na Pr tica - educapes.capes.gov.br · módulos pode ser vista no Projeto Pedagógico do curso. A primeira parte do Módulo I é constituída de atividades de ambientação com os

Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio

Matem@ticana Pr@tica

Manual_Formador.indd 1 15/08/13 15:59



Módulo I

Manual do Formador

Cláudio Carlos DiasJoão Carlos Vieira SampaioMarlusa Benedetti da Rosa

Paulo Antônio Silvani CaetanoPedro Luiz Aparecido Malagutti

Roberto Ribeiro PaterliniVictor Augusto Giraldo

Matem@ticana Pr@tica


Produção Editorial - Central de TextoEditora: Maria Teresa Carrión CarracedoProdução gráfica: Ricardo Miguel Carrión CarracedoProjeto gráfico: Helton BastosPaginação: Ronaldo Guarim TaquesRevisão para publicação: Henriette Marcey Zanini

Índices para catálogo sistemático:

1. Professores de matemática : Formação : Educação 370.71

Manual do formador : módulo I. -- Cuiabá, MT :

Central de Texto, 2013. -- (Matem@tica na

pr@tica. Curso de especialização em ensino de

matemática para o ensino médio)

Vários autores.

Bibliografia.

ISBN 978-85-88696-94-5

1. Matemática - Estudo e ensino 2. Matemática -

Formação de professores 3. Prática de ensino

I. Série.

13-07114 CDD-370.71

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)


Equipe de especialistas em formação de professores de MatemáticaCoordenação: Paulo Antonio Silvani Caetano (DM-UFSCar)Especialistas: Cláudio Carlos Dias (UFRN), João Carlos Vieira Sampaio (DM-UFSCar), Marlusa Benedetti da Rosa (CAp-UFRGS), Pedro Luiz Aparecido Malagutti (DM-UFSCar), Roberto Ribeiro Paterlini (DM-UFSCar), Victor Augusto Giraldo (IM-UFRJ)

Desenvolvimento InstrucionalCoordenação: Cristine Costa BarretoDesigners instrucionais: Cíntia Nascimento, José Paz, Juliana Silva Bezerra, Leonardo Nahoum, Letícia Terreri, Maria Matos

Responsáveis por este fascículoAutores: Cláudio Carlos Dias, João Carlos Vieira Sampaio, Marlusa Benedetti da Rosa, Paulo Antônio Silvani Caetano, Pedro Luiz Aparecido Malagutti, Roberto Ribeiro Paterlini, Victor Augusto GiraldoDesigners instrucionais: Andréia Ramos, Cíntia Nascimento, Cristine Costa Barreto, José Paz, Letícia Terreri e Maria MatosRevisão: Paulo Alves


Apresentação

Prezado professor cursista:

Olá! Seja bem-vindo a este Manual do Formador! Nele apresentamos informações

importantes sobre o Matem@tica na Pr@tica, um curso de especialização para professores

do Ensino Médio de Matemática.

Apresentamos aqui uma breve descrição da estrutura geral do curso, detalhando toda

a parte relacionada ao Módulo I.

Nosso objetivo é que essas informações auxiliem você em seu trabalho de formação

junto aos professores cursistas, potencializando seu processo de ensino-aprendizagem.

O Módulo I é composto por três experimentos, que possuem três ciclos cada, e

caracteriza-se por ser bem prático e estar intimamente ligado ao ambiente de trabalho

do professor.

Apresentamos também, para facilitar o seu trabalho, um mapa com um resumo dos

conceitos matemáticos e pedagógicos que são abordados em cada seção de cada um dos

ciclos e as ações relacionadas com sua tarefa.

Além disso, você deve se informar sobre as ações específicas determinadas pelo coor-

denador do curso e decididas no âmbito da instituição ofertante da qual você participa.

Desejamos a você um bom trabalho, e tenha certeza de que nós e a coordenação do

curso estaremos atentos para auxiliá-lo em qualquer dificuldade.

Equipe do Matem@tica na Pr@tica

Março, 2013



Sumário

Estrutura do Matem@tica na Pr@tica 9

Conhecendo Melhor o Matem@Tica na Pr@tica 10

Estrutura do Módulo I 11

Significado do Módulo I 11

Mapa conceitual do jogo dos discos 12

Mapa conceitual do modelo de despoluição 15

Mapa conceitual do desafio geométrico 22

Conhecendo um pouco mais o Ciclo 3 28

Avaliação e habilidades a serem desenvolvidas 30

Encerramento 31



Matem@tica na Pr@tica360 horas

Módulo I(experimentação)

120 horas

CICLO 1Atividades Prática

▹ Jogo dos Discos ▹ Modelo de Despoluição ▹ Desafio Geométrico

CICLO 2Atividades Teóricas

▹ Jogo dos Discos ▹ Modelo de Despoluição ▹ Desafio Geométrico

CICLO 3Aplicação – Sala de Aula ▹ Jogo dos Discos ▹ Modelo de Despoluição ▹ Desafio Geométrico

Trabalho de Conclusão

de Curso

Funções Elementares ▹ Etapa 1: Conceito de função ▹ Etapa 2: Polinômios ▹ Etapa 3: Funções exponenciais e logarítmicas

▹ Etapa 4: Funções trigonométricas

Matemática Discreta ▹ Etapa 1: Criptografia ▹ Etapa 2: Código Braille ▹ Etapa 3: Aritmética modular e cripto-grafia RSA

▹ Etapa 4: Combinatória e probabilida-de trigonométricas

Geometria Espacial ▹ Etapa 1: Poliedros e a fórmula de Euler

▹ Etapa 2: Poliedros semi-irregulares ▹ Etapa 3: Volumes ▹ Etapa 4: O princípio de Cavalieri e aplicações

Conteúdo e Prática ▹ Etapa 1: Funções elementares ▹ Etapa 2: Matemática discreta ▹ Etapa 3: Geometria espacial ▹ Etapa 4: Fechamento

Módulo III(prática)80 horas

Módulo II(reflexão)160 horas

Estrutura do Matem@tica na Pr@tica

Estrutura do Matem@tica na Pr@tica 9


Conhecendo Melhor o Matem@Tica na Pr@tica

O Matem@tica na Pr@tica é um curso de especialização idealizado para professores

de Matemática com a proposta central de estimular a reflexão sobre a prática docente.

