O CONCEITO DA MATRIZ DE HALEVI NO PLANEJAMENTO DO …

João Carlos E. Ferreira

GRIMA, Dep. Eng. Mecânica, UFSC

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Planejamento do Processo

Assistido por Computador - CAPP

O CONCEITO DA MATRIZ DE HALEVI

NO PLANEJAMENTO DO PROCESSO

• Planejamento do Processo (PP) ⇒ gerador de dados para todas as atividades de gerenciamento ⇒ fundamental para os processos de manufatura.

• PP: afeta todas as atividades da fábrica ⇒importantíssimo na determinação do custo das peças.

• PP: seleciona, a partir de um elevado número de alternativas, as operações mais econômicas.



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• Os seguintes fatores influenciam a seleção das operações: quantidade, complexidade da peça, natureza do material, tamanho da peça, seção transversal, precisão dimensional, custo da matéria-prima, taxa de defeitos.

• Decisões tomadas no PP: tipo de operação, máquina, dispositivos de fixação, ferramentas, trajetórias das ferramentas, condições de usinagem.



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• Sistema CAPP proposto compõe-se de três estágios:

�Tecnologia → geração dos processos teóricos

�Transformação → construção da matriz de Halevi

�Decisão → resolve (lineariza) a matriz e gera o plano de processo dinâmico para o chão-de-fábrica



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• Matriz Operação-Máquina: Tij ou Cij

�Tij → tempo para executar uma operação ina máquina j

�Cij → custo para executar uma operação i na máquina j



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G. Halevi, “Restructuring the Manufacturing Process", St. Lucie

Press, Boca Raton, EUA, 1999



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Possíveis sequências de operações na matriz ao lado (ver coluna de prioridade):

• 010, 020, 030, 040

• 020, 030, 010, 040

• 020, 010, 030, 040



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• Devido a requisitos de tolerância ⇒ algumas operações podem ser executadas na mesma máquina ou com o mesmo dispositivo de fixação ⇒ tais exigências são indicadas na coluna "REL"



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• Problema a ser resolvido: dada uma lista de operações e uma lista de recursos disponíveis, deve-se decidir qual (ou quais máquinas) usar, qual (ou quais) operações executar em cada máquina, qual deve ser a sequência, e quais devem ser as condições de usinagem.

• O critério de otimização deve ser ou a máxima produção ou o mínimo custo.

• Uma penalidade é adicionada referente ao tempo ou custo extra, sempre que houver uma troca de máquina ou setup.



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• Note que esta penalidade é por lote, e portanto éfunção da quantidade a ser produzida ⇒ quanto maior o lote, menor a penalidade, e maior a probabilidade de selecionar a melhor máquina para cada operação específica (ver exemplo no próximo slide).



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Sequência de máquinas:

#5, #6, #3, #4, #5, #3

Outra possível sequência (ver próximo slide):

#5 (010, 020, 050);

#3 (030, 060);

#4 (040)



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Sequência de máquinas:

#5, #6, #3, #4, #5, #3

Outra possível sequência (ver ao lado):

#5 (010, 020, 050);

#3 (030, 060);

#4 (040)



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• A penalidade para usar a máquina #6 é maior do que o custo de usinagem entre as máquinas #5 e #6 em sequência. Portanto ⇒ recomenda-se executar a operação 2 na máquina #5 em vez de na melhor máquina para esta tarefa (máquina #6) ⇒ neste caso somente duas penalidades serão acrescentadas ao custo do processo



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• Máquina #5 4,02 + 2,05 + 2,18 = $8,25 = 8,25 min

• Máquina #3 2,87 + 2,90 = $5,77 = 4,12 min

• Máquina #4 1,86 = $1,86 = 1,86 min

• Subtotal =$15,88 =14,23 min

• Total (três penalidades de $0,40 cada) =$17,08 =15,43 min

Custo

Mínimo



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• Máquina #1 12,48 + 4,60 + 5,96 + 5,20 + 5,12 + 6,04= $39,40 = 9,85 min

• Centro de Usinagem CNC bastante moderno que pode executar todas as operações em somente uma fixação.

• Abordagem do mínimo custo → máquinas mais velhas para desbaste, e uma máquina mais precisa e estável para o acabamento

Máxima

Produção



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• Que decisão tomar ? ⇒ vai depender da carga-máquina momentânea das máquinas ⇒ para pedidos urgentes: abordagem da máxima produção é melhor; pedidos normais ⇒ abordagem do mínimo custo será melhor.

