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O Jogo das
Eleições
Trabalho realizado no âmbito da disciplina Actividades Matemáticas do 1º Ano do
Mestrado em Ensino da Matemática no 3º Ciclo do ensino Básico e no ensino
Secundário
Trabalho realizado por:
Ana Silva Nuno Pena
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 2 | P á g i n a
Conteúdo Conteúdo ....................................................................................................................................... 2
Introdução ..................................................................................................................................... 3
Preferência de Boletins de Voto e Preferência de Listas/ Tabelas ............................................... 4
Transitividade e Eliminação de Candidatos .................................................................................. 5
Movimentação das preferências individuais – Transitividade: ................................................. 5
Eliminação de Candidatos: ........................................................................................................ 5
Método da Pluralidade .................................................................................................................. 6
O Critério de Maioria ................................................................................................................. 6
Quais as Falhas do Método da Pluralidade? ............................................................................. 7
O Critério de Condorcet ............................................................................................................ 8
Método de Contagem de Borda .................................................................................................... 9
Quais as Falhas do Método de Contagem de Borda? ............................................................... 9
Método de Hondt ........................................................................................................................ 11
Bibliografia/ Webgrafia: .............................................................................................................. 15
Anexos: ........................................................................................................................................ 16
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 3 | P á g i n a
Introdução
A democracia não é o voto, é a contagem1
Nós votamos nas eleições presidenciais, nas legislativas, nas autárquicas, nas escolas,
etc. O paradoxo é que quantas mais oportunidades tivermos de votar, menos parece que
apreciamos o significado do voto.
A razão de termos eleições é porque não pensamos todos do mesmo modo. Votar é a
primeira metade desta história, a outra metade é a contagem. Como funciona o processo de
encontrar e escolher uma voz que represente um grupo? Esse processo é sempre justo? A
Teoria das Eleições pretende responder a estas questões.
Para que é necessária uma teoria das eleições? Temos uma eleição, contamos os
votos, baseado na contagem decidimos os resultados das eleições de forma a que pareça o
mais justo possível. Certamente haverá uma maneira de o conseguir, mas
surpreendentemente não há.
Nos anos 50 do século XX, o Matemático e Economista Kenneth Arrow descobriu um
facto notável: Para eleições envolvendo três ou mais candidatos, não havia um método justo
e democraticamente consistente de escolher um vencedor. Na realidade, Arrow demonstrou
que um método para determinar os resultados das eleições que seja democrático e justo é
matematicamente impossível. Este facto é conhecido como o Teorema da Impossibilidade de
Arrow.
Abordaremos agora alguns métodos de votos – como funcionam, quais as implicações,
entre outras.
1 Tom Stoppard.
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 4 | P á g i n a
Preferência de Boletins de Voto e
Preferência de Listas/ Tabelas
Os votos de preferência são votos em que o eleitor ordena os candidatos por ordem de
preferência. Este tipo de votação permite saber a opinião do eleitor em relação a todos os
candidatos, ou seja, além de sabermos a sua primeira escolha, também sabemos a sua
segunda escolha, e por aí em diante até à última opção.
Uma forma lógica de organizar estes votos é agrupando-os sempre que tenham a
mesma ordenação/ preferência.
Vejamos o seguinte exemplo:
A Maths Appreciation Society2 vai eleger um representante de entre
quatro candidatos. Os candidatos são a Andreia (A), o Berardo (B), o Célio (C) e o
Dário (D). Cada um dos 37 membros vota num boletim indicando o candidato de
primeira preferência, de segunda preferência, de terceira preferência e por
último a quarta preferência. Vejamos na figura à direita o boletim de voto e em
baixo os 37 boletins após o sufrágio.
Quem será o candidato vencedor das eleições?
Costuma-se dizer “Cada cabeça, sua sentença”, logo haverá vários arranjos3 dos
boletins mas certamente que haverá boletins com a mesma ordenação de candidatos. Sendo
assim, agrupamos os boletins
idênticos entre si e chamamos
Ordenamento Preferencial
para a eleição. Seguem-se os
votos organizados.
