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O Número de Nielsen Relativo
CLAUDEMIR ANIZ
Orientador: PROF. DR. OZIRIDE MANZOLI NETO
Dissertação apresentada ao Institudo de Ciências Matemáticas
e de Computação-USP, como parte dos requisitos para obtenção
do título de Mestre em Ciências - Área: Matemática.
USP - São Carlos
Maio de 1998
Ao meu pai Antonio Ismael Aniz (in memorian).
Agradecimentos
Aos professores Oziride Manzoli Neto e Lucilia Daruiz Borsari, que foram
meus orientadores e meus amigos.
À minha mãe Aparecida de Abreu Aniz, meus irmãos José Antonio, Reginal-
do e Ismael, pelo incentivo que em muitos momentos tornou-se indispensável.
A todos os meus professores, em particular para a professora Ires Dias pelo
apoio e atenção.
Aos meus amigos André, Carlos e Alexandra, que foram colegas de estudo.
Ao CNPq, pelo auxílio financeiro.
Resumo
O objetivo deste trabalho é introduzir o número de Nielsen relativo
N(f; X, A), para aplicações f : (X, A) (X, A) entre pares de espaços,
com propriedades semelhantes aos do número de Nielsen, como invariância
homotópica e invariância por tipo de homotopia. De NU; X, A) > NU)
NU; X, 0), o número de Nielsen relativo é no caso A 0 um limitante infe-
rior melhor do que NU) para o número mínimo p(f; X, A) de pontos fixos
na classe de homotopia de f, onde as homotopias são aplicações da forma
H: (X x I, A x I) (X, A). Condições para um par (X, A) de poliedros
finitos são dadas para assegurar que o número de Nielsen relativo é de fato
o melhor limitante inferior, isto e, NU; X, A) = p(f; X, A).
Abstract
The purpose of this work is to introduce the relative Nielsen number
NU; X, A) for maps of pairs of spaces f : (X, A) (X, A), with similar
properties to the usual Nielsen number as homotopy invariance 3.nd homotopy
type invariance. From NU; X, A) > NU) = NU; X, 0), the relative Nielsen
number is in the case A 0 a better lower bound than N(f) for the minimum
number j4f ; X, A) of fuced points in the homotopy class of f, here homotopy
means maps of pairs of the form H : (X x I, A x I) (X, A). In the
case (X, A) is a fmite polyhedral pair, conditions are given to guarantee
that the relative Nielsen number is in fact the best lower bound, that is,
N(f ; X, A) = g( f ; X, A).
índice
Introdução 1
1 Preliminares 4
1.1 Teoria de índice para Poliedros 4
1.2 O Número de Nielsen 11
1.3 Teorema de Minimização 17
2 O Número de Nielsen Relativo 22
2.1 Definição e Propriedades 22
2.2 Teorema de Minimização Relativo 29
Apêndice 41
Referências Bibliográficas 51
Introdução
A teoria de ponto fixo de Nielsen preocupa-se com a determinação do número
mínimo p,(f) de pontos fixos na classe de homotopia de uma dada aplicação
f : X —> X (isto é, uma função contínua). Para este propósito o número de
Nielsen NU) é introduzido, que é sempre um limitante inferior para p,(f) e em
muitos casos o melhor limitante inferior. No entanto, se f: (X, A) —> (X, A)
é uma auto aplicação de pares de espaço e as homotopias são aplicações da
forma H: (X x I, Ax I) —> (X, A), percebemos que NU) é um mau limitante
inferior para o número mínimo g( f ; X, A) de pontos fixos na classe de homo-
topia de f: (X, A) —> (X, A). Para ver isto, considere o caso onde X = B2
é um disco e A = 51 o círculo que o borda. Se f : (B21 5') —> (B2 , 31)
uma aplicação onde f Is' tem grau d, então todas as aplicações homotópicas
f : (B2, Si') (B2, ) tem pelo menos id — 1 pontos fixos sobre 51 (ver
exemplo 1.2.1). Portanto Id — l < p,(f; X, A), mas NU) = 1. Daí a ne-
cessidade de introduzir um número de Nielsen "relativo"para aplicações de
pares de espaços, que faz o mesmo papel de N(f) e é um melhor limitante
inferior para g( f ; X, A).
O capítulo um, usa como referências [8], [5], [6] e [3]. Neste capítulo apre-
sentamos de forma resumida a teoria de ponto fixo de Nielsen. Definimos
índice para poliedros finitos conexos, listamos suas principais propriedades e
calculamos índice de pontos fixos isolados de funções reais. A definição do
1
número de Nielsen e as demonstrações de suas propriedades básicas é feita
na secção 1.2.
Na secção 1.3 descrevemos o problema de determinar o número mínimo
de pontos fixos, enunciamos o Teorema de Minimização 1.3.1 e apresen-
tamos alguns resultados técnicos indispensáveis para o desenvolvimento
do capítulo 2.
O propósito do capítulo dois, que é baseado em Schirrner [1] é introduzir o
número de Nielsen relativo NU; X, A). A definição de NU; X, A) na secção
2.1 usa a definição existente de classe de pontos fixos para uma aplicação
f : X X. Mais precisamente, NU; X, A) é obtido adicionando ao número
N(f) de classes de ponto fixos essenciais de f: X X, isto é, a aplicação
f considerada como uma auto aplicação de X somente, o número N(7) de
classes de ponto fixo essenciais da restrição J: A de f para A, e então
subtraindo o número NU, 1) de classes essenciais "comuns" de f e -I, onde
uma classe comum de f elté definida como uma classe de ponto fixo de
f que intercepta uma classe de ponto fixo essencial de J. A definição de
N( f ; X, A) produz um inteiro positivo que tem as propriedades básicas usu-
ais do número de Nielsen NU). Este é invariante por homotopia, invariante
por tipo de homotopia, e um limitante inferior de p(f; X, A).
Na secção 2.2 consideramos a questão de quando NU; X, A) é de fato
o melhor limitante inferior para g( f; X, A), isto é, quando existe uma apli-
cação g : (X, A) (X, A) homotópica a aplicação f : (X, A) (X, A)
que tem precisamente N( f; X, A) pontos fixos. O Teorema de Minimização
Relativo 2.2.4 mostra que este é o caso quando supomos (X, A) satisfazendo
propriedades bastante gerais. A construção de uma aplicação com um con-
junto de pontos fixos mínimo se dá, como usual, em dois passos. Primeiro
deformamos f a uma aplicação que tem apenas um número finito de pontos
2
fixos e tomamos o cuidado de assegurar que esta aplicação tem somente N(7)
pontos fixos sobre A (teorema 2.2.2). Depois unimos pontos fixos em X — A
quando possível.
As hipóteses do Teorema de Minimização Relativo devem por necessida-
de incluir aquelas que são necessárias se A = 0 ou A = X, mas isto não
é suficiente. A nova hipótese que surge em nossa situação é que A pode
ser "by-passed"em X, isto é, todo caminho em X com pontos finais em
X — A pode ser deformado a um longe de A. O problema de determinar
p(f; X, A) quando não temos como hipótese A "by-passed"foi estudado por
Zhao [4], onde um novo tipo de número de Nielsen m(f; X, A) é definido, e
N(f; X, A) 5_ m(f; X, A).
Para demonstrar o Teorema de Minimização Relativo usamos o lema 2.2.6
desenvolvido por Boju Jiang [2] que tem como hipótese, X = KI um polie-
dro finito conexo sem ponto de corte local No teorema original de Sliirmer
tinhamos apenas X — A sem ponto de corte local, e foi preciso substitui-la,
para que o lema pudesse ser aplicado.
O apêndice usa como referência [2] e contém técnicas para obter arcos
PL-normais além da demonstração do lema 2.2.6.
3
Capítulo 1
Preliminares
1.1 Teoria de índice para Poliedros
Seja X um espaço topológico. Um ponto fixo de urna aplicação f : X -+ X
é um ponto x E X tal que f (x) = x.
O conjunto dos pontos fixos de uma aplicação f será denotado por Fix(f).
Seja V c IR" um subconjunto aberto e g : V IR" uma aplicação
contínua tal que Fix(g) é compacto. Considere a composta
&Là-1 12. Hn(IR", ir — o) Hri(Ir, Ir - D) H„(Ir , ir - Fix(g))
H(V,V - Fix(g)) Hn(IR", IR" - O),
onde ji e j2 são inclusões, (i -g) é a aplicação (i - g)(x) = x- g(x) e D uma
bola fechada em torno da origem contendo Fix(g). Como (ji). é isomorfismo,
a composta está bem definida.
O fato de L(IR", IR" - O) Z diz que a composta acima é um endomor-
fismo de Z. Logo tem a forma
(i g). o (exc)-1 ) o (ii.r (x) = /(Ir, 9,11.x
4
onde .1(R",g,V) é o único inteiro que determina o endomorfismo dada pela
composta.
Definição 1.1.1 Usando as hipóteses acima, /(R",g,V) é chamado o índice
dos pontos fixos de g.
Veremos agora como se calcula o índice de um ponto fixo isolado de uma
função real.
Exemplo 1.1.1 Seja g : R —› R uma função contínua tal que Fix(g) n V =
{0}, onde V = (—e, e) com E > 0. O índice /(R,g,V) é obtido da composta
Hl (R, R —0) —(31J-1 Hl (R, R — -17) 2.24 Hl (R, R —0)
(e. Hl (V, V — 0) (i.g)"). Hl (R, R — 0)
Como neste caso j2. o • = id, temos somente que calcular a composta
R (wcyl
\ 11(R, — o) (v,v— n) /n
u — 0)
Como o diagrama
(et)-' Hl (R, R — 0) Hl (V, V — 0) ▪ Hl (R, R — 0)
HO (R — 0) (e—LCC22+ (17 — 0) ▪ Ho(R —0)
é comutativo, temos que
8o — g). o (exc)-1 = (i —y). o (exc)-1 o8
Seja a E Hi(R, R — O) rn e b, c E Ho(R — O) Z e Z geradores.
Sem perda de generalidade podemos supor que 8(a) = b — c (caso con-
trário 8(a) = c— b).
Para determinar a composta é suficiente analisar o comportamento de
5
(i — g)1(7....0) e observar que as a's são injetoras.
Temos três casos:
Caso 1: Im(i — g) está contida em uma componente de IR — O.
Caso 2: Im(i — g) preserva as componentes.
Caso 3: Im(i — g) reverte as componentes.