• Esta decisão não deve ser tomada no estágio de planejamento do processo.



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Pelo menos 15 alternativas geradas a partir da matriz anterior

Ordenadas por custo

Ordenadas por tempo

Não há uma sequência de operações que satisfaz tanto o critério de tempo como o de custo, e

certamente esta não deve ser uma decisão do

processista



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• Método da Matriz de Halevi ⇒ evitar restrições artificiais.

• Estágio 1: Usa-se máquinas e ferramentas “imaginárias”(são consideradas apenas restrições tecnológicas) ⇒ são gerados processos teóricos (“TP”).

• Estágio 2: As operações “genéricas” são mapeadas em operações “efetivas” considerando-se as máquinas disponíveis.

• Estágio 3: Transforma a matriz em um plano de processo linearizado.



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Matriz Universal





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Exemplo de Matriz de

Halevi (com valores de tempos):

8 operações e 3 máquinas



Máxima Produção

Mínimo Custo



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• Estágio 1: Elaboração da Matriz Universal de Halevi (Processo “Teórico”):

� É o melhor conjunto possível de operações

� Não considera as máquinas disponíveis

� Não são considerados o volume de produção, o tempo de manuseio, o tempo de setup, etc.

� A capabilidade dos recursos imaginários podem ser encontrados no mercado ⇒ por exemplo, a potênciapotência baseia-se no maior motor elétrico que pode ser fabricado em qualquer lugar do mundo; ferramentasferramentas consideradas correspondem à melhor classe possível.

� Entretanto ⇒ Forças são restritas pela resistência da peça; profundidade de corte é restrita pela tolerância; o avanço é restrito pela rugosidade; a fixação é restrita pelo tamanho e forma das peças; etc.



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• Exemplo de dados para torneamento:

� Tipo de material; tamanho do material; lado da operação, tipo de operação (p.ex. interno); tipo de corte (p.ex. desbaste); comprimento de corte; profundidade de corte; diâmetro após a operação; tolerância após a operação; rugosidade após a operação; avanço máximo; velocidade de corte máxima para uma vida de 15 minutos; restrição dominante (p.ex. fixação, tolerância); tipo de grupo de ferramentas (p.ex. ferramentas direitas, para abertura de canal); ângulo de posição mínimo.



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• Estágio 2: Elaboração da Matriz de Halevi (máquinas disponíveis):

� O ajuste (conversão) considera os seguintes fatores: tamanho da máquina; precisão da máquina; características especiais; potência e torque disponíveis; velocidades e avanços disponíveis; número de ferramentas; tipos de controles; tempo de manuseio; etc.



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Exemplo de tempos

diretos



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Exemplo de tempos

diretos



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• As máquinas disponíveis são consideradas uma a uma:

� Inicialmente o tamanho da máquina é verificado: se ela não puder acomodar a peça, ela não é mais considerada.

� Depois, a precisão é verificada: se a máquina não puder efetuar nenhuma operação, ela é excluída da matriz.

� O tempo ou custo de uma operação específica que não puder ser executada é atribuído um alto valor (p.ex. 9999), evitando-se que tal máquina seja selecionada para aquela operação.



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• Para menores mudanças na profundidade de corte, tenta-se reduzir a profundidade de desbaste, e aumentar a profundidade de acabamento, isto se o acabamento permitir

• Os campos “de segmento a segmento” e “tipo de corte” podem ser usados para indicar se há um corte de acabamento seguido de um desbaste.

• A profundidade máxima de corte amax para o passe de acabamento pode ser calculada da seguinte forma:

8,0max

)32(

BHN

Ra a=





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• A diferença entre amax e a profundidade de corte para o passe de acabamento corresponde à quantidade de aumento ou redução permissível dos cortes de acabamento e de desbaste, respectivamente.

• Se tais ajustes na profundidade de corte não forem suficientes, o corte de desbaste é subdividido em um corte de desbaste e outro de acabamento, ou então em um corte de desbaste, semi-acabamento e acabamento.

• Tenta-se usar a máxima profundidade de corte permitida pela máquina para o desbaste, e a mínima profundidade de corte para o acabamento.

• Se o avanço requerido for maior do que o disponível, ele é reduzido ao avanço máximo disponível.





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• No caso das forças de corte, ao ajustar-se as condições de usinagem, as forças de corte podem ser reduzidas, mas nunca aumentadas.

