Mecânica e Ondas 1º Ano -2º Semestre 2º Teste/1º Exame 21 ...· Suponha que pretende efectuar

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Mecnica e Ondas 1 Ano -2 Semestre 2 Teste/1 Exame 21/06/2014 11:30h

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Durao do Teste (problemas 3, 4 e 5): 1:30h Durao do Exame: 2:30h Leia o enunciado com ateno. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema 1 (s Exame) Numa unidade industrial de produtos frutcolas pretende-se regular a inclinao de uma rampa em que frutos de diferentes dimenses rolam sem escorregar. Para regular convenientemente a rampa necessrio determinar o momento de inrcia de determinadas espcies de frutos (por exemplo meles) e, posteriormente regular a inclinao da rampa para obter o tempo de queda desejado. Considere, como hiptese de trabalho, que os frutos tm simetria em torno de um eixo de rotao e tm momento de inrcia dado pela expresso em a massa do fruto, o raio associado ao movimento de rotao (distncia entre o eixo de rotao e a superfcie da rampa) e uma constante adimensional que s depende da forma do fruto.

a) Mostre que a acelerao linear do centro de massa associada ao movimento de queda de um fruto de determinada espcie, que rola sem escorregar ao longo de uma rampa de inclinao , independente da massa e das dimenses do fruto, mas depende da respectiva forma, sendo dada por:

Sugesto: i) Determine a energia cintica e a energia potencial do fruto em funo da varivel (distncia entre a posio inicial do centro de massa, no topo da rampa, e a posio do mesmo num instante ) e da respectiva derivada . ii) Partindo das expresses da energia cintica e potencial escreva a equao diferencial do movimento, que lhe permitir obter a expresso de .

b) Para determinar o momento de inrcia de um determinado tipo de fruto, mede-se o intervalo de tempo, , que este demora a rolar ao longo de uma rampa de comprimento e inclinao , partindo do repouso. Qual a expresso que lhe permite calcular a constante (usada na expresso do momento de inrcia) em funo dos valores medidos de , , (e ).

Problema 2 (s Exame) Suponha que pretende efectuar exerccio fsico usando uma bicicleta em repouso (como num ginsio). Colocando a roda traseira num suporte, de forma que esta rode livremente, aplica com os pedais uma fora constante de mdulo igual a que se aplica atravs da corrente cremalheira da roda, de raio . Considere, como aproximao, que a roda da bicicleta uma aro ( ) com um raio de e uma massa .

a) Desprezando o atrito, determine a velocidade angular que a roda atinge, aps ter pedalado durante

6 segundos. b) Considera agora que a bicicleta se encontra em movimento conduzida por um ciclista, tendo as

rodas respectivas uma velocidade angular de . Se a massa total do conjunto bicicleta+ciclista for de e a massa da roda dianteira for igual da roda traseira, qual ser a energia cintica total da bicicleta.

Problema 3 (Teste e Exame)

Imagine que era escavado um tnel rectilneo que atravessava a Terra, como indicado na figura. Sendo a fora gravtica exercida sobre uma massa num ponto no interior da Terra dada por

em que um versor com a direco radial, a distncia ao centro da Terra, massa da Terra e

o raio da Terra.

a) Considere uma massa que pode deslizar sem atrito, no interior do tnel. Mostre que a componente da fora gravtica segundo (distncia ao centro do tnel) dada por:

b) Escreva a equao diferencial do movimento de um corpo pontual de massa colocado no interior do tnel e mostre que o respectivo perodo de oscilao dado por:

em que a acelerao da gravidade superfcie da Terra. Determine o valor de .

Problema 4 (Teste e Exame)

a) Determine a tenso com que deve ser afinada uma corda de violino com o comprimento de (entre extremidades fixas) e uma densidade linear de para produzir o som correspondente nota Sol de referncia (196 Hz) no modo fundamental. Qual o comprimento de onda (no ar) do som produzido por este violino? (velocidade do som no ar: .

b) Um violinista executa uma pea de msica numa carruagem ao ar livre enquanto esta se desloca a uma velocidade de . Qual o comprimento de onda e a frequncia do som que uma pessoa em repouso numa estao ouve quando o violinista produz a nota referida na alnea anterior nas seguintes situaes: i) quando o comboio se aproxima da estao; ii) quando o comboio se afasta da estao;

Problema 5 (Teste e Exame)

Numa coliso entre dois protes (um em movimento e outro em repouso no referencial do laboratrio) produzido um par proto ( ), anti-proto ( ) adicionais (o antiproto tem a mesma massa em repouso do que o proto).