Em homologia temos:
Caso 1: A imagem de a(a) é levada em zero, pois;
a o (i — g). o (exc)-1(a) = (i — g). o (exc)' o a(a) = O,
portanto (i — g)„ , o (exc)-1(a) = O e o índice e zero.
Caso 2: A imagem de a(a) é levada nele próprio, pois;
O o (i — g). o (exc) 1 (a) = (i — g). o (axe).- 1 o a(a) = b — c,
e temos (i — g). o (exc)i (a) = a, logo o índice é 1.
Caso 3: A imagem de a(a) é levada em —b + c, pois;
O o (i — g). o (exc)-1(a) = (i — g). o (aza) 1 o a(a) = —b + c,
segue que (i — g). o (excrl (a) = —a, logo o índice é -1.
6
caso 2
O gráfico de g em cada caso é:
caso 1
caso 3
Figura 1.1:
Note que os gráficos de g satisfazem:
Caso 1: —E <9(—E) e E <9(E)
—E> g(—e) e E > g(E)
Caso 2: —E < g(—E) e E> g(E)
Caso 3: —E > g(—e) e e <9(E)
Este exemplo pode ser generalizado para qualquer ponto fixo isolado.
Suponha que x0 é um ponto fixo isolado de f : R R, i.e, existe um
número positivo e tal que f tem somente o ponto fixo x0 sobre o intervalo
fechado V = [xo — E,X0+ E]. Existem exatamente 4 casos:
7
Caso 1: xo — e < f (xo — e) e xo + e > f (xo + e)
Caso 2: xo — e > f (xo — €) e xo + e < f (x0 + e)
Caso 3: xo — e < f (xo — e) e xo + e < f (xo + e)
Caso 4: x0 — e> f (x0 — e) e xo + e> f (xo + e)
Daí
caso 1
—1 caso 2
O caso 3 e 4
O resultado a seguir será importante para a extensão do conceito de índice
para uma classe mais geral do que os espaços Euclidianos, a saber o conjunto
dos poliedros finitos conexos.
Teorema 1.1.1 (Comutatividade) Sejam U C IR", U' C Ir' dois abertos e
f : U —› g : IP —› Ir aplicações contínuas. Considere go f :V =
f -1(U') —› Ra e f og: IP = g-1(U) —› Ra°. Então Fix(f o g) é hoineomoif o
Fix(g o f) e caso estes conjuntos forem compactos temos,
Rir g o f ,V) = /Nal f o g,V9
Prova: Veja [8], pág 34.
Vamos agora estender o conceito de índice para a categoria dos poliedros
finitos conexos, que denotaremos por C.
Definição 1.1.2 Uma terna (X, f, U) é dita Cp — admissivel se X E Cp,
f : X —› X é uma aplicação, UCX é um aberto de X e f não tem ponto
fixo no bordo de U.
O símbolo G será usado para denotar a coleção de todas as ternas Cp-
admissíveis.
/(R., f ,V) =
8
Dado (X, f, U) E Cip, existe para algum 71, um retrato de vizinhança
Y c Rn, homeomorfo a U. Observe que podemos decompor f : U —+ X na
forma
onde i é o homeomorfismo entre U e Y com YCVC R", V aberto e r a
retração de V em U, isto é; r o i =- id. Então colocando-se a=i efi= f or
tem-se f = fi o a.
Como Fix(aop) é homeomorfo à Fix(Poa) = Fix( f lu) e f não tem pontos
fixos sobre o bordo de U, temos Fix(fiu) compacto e /(Rn, ao 0, 0-1(U)) pode
ser definido.
Definição 1.1.3 Para cada terna (X, f, U) E Cp podemos associar um in-
teiro i(X, f, U) chamado índice dos pontos fixos de f em U pela fórmula
i(X, f ,U) = I (R", a o 0, 0-1 (U))
Note que i(X, f ,U) está bem definido, pois caso f : U X pudesse ser
fatorado como
U
onde V' é um aberto de Ir', considerando as aplicações
7 ar : V —+ V' C i o À: À-1(U) —+ V C R",
obteremos, pela comutatividade, aplicações
(ry o r) o (i o À) = eyo(rono.X = eyoÀ
° A) °(7° r) = io(Aory)or = iofor
com mesmo índice, isto é, /(R1.1,70 À, À-1(U)) = /(Rn, iof o r,(fo r)-1(U)),
como o lado direito não depende da fatoração de f, tem-se que i(X, f, U)
independente da fatoração de f.
9
Exemplo 1.1.2 Vemos que para X = S1 e zo é um ponto fixo isolado de
uma auto aplicação!, isto é, existe U C Si aberto tal que Fix(f)nu = {zo},
é fácil calcular i(X, f,U). Existe um homeomorfismo i: U (---s, e) que
leva zo em O, sendo assim f pode ser decomposta na forma
U (—e, e) U L)
colocando-se /3 = f o i-1, tem-se por definição
i(S1, f , U) = I(R,i o /3, /3-1(U)).
Como i o /3 :j3 (U) R tem como único ponto fixo x = O, recaímos
no problema de calcular índice de ponto fixo isolado de uma função real.
Considerando f: Si, onde f(z) = zn; temos que se ri> 1 o índice de
cada ponto fixo é -1 e se n < 1 o índice é +1.
O índice de pontos fixos satisfaz as seguintes propriedades, cujas demons-
trações podem ser encontradas em [5], Cap.IV.
1. Localização
Se (X, f, U) e Cp. e g : X X é urna aplicação tal que g(x) = f (x) para
todo x E rt (fecho de U) então
i(X, f, U) = i(X,g,U)
2. Invariância Homotópica
Para X E Cp eH:Xx/ X uma homotopia, defina ft : X X por
ft(x)=-- Mt,x). Se (X, ft, U) E Cp para todo te I, então
i(X, fo, U) = i(X, U)
3. Aditividade
Se (X, f, U) E C'p e Ui, ..., Us é um conjunto de subconjuntos abertos mu-
tuamente disjuntos de U tal que f(x) 0 x para todo x E [U. — usi=i Uj],
10
então 8
i(X f , = i(X, LUi)
i=1
4. Normalização
Se X E Cp e f : X X é uma aplicação, então
f, X) = o número de Lefschetz L(f) de f,
CO
L(f) =
onde tr(fq) é o traço do homomorfismo f: 1-4(x, Q) 1-4(x, Q) induzido
pela f nos grupos de homologia de X com coeficientes racionais.
5. Comutatividade
Se X, Y ECpef:X—).17 , g : Y X são aplicações tal que (X,g e f, U) E
Cp, então
i(X,g o LM= i(Y, f o g,g-1(U))
1.2 O Número de Nielsen.
Um caminho a em um espaço X é uma aplicação contínua a : I X, onde
I denota o intervalo [0,1]. Dado um caminho a em X, defina o caminho
a-1 :1 X por a-1(t) = a(1 — t) para todo t EL
Para caminhos a, fi : I X com a(1) = j3(0), podemos formar um novo
caminho afi por
a (2t) se O < t < 1/2,
j3(2t -1) se 1/2 < t <1.
11
Dois caminhos a, /3: I "-+ X são ditos homotOpicos com pontos extremos
fixos se existe uma aplicação contínua : / x / X tal que
0(s, O) = a(0) = /3(0)
0(s,1) = a(1) = /3(1)
0(0,0 = a(t)
0(1, = /3(t)
Notação: a /3 rel{ O, 1}.
para todo s E /
para todo s E /
para todo t E /
para todo t E /
Seja X um poliedro finito e f : X X uma aplicação; dizemos que pontos
fixos x0 e x1 de f são f-equivalentes se existe um caminho a : 1 "-+ X com
a(0) = xo, a(1) = x1, tal que f oa a re1{0,1}. É fácil ver que a relação
de f-equivalência é uma relação de equivalência sobre Fix(f). As classes de
equivalência são chamadas classes de ponto fixo de f.
Teorema 1.2.1 Em um poliedro finito X com métrica d, dado &> 0, existe
5> O tal que se
W = {(x,y) E X x Xid(x,y) <5}
então existe uma aplicação 7 : W x I X tal que
7(x, y,0) = x, 7(x, y ,1) = y
7(x,
x, t) = x para todo t E I
diamey((x,y) x.0) < & para todo (x, y) E W
Prova: Veja [5], pág 39.
Duas aplicações f , g : X X são ditas E-homotOpicas, para E > 0, se
existe uma aplicação H : X x / X tal que
H(x, 0) = f (x) para todo x E X
e
12
11(x,1) = g(x) para todo x E X
diam(Mx x I)) < E para qualquer x E X
Corolário 1.2.1 Seja X um poliedro finito e e> O dado. Existe 6 > O tal
que se f , g : X —› X são aplicações e d(f(x),g(x)) < 6, para todo x E X,
então f e g SãO E - harnotópicas.
Prova: Basta colocar H (x, t) ry(f (x), g (x),t)
Teorema 1.2.2 Uma aplicação f: X —> X sobre um poliedro finito tem um
número finito de classes de ponto fixo.
Prova: Pelo teorema 1.2.1 existe 6 > O tal que, se W1 = {(x,y) E
X X Xid(x,y) < 6}, então existe uma aplicação 71 :W1 x / —› X tal que
71(x, y,0) = x, 71(x,y,1) = y, e ryi(x,x,t) = x para todo t E I. Pela
continuidade uniforme de f, dado 6 > O, existe (" > O, Ç < 6/2, tal que
se x,zEXe d(x,z) < (", então d(f (x), f (z)) < 6/2. Pelo teorema 1.2.1,
existe 77 > O tal que se Wo = {(x,y) E X x Xid(x, y) < 77}, então exis-
te uma aplicação 70 : Wo x I X com as propriedades: 70(x, y, O) = x,
70(x, y, 1) = y, 70(x, x, t) = x, e diam(70((x,y) x /)) < Ç. Agora suponha
x,y E Fix(f) e d(x,y) < ; então a(t) = 70(x, y, t) é um caminho de x para
y tal que diam(ce(/)) < Ç < 6/2 e daí diam(f o ce(I)) <6/2. Portanto, para
t E I, d(ce(t)1 o ce(t)) < Se nós temos uma aplicação H :1 x / X dada
por H(s,t) = rn(ce(s), f o ce(s),t) que mostra que x,y são f-equivalentes.
Nós então provamos que cada classe de ponto fixo é aberto em Fix(f). Co-
mo Fix(f) é compacto (pois é fechado dentro de um compacto), temos um
número finito de classes de ponto fixos.
