidas so equivalentes fora de propulso com sentido do movimento, oposto quele em que as partculas so expelidas. Um foguete representa um caso tpico de um sistema que perde continuamente massa.

Assim, neste caso tem-se, respectivamente, as seguintes quantidades de movimento nos instantes t e t+t: vmmtp rr += )()( (5.73) absvmvvmttp

rrrr ++=+ )()( (5.74)


182

substituindo as expresses (5.73) e (5.74) em (5.65) fica:

vmmvmvvmtpttptF absn

ii

rrrrrrr +++=+==

)()()()(1

vmvmvmvmvmtF absn

ii

rrrrrr ++==1

)(1

vvmvmtF absn

ii

rrrr +==

(5.75)

Considerando a definio de velocidade relativa das partculas que so expulsas, ver expresso (5.69), e dividindo por t, fazendo depois t tender para zero, tem-se no limite:

+

= = rtn

ii vt

mtvmF rrr

01lim

rn

ii vdt

dmdtvdmF rrr +=

=1

amvdtdmF r

n

ii

rrr ==1

(5.76)

A expresso (5.76) mostra que o efeito da perda de massa equivalente actuao de uma fora igual a rvdtdm

r com o mesmo sentido do movimento. Exemplo de aplicao

Captulo 5

183


184

5.11 MOMENTO CINTICO DE UM SISTEMA DE PARTCULAS

MATERIAIS

5.11.1 Definio

O momento cintico de um sistema de partculas materiais em qualquer ponto fixo do espao a soma vectorial dos momentos cinticos nesse ponto de todas as partculas ou massas elementares do sistema nesse instante.

Considerando o ponto fixo identificado por O, tem-se:

para sistemas discretos:

===

=== ni

iii

n

iii

n

iiOO vrmprtHtH

111, )()(

rrrrrr (5.77)

para sistemas contnuos:

==MP

O dmvrpdrtHrrrrr

r)( (5.78)

5.11.2 Teorema da composio do momento cintico

Considere-se um referencial absoluto em relao ao qual se estuda a dinmica de um sistema de partculas discreto, e um referencial baricntrico Gx'y'z' em translao em relao ao referencial absoluto.

O vector posio irr pode ser expresso pela

seguinte soma vectorial: Figura 5.18 Composio do momento cintico.

)(')()( trtrtr iGirrr += (5.79)

em que, Grr o vector posio do centro de massa e ir '

r o vector posio da partcula i em relao ao referencial baricntrico Gx'y'z'.

Derivando o vector posio irr em ordem ao tempo:

Captulo 5

185

dtrd

dtrd

dtrd iGi '

rrr+= iGi vvv 'rrr += (5.80)

onde,

dtrdv GGrr = a velocidade do centro de massa em relao ao referencial

absoluto newtoniano. Como o sistema de partculas rgido, igual velocidade de qualquer dos seus pontos se o sistema apenas possusse movimento de translao.

dtrdv ii

''rr = a velocidade da partcula i em relao a um referencial

baricntrico.

A expresso (5.80) caracteriza instantaneamente o teorema da composio das velocidades, j referido na cinemtica de sistemas de partculas, segundo o qual em qualquer instante a velocidade iv

r de qualquer partcula i de um sistema de partculas em movimento a soma vectorial instantnea das suas velocidades vectoriais e instantneas de transporte (traduzida por Gv

r ) e relativa (traduzida por iv '

r ).

Retomando a definio do momento cintico:

=

= ni

iiiO vrmtH1

)( rrr

(5.81)

ele pode ser escrito, atendendo s (5.79) e (5.80), por:

=

++= ni

iGiGiO vvrrmtH1

)'()'()( rrrrr

====

+++= ni

iii

n

iiGi

n

iGii

n

iGGiO vrmvrmvrmvrmtH

1111'''')( rrrrrrrr

r (5.82)

(1) GGn

iiGG

n

iGGi vrMmvrvrm

rrrrrr == == 11

)(

(2) O centro de massa em relao a um referencial baricntrico tem coordenadas nulas e traduzido por:

(1) (2) (3) (4)


186

0'0'

1

1rrr

rr ==

=

==

n

iii

n

iii

G rmM

rmr

logo 00'1

rrrrr ===

GG

n

iii vvrm , ou seja, o segundo termo da soma nulo.