• A força depende de fatores como flexão da peça, tração, compressão, fixação, etc.

• Se a profundidade de corte e/ou avanço são alterados, as forças de corte são alteradas também. O cálculo das forças de corte ajustadas depende de como as forças de corte (TP) foram estabelecidas. A equação abaixo pode ser usada para ajustar o valor: 75,0

1

2

1

212 **

=

f

f

a

aFF No caso de indicação das

forças por um especialista



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No caso de não haver indicação das forças (para operações de torneamento)

)*16,0(*** 35,075,0 BHNfaCF p=

Cp = constante (225 para aço; 140 para ferro; 365 para ligas temperadas; 130 para ligas não-ferrosas)

a, f, BHN = valores ajustados





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• Torque ⇒ função das forças de corte multiplicadas pelo diâmetro;

• Potência ⇒ função linear das forças de corte e velocidade de corte.

• Se o torque calculado for maior do que o torque da máquina ⇒o avanço será reduzido até 57% do seu valor recomendado ⇒se esta redução não for suficiente: a profundidade de corte seráreduzida (para fresamento ⇒ busca-se alterar a o diâmetro da ferramenta ou o número de dentes antes de reduzir a profundidade de corte).



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• Como a velocidade de corte é função da profundidade de corte e do avanço, a velocidade de corte teórica é recalculada antes de verificar-se a velocidade disponível (em rpm). Se a rpmrequerida for maior do que a disponível ⇒ ela é reduzida àmáxima rpm disponível.

• Com base na modificada profundidade de corte, avanço, e velocidade de corte, calcula-se a potência requerida ⇒ se ela for maior do que a potência disponível, a velocidade de corte éreduzida a 63% do seu valor inicial ⇒ se esta redução não for suficiente, reduz-se a profundidade de corte, avanço, velocidade,ou uma combinação destes fatores.



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• As condições de usinagem ajustadas são usadas para calcular o tempo de usinagem (Tij) da operação específica naquela máquina.

• Tempo de manuseio é acrescentado ao tempo de usinagem calculado, e a soma é introduzida na matriz.

• Para converter tempo em custo ⇒ a taxa de utilização horária da máquina é multiplicada pelo tempo de usinagem.



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• Estágio 3: Linearização da Matriz (seleção do plano de processo).



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• Se:

� N = número de operações

� M = número de máquinas

� Número de combinações possíveis = N! * MN (que pode ser considerada infinita).

• Algum método deve ser proposto para resolver este problema rapidamente.



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• Método: “Teoria de Bellman” (de programação dinâmica) ⇒Decisões são tomadas escolhendo-se o caminho ótimo entre quaisquer duas operações (estágios).

• Assume-se que os resultados das decisões são cumulativos, e as consequências para o futuro são as mesmas ⇒ o problema consiste em que direção ir a partir do ponto atual na matriz.

• Número de combinações usando-se este método = N * (N-1) * M

• Um dos problemas a ser resolvido é qual sequência de operações resultará na solução ótima ⇒ o procedimento de Bellmann deve ser modificado para ser adaptado a este problema.



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• Duas fases: A 1ª corresponde a “bottom-up” ⇒ da última operação para a primeira, operação por operação, determinando o caminho ótimo (seleção das máquinas) independente da operação anterior.

• Entretanto, todas as decisões anteriores são revisadas em cada estágio de maneira a examinar o efeito da sequência de operações.

• A sequência que resulta no caminho total ótimo é selecionada.



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• 2ª fase: “top-down” ⇒ da primeira operação até a última ⇒revê-se o ótimo alcançado examinando-se o efeito da sequência de operações de qualquer estágio até a primeira operação.

• A sequência que resulta no caminho ótimo total é usada.

1. Valor do elemento = Tij

2. Valor total para baixo = Zij

3. Ponteiros para o caminho = Pij



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• O cálculo começa com a operação I-1 e máquina 1, onde I é a última operação.

• Problema: Qual máquina deveria ser usada a partir deste ponto de maneira a chegar-se ao valor mínimo? ⇒ Como esta é a última operação, a penalidade Rij deve ser adicionada quando a máquina é alterada. Portanto, as alternativas são:

S1 = TI-1,1 + TI,1

S2 = TI-1,1 + R1,2 + TI,2

S3 = TI-1,1 + R1,3 + TI,3

...

Sj = TI-1,1 + R1,j + Ti,j



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• O caminho escolhido é quando Sj é o valor mínimo ⇒ este valor mínimo é colocado na matriz total como ZI-1,1.