A realização dessa proposta está fundamentada na experimentação, por meio de ati-

vidades aplicáveis em sala de aula; na reflexão, com o estudo aprofundado de conteúdos

matemáticos do Ensino Médio; e, na prática, mediante a elaboração e aplicação de uma

aula inédita.

O curso possui uma carga horária total de 360 horas e está estruturado em três mó-

dulos.

O primeiro módulo, de 120 horas, além de oferecer uma introdução à EAD, busca se-

duzir o professor cursista, ao longo de três atividades experimentais para a aprendizagem

de Matemática envolvendo um jogo, uma modelagem e um desafio.

O segundo módulo, de 160 horas, busca envolver o professor cursista com o conhe-

cimento científico, por meio de três disciplinas de conteúdos matemáticos e de uma

disciplina pedagógica, com repercussão direta sobre a prática cotidiana em sala de aula.

O terceiro módulo, de 80 horas, busca redimensionar a atuação do professor cursista

em sala de aula mediante o planejamento, o desenho metodológico e a aplicação de uma

unidade didática inovadora, nos moldes das Aulas do Portal do Professor do MEC. Além

disso, este módulo finaliza o curso com a apresentação de uma Monografia por parte do

professor cursista.

O Matem@tica na Pr@tica é oferecido na modalidade EAD por Instituições Federais de

Ensino Superior, utilizando a estrutura de polos do Sistema Universidade Aberta do Brasil.

Ao término dos três módulos, e após a aprovação de sua monografia, o professor

cursista receberá o título de especialista. A instituição ofertante também poderá definir

sobre a certificação na forma de aperfeiçoamento, após a conclusão dos Módulos I e II.

10 Módulo I – Manual do Formador


Módulo I

Jogo dos Discos

▹ Ciclo 1: Experimentando o jogo dos discos

▹ Ciclo 2: Explorando o jogo dos discos

▹ Ciclo 3: A sala de aula em foco

▹ Ciclo 1: Construindo o modelo de despoluição de um lago

▹ Ciclo 2: Explorando o modelo de despoluição


▹ Ciclo 1: Ladrilhando com polígo-nos regulares

▹ Ciclo 2: Explorando o ladrilha-mento com polígonos regulares


Desafio GeométricoModelo de Despoluição

Estrutura do Módulo I

Significado do Módulo I

Matem@tica na Pr@tica é um curso de especialização em ensino de Matemática ofe-

recido pelo Ministério da Educação através das instituições participantes de seu sistema

de ensino a distância.

O Módulo I é o primeiro dos três módulos do curso. A descrição completa dos três

módulos pode ser vista no Projeto Pedagógico do curso.

A primeira parte do Módulo I é constituída de atividades de ambientação com os

recursos de ensino a distância. Em seguida, propomos três atividades práticas, de experi-

mentação, sobre temas que trazem importantes significados para a Matemática do ensino

básico. O professor terá oportunidade de refletir sobre essas atividades e, logo depois, se

dedicar à prática, aplicando-as em suas aulas. A aplicação em sala de aula de um dos ex-

perimentos aqui propostos e o relato dessa aplicação são as últimas atividades do Módulo

I a serem realizadas pelo professor cursista.

De forma geral, podemos apresentar os ciclos que compõem os experimentos da

seguinte maneira: com o Ciclo 1, propomos e simulamos as três atividades e orientamos

a confecção do material concreto para cada uma; com o Ciclo 2, buscamos explicar mate-

maticamente os experimentos realizados no Ciclo 1; já no Ciclo 3, a proposta é aplicar em

sala de aula o que foi desenvolvido nos Ciclos 1 e 2.

Além de conhecer essa estrutura, é importante que você tenha clareza sobre os concei-

tos matemáticos e pedagógicos envolvidos em cada seção, que o auxiliarão no trabalho

junto ao professor cursista. Para isso, apresentamos a seguir um mapa com as principais

informações acerca dos ciclos dos três experimentos.

Significado do Módulo I 11


Mapa conceitual do Jogo dos Discos

Antes de apresentarmos o mapa deste experimento, vejamos algumas orientações

gerais referentes aos três ciclos desse jogo.

O que é importante o Formador fazer neste experimento?

No Ciclo 1 do jogo dos discos, o Formador orienta os professores cursistas na leitura

do texto, auxilia-os na construção do material concreto (quadriculado e preparação de

moedas e botões) e acompanha-os na aplicação do experimento.

No Ciclo 2, o Formador acompanha o estudo teórico do jogo dos discos, cuja base é a

definição de probabilidade geométrica, dirimindo eventuais dúvidas.

No Ciclo 3, o Formador auxilia o professor cursista a navegar no Portal do Professor, a

planejar e a aplicar com seus estudantes a aula que escolher. Além disso, orienta o processo

de compartilhar essa experiência com outros colegas do curso.

Lembramos que, nos três ciclos, é também função do Formador acompanhar e geren-

ciar a avaliação do professor cursista.

E o que o professor cursista precisa fazer neste experimento?

No Ciclo 1, depois da leitura dos textos iniciais, em que é justificado o tema probabi-

lidade e é feita uma contextualização do problema, o professor cursista deverá simular o

experimento “jogo dos discos”. O texto orienta a construção do quadriculado e a prepara-

ção de moedas e botões. Ao fazer os lançamentos, o professor cursista preenche as tabelas

de dados conforme orientação do texto. Em seguida, realiza as atividades de análise dos

dados e sua representação como gráfico em um sistema cartesiano.

No Ciclo 2, o professor cursista participa do estudo teórico do experimento, cuja base

é a definição de probabilidade geométrica.

No Ciclo 3, o professor cursista é convidado a planejar e aplicar com seus estudantes

uma aula associada a um dos três experimentos estudados (jogo dos discos, modelo de

despoluição e desafio geométrico). Para auxiliá-lo nesse trabalho são oferecidos modelos

de aulas no Portal do Professor do MEC.

Depois dessas orientações, vamos ao mapa do experimento do jogo dos discos.

Nele, listamos as seções de cada um dos ciclos, apresentando o objetivo central, os

conceitos matemáticos e pedagógicos desenvolvidos e as propostas apresentadas, para o

professor cursista se aprofundar em seus conhecimentos matemáticos e para utilizá-los

em sua sala de aula.

Além disso, apresentamos também algumas dicas referentes a essas seções, que cola-

borarão para um melhor desempenho de seu trabalho de formador.