2 Maths Appreciation Society - passaremos a designá-lo pelo acrónimo MAS
3 No exemplo o número possível de votos diferentes é .
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 5 | P á g i n a
Transitividade e Eliminação de
Candidatos
Existem duas importantes notas às quais temos de prestar atenção quanto
trabalhamos com Boletins Preferenciais:
Movimentação das preferências individuais – Transitividade: Significa que se um eleitor preferir o candidato A em detrimento do candidato B mas
preferir o candidato B em detrimento do candidato C, então podemos concluir pela
movimentação das preferências que o eleitor prefere o candidato A em detrimento do
candidato C.
Eliminação de Candidatos: As preferências dum eleitor não são afectadas pela eliminação de um candidato.
Observe-se o seguinte exemplo:
Se porventura ocorresse algum imprevisto com o candidato B e houvesse uma
desistência, teríamos que retirar o candidato do boletim de voto e todos os candidatos que
estivessem numa ordem de preferência inferior ao candidato desistente subiriam um lugar. No
nosso exemplo o candidato D sobe do terceiro para o segundo lugar e o candidato A sobe do
quarto lugar para o terceiro lugar mas continua a ser o último classificado.
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 6 | P á g i n a
Método da Pluralidade
O Método da Pluralidade4 talvez seja o método mais conhecido e vulgarmente
utilizado no escrutínio de candidatos.
A essência deste método reside em eleger o candidato que obtiver o maior número de
preferências para o primeiro lugar. Realçasse que no MP a única informação proveniente do
boletim utilizada é o voto para a primeira preferência, nada mais interessa.
Aplicando o MP às eleições para a Maths Appreciation Society então temos os
seguintes resultados:
Votos referentes às Eleições da MAS segundo o Método da Pluralidade
A - obtêm 14 votos para o 1º lugar B - obtêm 4 votos para o 1º lugar
C - obtêm 11 votos para o 1º lugar D - obtêm 8 votos para o 1º lugar
Então, o candidato A seria o eleito; o vencedor das eleições na MAS.
A popularidade deste método resulta não apenas da sua simplicidade mas também do
facto de ser um natural prolongamento da “Regra da Maioria” em qualquer eleição
democrática entre dois candidatos, o que tiver a maioria5 vence.
Quando existem mais de dois candidatos a regra da maioria nem sempre pode ser
explicada: na eleição MAS do nosso exemplo existem 37 votos. Logo serão necessários 196
votos no primeiro lugar para obter a maioria exigida. No entanto não existe nenhum candidato
com pelo menos esse número de votos. O candidato A tem 14 votos na primeira preferência,
tem mais do que qualquer ou dos outros candidatos por conseguinte, tem a Pluralidade.
O Critério de Maioria Enquanto que a Pluralidade não implica uma Maioria, uma Maioria implica uma
Pluralidade. Temos então que um candidato que tem a maioria dos votos de preferência para
o primeiro lugar é o vencedor segundo o MP.
A noção de que a maioria de primeiros lugares garantirá, automaticamente, o
vencedor da eleição, faz sentido e é um requisito importante para uma eleição justa e
democrática.
Critério de Maioria: Se houver uma escolha que tenha a maioria dos votos dos
primeiros lugares de uma eleição então essa preferência será a vencedora.
4 Método da Pluralidade – passaremos a designá-lo pelo acrónimo MP.
5 Entenda-se por Maioria como superior à metade.
6 Metade de 37 votos são 18,5 votos. Como não existem meios votos, para ser maioria teremos que
arredondar para cima. Então neste exemplo: .
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 7 | P á g i n a
O MP satisfaz o Critério da Maioria e é muito usado em Democracia, no entanto há
outros métodos de escrutínios de eleições nos quais um candidato pode ter a maioria dos
votos de primeiro lugar mas no entanto ser um outro candidato a alcançar a vitória.
Quais as Falhas do Método da Pluralidade? Apesar da utilização generalizada o MP, ele comporta alguns defeitos sendo também
uma má escolha para metodologia eleitoral quando existem mais de dois candidatos. A sua
principal desvantagem é não permitir a preferência dos eleitores para além da primeira
escolha podendo assim conduzir a alguns resultados eleitorais muito fracos.
Observemos o seguinte exemplo:
Uma Universidade tem uma excelente banda de cerimónias. São tão bons que no
próximo Ano Novo vão desfilar em cinco diferentes competições desportivas: no Futebol (F),
no Basquetebol (B), no Ténis (T), no Voleibol (V) e no Hóquei (H). Foi realizada uma votação
entre os 100 elementos dessa banda para decidir em qual das competições desportivas iriam
participar.