• A matriz de caminhos lista o número da máquina k da operação I-1 que resulta no valor mínimo mencionado acima.

• Portanto, PI-1,1 = k



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• Este processo é repetido para a operação I-1 e máquina 2 (resultando nos valores de ZI-1,2 e PI-1,2) e assim por diante até a máquina j e todos os valores de ZI-1,j e PI-1,j serem calculados.

• São consideradas todas as operações I-2, I-3, etc. até a primeira operação.

• As alternativas gerais de junção a serem avaliadas podem ser expressas como:

Sj = Ti,j + Zi+1,k + Rj,k (para k = 1, 2, ..., j)



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• A junção a ser avaliada é a operação i na máquina j, e o seu tempo/custo = Ti,j

• Deste ponto, pode-se prosseguir para baixo para executar a operação i+1 com uma das j máquinas disponíveis

• A solução ótima para cada máquina na operação i+1 é o total Zi+1, e independe do caminho pelo qual ela foi alcançada.

• O termo Rj,k é a penalidade que cobre os gastos/tempos referentes à mudança de máquina.



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• A junção da operação 9 e máquina 4 (usando-se a equação que relaciona a força com o avanço e a profundidade) indica que o valor de S2 = T9,4 + Z10,2 + R4,2 é o valor mínimo de todos os S’s para aquela junção.

• Isto significa que Z9,4 terá o valor de S2, e o caminho P9,4 terá o valor 2 (apontando para a máquina 2). Este caminho émostrado na figura abaixo:



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• O caminho para prosseguir para a máquina 6 foi calculado pela equação S6 = T9,4 + Z10,6 + R4,6. Entretanto, verificando-se os caminhos para baixo mostrou que a máquina 4 foi selecionada para as operações 12 e 13. Se a sequência de operações puder ser alterada para 9, 12, 13, 10, 11, somente dois tempos de transferência ocorrerão neste caminho, evitando-se penalidades. Portanto, a equação para calcular S6 é alterada para S6 = T9,4 + Z10,6 + R4,6 – R7,4.

• Se este novo S6 for menor que S2, a sequência de operações será alterada para a mostrada abaixo:



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• O valor de Z9,4 terá o valor de S6, e o caminho P9,4 terá o valor 4 (apontando para prosseguir para a máquina 4).

• Esses cálculos e verificação de caminhos são feitos para qualquer alternativa. O código de prioridade indica se a sequência de operações pode ou não ser alterada.

• Os valores na primeira coluna da matriz total (Z1,j) representam o custo/tempo total necessário para produzir a peça começando-se com qualquer das máquinas disponíveis.

• A máquina escolhida para a primeira operação é a que resulta no menor valor de Z1,j.

• A matriz de caminhos levará então para a seleção da máquina para outras operações e à sequência de operações.



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• A solução proposta acima considera alterar a sequência de operações olhando-se para baixo, evitando-se tempos de transferência.

• Para melhorar a solução ⇒ segunda fase: as operações são examinadas de primeira operação para baixo no caminho calculado, verificando-se se uma mudança na sequência de operações poderia reduzir o tempo total de usinagem



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• Verifica-se o valor total da primeira operação indica que a máquina 4 resulta no valor mínimo. Portanto, a máquina 4 éselecionada para a operação 1.

• A matriz de caminhos leva à seleção das máquinas para outras operações (ver linhas grossas na figura anterior).

• Examinando-se os valores da matriz para as máquinas escolhidas indica que a operação 4 tem um valor menor quando executada na máquina 4 comparado com a máquina 2 (T4,4 < T4,2). Entretanto, ela não é selecionada porque:

T3,2 + T4,2 < T3,2 +T4,4 + R2,4



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• A penalidade R2,4 deve ser adicionada, pois a máquina 4 não está disponível na parte inferior do caminho.

• Olhando-se de cima para baixo, vê-se que a máquina 4 estádisponível, e se de acordo com o código de prioridade ela puder ser movida para a frente, nenhuma penalidade deve ser adicionada.

• Portanto, a sequência de operações deve ser 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7 (ver figura abaixo)



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• Se a operação 4 não puder ser executada antes da operação 3, esta mudança de sequência n”ao será permitida.

• Entretanto, pode ser possível executar operações 3 e 5 antes das operações 1 e 2. Isto significa que a operação 4 não serálevada para cima, e sim as operações 1 e 2 serão trazidas para baixo (ver figura abaixo).