Seja X um poliedro finito conexo e f : X —› X uma aplicação. Para cada
classe de ponto fixo F da aplicação f existe pelo teorema acima um aberto
13
U em X tal que F C Ue n Fix(f) = F. Note que (X, LU) e Cp. Defina
o índice i(F) da classe de ponto fixo F por i(F) = i(X, f, U).
Teorema 1.2.3 A definição de i(F) é independente da escolha do conjunto
aberto U C X tal que F CU er nFix(f)= F.
Prova: Seja U e V subconjuntos abertos de X satisfazendo as hipóteses
do teorema. Se x e U — (U n V) então x não pertence a nenhuma outra
classe de ponto fixo de f. Como x OV, temos que x0 F, daí x0 Fix(f).
Pela aditividade i(X, f, U) = i(X, f,U n V). Usando o mesmo argumento
temos que i(X, f, V) = i(X, f,U n V). Portanto i(X, f,U)= i(X, f, V).
Para X um poliedro finito conexo e f : X —> X uma aplicação, uma
classe de ponto fixo F de f é dita essencial se i(F) 54 O e inessencial se
i(F) = O. O número de Nielsen N(f) da aplicação f é definido sendo o
número de classes de ponto fixo de f que são essenciais.
Exemplo 1.2.1 Se uma auto aplicação f :S1 —> S1 tem grau n. Então
N(f) =11 — ni (ver [3], pág 33).
Exemplo 1.2.2 Seja T" = S1 x x Si e f: T" —> T" uma auto aplicação.
Se a induzida, fi.„ de f é dada pela matriz A. Então NU) = idet(E — A)1,
onde E é a matriz identidade (ver [31, pág 33).
Teorema 1.2.4 Uma aplicação f : X —> X sobre um poliedro finito conexo
tem pelo menos N(f) pontos fixos.
Sejam X e Y poliedros finitos, H : X x 1 —> Y uma aplicação contínua e
a um caminho em X. Nós podemos formar um novo caminho (H, a) : I —> Y
definindo (H , a)(t) = H (t)(ce(t)), onde H (t)(x) = H (x , t).
14
Teorema 1.2.5 Seja H:Xxl X uma homotopia de f para g. Seja
xo E Fix(f) contido em uma classe de ponto fixo F de f e x1 E Fix(g)
contido em uma classe de ponto fixo G de g. Se existe um caminho a em X
de xo para xl tal que (H,a) LY a re1{0, 1}, então existe uma caminho i3 em
X de xio para xÇ tal que (H,/3) c fi re1{0, 1} para quaisquer x/0 E F e xÇ E G.
Prova: Veja [5], pág 90. e
Sejam f, g : X —> X aplicações sobre um poliedro finito e H uma ho-
motopia de f para g. Para uma classe de ponto fixo F de f e uma classe
de ponto fixo G de g, dizemos que F e G estão 11-relacionadas, se existe
xo E F, xi E G e um caminho a: 1 X com a(0) = xo, a(1) = x1 tal que
(H, a) a re1{0,1}. Escrevemos FHG neste caso. O teorema 1.2.5 mostra
que a definição é independente da escolha de xo e xl.
Teorema 1.2.6 Seja H uma homotopia de f paru g. Seja F, F' classes de
ponto fixo de f e 0,0' classes de ponto fixo de g. Se FHG e FHG' então
0=0', e se FHG e FUG enteio F = F'
Prova: Veja [5], pág 92. e
Teorema 1.2.7 Seja H uma homotopia entre f ,g : X —> X, onde X é um
poliedro finito conexo. Seja F urna classe de ponto fixo de f. Se F é H-
relacionada com alguma classe de ponto fixo G de g, então i(F)= i(G); e se
F não é H-relacionada com qualquer classe de g, então i(F) = O.
Prova: Veja [5], pág 94. e
Os teoremas 1.2.6 e 1.2.7 estabelecem uma correspondência injetiva entre
as classes essenciais de f e as classes essenciais de g.
15
Teorema 1.2.8 (Invariância homotópica do número de Nielsen) Seja X um
poliedro finito conexo e f ,g : X X aplicações homotópicas; então N(f) =
N (g).
Prova: Seja H uma homotopia entre f e g. Pelos teoremas 1.2.6 e 1.2.7
H induz uma correspondência injetiva entre as classes essenciais de f e as
classes essenciais de g, onde a correspondência é dada pela H-relação. Daí
N(f) < N(g). Considerando agora a homotopia H-1 entre g e f, pelo mesmo
raciocínio obtemos N(g) < N(f). Portanto N(f) = Mg). 1
Lema 1.2.1 Sejam. X e Y espaços. Se f : X Yeg:Y X são
aplicações, então f e g são homeomorfismos mutuamente inversos entre os
conjuntos de pontos fixos Fix(g o f)(ç X) e Fix( f o g)(ÇY).
Lema 1.2.2 Se f : X Y eg:Y X são aplicações entre poliedros
finitos e xo e x1 são dois pontos fixos de g o f, então xo, x1 pertencem a
mesma classe de ponto fixo de g o f se, e somente se, f (xo) e f(xi) pertence
a mesma classe de ponto fixo de f o g.
Prova: Se existe urna caminho a de xo para x1 tal que gof oa ••••••,
a re1{0,1}, então para o caminho f o a de f (xo) para f(xi) nós temos f o a
f o (g o f o a) re1{0, 1} = f og)o(f o a) re1{0,1}. Reciprocamente se existe um
caminho ,8 de f(x0) para f(xi) tal que f og fi ,8 re1{0,1}, temos que g 0,8
é um caminho de xo para x1 e go (f og 0,8) = (gopo(go,8).c-_, g0,8 re1{0,1}.
1
Teorema 1.2.9 Se f : X Y e g : Y X são aplicações entre
poliedros finitos conexos, então a f -imagem de uma classe de ponto
fixo de gof :X X é uma classe de ponto fixo de f o g :Y Y , e assim
f estabelece uma correspondência bijetora entre as classes de ponto fixo de
16
go f e as classes de ponto fixo de f o g. Mais ainda, os índices das classes
correspondentes são iguais.
Prova: Seja F uma classe de ponto fixo de g o f. Dos lemas 1.2.1
e 1.2.2, f(F) é uma classe de ponto fixo F' de f o g, ef:F—*F',
g: F' F são homeomorfismos mutuamente inverso. Resta apenas mostrar
que i(F) = i(F). Sabemos que existe um aberto U de X tal que F C Ue
Ti n Fix(g o f) = F. Como g(r) = F, temos F' C g-1(U). Resta mostrar
que 9-1(U) n Fix(f o g) = P. De fato, seja y E g-1(U) um ponto fixo de f o g , então g(y) E U é um ponto fixo de g o f, isto é; g(y) E U n Fix(g o f) =F,
e daí y = f o g(y) E f(F) = F'. COMO i(F) = i(X,g o f,U) e i(F') =
i(Y, f o g , (U)). Pela comutatividade nós temos i(F) = g o f ,U) =
i(Y, f o g, sc i(u)) = i(P).
Teorema 1.2.10 (Comutatividade do número de Nielsen) Se f : X —* Y e
g Y X são aplicações entre poliedros finitos e conexos, então f estabelece
uma correspondência bijetiva entre as classes de ponto fixo essenciais de go f
e as classes de ponto fixo essenciais de f o g, consequentemente
N(g o f) = N(f o g).
1.3 Teorema de Minimização
O objetivo central desta secção é descrever o problema de determinar o
número mínimo de pontos fixos e apresentar alguns resultados que serão
utilizados no próximo capítulo.
Inicialmente vamos estabelecer uma notação para alguns elementos usu-
ais:
17
• se K é um complexo simplicial denotamos por 1K I sua realização ge-
ométrica, para um simplexo s E K, si será seu interior em IKI.
• para x E IKI, a(x) denota o único simplexo de K tal que x E lo-(x)I.
• para .r; E IKI, V(x) será a união de todos t com tEKe iti n 17(x) O.
• [x, y] será o segmento de reta ligando x à y.
• para um simplexo s E K, defina St(s) como a união de todos os simplexos
de K que contém s, daí
ist(8)1 iti sct
é aberto em IKI. St(s) e chamado estrela de s.
• seja A um subconjunto de IKI e E > O, definimos
U(A, e) = {x E lKild(x, A) <e}
onde d é uma métrica em 'Kl. U(A, e) denotará o fecho de U(A, e).
Seja X um poliedro finito conexo. Dada uma aplicação f : X —> X,
denotemos por [f] a classe de homotopia de f e #Fix(f) a cardinalidade de
Fix(f). Consideremos o problema de determinar
µ(f)= inf {#Fix(g)Ig E [f]}
Em vista da invariância homotOpica podemos concluir que p(f) > N(f),
isto é, o número de Nielsen é um limitante inferior para o número de pontos
fixos de todas as funções homotOpicas a f.
18
O próximo teorema a ser enunciado nos diz que se o poliedro X satisfazer
certas condições, então o número de Nielsen é de fato o melhor limitante
inferior.
Um poliedro finito conexo 1K1 é do tipo S se a dimensão de K é pelo
menos três e para cada vértice v de K, bordo de ISt(v) I é conexo. Um
poliedro X é do tipo S se é homeomorfo a algum IKI do tipo S.
Teorema 1.3.1 ( Teorema de Minimização) Se X é um poliedro finito co-
nexo do tipo Sef :X —> X é urna aplicação, então existe uma aplicação
g : X X homotdpica a f tal que g tem exatamente N(f) pontos fixos.
Prova: Veja [5], pág 140.
A demonstração deste teorema faz uso dos resultados que passaremos a
expor. Estes, por sua vez, também nos serão úteis no próximo capítulo.
Seja K um complexo simplicial. Um simplexo sEKé dito ser maximal
se não existe simplexo de K que contém s propriamente.
Teorema 1.3.2 Seja X um poliedro finito conexo de dimensão > 1, e
f : X —> Xuma aplicação. Dado e > O, existe uma aplicação g: X --+ X tal
que:
I) g tem somente um número finito de pontos fixos;
2) existe uma triangulação (K, r) de X tal que cada ponto fixo de g esta em
um conjunto ris para algum simplexo maximal s E K;
d(f, 9) <a
Prova: Veja [5], pág 118. 1
Concluímos do corolário 1.2.1, que dado v>Oef :X --+ X nas condições
do teorema acima, existe g : X --+ X tal que f e g são n-homotópicas e g
tem um número finito de pontos fixos que estão em simplexos maximais.
