MECÂNICA VETORIAL PARA CAPÍTULO 2 EST ÁTICAsistemas.eel.usp.br/docentes/arquivos/5840793/LOM3099/resumo e... · • Vetores iguais têm a mesma intensidade e o mesmo sentido. •

MECÂNICA VETORIAL PARA

ENGENHEIROS: ESTESTÁÁTICATICA

Nona Nona EdiEdi ççãoão

Ferdinand P. BeerFerdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.E. Russell Johnston, Jr.

NotasNotas de Aula:de Aula:

J. Walt J. Walt OlerOler

Texas Tech UniversityTexas Tech University

CAPÍTULO

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2 Estática das Partículas


MecânicaMecânica VetorialVetorial parapara EngenheirosEngenheiros : : EstEst ááticatica

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Conteúdo

2 - 2

IntroduçãoResultante de Duas ForçasVetoresAdição de VetoresResultante de Várias Forças

ConcorrentesProblema Resolvido 2.1Problema Resolvido 2.2Componentes Retangulares de

uma Força: Vetores UnitáriosAdição de Forças pela Soma

dos Componentes

Problema Resolvido 2.3Equilíbrio de uma PartículaDiagramas de Corpo LivreProblema Resolvido 2.4Problema Resolvido 2.6Componentes Retangulares no EspaçoProblema Resolvido 2.7



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Introdução

2 - 3

• O objetivo desta parte é analisar o efeito de forças que atuam sobrepartículas:

- substituir múltiplas forças atuando em uma partícula por umaúnica força equivalente ouresultante,

- analisar as relações entre forças que atuam em uma partículaque está em estado de equilíbrio.

• O foco empartículasnão implica uma restrição a pequenos corpos. Significa que o estudo é restrito a análises nas quais o tamanho e o formato dos corpos não afetam significativamente a resolução dos problemas. Nesses casos, todas as forças que atuam sobre um dado corpo podem ser consideradas como tendo um mesmo ponto de aplicação.



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Resultante de Duas Forças

2 - 4

• Força: ação de um corpo sobre outro; caracterizada por seuponto de aplicação, sua intensidade, sua direção, e seu sentido.

• Evidências experimentais mostram que o efeito conjunto de duas forças pode ser representado por uma única forçaresultante.

• A resultante de duas forças é equivalente àdiagonal de um paralelogramo que contém as forças em lados adjacentes.

• Força é uma grandezavetorial.



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Vetores

2 - 5

• Vetores: expressões matemáticas que têm intensidade, direçãoe sentido e que se somam conforme a lei do paralelogramo. Exemplos: deslocamentos, velocidades, acelerações.

• Classificações de vetores:- Vetoresfixostêm pontos de aplicação bem definidos e

não podem ser deslocados sem que se alterem as condições do Problema.

- Vetoreslivrespodem se mover livremente no espaçosem que se alterem as condições do Problema.

- Vetoresdeslizantespodem ser deslocados ao longo de suas linhas de ação sem que se alterem as condições do Problema.

• Vetores iguaistêm a mesma intensidade e o mesmo sentido.

• O vetornegativode um vetor dado é aquele que tem suamesma intensidade e sentido oposto.

• Escalares: grandezas físicas que têm intensidade mas nãotêm direção. Exemplos: massa, volume e temperatura.



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Adição de Vetores

2 - 6

• Regra do paralelogramo para soma de vetores

• Regra do triângulo para soma de vetores

B

B

C

C

QPR

BPQQPRrrr

+=

−+= cos2222

• Lei dos cossenos,

• Lei dos senos,

Q

senC

R

senB

P

senA ==

• A adição de vetores é comutativa,

PQQPrrrr

+=+

• Subtração de vetores



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Adição de Vetores

2 - 7

• Soma de três ou mais vetores por meio daaplicação sucessiva da regra do triângulo.

• Regra do polígono para a soma de três ou maisvetores.

• A adição de vetores é associativa,

( ) ( )SQPSQPSQPrrrrrrrrr

++=++=++

• Multiplicação de um vetor por um escalar.



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Resultante de Várias Forças Concorrentes

2 - 8

• Forças concorrentes: conjunto de forças quepassam por um mesmo ponto.

Um conjunto de forças concorrentesaplicadas em uma partícula pode ser substituído por uma única força resultanteque é o vetor equivalente à soma das forçasaplicadas.

• Componentes do vetor força:dois ou maisvetores que, juntos, têm o mesmo efeito queum único vetor.