Os resultados da votação estão na próxima Tabela de Preferência:
Tabela de Preferências do local de actuação da Banda de Cerimónias
Nº de Votos 49 48 3 1ª Escolha F B T 2ª Escolha B H B 3ª Escolha T V H 4ª Escolha V T V 5ª Escolha H F F
Se utilizarmos o MP, o vencedor será o Futebol – F com 49 votos que manifestam a
preferência do 1º lugar. No entanto do Basquetebol - B, que obteve 48 votos para o 1º lugar e
52 votos para o 2º lugar. O censo comum diz-nos que o Basquetebol poderia ser uma melhor
escolha.
Se compararmos o Basquetebol com qualquer outro desporto no critério “um por um”
tornaria o Basquetebol na escolha preferida. Por exemplo, o Futebol – F teria 49 votos e o
Basquetebol – B teria 51 votos (48 + 3).
Resume-se então ao seguinte problema: embora o Basquetebol vença por comparação
um a um, entre si e qualquer outra escolha, o método da pluralidade falha ao escolher o
Basquetebol – B como vencedor. Podemos então dizer que, para este exemplo, o método da
pluralidade não satisfaz o requisito básico da equidade, também conhecida como Critério de
Condorcet.
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 8 | P á g i n a
O Critério de Condorcet Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquês de
Condorcet, pensador, matemático e revolucionário francês,
nasceu em 1743 e faleceu em 1794. As suas ideias a favor de
certas reformas legais e educacionais, a sua posição pela
tolerância religiosa e contra a escravatura fazem dele uma
figura típica do Iluminismo. Destacou-se nas ciências exactas,
ingressando na Academia das Ciências em 1769. Tornou-se
também membro de outras academias europeias. Em 1789,
aderiu com entusiasmo à Revolução Francesa. Acabou por
ser perseguido pela revolução que tanto tinha apoiado,
Condorcet foi preso. Escreveu “Esquisse d'un tableau
historique des progrès de l'esprit humain (1795)”. Trata de
uma doutrina optimista, que pressupõe a capacidade de o Homem se aperfeiçoar
infinitamente.
Critério de Condorcet – Se houver uma eleição cuja comparação um a um é preferida
pelos eleitores sobre todas as outras formas de escolha, a preferência será a vencedora das
eleições.
Quando se diz que o MP “Não Satisfaz” o Critério Condorcet, significa que, numas
eleições, é possível um candidato vencer por comparação um a um mas utilizando o método
da Pluralidade perde as eleições. É o que ocorre no exemplo anterior (da Banda de
Cerimónias). No entanto, esta “não satisfação” nem sempre ocorre.
Quando um candidato é o preferido dos eleitores por comparação um a um
designamos por Candidato Condorcet. Então, o Critério de Condorcet diz-nos que se numa
eleição, um candidato for o Candidato Condorcet então deverá ser o vencedor das eleições. Se
não existir Candidato Condorcet, nesse caso, o critério não se aplica.
Se existir uma votação não sincera7, dissimulada, ela poderá afectar os resultados de
uma eleição. Com o MP isto pode ocorrer facilmente. No exemplo anterior, os candidatos que
elegeram o Ténis – T como primeira preferência, sabendo que o Ténis nunca irá vencer
poderão preferir o Basquetebol – B que será uma preferência com possibilidades de
elegibilidade. Esta espécie de voto falso alterará as eleições.
Um exemplo real do convite à votação dissimulada devido à utilização do MP ocorreu
pela primeira vez em 1992, nos Estados Unidos da América, nas eleições presidenciais. Havia
três candidatos, Ross Perot, Bill Clinton e George Bush, no entanto apenas os dois candidatos
eram elegíveis já que pertencerem a partidos fortíssimos, eram o candidato Bill Clinton e o
candidato George Bush. Muitos eleitores que preferiam Ross Perot acabaram por votar num
dos outros dois candidatos pois se votassem no candidato Ross Perot o seu voto seria
“desperdiçado”.
7 Um eleitor que altere a ordem verdadeira das suas preferências no boletim, numa tentativa de
influenciar o resultado da eleição contra um certo candidato, é chamado “voto dissimulado”.
