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Mtodo do Ponto Fixo (MPF)Aurora Pozo

Mtodo do Ponto Fixo (MPF)Dada uma funo f(x) contnua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz nica, f(x) = 0, possvel transformar tal equao em uma equao equivalente x = g(x) e, a partir de uma aproximao inicial x0, gerar uma seqncia {xk} de aproximaes para pela relao xk+1 = g(xk), uma vez que g(x) tal que f() = 0 se e somente se g() = .

Mtodo do Ponto Fixo (MPF)

*Exemplo :Seja a equao x2 + x 6 = 0 .

Funes de iterao possveis:

g1(x) = 6 - x2

g2(x) = 6 - x

g3(x) = 6/x 1

g4(x) = 6/(x + 1)Dada uma equao do tipo f(x) = 0, h para tal equao mais de uma funo de iterao g(x), tal que: f(x) = 0 x = g(x) Ponto Fixo

*Anlise Grfica da Convergnciaxyx1g(x)x0y = xx2Situao 1 Ponto Fixog1(x) = 6 - x2{xk} quando k inf

*Anlise grfica da Convergnciaxyx1g(x)x0y = xx2x3Situao 2Ponto Fixo{xk} quando k inf

*Anlise Grfica da ConvergnciaSituao 3g3(x) = 6/x 1

Ponto Fixoxyx1g(x)x0y = xx2{xk}

*Anlise grfica da Convergncia Ponto Fixo

*Exemplo : Seja a seguinte equao x2 + x 6 = 0 :No h necessidade de uso de mtodo numrico para a determinao das razes 1 = -3 e 2 = 2Utilizao desta exemplo para demonstrar a convergncia ou divergncia numrica e grfica do processo iterativoSeja a raiz 2 = 2 e g1 (x) = 6 - x2Considere-se x0= 1,5 e g(x) = g1 (x) Ponto Fixo

*x1 = g(x0) = 6 1,52 = 3,75x2 = g(x1) = 6 3,752 = -8,0625x3 = g(x2) = 6 (-8,0625)2 = -59,003906

Conclui-se que {xk} no convergir para 2 = 2 x4 = g(x3) = 6 (-59,003906)2 = - 3475,4609Ponto FixoExemplo :Seja a raiz 2 = 2 , x0 = 1,5 e g1 (x) = 6 x:

*Ponto FixoExemplo : Anlise Grfica:

*Exemplo : Seja a raiz 2 = 2, g2 (x) = 6 - x e x0 = 1,5Conclui-se que {xk} tende a convergir para 2 = 2 x1 = g(x0) = 6 - 1,5 = 2,121320343x2 = g(x1) = 6 - 2,121320343 = 1,969436380

x3 = g(x2) = 6 -1,969436380 = 2,007626364

x4 = g(x3) = 6 - 2,007626364 = 1,998092499x5 = g(x4) = 6 - 1,998092499 = 2,000476818 Ponto Fixo

*Exemplo : Anlise Grfica{xk} 2 quando k inf Ponto Fixo

*

g1(x) = x3 1

g2(x) = 1 + x

g3(x) = 1/x 1

Dada uma equao do tipo f(x) = 0, h para tal equao mais de uma funo de iterao g(x), tal que: f(x) = 0 x = g(x) Ponto FixoExemplo : Seja a equao x3 x 1 = 0, Tem-se as seguintes funes de iterao possveis:3

*Exemplo : Seja = 1,324930, g2 (x) = 1 + x e x0 = 1Conclui-se que {xk} tende a convergir para = 1,324930x1 = g(x0) = 1 + 1 = 1,259921x2 = g(x1) = 1 + 1,259921 = 1,312294

x3 = g(x2) = 1 + 1,312294 = 1,322354

x4 = g(x3) = 1 + 1,322354 = 1,324269x5 = g(x4) = 1 + 1,324269 = 1,324633 Ponto Fixo3

*Exemplo : Anlise Grfica Ponto Fixo

*TEOREMA 2:

Sendo uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I centrado em e g(x) uma funo de iterao para f(x) = 0. Se

g(x) e g(x) so contnuas em I

2.|g(x)| M < 1, x I e

3.x1 I

ento a seqncia {xk} gerada pelo processo iterativo xk+1 = g(xk) convergir para . Ponto Fixo

Melhor extremoO mtodo tem sucesso quando | g'(x) | < 1 em todo o intervalo.Extremo mais rpido.Se | g'(a) | < | g'(b) |x0 = aSeno, x0 = b

*Algoritmok := 0; x0 := x;while critrio de interrupo no satisfeito and k Lk := k +1;xk+1 := g(xk);endwhilePonto Fixo

*Vantagens:

Rapidez processo de convergncia;

Desempenho regular e previsvel. Ponto Fixo

*Desvantagens:

Um inconveniente a necessidade da obteno de uma funo de iterao g(x);

Difcil sua implementao.Ponto Fixo

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