MEDIDAS DE POSIÇÃOMEDIANA

Também chamada de valor mediano, corresponde ao valor que ocupa a posição central numa sequencia de números e é representada por md.Para obter a mediana primeiro colocamos a sequencia em ordem crescente ou decrescente, depois verificamos se a amostra é par ou ímpar.1º caso: Se o número de elementos (n) for ímpar, á mediana corresponderá ao termo central da série, ou seja, ao termo t: t=

Ex: Para calcular a mediana da sequencia 2, 4, 1, 5 e 6, fazemos o ordenamento: 1, 2, 4, 5 e 6Como o número de elementos é ímpar, localizamos a mediana com a fórmula: t = = = 3Portanto, a mediana md é o 3º elemento ou 3º termo: md= 4Geralmente o valor da mediana é bem próximo da média. = = 3,6

2º caso: Se o número de elementos for par, a mediana será a média aritmética dos valores centrais t1 e t2 .

t1 = e t2 =

A mediana neste caso, corresponde á média aritmética dos dois valores centrais: md= Para encontrar a mediana da sequencia 82; 79; 70; 20; 33; 46, fazemos:Ordenação → 20; 33; 46; 70; 79; 82.t1 = = 3, ou seja, o 3º elemento, 46

t2 = = 4, ou seja, o 4º elemento, 70.

md= = 58

MODAA moda, também denominada valor modal, é o valor que apresenta maior frequência no conjunto de números, ou seja, que se repete mais vezes.Uma sequencia de números pode não ter valor modal ou apresentar vários tipos de repetições, recebendo então várias denominações:• unimodal, quando um único valor se repete;• bimodal, quando dois valores se repete;• multimodal, quando três ou mais valores se repetem com a mesma frequência.

Exemplos:a) 5; 6; 1; 7; 2 → não tem modab) 9; 2; 9; 1; 3 → mo = 9 unimodalc) 7,1; 8,4; 7,1; 7,1; 9,5; 8,4; 9,4; 8,4 → mo = 7,1 e 8,4d) Bimodal

EXERCÍCIOS1. Ache a moda (se houver) de cada amostra:a) 2; 3; 6; 4; e 3b) 2; 3; 2; 4; e 3 (faça o gráfico)c) 7; 5; 200; 1; 2; 200; 1; 200; e 4d) 150; 200; 320; 200; 400; 310; 320; e 310.

2. Ache a mediana e a média das seguintes amostras:a) 4; -2; -7; 3; 6; 1; e 5b) 1526; 1326; 1642; 1271; 10; e 1427c) 5; 5; 5; 5; e 5d) 100; 150; 100; 160; 12; 180; 170; 200.3. Um fabricante de bonés está interessado em coletar informações sobre o salário médio dos operários em 3 de suas filiais. A partir de uma amostra dos salários de 6 funcionários de cada filial, ele deseja saber:e) Qual a média salarial de cada filial;f) Qual paga maiores salários;Faça os cálculos e descubra que medida central ele poderia utilizar em substituição á média salarial, a fim de obter resultados mais favoráveis para apresentar aos funcionários.

Indivíduos Filial 1 Filial 2 Filial 31 9600 8000 80002 10000 7000 70003 12000 8500 50004 8500 6500 550005 7000 5000 75006 11000 5500 5500

MEDIDAS DESCRITIVAS PARA DADOS AGRUPADOS

1. Média aritméticaComo já conhecemos a média aritmética, é fácil descobrir a média aritmética da tabela de frequência.

= A fórmula é muito parecida com a da média aritmética anterior, só trocamos o pelo ponto médio da classe.

2. MedianaPrimeiro é necessário saber em qual classe se deve encontrar a mediana, ai temos de fazer: ou Em seguida, procura-se o valor obtido na coluna da frequencia acumulada. Olhando de cima para baixo, será possível descobrir a que classe pertence a mediana. A partir daí, trabalha-se apenas com essa classe. md = li . h

Onde:md → medianali → limite inferior da classe em que se deve encontrar a mediana.→ n → número total de elementos da amostra.K → número de classes.→ frequencia acumulada anterior á classe em que deve estar a mediana.h → amplitude do intervalo.

2. MODAPodemos usar três fórmulas diferentes para calcular a moda na tabela de frequência. Fórmula de Czuber, fórmula de King, fórmula de Pearson. Nos três casos primeiro é necessário descobrir a maior frequência absoluta e, a partir dai encontrar a classe em que se encontra a moda, que constituirá a classe modal. Caso haja duas ou mais classes com a mesma frequência deve-se modificar ou alterar o tamanho dos intervalos (h) para mais ou para menos.Fórmula de Czuber mo = li + h .

Onde:mo→ moda (ou valor modal)→ maior frequência→ frequência absoluta posterior á classe modal

Fórmula de King mo = li + h.

Fórmula de Pearson mo = 3 . Md -2 .

Ex1. Achar a média, a mediana e a moda da tabela de frequência a seguir.

Classe fi p.m. fi . P.m. fa18-----21 1 19,5 1. 19,5 121-----24 4 22,5 4. 22,5 524-----27 19 25,5 19 . 25,5 2427----30 37 28,5 37 . 28,5 6130----33 28 31,5 28 . 31,5 8933----36 8 34,5 8 . 34,5 9736----39 3 37,5 3 . 37,5 100

Total 100 2919

Média= = = 29,19MedianaPara calcular a mediana, primeiro descobrimos em qual classe ela se encontra: = = 50,5md= 27 + = 29,15ModaFórmula de Czubermo= 27 + 3 . = 29

Fórmula de Kingmo= 27 + 3. =28,79

Fórmula de Pearsonmo= 3 . 29,15 – 2. 29,19mo = 29,07

Ex2. Ache a média, a mediana e a moda referente á tabela de frequência abaixo.Classes fi p.m. fi . P.m. fa

40-----47 3 43,5 3 . 43,5 348-----55 3 51,5 3 . 51,5 656-----63 8 59,5 8 . 59,5 1464-----71 31 67,5 31 . 67,5 4572-----79 41 75,5 41 . 75,5 8680-----87 11 83,5 11 . 83,5 9788-----95 7 91,5 7 . 91,5 104

96-----103 1 99,5 1 . 99,5 105Total 105 7607,5