(3)

==

=

==

===

===

n

i

iiiiii

n

i

iiG

n

iiiG

n

iiGi

dtrdmrm

dtdrm

dtrdmrvmrvrm

1

n

1i

n

1i

111

0'0'0' viu,se como

'''

rrrrrr

rrrrrr

0'1

rrr ==

i

n

iGi vrm , portanto tambm o terceiro termo da soma nulo.

(4) Gn

iiii Hvrm

rrr ==1

'' , ou seja, corresponde ao momento cintico em relao ao

centro de massa.

Portanto, o momento cintico em relao ao ponto O pode ser obtido a partir do momento cintico em relao ao centro de massa, pela seguinte expresso:

)()()()()()( , tvtrMtHtHtHtH GGGGOGOrrrrrr +=+= (5.83)

Esta expresso traduz o teorema da composio do momento cintico, segundo o qual, em qualquer instante o momento cintico de um sistema de partculas num ponto fixo qualquer O igual soma vectorial do momento cintico do sistema em relao ao centro de massa, GH

r, com o momento cintico em relao ao ponto fixo

de uma partcula de massa igual massa total M do sistema, localizada no centro de massa e movendo-se com uma velocidade igual velocidade do centro de massa.

5.11.3 Teorema do momento cintico

Considerando o sistema de partculas definido no ponto anterior e a definio do momento cintico,

=

= ni

iiiO vrmtH1

)( rrr

(5.84)

Captulo 5

187

derivando em ordem ao tempo vem:

( )

=

==

+=

==

=

n

i

ii

i

n

iii

n

iiii

O

dtpdrp

dtrd

prdtdvrm

dtd

dtHd

1

11

rrrr

rrrrr

(5.85)

(1) os vectores dtrd ir e ip

r so colineares, por isso, o seu produto vectorial nulo;

(2) de acordo com a segunda lei de Newton, dtpdF iirr =

ento:

=

= ni

iiO Fr

dtHd

1

rrr

(5.86)

Esta expresso traduz o teorema do momento cintico, segundo o qual, em qualquer instante a derivada do momento cintico de um sistema de partculas em relao a qualquer ponto fixo O igual soma vectorial dos momentos, nesse ponto, de todas as foras exteriores aplicadas ao sistema nesse instante, ou seja, igual ao momento no ponto fixo do torsor das foras exteriores aplicadas ao sistema de partculas nesse instante.

5.11.4 Princpio da conservao do momento cintico

Num sistema isolado, isto , se no houverem foras exteriores aplicadas, ento a derivada do momento cintico em qualquer ponto e em qualquer instante nula.

=== =

000 Se1

rrrrrr n

ii

Oi rdt

HdF

constante0 Se == Oi HFrrr

(5.87)

(1) (2)


188

Isto traduz o princpio da conservao do momento cintico, segundo o qual, num sistema isolado (no actuado por foras exteriores) o momento cintico do sistema calculado em qualquer ponto do espao permanece constante no tempo.

A esta invariabilidade temporal do momento cintico em sistemas isolados poder estar associado um valor constante diferente de zero. A estas duas hipteses correspondem duas situaes distintas de movimento de um sistema de partculas, conforme se ver a seguir.

5.12 CONDIES GERAIS DE EQUILBRIO DE UM SISTEMA DE

PARTCULAS

Nos sub-captulos anteriores viu-se que se for nula a resultante das foras exteriores aplicadas a um sistema de partculas, o seu movimento ser tal que o centro de massa estar em equilbrio.

Como se viu, pelo teorema do centro de massa tem-se:

Gn

ii aMFtF

rrr == =1

)( (5.88)

Se 0rr =F 0rr =Ga , ento:

o centro de massa est em repouso; ou,

o centro de massa tem um movimento rectilneo e uniforme.