Conhecendo um pouco mais o Ciclo 1 do Jogo dos Discos

CICLO 1: JOGO DOS DISCOS

Seção Objetivo CentralPropostas para o Professor Cursista

Propostas para Sala de Aula

Conteúdos Envolvidos

Dicas para o Formador

1. Um dia de cão... É possível prever ou não?

A história que inicia esse Ciclo introduz o conceito de fenômeno aleatório, apresentan-do-o como sinônimo de não previsível.

Leitura atenta e crítica do texto e resolução da Atividade 1.

O professor cursista pode utilizar esse texto em sala de aula diretamente ou fazendo as adap-tações que achar melhor.

Conceito de alea-tório.

Acompanhar e incentivar o pro-fessor cursista a fazer uma leitura crítica, e mostrar a ele que concei-tos podem ser introduzidos com histórias, e desse modo o apren-dizado fica mais interessante.

2. A pro-babilidade em nosso cotidiano

Texto para trabalhar o conceito de probabili-dade, mostrando sua presença em nosso cotidiano.

Leitura atenta e crítica do texto.

O professor cur-sista pode utilizar esse texto para uso em sala de aula diretamente ou fazendo as adaptações que achar melhor.

Conceito e aplica-ção de probabili-dade.

Acompanhar e incentivar o pro-fessor cursista a fazer uma leitura crítica e atenta.

3. E o improviso virou Ma-temática

Texto explicativo sobre o jogo dos discos e sua história. Apresentação de uma situação-pro-blema envolvendo o jogo dos discos.

Estudo do que é o jogo dos discos e sua história, assim como do problema propos-to como contex-tualização.

Todas as explica-ções são acessí-veis a estudantes e podem ser utilizadas pelo professor. Espera--se que a situ-ação-problema atraia a atenção dos estudantes.

Definição e his-tória do jogo dos discos.

Certificar-se, com os recursos dispo-níveis no Moodle, de que o signifi-cado e o meca-nismo do jogo foi compreendido.

4. Estudo do jogo dos discos

Nesta seção, é feita a construção do material, a simulação do jogo dos discos, o cálculo das probabilidades e plotagem dos dados em um sistema carte-siano. A situação-pro-blema é simulada.

Construir o ma-terial, simular o jogo dos discos e trabalhar os dados obtidos. Resolver as Ativi-dades de 2 a 5.

Os estudantes podem realizar todas as tarefas propostas na seção.

Simulação de eventos probabi-lísticos, análise de dados, ajuste de curva.

Acompanhar cuidadosamen-te a realização das atividades e explicar quando houver alguma dificuldade.

5. Da car-tolina para o chão da escola

Estudo de variações do jogo dos discos com uso de materiais e la-drilhamentos diversos.

Estudo e simula-ção do jogo dos discos em cená-rios diversos.

Trabalhar com os estudantes as diferentes ideias para o jogo dos discos.

Probabilidade geométrica, la-drilhamentos do plano.

Acompanhar o es-tudo das opções sugeridas para o jogo dos discos.

Mapa conceitual do Jogo dos Discos 13


Conhecendo um pouco mais o Ciclo 2 do Jogo dos Discos

CICLO 2: JOGO DOS DISCOS





1. Recapitu-lando

Lembrando o expe-rimento do jogo dos discos feito no Ciclo 1.


O jogo dos discos do ponto de vista experimental.

Acompanhar e incentivar o pro-fessor cursista a fazer uma leitura crítica.

2. O que há de novo nes-te Ciclo?

Explicação do que será feito neste Ciclo para se obter uma expressão algébrica para a função proba-bilidade.


A metodologia Resolução de Problemas é de vital importância na sala de aula.

Descrição de estratégia para a resolução de um problema.

Explicar ao pro-fessor cursista a estratégia para a resolução de um problema confor-me o texto.

3.Posiciona-mento dos discos no quadricula-do

Estudo das condições geométricas para o lançamento do disco ser um evento favo-rável.

Estudo do texto. Atividade que pode fazer cone-xão com as aulas de geometria plana.

Propriedades geométricas de quadrados.

Acompanhar e incentivar o pro-fessor cursista a fazer uma leitura crítica.

4. Proba-bilidade geométrica

Definição e justifica-tiva de probabilidade geométrica. Cálculo da expressão algébri-ca da função probabi-lidade e seu gráfico.

Estudo da defini-ção e da dedução da expressão algébrica.

As justificativas do texto estão no nível dos estudan-tes e podem ser utilizadas em sala de aula.

Definição de fun-ção por expressão algébrica; fun-ções quadráticas.

Acompanhar o estudo e dirimir possíveis dúvidas.

5. Proba-bilidade experimen-tal versus probabilida-de teórica

Comparação dos re-sultados teóricos com os experimentais. Solução da situação--problema colocada no Ciclo 1 e do pro-blema inverso.

Fazer a mesma comparação usando os dados obtidos em seus próprios experi-mentos.

Aproveitar para explicar aos estudantes as diferenças entre o procedimento experimental e o teórico.

Cálculo de erro em dados experi-mentais.

Auxiliar o profes-sor cursista a fa-zer a comparação usando os dados obtidos em seus próprios experi-mentos.

6. Nem tudo são parábo-las

Função probabilidade tendo como variável independente o lado do quadrado do qua-driculado.

Estudo do texto. Atividade para estudantes mais experientes.

Definição de fun-ção por expressão algébrica; fun-ções racionais.

Acompanhar o estudo e dirimir possíveis dúvidas.

7. Lucrando com o jogo dos discos

Desdobramento da situação-problema colocada no Ciclo 1.

Resolver a ativida-de proposta.

A atividade pode ser usada em sala de aula como complemento à solução do problema dos formandos.

Cálculo de porcentagem e resolução de um problema através de fórmula.

Dirimir dúvidas eventuais.

8. Abordan-do situações específicas do jogo dos discos

Comentários sobre o jogo dos discos em outros tipos de ladri-lhamentos.

Estudo do texto. Informações complementares que podem ser explicadas aos estudantes.

Possibilidades de novas inves-tigações usando ladrilhamentos do plano.

Acompanhar a leitura.



Mapa conceitual do Modelo de Despoluição

Antes de apresentarmos o mapa deste experimento, daremos algumas orientações

gerais referentes aos seus três Ciclos.


