O Método Monte Carlo na Escolha de Políticas

de Manutenção

PRO5775 - Análise Econômica de Sistemas de Operações

Professor Doutor Israel Brunstein

Rodrigo Soares Martão

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Sistemas Complexos

• Problemas de manufatura complexos têm solução analítica formal difícil e muitas vezes até impossível de se obter.

• Outra opção seria o método de tentativa e erro, podendo até ser conduzido de maneira que permitisse “interpolação” entre as soluções propostas.

• Porém o método de tentativa e erro consome tempo e dinheiro e muitas vezes é impraticável.

Solução: SIMULAÇÃO

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Simulações

“Simulação é assumir a aparência de, sem a realidade”(Webster)

Determinar um sistema real (tecnológico, humano, econômico...) e de alguma maneira duplicá-lo, usando papel, caneta, palavras, símbolos, computadores, etc.

Problema: Afastamento da realidade

• para simular um sistema é necessário o conhecimento do comportamento e características das partes ou componentes do sistema para podermos predizer o comportamento dinâmico do sistema todo. Entretanto o conhecimento das partes individualmente não garante o conhecimento do comportamento do sistema como um todo uso de modelos.• modelos focam geralmente apenas algumas características ignora as demais (grande maioria).

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Tipos de Simulação

• quanto à quantidade de decisão humana:

• quanto a chances ou probabilidades:

Necessidade de decisões humanas ao

longo do processo

Problema é totalmente estruturado antes de ser

iniciada a simulação

Ausência de processos estocásticos

(processos heurísticos)

Uso de processos estocásticos

(probabilidades)

Método Monte Carlo

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Método Monte Carlo

Monte Carlo é uma técnica de se gerar dados para simulações através da criação de uma correlação entre números aleatórios e uma função de distribuição acumulada.

A partir desta correlação, ao se gerar números aleatórios obtemos uma seqüência de dados “futuros” (simulados).

Pode ser utilizado na obtenção de padrões como números de faltas num determinado dia, números de defeitos num dado lote, número de horas entre falhas, e assim por diante.

MODELO

Nos. ALEATÓRIOS /DIST. ACUMULADA

GERAÇÃO DE Nos. ALEATÓRIOS

DADOSSIMULADOS

SISTEMA

6/16Porque Distribuição Acumuladae Números Aleatórios?

Vamos supor o uso de números aleatórios de 0 à 1 e que as variáveis de interesse possam assumir seis valores (2,3,4,5,6 e 7). Poderíamos representar de duas maneiras:

Histograma

0

0,1

0,2

0,3

0,40,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 2 3 4 5 6 7 8

x

Pro

bab

ilid

ade

de

x

Histograma Acumulado

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

xP

rob

abil

idad

e d

e x

ou

m

eno

s

1 2 3 4 5 6 7 8

30%

O uso de distribuições acumuladas e números aleatórios faz com que cada um dos dados de interesse apareça com a mesma freqüência relativa esperada, porém numa ordem aleatória.

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Utilizando o Método Monte Carlo

• O uso de médias e distribuições matemáticas é adequado (com cuidado) quando se possuem apenas as médias ou os dados históricos disponíveis não são confiáveis.

• Com o uso de tabelas e gráficos não é obrigatório escolher uma distribuição matemática como Poisson, normal, binomial, etc.

• Se não há razão para supor mudança no processo atual, então a distribuição pode ser construída explicitamente sobre a experiência passada. A distribuição ou histograma de dados empíricos pode ser usado como distribuição de freqüência acumulada para ser usada contra os números aleatórios.

•Para cada simulação, com seu modelo associado, um número correspondente à medida da efetividade deve ser computado, de maneira a permitir comparação entre as soluções.

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Utilizando o Método Monte Carlo

Passos:1) Escolha uma medida de efetividade.2) Decida quais variáveis influem nessa medida.3) Determine uma distribuição apropriada para representar

tais variáveis.4) Escolha as soluções potenciais para o problema.5) Gere o conjunto de números aleatórios.6) Obtenha os dados de interesse a partir da correlação com

os números aleatórios.7) Insira os dados de interesse no modelo de medida da

efetividade e compute.8) A partir dos resultados em 7 escolha a melhor solução.9) Faça constatações de confiabilidade a respeito da escolha

feita em 8.

9/16Exemplo:Padrão de Vendas

O sistema de controle de inventário de uma firma está sendo testado e precisamos de um padrão de vendas de 12 dias para tal.

HIPÓTESES:• a distribuição de vendas é aleatória (ou não se tem histórico confiável);• número médio diário de vendas é 5 vendas por dia.

SOLUÇÃO:A distribuição de probabilidade acumulada será

determinada através de uma distribuição de Poisson, onde {P(v|m)= probabilidade de 5 ou menos vendas sendo 5 a média}

vc

c

c

ec

mvP0

5

!

5)5|(

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DIA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

No. Aleat.

v

TABELA DO PADRÃO DE

VENDAS

Exemplo:Padrão de Vendas

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

v

PR

OB

AB

ILID

AD

E A

CU

MU

LA

DA

DE

v O

U M

EN

OSVendas 0 1 2 3 4 5

P(v,5) 0,01 0,04 0,12 0,26 0,44 0,62

No. Aleat. 01 02-04 05-12 13-26 27-44 45-62

Vendas 6 7 8 9 10 11

P(v,5) 0,76 0,87 0,93 0,97 0,99 1,00

No. Aleat. 63-76 77-87 88-93 94-97 98-99 00

TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA

0,57 0,71 0,73 0,7 0,16 0,53 0,43 0,26 0,06 0,66 0,35 0,09

Um conjunto de números aleatórios foi usado para gerar seqüências de números que possuem a mesma característica da situação atual que se deseja simular. Enquanto o modelo estatístico empregado continue a representar o sistema real, os padrões simulados serão seguramente confiáveis para uma grande variedade de propósitos.