Tal como foi referido anteriormente, a equao

01

rrr ===

G

n

ii aMF (5.89)

representa apenas uma condio necessria de equilbrio de um sistema de partculas, pois que do anulamento das foras exteriores (ou da sua resultante) apenas fica assegurado o equilbrio do ponto fictcio centro de massa.

Captulo 5

189

Note-se que o centro de massa, G, poder estar em equilbrio sem que o sistema de partculas esteja em equilbrio, pois ele poder ter ainda movimento de rotao em torno de qualquer eixo que passa pelo centro de massa.

Por definio de equilbrio, condio necessria e suficiente para que um sistema de partculas materiais esteja em equilbrio, que todas as partes constituintes (ou seja, todas as partculas) estejam em equilbrio. Portanto, a condio necessria e suficiente de equilbrio implica que todas as partculas estejam em repouso ou em movimento rectilneo e uniforme.

Portanto, um sistema est em equilbrio nas seguintes duas situaes:

1) Todas as partculas esto em repouso:

condio necessria de equilbrio:

0001

rrrrrrrr ===== =

G

n

iiii aMFFavi (5.90)

condio suficiente de equilbrio:

0)(

00)(0

1

11

rrrr

rrrrrrrr

==

====

=

==

n

iii

O

n

iii

n

iiiiOi

Frdt

tHd

rmvrmtHvi

(5.91)

2) Todas as partculas esto em movimento rectilneo e uniforme:

condio necessria de equilbrio:

0001

rrrrrrrr ===== =

G

n

iiii aMFFavi (5.92)

condio suficiente de equilbrio:

0)(constante)(01

rrrrrrr ==== = dt

tHdvrmtHvi On

iiiiOi (5.93)


190

Em resumo:

0rrr == GaMF representa a condio necessria de equilbrio e significa ausncia de translao do centro de massa, isto , o centro de massa est em equilbrio.

0)(1

rrrr

== =

n

iii

O Frdt

tHd

representa a condio suficiente de equilbrio e significa ausncia de rotao do sistema de partculas materiais em torno de qualquer ponto O.

5.13 ENERGIA CINTICA DE UM SISTEMA DE PARTCULAS

A energia cintica T de um sistema de partculas define-se como a soma das energias cinticas das vrias partculas do sistema:

=

= ni

ii vmT1

2

21

(5.94)

Figura 5.19 Energia cintica de um sistema de partculas.

Para o clculo da energia cintica de um sistema compreendendo um vasto nmero de partculas (como o caso de um corpo rgido) torna-se, muitas vezes, conveniente considerar o movimento do centro de massa, G, do sistema separadamente do movimento relativo ao sistema de referncia (baricntrico) ligado a G.

Conforme se viu na seco 5.11.2, a velocidade ivr da partcula Pi

relativamente a um referencial newtoniano Oxyz, pode ser obtido pela soma vectorial da velocidade de translao Gv

r do centro de massa do sistema e da velocidade iv '

r relativamente ao referencial baricntrico Gx'y'z':

iGi vvv 'rrr += (5.95)

Atendendo a que iii vvvrr =2 , ento:

Captulo 5

191

= =

n

iiii vvmT

1)(

21 rr

++= =

n

iiGiGi vvvvmT

1)'()'(

21 rrrr

===

++= ni

ii

n

iiGi

n

iGi vmvvmvmT

1

2

11

2 '21'2

21

21 rrr (5.96)

Como,

==

= ni

iiG

n

iiGi vmvvvm

11''2

21 rrrr (5.97)

mas,

21

'' Gn

iii vMvm

rr ==

(5.98)

em que Gv 'r a velocidade de G relativamente ao referencial baricntrico Gx'y'z',

que nula (a velocidade relativa de G em relao ao referencial que se move com velocidade Gv

r nula). Logo,

00''11

=== ==

rrrrrrG

n

iiiG

n

iiGi vvmvvvm (5.99)

ento a energia cintica, definida na expresso (5.96), vem:

+= ==

n

iii

n

iiG vmmvT

1

2

1

2 '21

21 r

=

+= ni

iiG vmvMT1

22 '21

21 r

(5.100)

Esta equao mostra que a energia cintica T de um sistema de partculas pode obter-se adicionando a energia cintica do centro de massa G (supondo que toda a massa est concentrada em G) com a energia cintica do sistema durante o seu movimento em relao ao referencial baricntrico Gx'y'z'.