No Ciclo 1 do modelo de despoluição, o Formador orienta os professores cursistas na

leitura do texto, auxilia-os na construção, no desenvolvimento e na execução do experi-

mento que simula a despoluição de um lago. Além disso, ele os acompanha na interpre-

tação inicial do experimento, quando o modelo matemático começa a ser elaborado.

No Ciclo 2, o Formador acompanha a continuação do desenvolvimento do modelo

matemático e o estudo teórico de conceitos associados a este modelo (logaritmo, pro-

gressão geométrica, função exponencial e noção intuitiva de limite). É seu papel ajudar

na resolução de eventuais dúvidas relacionadas a esses conceitos.




Lembramos que, nos três Ciclos, é também função do Formador acompanhar e geren-



No Ciclo 1, o professor cursista deverá simular o processo de despoluição de um lago

por meio de um experimento. O texto orienta a construção do lago-modelo, a preparação

do poluente, e orienta como o professor cursista deve proceder para inserir e retirar parte

deste poluente do lago-modelo. Neste Ciclo, o professor cursista coleta dados referentes ao

experimento, constrói tabelas para organizá-los e é conduzido à elaboração de uma equa-

ção que modela o processo de despoluição. Desta forma, ele executa as duas primeiras

etapas do processo de modelagem matemática: compreensão do problema e construção

do modelo matemático.

No Ciclo 2, o professor cursista executa as outras etapas do processo de modelagem

matemática: a resolução do modelo matemático e a validação do modelo matemático. Ao

executar essas etapas, o professor participa do estudo teórico do experimento, exploran-

do conceitos como progressão geométrica, função exponencial e logaritmo. Além disso,

constrói diversos gráficos associados ao modelo matemático elaborado.

No Ciclo 3, o professor cursista é convidado a planejar e aplicar junto aos seus estudan-

tes uma aula associada a um dos três experimentos estudados (jogo dos discos, modelo de

despoluição e desafio geométrico). Para auxiliá-lo nesse trabalho, são oferecidos modelos


Mapa conceitual do Modelo de Despoluição 15


Depois dessas orientações, vamos ao mapa do experimento do modelo de despoluição.

Nele, listamos as seções de cada um dos ciclos, apresentando os objetivos centrais, os

conceitos matemáticos e pedagógicos desenvolvidos e as propostas apresentadas para o

professor cursista se aprofundar em seus conhecimentos matemáticos e para utilizar em

sua sala de aula.

Além disso, apresentamos algumas dicas referentes a essas seções, que colaborarão

para um melhor desempenho de seu trabalho de Formador junto ao professor cursista.

Conhecendo um pouco mais o Ciclo 1

CICLO 1: EXPERIMENTANDO A DESPOLUIÇÃO




Dicas para o Tutor

1. Era uma vez um lago...

Nesta seção, inicia-se o desafio, apresentando um problema ecológi-co, que será o ponto de partida para a modela-gem matemática.

Mostrar ao pro-fessor que ele pode iniciar suas aulas trazendo informações externas a elas, porém relaciona-das ao conteúdo que será traba-lhado. Com isso, busca-se provocar curiosidade e interesse nos alu-nos. Nesta seção, relacionamos Matemática com Biologia.

2. Simu-lando a despolui-ção de um lago...

Nesta seção são apre-sentadas as instruções para a construção da simulação do modelo de despoluição natural do lago e o primeiro experimento desse pro-cesso de despoluição.

Propõe-se ao professor cursista resolver ativida-des que mostrem a quantidade de volume de poluente após o primeiro experi-mento.

Propõe-se ao pro-fessor construir a simulação do processo de des-poluição natural com materiais de baixo custo, e re-solver atividades simples envolven-do quantidade de volume de poluente.

Fração, unidade de medida de volume e porcen-tagem.

É importante chamar a aten-ção para o fato de que fração é um conteúdo que costuma gerar dúvida nos alunos. Assim, recomenda-se que, se necessá-rio, o professor faça uma breve revisão sobre o assunto.

continua...







Dicas para o Tutor

3. E o nosso processo de des-poluição continua...

Nesta seção, apresenta--se a alteração na quan-tidade de poluentes do lago-modelo com a continuação do experi-mento.

Propõe-se ao professor cursis-ta calcular, com base no segundo experimento, a quantidade res-tante de poluente no lago-modelo.

Fração e porcen-tagem.

4. E agora, o que se passa?

Nesta seção, mostra-se, a partir das ações des-poluidoras realizadas no experimento, que a quantidade de poluen-te não é constante, mas sim uma razão entre a quantidade de mistura retirada e a quantidade total de poluente na mistura.

Propõe-se ao professor a ela-boração de uma lista de perguntas que conduzam o aluno a raciocinar sobre o fato de o volume do po-luente eliminado do experimento não ser constan-te.

Interação e fra-ção.

5. Simu-lação e hipóteses simplifica-doras

Nesta seção, apresen-tam-se as hipóteses simplificadoras adota-das para a realização desse experimento.

Fração, porcenta-gem e razão.

As hipóteses sim-plificadoras foram elaboradas para que o experimen-to fosse realizado, considerando a Matemática do Ensino Médio. Ressalta-se que é possível realizar esse experimento com outras hipó-teses mais sofisti-cadas, porém isso exigiria técnicas matemáticas mais elaboradas.

continua...







Dicas para o Tutor

6. Modela-gem mate-mática

Nesta seção, apresenta--se a modelagem mate-mática (e suas etapas) como uma forma de aplicar a linguagem matemática a proble-mas da vida real. Neste caso trata-se da mode-lagem matemática do processo de despolui-ção.

É importante des-tacar para o pro-fessor que a vali-dação do modelo visa a comparar a solução obtida no experimento e os dados reais.Com essa vali-dação, busca-se garantir que as hipóteses simpli-ficadoras adota-das no modelo matemático não o tornaram mui-to distante da situação-proble-ma real.

7. Explo-rando a matemá-tica da simulação

Nesta seção, retomam--se os conceitos es-tudados nas seções anteriores e utilizam-se as ferramentas mate-máticas para compre-ender precisamente os resultados do experi-mento.

Propõe-se ao pro-fessor cursista or-ganizar, em uma tabela, os dados obtidos por meio dos cálculos das quantidades de poluente restante em cada período de 24 horas até o 5º dia do experi-mento.