19
Teorema 1.3.3 Seja 1K1 um poliedro finito conexo, s um simplexo maximal
de K, f : ¡Kl —> ¡Kl uma aplicação, x E Isl um ponto fixo isolado de f, e
U Ç Isj uma vizinhança dez tal que Fix(f) nU = x. Se f ,U) =
então, dado E > O, existe uma aplicação g —> 11(1 com as propriedades:
1) f (y) = g(y) para todo y E KI — U;
d(f , g) < E;
Fix(g) n .0.
Prova: Veja [5], pág 123.
Este teorema diz resumidamente que pontos fixos com índice zero podem
ser eliminados.
Definição 1.3.1 Para A C In dizemos que uma aplicação f: ¡Kl —) KI
é próxima em A se f(z) E V(x) para todo x E A.
Suponha que f,g KJ —) KJ são aplicações e que A C 111 tal que
f(x) = g(x) para todo x E A. Se existe uma aplicação H: ¡Kl x 1 —> IKI
com as propriedades H(x, 0) = f(x), H(x,1) = g(x) para todo x E ¡Kl e
H(x, t) = f(z) = g(x) para todo x E A, t E 1, então dizemos que f e g são
homotópicas relativas ao conjunto A. Notação: f c.--2 g relA.
Teorema 1.3.4 Dado um poliedro finito conexo In x E ¡Kl com a(z)
maximal, uma aplicaçõ,o f : 111 -> 'Kl e um número real 71 > O tal que U(x,n) C Ia(z)I, Fix(f) n BdU(x,n) = 0 ef é próxima em U(x,n), então
existe uma aplicação g: ¡Kl -> IKI tal que: 1) g r:--2 f reli KI —
Fix(g) n Er(x,n) = x;
3) g é próxima ernr1(x,n).
20
Prova: Veja [5], pág 126.
Em outras palavras, se as hipOteses do teorema acima forem satisfeitas e
se f eventualmente tiver ponto fixo em U(x,n), estes pontos fixos podem ser
unidos em um único ponto.
Observação 1.3.1 Na demonstração do teorema 1.3.4 fica claro que g(y) E
lo-(y)IU ¡o- ( f (y))1U lo(y) n (f (y))1, para todo y E ¡Kl. Este fato será usada
ria demonstração do lema 2.2.4.
Teorema 1.3.5 Considere um poliedro finito conexo In 81,82 E K simple-
xos de dimensão maior do que um tal que si n 82 tem dimensão maior do que
zero. Se a E ¡si!, b E isi n 82¡ , e se f : ¡Kl é uma aplicação tal que:
1) a é um ponto fixo isolado de f, i(IKI, f, a) = O e Fix(f) n [a, b] = a;
2) f é uma aplicação próxima em [a, b].
Então existe e> O e uma aplicação g : I.Kj com as propriedades:
3) g r2 f relIKI —
4) Fix(g) n na,b],e)= c para algum c E U(b,e) n 1321;
5) g é próxima emna,b],e).
Prova: Veja [5], pág 128. e
O teorema 1.3.5 afirma que podemos mover o ponto fixo a ao longo do
segmento [a, b] para o ponto fixo c do simplexo js21 sem criar novos pontos
fixos.
21
Capitulo 2
O Número de Nielsen Relativo
O objetivo desta secção é introduzir o número de Nielsen relativo e obter
algumas consequências imediatas da definição.
2.1 Definição e Propriedades
Trabalharemos na categoria de pares de espaços topológicos (X, A), A C X
e aplicações entre estes pares f: (X, A) —) (X, A), isto é, função continua
f : X —) X com f (A) c A. As homotopias entre tais aplicações são apli-
cações contínuas da forma H : (Xxl,XxA)—)(X,A). O símbolo —f :A—) A
representa a restrição de f para A. A menos que se fale o contrário X será
um poliedro finito conexo e A um subpoliedro. Denotaremos por d a métrica
baricêntrica.
Definição 2.1.1 Seja f : (X, A) —) (X,A) uma aplicação. Uma classe de
ponto fixo F de f : X —) X é uma classe comum de f e7 se esta contém
uma classe de ponto fixo essencial de7 : A —) A.
Lema 2.1.1 Sejam f : (X, A) (X, A) uma aplicação, F uma classe de
ponto fixo de f : X —> X e F uma classe de ponto fixo de7 : A A. Se
22
Fn.T' 0, entãor C F.
Prova: Dois pontos fixos xo, x1 pertencem a F se existe um caminho a
em X de xo para x1 tal que f o n-• a re1{0,1}. Daí se ao E F nF e ai. E F,
então existe um caminho fi em A de ao para a1 tal que lf o fi fi re1{0,1}
em A. Como A C X isto implica ai € F. E
Definição 2.1.2 Uma classe comum essencial de f e 7 é urna classe de ponto fixo essencial de f que é urna classe comum de f e 7.
Escrevemos NU,]) para o número de classes comuns essenciais de f e J.
Note que NU,!) é finito, pois O < N(f,lf)N(f).
Definição 2.1.3 Seja (X, A) ton par de espaços. Se f: (X, A) —* (X, A) é
urna aplicação, então o número de Nielsen relativo N(f; X, A) é definido
por
N(f;X,A)=N(f)+N(f)—NU]).
Os resultados a seguir são consequências imediatas da definição e de al-
guns fatos citados na capítulo anterior.
Lema 2.1.2 Seja (X, A) um par de espaços e f : (X, A) —) (X, A) urna
aplicação. Ternos que:
.1) Se NU). O, então NU; X, A) = N(/),
2) Se N(f)= O, então NU;X,A)= NU).
Teorema 2.1.1 Toda aplicação f: (X, A) —* (X, A) tem pelo menos NU; X, A)
pontos fixos.
Prova: Suponhamos que 7 : A A tenha m classes de pontos fixos essenciais F1, F2, ...,F,„, e f : X X tenha r classes de pontos fixos essen-
ciais •.., onde F+1,F.+2, •.., F2, ..., F., F.+1, F,. são as classes comuns
23
de f e 7. Então
N(f; X, A) = m+ r — (r — n) = m n.
Cada classe de ponto fixo Fi contém pelo menos um ponto fixo ai de 7, e
cada classe de ponto fixo F3 contém pelo menos um ponto fixo xj de f. Em
virtude do lema 2.11 F, n F; = 0 para todo i = 1, ..., m e todo j = 1,...,n.
Portanto o conjunto {ai, a2,..., x2, •••, xn} consiste de m -H ri pontos
fixos distintos da aplicação f: (X, A) (X, A). 1
Teorema 2.1.2 : Se (X, A) é um par de espaços e f : (X, A) (X, A) é
urna aplicação, então N(f; X, A) > N(f) e N(f ; X, A) N(7).
Prova: Como N( f , 7) conta o número de classes de pontos fixos essen-
ciais de f que contém pelo menos uma classe de ponto fixo essencial de 1,
temos NU, f) N(7), daí NU; X, A) = N(f)+ [N(7)— N(f,7-)1?_N(f).
Já tinhamos que NU,!)< NU), portanto N(f; X, A) Na). 111
Teorema 2.1.3 (Invariância hornotópica do número de Nielsen relativo) Se
as aplicações fo, (X, A) (X, A) são homotópicas, então N(f0; X, A) =
N(fi; X, A).
Prova: Seja H: (X x I, Ax I) (X , I) uma homotopia entre fo e
Como já sabemos N(fo) = N(f1) e N(70) -= N(71), é suficiente mostrar que
NU,]') é um invariante homotOpico. Seja Fo uma classe comum essencial
de fo e J. Então Fo contém uma classe de ponto fixo essencial Fo de 70,
que pelo teorema 1.2.7 está H-relacionada com alguma classe de ponto fixo
essencial Fi de J1, onde H é a restrição de H para A x I. Isto significa
que, para todo ao E Fo e ai E Pi, existe um caminho a em A de ao para
xi tal que (11,a) = a re1{0,1} em A. Agora seja Fi a classe de ponto
fixo de fi que contém ai. Como a é um caminho em X de ao para ai e
24
como (H ,a) = (H,a), a classe de ponto fixo F0 de fo e F1 de fi estão
H-relacionadas. Segue do teorema 1.2.7 que F1 é urna classe de ponto fixo
essencial de fi, e como F1 n F1 0 0, esta é urna classe comum essencial de
h e J. Assim H relaciona classes comuns essenciais de fo e 70 com classes
comuns essenciais de fi e 71, *e portanto temos N(fo, 70) = N(fi,L). 11
Corolário 2.1.1 Seja (X, A) um par de espaços e f : (X, A) (X, A)
uma aplicação. Se X é simplesmente conexo ou f é homotópica a aplicação
identidade id : (X, A) (X, A), então
N (f ; X, A) =
{
N(f) se N(f)= O,
N(f) se.N(f) 0 O
Prova: Temos que considerar somente o caso onde N(f) O e N(f) 0 O.
Se X é simplesmente conexo, então f : X X tem uma única classe de
ponto fixo essencial F, e J: A A tem pelo menos uma classe de ponto
fixo essencial F. Mas se xEFeaE F, então a também é ponto fixo de
f : X X e esta na mesma classe de ponto fixo de z, portanto N(f,f) =1.
Se f é homotópica a identidade, como estamos supondo N(f) 0 O, temos que
N(f) = N (id) = 1. Pela teorema anterior N(f,:t) = N(id, ia) = 1. Segue
que N(f;X, A) = NU)±1-1= N(f).
Teorema 2.1.4 (Comutatividade do número de Nielsen relativo) Sejam (X, A)
e (Y, B) dois pares de espaços. Se f : (X, A) (Y, B) e g : (Y, B) (X, A)
são aplicações, então N(g o f,:g of) N(f o g, o -11) e daí
N (g o f; X, A) = N(f o Y, B).
Prova: Seja F0 uma classe comum essencial de gof ego 7. Então F0
contém uma classe de ponto fixo essencial Po de g o 1, pelo teorema 1.2.9,
25
f(F0) é uma classe de ponto fixo essencial de foge f(10) é uma classe
de ponto fixo essencial de lf o g. como f(F0) c f (Fo), f (F0) é uma classe
comum essencial de foge 70V. Portanto f estabelece uma correspondência
bijetiva entre as classes comuns essenciais de go f e :g 07 e as classes comuns
essenciais de foge7o V. Temos então N(g o f,:g o7) = NU o g,7 0:g).
Como já temos NU o g) = N(g o f) e N(.7 o g) -= N( o 7), segue que
N(g o f; X,A) = NU o g;Y,B).
Uma aplicação h: (X, A) (Y, B) é uma equivalência de homotopia
quando existe k: (Y, B) (X, A) tal que k oh é homotópica à id : (X, A) -4
(X, A) e hok é homotópica à id : (Y, B) (Y,B).
Definição 2.1.4 Duas aplicações de pares de espaços f (X, A) —* (X, A) e
g: (Y, B) —* (Y, B) são ditas aplicações de mesmo tipo de homotopia
se existe uma equivalência de homotopia h : (X, A) —* (Y, B) tal que as
aplicações de pares de espaço hof, go h: (X, A) -4 (Y, B) são homotópicas.
Teorema 2.1.5 Seja (X, A) e (}Ç B) dois pares de espaços. Se f: (X, A) —*
(X, 44.) e g : (Y, B) —* (Y, B) são aplicações de mesmo tipo de homotopia,
então N(f ; X, A) = N(g;Y,B).
Prova: Usando a mesma notação acima, da invariância homotópica e
comutatividade; do número de Nielsen e do número de Nielsen relativo res-
pectivamente, temos que:
N(f) = N((k o h) o f) = N(k o (h o f)) = N ((h o f) o k) = N(g),
N(j) = N (0"C" o Tb) o 7) = N(k o (TI o 7)) = N ((Ti, 07) o =
N(f , f) = N ((k o h) o f ,(k o h) 07) = N ((h o no k,(Tto7.) o 1-C) = N (g ,V),
pois f é homotópica à (k oh) o f e (h o f) o k é homotópica à g. Asssim temos
N(f; X, 211.) = N(g;Y,B).
26
Vamos agora para alguns exemplos calcular N(f;X,A).
Exemplo 2.1.1 Seja X = B', onde n > 2, a bola fechada n-dimensional e
A consiste do bordo de Bn (a esfera (ri —1)-dimensional) junto com k pontos
do interior de B'. Se id : (X, A) —> (X, A) é a aplicação identidade, então
id:A—>Atemk+1 classes de ponto fixo, que são os k pontos mais toda
a esfera Sn-1. Todas as classes que contém apenas um ponto são essenciais,
pois neste caso temos uma aplicação constante. Resta sabermos se Sn-1
essencial. Pelo propriedade de normalização sabemos que o índice
on-1) = on-1, sn- i) = mid) = { O se n — 1 é impar
2 sen—lepar
Daí
{k se rt par N (-a) =
k + 1 se n é impar
e segue do corolário 2.1.1 que
N(id; X , A) =
k + 1
se k = O
se k > 1enépar
se k>1ene impar
Suponha que i : A —3• X é a inclusão do subespaço A de X. Se existe
uma retração r : X —3• A tal que ior homotópica à identidade, dizemos
que A é um retrato por deformação de X.
Exemplo 2.1.2 Seja X = Ta' o toro sólido em R3 que é obtido pela rotação
de um disco de raio 1 e centro (2,0,0) do plano xz em torno do eixo z, e
seja A = T2. Se considerarmos R3 como C x R., onde C é o plano complexo,
podemos rotular os pontos de X como (rei', t), onde reffi ECet E R.,
27
comi < r < 3, O < O < 27r e —1 < t < 1. Seja f : (X, A) (X, A) a
aplicação dada por f (rei' ,t) = (reja, —t), onde d 1 é um inteiro. Como
o círculo S = (2ew, O), O < O < 27r é um retrato por deformação de X,
temos que a inclusão i: S --> X é uma equivalência de homotopia. Portanto
a aplicação f e a restrição 7: S --> S de f para S tem o mesmo tipo de
homotopia. Pelo teorema 2.1.5 temos N(f) = N05, e o exemplo 1.2.1 nos
diz que N(I) = 1d — 11. Considere os geradores [e], [77] de 14(r) = z e z, onde e = {(26', 1)10 O < 27r} e 77 = {(rei°, t)1(r — 2)2 t2 = 1}, temos que
71. [e] = d[e] e II. [77] = —[77]. Pelo exemplo 1.2.2 N(j) =- 21d — 11, que é o
valor absoluto do determinante:
1 — d O
O 2
Como a equação eie = edil) tem 1d — 11 soluções distintas, os pontos fixos
de f consistem de 1d — 11 segmentos de reta, pois eles só podem ocorrer em
t = 0. Cada segmento de reta forma uma classe de ponto fixo essencial de f e
contém duas classes de ponto fixo essenciais de 7 sobre seu bordo. Portanto NU]) = NU) e NU; X, A) = N(f) = 21d-11.
Exemplo 2.1.3 Seja X um disco com dois buracos, A seu bordo e f a
reflexão em torno do eixo 1. Considerando X como a união U U V, onde
Tf é o lado direito de / e V o lado esquerdo (ver figura 2.1); construímos a
sequência de Mayer Vietoris. Como U e V tem o mesmo tipo de homotopia
que S1 e UnV é contrátil, temos que: 110(X) = Z, H(X) = Ze Z e
Hq(X) = O para todo q 0,1. O fato de f ter apenas a classe de ponto fixo
U n V, nos diz que seu índice é igual ao número de Lefschetz, L(f), de f. Sejam [7] e [e] os geradores de Hi(X) = Z e Z, onde ry e (são indicados na figura (2.1). Temos então fi.[7] = —[(1, = —H e a matriz de • nesta
28
base e:
O —1
—1 O
Portanto L(f) = 1 e consequentemente NU) = 1. Claramente N(f) = 2 e
N( f = 1, pois cada extremo de u. n V constitui uma classe de ponto fixo
de y e seus índices valem 1, pelo exemplo 1.1. Assim N(f;X,A) = 2.
Figura 2.1:
2.2 Teorema de Minimização Relativo
Definição 2.2.1 Seja X um espaço topológico e A um subespaço. Uma ho-
motopia H:AxI X é especial se as aplicações Ot(x) = H(x,t) tem os
mesmos pontos fixos para todo t E I. Duas aplicações fo, fj: A —) X tendo
os mesmos pontos fixos são especialmente homotópicas se podem ser ligadas
por uma homotopia especial.
Lema 2.2.1 Seja X um poliedro eAc X um subpoliedro. Então existe uma
retração r:XxI— (X x O) (..1 (A)<
29
Prova: Veja [1]. pág 117. e
Teorema 2.2.1 Considere X um poliedro eAc X um subpoliedro. Seja
: X X uma auto aplicação, H:AxI Y uma homotopia especial
tal que H(x, 0) = fo(x). Então H pode ser estendida para uma homotopia
especial G:XxI —) X tal que G(x,0) = fo(x).
Prova: Defina uma aplicação .0 do subespaço (X x 0) U (A x I) CX xI
em X por
0(x, t) = {.fo(x)
H(x,t) se x E A.
se t = O
De acordo com o lema 2.2.1, existe uma retração r:XxI --> (X x O) U
(A x I). Coloque (I) =d)or:Xx / ---+ X. O conjunto C = {xlx E .1)(x x /)}
é fechado em X, (pois caso xo 0 C, isto é, xo 0 s1)(x0 x I); como .I)(xo x I)
é compacto, temos E = d(X0,(1)(x0 X 1) > 0 e consequentemente U(x0,E/4)
disjunto de B = Uxed,(x0x1) 11(x, 614) 4)(xo x I), por continuidade .1-1(B)
é aberto contendo xo x I, mas I é compacto e portanto existe aberto V xo
de X tal que VxIC (I)-1(B). Portanto V n u(xo, E/4) c X — C). Note
que C é a união de todos os pontos fixos das funções (I)t(X) = (I)(x, t) com t
variando em I. Defina G : X x / X por
G(x,t) =
(I)(x, 0) = fo(x) se d(x, A) d(x, C)
— td(x,A)1d(x, C)) se d(x, A) < d(x,C)> 0.
G está bem definida. Se d(x, A) = d(x, C) = 0, como A e C são fechados
x E An C, isto é, x é um ponto fixo de fo em A. Seja V x um aberto de
X, (I)-1(V) é aberto de X x I que contém X x 1, pois IA xl = H. O fato
de 1 ser compacto implica a existência de um aberto W x em X tal que
WxIc (I.-1(V), daí G(W x I) c V. Isto mostra que G é contínua em
30
todo ponto (x, t) com d(x, A) = d(x, C) = O. A continuidade de G em outros
pontos é óbvia. Assim G é uma homotopia e uma extensão de H para X x 1.
Note que G é especial, pois os pontos fixos de gt(x) = G(x, t) devem estar
em C e G(x,t) = fo(x) para todo te./exe C.
Definição 2.2.2 Seja i : A —> X a inclusão. O subespaço A é um retrato
por deformação forte de X se existe uma retração r : X —> A tal que
i o r c id relA.
Lema 2.2.2 Se X é um poliedro eA c X um subpoliedro, então A é um
retrato por deformação forte de alguma vizinhança de A em X.
Prova: Veja [7], pág 124. e
Definição 2.2.3 Seja (X, A) um par de espaços e Y um espaço . (X, A) é
dito ter propriedade de extensão de homotopia com respeito a Y se,
dado aplicações g : X —> Y eG:AxI —> Y tal que g(x) = G(x, O) para
x E A, existe uma aplicação F:XxI —> Y tal que F(x, O) = g(x) para
xE X eFlibu = G.
Lema 2.2.3 Se X é um poliedro eAc X um subpoliedro, então (X, A) tem
a propriedade de extensão de homotopia com respeito a qualquer espaço.
Prova: Veja [7], pág 118. e
Definição 2.2.4 Um poliedro finito X é dito ser um espaço de Nielsen se
toda aplicação f : X —> X é hornotópica a alguma aplicação g : X —> X que
tem NU) pontos fixos, e estes pontos fixos podem localizar-se em qualquer
ponto de X .
Seja Y espaço topológico eX c Y um subconjunto; escrevemos X, intX,
BdX para o fecho, interior e bordo de X em Y.
31
Teorema 2.2.2 Seja X um poliedro finito conexo, A X um subpoliedro
onde cada componente conexa é um espaço de Nielsen. Então toda aplicação
f : (X, A) —> (X, A) é hoinotópica a alguma aplicação g : (X, A) —> (X, A)
satisfazendo:
1) tem N(7) pontos fixos no bordo de A,
2) g tem um número finito de pontos fixos,
3) todos os pontos fixos de g em X — A estão em simplexos inaximais.
Prova: A demonstração será dada em dois passos.
Passso 1: Mostremos que f : (X, A) (X, A) é homotOpica a uma
aplicação, h: (X, A) —> (X, A) que tem as seguintes propriedades:
(a) h tem N(7) pontos fixos sobre o bordo de A.
(b) existe um poliedro finito B em X de tal forma que ACX—B e h não
tem pontos fixos sobre (X — B) — A.
Para construir h, usamos o fato que cada componente conexa de A é um
espaço de Nielsen para deformar 7: A A para uma auto aplicação de A
que tem NU) pontos fixos sobre o bordo de A. Seja S : A —Y A a aplicação
resultante eF:Ax/ —Y A uma homotopia de 7 para Ti . Pelo lema 2.2.2 o
subpoliedro A é um retrato por deformação forte de alguma vizinhança V de
A em X. Usando uma cobertura estrela (coleção formada pelas estrelas de
cada vértice em A) de A com respeito a alguma subdivisão da triangulação
de X, podemos achar um poliedro finito AI com A c C V e tal que
B = X — intAj é um subpoliedro em X. Seja : / —> V a restrição
para A1 do retrato por deformação forte de V sobre A e seja r : AI —> A
a retração dada por r(x) = R(x,1). Então podemos definir uma homotopia
: A1 x I —> X por
FI(x,t) =
{
f o .R(x, 2t) se O < t < 1/2,
F(r(x),2t —1) se 1/2 < t < 1,
32
e usamos a propriedade de extensão de homotopia lema 2.2.3 para extender
F1 para uma homotopia F : (X x 1, A x 1) -4 (X, A) de f. Se definirmos
li: (X, A) (X, A) por h(x) = F(x, 1), então h não tem pontos fixos sobre
(X — B) — A C Ai — pois h(Ai — A) C A.
Passo 2: Agora mostramos que h: (X, A) -4 (X, A) é homotOpica a uma
aplicação g: (X, A) (X, A) que satisfaz as condições do teorema.
Seja U = X — B. Como h não tem pontos fixos sobre tf - A, existe um 5> O tal que d(x, h(x)) > 6 para todo x no bordo de U. Com a ajuda
do teorema 1.3.2 e corolário 1.2.1 deformamos a restrição hn :B—+X de
h para uma aplicação °a : B X que tem um número finito de pontos
fixos contidos em simplexos maximais e que é 5-homotOpica à ha. Seja
Ca: B x 1 --+ X uma tal 5-homotopia de ha para °a. Então GB(x,t)
para todo x pertencente ao bordo de U, pois diam(GB(x x 1)) < 6 para todo
x E B. Se C': ((rf x O) U (BdU X 1) U (A x 1), A x 1) (X, A) e dada por
{
h(x) se (x,t) E (U X O) U (A x 1),
G a(x,t) se (x,t) E (BdU) x 1
então a restrição de G para (BdU U A) x 1 e uma homotopia especial e
daí extende-se para uma homotopia especial Cu : (if x 1, A x 1) —, (X, A).
Definimos uma homotopia C: (X x 1, A x 1) -4 (X, A) por
{
Gu(x,t) se (x,t) E rf x /
GB(x,t) se (x,t) E B x /
e a aplicação g: (X, A) -4 (X, A) por g(x) = G(x, 1). Note que o fato de Cu
ser especial, implica que y = °I A tem os mesmos pontos fixos de T: , e giu_A
não tem pontos fixos, por isto y tem N(f) pontos fixos que estão no bordo
de A e tem apenas um número finito de pontos fixos. Portanto g é a função
procurada. E
G'(x,t) =
33
Definição 2.2.5 Um subespaço A de um espaço X pode ser aby-passed" se
todo caminho em X com pontos finais em X — A é homotópico a um caminho
ern X — A.
Escrevemos i. : ?ri (X — A) ?ri (X) para o homomorfismo nos grupos
fundamentais induzido pela inclusão.
Teorema 2.2.3 Seja (X, A) um par de espaços e X conexo por caminhos.
Então A pode ser by-passe,d em X se e somente se X — A é conexo por
caminhos e i. : 71-1(X — A) 71-1(X) é sobrejetiva.
Prova: Suponhamos A pode ser by-passed. Dados dois pontos a, 1' E
X — A, existe um caminho em X de a para b homotópico à um caminho
contido em X — A, segue que X — A é conexo por caminhos.
Consideremos um ponto y E X—A como ponto base. Se a é um caminho
em X com ponto inicial e final y, como A é can by passed existe um caminho
/0 em X — A que começa e termina em y homotOpico à a, daí i.(()) = (a)
e i. sobrejetiva.
Reciprocamente, seja À um caminho em X de a para b onde a, b E X — A,
como X — A é conexo por caminhos existe um caminho a em X — A de b
para a. O caminho Àce começa e termina em a, o fato de is ser sobrejetiva
implica a existência de um caminho /0 em X — A homotópico à Àce, daí Pa -1
é um caminho em X — A de a para b homotOpico à À.
Definição 2.2.6 Um caminho PL em [Kl é um caminho p: I IKI que,
para alguma subdivisão L de 1, aplica cada simplexo de L linearmente em
um simplexo de K. A imagem de cada vértice de L é chamado um canto de
p. Um caminho PL é normal se:
1) não passa por qualquer vértice de K,
34
2) não tem múltiplas auto interseções e não tem auto interseções em seus
cantos,
p(s) está em simplexos marimais de K a menos de um número finito de
valores de s E 1, e p(s) vai de um simp leio maximal a outro quando s cruza
qualquer destes valores.
Um arco PL q : 1 —> IKI é um caminho PL com pontos finais diferentes
e sem auto interseções.
Se A é um subpoliedro de X = in dizemos que Q = p(I) é um arco
PL-normal em (In A) se Q é um arco PL-normal em IKI — A ou se Q n A =
{q(1)} e Q é um arco PL-normal em [Kl à parte o fato de que q(1) pode ser
um ponto arbitrário do bordo de A.
Definição 2.2.7 Um ponto x de um espaço topológico X é ponto de corte
local se existe um conjunto aberto conexo U x tal que U — x não é conexo.
Um poliedro finito conexo X não tem ponto de corte local se para qualquer
triangulação K de X, todo simplexo maximal de K é de dimensão maior ou
igual à 2 e para todo vértice v de K o bordo de ISt(v)1 é conexo.
Lema 2.2.4 Seja (X, A) = (IK1,14) um par de poliedros finito, onde X é
conexo e X — A não tem ponto de corte local e não é 2-variedade. Sejam xo
e x1 dois pontos fixos isolados de uma aplicação f: (X, A) (X, A), e seja
Q um arco PL-normal em (IKI, A) de x0 para x1, com Fix(f) n Q = {x0,x1}.
Suponha que x0 está em um simplexo maximal de IKI — A, e que x1 está em
um simplexo maximal de IKI — A ou sobre o bordo de A. Então existe um
E > O tal que se fiq é especialmente homotópica a uma aplicação g: Q X
com d(x,g(x)) < e para todo x E Q, enteio f é homotópica a uma aplicação
f': (X, A) (X, A) com Fix(f) = Fix( f ) — {x0} .
35
Prova: Seja Q = g(I), onde g : I -> In Denote por Is! C 'Kl -
A o simplexo maximal tal que xl E Isl. Tome um ponto x2 E Q de tal
forma que [x2, x1) c Isl. Existe um número 77 > O tal que U([x2,x1],n) c
ist(0-(xl)). Considere 5 > O o número de Lebesgue da cobertura de l Kl
formada pela coleção das estrelas dos vértices de K. Se e = min{5, 77}, temos
que d(x,g(x)) <e para todo x E Q, implica que g : Q —> X é uma aplicação
próxima e g (x) E ISt(a(xi))I quando x E [x2, x1].
Por hipótese existe uma homotopia especial GQ : Q x / X de
flQ para g : Q —> X. Estendemos GQ para uma homotopia especial
G : {(Q U A) x1,Ax I} -> (X, A) da forma
{J(x)
se (x,t) E Q x /
7(x) se (x, t) EAx./
e usando teorema 2.2.1 com A U Q ao invés de A estendemos G para uma
homotopia especial H: (X x 1, A x 1) .- (X, A) que começa em H (x, O) =
f(x). Se f" : (X, A) (X, A) é dado por f" (x) = H (x ,1) , então f"(x) =
g(x) para x E Q.
Como g : Q .— X é uma aplicação próxima, podemos usar sucessivamente
os teoremas 1.3.4 e 1.3.5 para mover o ponto fixo xo de f" ao longo de Q
para o ponto x2 de tal maneira que a restrição para Q da nova aplicação
permanece próxima. Se Q c X — A, pelo teorema 1.3.4 podemos unir x2
com x1 e obter uma aplicação f' : (X, A) .— (X, A) homotópica a f com
Fix(f) = Fix(f) — {x0}.
Temos ainda que unir os pontos x2 e x1 no caso Q n A = {x1}. Seja
fi : (X, A) —, (X, A) a aplicação obtida de f" que tem x2 E H e xi E Isl n A
como pontos fixos isolados. Note que, da observação 1 3 1 e do modo como E
foi obtido, fi(x) E ISt(a(xi))1 quando x E [x2, xi]. Como Fix(h) n [x2, xi] =
{x2, xi}, existe uma vizinhança aberta U de [x2, xi) em Is, com BdU n A --
G(x, t)
36
{x1}, Fix(h) n BdU = 0, r/ convexo e f1(U) ç ISt(a(xi))1 (ver figura 2.2).
Os pontos de t7—{xi} podem ser rótulados como x = (bz, tx), onde bx E BdU,
O < tx < 1 e x = txbx 4- (1 — tx)x).•
Figura 2.2:
Seja f': (X, A) (X, A) definida por
f'(x)
se x =
txfi(bx) 4- (1— tx)xi se x = (b.,tx) E ri— {xl}
fi(x) se x E X —
A aplicação f tem somente x1 como ponto fixo sobre U.
Considere a aplicação II : I x I —* X definida por
se xEX—U
H(x, s) = se x = xi
(1 — s + stx)fi (st). (1 — s)x) + s(1 — tx)xi se x
II é uma homotopia entre fi e f'. Portanto f' é homotópica à f e
Fix(f) = Fix(f) — {x0}.
37
Definição 2.2.8 Seja q : I IKI um arco PL-normal e Q = q(I). Dizemos
que um caminho p : I IKI é especial com respeito a q, se p(0) = q(0),
p(1) = q(1) e p(s) q(s) para O < s < 1. Dois caminhos po,pi : I 'Kl
seio especialmente homotópicos se eles podem ser ligados por uma homotopia
H:IxI IKI onde para cada t, Ht(s) = H(s, t) é especial.
Lema 2.2.5 Se os dois pontos finais de q seio os únicos pontos fixos sobre Q
de f :11C1 —,11(1, enteio o caminho p: I 11{1 é especialmente homotópico
et f o q se, e somente se, a aplicação .1. =poq-1 : Q —,11C1 é especialmente
homotópica a f IQ : Q IKI ( no sentido da definição 2.2.1).
Prova: Seja H : I>< / a homotopia que liga pàf o q, onde cada
Hz(s) = H(s, é especial com respeito a q. Então G:QxI —,11C1 definida
por G(x,t) = H(q-1(x), t) satisfaz:
C(x, O) = H(q-1 (x), O) = p g-1(x) e
(x ,1) = H (q-1(x),1) = f oqoq-1(x), f(x).
Note que at(x) = Ht(q-1(x)) só tem os pontos finais de Q como pontos fixos.
Portanto G é urna homotopia especial entre p o q-1 e f
Reciprocamente seG:QxI ¡Kl for urna homotopia especial entre
p o g' e f Definimos H:IxI —r lig por H(s, t) = G(q(s),t) temos:
H(s, O) = G(q(s), O) = p0 g-1 o q(s) -= p(s)
H(8,1) = G(q(s),1) = f o q(s)
H (O, t) = G(q(0),t) = q(0)
H (1, t) = (q(1), t) = q(1)
e cada Hz(s) = H(s, t) é especial com respeito a q.
Lema 2.2.6 Seja IKI um poliedro finito conexo sem ponto de corte local.
Considere q : I —r ¡Kl um arco PL-normal que satisfaz as seguintes con-
dições:
38
(a) Existe um sim.plexo T, sendo um subconjunto aberto de In e números
O < s < as < s2 < 1, tal que q(s) e Bdr SC S = s OU 82, q(se) Er eq é
linear sobre [si, se] e [se, 821.
659 q(si) e q(s2) estão em um simplexo cri de dimensão I que é face comum
de pelo menos dois simplexos maximais e de pelo menos três 2-simplexos de
K.
Se dois caminhos especiais com respeito à q, pe,pi : I IK1 são lio-
motópicos, então eles são especialmente homotópicos.
Prova: Veja apêndice, lema A.6. 1
Teorema 2.2.4 (Teorema de Minimização Relativo) Seja X um poliedro fi-
nito conexo sem pontos de corte local e A um subpoliedro, tal que:
I) X — A não é uma 2-variedade,
2) toda componente conexa de A é um espaço de Nielsen,
3) A pode ser by-passed.
Então qualquer aplicação f : (X, A) (X, A) é homotópica a uma apli-
cação g: (X, A) ->" (X, A) com NU; X, A) pontos fixos.
Prova: Seja (K, L) uma triangulação de (X, A). Devido ao teorema 2.2.2
podemos supor que 7 tem NU) pontos fixos que estão sobre o bordo de A e que f tem apenas um número finito de pontos fixos sobre X — A e que todos
os pontos fixos de f sobre X — A estão em simplexos maximais de In Nós
agora uniremos pontos fixos pertencentes a uma classe de ponto fixo F de
f : X ->" X. Para isto é suficiente mostrar:
(*)Suponha que Fé uma classe comum de f eJ e xo E F n (X — A) ou que F não é uma classe comum de f e f (isto é, F n A = 0) e xo, xj. E F.
Então f é homotópica a uma aplicação f' : (X, A) (X, A) com Fix( f' ) =
39
Fix(f) — {xo}.
Repetindo (*) várias vezes e eliminando as classes de ponto fixo não
comuns que consiste de pontos fixos de índice zero, através do teorema 1.3.3,
chegamos a uma aplicação g: (X, A) (X, A) com N (f ; X, A) pontos fixos.
Demonstremos (*): Seja F uma classe de ponto fixo de f : X X e
xo E Fn(x—A). Se F é uma classe comum de f e 1, tome xi E FnBdA, e se F não é uma classe comum de f e lf , tome z3 E F— {x0}. Existe um caminho
q: 1 X de z0 para x1 que é homotópico à f o q,Fix(f)nQ = {xo,x1}, tem
a propriedade que Q = q(I) é um arco PL-normal em (11(1, A) com Qn A = 0
se x1 EX—AeQnA= {x1} se xl E BdA e satisfaz as condições (a) e
(0) do lema 2.2.6 (veja apêndice, lemas A.1 e A.2, observando que o fato de X não ter ponto de corte local implica que X — A não tem ponto de corte
local).
Escolhemos e > 0 de tal forma que o lema 2.2.4 pode ser aplicado. Como
q é uniformemente contínua, existe .5 = .5(e) > 0 tal que se IhI < .5, implica
d(q(s + h), q(s)) <E, para todo 8 E I. Considerando este delta, defina /De :
1 X por p6(s) = q(s +.5 sin(sir)), portanto d(ps(s),q(s)) <E para todo s E
I. A aplicação H : 1 x / X definida por H(s,t) = q(s + ti5 sin(sir)) é uma
homotopia ligando qàps. O fato de Fix(f)nQ = {x0,x1 }, implica que f oq é
um caminho especial com respeito a Q, daí /De e f oq são caminhos especiais
e são homotópicos. Segue do lema 2.2.6 que pe e f oq são especialmente
homotópicos. Portanto as aplicações /*IQ Q X e ps o g-1 : Q X são
especialmente homotópicas e d(x,ps o q-1(x)) = d(q(s),ps(s)) <E para todo
E Q. Aplicando o lema 2.2.4 com ps o q-1 no lugar de g, tem-se que (*) é
verdade.
40
Apêndice
Lema A.1 Seja X = IKI um poliedro finito conexo e A um subpoliedro tal
que, X — A não tem ponto de corte local e A pode ser "by-passed". Suponha
que f: (X, A) —> (X, A) tem apenas um número finito de pontos fixos sobre
X — A e todos estão em simplexos maximais de In Seja p um caminho em
KI de xo para xi, onde x0 EX—A e x0, x1 E Fix(f).
(a) Se x1 xo e xi E ¡Kl — A, então p é homotópico à q tal que q(I) é arco
PL-normal em (In A), q(I) n A= 0 e Fix(f) n Q = {x0,x1}
(b) Se x1 E BdA, então p é homotópico à q tal que q(I) é um arco PL-normal
em (In A), q(I) n A = {xi} e Fix(f) n Q {xo, xi}.
Prova: (a) Como A pode ser by-passed existe um caminho pi em X — A
de xo para x1 homotópico a p. Nós desejamos construir um caminho q de xo
para xi que consiste de segmentos de reta cujo interior de cada segmento esta
em simplexos maximais de jKI — A e os pontos finais dos segmentos estão em
simplexos de IKI — A de dimensão pelo menos 1, q(I) n Fix(f) = {xo, x 1},
q Pi re1{0, 1} e sem auto intersecção. Existe ti > O tal que qi = {21(t)10 <
t < ti} está no fecho do simplexo maximal isil C IKI — A, onde xo E !si I e
Pi (ti) E Bdisi I. Existe um segmento de reta di(t), O < t < ti, começando em
xo tal que Fix(f)nd, = {xo}, d1(t) E 1311 para todo O 5_ t <ti, o-(di (ti)) é de
dimensão pelo menos 1 e pi(ti) E lo-(di(ti))1. Existe t2 > ti e um simplexo
41
maximal 1821 C 'Kl — A tal que
q2 = {pi (t)Iti t t2} ç 1821
e pi (t2) E Bdis2 I. Se di (ti) E I s2I então existe um segmento de reta d2 (t), ti <
t t2, começando em d1 (t1), disjunto de Fix(f); e tal que d2(t) E 182; para
ti <t < t2 , onde o-(d2(t2)) é dimensão pelo menos 1, e pi (t2) E i o-(d2 (t2));. No
entanto, se o-(pi (ti)) é um vértice de K, então não é necessariamente verdade
que dl (ti) E 1321. Como 1KI —A não ponto de corte local, existem simplexos
maximais I , Is; I de IKi— A em I St (o-(pi (ti)))1 com di (ti) E 1311 e 35 nsi2+1
de dimensão pelo menos 1 para i = 1, r — 1 e s; = s2. Portanto podemos
neste caso, achar um caminho d2(t), ti < t < t2, começando em
constituido de segmentos de reta de tal forma que, exceto os pontos finais
de cada segmento, cada ponto esta em simplexos maximais de IKI — A, e
os pontos finais dos segmentos estão em simplexos de dimensão pelo menos
1; d2 n Fix(f) = 0, e 10-(d2(t2))1 contém pi (t2). Continuando desta maneira
obtemos um caminho q' = d1U d2U Udk com q' N Pi re1{0,1}, pois cada di
é homotOpico a qi pelas homotopias retas e estas homotopias são iguais nos
pontos finais (ver figura 2.3).
Figura 2.3:
42
Note que não podemos garantir que o caminho q' não tenha auto inter-
secção. Para eliminar as auto interseções procedemos da seguinte forma. Seja
= q' (s), s' < s, o último ponto de auto intersecção de q'. Façamos a
seguinte construção sobre q'[8,1]: Seja ao = g/(a), ..., a,1 = q' (1) os cantos
de 0,1]. Para todo i, trace um segmento de reta /i em cr(ai), de compri-
mento 6 > O, centrado em ai., tal que to esteja ao longo de q' (st — 6,s' 6)
e 4, seja transversal à [an_i, an]. Sei 0 0,n e cr(ai) é maximal, tomamos ti
sobre a bissetriz do ângulo entre [ai_i,ai] e [ai, ai+1]. Para todo i, considere
os segmentos 11„ e /7 centrado no ponto médio bi de [ai, .2 41], paralelo e igual à
ti e 1i+1 respectivamente. Seja P/ o paralelogramo que tem ti e Vi como lados
opostos, e PI' o paralelogramo que tem /7 e ti+i como lados opostos. Seja Ti
os dois triâ.ngulos ou um triângulo conectando g e Pf, de acordo com P/ e
If estão em planos diferentes ou no mesmo plano (ver figura 2.4). Coloque
= P/ U U P/' e E S = 7201 Pi•
ri
Figura 2.4:
Tome .5 suficientemente pequeno de tal forma que 5 encontre q10, s]
somente sobre lo e f só tenha x1 como ponto fixo em S. Como existe um
homeomorfismo q: s 5 C i Kl - A, onde S c iR2 e uma faixa retangular,
que aplica o eixo de S (ver figura 2.5) no arco q'[8,1], podemos deformar o
43
arco /0 = [a, b] no arco n[a, c, d,b] sobre a faixa E6 = (s) e substituindo
/0 por n[a, b,d,b] movemos a auto intersecção para o ponto q1(l); podemos
além disso deformar este arco de tal forma que ele fique fora de .71[0,1], pois
.1(1) está em um simplexo maximal. Repetindo este processo várias vezes se
necessário obtemos o arco PL-normal q desejado.
Figura 2.5:
(b) Se x1 E BdA, então escolhemos y E KI — A próximo de x1 de tal
forma que existe um caminho v : 1 'Kl de x1 para y com v(i) n A = {x1}.
Então o caminho justaposto pv de x0 para y é homotópico a algum caminho
pi em IKI — A. Aplicando a construção acima para o caminho p1v-1 obtemos
um caminho q homotópico à piv-' e consequentemente homotópico a p que
satisfaz as condições exigidas em (b) (ver figura 2.6). 1
Figura 2.6:
44
Lema A.2 Se adicionarmos ao lema A.1 a hipótese de X — A não ser 2-
variedade, podemos obter um arco PI-normal p' que além de satisfazer (a) e
(b) também satisfaz as condição (a) e (p) do lema 2.2.6.
Prova: O fato de X — A não ser 2-variedade, implica que para alguma
triangulação K de X temos um 1-simplexo lall c I1<1 — A sendo face de
pelo menos três 2-simplexos Icri, Icril e lei de 1KI — A. Podemos supor que
1oi I é face comum de pelo menos dois simplexos maximais em 1K1 — A, caso
contrário usamos alguma subdivisão de K ao invés de K.
Considere o arco PL-normal q construído no lema A.1. Podemos ligar um
ponto al de q[0, 1] que não é canto, por segm. entoa de reta que não contém
pontos fixos de f, para algum ponto e1 de lo-11 tal que; este segmento inter-
cepta q[0, 1] somente em ai.. Repetimos este processo com pontos b1 E q[0, 1]
e d1 E Hl (ver figura 2.7). Tome um pequeno simplexo 171 em icri de mes-
ma dimensão de tal forma que uma de suas faces esteja contida em lail e
contenha [ci., dl. Desenhe um ponto cem 171. O caminho p' desejado será
o arco PL-normal que vai de xo para al ao longo de q, então ao longo de
e então de b1 para x1 ao longo de q.
Figura 2.7:
45
Lema A.3 Seja IKI um poliedro finito conexo sem ponto de corte local. Todo
caminho especial p : I IKI é especialmente homotópico a algum caminho
PL-normal p'.
Prova: Seja q o caminho em relação o qual pé especial e q(0) = p(0) = a,
q(1) = p(1) = b Eles são dois pontos diferentes e não são vértices de K,
pois q é por hipótese normal. Tome E > 0 tal que q é linear sobre [0,e]
e [1 — E, 1], p[O, e] c ISt(a(a))1 e p[l — 6,1] c iSt(a(b))1. Construa uma
homotopia h: / x / da seguinte forma. Defina h sobre [0,6] x / por
(1 —)a+ip(et) h(s,t) -=- "
P(s) se s > et.
Temos h(s,t) q(s) para O < s < e, pois como q é linear sobre [0,e]
tem-se
q(s) = (1 —et et
+ ±q(et).
Defina h sobre [1 — E,1] X 1. de maneira similar, isto é,
h(s,t) =
Agora
{ G+= tt1)b 4- (9-t-l)p(1 — et) se s > 1 —net> 0,
P(8) ses<1—te.
= inf{d(p(s), q(s))Is E [6,1— > 0.
Como IKI não tem ponto de corte local, por uma construção semelhante
a feita no lema A.1 parte (a), podemos obter um caminho PL-normal que é
n-homotópico à p[e, 1— e]. Seja h: [e,1 — e] x I IKI a n-homotopia, então
46
h(e, t) = p(e), h(1 — E, t) = p(1 — e), h(s, = p(s), h(s,t) 0 q(s) para todo
s E [E,! - E[ e t E 1, pois diam{h(s, t); O < t < 1} < n. Colando as três
partes, nós chegamos a uma homotopia especial h : 1 x 1 —> X, com hi um
caminho PL. Mudando os cantos de h1 se necessário, chegamos ao caminho
PL-normal desejado p'. •
Lema A.4 ConsiderelKi um poliedro finito conexo sem ponto de corte local
e q um arco PL-normal satisfazendo a condição (a) do lema 2.2.6. Então,
qualquer caminho especial p : 1 —> é especialmente homotópico a um
caminho p' 1 —> IKI com 291[0,1] n (q(0,1)U 7-) = 0.
Prova: Podemos supor que p é um caminho PL-normal pelo lema A.3.
Mudando os cantos se necessário, podemos supor que os cantos de p não
estão em Q, e consequentemente as intersecções de peQe um número finito.
Eliminaremos as intersecções do seguinte modo. Seja p(d) = q(s) uma
intersecção. Se s' < s, fazemos a construção do lema A.1 parte (a) sobre o
arco q[s ,1] com lo ao longo de p(s' — 5, s' 5), podemos deformar especial-
mente uma pequena parte de p em torno de s' de tal forma que a intersecção
move-se ao longo de Q para q(1) e fora de q(0, 1). O caso s' > $ pode ser
tratado de forma similar, mas a construção é feita sobre 9[0, A. Portanto
repetindo este processo várias vezes se necessário obtemos um caminho PL-
normal pi, especialmente homotópico a p, tal que 221[0,1] n q(0, 1) = 0.
Empurre pi(I) n T para o bordo de T pela projeção radial de q(B3) E T.
A condição (a) é necessária para evitar a intersecção com Q durante o em-
purrão. Assim p' é o caminho desejado.
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Lema A.5 Suponha que o arco PL-normal q satisfaça (a) do lema 2.2.6.
Seja P0,P1 : I —> IKI dois caminhos especiais tal que as imagens po(I) e
;hW não interceptam q(0,1) U r. Se po e p1 são homotópicos em IKI — T,
então eles são especialmente homotópicos em IKI.
Prova: Seja À: / —) / definido da forma
se O < s < si,
À ( s) = se si < s < s2, 82-81 ,
se s2 < s < .91.
Os caminhos po e po o À são ligados pela homotopia h: / x / —) ¡Kl definida
por
h(t, = po((1— t)s tÀ(8)),
que é fácil ver ser especial. Similarmente /h e pi o À são especialmente ho-
motópicas. Seja p: I X / -) IKI — uma homotopia ligando po e pj. Então
{pt o ntei é uma homotopia ligando Po o À e pi o À. Esta é especial, pois
Pt o À(8) = q(0) q(s) sobre (0,81], pt o À(8) = q(1) q(s) sobre [82,1), e
sobre (81,82) nós temos Pt o À(s) E IKI — mas q(s) E T. e
Lema A.6 Seja KI um poliedro finito conexo sem ponto de corte local e q
um arco PL-normal que satisfaz as condições (a) e (13) do lema 2.2.6. Se
dois caminhos especiais po,pi : I —>KI são homotópicos, então eles sõ,o
especialmente homotópicos.
Prova: Em vista do lema A.4, podemos supor que po[0,1] e pi [O, 1] são
disjuntos de q(0,1) n r. Escolha o ponto a = q(0) como ponto base de KI
e IKI — T. Po'-'---'p1 re1{0, 1} implica que plpjl cr.• 1 re1{0, 1} em IKI (onde 1
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representa o caminho constante).
Caso 1: dimr > 3. A inclusão i: 'Kl — r C 1K1 induz um isomorfismo
: iri(1K1 — r) /ri (1K1). Agora Po re1{0, 1} em 1K1 se e somente
se Po Pi re1{0, 1} em 'Kl — I-, e pelo lema A.5, Po e pi são especialmente
homotópi cos.
Caso 2: dimr = 2. Tome um ponto c sobre Bdr que não é vértice de K e
é diferente de q(si) e q(s2), seja u o laço sobre Bdr, com ponto base em c e
que dá, uma volta em torno de Bdr. Pelo Teorema de Vau Kampen /ri (1K1) é
isomorfo ao grupo quociente de ir1(1KI—r) módulo o subgrupo normal gerado
por u. Como uma consequência de
1 re1{0, 1} em [Kl, pip0-1 é ho-
motópico em 1K1 —r a 11111 laço dá forma (viukIvri)(v2uk2v2-1)...(umukinv.„,-1),
onde kl, k„, são inteiros, v,„ são caminhos em 1K1 — I- de a para c.
Para todo j = 1, ..., m, podemos achar um caminho PL tf» tendo somen-
te um número finito de intersecções com Q, tal que /4 vi re1{0,1} em
1K1 — T. Então eliminamos as intersecções de di com q(0,1) exatamente co-
mo no lema A.4. Assim obtemos um caminho wi em 1.K1 — (q(0, 1) U r) tal
que wi ry2 vj re1{0, 1} em 1K1 — r.
Tome uma vizinhança W de a tal que W n r = 0. A condição (13) torna
possível modificar It em um laço I/ em !Kl— (q(0, 1) Ur), com ponto base em
c e tal que I/ ti re1{0, 1} em 1K1 — r — W. A figura 2.8 mostra como isto é
feito.
Seja p'0 = (wiliklwi-1)...(wmitkaw„,-1)po. Agora pi e á estão em 1K1 —
(q(0, 1) U r), e eles são homotópicos em 1.K1 — T. Pelo lema A.5 pl e á são
especialmente homotópicos. Resta mostrar que Po e á são especialmente
homotópi cos.
Seja e > O tal que q[0, e] está contida na vizinhança W de a escolhida
acima. Em vista das técnicas de reparametrização usada na demonstração
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Figura 2.8:
do lema A.5, podemos supor que Po é constante sobre [0,E], e que lio é igual
(wittkIwil)...(wmpkmw„.,-1) sobre [0,E] e igual à 730 sobre [E, 1]. Como
ti re1{0,1} em IKI — W mas u 1 re1{0,1} em f C K —
1 re1{0, 1} em KI — W C 11/ — q(0, E]. Agora wi está em IKI — q(0,1) C
11(1 — q(0, E], deste modo (witti9w71) wiw;:l re1{0, 1} e wiwil 1 re1{0, 1}
em ¡Kl — q(0, E]. Daí , a parte de .7:10 sobre [0,E] pode ser deformada a uma
constante sem tocar q(0, Et Assim Po e rio são especialmente homotópicas. e
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Referências Bibliográficas
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