192

5.13.1 Energia cintica de um sistema de partculas contnuo

A equao (5.100) traduz a energia cintica de um sistema de partculas. No entanto, para sistemas contnuos, a energia cintica traduzida por uma expresso alternativa que resulta da interpretao da velocidade relativa iv '

r .

Tratando-se de um sistema em que as partculas esto rigidamente ligadas entre si, a velocidade relativa da partcula Pi pode ser obtida pelo seguinte produto vectorial:

Figura 5.20 Energia cintica de um sistema contnuo.

iii rdtrdv ''' rrrr == (5.101)

em que ir 'r o vector posio em relao ao referencial baricntrico, com grandeza

constante, porque o sistema rgido. Logo, atendendo equivalncia entre os operadores matemtico dtd e mecnico v , quando aplicados a um vector varivel no tempo mas de grandeza constante, a igualdade definida em (5.101) vlida.

Desta forma, a energia cintica do sistema pode ser obtida considerando a segunda parcela da soma definida na expresso (5.100) como sendo a energia cintica devida ao movimento em relao ao referencial baricntrico, definida por:

== ==

n

iiii

n

iii rrmvm

11

2 )'()'(21'

21 rrrrr

== =

n

iiii rurum

1)'()'(

21 rrrr

=

= ni

iii rurum1

2 )'()'(21 rrrr

=

= ni

Gi idm

1

22

21 (5.102)

222 ')'(iGii

druru == rrrr

Captulo 5

193

como o momento de inrcia de massa em relao ao eixo baricntrico G dado por:

=

=n

iGi iG

dmI1

2 (5.103)

substituindo na expresso (5.102) vem:

21

2

21'

21 =

= GIvmni

iir (5.104)

Portanto, a energia cintica de um sistema de partculas rigidamente ligadas entre si pode ser definida como:

)(21)(

21)( 22 tItvMtT

GG+= (5.105)

em que,

)(21 2 tvM G corresponde energia cintica de translao do sistema de

partculas, isto , identifica-se com a energia cintica do seu centro de massa.

)(21 2 tI

G corresponde energia cintica de rotao do sistema de

partculas em relao a um eixo baricntrico G relativamente ao qual o sistema roda instantaneamente com velocidade angular (t).

5.14 TEOREMA DAS FORAS VIVAS OU TEOREMA DA VARIAO

DA ENERGIA CINTICA DE UM SISTEMA DE PARTCULAS

No captulo 4, dinmica das partculas, viu-se que, de acordo com o teorema das foras vivas, o trabalho realizado pela fora iF

r, aplicada massa mi, para

deslocar do ponto A para o ponto B, igual variao da energia cintica da partcula:

( ) ( ) ( )iAiBBA

iiB

A TTrdFW == rr (5.106)


194

Num sistema de partculas materiais, este princpio pode aplicar-se a cada partcula Pi do sistema, em que ( )iBAW representa o trabalho realizado pelas foras internas jif

r e pela resultante das foras externas iF

r que actuam sobre Pi.

Adicionando as energias cinticas das vrias partculas do sistema e considerando o trabalho de todas as foras envolvidas, pode aplicar-se a equao (5.106) a todo o sistema:

( ) ( ) ( ) ( ) === ====

n

iiA

n

iiB

n

i

B

Ai

n

ii

BAsistema

BA TTrdFWW

1111

rr

( ) ( ) ( ) ( ) ==+ ==

AB

n

iiA

n

iiB

BAext

BA TTTTWW

11.int.

