Mecânica dos Fluidos

Conservação da massa

Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.

Programa da aula

Revisão Sistema, volume de controle e

superfície de controle Teorema do transporte de Reynolds

Equação da conservação da massa;

Casos Especiais;Exercícios.

Sistema

É uma quantidade de matéria de massa e identidade fixa, que escolhemos como objeto de estudo;

Esta quantidade de matéria está contida por uma fronteira através da qual não há fluxo de massa.

Volume de controle

É uma determinada região delimitada por uma fronteira onde uma determinada quantidade de matéria é observada.

Exemplo:

Superfície de controle

É a fronteira (contorno geométrico) de um volume de controle.

Superfície de controle s.c.

O sistema e o volume de controle fixo

c.s

Vdan̂epropriedad da líquido fluxo

t

)t(N)tt(Nlim

Dt

DN sissist

0t

sis

t

)t(N)t(N)tt(N)tt(Nlim

Dt

DN 1223

0t

sis

t

)tt(N)tt(Nlim

t

)t(N)t(N)tt(N)tt(Nlim 13

0t

1212

0t

t

)tt(N)tt(Nlim

t

)t(N)tt(Nlim

Dt

DN 13

0t

C.VC.v

0t

sis

t

)tt(N)tt(Nlim

t

)t(N)tt(Nlim

Dt

DN 13

0t

C.VC.v

0t

sis

t

)tt(N)tt(Nlim

dt

dN

Dt

DN 13

0t

c.vsis

3A

33 tdAVn̂)tt(N 1A

11 tdAVn̂)tt(N

c.s

13 tdAVn̂)tt(N)tt(N

t

)tt(N)tt(Nlim

dt

dN

Dt

DN 13

0t

c.vsis

c.s

c.vsis VdAn̂dt

dN

Dt

DN

c.sc.v

sis VdAn̂Vddt

d

Dt

DN

Teorema de Transporte de Reynolds => Transformação sistema para volume de controle.

c.sc.v

sis VdAn̂Vddt

d

Dt

DN

Taxa de variação da propriedade extensiva no V.C

Fluxo da propriedade extensiva através da superfície de controle

≠ 0 somente aonde o fluido atravessa a superfície de controle

Conservação da massa

O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as formulações de sistema e volume de controle é o princípio da conservação de massa.

A massa de um sistema permanece constante. Em linguagem matemática:

0Dt

Dm

Sistema

Equação da conservação da massa

Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds:

Para deduzir a formulação para volume de controle da conservação de massa, fazemos:

SCVC

Sistema dAnVddt

d

Dt

DNˆ

1m

m

m

NmmassaN

1

mN

Equação da conservação da massa

Que substituídos na equação genérica do TTR fornece:

Da conservação da massa do sistema:

0Dt

DNSistema

SCVC

Sistema dAnVddt

d

Dt

DNˆ

Equação da conservação da massa

0ˆ SCVC

dAnVddt

d

Balanço Geral para a conservação da massa em um volume de controle

Variação interna da massa no V.C.

Fluxos de entrada e saída na S.C.

Casos Especiais Volume de controle não deformável:

m

jentrajjj

n

isaiiii

VC

AuAuddt

d

11

0

Entrada Saída

Volume de controle não deformável

Taxa de massaacumulada

Taxa de massaque sai

Taxa de massaque entra

Casos Especiais Escoamento permanente:

0ˆ SCVC

dAnVddt

d

Variação interna da massa no V.C.

Fluxos de entrada e saída na S.C.

0

0ˆ SC

dAnV

Casos Especiais Escoamento incompressível (propriedades do

fluido são constantes):

m

jentrajj

n

isaiii

VC

AuAuddt

d

11

0

m

jentrajj

n

isaiii AuAu

dt

d

11

0

Casos Especiais Escoamento incompressível (propriedades do

fluido são constantes); Regime permanente; Volume de controle não deformável:

m

1jentrajj

n

1isaiii AuAu

m

1jentraj

n

1isaii QQ

Caso mais simples

Entrada Saída

Volume de controle não deformável

A1, u1 A2, u2

2211 AuAu

21 QQ

Exercício 1 Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos conforme mostrado no diagrama. As áreas das seções são: A1 = 0,2 m2; A2 = 0,2 m2; A3 = 0,15 m2. O fluido também vaza para fora do tubo através de um orifício no ponto 4, com uma vazão volumétrica estimada em 0,1 m3/s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são u1 = 5 m/s e u3 = 12 m/s. Determine a velocidade do escoamento na seção 2.

Exercício 2 Um reservatório se enche de água por meio de duas entradas unidimensionais. A altura da água é h. (a) Encontre uma expressão para a variação da altura da água, dh/dt. (b) Calcule dh/dt para D1 = 25 mm, D2 = 75 mm, u1 = 0,9 m/s, u2 = 0,6 m/s e Ares = 0,18 m2, considerando a água a 20 ºC.

aberto

Exercício 3 Lista de exercícios