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 9 | P á g i n a
Método de Contagem de Borda
Jean-Charles de Borda8 nasceu em Dax a 4 de
Maio de 1733 e finou em Paris a 19 de Fevereiro de 1799. Foi
um matemático e cientista político francês. Em 1756
escreveu “Mémoire sur le mouvement des projectiles”
produto do seu trabalho como engenheiro militar já que
tinha sido Oficial de Cavalaria. Por causa desse trabalho seria
eleito para a Academia de Ciências de França em 1764.
Também foi um viajante. Passou algum tempo nas Caraíbas e
entre 1777 e 1778 participou na Guerra da Independência
dos Estados Unidos da América. Em 1981 foi nomeado
responsável de vários navios da Marinha Francesa, tornando-
se Capitão.
Contudo, um pouco antes, em 1770 formulou um sistema de votação, conhecido como
Método de Contagem de Borda.
Segundo esta metodologia, a cada candidato no boletim de voto é atribuída uma
pontuação. Numa eleição com N candidatos, atribuímos 1 ponto ao último, 2 pontos ao
penúltimo, … e N pontos ao candidato mais votado. Os votos são contados separadamente por
candidato e o que obtiver maior pontuação será o vencedor da eleição.
Utilizemos o Método de Contagem de Borda para escolher o vencedor das eleições da
MAS.
Pontos referentes às Eleições da MAS segundo o Método de Contagem de BORDA
Nº de Eleitores 14 10 8 4 1 1ª Opção: 4 pontos A: 56 pts C: 40 pts D: 32 pts B: 16 pts C: 4 pts 2ª Opção: 3 pontos B: 42 pts B: 30 pts C: 24 pts D: 12 pts D: 3 pts 3ª Opção: 2 pontos C: 28 pts D: 20pts B: 16 pts C: 8 pts B: 2 pts 4ª Opção: 1 pontos D: 14 pts A: 10 pts A: 8 pts A: 4 pts A: 1 pt
Vamos agora contar/ somar os pontos:
A - obtêm : 56 + 10 + 8 + 4 + 1 = 79 pontos B - obtêm : 42 + 30 + 16 + 16 + 2 = 106 pontos C - obtêm : 28 + 40 + 24 + 8 + 4 + = 104 pontos D - obtêm : 14 + 20 + 32 + 12 + 3 = 81 pontos
Então, a lista B seria a lista eleita; a vencedora das eleições na MAS.
Quais as Falhas do Método de Contagem de Borda? Ao contrário do Método da Pluralidade, o Método de Contagem de Borda toma em
consideração toda a informação fornecida pelos votos de preferência.
8 http://pt.wikipedia.org/wiki/Jean-Charles_de_Borda [30-Março-2011; 12:14]
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 10 | P á g i n a
O problema com o Método de Contagem de Borda é que este não satisfaz o “Critério
da Maioria”, ou seja, o candidato com que obtém a maioria das preferências no primeiro lugar
pode não vencer as eleições.
Vejamos o seguinte exemplo:
O Reitor da Universidade de Coimbra vai-se reformar. Haverá lugar a eleições para
eleger o novo Reitor. Existem 4 candidatos, o candidato A, o candidato B, o candidato C e o
candidato D. Houve lugar à votação e decidiram usar este método para determinar o vencedor
das eleições. Os resultados constam na seguinte tabela:
Votos das eleições para eleger o novo Reitor da Universidade de Coimbra utilizando o Método de Contagem de BORDA
Nº de Eleitores 6 2 3 1ª Opção: 4 pontos A B C 2ª Opção: 3 pontos B C D 3ª Opção: 2 pontos C D B 4ª Opção: 1 pontos D A A
Vamos agora contar/ somar os pontos de cada candidato:
A - obtêm : 6 x 4 + 2 x 1 + 3 x 1 = 8 pontos B - obtêm : 6 x 3 + 2 x 4 + 3 x 2 = 32 pontos C - obtêm : 6 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 30 pontos D - obtêm : 6 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 19 pontos
O novo Reitor da universidade de Coimbra é o candidato B com um total de 32 pontos.
Contudo, o candidato A tem 6 em 11 votos como primeira preferência e portanto, maioria. Isto
é possível porque neste exemplo o Método de Contagem de Borda não verifica o “Critério da
Maioria” e automaticamente o “Critério de Condorcet”.