( ) ( ) ABBAextBA TTWW =+ .int. (5.107) em que,

( ) .extBAW trabalho realizado pelas foras exteriores; ( )intBAW trabalho realizado pelas foras interiores. Na mecnica dos corpos rgidos (slidos indeformveis), as partculas no se

deslocam entre si, logo as foras interiores, jifr

e ijfr

, no realizam trabalho, portanto, o trabalho realizado pelas foras interiores, ( )intBAW , nulo: Corpos indeformveis: ( ) ABextBA TTW =. (5.108)

Exemplo de aplicao

Captulo 5

195


196

5.15 MOVIMENTO DE ROTAO DE UM CORPO RGIDO EM TORNO

DE UM EIXO FIXO

Quando um corpo rgido obrigado a rodar em torno de um ponto fixo O, prefervel escrever uma equao que envolva os momentos, em relao a O, das foras aplicadas, uma vez que esta equao no conter a reaco desconhecida existente em O.

Recorde-se que, de acordo com o teorema do momento cintico (ver 5.11.3), o momento no ponto fixo O do torsor das foras exteriores aplicadas ao sistema num dado instante igual derivada temporal do momento cintico:

)()()()(1

tMtFtrdt

tHdO

n

iii

Orrr

r==

= (5.109)

onde )(tM Or

o momento axial no ponto O devido ao torsor resultante das foras exteriores aplicadas.

Neste sub-captulo sero definidas as equaes de equilbrio de um corpo rgido com movimento de rotao em torno de um eixo fixo, tendo em conta o conceito de momento axial de um torsor e a determinao da sua energia cintica.

5.15.1 Movimento de rotao em torno de um eixo fixo qualquer

Considere-se um corpo indeformvel efectuando um movimento de rotao em torno de um eixo que passa pelo ponto O. Sendo o eixo de rotao, ento qualquer ponto que se encontre sobre esse eixo ter velocidade nula:

= OvO ;0rr (5.110)

Figura 5.21 Rotao em torno de um eixo qualquer.

A velocidade em qualquer ponto do corpo fora do eixo de rotao pode ser obtida em funo da velocidade angular dada por:

Captulo 5

197

OtPtrtrttv iiii == )()(;)()()( rrrr (5.111) O momento cintico, OH

r, em relao ao ponto fixo O ser:

== ==

n

iiii

n

iiOO tvtrmtHtH

11, )()()()(

rrrr

( ) )(1

=

== urrmH ni

iiiOrrrrrr

( )=

=n

iiiiO rurmH

1

rrrr (5.112)

Projectando o vector momento cintico OHr

na direco do eixo de rotao vem:

( ) =

== ururmuHH ni

iiiOrrrrrr

1

)( BACCBArrrrrr = ( ) =

=

n

iiii rurumH

1

rrrr

( )=

=n

iii rumH

1

2rr (5.113)

como,

iiiiii drruru === sen1senrrrr (5.114) em que di a distncia da partcula Pi ao eixo .

Figura 5.22 Distncia da partcula Pi ao eixo .

ento,

( ) 22 ii dru = rr (5.115) logo, substituindo em (5.113) vem:

=

=n

iii dmH

1

2 (5.116)

tendo em conta que o momento de inrcia de massa em relao ao eixo :

Ar

Br

Cr


198

=

=n

iii dmI

1

2 (5.117)

ento a componente do momento cintico em relao ao ponto O segundo o eixo dada por:

= IH (5.118) De acordo com o teorema do momento cintico, o momento axial do torsor em

torno do eixo igual derivada temporal do momento cintico em relao a :

( ) 22

dtdI

dtdII

dtd

dtdHM ====

= IM (5.119) Esta a equao governativa do movimento de rotao dum corpo rgido em torno de um eixo qualquer , que traduz o princpio fundamental da dinmica escalar da rotao de um corpo rgido.

O correspondente princpio fundamental da dinmica em termos vectoriais da rotao de um corpo rgido :

=Mv

== uIudtdIuM rrr 2

2 r= I (5.120)

Existe uma analogia entre o princpio fundamental da dinmica vectorial de rotao de um sistema de partculas e o princpio fundamental da dinmica vectorial de translao, o qual expresso, como se sabe, pela segunda lei de Newton atravs de:

22

dtrdmamFrrr == (5.121)

(Daqui se constata que I uma medida da inrcia de rotao).