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Matriz Universal de Halevi



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Máquinas consideradas



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Matriz de tempos resultante da combinação da Matriz Universal e da Matriz de Máquinas



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Matriz de custos resultante da multiplicação da matriz de tempos pelo custo relativo (última coluna da Matriz de Máquinas)

Mínimo custo



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• Critério da Máxima Produção:� Supor um pedido de 1000 peças; tempo de setup = 30 minutos ⇒

penalidade para transferir o lote de uma máquina para outra = 30/1000 = 0,03 minutos.

� Na Matriz de Tempos ⇒ valor total mínimo = tempo total de usinagem para a máquina #1 ⇒ no critério de máxima produção, a máquina #1 deveria executar todas as operações.

� Valor total = 8,59 minutos (comparado ao TP de 7,69 minutos).

� Para gerar um processo alternativo ⇒ excluir a máquina #1 e resolver a matriz ⇒ neste caso, a máquina #2 será selecionada (uma grande fresadora CNC).



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• Critério do Mínimo Custo:� Tamanho de lote = 1000; custo de setup e outras despesas para

usinar o lote = $200 ⇒ penalidade para transferir o lote de uma máquina para outra = 200/1000 = $0,20.

� Na matriz de custos ⇒ a melhor máquina para cada operação individual varia ⇒ no caso de penalidade = 0, o mínimo custo seráo custo de processamento usando a máquina que resulta no menor custo ⇒ $17,45

� Entretanto, se a penalidade for ≠ 0 ⇒ 7 penalidades deveriam ser adicionadas ao custo mínimo, uma para cada mudança de máquina ⇒ 17,45 + 8*0,2 = $19,05



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Matriz de soma total Zi,j



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Matriz de caminhos Pi,j



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• Começando com a operação 8 e máquina 1, calcular os valores de S:

Sj = T8,j + Z9,j + R8,j

• Notar que Z9,j é igual a T9,j pois ela é a última operação.

S1 = 1,28 + 1,2 + 0 = 2,48

S2 = 1,28 + 1,05 + 0,2= 2,53

S3 = 1,28 + 1,20 + 0,2= 2,68

S4 = 1,28 + 0,86 + 0,2= 2,34

S5 = 1,28 + 9999 + 0,2 = 10000

S6 = 1,28 + 0,90 + 0,2= 2,38

• Valor mínimo de S = 2,34 ⇒ transferência para a máquina 4 ⇒Z8,1 = 2,34 e P8,1 = 4



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• Similarmente, para a operação 8 na máquina 2, tem-se os seguintes valores de S:

S1 = 1,11 + 1,2 + 0,2 = 2,51

S2 = 1,11 + 1,05 + 0 = 2,16

S3 = 1,11 + 1,20 + 0,2= 2,51

S4 = 1,11 + 0,86 + 0,2= 2,17

S5 = 1,11 + 9999 + 0,2 = 10000

S6 = 1,11 + 0,90 + 0,2= 2,21




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S1 = 1,64 + 18,87 + 0 = 20,51

S2 = 1,64 + 16,84 + 0,2 = 18,68

S3 = 1,64 + 14,30 + 0,2 = 16,14

S4 = 1,64 + 9999 + 0,2 = 10000

S5 = 1,64 + 9999 + 0,2 = 10000

S6 = 1,64 + 15,20 + 0,2 = 17,04




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S1 = 1,12 + 18,87 + 0,2 = 20,19

S2 = 1,12 + 16,84 + 0,2 = 18,16

S3 = 1,12 + 14,30 + 0,2 = 15,62

S4 = 1,12 + 9999 + 0,2 = 10000

S5 = 1,12 + 9999 + 0,2 = 10000

S6 = 1,12 + 15,20 + 0 = 16,32

• Valor mínimo de S = 15,62 ⇒ transferência para a máquina 3 ⇒Z3,6 = 15,62 e P3,6 = 3.



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• Se a máquina 6 for escolhida para executar a operação 3 ⇒operação 4 será processada pela máquina 3, pois P3,3 = 3.

• A operação 5 será executada pela máquina 3, pois P3,4 = 3.



• Como o caminho começa com a máquina 6 e retorna para a máquina 6 ⇒ verifica-se se a sequência de operações pode ser alterada para eliminar uma das penalidades de transferência.