Fração, porcenta-gem e razão.

Chamar a atenção para o fato de que é possível o professor traba-lhar com seus alunos os dados matemáticos em outros formatos, tais como tabelas e gráficos. Esta seção apresen-ta dados que poderão servir para esse tipo de atividade.

8. Cons-truindo nosso modelo...

Nesta seção, mostra-se que, sabendo a quanti-dade inicial de poluen-te, pode-se estabelecer a relação existente entre a quantidade de poluente na água, em um determinado perío-do a(n), e a quantidade restante no período seguinte a(n+1), tendo como resultado uma equação recursiva.

Propõe-se ao professor cursista analisar os dados da tabela calcula-dos na Atividade 4 desta seção, a fim de verificar se o lago-modelo ficará totalmente isento de polui-ção em algum momento.

Fração, porcenta-gem e equação recursiva.

Exploração da ideia intuitiva de limite (que será desenvolvida no Ciclo 2), que está implícita na Atividade 5 desta seção.




CICLO 2: EXPLORAÇÕES MATEMÁTICAS


Propostas para

Sala de Aula


Dicas para o Tutor

1. Despolui-ção do rio Tietê

Nesta seção introduz--se o Ciclo 2, com a exemplificação de um problema ambiental real: a poluição do rio Tietê. A partir daí, o professor cursista é levado a refletir sobre o que pode acontecer com o lago-modelo poluído.

Enfatizar ao profes-sor que ele pode iniciar suas aulas associando os conte-údos matemáticos a situações mais fami-liares aos alunos.

2. Quando, afinal, nosso lago ficará limpo?

Com esta seção, objetivamos levar o professor a refletir se existe uma forma simples de verificar a quantidade de dias para despoluir o lago-modelo deste desafio.

Propõe-se ao professor cur-sista calcular a quantidade de dias que serão necessários para a despoluição do lago-modelo, considerando o nível mínimo de poluente esta-belecido e as informações da tabela construí-da na Atividade 4 da seção 7 do Ciclo 1.

Limite de pro-gressões geomé-tricas.

É importante desta-car que a concentra-ção mínima de po-luentes, estabelecida para se considerar o lago despoluído (40 mL), foi fixada arbi-trariamente somente para fins pedagógi-cos.

3. Recapitu-lando...

Nesta seção, faz-se uma breve revisão das etapas da mode-lagem matemática abordadas no Ciclo 1.

É importante chamar a atenção do profes-sor para o fato de que a validação não encerra a modela-gem, pois a modela-gem matemática de um problema real é um processo dinâ-mico. Assim, ao vali-darmos um modelo, podemos propor e apresentar variações e aprimoramentos para esse mesmo modelo.

continua...





Propostas para

Sala de Aula


Dicas para o Tutor

4. Resolvendo o modelo ma-temático...

Nesta seção, apre-senta-se o cálculo do tempo de despolui-ção do lago-modelo, por meio de uma progressão geomé-trica.

Propõe-se ao professor cur-sista calcular a quantidade de dias que serão necessários para a despoluição do lago-modelo, considerando o nível de poluente inferior a 1 mL.

Formação e área de um fractal, equação recur-siva, progressão geométrica, prin-cípio da indução finita, função ex-ponencial, loga-ritmo, inequação e noção intuitiva de limite.

É importante refor-çar para o professor que a expressão “fór-mula fechada” não é de uso corrente na Matemática; ela foi adotada neste Curso para se contrapor à equação recursiva (tida como “aberta”).

5. Logaritmos Nesta seção, apre-senta-se o logaritmo como uma ferramen-ta auxiliar nos cál-culos que envolvem progressões geomé-tricas e equações exponenciais.

Logaritmo: defini-ção, propriedades e história, função exponencial, Ma-temática relacio-nal, progressão aritmética, pro-gressão geomé-trica.

Logaritmos são, às vezes, considerados como um dos pontos mais difíceis do Ensi-no Médio, e também muitos alunos o con-sideram um dos mais inúteis. Esta interpre-tação não é origina-da de características do próprio conceito matemático, e sim da forma como ele é, em geral, abordado na escola.

6. Uma imagem vale mais que mil números?

Nesta seção, apresen-ta-se o gráfico como ferramenta auxiliar na representação do processo de simula-ção de despoluição do lago-modelo.

Propõe-se ao professor cursista fazer compara-ções entre as duas represen-tações gráficas associadas ao modelo de des-poluição. e fazer uma investigação sobre a existên-cia de diferentes gráficos para o mesmo modelo.

Representações gráficas de dados, equação recursiva, fór-mula fechada, pares ordenados, função exponen-cial e seu gráfico, gráfico de função escada, sequência convergente.

As diferentes repre-sentações gráficas que são elaboradas durante esta seção permitem a visua-lização do modelo matemático de des-poluição.

continua...





Propostas para

Sala de Aula


Dicas para o Tutor

7. Comporta-mento futuro

Nesta seção, apresen-ta-se o fator de vali-dação da modelagem da despoluição do lago-modelo: a fór-mula para o cálculo algébrico do tempo necessário para a despoluição do lago através da definição formal de limite.

Sequência con-vergente e defini-ção de limite.

É importante enten-der que um modelo matemático é sem-pre uma representa-ção simplificada da realidade.

8. Ampliando o modelo

Nesta seção, apresen-ta-se como gene-ralizar os cálculos aplicados na nossa modelagem para outras simulações de despoluição com quaisquer taxas e concentrações ini-ciais.

Equação expo-nencial, inequa-ção de 1º grau, gráfico de função exponencial, de-cimais e porcen-tagens.



Mapa conceitual do Desafio Geométrico

Antes de apresentarmos o mapa deste desafio, daremos algumas orientações gerais

referentes aos três Ciclos deste desafio.


No Ciclo 1 do desafio geométrico, o Formador orienta os professores cursistas na lei-

tura do texto e os auxilia na construção, no desenvolvimento e na confecção de ladrilhos

(polígonos). Além disso, o Formador auxilia na classificação dos ladrilhamentos que serão

construídos a partir desses ladrilhos, sempre respeitando o embasamento matemático

definido no texto.

No Ciclo 2, o Formador auxilia na relação que será feita entre a construção empírica

e a classificação dos ladrilhamentos estudados no Ciclo 1 e o estudo teórico de conceitos

matemáticos associados aos ladrilhamentos em geral. É seu papel ajudar na resolução de

eventuais dúvidas relacionadas a esses conceitos.