Se o movimento de rotao se der em torno de um eixo qualquer no baricntrico, ento a velocidade do centro de massa ser:

)()()( trttv GGrrr = (5.122)

Captulo 5

199

e uma acelerao dada por:

dt

trdttrdt

tddt

tvdta GGGG)()()()()()(

rrrrrr +==

)()()()()( tvttrtta GGG rrrrr += (5.123) Isto significa que o centro de massa est em movimento acelerado. E, de acordo, com o teorema do centro de massa, a equao de equilbrio dinmico de translao dada por:

)()()(1

taMtFtF Gn

ii

rrr == =

(5.124)

sendo )(taGr a acelerao associada ao centro de massa, que obtida pela expresso

(5.123).

Assim, as equaes de equilbrio dinmico de um corpo rgido em movimento de rotao em torno de um eixo qualquer no baricntrico so:

- equilbrio de translao: )()()(1

taMtFtF Gn

ii

rrr == =

- equilbrio de rotao: )()( tItM rv =

5.15.2 Movimento de rotao em torno de um eixo baricntrico

Utilizando um raciocnio idntico ao anterior e considerando que o eixo de rotao passa pelo centro de massa, G, encontrar-se-ia sucessivamente:

GGIttH = )()( r

r (5.125)

)()()(

)( 22

tIdt

tdIdt

tHdtM

GG

G

G r

rr === (5.126)

Neste caso, a velocidade do centro de massa nula (porque o eixo de rotao baricntrico) e, por consequncia, a acelerao do centro de massa nula:

0)()()()()(rrrrrr =+= tvttrtta GGG (5.127)

colineares, logo = 0r

= 0r


200

Logo, a resultante das foras exteriores nula porque:

001

rrrrr ==== =

MaMFF Gn

ii (5.128)

Todavia, existe um binrio resultante expresso por:

)()()( 22

tIdt

tdItMGGG

rr == (5.129)

Assim, as equaes de equilbrio dinmico de um corpo rgido em movimento de rotao em torno de um eixo qualquer baricntrico so:

- equilbrio de translao: 0)()(1

rrr == =

n

ii tFtF

- equilbrio de rotao: )()( tItMGG

rv =

5.15.3 Energia cintica do movimento de rotao

Conforme se viu em 5.13, a energia cintica de um sistema de partculas, ou em particular de um corpo rgido, decomposta na soma da parcela do movimento de translao do seu centro de massa e da parcela do movimento das restantes partculas relativamente ao centro de massa:

221

22

21

21'

21

21 +=+=

= GIvMvmvMT Gni

iiGr (5.130)

Esta expresso evidencia que a dinmica global do sistema analisada de modo equivalente pela dinmica de um sistema com caractersticas baricntricas (vG, IG). Portanto, mesmo que o sistema tenha um movimento global no baricntrico, a sua energia cintica calculada como a soma das duas referidas parcelas expressas em caractersticas baricntricas.

Mas, se o corpo tiver uma rotao no baricntrica em torno de um eixo , a velocidade do seu centro de massa Gv

r ser expresso por:

Figura 5.23 Rotao no baricntrica.

Captulo 5

201

)()()( trttv GGrrr = (5.131)

em que )(tr o vector rotao instantneo do corpo em torno do eixo e )(trGr o vector posio instantneo do centro de massa relativamente a qualquer ponto O localizado no eixo de rotao. Assim,

2222 )()()()( GGGGGG drururrv === rrrrrrrr (5.132) em que dG a distncia do baricentro G ao eixo ou, alternativamente, a distncia dos eixos paralelos e G.