• A mudança pode ser feita movendo-se a operação 3 para baixo. Entretanto, a precedência da operação 7 é a operação 2, que significa que as operações 7, 8 e 9 podem ser movidas para cima ⇒ isto é indicado colocando-se o valor de P3,6 = 703, que significa que antes de prosseguir para a operação 4 na máquina 3, a peça deve passar para a operação 7 na máquina 6, seguir todas as operações na máquina 6, e somente então mover para a operação 4 na máquina 3.



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• Os cálculos continuam até que todos os valores nas matrizes Zi,j e Pi,j sejam preenchidos.

• Recomenda-se iniciar com a máquina cujo valor de Zi,j seja o menor ⇒ em nosso caso, o valor mínimo é Z1,5 = 18,59 ⇒ a operação 1 é executada na máquina 5.

• A operação 2 será executada na máquina indicada por P1,5

(máquina 2) e segue o caminho como indicado na matriz.

• Entretanto, antes de prosseguir para a operação 3 na máquina 6, verifica-se se qualquer outra operação pode ser executada economicamente na máquina 2 ⇒ varrendo-se a matriz de custos para baixo encontra-se que a máquina 2 pode executar a operação mais economicamente ⇒ T5,2 = 1,17

• Verifica-se então se a sequência de operações pode reduzir o tempo total de usinagem ⇒ a precedência da operação 5 é a operação 1, significando que a operação 5 pode ser movida para cima.



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• Assim, depois da operação 2 a peça prossegue para a operação 5 na máquina 2, e então prossegue para a operação 3 na máquina 6.

• Esses ajustes reduzem o valor total da operação 1 na máquina 2 para 18,43, e na máquina 5 para 18,39.

• O valor mínimo da matriz de custo total é 18,39 na máquina 5 ⇒ isto significa que o processo deveria iniciar na máquina 5, e a matriz de caminhos indica a seqüência e o plano de processo.



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Tempo Total = 1,62 + 0,71 + 1,76 + 7,37 = 11,46 + 4X0,03 = 11,58 minutos

Custo Total = 1,62 + 2,13 + 3,52 + 10,32 = 17,59 + 4X0,2 = $18,39

2,55 + 4,82 = 7,373,57 + 6,75 = 10,32

4, 63

0,56 + 0,28 + 0,47 + 0,45 = 1,76

1,12 + 0,56 + 0,94 + 0,90 = 3,52

3, 7, 8, 96

0,32 + 0,39 = 0,710,96 + 1,17 = 2,132, 52

= 1,62= 1,6215

Tempo (minutos)CustoOperaçãoMáquina



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• O processo recomendado pela solução da matriz condiz com a prática geral de chão de fábrica (usar máquina barata, imprecisa e provavelmente velha para desbaste – máquina 5) ⇒ não escolher o centro de usinagem CNC para qualquer operação faz sentido.



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• Comparando-se os dois critérios de otimização para a peça exemplo:

� Máxima produção ⇒ tempo = 8,59 minutos; custo = $34,36

� Mínimo custo ⇒ tempo = 11,58 minutos; custo = $18,39

• Existem muitas alternativas entre esses extremos:



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• Alternativa 1:� O plano de processo recomendado pela matriz é puramente um

ótimo matemático ⇒ entretanto, transferindo-se o roteamento recomendado para o setor de gestão da produção (em vez da matriz) ⇒ esconde o fato que o custo de processamento éaumentado em 0,2% (de $18,39 para $18,43) executando-se a operação 1 na máquina 2.

� O tempo de usinagem é reduzido em 8,9% (de 11,58 para 10,55), e somente três máquinas são necessárias (ver figura abaixo):



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• Alternativa 2:� Verificando-se a tabela 4.10 ⇒ mínimo custo de usinagem

($18,39) ocorre quando a máquina 5 é selecionada para começar o processo ⇒ portanto, o plano de processo recomendado émostrado na tabela 4.13.

� Entretanto ⇒ este é um ótimo matemático, e não necessariamente uma boa solução na prática ⇒ o custo de usinagem é $18,43 se a máquina 2 for selecionada para a primeira operação, e $18,69 se a máquina 3 for selecionada.

� A diferença entre estas alternativas é quase desprezível, mas isto não é explicitado para o setor de gestão da produção.



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• Algumas das muitas alternativas de planos de processo sugeridas pelo método da matriz são mostradas na figura abaixo, que fornece o tempo para cada máquina e o tempo e custo totais para produzir á peça usando cada alternativa.

• O número de possíveis alternativas chega a milhares.

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