Lembramos que, nos três Ciclos, é também função do Formador acompanhar e geren-



No Ciclo 1, o professor cursista deverá classificar os ladrilhamentos com uma constru-

ção empírica dos ladrilhos. O texto orienta a construção dos ladrilhos (polígonos) e dispo-

nibiliza moldes para atividade. Neste Ciclo, o professor cursista relaciona a construção e a

classificação dos ladrilhamentos com três regras geométricas definidas no texto.

No Ciclo 2, o professor cursista associa as regras geométricas utilizadas na construção

e classificação dos ladrilhamentos com as propriedades básicas da Geometria. Ao desen-

volver essa relação, o professor participa do estudo teórico do experimento, aplicando três

abordagens: geométrica, algébrica e por hipóteses.

No Ciclo 3, o professor cursista é convidado a planejar e aplicar junto aos seus estudan-

tes uma aula associada a um dos três experimentos estudados (jogo dos discos, modelo de

despoluição e desafio geométrico). Para auxiliá-lo nesse trabalho, são oferecidos modelos


Depois dessas orientações, vamos ao mapa do desafio geométrico.



Nele, listamos as seções de cada um dos Ciclos, apresentando o objetivo central, os

conceitos matemáticos e pedagógicos desenvolvidos e as propostas apresentadas para o

professor cursista se aprofundar em seus conhecimentos matemáticos e para utilizá-los

em sua sala de aula.

Além disso, apresentamos algumas dicas referentes a essas seções, que colaborarão

para um melhor desempenho de seu trabalho de Formador junto ao professor cursista.

Conhecendo um pouco mais o Ciclo 1 do Desafio Geométrico

CICLO 1: LADRILHAMENTO COM POLÍGONOS REGULARES





1. Se essa rua fosse minha...

Nesta seção é feita a introdução do Ciclo 1, par-tindo da relação entre uma conhe-cida cantiga in-fantil e a história de Alhambra.A partir dessa re-lação, o professor cursista é levado a pensar em como no século XIII o processo de ladrilhamento era desenvolvido, mesmo sem o conhecimento geométrico for-malizado.

História da Mate-mática no Egito e na Arábia.

Mostrar ao professor que ele pode iniciar suas aulas trazendo informações externas a elas, porém relaciona-das ao conteúdo que será traba-lhado. Com isso, busca-se provo-car curiosidade e interesse nos estudantes. Por exemplo, nesta seção, relaciona-mos Geometria com Arte.

2. Antes de ladri-lhar... os ladri-lhos!

Nesta seção é feita a introdução aos polígonos regulares, que serão os ladrilhos utilizados ao lon-go deste desafio.

Propõe-se ao pro-fessor a utilização do Tangram em sala de aula como uma forma para ensinar polígonos regulares.

Polígonos regu-lares.

É importante que o professor cursista relembre a terminologia e os elementos integrantes dos polígonos regula-res, visto que es-sas informações o ajudarão neste desafio.

continua...

Mapa conceitual do Desafio Geométrico 23







3. Você sabe o que significa um ladrilhamento bem-comporta-do?

Nesta seção, são apresenta-das três regras ditas de bom comportamento, que possibilitam que o desafio seja realizado, cumprindo-se seu objetivo.

Propõe-se ao professor cursis-ta identificar as regras de bom comportamen-to por meio da observação dos ladrilhamentos apresentados no ciclo.

Elementos dos polígonos re-gulares: lado e vértice.

As três regras de bom comporta-mento foram cria-das para limitar a quantidade de ladrilhamentos no desafio, o que tornou possível a análise do expe-rimento. Mesmo sendo po-lígonos regulares, se os ladrilhos não possuírem lados de mesma medida o ladri-lhamento não atenderá à segun-da regra de bom comportamento.

4. Passo a passo, ladrilho a ladri-lho

Nesta seção, apresentam--se as etapas de construção de ladrilhamentos regulares e semi--irregulares.

Propõe-se ao pro-fessor cursista, primeiro, confec-cionar os ladri-lhos (polígonos) a partir dos moldes dados na seção, e, em seguida, construir experi-mentalmente os ladrilhamentos, relacionando-os às regras de bom comportamento (apresentadas na seção anterior).

Ampliação do pensamento abstrato por meio do material con-creto.

É fundamental alertar ao profes-sor que, no caso de ele usar E.V.A. na confecção dos ladrilhos, é reco-mendável utilizar estilete, visto que a tesoura pode provocar impre-cisões (rebarbas) no corte dos ladrilhos.Além disso, deve--se recomendar ao professor que ele utilize o má-ximo de ladrilhos possível, pois isso o ajudará a visu-alizar a expansão do ladrilhamento em um plano.

continua...








5. Fazendo um catálogo de ladri-lhamentos bem--comportados

Nesta seção, apresenta-se a classificação do vértice de um ladrilhamento bem- comporta-do.Considera-se, para tanto, os po-lígonos que estão ao redor desse vértice.A partir dessa classificação (tipo) do vértice, é possível obter o padrão do ladri-lhamento.

Propõe-se ao professor cursista classificar o pa-drão dos ladrilha-mentos a partir da construção de ladrilhamentos bem- comporta-dos.

Propõe-se ao pro-fessor construir um catálogo de ladrilhamentos bem- comporta-dos, utilizando ladrilhos em ma-terial concreto, e classificar seus vértices.

Rotação, vértices e polígonos regu-lares.

É importante chamar a atenção do professor cur-sista para o fato de que o vértice pode atender às duas primeiras regras, mas não à terceira.Neste caso, não temos um ladri-lhamento bem- comportado.

Conhecendo um pouco mais o Ciclo 2 do Desafio Geométrico

CICLO 2: ESTUDO DO DESAFIO COM POLÍGONOS REGULARES

Seção Objetivo Central

Propostas para o

Professor Cursista

Propostas para

Sala de Aula



1. Música para músi-cos? Não...

Nesta seção, a partir de uma analogia com a música, mostra-se a importância de se contextualizar o ensino da Matemática, isto é, mostrar aos estudantes como a Geometria, por exemplo, está presente no nosso dia a dia.

Matemática relacional.