5 6 6 6 3 5 4 3 2 6 4 2

11/16Estudo de Caso:Política de Manutenção

Uma companhia química possui uma série de bombas de injeção de alta pressão operando sobre condições similares. Esta companhia deseja estabelecer a política de manutenção mais adequada.

Dados:• Cada bomba possui 3 válvulas de entrada e 3 de saída. Estas válvulas são sujeitas a falha e o custo de sua rotina de manutenção é da ordem de 9.500 horas-homem/ano.

• Quando uma válvula falha a bomba deve ser desligada e preparada para conserto: é retirado uma proteção para expor o jogo de válvulas de entrada ou a proteção do jogo de válvulas de saída.

• Não há custos de parada das bombas uma vez que possuem outras bombas stand-by para serem usadas durante a manutenção das válvulas.

12/16Estudo de Caso:Política de Manutenção

Operação Tempo (horas)

Parada e preparativos 1/2

Retirar a proteção (qualquer) 2/3

Desmontar 1 válvula 1/3

Inspecionar 1 válvula 5/4

Montar uma válvula 1/3

Montar a proteção (qualquer) 2/3

Custos de manutenção expressos em tempo

Distribuição da probabilidade de falha

acumulada de um válvula qualquer

13/16Estudo de Caso:Política de Manutenção

Observação: a companhia fez um teste qui-quadrado para checar a hipótese zero de que a idade da válvula em que ocorre a falha segue uma distribuição normal. A probabilidade encontrada foi de 24% ou menos. Embora não seja uma probabilidade baixa o suficiente para descartarmos a hipótese zero, utilizaremos a distribuição empírica obtida dos históricos de manutenção.

Soluções propostas:I. Reparar uma válvula apenas quando ela falhar.II. Reparar as 3 válvulas de entrada se uma válvula de

entrada falhar, ou as 3 válvulas de saída se uma válvula de saída falhar.

III.Reparar todas as 6 válvulas toda a vez que for preciso desligar uma bomba para reparar uma válvula.

IV.Reparar toda válvula que falhar e mais toda que exceder uma vida média estimada (560 horas)

14/16Estudo de Caso:Política de Manutenção

Tabela para geração dos números aleatórios

e dos 10 primeiros ciclos de vida das

válvulas (a partir da distribuição da

probabilidade de falha acumulada de uma válvula qualquer)

1 2 3 4 5 6

No Aleat.

1ª vida

No Aleat.

2ª vida

No Aleat.

3ª vida

No Aleat.

4ª vida

No Aleat.

5ª vida

No Aleat.

6ª vida

No Aleat.

7ª vida

No Aleat.

8ª vida

No Aleat.

9ª vida

No Aleat.

10ª vida

Válvulas de Entrada Válvulas de Saída

0,705 0,872 0,396 0,366 0,776 0,478

0,548 0,759 0,376 0,354 0,895 0,007

0,036 0,479 0,961 0,106 0,864 0,448

0,892 0,581 0,486 0,647 0,318 0,439

0,442 0,681 0,672 0,676 0,865 0,741

0,249 0,580 0,141 0,261 0,047 0,963

0,330 0,145 0,533 0,167 0,244 0,563

0,326 0,836 0,648 0,692 0,237 0,965

0,874 0,057 0,380 0,994 0,619 0,525

0,104 0,022 0,054 0,653 0,349 0,571

740 970 440 420 820 510

570 800 430 410 1000 30

80 510 1200 170 960 490

1010 600 520 670 380 480

480 690 700 700 960 780

320 600 210 330 100 1230

390 210 560 240 310 580

380 900 680 720 310 1220

980 110 430 1420 640 540

170 60 560 680 400 590

15/16Estudo de Caso:Política de Manutenção

Experiência simulada de falha

nas válvulas

1 I I I I

2 I I I I I

3 I I I I I

4 I I I I I

5 I I I I

6 II I I I

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1 I I I I I

2 I I I I

3 I I I I

4 I I I I

5 I I I I

6 I I I I I

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600

CA

SO

IC

AS

O I

I

EN

TR

AD

AS

AÍD

AE

NT

RA

DA

SA

ÍDA

HORAS DE OPERAÇÃO

EN

TR

AD

AS

AÍD

AE

NT

RA

DA

SA

ÍDA

CA

SO

III

CA

SO

IV

2300 hs

2300 hs

2300 hs

16/16Estudo de Caso:Política de Manutenção

Análise das alternativas de políticas de manutenção

No. Tempo No. Tempo No. Tempo No. Tempo

Parada e preparativos 1/2

Retirar a proteção de entrada 2/3

Retirar a proteção de saída 2/3

Desmontar 1 válvula 1/3

Inspecionar 1 válvula 5/4

Montar uma válvula 1/3

Montar a proteção de entrada 2/3

Montar a proteção de saída 2/3

Horas/Operação

OperaçãoI II IVIII

Válvulas trocadas / Tempo total .

20 10

9 6

11 7,33

20 6,67

20 25

20 6,67

9 6

11 7,33

20 / 75

13 6,5

6 4

7 4,67

39 13

39 48,75

39 13

6 4

7 4,67

39 / 98,58

14 7

14 9,33

14 9,33

84 28

84 105

84 28

14 9,33

14 9,33

84 / 205,33

17 8,5

8 5,33

12 8

24 8

24 30

24 8

8 5,33

12 8

24 / 81,17

MELHORALTENATIVA