OmnesGraduatio RaízesdaEquaçãoCúbica 1Ref.:170725 prof.NorbaMatemática

Aequaçãocúbicaédaforma

𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥 + 𝑎! = 0, com 𝑎! ≠ 0 (1)

Interessadeterminarosvaloresdexquesatisfazemaequação.Fala-seemraízes.AFigura1mostraaexistênciadetrêstiposderaízesparaaeq.(1).Aregiãoentreaslinhas(-1)e(1)fornecetrêsraízesreais.Asregiõesacimade(1)eabaixode(-1)tem-seumaraizrealeduasimaginárias.

Fig.1–Gráficosegmentodecurvadaeq.(1).Alinha(0)apresentatrêsraízesreais,sendoqueuma

delascoincidecomopontodeinflexão;aslinhas(-1)e(1)evidenciamtrêsraízesreais,sendoduasiguais,ospontosdemínimoedemáximo,respectivamente;aslinhas(-2)e(2)mostramapenasuma

raizreal,easoutrasduasraízessãocomplexaseconjugadas.

Busca-sesoluçãodaforma

𝑥 − 𝑥! 𝑥 − 𝑥! 𝑥 − 𝑥! = 0 (2)Asraízesdaeq.(1),explicitadasnaeq.(2)podemserdeterminadaspormeiodeálgebra,cujasoluçãoexataéatribuídaaTartagliaqueaderivoueaCardanoqueapublicou1.AseguirasraízessãodeterminadasbaseadonométododeHudde2,oqualtemavantageminicialdeoperarcomnúmerosmaissimples,quiçáinteiros.Referências:

MiquelyMerino,P.ElementosdeAlgebraSuperior.Vol.1,4aed.Cultural.Habana,1948.Imagensmatemáticos:Wikipedia.

1 Nicoló Fontana (1499-1557), conhecido como Tartaglia, Girolamo Cardano (1501-1576).

2 Johannes (van Waveren) Hudde (1628-1704).

OmnesGraduatio RaízesdaEquaçãoCúbica 2Ref.:170725 prof.NorbaMatemática

1. Calcularoscoeficientesmen

𝑚 = 3 3𝑎!𝑎! − 𝑎!!

𝑛 = 2𝑎!! − 9𝑎!𝑎!𝑎! + 27𝑎!𝑎!!

2. CalcularodiscriminanteD

𝐷 =𝑛2

!+

𝑚3

!

Propriedades:• SeD>0àumaraizreal,duasraízesimagináriasconjugadas.• SeD=0àtrêsraízesreais,sendoduasiguais.• SeD<0àtrêsraízesreaisdistintas.

3. CasosD>0eD=0

CalcularosradicaisAeB

𝐴 = −𝑛2+ 𝐷

! e 𝐵 = −

𝑛2− 𝐷

!

SeD>0,regiãoexternaàregião[-1,1]naFigura1,asraízessão

𝑥! = 𝐴 + 𝐵

𝑥! = −𝐴 + 𝐵2

+ 𝑖𝐴 − 𝐵2

3

𝑥! = −𝐴 + 𝐵2

− 𝑖𝐴 − 𝐵2

3

SeD=0,linhas[-1]e[1]naFigura1,asraízessão

𝑥! = 𝐴 + 𝐵

𝑥! = 𝑥! = −𝐴 + 𝐵2

4. CasoD<0Região]-1,1[naFigura1.Determinarosparâmetros

𝜌 = −𝑚3

! e 𝜑 = cos!! −

𝑛2𝜌

ondeϕédadoemradianos;edeterminarasraízes

𝑥!!! = 2 𝜌! cos𝜑 + 2𝑘𝜋

3, para 𝑘 = 0, 1, 2

Cabenotarpara𝜑 ∈ 0, 𝜋 tem-sequex1>x3>x2.

5. Efinalmente,paraqualquercasoacima,atransformação

𝑥! →

𝑥! − 𝑎!3𝑎!

, 𝑘 = 1, 2, 3

levaàsraízesprocuradas.