Propor ao professor que ele inicie suas aulas buscando associar os conteúdos matemáticos a situações mais fami-liares aos estudantes, como a música.Isso ajudará a mostrar aos estudantes que a Matemática não é en-tendível apenas por ma-temáticos; todos podem entender a Matemática.Por trás desta seção, está implícito o conceito de Matemática relacio-nal, que é observado a partir dessa relação entre a Matemática e o estilo musical Jazz.

continua...





Propostas para o

Professor Cursista

Propostas para

Sala de Aula



2. Ângulos, dobradu-ras e dedu-ções...

Nesta seção, propõe-se fazer uma revisão dos seguintes pon-tos básicos da Geometria: •definição de polígono convexo

e determinação do resulta-do da soma de seus ângulos internos;

•determinação do resultado da soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer;

•determinação da medida do ângulo interno de um polígo-no regular.

Propõe-se ao professor cursista:•determinar

a soma dos ângulos internos de um polígo-no convexo qualquer;

•determinar a medida do ângulo interno de um polígo-no regular.

Propõe-se ao profes-sor a uti-lização da técnica de dobradura em papel para de-monstrar a soma dos ângulos internos de um triângulo.

Reta paralela, ângulos alter-nos internos e congruentes, classificação dos triângu-los e seus elementos (vértices, base, altura e mediana), ponto médio do segmento, teorema de Tales, con-gruência de triângulos, soma dos ângulos in-ternos de um polígono con-vexo, número de diagonais de um vértice de um polígo-no convexo, graus e suas subdivisões.

Chamar a atenção do professor para o fato de que os pontos básicos da Geometria aborda-dos nesta seção são fun-damentais para realizar construções geométri-cas mais complexas.Assim, relembrar esses pontos é importante tanto para os estudantes desse professor quanto para ele próprio.

3. Ladri-lhamentos sob novos ângulos

Nesta seção, apresenta-se a relação entre as regras de bom comportamento e os ângulos in-ternos dos polígonos regulares, considerando o ladrilhamento e o vértice.

Soma dos ângulos internos de um polígono regular.

Ressaltar para o pro-fessor cursista que esta seção faz a ligação entre o conteúdo visto empi-ricamente no Ciclo 1 e o que será desenvolvido matematicamente no Ciclo 2.

4. Na pista do ladri-lhamento

Nesta seção, apresenta-se a regra delimitadora, que indica qual é o número máximo e o mínimo de polígonos regulares ao redor de cada vértice de um ladrilhamento bem- comporta-do.

Medida dos ângulos internos de um polígono regular.

Destacar para o profes-sor cursista que a regra delimitadora é funda-mental, pois é ela que determina quais serão os padrões de ladrilha-mentos analisados no decorrer do desafio.

continua...





Propostas para o

Professor Cursista

Propostas para

Sala de Aula



5. Quem é quem no reino da Poligolân-dia?

Nesta seção, o professor cursista é conduzido a uma pesquisa cujo objetivo é determinar quais são os polígonos regulares que compõem um vértice de um la-drilhamento bem-comportado. Essa pesquisa é desenvolvida em três subseções:5.1 Três por vez...Inicia-se essa pesquisa com o padrão (k,ℓ,m). Considera-se pelo menos:1º) um polígono com número de lados ímpar; 2º) um polígono com número de lados par.O resultado obtido com esse padrão em ambos os casos será observado por meio de uma análise geométrica e outra algébrica.5.2 Quarteto Poli...fantásticoEm seguida, utiliza-se o padrão (k,ℓ,m,n), considerando que há, pelo menos, um triângulo que compõe esse padrão. Temos aqui uma análise geométrica e, depois, uma por hipótese.Ainda com este mesmo padrão, desconsidera-se o triângulo e adota-se o segundo menor polígono regular (o quadrado). Neste caso, temos apenas uma análise algébrica.5.3 Cinco de uma vezNa sequência, adota-se o pa-drão (k,ℓ,m,n,p). Para compor esse padrão, verifica-se, primei-ro, por meio de uma análise al-gébrica, que é necessário o uso de mais de um triângulo. Em seguida, para saber quais são os outros polígonos que compõem esse padrão, são feitas as análi-ses algébricas e por hipótese.Já na última etapa desta pesqui-sa, é apresentado o único pa-drão (k,ℓ,m,n,p,q) possível para se atender às regras de bom comportamento: (3,3,3,3,3,3).

•Verificar se existe um padrão de ladri-lhamento das formas (7,ℓ,m) e (9,ℓ,m).

•Determinar quais são os polígo-nos que compõem o padrão de ladri-lhamento (6,ℓ,m).

•Verificar se é possível ter ape-nas dois triângulos equiláteros em torno de cada vértice em um ladri-lhamento (k,ℓ,m,n,p) bem-com-portado.

•Deduzir matema-ticamente quais são os polígo-nos que compõem o padrão (3,3,m,n,3) em um la-drilhamento bem- com-portado.

Noções de direção rela-tiva, equação polinomial do primeiro grau, desen-volvimento de expressões algébricas, permutação cíclica, em que se usa a equivalên-cia entre os padrões de ladrilhamen-to.

Destacar para o pro-fessor cursista que, para investigar quais são os polígonos que constituem os padrões de ladrilhamento, no decorrer de toda esta seção, serão utilizadas três abordagens: 1. geométrica;2. algébrica;3. por hipóteses.Em cada caso, é neces-sário seguir a ordem usada no desafio, pois caso contrário não é possível determinar tais polígonos.




No Ciclo 3 (a sala de aula em foco), nós, da equipe do Matem@tica na Pr@tica, elabo-

ramos modelos de aulas relacionadas a cada um dos experimentos, as quais poderão ser

adaptadas pelo professor e aplicadas por ele junto a seus estudantes. Essas aulas estão

disponíveis no Portal do Professor do MEC.

Acreditamos que as aulas experimentais possibilitam maior envolvimento do estudante

com o conhecimento que está sendo desenvolvido, pois apresentam aspectos lúdicos e

motivadores. Além disso, este tipo de aula busca maior cooperação entre os estudantes e

maior reflexão por parte deles.

Para orientar da melhor maneira possível os professores cursistas e incentivá-los neste

ciclo, é importante que você, Formador, conheça os Ciclos 1 e 2 de cada experimento e

as aulas correspondentes a eles disponíveis no Portal. Com isso, você poderá sinalizar aos

cursistas, de forma mais precisa, em que parte dos ciclos anteriores eles poderão encontrar

respostas para seus questionamentos.

