Mtodo de Newton-Raphson (Mtodo das Tangentes)

O Mtodo de Newton tenta garantir a acelerao do Mtodo do Ponto Fixo escolhendo uma funo de

iterao (), tal que ()= 0.

Desta forma, dada a equao f(x) = 0 e, partindo da forma geral (), queremos obter a funo A(x) tal que

()= 0.

Logo, dada a funo de iterao () = +A()() temos que:

() = 1+()()+()()

= () = 1+()()+()()

Como () = 0, temos;

()= 1+()()

Assim ()=0 se, e somente se, 1+()()=0 e da () = 1/()

Ento, dada f(x), a funo de iterao () = ()

()ser tal que () = 0, pois

como podemos verificar:

()= 1(())2 ()()

(())2=

()()(())2

e como () = 0, () = 0, desde que () 0.

Assim, escolhido x0, a sequncia {xk} ser determinada por:

+1 = ()()

, k=0,1,2... Denominado Mtodo de Newton

Uma outra maneira de deduzir o mtodo de Newton utilizar a ideia de

aproximantes da seguinte maneira:

Seja a raiz da equao f(x) = 0, tal que [,], finito e que f(x) e f(x) sejam

funes contnuas que preservam o sinal em [a,b].

Seja xk, tal que xk , [,] e hk uma pequena tolerncia positiva tal que:

=+ (I)

Aplicando-se a frmula de Taylor em torno de temos:

()=(+)=()+()+(h)

2

2!()++

Truncando-se a srie no termo de ordem 2 obtemos uma aproximao linear para

():

() ()+()

Como () = 0, temos que ()+()0 e da ()()

Ao usarmos (I) temos que:

()()

Se substituirmos por um novo valor +1 temos:

+1 = ()()

, k=0,1,2... Denominado Mtodo de Newton

Interpretao geomtrica

Dado xk, o valor de xk+1 pode ser obtido graficamente traando-se pelo ponto

(xk, f(xk)) a tangente curva y = f(x) (reta). O ponto de interseco da tangente com o

eixo dos x determina xk+1.

OBS: Devido a sua interpretao

geomtrica, o mtodo de Newton

tambm conhecido como

Mtodo das Tangentes.

Convergncia

Se f(x), f(x) e f(x) so contnuas num intervalo I que contm a raiz = de

f(x) e se () 0, ento o Mtodo de Newton converge, sendo sua convergncia de

ordem quadrtica.

Critrio de parada:

O mtodo iterativo de Newton para quando:

|+ 1

|

| + 1|

<

sendo um valor pr-estabelecido para a preciso.

Exemplos:

Exemplos no MatLab: Salvar este algoritmo no M-FIRE:

>>xo=input('Digite o valor de xo: ');

>>E=input('Insira o valor para o erro: ');

>>x1=xo-f(xo)/g(xo);

>>while (x1-xo)>E

>>xo=x1;

>>x1=xo-f(xo)/g(xo);

>>end

>>disp('A raiz ');

>>disp(x1)

1- Refazer o exemplo 1 atravs do algoritmo.

>>f = inline(x^2+x-6);>>g = inline(2*x+1);>>newton_1

2- Refazer o exemplo 1 atravs do algoritmo function.

3- Achar a raiz de f(x) = x3-5x2+x+3, com 0,0001 e x0 = -2.

Resp:-0,6458.

4- Encontre a raiz de f(x) = 2x3+logx-5, pelo mtodo de Newton, com 10-3 . Sabe-se

que [1,2]. Adote x0=2.

Resp: 1.5227

Observaes Finais

O Mtodo de Newton-Raphson tm convergncia quadrtica. Porm este

necessita da avaliao da funo e sua derivada em cada ponto xn. Pode ocorrer de

termos uma raiz isolada num intervalo [a; b] e o mtodo acabe convergindo para uma

outra raiz que no pertence a [a; b]. Isto ocorre porque temos que tomar x0 [; ] C

[a; b].

Na prtica tomamos x0 como ponto mdio do intervalo, isto :