ESCOLA POLITCNICA DA UNIVERSIDADE DE SO PAULO

Departamento de Engenharia Mecnica

PME 2100 MECNICA A Prova P1 31 de agosto de 2010

Durao da Prova: 100 minutos (no permitido o uso de calculadoras)

QUESTO 1 (3 pontos). Considerando-se a estrutura OABC sujeita ao

sistema de foras indicado na figura ao lado, onde FFi =r

(para

i = 1,2,3), pede-se: (a) calcular a resultante do sistema de foras; (b) calcular o momento do sistema de foras em relao ao polo O; (c) verificar se o sistema de foras redutvel a uma nica fora; (d) determinar o momento mnimo do sistema de foras e o seu eixo

central. QUESTO 2 (3 pontos). A figura mostra um suporte AOB vinculado a uma parede vertical pela articulao A e pelo apoio simples bilateral O. A barra CD, de comprimento L, presa na extremidade C a uma articulao, enquanto a extremidade D est inserida em um rasgo horizontal TU sem atrito. extremidade D aplicada uma fora F horizontal. Supondo que todas as peas tenham peso desprezvel, pedem-se: (a) as reaes vinculares em A e O; (b) as reaes vinculares em C e D.

QUESTO 3 (3 pontos). Para a trelia da figura, calcular: (a) as reaes vinculares; (b) as foras nas barras, indicando se so de trao ou

compresso.

QUESTO 4 (1 ponto). Um suporte AOB em forma de L, com lados iguais a l , possui um rasgo horizontal TU de comprimento 2l conforme indicado na figura ao lado. Admitindo que o peso por unidade de comprimento dos segmentos AO e OB seja e que uma pea feita com o mesmo material e as mesmas dimenses do rasgo TU teria peso igual a

83 l , determinar a posio do baricentro do suporte.

L

L/2

L

A

B O

U T

C

D

Fr

3P

6P

3L

4L4L

AB

C DE

l

2l

A

O B

l

4l

U T

y

x

45a

23a

a2

z

y

x 1Fr

3Fr

2Fr

O

C

B

A

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Departamento de Engenharia Mecnica

PME 2100 MECNICA A Prova P1 31 de agosto de 2010

RESOLUO

QUESTO 1 (3 pontos). Considerando-se a estrutura OABC sujeita ao

sistema de foras indicado na figura ao lado, onde FFi =r

(para i =

1,2,3), pede-se: (a) calcular a resultante do sistema de foras; (b) calcular o momento do sistema de foras em relao ao plo O; (c) verificar se o sistema de foras redutvel a uma nica fora; (d) determinar o momento mnimo do sistema de foras e o seu eixo

central.

(a) iFFrr

=1 , iFFrr

=2 e kFFrr

=3

++= 321 FFFRrrrr

kFRrr

= (0,5)

(b) ( ) ( ) ( ) ++= 321 FOBFOCFOAMOrrrr

( )

++

++= kFk

aiaiFj

ak

aiaiFiaMO

rrrrrrrrrr

2

32

4

5

2

322 k

Faj

FaMO

rrr

4

5

2+=

(1,0)

(c) Invariante escalar 4

5.

2aF

RMI O ==rr

(0,5)

Como 0rr

R e 0I , o sistema redutvel a uma fora e um binrio

(d) Valor do momento mnimo:

= RRR

RMM OE

rrr

rrr

.

.k

FaM E

rr

4

5= (0,5)

Eixo de momento mnimo

( ) += RRR

MROE O

rrr

rr

.

kFia

Err

+=2

(0,5)

45a

23a

a2

z

y

x 1Fr

3Fr

2Fr

O

C

B

A

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Departamento de Engenharia Mecnica

QUESTO 2 (3 pontos). A figura mostra um suporte AOB vinculado a uma parede vertical pela articulao A e pelo apoio simples bilateral O. A barra CD, de comprimento L, presa na extremidade C a uma articulao, enquanto a extremidade D est inserida em um rasgo horizontal TU sem atrito. extremidade D aplicada uma fora F horizontal. Supondo que todas as peas tenham peso desprezvel, pedem-se: (a) as reaes vinculares em A e O; (b) as reaes vinculares em C e D. (a) Diagrama de corpo livre do sistema

Equaes de equilbrio

00 =+= FXXF OAx

(0,5) = 0yF 0=AY (0,5)

== 00 FLLXM OA FXO = 0=AX (0,5)

(b) Diagrama de corpo livre da barra CD Equaes de equilbrio

== 00 FXF Cx FXC =

(0,5) 00 =+= DCy YYF (0,5)

0cos0 == FLsenLYM DC , onde 21

cos = e

2

3=sen 3FYD = 3FYC = (0,5)

Alternativamente:

0cos0 == FLsenLYM DC , onde 21

cos = e

2

3=sen 3FYD =

cos

FRC

= FRC 2=

L

L/2

L

A

B O

U T

C

D

Fr

XA

YA

XO F

F

YD

XC

YC

F

YD

RC

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QUESTO 3 (3 pontos). Para a trelia da figura, calcular: (a) as reaes vinculares; (b) as foras nas barras, indicando se so de trao ou compresso.

(a) Como, para equilbrio, os esforos na barra CD so na direo CD, 0=CY

3P

6P

AB

C DE

XA

YA

XC

Equilbrio global da trelia:

00 =+= CAx XXR == 0360 PPYR Ay PYA 9=

== 0834630 LPLPLXM ACz PX A 16= PXC 16= (1,0)

(b) (1,0)

3P

6P

A B

XD E

A

B

B

BA

C

D

DD

D

E

EC

XA

YA

C

FAB FAB

FBEF

AD

FAD

FCD

FCD

FBD

FBD

FDE

FDE

FBE

Equilbrio do n C:

00 =+= CDCx FXR PFCD 16= (compresso)

Equilbrio do n A:

05

40 =++= ADABAx FFXR

05

30 =+= ADAy FYR

PFAD 15= (trao) PFAB 4= (trao)

Equilbrio do n D:

05

40 =+= ADDECDx FFFR

05

30 =+= ADBDy FFR

PFDE 4= (compresso) PFBD 9= (compresso)

Equilbrio do n B:

05

40 =+= BEABx FFR

05

360 == BEBDy FFPR

PFBE 5= (trao)

(1,0)

3P

6P

3L

4L4L

AB

C DE

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QUESTO 4 (1 ponto). Um suporte AOB em forma de L, com lados iguais a l , possui um rasgo horizontal TU de comprimento 2l conforme indicado na figura ao lado. Admitindo que o peso por unidade de comprimento dos segmentos AO e OB seja e que uma pea feita com o mesmo material e as mesmas dimenses do rasgo TU teria peso igual a

83 l , determinar a posio do baricentro do suporte.

+=

++=

28

3

20

8

3 llll

gx

lll

gxmxmxmxm GGTUGOBGAOGtotal TUOBAO

26

5lxG = (0,5)

++

=

++= 00

28

3 ll

gy

lll

gymymymym GGTUGOBGAOGtotal TUOBAO

13

4lyG = (0,5)

l

2l

A

O B

l

4l

U T

y

x