De forma geral, apresentamos a você as aulas dos três experimentos e seus objetivos.



Jogo dos Discos

Bloco de aulas“Estudando probabilidade com o lançamento de discos no piso da escola”Duas aulas integram o Ciclo 3 desse jogo.

Objetivo geral

Na aula 1, o objetivo é que os estudantes investiguem a tendência do valor da probabilidade experimental à medida que se aumenta a quantidade de lançamentos.Na aula 2, o objetivo é que os estudantes investiguem como construir experimentalmente a função probabilidade do jogo dos discos, representando-a na forma de tabela e de gráfico em um sistema cartesiano.

Modelo de Despoluição

Bloco de aulas“Despoluição de um lago: ensinando modelagem matemática por meio de um experimento prático”.Três aulas integram o Ciclo 3 desse modelo.

Objetivo geral

Na aula 1, o objetivo é que o aluno realize experimentos simulados de despoluição de um lago-modelo, utilizando os diferentes tipos de registro e sistematização dos dados (tabela, gráfico e algébrico), a fim de compreender como a Matemática do Ensino Médio pode ser importante para entender problemas ambientais. Na aula 2, o aluno poderá aprender sobre conceitos matemáticos como progressão geomé-trica e logaritmos, a partir de dados obtidos em uma experimentação prática que simula a despoluição de um lago e do processo de modelagem matemática. Esses conceitos serão abordados de forma integrada e contextualizada.Na aula 3, o aluno poderá aprender sobre a relação entre funções exponenciais e progres-sões geométricas, a partir de dados obtidos em uma experimentação prática que simula a despoluição de um lago e do processo de modelagem matemática. Além disso, aprenderá também sobre comportamentos gráficos variados para descrever um mesmo fenômeno.

Experimento 3 Desafio Geométrico

Bloco de aulas“Ladrilhamentos do plano: geometria e arte de mãos dadas”.Três aulas integram o Ciclo 3 desse desafio.

Objetivo geral

Na aula 1, o objetivo é que o aluno realize experimentos de confecção de ladrilhos e a cons-trução de ladrilhamentos utilizando diferentes modelos de polígonos regulares, a fim de compreender a importância da Geometria no Ensino Médio.Na aula 2, o aluno poderá aprender sobre polígonos regulares, seus ângulos internos e a relação que existe entre eles em um ladrilhamento, a partir de observações feitas em uma experiência prática de construção de ladrilhamentos. Esses conceitos serão abordados de forma integrada.Na aula 3, o aluno poderá estudar a matemática que está por trás dos ladrilhamentos. Para isso, ele será incentivado a investigar quais são os ladrilhamentos formados com mais de três polígonos regulares e qual é a influência desses polígonos e seus ângulos internos na construção dos ladrilhamentos do plano.

Conhecendo um pouco mais o Ciclo 3 29


Avaliação e habilidades a serem desenvolvidas

Todo o processo de avaliação do Matem@tica na Pr@tica é determinado pela instituição

ofertante em consonância com o Projeto Pedagógico do curso.

O Formador, certamente, tem papel importante nesse processo, de modo que, nesse

Manual do Formador, tecemos algumas considerações gerais sobre avaliação, assim como

sobre as habilidades que se espera dos professores cursistas neste Módulo I.

A avaliação do Módulo I deve priorizar o acompanhamento do processo de aprendiza-

gem de cada professor cursista ao longo dos Ciclos. Os professores orientadores e Forma-

dores organizarão dinâmicas de acompanhamento e registro da produção dos professores

cursistas priorizando a comunicação da realização das atividades, assim como a troca de

reflexões sobre o ensino daquele conteúdo.

Essa avaliação deverá se basear nos seguintes pressupostos básicos: acesso adequa-

do às tecnologias; uso das ferramentas do ambiente virtual do Matem@tica na Pr@tica;

periodicidade de acesso a esse ambiente virtual; realização das atividades propostas;

cumprimento dos prazos estabelecidos; registro de ideias pessoais nos diferentes espaços

do ambiente; receptividade quanto às críticas e sugestões feitas pelos professores orien-

tadores, Formadores e colegas; autonomia na busca por soluções para as dificuldades;

adequação das atividades propostas à realidade escolar do público-alvo; elaboração, im-

plementação e realização das atividades práticas junto aos estudantes do Ensino Médio;

reflexão e construção dos conceitos matemáticos abordados; autoavaliação das atividades

práticas realizadas junto aos estudantes do Ensino Médio.

As atividades do Módulo I do curso Matem@tica na Pr@tica permitem uma reflexão

sobre como ensinar Matemática de forma mais significativa para os estudantes, além de

ser uma oportunidade de interação com outras áreas do conhecimento. A utilização de

experimentos pode facilitar a construção significativa de conceitos matemáticos e tornar

possível sua conexão com o mundo real e com outras ciências. Aprender por meio de

experimentos permite ao estudante adquirir habilidades solicitadas nos Parâmetros Curri-

culares Nacionais, dentre as quais destacamos:

▹ Perceber propriedades quantitativas de fenômenos e decidir quais métodos matemá-

ticos podem ser utilizados para sua explicação ou previsão de resultados;

▹ Aprender a utilizar adequadamente calculadoras, computadores, instrumentos de

medição, reconhecendo suas limitações e potencialidades;

▹ Aplicar corretamente métodos de contagem;

▹ Reconhecer a presença de funções e utilizar gráficos para explicar e prever resultados

em fenômenos diversos;

▹ Valorizar o trabalho em grupo e na escola.

Pensamos ser adequado que o processo de avaliação consiga captar a reflexão dos

professores cursistas a respeito dessas habilidades a serem desenvolvidas com seus estu-

dantes.



Encerramento

Encerramos a apresentação do Manual do Formador do Módulo 1 do curso de especia-

lização Matem@tica na Pr@tica. Desejamos a todos um excelente trabalho! É uma grande

satisfação trabalhar com vocês para o sucesso deste curso!

Um grande abraço,

Equipe do curso Matem@tica na Pr@tica

Encerramento 31



Documents

na Pr tica - educapes.capes.gov.br · módulos pode ser vista no Projeto Pedagógico do curso. A primeira parte do Módulo I é constituída de atividades de ambientação com os