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 11 | P á g i n a
Método de Hondt
“Criada poucos meses depois da Revolução do 25 de Abril de 1974, a Comissão
Nacional de Eleições – CNE, acompanhou, desde o início, a construção do edifício democrático
português, procurando contribuir com o seu saber, equidade, independência e espírito de
missão cívica, para uma sociedade livre e pluralista, onde os actos eleitorais sempre se
afirmaram como verdadeiras e transparentes manifestações da vontade e das opções dos
eleitores.
A sua história, o notável papel dos seus Presidentes, a enorme dedicação e qualidade
dos seus membros, e de tantos outros colaboradores, é indissociável dos resultados até hoje
alcançados.”9
“O método Hondt é um modelo matemático utilizado para
converter votos em mandatos com vista à composição de órgãos
de natureza colegial. Este método tem o nome do seu criador o
advogado Belga Victor D'Hondt, nascido em 1841 e falecido em
1901, que se tornou professor de Direito Civil na Universidade de
Gand em 1885. Os dois tipos de sistemas eleitorais são o sistema
Maioritário e o sistema de Representação Proporcional (RP).
O sistema de RP caracteriza-se, essencialmente e de modo
simples, pelo facto de o número de eleitos por cada candidatura
concorrente a um determinada eleição ser proporcional ao
número de eleitores que escolheram votar nessa mesma candidatura. Ora, no âmbito deste
sistema existem várias fórmulas ou modelos matemáticos que podem ser utilizados para
transformar votos em mandatos a atribuir às candidaturas concorrentes a certa eleição, sendo
o método de Hondt um deles.
O método de Hondt, integra a categoria dos métodos de divisores - por contraposição à
categoria dos métodos de maiores restos - pois a operação matemática consiste precisamente
na divisão do número total de votos obtidos por cada candidatura por divisores previamente
fixados, no caso 1, 2, 3, 4, 5, e assim sucessivamente.
Este método procurou solucionar, no sistema de RP, o problema da distribuição de
mandatos causado pelo método de Thomas Hare, conhecido por Quota de Hare, no qual
sobram restos o que obriga a duas operações para atribuição da totalidade dos mandatos.
Dentro da mesma categoria do método de Hondt existem outros que utilizam
diferentes divisores, casos, do método Sainte-Laguë (1, 3, 5, 7, etc), método Sainte-Laguë
modificado (1.4, 3, 5, 7, etc), método Dinamarquês (1, 4, 7, 10, 13, etc), método Huntigton (1.2,
2.3, 3.4, 4.5, etc) e método Imperiali (2, 3, 4, 5, etc.).
9 http://www.cne.pt/index.cfm?sec=0103010000
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 12 | P á g i n a
Algumas das vantagens que são comummente apontadas ao método de Hondt são as
seguintes: Assegura boa proporcionalidade (relação votos/mandatos); muito simples de aplicar
em comparação com outros (com apenas uma operação atribui todos os mandatos); efeitos
previsíveis e é o método mais utilizado no mundo (amplamente implementado em inúmeros
países democráticos, tais como Holanda, Israel, Espanha, Argentina e Portugal).
Por outro lado, a principal desvantagem que lhe é atribuída pelos seus críticos é o facto
de, tendencialmente, favorecer os partidos maiores.
No entanto, os seus efeitos dependem de outros elementos determinantes do sistema
eleitoral (entre eles os círculos eleitorais quer em termos de dimensão territorial, quer em
termos de magnitude, isto é, número de representantes a eleger).
Para avaliar dos resultados do método de Hondt é, essencial, atender aos dois
objectivos considerados como fundamentais para o sucesso de qualquer sistema eleitoral, a
saber, inclusividade e governabilidade.
O mesmo é dizer que o método adoptado deve ser capaz de, por um lado, integrar
todas as diferentes correntes de opinião que existem numa sociedade dentro do sistema
político (na perspectiva da pluralidade de opiniões) e, por outro, assegurar condições de
governação do Estado, ou seja, condições de estabilidade que permitam o desenvolvimento
económico, político, social e cultural da sociedade.