Portanto, atendendo s expresses (5.130) e (5.132), para qualquer movimento geral de rotao no baricntrica, a energia cintica dada por:

22221

21 += GIdMT G

( ) 2221 += GIdMT G (5.133)

Pelo Teorema de Steiner, sabe-se que o momento de inrcia de massa I em relao ao eixo de rotao obtido a partir do momento de inrcia de massa IG em relao ao eixo baricntrico G, paralelo ao eixo , pela seguinte relao: 2GdMII G += (5.134)

substituindo na expresso (5.133) vem:

221 = IT (5.135)

Portanto, para rotaes no baricntricas, a energia cintica do corpo dada por:

)(21)(

21)(

21)( 222 tItItvMtT

GG =+= (5.136)


202

5.16 EXTENSO DO PRINCPIO DE D'ALEMBERT AO MOVIMENTO

DE UM CORPO RGIDO

No estudo da dinmica da partcula, visto no captulo anterior, verificou-se que o Princpio de D'Alembert recorria a uma fora fictcia (designada de fora de inrcia) para estabelecer o equilbrio dinmico da partcula em movimento como se tratasse de um equilbrio esttico:

)(;0 inrciainrcia1

amFFFn

kk

rrrrr ==+=

(5.137)

Um sistema de partculas materiais tem, geralmente, para alm de movimentos de translao, movimentos de rotao. Deste modo, existe, como se viu, um princpio fundamental da dinmica para a translao do corpo e um princpio fundamental da dinmica para a rotao do corpo.

De igual modo, existir o princpio de D'Alembert para formular o equilbrio dinmico instantneo associado translao e o princpio de D'Alembert para formular o equilbrio dinmico instantneo associado rotao:

Princpio de D'Alembert verso translao

Gn

iii

n

ii aMamF

rrr == == 11

)(;0 inrciainrcia1

G

n

ii aMFFF

rrrrr ==+=

(5.138)

Princpio de D'Alembert verso rotao

rrrr == =

IFrM ni

ii1

)(;0 inrciainrcia rrrrr ==+ IMMM (5.139)

Assim, segundo este princpio, em qualquer instante nulo o momento das foras sobre um corpo em movimento, calculado em qualquer ponto P do espao, quando nessa soma de momentos est includo o momento das foras de inrcia.

Captulo 5

203

5.17 CONSIDERAES FINAIS SOBRE O TEOREMA DO IMPULSO

Viu-se anteriormente que o teorema do impulso pode ser caracterizado de duas formas diferentes:

1 forma) O impulso exercido pelas foras aplicadas a um sistema de partculas durante um intervalo de tempo [t1, t2] igual diferena entre as quantidades de movimento nos instantes t2 e t1:

[ ] )()()( 12,2

1

21tptpdttFI

t

ttt

rrrr == (5.140) 2 forma) Quando um sistema se encontra sob a aco de foras durante um

certo intervalo de tempo [t1, t2], a quantidade de movimento final, )( 2tp

r , do sistema pode obter-se pela soma vectorial da sua quantidade de movimento inicial, )( 1tp

r , com o impulso exercido pelas foras aplicadas durante o intervalo de tempo considerado.

+= 21

)()()( 12t

t

dttFtptprrr (5.141)

Uma terceira forma corresponde a uma extenso da segunda, aplicvel a sistemas de partculas e que permite caracterizar instantaneamente as caractersticas do movimento de rotao do sistema de partculas:

[ ]

+= 21

)()()( 12t

tpp dttFtpmtpm

rrr (5.142)

em que mp[...] representa o momento das foras indicadas entre parntesis recto em relao origem do sistema de eixos de referncia.

Como o momento da quantidade de movimento corresponde ao momento cintico, [ ])()( tpmtH pP rr = , ento: [ ]( )21 ,12 )()( ttppp ImtHtH rrr += (5.143) que traduz o princpio da conservao da quantidade de movimento verso rotao.


204

A expresso anterior poderia tambm ser definida atravs da considerao da definio de momento ( xrxmP

rrr =)( ):

se += 21

)()()( 12t

t

dttFtptprrr (5.144)

ento

+= 21

)()()( 12t

t

dttFtprtprrrrrr

[ ]21 ,12 )()( ttIrtprtprrrrrrr += (5.145)

Esta expresso equivalente expresso (5.143).

Habitualmente, o ponto P escolhido de modo a anular os momentos das foras impulsivas sobre o sistema de partculas (frequentemente desconhecidos).

Figura 5.24 Rotao em torno do ponto P.

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