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Problema Resolvido 2.1

2 - 9

As duas forças atuam sobre um parafuso A. Determine suaresultante.

SOLUÇÃO:

• Solução gráfica - construímos um paralelogramo com lados nas mesmasdireções de P e Q desenhados em escala. Avaliamos graficamente a resultante queé equivalente à diagonal em direção e proporcional em módulo.

• Solução trigonométrica – usamos a regrado triângulo para soma de vetores emconjunto com a lei dos cossenos ou a lei dos senos para encontrar a resultante de P eQ.



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2 - 10

• Solução gráfica - Um paralelogramo com ladosiguais a P e Q é desenhado em escala. A intensidade e o ângulo que define a direção daresultante (diagonal do paralelogramo) sãomedidos,

°== 35N 98 αR

• Solução gráfica – Um triângulo é desenhadocom P eQ no padrão ponta-a-cauda e emescala. A intensidade e o ângulo que define a direção da resultante (terceiro lado do triângulo) são medidos,

°== 35N 98 αR



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2 - 11

• Solução trigonométrica – Aplicamos a regra do

triângulo. B= 180o–25o=155o. Pela lei dos cossenos,

( ) ( ) ( )( ) °−+=

−+=

155cosN60N402N60N40

cos222

222 BPQQPR

A20α

15,04A

97,73N

60N155sen

R

QBsen Asen

R

Bsen

Q

Asen

+°=°=

°=

=

=

N73,97=R

Pela lei dos senos,

°= 04,35α



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2 - 12

a) A força de tração em cada um dos cabos paraα = 45o,

b) O valor de α para o qual a traçãono cabo 2 é mínima.

Uma barcaça é puxada por doisrebocadores. Se a resultante dasforças exercidas pelos rebocadoresé 22.250 N dirigida ao longo do eixo da barcaça, determine:

SOLUÇÃO:

• Obtemos uma solução gráfica aplicando a Regra do Paralelogramo para soma vetorial. O paralelogramo tem lados nas direções dos dois cabos e diagonal na direção do eixo dabarcaça com comprimento proporcional a 22.250 N.

• O ângulo para a tração mínima no cabo 2 édeterminado aplicando-se a Regra do Triân-gulo e observando o efeito de variações emα.

• Obtemos uma solução trigonométricaaplicando a Regra do Triângulo para soma vetorial. Com a intensidade e a direção daresultante conhecida e as direções dos outros dois lados, paralelas aos cabosdados, aplicamos a Lei dos Senos paraencontrar as trações nos cabos.



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2 - 13

• Solução gráfica – Aplicamos a regra do paralelogramo conhecendo a direção e a intensidade da resultante e as direções dos lados

N500.11N200.16 21 == TT

• Solução trigonométrica - Regra do triângulo e Lei dos Senos

°=

°=

° 105

250.22

304521

sen

N

sen

T

sen

T

N 517.11N288.16 21 == TT



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2 - 14

• O ângulo para tração mínima no cabo 2 édeterminado aplicando a regra do triângulo e observando o efeito de variações emα.

• A tração mínima no cabo 2 ocorre quandoT1

e T2 são perpendiculares

°= 30sen N) (22.250T2NT 111252 =

( ) °= 30 cos N 22.250T1NT 192691 =

°−°= 3090α °= 60α



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Componentes Retangulares de uma Força: Vetores Unitários

2 - 15

• Os componentes de um vetor podem ser expressoscomo produtos dos vetores unitários pelas intensidadesdos componentes do vetor.

Fx e Fy são chamados de componentes escalaresde .

jFiFF yxrrr

+=

Fr

• Pode-se decompor uma força em dois componentesperpendiculares de forma que o paralelogramoresultante é um retângulo. são chamados de componentes retangularese

yx FFFrrr

+=

yx F e Frr

• Definimos então osvetores unitáriosperpendicularesque são paralelos aos eixosx e y.j e i

rr



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Adição de Forças pela Soma dos Componentes

2 - 16

SQPRrrrr

++=

• Deseja-se obter a resultante de 3 ou mais forçasconcorrentes,

( ) ( ) jSQPiSQP

jSiSjQiQjPiPjRiR

yyyxxx

yxyxyxyxrr

rrrrrrrr

+++++=+++++=+

• Para isso, decompomos cada força emcomponentes retangulares

∑=++=

x

xxxxF

SQPR

• Os componentes escalares da resultante sãoiguais à soma dos componentes escalarescorrespondentes das forças dadas.

∑=++=

y

yyyy

F

SQPR

x

yyx R

RRRR arctg22 =+= θ

• Para encontrar a intensidade e a direção da resultante,



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2 - 17

Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura. Determine a resultante das quatro forças no parafuso.

SOLUÇÃO:

• Decompomos cada força emcomponentes retangulares.

• Calculamos a intensidade e a direçãoda resultante.

• Determinamos os componentes daresultante somando os componentescorrespondentes de cada uma dasforças.



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2 - 18

SOLUÇÃO:

• Decompomos cada força em componentesretangulares.

25.996.6100

110.00110

75.227.480

75.0129.9150

(N) y, Comp.(N) x Comp.(N) Intens.Força

4

3

2

1

−+−+−++

F

F

F

F

r

r

r

r

• Calculamos a intensidade e a direção da resultante.

22 3,141,199 +=R N 199,6R =

N1,199

N3,14 tg =α °= 1,4α

• Determinamos os componentes da resultantesomando os componentes correspondentes de cada uma das forças.

1.199+=xR 3.14+=yR



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Equilíbrio de uma Partícula

2 - 19

• Quando a resultande de todas as forças que atuam sobre uma partícula ézero, a partícula está emequilíbrio.

• Para uma partícula em equilí-brio sob a ação de duas forças, ambas as forças devem ter:

- mesma intensidade

- mesma linha de ação

- sentidos opostos

• Para uma partícula sob a ação de três ou mais forças:

- a solução gráfica gera um polígono fechado

- solução algébrica:

00

0

====

∑∑

∑

yx FF

FRrr

• Primeira Lei de Newton : Se a força resultante em uma partícula é nula, a partícula permanecerá em repouso ou se moverá em velocidade constante emlinha reta.



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Diagramas de Corpo Livre

2 - 20

Diagrama espacial: Um esboçomostrando as condições físicasdo problema.

Diagrama de Corpo Livre: Um esboçomostrando apenas as forças que atuamsobre a partícula escolhida para análise.

Dado que o caixote pesa 75 kg, desenhe um diagrama de corpo livre e obtenha a tração nos cabos AB e AC.



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• Construção do diagrama de corpo livre– Passo 1: Decida qual sistema deve ser isolado ;

– Passo 2: Isole o sistema escolhido desenhando um diagrama que represente completamente seu contorno externo;

– Passo 3: Identifique todas as forças que atuam no sistema isolado devidos aos corpos removidos, que façam contato, ou que exerçam atração, e as represente em suas porções adequadas no diagrama;

– Passo 4: Mostre os eixos coordenados diretamente no diagrama.



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2 - 22

Numa operação de descarregamentode um navio, um automóvel de 15.750 N é sustentado por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada para centrar o automóvelpara a posição desejada. Qual é a tração na corda?

SOLUÇÃO:

• Construimos um diagrama de corpo livrepara a partícula na junção da corda e do cabo.

• Aplicamos as condições de equilíbriocriando um polígono fechado a partir dasforças aplicadas na partícula.

• Aplicamos relações trigonométricaspara determinar a intensidade das forçasdesconhecidas.



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2 - 23

SOLUÇÃO:

• Construimos um diagrama de corpo livrepara a partícula A.

• Aplicamos as condições de equilíbrio.

• Calculamos as intensidades das forçasdesconhecidas.

°=

°=

° 58sen

N 15.750

2sen 120sen ACAB TT

N16.084=ABT

N648=ACT



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2 - 24

Deseja-se determinar a força de arrastono casco de um novo barco a vela a uma dada velocidade. Um modelo écolocado em um canal de teste e sãousados três cabos para alinhar sua proacom a linha de centro do canal. A umadada velocidade, a tração é de 180 N no caboABe de 270 N no caboAE.

Determine a força de arrasto exercidano casco e a tração no caboAC.

SOLUÇÃO:

• Escolhendo o casco como um corpolivre, desenhamos o diagrama de corpolivre.

• Expressamos as condições de equilíbriopara o casco escrevendo que a resultantede todas as forças é zero.

• Decompomos a equação vetorial de equilíbrio em duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nos dois cabos.



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2 - 25

SOLUÇÃO:

• Escolhendo o casco como um corpo livre, desenhamos o diagrama de corpo livre.

°=

==

26,60

75,1m 1,2

m 2,1 tg

α

α

°=

==

56,20

375,0m 1,2

m 0,45 tg

β

β

• Expressamos as condições de equilíbrio para o casco escrevendo quea resultante de todas as forças é zero.

0=+++= DAEACAB FTTTRrrrrr



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2 - 26

• Decompomos a equação vetorial de equilíbrioem duas equações para as componentes. Resolvemos para as trações desconhecidas nosdois cabos.

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( ) jN 270 T0,9363N 89,29

iFT0,3512N 156,29

0R

iFF

jN 270T

jT0,9363iT0,3512

j20,56 cos Ti20,56sen TT

jN 89,29iN 156,29

j60,26 cos N 180i60,26sen N 180T

AC

DAC

DD

AE

ACAC

ACACAC

AB

r

r

r

rr

rr

rr

rrr

rr

rrr

−++

++−=

=

=

−=

+=

°+°=

+−=

°+°−=



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2 - 27

( )( ) jN 270T0,9363N 89,29

iFT0,3512N 156,29

0R

AC

DACr

r

r

−++

++−=

=

Esta equação só é satisfeita se cada componenteda resultante é igual a zero.

( )( ) 0270T0,9363N 89,29:0

0FT0,3512N 156,29:0

AC

DAC

=−+=

=++−=

∑∑

y

x

F

F

N 5,88

N 193

+=+=

D

AC

F

T



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Componentes Retangulares no Espaço

2 - 28

• O vetor estácontido no planoOBAC.

Fr

• Decompomos emuma componentehorizontal e outravertical

yh FF θsen =

Fr

yy FF θcos=

• Decompomos emcomponentes retangulares

hF

φθφ

φθφ

sen senF

senFF

cossenF

cosFF

y

hz

y

hx

==

==



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2 - 29

• Com os ângulos entre e os eixosx, ye z temos,Fr

( )

kji

F

kjiF

kFjFiFF

FFFFFF

zyx

zyx

zyx

zzyyxx

rrrr

r

rrr

rrrr

θθθλλ

θθθ

θθθ

coscoscos

coscoscos

coscoscos

++=

=

++=

++=

===

• é um vetor unitário ao longo da linha de açãode e são os cossenosque orientam a linha de ação de .

Fr

Fr

λr

zyx e θθθ cos cos,cos



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2 - 30

A direção de uma força é definidapelas coordenadas de dois pontos,

em sua linha de ação.

( ) ( )222111 ,, e ,, zyxNzyxM

( )

d

FdF

d

FdF

d

FdF

kdjdidd

FF

zzdyydxxd

kdjdid

NMd

zz

yy

xx

zyx

zyx

zyx

===

++=

=

−=−=−=

++=

=

rrrr

rr

rrr

r

1

e liga que vetor

121212

λ

λ



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2 - 31

A tração no cabo de sustentação datorre é 2500 N. Determine:

a) os componentesFx, Fy eFz da forçaque atua no parafuso emA,

b) os ângulosθx, θy e θz que definem a direção da força.

SOLUÇÃO:

• Considerando a posição relativa dos pontosA e B, determinamos o vetorunitário orientado de A paraB.

• Utilizamos o vetor unitário paradeterminar os componentes da forçaatuando em A.

• Observando que os componentes do vetor unitário são os cossenos queorientam a direção do vetor, calculamosos ângulos correspondentes.



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2 - 32

SOLUÇÃO:

• Determinamos o vetor unitário orientado de AparaB.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

m 3,94

m30m80m40

m30m80m40222

=++−=

++−=

AB

kjiABrrr

• Determinamos os componentes da força.

( )( )( ) ( ) ( )kji

kji

FF

rrr

rrr

rr

N 795N 2120N1060

318,0848,0424,0N 2500

++−=

++−=

= λ

kji

kji

rrr

rrrr

318,0848,0424,0

3,94

30

3,94

80

3,94

40

++−=

+

+

−=λ



Nona

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2 - 33

• Observando que os componentes do vetorunitário são os cossenos que orientam a direçãoda força, calculamos os ângulos correspondentes.

kji

kji zyxrrr

rrrr

318,0848,0424,0

coscoscos

++−=

++= θθθλ

o

o

o

5,71

0,32

1,115

=

=

=

z

y

x

θ

θθ



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Exercícios

2 - 34



Nona

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Exercícios

2 - 35



Nona

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Exercícios

2 - 36



Nona

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Exercícios

2 - 37



Nona

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Exercícios

2 - 38



Nona

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Exercícios

2 - 39



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Exercícios

2 - 40

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