Em Portugal, as leis eleitorais da Assembleia da República, Assembleias Legislativas das
Regiões Autónomas, Autarquias Locais e Parlamento Europeu seguem o sistema de
representação proporcional e utilizam o método de Hondt, muito embora este apenas encontre
consagração constitucional quando à primeira.
O método aplica-se mediante a divisão sucessiva do número total de votos obtidos por
cada candidatura pelos divisores (1, 2, 3, 4, 5 etc.) e pela atribuição dos mandatos em disputa
por ordem decrescente aos quocientes mais altos que resultarem das divisões operadas. O
processo de divisão prossegue até se esgotarem todos os mandatos e todas as possibilidades
de aparecerem quocientes iguais aos quais ainda caiba um mandato.
Em Portugal encontra-se legalmente prevista uma correcção ao método Hondt puro,
na medida em que, caso falte atribuir o último mandato e se verifique igualdade do quociente
em duas listas diferentes, tal mandato será atribuído à lista que em termos de resultados totais
tenha obtido menor número de votos.”10
10
http://www.cne.pt/index.cfm?sec=0501010100
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 13 | P á g i n a
Assembleia da República – Lei Eleitoral11
Artigo 13º
Número e Distribuição de Deputados
1. O número total de deputados é de 230.
2. O número total de deputados pelos círculos eleitorais do território nacional é de 226,
distribuídos proporcionalmente ao número de eleitores de cada círculo, segundo o
método de média mais alta de Hondt, de harmonia com o critério fixado no artigo 16º.
3. …..
Artigo 16º
Critério de eleição
A conversão dos votos em mandatos faz-se de acordo com o método de representação
proporcional de Hondt, obedecendo às seguintes regras:
a) Apura-se em separado o número de votos recebidos por cada lista no círculo eleitoral
respectivo;
b) O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1, 2, 3, 4, 5,
etc., sendo os quocientes alinhados pela ordem decrescente da sua grandeza numa
série de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo;
c) Os mandatos atribuídos às listas a que correspondem os termos da série estabelecida
pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos os seus
termos na série;
d) No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos seguintes da série
serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver obtido menos
número de votos.
11
http://www.cne.pt/dl/lear2002.pdf
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 14 | P á g i n a
Referendo em Portugal
Lei Orgânica do Regime do Referendo12
Artigo 240º Eficácia Vinculativa
O referendo só tem efeito vinculativo quando o número de votantes for superior a
metade dos eleitores inscritos no recenseamento.
Com que espírito terá sido construída esta lei? Esta lei beneficia alguma das respostas a um
referendo? Sim? Não?
Analisemos o referendo13 realizado em Portugal em 2007. Não abordaremos o tema do
referendo mas sim a matemática do referendo.
Há duas respostas possíveis. A resposta Sim e a resposta Não.
12
http://www.cne.pt/dl/legis_lorr_2010.pdf 13
http://eleicoes.cne.pt/
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 15 | P á g i n a
Bibliografia/ Webgrafia:
Tannenbaum, Peter; “Excursions in modern mathematics” – Sixth Edition – Pearson.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Jean-Charles_de_Borda [30-Março-2011; 12:14];
http://wps.prenhall.com/esm_tannenbaum_excursions_6/51/13160/3369067.cw/index.html
[30-Março-2011; 12:16];
http://www.infopedia.pt/$condorcet [5-Abril-2011;15:30];
http://pt.wikipedia.org/wiki/Marie_Jean_Antoine_Nicolas_Caritat [5-Abril-2011; 15:40];
http://www.cne.pt/dl/lear2002.pdf [05-Abril-2011; 16:10];
http://www.cne.pt/index.cfm [05-Abril-2011; 16:38];
http://www.legislativas2009.mj.pt/ [05-Abril-2011; 16:47];
http://eleicoes.cne.pt/raster/index.cfm?dia=22&mes=01&ano=2006&eleicao=pr [05-Abril-
2011; 17:00]
http://www.cne.pt/dl/legis_lorr_2010.pdf [05-Abril-2011; 18:00]
http://daniel-braga.blogspot.com/2009/08/o-metodo-proporcional-de-hondt.html [05-Abril-
2011; 18:42]
http://www.cne.pt/index.cfm?sec=0501010100 [05-Abril-2011; 18:43]
Actividades Matemáticas
O Jogo das Eleições 16 | P á g i n a
Anexos:
