O problema da alocação dos trabalhadores as vagas [Assignment Problem]

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Assignment Problem - bibliografia

Sattinger (1975) – Econometrica

Sattinger (1993) – JEL

Rosen (1978) – Economica

Gibbons & Waldman (1999). HBLE (cap. 36)

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

Um outro problema que se apresenta para a firma refere-se a designação de tarefas a um determinado trabalhador.

As firmas têm um estoque de trabalhadores que deve ser alocado à várias posições dentro da firma.

Assumimos aqui que cada trabalhador tem uma vantagem comparativa na realização de uma determinada tarefa.

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

A firma pode ganhar alocando os trabalhadores as tarefas as quais eles têm ou se saem comparativamente melhor, contudo, nem sempre é fácil descobrir aos talentos dos trabalhadores.

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

Para descobrirmos os talentos dos trabalhadores requer-se um período de observação e monitoração e, portanto, um gasto pela firma.

Contudo, o maior custo é que o trabalhador deve ser testado em ambas as tarefas. Isto significa ensinar ao trabalhador duas tarefas ao invés de uma.

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

Suponha que existam 30 trabalhadores na empresa, que possui dois setores de produção P e H;

Cada trabalhador possui uma produtividade diferente em cada setor de produção.

A empresa pode discriminar cada trabalhador cuidadosamente antes de alocá-lo a uma divisão ou setor, ou pode, simplesmente alocar os trabalhadores sem screening de qualquer modo.

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

O custo de filtrar os trabalhadores é assumido ser igual a $ 700/ por trabalhador.

Quais serão os ganhos com a filtragem?

Isto como veremos depende da tecnologia de produção.

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

Caso # 1

Suponha que, inicialmente, o número de trabalhadores em cada divisão da firma seja completamente variável. Assim, a firma pode colocar todos os 30 trabalhadores em P ou H, ou pode alocá-lo de qualquer modo sem afetar a produtividade de qualquer trabalhador.

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

Os dados da tabela abaixo mostram a produtividade estimada mensal de cada trabalhador em duas divisões da firma.

A coluna MAX (P,H) mostra a produtividade máxima em qualquer das duas divisões da firma.

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

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O problema da alocação quando os trabalhadores não são filtrados [screened]

Se os trabalhadores não são screened, eles podem ser alocados as divisões nas quais eles são mais produtivos.

Por exemplo, o trabalhador 1001 seria alocado ao setor H e o trabalhador 1002 ao setor P.

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O problema da alocação quando os trabalhadores não são filtrados [screened]

Se os trabalhadores não são filtrados, então as firmas não têm informações sobre eles. Sob estas circunstâncias, é melhor alocar cada trabalhador a divisão H, pois o trabalhador médio produz mais em H do que em P, e a firma não tem informação sobre qual se basear sua alocação.

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O problema da alocação quando os trabalhadores não são filtrados [screened]

Média de H = $ 8,910

Média de P = $6,012

Média Max (P,H) = $9,963

Se todos são alocados em H o produtos será:

30 x 8,910 = $ 267.300

Se todos são alocados em P

30 x 6,012 = $ 180.360

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As implicações da filtragem [screening] para a firma

A firma pode filtrar cada trabalhador ao custo de $ 700 por trabalhador e alocar cada trabalhador a sua atividade mais produtiva.

Se a firma decidir filtrar cada trabalhador, a firma irá receber Max (H,P) de cada trabalhador, menos $ 700.00 por trabalhador.

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As implicações da filtragem [screening] para a firma

Assim, a firma aloca os trabalhadores - 02, 09, 15, 16, 22, 24, 25, 26, 28, 29, 30 em P e os demais em H.

Todos os trabalhadores para cuja diferença entre P e H é positiva deveriam ser alocados em H porque eles valem mais do que em P.

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As implicações da filtragem [screening] para a firma

Quando a screening é feita, o produto total seria a soma do produto de cada trabalhador na divisão relevante, menos $ 700 por custo de screening de cada trabalhador. Assim, temos que:

30 x (9.963 – 700) = 277.890 > 267.300

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As implicações da filtragem [screening] para a firma

Como 277.890 > 267.300

vale a pena para a firma realizar a filtragem dos trabalhadores, mesmo que isto custe $ 700,00 para obter esta informação, pois os ganhos de uma alocação ótima dos trabalhadores dentro da empresa mais do que cobrem os custos.

A filtragem irá aumentar o produto da firma em cerca de $ 10.500 ou em cerca de 4%, o que é um ganho significativo para a firma.

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

Caso # 2

Suponhamos agora que exista apenas um certo número de vagas disponíveis em cada divisão, tal como:

Número de vagas: 20 H e 10 P.

Quais os trabalhadores devem ser alocados em H e quais devem ser alocados em P?

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

Sem screening, todos os trabalhadores se parecem, de modo que a firma simplesmente aloca os trabalhadores aleatoriamente. Deste modo o produto esperado é dado por:

(20 * 8.910) + (10* 6.012) = $ 238.320

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

Se a firma fizer o screening temos que:

A regra ótima de alocação usa a diferença entre o produto em P e H para cada indivíduo.

A diferença entre o produto em P e H é chamado de vantagem absoluta do trabalhador em H.

Os indivíduos com as 20 maiores vantagens absolutas em H devem ser alocados em H e o resto em P.

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

A lógica é que a firma deseja colocar as pessoas que são as melhores em H as piores em P em H. Ao contrário, aquelas que são os melhores em P e os piores em H devem ir para P.

Classificando as pessoas por diferenças entre seu produto nos dois setores e alocando-os de acordo obtremos que a alocação ótima resulta em 10 em P e 20 em H.

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas

A alocação de 10 em P e 20 em H resulta em que:

Produto total = $298.261 (?)

Custos do screening = 30*700 = 21.000

Produto líquido= 297.246 - 21.000 = 276.246(?)

276.246 > 238.380 [16% maior] (?)

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas –

conclusões e implicações

(i) Quando o número de vagas é variável, os trabalhadores a serem alocados a uma tarefa onde o seu produto é elevado, é maior em termos absolutos;

(ii) Quando o número de vagas é fixado devido a restrições tecnológicas, os trabalhadores devem ser classificados com base numa vantagem absoluta e alocados a uma tarefa apropriada até que todas as vagas sejam preenchidas;

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas –

conclusões e implicações

(iii) a screening é mais valiosa ou é mais útil quando os trabalhadores são heterogêneos, de modo que suas habilidade não são similares em cada emprego;

(iv) se há duas ou mais habilidades, os trabalhadores dever ser alocados as tarefas onde seu produto é mais elevado em termos absolutos;

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas –

conclusões e implicações

(v) quando o número de vagas é fixado,os trabalhadores devem ser classificados (ranked) baseados sobre sua vantagem absoluta e estão alocados as tarefas apropriadas até que todas as vagas seja preenchidas;

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O problema da alocação dos trabalhadores as vagas –

conclusões e implicações

(vi) a separação (sorting) dos trabalhadores entre

vagas é mais importante, mais significativa para a

empresa quando os trabalhadores tem diferentes

habilidades; quando aqueles que são bons no

emprego H não são bons no emprego P e vice

versa.

A screening é menos valiosa quando os

trabalhadores são homogêneos.

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

O problema da designação das tarefas

apresentado neste capítulo refere-se a um caso

onde há um determinado número de vagas a

serem preenchidas.

A regra usada para resolver este problema foi o de

classificar as trabalhadores por sua vantagem

absoluta e alocá-los numa vaga de acordo com

sua vantagem absoluta.

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

[Lazear (1998)]

Suponha que existam:

(i) z trabalhadores e z vagas;

(ii) m cargo do tipo H e (z-m) cargos do tipo P;

(iii) assim, m dos z trabalhadores devem ser alocados a H e (m-z) devem ser alocados em P;

(iv) Hi – é o produto por trabalhador i em H e

Pi – produto do trabalhador i em P;

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

(v) A alocação ótima maximiza a soma de todos os trabalhadores;

(vi) dando aos trabalhadores uma subscrição, tal que a alocação ótima tenha trabalhadores 1 até m alocados em H e (m+1) até z em P, temos que o produto máximo é dado por:

(1) Max Qt* = H1+ H2+ ... + Hm + Pm+1 +...+ Pz

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

Mas se for verdade de Qt* é o produto máximo, então deve ser verdade que uma mudança nos empregos entre quaisquer dois trabalhadores irá resultar num produto mais baixo:

H1+ ... + Hm + Pm+1 + ... Pz > m z

Hr + Hj Pj + pq j=1 q= m+1 j K q r

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

( 1 k m , m+1 r z) a qual pode ser escrita como:

Hk – Pk > Hr – Pr (1 k m , m+1 r z)

Esta expressão nos diz que a diferença absoluta entre as k’s produtividades em H e a sua produtividade em P deve exceder a diferença entre as r’s produtividades em H e as r’s produtividades em P.

Isto deve ser verdadeiro para todo o K e r onde k é definido como o trabalhador cujo o nome está entre 1 e m e r é o trabalhador cujo nome está entre (m+a1) e z.

O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na

firma [O modelo de Garibaldi (2006)]

Caso com o número variável de vagas

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

[O modelo de Garibaldi (2006)]

(i) há n trabalhadores para n vagas a serem alocadas numa empresa no qual existem dois setores H e S;

(ii) se a firma não filtra os trabalhadores, ela deve estimar o valor da produção média em ambos os setores; onde Hm e Sm são os valores médios de produção em ambos os setores;

n n

Hm = [i=1 Hi/n] e Sm = [ i= 1 Si/n]

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

[O modelo de Garibaldi (2006)]

(iii) se os trabalhadores não são filtrados [screened] e o número de vagas é variável, então o problema da alocação deveria ser resolvido pela alocação dos trabalhadores onde a produção média é maior, isto é:

Max (Hm, Sm)

se nós assumirmos que Hm > Sm, a produção total será Qr = nHm

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

[O modelo de Garibaldi (2006)]

(iv) vamos assumir aqui que a firma pode filtrar os trabalhadores ao um custo unitário $c, condicional a filtragem, isto é, a firma é capaz de encontrar qual é a vantagem absoluta do trabalhador na produção, isto é, para um determinado trabalhador i, a vantagem comparativa em termos absolutos é Max (Hi, Si), de modo que o produto total sob screening será igual a:

n

Qscrening = { i=1 Max [Hi, Si] – cn}

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

[O modelo de Garibaldi (2006)]

A filtragem [screening] será ótima somente se: n

i=1 Max [Hi, Si] – cn nHm

Assim, vemos que a filtragem [screening] é ótima quando:

(a) $c é pequeno;

(b) quando os trabalhadores são muito heterogêneos, de modo que quem é bom no setor H não é bom no setor S.

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Exemplo – Job assignment – variable slots

N S H Prob. Max Diferença

1 JOE 100 69 0.25 100 31

2 ROBIN 80 85 0.25 85 -5

3 ROBERT 60 90 0.25 90 -30

4 LOISE 30 100 0.25 100 -70

Produto total 270 344

Produto médio 67.5 86

Produto com o indivíduo no seu max.

93.75 275

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Exemplo – Job assignment – variable slots

Com custos de screening [c = 10] – 83.75

Com custos de screening [c = 5] – 88.75

O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

[O modelo de Garibaldi (2006)]

Caso com o número fixo de vagas

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

[O modelo de Garibaldi (2006)]

(i) suponha que existam n trabalhadores e n vagas, mas que existam apenas h no setor H e s no setor S, sendo que s + h = n;

(ii) o problema da alocação ótima maximiza a soma do produto de todos os trabalhadores;

(iii) assumindo que os trabalhadores possam ser denominados de 1 a h no setor H e h+1 no setor S, temos que:

Q* = H1 + H2 + ... Hh + Sh+1 + ... Sn

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

[O modelo de Garibaldi (2006)]

Se Q* é ótimo, então deve ser verdade que mudando os trabalhadores de setor nós não aumentamos o produto. Se a alocação Q * é ótima, deve ser verdade que Q* > Q k – r. Assim, temos que:

h n

H1+H2 + Hh + Sh+1+ ... Sn > hj + Hr + Sj +Sk j=1; jk j=h+1; jr

(h+1) r ni 1 k hi

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

[O modelo de Garibaldi (2006)]

Simplificando a expressão acima obtemos que:

Hk + Sr > Hr + Sk

ou que

Hk – Sk > Hr – Sr (h+1) r ni 1 k hi

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

[O modelo de Garibaldi (2006)]

Hk – Sk > Hr – Sr (h+1) r ni 1 k hi

A expressão acima nos diz que a diferença

absoluta entre k’s na produção nos setores H e S é maior do que a diferença absoluta ente os r na produção de H e S. Isto é, qualquer trabalhador alocado em H tem uma diferença maior entre H e S do que qualquer outro trabalhador alocado em S.

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Exemplo [O modelo de Garibaldi (2006)]

Vagas Alocação #1 Alocação #2

S1 100 JOE 100 JOE

S2 80 ROBIN 60 ROBERT

H1 90 ROBERT 85 ROBIN

H2 100 LOISE 100 LOISE

TOTAL 370 345

Média 92.5 86.25

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O tratamento formal do problema da alocação dos trabalhadores na firma

[O modelo de Garibaldi (2006)]

A regra geral para a obtenção da alocação ótima é a seguinte:

Classifique os trabalhadores de acordo com sua vantagem absoluta (diferenças absolutas de produtividade) e aloque-os nas vagas abertas com base na classificação (do maior ao menor) até que todas as vagas em H sejam preenchidas.

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Informação Pública ou Privada

Cada trabalhador alocado em H possui uma grande diferença entre H e P do que qualquer outro trabalhador alocado em P.

Isto é exatamente a regra discutida no texto – classificar os trabalhadores por sua diferença produtiva absoluta entre H e P com base na classificação (da mais alta diferença a mais baixa) até que todas as vagas serem preenchidas.

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A filtragem e a capacidade da firma de atrair candidatos

Porque um trabalhador insiste em passar por um processo de seleção, se existe a possibilidade de não ser efetivado no final e essa informação se tornar pública?

Empresas que pagam acima do mercado têm que selecionar, para evitar que candidatos não produtivos sejam selecionados e efetivados.

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Principais Pontos e Conclusões do Capítulo

(i) se houver duas ou mais habilidades e vagas de emprego, então o problema se torna um de alocação de tarefa:

a) quando o número de vagas é variável, o trabalhador deveria ser alocado a tarefa onde seu produto é o mais elevado em termos absolutos;

b) quando o número de vagas é fixo, os trabalhadores deveriam ser classificados em termos vantagem absoluta e então alocados a tarefa apropriada até que as vagas fossem preenchidas;

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Principais Pontos e Conclusões do Capítulo

c) a filtragem dos trabalhadores entre as vagas é mais importante quando os trabalhadores têm diferentes habilidades, isto é, quando aqueles que são bons no emprego A e são maus no emprego B e vice versa.

d) a filtragem (screening) é menos valiosa quando os trabalhadores são homogêneos.

Fim

Economia dos Recursos Humanos

Prof. Giácomo Balbinotto Neto