No referencial do centro de massa (CM) os dois protes iniciais tm velocidades de igual mdulo e sentido contrrio (o momento linear total zero no referencial do CM). (represente as velocidades em funo de velocidade da luz c)

a) Qual a velocidade mnima que os protes devem ter no referencial do CM para que a reaco indicada seja possvel?

b) Mostre que a energia mnima do proto em movimento no referencial do laboratrio para produzir a reaco referida dada por

em que a massa do proto.

Sugesto: lembre-se que o proto em repouso no referencial do laboratrio desloca-se com a velocidade determinada na alnea a) relativamente ao referencial do CM (portanto, o referencial do CM desloca-se com esta velocidade em mdulo (e em sentido contrrio) no referencial do laboratrio); deste modo, repare que sabe: 1) a velocidade do referencial do CM relativa ao referencial do laboratrio; 2) a velocidade do proto em movimento relativa, ao referencial do CM ...

T

f

2

.2

amF

vmP

2

2

1mvT

dt

pdF

C

rdFW

UTL 0

ii q

L

dt

d

q

L

i

ii PrL

i

ii FrN

Ndt

Ld

IL

i

ii RmI2

2

2

1ITROT

UF

rer

MmGF

2

Solues Problema 1 a)

b)

Integrando a equao diferencial do movimento obtida na alnea a)

, obtemos

Sendo a posio e velocidade iniciais dadas por e , temos

Nas condies do problema, quando o objecto chega ao fim da rampa temos:

Problema 2 a)

Sendo , o que uma boa aproximao neste caso, temos

Uma vez que o momento da fora aplicada constante:

(uma vez que a velocidade angular inicial da roda nula)

b)

Ou

Problema 3

a)

=

b)

Esta equao do movimento uma equao do tipo

Caracterstica de um oscilador harmnico, sem atrito, cuja frequncia prpria (oscilaes livres)

Por outro lado, a acelerao da gravidade superfcie da Terra pode ser obtida, a partir de:

Substituindo na expresso de , obtemos:

Problema 4

a)

No modo fundamental

Por sua vez:

Logo

b)

Comprimento de onda observado quando a fonte se encontra em movimento:

quando a fonte se aproxima do observador (comboio aproxima-se da estao)

quando a fonte se afasta do observador (comboio afasta-se da estao)

No caso presente: ; ;

: quando a fonte se aproxima do observador

: quando a fonte se aproxima do observador

Ou, utilizando o valor de determinado na alnea a)

quando a fonte se aproxima do observador

quando a fonte se afasta do observador

Problema 5

a)

Velocidade mnima dos protes produzidos no referencial do CM (aps a coliso):

Energia mnima de cada proto (ou antiproto) produzidos no referencial do CM (aps a coliso):

Antes da coliso, uma vez que as partculas tm a mesma massa (e que a soma dos momentos lineares

nula no ref. do CM), as partculas tero velocidades com o mesmo mdulo e sentido contrrio. Logo:

b)

Uma vez que a partcula em repouso no laboratrio tem uma velocidade de mdulo

no

referencial do CM, esta ser a velocidade do CM (em mdulo) no referencial do laboratrio. Ou seja,

designando por o referencial do CM, a velocidade de relativamente ao referencial do laboratrio

ser:

A velocidade do proto em movimento no referencial do laboratrio, , ser dada pela composio das

velocidades entre a velocidade do referencial do CM (no ref. do Laboratrio) e da velocidade do proto

no referencial do CM, .

Utilizando o teorema da adio das velocidades:

Ou, considerando a situao limite aps a coliso, as quatro partculas esto em repouso no referencial do

CM e portanto tm cada uma, uma de velocidade

no referencial do laboratrio. Logo a energia total no

referencial do laboratrio (aps o choque) ser:

Logo, pelo princpio da conservao da energia:

A energia do proto em movimento no referencial do laboratrio ser dada pela diferena entre a energia

total e a energia do proto em repouso: