RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB …download.oversubs.org/RECEITA FEDERAL 2013 - PONTO DOS CONC… · (SEAD-SE 2008/CESPE-UnB) As raízes da equação ² − 4 + 1 = 0

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 6 – Parte 2 1. Equação do 2º grau ...................................................................................................................... 2

2. Relações de Girard ...................................................................................................................... 13

3. Pares Ordenados .......................................................................................................................... 19

4. Plano Cartesiano .......................................................................................................................... 19

5. Funções . .......................................................................................................................................... 21

6. Domínio e Imagem ...................................................................................................................... 24

7. Reconhecimento gráfico de uma função . ............................................................................ 24

8. Imagem de um elemento ......................................................................................................... 26

9. Zero de uma função .................................................................................................................... 31

10. Função Afim ................................................................................................................................... 32

11. Função Quadrática ....................................................................................................................... 49

12. Logaritmos e Potências .............................................................................................................. 68

Relação das questões comentadas................................................................................................................. 86

Gabarito . ...................................................................................................................................................... 100




1. Equação do 2º grau

Denomina-se equação do 2º grau toda equação na forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a ≠≠≠ 0.

Para calcular os possíveis valores que satisfazem a equação acima, devemos utilizar a fórmula abaixo:

2 4

2

b b acx

a

− ± −=

Denominamos discriminante o número real 2 4b ac∆ = − , podemos reescrever a fórmula resolutiva da equação do segundo grau da seguinte maneira,

2

bx

a

− ± ∆=

Resolva as equações abaixo:

( )

2

2

) 2 10 12 0

2, 10, c 12

10 4 2 12

4

( 10) 4 10 2

2 2 4

2 ou 3

{2;3}

a x x

a b

x

x x

S

− + =

= = − =

∆ = − − ⋅ ⋅

∆ =

− − ± ±= =

⋅

= =

=

( )

2

2

b) 6 9 0

1, 6, c 9

6 4 ( 1) ( 9)

0

6 0 6 0

2 ( 1) 2

3 ou 3

{3}

x x

a b

x

x x

S

− + − =

= − = = −

∆ = − ⋅ − ⋅ −

∆ =

− ± − ±= =

⋅ − −

= =

=

( )

2

2

) 4 7 0

1, 4, c 7

4 4 1 7

12

12

c x x

a b

R

S φ

− + =

= = − =

∆ = − − ⋅ ⋅

∆ = −

∆ = − ∉

=

Observe que no terceiro exemplo o discriminante é negativo. Em casos como este, o conjunto solução sempre será o conjunto vazio, isto porque as raízes quadradas de números negativos não podem ser calculadas com números reais.

Observando os exemplos acima resolvidos, verificamos que há três casos a considerar.

0 Duas raízes reais e distintas

0 Duas raízes reais e iguais

0 Não há raízes reais

∆ > ⇔

∆ = ⇔

∆ < ⇔




01. (SEBRAE/AC 2007/CESPE-UnB) Julgue o item

seguinte. As raízes da equação �² − 4� + 2 = 0 são números

racionais.

Resolução

Temos uma equação do segundo grau em que = 1, � = −4�� = 2.

Vamos calcular o discriminante.

∆= �² − 4� = �−4�� − 4 ∙ 1 ∙ 2 = 8

Assim, as raízes são dadas por:

� = −� ± √∆

2

� = 4 ± √8

2

Ora, sabemos que 2² = 4 e que 3² = 9. Assim, a raiz quadrada de 8 é um número IRRACIONAL. O item está errado.

02. (SEAD-SE 2008/CESPE-UnB) As raízes da equação �² − 4� + 1 = 0 são números irracionais.

Resolução

Temos uma equação do segundo grau em que = 1, � = −4�� = 1.


∆= �² − 4� = �−4�� − 4 ∙ 1 ∙ 1 = 12


� = −� ± √∆

2

� = 4 ± √12

2

Ora, sabemos que 3² = 9 e que 4² = 16. Assim, a raiz quadrada de 12 é um número IRRACIONAL. O item está certo.

03. (SGA-AC 2007/CESPE-UnB) Se �� e �� são as raízes da equação �² + � − 6 = 0, então ��/�� > 0.

Resolução




Temos uma equação do segundo grau em que = 1, � = 1�� = −6.


∆= �² − 4� = 1� − 4 ∙ 1 ∙ �−6� = 25


� = −� ± √∆

2

� = −1 ± √25

2 =−1 ± 5

2

Assim, concluímos que �� = 2 e �� = −3. A divisão de um número positivo por um número negativo dá um número negativo. O item está errado.

04. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Na tabela abaixo têm-se duas equações quadráticas de incógnitas x, E1 e E2.

Se a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2, a maior raiz de E2 é (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

Resolução

Vamos resolver a equação ��. Na equação �² + 2� − 15 = 0, consideramos que = 1, � = 2 e � = −15.

� = −� ± √�� − 4�

2

� = −2 ± �2² − 4 ∙ 1 ∙ �−15�

2 ∙ 1

� = −2 ± √64

2 =−2 ± 8

2

� = 3 !� = −5




O enunciado diz que a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2. Portanto, a menor raiz de E2 é igual a 3.

Vejamos a equação E2: �² − �� + 12 = 0

Sabemos que 3 é uma de suas raízes, portanto:

3²− � ∙ 3 + 12 = 0

9 − 3� + 12 = 0

−3� = −21

� = 7

A equação E2 tomará a seguinte forma:

�² − 7� + 12 = 0

Neste caso, temos = 1, � = −7, � = 12.

� = −� ± √�� − 4�

2

� = 7 ± ��−7�� − 4 ∙ 1 ∙ 122 ∙

1

� = 7 ± 12

� = 4 !� = 3

Já sabíamos que 3 era uma das raízes de E2. A maior raiz de E2 é igual a 4.

Letra A

05. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 a) (1,-1) b) (-7,-1) c) (7,1) d) (-7,1) e) (-1,0)

Resolução




Considere uma equação do 2º grau �� + �� + � = 0, com ≠ 0. As raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula

� = −� ± √�� − 4�

2

Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo,

� = −�−8� ± ��−8�� − 4 ∙ 1 ∙ 72 ∙

1

� = 8 ± √64 − 28

2

� = 8 ± 62

Assim, x = 7 ou x = 1.

Letra C

06. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0

a) S={-2,2,-3,3} b) conjunto vazio c) S={-2,-3} d) S={2,3} e) S={-2,-3,-1,1}

Resolução

A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará

%� + 13% + 36 = 0

Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = 13 e c = 36) devemos utilizar a seguinte fórmula:

% = −� ± √�� − 4�

2

% = −13 ± √13� − 4 ∙ 1 ∙ 36

2 ∙ 1




% = −13 ± √169 − 144

2

% = −13 ± 5

2

Assim,

% = −13 + 5

2 = −4

ou

% = −13 − 5

2 = −9

Como x2=y, então x2 = -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real que elevado ao quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao quadrado é não-negativo) ou x2 = -9 (x não pertence aos reais pelo mesmo motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o conjunto vazio.

Letra B

07. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 25

Resolução

A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará

%� − 25% + 144 = 0

Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = -25 e c = 144) devemos utilizar a seguinte fórmula:

% = −� ± √�� − 4�

2

% = −�−25� ± ��−25�� − 4 ∙ 1 ∙ 144

2 ∙ 1




% = 25 ± √625 − 576

2

% = 25 ± 7

2

Assim,

% = 25 + 7

2 = 16

ou

% = 25 − 7

2 = 9

Como x2=y, então x2 = 16 ou x2 = 9.

�� = 16 !�� = 9

� = 4 !� = −4 !� = 3 !� = −3

A soma de todas as raízes da equação é 4 + �−4� + 3 + �−3� = 0.

Letra A

08. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de �

�� + � + 1 = 156

�� + �

é igual a:

a) −6 b) −2 c) −1 d) 6 e) 13

Resolução

Vamos utilizar um artifício para facilitar os cálculos. Fazendo �� + � = %, a equação ficará:

% + 1 = 156%




% ∙ �% + 1� = 156

%� + % = 156

%� + % − 156 = 0

% = −� ± √�� − 4�

2 =−1 ± �1� − 4 ∙ 1 ∙ �−156�

2 ∙ 1 =−1 ± √625

2 =−1 ± 25

2

% = −1 − 25

2 = −13ou% =

−1 + 252

= 12

i) % = −13

�� + � = −13

�� + � + 13 = 0

� = −1 ± √1� − 4 ∙ 1 ∙ 13

2 ∙ 1 =−1 ± √−51

2

Como o problema pede para trabalhar com raízes reais, não podemos continuar neste caso, pois a raiz quadrada de −51 não é um número real.

ii) % = 12

�� + � = 12

�� + � − 12 = 0

� = −1 ± �1� − 4 ∙ 1 ∙ �−12�

2 ∙ 1 =−1 ± 7

2

� = −1 − 7

2 = −4 !� =

−1 + 72

= 3

A soma dos valores reais de x é igual a−4 + 3 = −1.

Letra C

09. (TFC 2000/ESAF) Determinar de modo que a equação 4�� + � − 4�� + 1 − = 0 tenha duas raízes iguais:

a) = 0 b) = −8 ! = 0 c) = 8 d) −8 < < 0 e) < 0 ! > 8




Resolução

Uma equação do tipo �� + �� + � = 0 tem raízes iguais se e somente se o discriminante ∆ = �� − 4� for igual a 0.

4�� + � − 4�� + 1 − = 0

� − 4�� − 4 ∙ 4 ∙ �1 − � = 0

� − 8 + 16 − 16 + 16 = 0

� + 8 = 0

Vamos colocar em evidência.

∙ � + 8� = 0

Devemos pensar o seguinte: quando é que multiplicamos dois números e o resultado é igual a 0? Quando qualquer um dos fatores for igual a 0.

Portanto, = 0 ! + 8 = 0

Ou seja, = 0 ! = −8.

Letra B

10. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é:

a) 42 b) 45 c) 48 d) 50 e) 52

Resolução

De acordo com o enunciado, �� − 4� = 1.845.

�� − 4� − 1.845 = 0

Vamos calcular o discriminante:

∆ = �� − 4� = �−4�� − 4 ∙ 1 ∙ �−1.845� = 7.396

Temos que calcular a raiz quadrada de 7.396.

Observe o seguinte fato:




50� = 2.500

60� = 3.600

70� = 4.900

80� = 6.400

90� = 8.100

Como 6.400 < 7.396 < 8.100, então a raiz quadrada de 7.396 é um número que está entre 80 e 90. Como o algarismo das unidades de 7.396 é igual a 6 concluímos que a raiz quadrada só pode ser 84 ou 86 (isto porque 4 x 4 = 16 e 6 x 6 = 36).

84� = 7.056

Deu errado... Só pode ser 86!

86� = 7.396

Voltando à equação:

�� − 4� − 1.845 = 0

� = −�−4� ± 86

2 ∙ 1 =4 ± 86

2

Como x representa o número de soldados, obviamente � > 0, portanto, devemos utilizar apenas o + na fórmula.

x = 4 + 86

2 = 45soldados

Letra B

11. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: a) 16 b) 18 c) 21 d) 25 e) 27

Resolução




Digamos que há / funcionários e que cada um arquivará 0 processos.

O total de processos é dado pelo produto do número de funcionários pelo número de processos que cada um arquivará. Desta forma:

/ ∙ 0 = 108

0 = 108/

No dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto.

Ou seja, cada um dos �/ − 2� funcionários arquivará �0 + 9� processos.

�/ − 2� ∙ �0 + 9� = 108

/ ∙ 0 + 9/ − 20 − 18 = 108

Sabemos que / ∙ 0 = 108, logo:

108 + 9/ − 20 − 18 = 108

108 + 9/ − 20 − 18 − 108 = 0

9/ − 20 − 18 = 0

Vamos substituir o valor de 0 por �123.

9/ − 2 ∙ 108/

− 18 = 0

9/ − 216/

− 18 = 0

Vamos multiplicar os dois membros da equação por /.

9/ ∙ / − 216/

∙ / − 18 ∙ / = 0 ∙ /

9/� − 18/ − 216 = 0

Para simplificar as contas, vamos dividir os dois membros por 9.

/� − 2/ − 24 = 0




/ = −� ± √�� − 4�

2 =−�−2� ± ��−2�� − 4 ∙ 1 ∙ �−24�

2 ∙ 1 =2 ± 10

2

Como o número de funcionários é positivo, devemos utilizar apenas o +.

/ = 2 + 10

2 =122

= 6funcionários.

0 = 108/

=1086

= 1809 ��:: :09�;<!/�= /á9=

Essa é a situação inicial: 6 funcionários, cada um arquiva 18 processos. Faltaram 2 funcionários, portanto apenas 4 funcionários trabalharam. Cada um deles arquivou 9 processos a mais, portanto, cada um deles arquivou 27 processos.

Letra E

2. Relações de Girard

Vamos resolver a equação 12�� − 10� + 2 = 0.

Considerando a notação usual �� + �� + � = 0, temos que = 12, � = −10�� = 2.

� = −� ± √�� − 4�

2 =−�−10� ± ��−10�� − 4 ∙ 12 ∙ 2

2 ∙ 12

� = 10 ± 224

Assim:

�� = 10 + 224

=1224

=12 !�� =

10 − 224

=824

=13

Vamos calcular a soma das raízes:

> = �� + �� = 12 +13 =3 + 26

=56

Vamos calcular o produto das raízes:

? = �� ∙ �� = 12 ∙13 =16

Pronto! Todo este trabalho para calcular a soma e o produto das raízes da equação do segundo grau. Será que existe uma forma mais rápida? Sim... Existe! É sobre este assunto que falaremos agora: As Relações de Girard.




São duas fórmulas que nos ajudam a calcular a soma e o produto.

Vejamos: Chamaremos de �� as raízes da equação �� + �� + � = 0.

Desta maneira:

1 2 e 2 2

b bx x

a a

− + ∆ − − ∆= =

Vamos multiplicar e somar estes dois números:

Vamos voltar ao nosso exemplo:

12�� − 10� + 2 = 0.

= 12, � = −10�� = 2

Pois bem, de acordo com as relações de Girard, a soma das raízes é dada por:

> = −�

=−�−10�

12 =1012

= 56

O produto das raízes é dado por:

? = � =212 =

16




12. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é: a) - 7 b) - 2 c) 1 d) - 1 e) 7

Resolução

Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau �� + �� + � = 0, com ≠ 0 cujas raízes podem ser calculadas com o

auxílio da seguinte fórmula

� = −� ± √�� − 4�2A soma das raízes dessa equação é dada por

> = −�e o produto das raízes é dado por

? = �Voltemos ao problema. Na equação mx2 – 7x + 10 = 0, temos que a = m, b = - 7 e c = 10.

A soma das raízes é igual a 7, logo

−� = 77

@ = 77@ = 7 @ = 1

Letra C




13. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: a) -2 b) -1 c) 5 d) 7 e) 2

Resolução

Na questão anterior vimos que na equação �� + �� + � = 0, a soma das raízes é dada por


? = �Na equação dada, temos que a = 5, b = -10 e c = 2m – 4.

Como a soma das raízes é igual ao produto das raízes,

> = ?

−� =

�−� = �

−(−10) = 2@ − 4 2@ − 4 = 10 2@ = 14 @ = 7

Letra D




14. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2

Resolução

Sejam x1 e x2 as raízes da equação dada. Temos que a = 2, b = m e c = 1.

O texto nos informa que uma raiz é o dobro da outra. Ou seja, x1 = 2x2.

Sabendo os valores de “a” e “c”, temos condições de calcular o produto das raízes.

�� ∙ �� = � Como x1 = 2x2,

2 ∙ �� ∙ �� = 12�� = 14

Como as raízes são positivas, então

�� = 12Consequentemente

�� = 2 ∙ �� = 2 ∙ 12 = 1Assim, a soma das raízes será igual a

�� + �� = 1 + 12 =2 + 12 = 3

2 = 1,5Letra D




15. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação �� + �� + � = 0 possui raízes 3 e 5. Então, � + � é igual a:

a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23

Resolução

Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau �� + �� + � = 0, com ≠ 0. A soma das raízes dessa equação é dada por


? = �

Sabemos que = 1. Como as duas raízes são 3 e 5, então a soma das raízes é > = 3 + 5 = 8 e o produto das raízes é ? = 3 × 5 = 15.

> = −� ⇔−�1 = 8

� = −8? = � ⇔

�1 = 15

� = 15� + � = −8 + 15 = 7

Letra A




3. Pares Ordenados

Dados dois elementos a e b, podemos formar com eles o conjunto {a,b}, no qual é irrelevante a ordem dos elementos. Adotaremos como noção primitiva o conceito de par ordenado, um ente matemático que depende da ordem em que os números a e b são considerados. Um par ordenado é indicado entre parêntesis e os elementos são separados por vírgula (ou ponto e vírgula).

Considere o par ordenado (, �). O número é chamado abscissa do par e o número � é chamado ordenada do par. Dois pares ordenados são iguais se e somente se possuírem a mesma abscissa e a mesma ordenada.

(, �) = (�, ;) ⇔ = �� = ;

Exemplo:

Os pares ordenados (2, 3)� C√4, D�E são iguais porque:

2 = 4�3 = 62Observe que em geral (, �) ≠ (�, ). Só teremos a igualdade (, �) = (�, ) nos casos em que = �.

4. Plano Cartesiano

Considere duas retas orientadas � e %. Chamaremos estas retas de eixos coordenados. Considere ainda que as duas retas sejam perpendiculares (formam um ângulo de 90o) e se cortam no ponto O.

�

%Ponto O → Origem do plano cartesiano




O eixo � é o eixo das abscissas. O eixo % é o eixo das ordenadas. A origem do plano cartesiano é o ponto O. O plano fica dividido em 4 regiões chamadas de quadrantes. A numeração dos quadrantes é feita no sentido anti-horário.

Como representamos o par ordenado (, �) no plano cartesiano?

- Localizamos o número no eixo � e desenhamos uma reta vertical passando pelo ponto encontrado.

- Localizamos o número � no eixo % e desenhamos uma reta horizontal pelo ponto encontrado.

- O ponto de encontro das duas retas desenhadas é o ponto (, �). Localize no mesmo plano cartesiano os pontos G(2,4), H(−1, −3), I(3,0)�J(0,2).

I(3,0)

G(2,4)

�

%

2

H(−1,−3)

J(0,2)

3

−3

−1

4

2

1º quadrante2º quadrante

3º quadrante 4º quadrante




Observações

i) O ponto C(3,0) está sobre o eixo das abscissas. Todos os pontos do eixo K possuem a ordenada igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que pertencem ao eixo K possuem L = M.

ii) O ponto D(0,2) está sobre o eixo das ordenadas. Todos os pontos do eixo L possuem a abscissa igual a 0. De outra forma, dizemos que os pontos que pertencem ao eixo L possuem K = M.

5. Funções

João estava muito cansado para dirigir e decidiu ir para o trabalho de táxi. Como ele é um bom aluno de matemática, pediu para o taxista explicar como funciona a lei que calcula o valor a ser pago pela corrida de táxi. O taxista explicou que ele deve pagar uma bandeira de R$ 3,50 – valor inicial a ser pago em qualquer corrida de táxi – e mais R$ 0,50 por quilômetro rodado.

Como a distância da casa de João até o seu trabalho é de 9 quilômetros, então ele pagará 9 vezes R$ 0,50 mais R$ 3,50. Portanto, João pagará R$ 8,00 para fazer o percurso de 9 quilômetros. João achou caro e começou a fazer as contas de quanto pagaria na corrida dependendo da quantidade de quilômetros rodados – decidiu que faria o restante do percurso andando.

8 quilômetros → 3,50 + 8 × 0,50 = 7,50 7 quilômetros → 3,50 + 7 × 0,50 = 7,00 6 quilômetros → 3,50 + 6 × 0,50 = 6,50 5 quilômetros → 3,50 + 5 × 0,50 = 6,00 4 quilômetros → 3,50 + 4 × 0,50 = 5,50

João percebeu que o valor a ser pago pela corrida depende da quantidade de quilômetros rodados.

Quilômetros rodados Valor a ser pago ?? 2,00 ?? 2,50 4 5,50

está em função




5 6,00 6 6,50 7 7,00 8 7,50 9 8,00

Observe que a cada quantidade dada de quilômetros rodados, podemos calcular o valor correspondente a ser pago. Obviamente todas as quilometragens possuem um, e apenas um valor a ser pago. Nem todos os valores “a serem pagos” possuem uma quilometragem correspondente. No exemplo dado, não tem como uma pessoa andar no táxi e pagar apenas R$ 2,00 ou R$ 2,50.

O diagrama acima relaciona os elementos de A (possíveis quilometragens) com os elementos de B (possíveis valores a serem pagos).

Observe que cada elemento de A corresponde a um único elemento de B.

Esta relação é denominada função de A em B. Podemos garantir, matematicamente, que se trata de uma função porque:

i) Todos os elementos de A participam da relação (mandam flecha). ii) Os elementos de A participam da relação apenas uma vez (mandam

apenas uma flecha).

Ou seja, podem acontecer duas coisas para que uma relação entre dois conjuntos não seja função:

A

45

6

7

8

9

2,002,50

5,50

6,00

6,50

7,00

7,508,00

B




i) Algum elemento de A não participar da relação (não mandar flecha). ii) Algum elemento de A participar da relação mais de uma vez (mandar

mais de uma flecha).

A definição afirma que todos os elementos do conjunto de partida deve se relacionar c om um elemento do c onjunto imagem, e esse elemento deve ser único.

Quais das seguintes relações binárias de A em B também são funções?

A B

Não é função, pois existe elemento de A que não

se relaciona.

AB

É função, pois todos os elementos de A se

relacionam apenas uma vez.

A B

É função, pois todos os elementos de A se

relacionam apenas uma vez.

Não é função, pois existe elemento de A que se

relaciona mais de uma vez.

A B




6. Domínio e Imagem

No exemplo anterior, o conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é chamado contradomínio da função (ou conjunto de chegada). Os elementos de B que recebem as flechas formam o conjunto imagem. Desta forma:

J @í/= ;�<:JP = G = {4,5,6,7,8,9} I /S9; @í/= ;�<:IJP = H = {2,00; 2,50; 5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00}

U@V�@;�<:U@P = {5,50; 6,00; 6,50; 7,00; 7,50; 8,00} Observe que o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, ou seja, todos os elementos do conjunto imagem são elementos do contradomínio.

7. Reconhecimento gráfico de uma função

Para determinar se determinado gráfico de uma relação de A em B é uma função de A em B devemos traçar retas perpendiculares ao eixo x passando por todos os pontos do conjunto partida (A). Se todas as retas encontrarem o gráfico em apenas um ponto, então a dada relação binária é uma função.

Exemplos

<: G → W�@X!�G = Y−1,2Y

A curva acima representa uma função já que todas as retas verticais encontram o gráfico apenas uma vez.

V: H → W�@X!�H = Y0,6Y




A curva acima não representa uma função já que existem retas verticais que encontram o gráfico mais de uma vez.

16. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma função y = f(x).

Resolução

O gráfico de uma função não pode possuir mais de um ponto na mesma vertical. Portanto, o gráfico da letra C não representa uma função.




Letra C

8. Imagem de um elemento

Considere um par ordenado (x,y) pertencente a uma função <. O elemento y é chamado valor de f do elemento x e escrevemos dessa forma: % = <(�). Exemplo

Dada a função real definida por <(�) = �²+1calcule:

<(0) = 0� + 1 = 1

<(−1) = (−1)� + 1 = 2

<Z√2[ = (√2)� + 1 = 3 Isto significa que o gráfico da função < passa pelos pontos (0,1), (−1,2), (√2, 3). Podemos também dizer que o número 0 manda uma flecha para o número 1, o número −1 manda uma flecha para o número 2 e o número √2 manda uma flecha para o número 3.

17. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Na função f (x)= −x2 + 3x − 1, a imagem de − 1 é (A) −5 (B) −3 (C) 0 (D) +1 (E) +3

Resolução




Para calcular a imagem do elemento −1, devemos simplesmente substituir � por −1.

<(−1) = −(−1)� + 3 ∙ (−1) − 1 <(−1) = −1 − 3 − 1 = −5

Letra A

18. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja < uma função que tem como domínio o conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A função f associa a cada elemento x em A o número de

letras distintas desse elemento x . Com base nessas informações, pode-se afirmar que

a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio. b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. c) f não é uma função.

d) <(\9=) = 5 e) <(?�;9 ) = <(?!] ) Resolução

A função < associa a cada elemendo � em A o número de letras distintas desse elemento �. Ana � possui 2 letras distintas.

José � possui 4 letras distintas.

Maria � possui 4 letras distintas.

Paulo � possui 5 letras distintas.

Pedro � possui 5 letras distintas.

Desta maneira, podemos afirmar que:

<(G/) = 2 <(^ :é) = <(\9=) = 4

G/^ :é

\9=

?!]

?�;9

A

12

3

4

5

B




<(?!] ) = <(?�;9 ) = 5 Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio.

Esta alternativa é falsa, pois há elementos no domínio que estão associados ao mesmo elemento no contradomínio. Por exemplo, <(^ :é) = <(\9=) = 4. b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio.

Esta alternativa é falsa, pois há elemento no contradomínio que não está associado com algum elemento do domínio. Por exemplo, o número 3 não está associado.

c) f não é uma função.

Esta alternativa é falsa, pois < é uma função. Todos os elementos de A se relacionam uma única vez com algum elemento de B. Não sobram elementos em A e ninguém manda mais de uma flecha.

d) <(\9=) = 5 Falso. Maria tem 4 letras distintas.<(\9=) = 4.

e) <(?�;9 ) = <(?!] ) Verdadeiro. Como foi visto, <(?!] ) = <(?�;9 ) = 5. Letra E

19. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho: a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos.

Resolução




a) O número / representa o número de tentativas para o coelho percorrer o labirinto. Obviamente, este número / é inteiro e positivo (número natural). Dividindo o número 12 por um número natural, obtemos um número positivo. Portanto, o número 3+ 12/n é positivo e maior que 3.

Desta maneira, a letra A é falsa.

b) Para calcular o tempo gasto para percorrer o labirinto na quinta tentativa, devemos substituir / por 5.

I(/) = 3 + 12/I(5) = 3 + 125 = 5,4@=/!S : = 5@=/!S : + 0,4@=/!S = 5@=/!S : + 0,4 ∙ 60:�V!/; :

I(5) = 5@=/!S :�24:�V!/; : A alternativa B é falsa.

c) Para calcular o tempo gasto na terceira tentativa devemos substituir o valor de / por 3.

I(/) = 3 + 12/I(3) = 3 + 123 = 7@=/!S :

A alternativa C é falsa.

d) Para calcular o tempo gasto na décima tentativa devemos substituir o valor de / por 10.

I(/) = 3 + 12/I(10) = 3 + 1210 = 4,2@=/!S :

A alternativa D é falsa.

e) Queremos que o tempo seja igual a 3 minutos e 30 segundos = 3,5 minutos.

3 + 12/ = 3,512/ = 0,5




0,5/ = 12 / = 120,5 =

1205 = 24

Ou seja, o percurso é feito em 3 minutos e 30 segundos na 24ª tentativa.

Letra E

20. (ISS-Natal 2008/ESAF) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade <(�) − (� + 1) ∙ <Z√2 − �[ = √�` , para todo � inteiro. Com estas informações, conclui-se que <(0) é igual a:

a) −2a�/b b) 2a�/b c) −2�/b d) 2a�/b e) −2a�/b Resolução

Na verdade, o enunciado deveria garantir que a igualdade vale para todo � real. Vamos ver o caso em que � = 0. Substituindo � por 0, temos:

<(�) − (� + 1) ∙ <Z√2 − �[ = √�̀

<(0) − (0 + 1) ∙ <Z√2 − 0[ = √0`

<(0) − 1 ∙ <Z√2[ = 0 <(0) = <Z√2[ → �X!çã U

Vejamos outro caso. Vamos fazer � = √2. Temos:

<Z√2[ − (√2 + 1) ∙ <Z√2 − √2[ = e√2`

<Z√2[ − Z√2 + 1[ ∙ <(0) = √2f → ]�@�9� − :�X!� e √gh = √hg

<Z√2[ − √2 ∙ <(0) − <(0) = 2�/D → �X!çã UU Vamos substituir a equação I na equação II, ou seja, onde tem <(√2) substituímos por <(0).

<Z√2[ − √2 ∙ <(0) − <(0) = 2�/D




<(0) − √2 ∙ <(0) − <(0) = 2�/D −√2 ∙ <(0) = 2�/D

<(0) = 2�/D−√2 = −2�/D2�/�

Lembre-se que para dividir potências de mesma base, devemos conservar a base e calcular a diferença entre os expoentes.

16 −

12 =

1 − 36 = −2

6 = −13

<(0) = 2�/D−√2 = −2�/D2�/� = −2a�/b

Letra A

9. Zero de uma função

Zero ou raiz de uma função é todo elemento do domínio tal que a sua imagem seja igual a 0, i.e., números tais que f(x)=0. Geometricamente, determinamos os zeros de uma função obtendo a interseção do gráfico com o eixo dos x.

Exemplo: Determine os zeros da função definida por <(�) = �� − 5� + 6.

�

%

Zeros da função




Resolução

Basta resolver a equação <(�) = 0. �� − 5� + 6 = 0

� = −� ± √�� − 4�2 = −(−5) ± �(−5)� − 4 ∙ 1 ∙ 62 ∙ 1 = 5 ± 1

2� = 2 !� = 3

Isto significa que o gráfico da função <(�) = �� − 5� + 6 toca o eixo � nos pontos de abscissa 2 e 3 (veremos isto com mais detalhes ainda nesta aula na teoria sobre função quadrática).

10. Função Afim

A função afim também é chamada de função polinomial do 1º grau (no cotidiano muitas pessoas, erradamente, falam função do primeiro grau).

Uma função < é chamada de função afim quando for do tipo:

<: W → W

<(�) = � + �, ≠ 0. Vejamos alguns exemplos:

� <(�)2 4 <(�) = 2� + 43 −2 <(�) = 3� − 2−1 5 <(�) = −� + 52 0 <(�) = 2�1 0 <(�) = �

O coeficiente é chamado de coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder.

O coeficiente � é chamado de coeficiente linear ou termo independente.

Dependendo dos valores de e �, a função afim pode receber alguns nomes especiais.

Sempre que � = 0, a função afim é chamada de função linear.




A função linear <(�) = � é chamada de função identidade. Ou seja, quando = 1 e � = 0, a função é chamada de identidade.

• Gráfico → o gráfico da função afim é uma reta inclinada aos eixos coordenados.

Veremos na aula de Geometria Plana que dois pontos distintos determin-am uma reta. Desta maneira, para construir o gráfico da função afim deve-mos seguir os seguintes passos:

i) Escolher dois valores arbitrários para �. ii) Calcular os valores correspondentes de %. iii) Marcar os dois pontos no plano cartesiano. iv) Traçar a reta que passa pelos dois pontos marcados.

Vamos construir o gráfico do primeiro exemplo: <(�) = 2� + 4. Vamos utilizar � = 1�� = −1. Quando � = 1,temos <(1) = 2 ∙ 1 + 4 = 6. Ou seja, a reta passa pelo ponto (1,6).

Quando � = −1,temos <(−1) = 2 ∙ (−1) + 4 = 2. Ou seja, a reta passa pelo ponto (-1,2).

Uma pergunta natural que surge é: como determinar os pontos em que a reta corta os eixos coordenados?

Vimos que (na seção sobre zeros da função) para determinar o intercepto do gráfico com o eixo �, devemos resolver a equação <(�) = 0.

2� + 4 = 0 2� = −4

�

%

1-1

2

6




� = −2

Vamos aprender agora uma técnica que podemos utilizar em qualquer função, seja ela afim, quadrática, exponencial, trigonométrica, etc.

Como determinar o intercepto do gráfico com o eixo %?

Basta calcular <(0), ou seja, substituir � por 0.

<(�) = 2� + 4 <(0) = 2 ⋅ 0 + 4 = 4

IMPORTANTEVimos que para calcular o intercepto do gráfico com o eixo % basta calcular <(0). Ora, a função afim é definida por <(�) = � + �. Desta maneira, <(0) = ⋅ 0 + � = �. Resumindo: a ordenada do ponto em que a reta toca o eixo % é igual a b. Note que no exemplo anterior, o valor de b é igual a 4 : exatamente o valor em que a reta toca o eixo %.

IMPORTANTEVimos que a função afim é chamada de função linear quando � = 0. Como o valor de � é o intercepto do gráfico com o eixo %, concluímos que o gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano.

�

%

1-1

2

6

−j

−j

�

%

1-1

2

6k




Construa o gráfico da função real definida por <(�) = −3� + 6. Resolução

Agora que já temos um pouco mais de bagagem teórica, vamos construir o gráfico com um pouco mais de velocidade.

� = 6, logo o gráfico corta o eixo % no ponto de ordenada igual a 6.

Para determinar o intercepto do gráfico com o eixo �, devemos resolver a equação <(�) = 0.

−3� + 6 = 0 −3� = −6 3� = 6 � = 2

Resumindo: a reta corta o eixo � no ponto de abscissa igual a 2 e corta o eixo % no ponto de ordenada igual a 6.

%

�2

6




Vamos comparar os dois gráficos construídos.

Observe que:

Quando > 0, a função afim é crescente (gráfico da esquerda).

Quando < 0, a função afim é decrescente (gráfico da direita).

Construa o gráfico da função real definida por <(�) = −3�. Resolução

Trata-se de uma função linear. Sabemos que a função linear passa pela origem do plano cartesiano. Além disso, como = −3 < 0, a função é decrescente.

Vamos calcular o valor da função para � = 1. <(1) = −3 ⋅ 1 = −3

−j

�

%

1-1

2

6k

%

�2

6

% = 2� + 4 % = −3� + 6




Isso quer dizer que o gráfico passa pelo ponto (1, −3).

Determine a lei de formação da função afim que passa pelos pontos (2,5) e (−1, −4). Resolução

Há uma maneira muito fácil de calcular o coeficiente angular ().

Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja,

= ∆%∆� =%� − %�� − ��

Já que o gráfico passa pelos pontos (2,5) e (−1, −4), então o coeficiente “a” é dado por

= ∆%∆� =−4 − 5−1 − 2 =

−9−3 = +3

Lembre-se que a lei de formação da função afim é do tipo % = � + �. Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se

%

�

3

1

Vale a pena lembrar!

O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0, a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é decrescente (reta descendente).




% = 3� + �. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado para calcular o coeficiente “b”.

O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o intercepto do gráfico com o eixo y.

Utilizemos por exemplo o ponto (2,5). Este ponto nos informa que quando x = 2, y = 5. Já que a lei de formação é % = 3� + �, devemos substituir esses valores na lei.

3 ∙ 2 + � = 5 6 + � = 5 � = −1

Assim, a lei de formação da função é % = 3� − 1. (SEBRAE/AC 2007 – CESPE/UnB) Para o conserto de aparelhos eletrônicos nos domicílios dos clientes, um técnico cobra R$ 30,00 pela visita e mais R$ 20,00 a cada hora de trabalho Supondo que o técnico trabalhe x horas e receba y reais, julgue os itens a seguir.

21. O gráfico, no sistema de coordenadas cartesianas xOy, de y como função de x, para � ≥ 0, é uma semi-reta de inclinação negativa. 22. A expressão algébrica que relaciona y como função de x é % = 20 + 30�. Resolução

A situação descrita no enunciado é bem parecida com a que eu comecei a teoria de funções (aquele exemplo do táxi, lembra?).

O técnico cobra R$ 30,00 (valor fixo) pela visita e mais R$ 20,00 a cada hora de trabalho. Assim, a função é dada por % = 30 + 20�.

O gráfico desta função tem inclinação positiva, já que quanto maior for o valor de x, maior será o valor de y. Basta observar que a função é uma função afim com b = 30 e a = 20. Como a>0, então a função é crescente.

Os dois itens estão errados.

23. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) O lucro anual de uma pequena empresa vem crescendo linearmente, como mostra o gráfico abaixo.




Se esse ritmo de crescimento anual for mantido, qual será, em milhares de reais, o lucro dessa empresa, em 2010? (A) 224 (B) 234 (C) 248 (D) 254 (E) 268

Resolução

Através do gráfico, percebemos que houve um aumento no lucro (em milhares de reais) de 216 – 144 = 72 em 4 anos. Isto significa que o lucro aumenta 72/4 = 18 mil por ano. Como o lucro em 2009 foi de 216 mil, então o lucro em 2010 será 216 + 18 = 234 mil reais.

Letra B

24. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) A função geradora do gráfico abaixo é do tipo y = mx + n.

Então, o valor de m3 + n é (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 8 (E) 13

Resolução O gráfico da função acima passa pelos pontos (3,1) e (−2, −9).




Seu gráfico é uma reta, portanto, sua lei de formação é do tipo % = @ ∙ � + /.

O coeficiente “m” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando m > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e quando m < 0, a função é decrescente (reta descendente).


@ = ∆%∆� =%� − %�� − ��

Já que o gráfico passa pelos pontos (3,1) e (−2, −9), então o coeficiente “a” é dado por

@ = ∆%∆� =−9 − 1−2 − 3 =

−10−5 = 2

Bom, tendo calculado o coeficiente “m”, a lei de formação da função afim torna-se % = 2� + /. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado para calcular o coeficiente “n”.

O coeficiente “n” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o intercepto do gráfico com o eixo y.

Utilizemos por exemplo o ponto (3,1). Esse ponto nos informa que quando x = 3, y = 1. Já que a lei de formação é % = 2� + /, devemos substituir esses valores na lei.

2 ∙ 3 + / = 1 6 + / = 1 / = −5

Assim, a lei de formação da função é % = 2� − 5. Queremos calcular o valor de @³ + /.

@³ + / = 2³ − 5 = 8 − 5 = 3 Letra B

25. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) O gráfico abaixo mostra a quantidade média de garrafas plásticas jogadas no lixo, nos EUA, em função do tempo.




De acordo com os dados do gráfico, aproximadamente quantas garrafas plásticas são jogadas no lixo, nos EUA, a cada hora? (A) 8.000 (B) 12.000 (C) 18.000 (D) 24.000 (E) 30.000

Resolução

O gráfico da função dada é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano.

Trata-se de uma função linear. Sabemos que a função linear passa pela origem do plano cartesiano e, portanto, o coeficiente linear é igual a 0. A função é do tipo % = �. O problema nos informa que quando � = 5, % = 2.000. Vamos substituir estes valores na lei de formação da função.

2.000 = ∙ 5 = 2.0005 = 400

A lei de formação é % = 400�. Queremos saber quantas garrafas plásticas são jogadas no lixo a cada hora. Como o tempo dado no gráfico está em minutos, devemos substituir o � por 60.

% = 400 ∙ 60 = 24.000 Letra D

26. (CITEPE 2009/CESGRANRO) O gráfico abaixo apresenta o custo de produção, em reais, de certo tipo de tecido, em função da quantidade produzida, em metros.




Se cada metro de tecido for vendido por R$ 5,10, o lucro na venda de 10.000 metros, em reais, será de (A) 15.400,00 (B) 16.200,00 (C) 17.500,00 (D) 18.600,00 (E) 19.000,00

Resolução

Vamos calcular a lei de formação da função Custo. O gráfico é uma reta, e, portanto, sua equação é do tipo % = � + �. Como o gráfico corta o eixo y no

ponto de ordenada 3.600, então � = 3.600. A função é do tipo % = � + 3.600. Observe que quando � = 10, % = 3.632.

10 + 3.600 = 3.632 10 = 32 = 3,2

Concluímos que a lei de formação da função CUSTO é % = 3,2� + 3.600. O custo para produzir 10.000 metros é igual a % = 3,2 ∙ 10.000 + 3.600

% = 35.6009�=:(�!:S 0909 ;!n=910.000@�S9 :) Se cada metro for vendido a R$ 5,10, então a receita na venda de 10.000 metros é igual a 10.000 × 5,10 = 51.0009�=:. Como o custo foi de R$ 35.600,00, então o lucro na venda será de:

51.000 − 35.600 = 15.4009�=: Letra A




27. (Petrobras Biocombustível 2010/CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta a capacidade de processamento de oleaginosas de uma máquina extratora de óleos vegetais, em função do tempo t.

Em quanto tempo essa máquina processa 800 kg de oleaginosas? (A) 6 horas e 20 minutos (B) 6 horas e 30 minutos (C) 6 horas e 40 minutos (D) 7 horas e 20 minutos (E) 7 horas e 40 minutos

Resolução

O gráfico da função dada é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano.

Trata-se de uma função linear. Sabemos que a função linear passa pela origem do plano cartesiano e, portanto, o coeficiente linear é igual a 0. A função é do tipo % = �. O problema nos informa que quando � = 1, % = 120. Vamos substituir estes valores na lei de formação da função.

120 = ∙ 1 = 120

A lei de formação é % = 120�.

Queremos saber em quanto tempo essa máquina processa 800 kg de oleaginosas. Basta substituir % por 800.

120� = 800 � = 800120 o 9:

Vamos simplificar a fração. Podemos começar simplificando por

10.




� = 8012 o 9:Como 1 hora = 60 minutos, então:

� = 8012 ∙ 60@=/ = 400@=/!S : = 6o 9:�40@=/!S :Letra C

28. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7) é (A) f(x) = 3x + 2 (B) f(x) = 2x – 3 (C) f(x) = x – 4 (D) f(x) = x + 3 (E) f(x) = 3x + 3

Resolução

Lembremos alguns fatos importantes sobre a função polinomial do 1º grau, também chamada de função afim e coloquialmente denominada função do 1º grau.

Amplamente definida, seu gráfico é uma reta.

Sua lei de formação é do tipo % = ∙ � + �. O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é decrescente (reta descendente).


= ∆%∆� =%� − %�� − ��

Já que o gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7), então o coeficiente “a” é dado por

= ∆%∆� =7 − (−5)5 − (−1) =

126 = 2

Com essa informação já poderíamos responder a questão marcando a alternativa B.




Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se % = 2� + �. Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado para calcular o coeficiente “b”.


Utilizemos por exemplo o ponto B(5,7). Esse ponto nos informa que quando x = 5, y = 7. Já que a lei de formação é % = 2� + �, devemos substituir esses valores na lei.

2 ∙ 5 + � = 7 10 + � = 7 � = −3

Assim, a lei de formação da função é % = 2� − 3. Letra B

29. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado de uma pessoa, utiliza-se a fórmula I = pqr�2s , em que C é o número do calçado e

p é o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é (A) 24,1cm. (B) 23,6cm. (C) 23,2cm. (D) 22,4cm. (E) 21,3cm.

Resolução

O enunciado nos informa que o número do calçado C é uma função polinomial do 1º grau do comprimento do pé.

Onde o coeficiente angular a = 5/4 e o coeficiente linear b = 28/4 = 7.

Uma pessoa calça um sapato tamanho 36, logo C = 36.

36 = 50 + 284O 4 que está dividindo o segundo membro, “passa multiplicando o 1º membro”. Assim,

50 + 28 = 144

50 = 116




0 = 23,2 Letra C

30. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de uma função do tipo f (x) = ax + b.

Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é correto afirmar que

(A) possui duas raízes reais. (B) a < 0. (C) b > 0. (D) ab < 0. (E) não possui raízes reais.

Resolução

Sua lei de formação é do tipo % = ∙ � + �. O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é decrescente (reta descendente).


Agora um conceito que é geral, ou seja, é válido para todas as funções. O ponto em que o gráfico intercepta o eixo x é denominado zero ou raiz da função. Para determinar o zero ou raiz da função basta resolver a equação f(x) = 0.




Já que a função é crescente, podemos concluir que a > 0 (a alternativa B é falsa).

Como a reta corta o eixo y acima da origem, podemos concluir que b > 0 (a alternativa C é verdadeira).

Como a > 0 e b > 0, então ab > 0 (a alternativa D é falsa).

Como a reta toca o eixo x em apenas um ponto, a função possui apenas uma raiz real (as alternativas A e E são falsas).

Letra C

31. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -2x +β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, a) α > 0 e β > 0 b) α > 0 e β < 0 c) α < 0 e β < 0 d) α < -1 e β < 0 e) α > -1 e β > 0

Resolução

Já que o ponto de encontro tem abscissa negativa (x < 0) e ordenada negativa (y < 0), concluímos que o ponto de encontro das retas está no terceiro quadrante.

Vejamos a reta 9�. Seu coeficiente linear (�) é igual a 0. Portanto, seu gráfico passa pela origem do plano cartesiano (trata-se de uma função linear). Temos duas possibilidades.




Se t > 0, a função é crescente.

Se t < 0, a função é decrescente.

Como o ponto de encontro das retas é no 3º quadrante, a reta 9� deve ser ascendente (função crescente).

Portanto, t > 0. Vejamos agora a segunda reta. Sua equação é r2 = -2x +β. Seu coeficiente angular é negativo e, portanto, a reta é descendente.

Sabemos que u é o coeficiente linear da reta 9�. O coeficiente linear indica onde a reta corta o eixo y. Para que as duas retas se encontrem no terceiro quadrante, a reta 9� deve cortar o eixo % abaixo da origem, portanto, u < 0. Letra B

�

%%

�3º quadrante

r1

%

�

u




11. Função Quadrática

A função quadrática também é chamada de função polinomial do 2º grau (muitos no cotidiano falam, erradamente, função do 2º grau).

Uma função < é chamada de função quadrática quando for do tipo <: W → W definida por

<(�) = �² + �� + �, ≠ 0 O coeficiente é chamado coeficiente dominante ou coeficiente líder. O coeficiente � é o coeficiente do primeiro grau e o coeficiente � é o termo independente.

A curva representativa da função quadrática é uma parábola. Uma parábola é uma curva com o seguinte aspecto (não vamos nos preocupar aqui com definições formais sobre a parábola).




A concavidade da parábola pode estar voltada para cima ou voltada para baixo. Quem decide isso é o coeficiente dominante . Se > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Se < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo.

Sabemos que para calcular o intercepto do gráfico de qualquer função com o eixo %, basta calcular o valor de <(0). Como a função quadrática é regida pela lei <(�) = �² + �� + �:

f(0) = a. 0² + b. 0 + c ∴ f(0) = c

Temos a mesma conclusão que tivemos na teoria da função afim. O termo independente nos informa a ordenada do ponto em que o gráfico corta o eixo L.

> 0 < 0

�




Nesta aula, aprendemos a resolver equações do segundo grau. Tam-bém aprendemos nesta aula que para descobrir onde o gráfico toca o eixo � devemos resolver a equação <(�) = 0. Desta forma, para descobrir onde a parábola toca (se é que toca) o eixo � devemos resolver a equação

�² + �� + � = 0 � = −� ± √�� − 4�2

Vimos que há três casos a considerar: 0 Duas raízes reais e distintas

0 Duas raízes reais e iguais

0 Não há raízes reais

∆ > ⇔

∆ = ⇔

∆ < ⇔

Assim, a parábola pode cortar o eixo � em dois pontos distintos, pode tangenciar (“encostar”) o eixo � ou pode não tocar o eixo �. São 6 possibilidades.

�

�

�

�

�

�

< 0Δ < 0

< 0Δ = 0

< 0Δ > 0

> 0Δ < 0 > 0

Δ = 0 > 0Δ > 0




Vértice da Parábola

O ponto V representado acima é chamado vértice da parábola. Quando > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e o vértice é um ponto de mínimo. Quando < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e o vértice é um ponto de máximo.

Como todo ponto, o vértice tem um par ordenado correspondente (�, %). As coordenadas do vértice são dadas pelas fórmulas:

� = −�2 �% =−Δ4

Quando > 0, a função quadrática admite um ponto de mínimo. Neste caso a coordenada y é chamada de valor mínimo e a coordenada x é chamada de minimante.

Quando < 0, a função quadrática admite um ponto de máximo. Neste caso a coordenada y é chamada de valor máximo e a coordenada x é chamada de maximante.

Com essas informações, estamos prontos para construir gráficos de funções quadráticas. Em geral, vamos seguir os seguintes passos.

V

V




i) Desenhar o eixo �. ii) Calcular o valor do discriminante Δ e as raízes (se houver). iii) De acordo com o valor de e Δ desenhar um esboço da parábola.

iv) Calcular as coordenadas do vértice.

� = −�2 �% =−Δ4

v) Traçar o eixo %. vi) Determinar o intercepto da parábola com o eixo % (lembre-se que este intercepto é dado pelo valor do termo independente).

Construa o gráfico da função real definida por <(�) = �� − 6� + 8 Resolução

Temos que = 1, � = −6�� = 8. Como > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima.

Vamos calcular o valor do discriminante:

Δ = �� − 4� = (−6)� − 4 ⋅ 1 ⋅ 8 = 4 Como Δ > 0, a parábola corta o eixo � em dois pontos distintos. Vamos, então, calcular as raízes:

� = −� ± √Δ2 = −(−6) ± √42 ⋅ 1 = 6 ± 2

2� = 2 !� = 4

�

�

�

�

�

�

< 0Δ < 0

< 0Δ = 0

< 0Δ > 0

> 0Δ < 0 > 0

Δ = 0 > 0Δ > 0




Por enquanto, o gráfico tem o seguinte aspecto:

Vamos calcular as coordenadas do vértice:

� = −�2 =−(−6)2 ⋅ 1 = 3�% = −Δ

4 =−44 ⋅ 1 = −1

Outra maneira de calcular a abscissa do vértice (x do vértice) é a seguinte: somar as raízes e dividir por 2. Ou seja, a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes. Como as raízes são 2 e 4, o x do vértice é dado por:

� = 2 + 42 = 3

42

−13

42




Lembrando agora que o coeficiente � = 8 é o intercepto do gráfico com o eixo %.

(SEBRAE/AC 2007 – CESPE-UnB) O lucro y, em reais, que um comerciante obtém com a venda de x quilogramas de farinha é expresso pela função % = −�² + 12� − 11. Se y<0, significa que o comerciante teve prejuízo. Com base

nessas informações, julgue os itens subsequentes.

32. Se o comerciante vende mais de 3kg de farinha, então o seu lucro será superior a R$ 16,00. 33. Na venda de 6 kg de farinha, o lucro obtido pelo comerciante é superior a R$ 20,00. 34. A função y é uma função crescente de x.

Resolução

Vamos construir o gráfico da função para que possamos analisar os

itens. O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo.

Calculemos o discriminante: ∆= �² − 4� = 12² − 4 ∙ (−1) ∙ (−11) = 100 Agora, vamos calcular as raízes da função.

� = −� ± √∆2 = −12 ± √100−2 = −12 ± 10

−2� = 1 !� = 11

�

8%

−13

42




Por enquanto, o gráfico tem o seguinte aspecto:

Vamos calcular as coordenadas do vértice:

� = −�2 =−12−2 = 6�% =

−Δ4 =

−100−4 = 25

Vamos analisar os itens.

32. Se o comerciante vende mais de 3kg de farinha, então o seu lucro será superior a R$ 16,00.

Nada podemos garantir sobre o lucro se o comerciante vende mais de 3kg. Por exemplo, se o comerciante vende 6 kg, seu lucro é de R$ 25,00. Mas se o comerciante vende 11kg, o lucro é igual a 0. Assim, o item está errado.

33. Na venda de 6 kg de farinha, o lucro obtido pelo comerciante é superior a R$ 20,00.

111

6111

25




O item está certo. Na venda de 6kg de farinha, o lucro obtido pelo comerciante é igual a R$ 25,00.

34. A função y é uma função crescente de x.

O item está errado. A função é crescente para x < 6. Para x > 6, a função é decrescente.

35. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é representado na figura abaixo.

Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. a) R$ 45,00 b) R$ 80,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 1.225,00 e) R$ 1.400,00

Resolução

Lembremos outros fatos importantes acerca da função quadrática <(�) = �� +�� + � com ≠ 0. Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e a função admite um ponto de mínimo.




Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e a função admite um ponto de máximo.

Se a < 0, a função quadrática <(�) = �� + �� + � admite o valor máximo

%yá{ = −Δ4 09�yá{ = −b2

Neste caso o valor a|s} é denominado valor máximo da função e o valor a~�} é

denominado maximante.

Se a > 0, a função quadrática <(�) = �� + �� + � admite o valor mínimo

%yí3 = −Δ4 09�yí3 = −b2

Neste caso o valor a|s} é denominado valor mínimo da função e o valor a~�} é

denominado minimante.

O ponto � Ca~�} , a|s}E é chamado vértice da parábola representativa da função

quadrática.

Voltemos à questão. A questão chegava até ser interessante, mas o gráfico estragou tudo e o candidato poderia responder a questão sem tocar no lápis.

Obviamente, o lucro máximo é maior do que 1.200 e menor do que 1.400. Assim, a resposta só pode ser a letra D.

Mas nosso papel não é apenas marcar o gabarito. Vamos esquecer o gráfico.

O valor máximo da função é dado por

%yá{ = −Δ4




Lembrando que Δ = �� − 4�. A função lucro é dada por L(x) = –x2 + 90x – 800.

Então Δ = �� − 4� = (90)� − 4 ∙ (−1) ∙ (−800) = 4.900 Assim, o valor máximo (lucro máximo) é

%yá{ = −Δ4 =−4.9004 ∙ (−1) =

4.9004 = 1.225

Letra D

Se quiséssemos calcular o valor do mouse a ser vendido que torna o lucro máximo bastaríamos calcular xmáx.

�yá{ = −�2 =−90

2 ∙ (−1) = 45Esse valor foi explicitado no gráfico (eixo x).

Observe outra coisa: o xmáx pode ser calculado como a média aritmética das raízes. As raízes são os pontos em que o gráfico toca o eixo x. Analis-ando o gráfico, vemos que a parábola toca o eixo x em x = 10 e em x = 80.

Assim,

�yá{ = 10 + 802 = 45E, sabendo o xmáx podemos calcular ymáx substituindo o x na função por 45.

�(�) =– �� + 90�– 800 �(45) =– (45)� + 90 ∙ 45– 800 = 1.225

36. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) As medidas da base e da altura de certo triângulo são expressas por (20 − x) cm e (10 + x) cm, onde x é um número natural. A área máxima que esse triângulo pode ter, em cm2, é (A) 225,0 (B) 185,5 (C) 160,0 (D) 125,5 (E) 112,5

Resolução




A área % de um triângulo é a metade do produto da base pela altura.

% = � ∙ o2% = (20 − �) ∙ (10 + �)2

% = 200 + 20� − 10� − ��2 = −�� + 10� + 2002

% = − 12 �² + 5� + 100Temos uma função quadrática com = −1/2, � = 5 e � = 100. O valor máximo da função é dado por

%yá{ = −Δ4Lembrando que Δ = �� − 4� = 5² − 4 ∙ (−1/2) ∙ 100 = 225 Assim, o valor máximo (lucro máximo) é

%yá{ = −Δ4 =−225

4 ∙ C− 12E= 2252 = 112,5

Letra E

37. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por: <(�) = �� − 2� + 1 ≤ 0�V(�) = −2�� + 3� + 2 ≥ 0. Sabendo que A é o conjunto solução de <(�) e B o conjunto solução de V(�), então o conjunto � = G ∩ H é igual a:

a) � = �� ∈ ℝ�− �� < � ≤ 2�b) � = �� ∈ ℝ�− �� ≤ � ≤ 2�c) � = {� ∈ ℝ|� = 1} d) � = {� ∈ ℝ|� ≥ 0} e) � = {� ∈ ℝ|� ≤ 0} Resolução

Relembremos alguns fatos importantes sobre a função quadrática definida nos reais pela lei <(�) = �� + �� + � com ≠ 0.




Seu gráfico é uma parábola com eixo de simetria vertical. Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima, se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo.

As raízes da função são dadas pela fórmula

� = −� ± √�� − 4�2O número ∆= �� − 4� é chamado de discriminante.

Se ∆> 0, então a função possui duas raízes reais e distintas e o gráfico intercepta o eixo x em dois pontos distintos.

Se ∆= 0, então a função possui duas raízes reais e iguais (ou 1 raiz dupla) e o gráfico tangencia o eixo x.

Se ∆< 0, então a função não possui raízes reais e o gráfico não intercepta o eixo x.

Considere a função <(�) = �� − 2� + 1. O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Calculemos suas supostas raízes.

� = −(−2) ± �(−2)� − 4 ∙ 1 ∙ 12 ∙ 1� = 2 ± 02 = 1

Ou seja, a função possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla).

Resolver a inequação <(�) = �� − 2� + 1 ≤ 0, significa responder quando é que a função <(�) = �� − 2� + 1 é menor que ou igual a 0. De acordo com o gráfico exposto acima, a função nunca é menor do que 0. A função é igual a 0 apenas para x = 1. Assim, o conjunto solução da inequação é {� ∈ ℝ|� = 1}. Olhemos a segunda inequação. V(�) = −2�� + 3� + 2 ≥ 0. O gráfico da função g é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Calculemos as raízes:




� = −3 ± �3� − 4 ∙ (−2) ∙ 22 ∙ (−2)� = −3 ± 5−4

� = −3 + 5−4 = −12 !� =

−3 − 5−4 = 2

Temos o seguinte gráfico.

Resolver a inequação V(�) = −2�� + 3� + 2 ≥ 0 significar responder quando a função g é maior do que ou igual a 0. Pelo gráfico vemos que o conjunto solução dessa inequação é o conjunto H = �� ∈ ℝ�− �� < � ≤ 2�. O enunciado pede o conjunto � = G ∩ H.

A interseção resume-se ao ponto x=1. � = {� ∈ ℝ|� = 1} Letra C

38. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções <(�) = �� − 4� + 4 e V(�) = −� + 6� − 5. Assinale a alternativa que apresenta a solução da inequação definida por <(�) ∙ V(�) ≤ 0. a) > = {� ∈ ℝ|� = 2} b) > = {� ∈ ℝ|� ≤ 1 !� = 2} c) > = {� ∈ ℝ|1 ≤ � ≤ 5 !� = 2}




d) > = {� ∈ ℝ|� ≤ 1 !� ≥ 5 !� = 2} e) > = {� ∈ ℝ|� ≥ 1 !� ≤ 5 !� = 2} Resolução

Vamos estudar separadamente o sinal de cada uma das fun-ções.

i) <(�) = �� − 4� + 4 Cálculo das raízes:

�� − 4� + 4 = 0 � = −� ± √�� − 4�2

� = −(−4) ± �(−4)� − 4 ∙ 1 ∙ 42 ∙ 1 = 4 ± 0

2 = 2

Temos, portanto, uma raiz real dupla igual a 4. O gráfico de < é uma parábola com a concavidade voltada para cima e que tangencia o eixo � no ponto de abscissa igual a 4.

ii) V(�) = −� + 6� − 5 = 5� − 5 Cálculo da raiz:

5� − 5 = 0 � = 1

2




Portanto, o gráfico é uma reta com coeficiente angular positivo (função crescente) e que intercepta o eixo x no ponto de abscissa 1.

Vejamos a solução da inequação <(�) ∙ V(�) ≤ 0 lembrando as regras dos sinais na multiplicação.

Assim, a solução da inequação é o conjunto > = {� ∈ ℝ|� ≤ 1 !� = 2}. Letra B

ATENÇÃO!!!

Quem achou que o CETRO cometeu um erro de digitação na função g e achava que o correto era V(�) = −�j + 6� − 5 iria marcar a letra D!!!!!

Sinceramente, isso não se faz!! Não adianta brigar...

Eles colocaram V(�) = −� + 6� − 5 para que você usasse V(�) = 5� − 5.

1

2

1

<(�)

V(�)

<(�) ∙ V(�)1 2




39. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a seguir representa a função <, de domínio real, dada pela lei <(�) = �� + �� + �.

Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que (A) a < 0, b < 0 e c < 0 (B) a < 0, b < 0 e c > 0 (C) a < 0, b > 0 e c < 0 (D) a < 0, b > 0 e c > 0 (E) a > 0, b < 0 e c < 0

Resolução

Como a concavidade está voltada para baixo, concluímos que < 0. A parábola corta o eixo % abaixo da origem do plano, portanto � < 0. Precisamos descobrir o sinal do coeficiente �.

Obviamente a coordenada � do vértice é negativa.

−�2 < 0

��




Multiplicando os dois membros por (−1) devemos inverter o sentido da desigualdade.

�

2 > 0Como < 0, então o denominador é negativo. Para que a divisão seja positiva, o numerador também deve ser negativo. Portanto, � < 0. Letra A

Observação: Resolvi esta questão de uma maneira um pouco mais interessante na parte aberta do Ponto dos Concursos. Basta acessar o link http://www.pontodosconcursos.com.br/admin/imagens/upload/5909_D.pdf

40. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Considere a função f (x) = mx2 + px , onde m, p e q são números reais tais que m < 0 e p > 0. O gráfico que melhor representa f (x) é

Resolução




A lei de formação da função quadrática é do tipo % = @�² + 0�, em que @ < 0 e 0 > 0. Como o termo independente � = 0, então a parábola deve cortar o eixo % na origem do plano cartesiano. Podemos já descartar a alternativa D.

Como @ < 0, então a concavidade da parábola está voltada para baixo. Podemos descartar as alternativas A e C.

Estamos em dúvida se a resposta é a alternativa B ou E. Veja que as duas parábolas estão com a concavidade voltada para baixo e as duas passam pela origem do plano.

Só que uma está do lado esquerdo do plano e a outra está do lado direito do plano.

Quem vai tirar a nossa dúvida é o ��. Sabemos que �� = −�/2.

No nosso caso:

�� = −02@Como 0 > 0, então – 0 < 0. Ou seja, o numerador da fração é negativo.

Como @ < 0, então 2@ < 0. O denominador da fração também é negativo.

Quando dividimos um número negativo por outro número negativo o resultado é um número positivo.

Conclusão: �� > 0. A resposta, portanto é a alternativa E.




12. Logaritmos e Potências

Considere dois números reais e positivos e�. Por motivos que ficam além dos objetivos desta aula, consideraremos que ≠ 1. Denominamos logaritmo � na base o expoente que se deve dar à base de modo que a potência obtida seja igual a �. Na simbologia algébrica, temos:

log} � = / ⇔ 3 = � Nomenclaturas

Na expressão log} � = /:

� é a base. � � é o logaritmando ou antilogaritmo. � / é o logaritmo.

Logaritmação

Qual o significado da expressão logb 9?

Em suma, como se calcula o valor de logb 9?

Devemos raciocinar da seguinte forma: 3 elevado a que número é igual a 9? A resposta é 2.

Portanto, logb 9 = 2. Ou seja, logb 9 = 2 ⇔ 3� = 9. Vejamos outro exemplo. Calcular o valor de logp 125. Devemos raciocinar da seguinte forma: 5 elevado a que número é igual a 125? A resposta é 3.

Portanto, logp 125 = 3. Ou seja, logp 125 = 3 ⇔ 5b = 125. Propriedades decorrentes da definição

i) O logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0.




log} 1 = 0 Esse fato é de fácil explicação, visto que qualquer número não-nulo elevado a 0 é igual a 1.

Exemplo: Qual o valor de logs 1?

Devemos raciocinar: 4 elevado a que número é igual a 1? A resposta é 0.

Portanto, logs 1 = 0 ⇔ 41 = 1. ii) O logaritmo da base em qualquer base é igual a 1.

log} = 1 Esse fato também é de fácil explicação, visto que qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo.

Portanto, temos que:

logp 5 = 1 log�1 10 = 1 log� � = 1 iii) Dois logaritmos são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais.

log} � = log} % ⇔ � = %

Observe, que já que se trata de um “se e somente se”, podemos utilizar essa propriedade nos dois sentidos. Ou seja:

Se os logaritmos são iguais, então os logaritmandos são iguais.

Se os dois números são iguais (números positivos), então os logaritmos em qualquer base também são.

Utilizaremos bastante este fato na solução de equações exponenciais.

Bases especiais

Existem dois sistemas de logaritmos que são muito importantes (inclusive em Matemática Financeira), que são:

i) Sistema de logaritmos decimais

É o sistema de base 10.




Utilizaremos a seguinte notação:

log�1 � = log � Observe que:

log�1 10 = log 10 = 1. ii) Sistema de logaritmos neperianos ou naturais.

É o sistema de base � = 2,71828182 …

O número � tem uma infinidade de aplicações na Matemática.

Utilizaremos o número � em Matemática Financeira no estudo das Capitalizações Contínuas.

Adotaremos a seguinte notação:

log� � = ]/� Observe que:

log� � = ]/� = 1 Propriedades operatórias

i) Logaritmo do produto

O logaritmo do produto de dois ou mais fatores reais e positivos é igual a soma dos logaritmos dos fatores (em qualquer base).

log}(� ∙ %) = log} � + log} %

Exemplo:

Sabemos que:

log� 8 = 3, 0 9X!�2b = 8. log� 16 = 4, 0 9X!�2s = 16. Vamos calcular o logaritmo de 128 = 8 × 16 na base 2.

log� 128 = log�(8 ∙ 16) = log� 8 + log� 16 = 3 + 4 = 7 Portanto,

log� 128 = 7




O que é verdade, já que 2� = 128. ii) Logaritmo do Cociente

O logaritmo do cociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor (em qualquer base).

log} ��%� = log} � − log} %

Exemplo:

Sabemos que:

logb 9 = 2, 0 9X!�3� = 9. logb 243 = 5, 0 9X!�3p = 243. Vamos calcular o logaritmo de 27 = 243/9 na base 3.

logb 27 = logb �2439 � = logb 243 − logb 9 = 5 − 2 = 3 Portanto,

logb 27 = 3 O que é verdade, já que 3b = 27. iii) Logaritmo da potência

O logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência.

log} �� = % ∙ log} � Exemplo:

Sabemos que:

log� 8 = 3, 0 9X!�2b = 8. Vamos calcular o logaritmo de 512= 8b na base 2.

log� 512 = log� 8b = 3 ∙ log� 8 = 3 ∙ 3 = 9 Portanto,

log� 512 = 9 O que é verdade, já que 2� = 512.




(CMB-ES 2011/CESPE-UnB) Os números positivos e � são tais que seus logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1. Acerca desses números, julgue os itens subsequentes.

41. O logaritmo na base 10 do número p1 ∙ �bp é igual a 4. 42. A razão b/a é igual a 10.

Resolução

Vejamos os dados do problema:

log�1 = 0,01 Isto significa que = 101,1�.

log�1 � = 0,1 Isto significa que � = 101,�. Vamos aos itens:

41.

Queremos calcular log�1 p1 ∙ �bp. Vamos aplicar as propriedades que aprendemos. O logaritmo do produto pode ser “separado” em uma soma de logaritmos.

log�1 p1 + log�1 �bp Apliquemos agora a propriedade da potência: o expoente “desce” multiplicando. log�1 p1 + log�1 �bp = 50 ∙ log�1 + 35 ∙ log�1 � = 50 ∙ 0,01 + 35 ∙ 0,1 = 0,5 + 3,5 = 4 O item está certo.

42.

Sabemos que = 101,1� e que � = 101,�. �

=101,�101,1�

Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.




� =

101,�101,1� = 101,�a1,1� = 101,1�

O item está errado.

43. (Ministério da Defesa 2006/CESGRANRIO) O logaritmo na base 4 de 32 vale: (A) 2,5 (B) 3,5 (C) 4 (D) 5 (E) 8

Resolução

Nosso objetivo é calcular logs 32. / = logs 32

Pela definição de logaritmo, temos que:

43 = 32 Como 4 = 2² e 32 = 2p, então:

(2²)3 = 2p 2�3 = 2p

Como as bases são iguais, então os expoentes também devem ser iguais.

2/ = 5 / = 52 = 2,5

Portanto:

n = logs 32 = 2,5 Letra A




44. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) A função <(�) = � + log} �, onde ∈ Wr∗ −{1} e � ∈ W, está representada no gráfico abaixo.

Os valores de e de �, respectivamente, são

(A) 1/4 e 3 (B) 1/2 e 3 (C) 4 e 2 (D) 4 e 3 (E) 5 e 2

Resolução

O gráfico nos mostra que a curva passa pelos pontos (1,3) e (4,2). O ponto (1,3) significa que quando � = 1, % = 3.

<(�) = � + log} � � + log} 1 = 3

Sabemos que e logaritmo de 1 em qualquer base é igual a 0.

log} 1 = 0 Portanto:

� + log} 1 = 3

� + 0 = 3 � = 3

A lei de formação da função é <(�) = 3 + log} � O segundo ponto (4,2) indica que quando � = 4, % = 2.

3 + log} 4 = 2 log} 4 = 2 − 3 log} 4 = −1




a� = 4 1 = 4 = 1/4

Letra A

45. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) As exportações de certa empresa de autopeças vêm crescendo exponencialmente de acordo com a função E(x) = k(1,2)x, onde x representa o número de anos e k, o número de autopeças exportadas atualmente. Daqui a quantos anos a quantidade de peças exportadas corresponderá a 1,728.k? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2

Resolução

Queremos calcular o tempo x tal que o número de peças exportadas E(x) seja igual a 1,728k.

1,728 ∙ � = � ∙ (1,2){ Podemos cortar �.

1,2{ = 1,728 Como 1,2³ = 1,728, então � = 3. Letra D

46. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) A magnitude M de um terremoto é expressa, em função da energia liberada “x”, em joules, pela lei

\ = (log�1 �) − 1,441,5Um terremoto que libere 100³ joules de energia, terá magnitude M igual a

(A) 1,70 (B) 2,27 (C) 3,04 (D) 4,22 (E) 4,96




Resolução

A energia liberada é de 100³ = (10�)b = 10D� !]�:. Para calcular a magnitude M, devemos substituir � por 10D.

\ = (log�1 10D) − 1,441,5 = 6 − 1,441,5

\ = 3,04 Letra C

47. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um estudo em laboratório revelou que a altura média de determinada espécie de planta é dada, a partir de um ano de idade, pela função o (�) = logZ10�,bp ∙ √2�� [, onde h(x) representa a altura média, em m, e x, a idade, em anos. Qual é, em m, a altura média de uma planta dessa espécie aos cinco anos de idade? (A) 1,5 (B) 1,6 (C) 1,7 (D) 1,8 (E) 1,9

Resolução

Basta substituir � por 5 anos. Lembre-se da seguinte propriedade:

√@q� = @q�

o(�) = logZ10�,bp ∙ √2�� [ o(5) = logZ10�,bp ∙ √2 ∙ 5� [ = logZ10�,bp ∙ √10� [

o(5) = log �10�,bp ∙ 10�s� o(5) = log(10�,bp ∙ 101,�p)

Para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

o(5) = log(10�,bpr1,�p) = log(10�,D) Lembre-se que quando a base não está indicada, já devemos saber que a base é 10.




o(5) = log�1(10�,D) = 1,6 Letra B

48. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Quanto vale x, se log�1 �³ − log�1 � = 4? (A) 1 000 (B) 100 (C) 50 (D) 10 (E) 1

Resolução

O logaritmo do cociente de dois números reais e positivos é igual à diferença entre o logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor (em qualquer base).

log} ��%� = log} � − log} %

Portanto:

log�1 �³ − log�1 � = 4

log�1 ��b� � = 4

log�1 �² = 4 Pela definição de logaritmo...

�² = 10s �² = 10.000 � = 100

Letra B

49. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se a quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas, seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2t. Determine,




aproximadamente, o tempo necessário, em semanas, para que entre no padrão “preocupante”. (Considere: log10 2 = 0,3) a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

Resolução

O padrão preocupante é de 20 mil células por mililitro (no mínimo). O tempo necessário para que entre no padrão é a raiz da equação

20 ∙ 2� = 20.000 2� = 1.000

O logaritmo de “auxílio” dado pela questão está na base 10. Podemos, portanto “logaritmar” ambos os membros na base 10.

log�1 2� = log�1 1.000 log�1 2� = log�1 10b

Lembrando que log} �� = % ∙ log} �, S ∙ log�1 2 = 3 ∙ log�1 10

Lembrando também que log} = 1, S ∙ 0,3 = 3 ∙ 1 S = 30,3 = 10

Letra C

50. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a log 144. a) 2,22. b) 2,19. c) 2,06. d) 2,14. e) 2,27.

Resolução




Quando a base não é escrita, por convenção, utiliza-se a base 10. Portanto, os logaritmos escritos no enunciado são todos de base 10.

Se queremos calcular log 144 dados log 2 e log 3, o primeiro passo é fatorar 144.

Temos então que 144 = 2s ∙ 3� log 144 = log(2s ∙ 3�)

Sabemos que o logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.

log(2s ∙ 3�) = log 2s + log 3� Sabemos também que o logaritmo da potência é o produto do expoente pelo logaritmo da base.

log 2s + log 3� = 4 ∙ ] V2 + 2 ∙ ] V3 Portanto,

] V144 = 4 ∙ ] V2 + 2 ∙ ] V3 = 4 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,47 = 1,2 + 0,94 = 2,14 Letra D

51. (TCM SP 2006/CETRO) A população de uma cidade aumenta segundo a equação � = 30.000 ∙ (1,01)�, onde N é o número de habitantes e t é o tempo em anos. O valor de t para que a população dobre em relação a hoje é de

a) �� ,1�

b) log 2 − ] V1,01 c) 2 ∙ (] V2) ∙ (] V1,01) d) � ��

�� 1,1�




e) 50

Resolução

Para calcular a população hoje, basta fazer t = 0.

�¡¢£� = 30.000 ∙ (1,01)1 = 30.000 ∙ 1 = 30.000 Portanto, queremos saber quando a população será 60.000.

Basta fazer N = 60.000

30.000 ∙ (1,01)� = 60.000 O 30.000 que está multiplicando “passa para o segundo membro dividindo”.

(1,01)� = 2 i) Se dois números são iguais, então os seus logaritmos em qualquer

base também são.

(1,01)� = 2 Logaritmando os dois membros:

] V(1,01)� = ] V2 S ∙ ] V1,01 = ] V2

S = ] V2log 1,01

Letra A

52. (CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos após determinado ano – considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela fórmula ? = ?1 ∙ �¤�, em que k é uma constante positiva, ?1 é a quantidade de indivíduos na comunidade no ano t = 0 e � é a base do logaritmo neperiano.

Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para ¥3�¥3b

e que a

população ?1 triplique em 6 anos, então ?1 será duplicada em

a) 3,38 anos. b) 3,48 anos. c) 3,58 anos. d) 3,68 anos. e) 3,78 anos.




Resolução

Quando a população for triplicada, teremos: P = 3P0. Isto ocorrerá em 6 anos. Logo:

3 ∙ ?1 = ?1 ∙ �¤∙D Ou seja:

�D¤ = 3 Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação.

]/�D¤ = ]/3 6� ∙ ]/� = ]/3

Lembre-se que ]/� = 1. 6� = ]/3 � = ]/36

Quando a população for dobrada, teremos: P = 2P0. Isso ocorrerá em t anos. Logo:

2 ∙ ?1 = ?1 ∙ �¤∙� �¤� = 2

Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da equação.

]/�¤� = ]/2 �S ∙ ]/� = ]/2

Lembre-se que ]/� = 1. �S = ]/2 S = ]/2�

Como sabemos que � = ¥3bD ∶S = ]/2]/36

= ]/2 ∙ 6]/3




S = 6 ∙ ]/2]/3 = 6 ∙ 0,63 = 3,78/ :.Letra E

53. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A maior raiz da equação 32x + 1 – 16. 3x + 5 = 0 é (A) 4. (B) 0,5. (C) log3 5. (D) log5 3. (E) 5.

Resolução

Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim,

{ ∙ � = {r� {/� = {a�

E da mesma forma que { ∙ � = {r�, temos que {r� = { ∙ � (óbvio não?).

Assim, o primeiro termo da equação, 32x + 1=32x .31=3.32x

Lembremos outra propriedade das potências:

({)� = {�

Assim, 32x = (3x)2.

Podemos reescrever a equação 32x + 1 – 16 . 3x + 5 = 0 da seguinte forma:

3 ∙ (3{)� − 16 ∙ 3{ + 5 = 0 Fazendo 3{ = %, a equação toma a seguinte forma:

3 ∙ %� − 16 ∙ % + 5 = 0 Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 3, b = -16 e c = 5) devemos utilizar a seguinte fórmula:

% = −� ± √�� − 4�2




% = −(−16) ± �(−16)� − 4 ∙ 3 ∙ 52 ∙ 3% = 16 ± √256 − 606

% = 16 ± 146Assim,

% = �Dr�sD = 5 ou % = �Da�sD = �bMas como 3{ = %, então 3{ = 5 ou 3{ = 1/3. Temos agora duas equações exponenciais para resolver.

i) 3{ = 5 Sabemos que a expressão { = %pode ser escrita na forma � = log} %.

Assim 3{ = 5 pode ser escrito como � = logb 5. ii) 3{ = 1/3.

3{ = 3a� � = −1

Assim as raízes da equação são logb 5e −1. A maior raiz é logb 5 e a resposta é a letra C.

54. (TCE-RN 2000/ESAF) Se f(x) = ekx e f (2) = 5, então f(6) é igual a: a) 0 b) 5 c) 15 d) 125 e) 130

Resolução

Para calcular <(2) basta substituir � por 2.

<(�) = �¤{




<(2) = 5 ⇒ ��¤ = 5 Queremos calcular <(6).

<(6) = �D¤ = ��¤∙b = (��¤)b = 5b = 125 Observe que utilizamos as propriedades de “trás para frente”.

Letra D

(PC/ES 2010 – CESPE-UnB) Em um sítio arqueológico, foram encontrados ossos de animais e um perito foi incumbido de fazer a datação das ossadas. Sabe-se que a quantidade de carbono 14, após a morte do animal, varia segundo a lei ¨(S) = ̈ (0) ∙ �a1,111��, em que que � é a base do logaritmo natural, ¨(0) é a quantidade de carbono 14 existente no corpo do animal no instante da morte e ¨(S) é a quantidade de carbono 14 t anos depois da morte. Com base nessas informações e considerando −2,4 e 0,05 como valores aproximados de ln(0,09) e �ab, respectivamente, julgue os itens que se seguem.

55. Suponha que, ao examinar uma ossada, o perito tenha verificado que o animal morreu há 25.000 anos. Nesse caso, a quantidade de carbono 14 existente nessa ossada, no instante do exame, era superior a 4% da quantidade no instante da morte.

56. Se, em uma ossada, o perito constatou que a quantidade de carbono 14 presente era 9% da quantidade no instante da morte do animal, então é correto afirmar que o animal morreu a menos de 19.000 anos.

Resolução

55.

Se o animal morreu há 25.000 anos, então t = 25.000. Vamos substituir este valor na função supramencionada.

¨(S) = ̈ (0) ∙ �a1,111�� ¨(25.000) = ̈ (0) ∙ �a1,111��∙�p.111

¨(25.000) = ̈ (0) ∙ �ab O valor �ab foi fornecido no enunciado.

¨(25.000) = ̈ (0) ∙ 0,05 Como 0,05 = 5/100, então:




¨(25.000) = 5100 ∙ ̈ (0)

¨(25.000) = 5% ∙ ̈ (0) A quantidade de carbono 14 existente nessa ossada, no instante do exame, era igual a 5% da quantidade no instante da morte. O item está certo.

56.

O perito constatou que a quantidade de carbono 14 presente era 9% da quantidade no instante da morte do animal. Assim,

ª(«) = 9% ∙ ̈ (0)

ª(M) ∙ ¬aM,MMMj« = 9% ∙ ̈ (0)

Podemos cortar Q(0).

�a1,111�� = 9% �a1,111�� = 0,09 Vamos aplicar o logaritmo neperiano em ambos os membros da

equação. ln �a1,111�� = ln 0,09 −0,00012S ∙ ln � = −2,4

O valor ln 0,09 = -2,4 foi fornecido no enunciado. Lembrando que ln e = 1, temos:

−0,00012S = −2,4 S = −2,4

−0,00012 = 20.000/ :O animal morreu há 20.000 anos e o item está errado.




Relação das questões comentadas

01. (SEBRAE/AC 2007/CESPE-UnB) Julgue o item seguinte.

As raízes da equação �² � 4� � 2 � 0 são números racionais.

02. (SEAD-SE 2008/CESPE-UnB) As raízes da equação �² � 4� � 1 � 0 são números irracionais. 03. 04. (SGA-AC 2007/CESPE-UnB) Se �� e �� são as raízes da equação �² � � � 6 � 0, então ��/�� 0.

05. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Na tabela abaixo têm-se duas equações quadráticas de incógnitas x, E1 e E2.

Se a maior raiz de E1 é igual à menor raiz de E2, a maior raiz de E2 é (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8

06. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 a) (1,-1) b) (-7,-1) c) (7,1) d) (-7,1) e) (-1,0)

07. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0

a) S={-2,2,-3,3} b) conjunto vazio c) S={-2,-3} d) S={2,3} e) S={-2,-3,-1,1}




08. (TTN 1997/ESAF) A soma de todas as raízes da equação x4 - 25x2 + 144 = 0 é igual a a) 0 b) 16 c) 9 d) 49 e) 25

09. (AFC-STN 2002/ESAF) A soma dos valores reais de �

�� 1 � 156��

é igual a:

a) �6 b) �2 c) �1 d) 6 e) 13

10. (TFC 2000/ESAF) Determinar de modo que a equação 4�� 4�� 1 � � 0 tenha duas raízes iguais:

a) � 0 b) � �8 ! � 0 c) � 8 d) �8 < < 0 e) < 0 ! � 8

11. (SEA-AP 2002/FCC) Em certo momento, o número X de soldados em um policiamento ostensivo era tal que subtraindo-se do seu quadrado o seu quádruplo, obtinha-se 1.845. O valor de X é:

f) 42 g) 45 h) 48 i) 50 j) 52

12. (TRT 2ª Região 2004/FCC) Alguns técnicos judiciários combinaram dividir igualmente entre si 108 processos a serem arquivados. Entretanto, no dia em que o trabalho seria realizado, dois técnicos faltaram ao serviço e, assim, coube a cada um dos outros arquivar 9 processos a mais que o inicialmente previsto. O número de processos que cada técnico arquivou foi: a) 16 b) 18




c) 21 d) 25 e) 27

13. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é: a) - 7 b) - 2 c) 1 d) - 1 e) 7

14. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: a) -2 b) -1 c) 5 d) 7 e) 2

15. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2

16. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) A equação �� 0 possui raízes 3 e 5. Então, � � � é igual a:

a) 7 b) 10 c) 15 d) 19 e) 23

17. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma função y = f(x).




18. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Na função f (x)= −x2 + 3x − 1, a imagem de − 1 é (A) −5 (B) −3 (C) 0 (D) +1 (E) +3

19. (SUFRAMA 2008/FUNRIO) Seja < uma função que tem como domínio o conjunto A={Ana, José, Maria, Paulo, Pedro} e como contradomínio o conjunto B={1,2,3,4,5}. A função f associa a cada elemento x em A o número de

letras distintas desse elemento x . Com base nessas informações, pode-se afirmar que

a) elementos distintos no domínio estão associados a distintos elementos no contradomínio. b) todo elemento do contradomínio está associado a algum elemento do domínio. c) f não é uma função.

d) <�\9=� � 5 e) <�?�;9 � � <�?!] �

20. (AFTN 1996/ESAF) Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na




enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência pode-se afirmar, então, que um coelho: a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos. b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa. c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa. d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa. e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos.

21. (ISS-Natal 2008/ESAF) Uma função definida no conjunto dos números inteiros satisfaz a igualdade <�� 1� ∙ <Z√2 � �[ � √�` , para todo � inteiro.

Com estas informações, conclui-se que <�0� é igual a:

a) �2a�/b b) 2a�/b c) �2�/b d) 2a�/b e) �2a�/b

(SEBRAE/AC 2007 – CESPE/UnB) Para o conserto de aparelhos eletrônicos nos domicílios dos clientes, um técnico cobra R$ 30,00 pela visita e mais R$ 20,00 a cada hora de trabalho Supondo que o técnico trabalhe x horas e receba y reais, julgue os itens a seguir.

22. O gráfico, no sistema de coordenadas cartesianas xOy, de y como função de x, para � l 0, é uma semi-reta de inclinação negativa. 23. A expressão algébrica que relaciona y como função de x é % � 20 � 30�. 24. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) O lucro anual de uma pequena empresa vem crescendo linearmente, como mostra o gráfico abaixo.

Se esse ritmo de crescimento anual for mantido, qual será, em milhares de reais, o lucro dessa empresa, em 2010? (A) 224 (B) 234 (C) 248 (D) 254




(E) 268

25. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) A função geradora do gráfico abaixo é do tipo y = mx + n.

Então, o valor de m3 + n é (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 8 (E) 13

26. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) O gráfico abaixo mostra a quantidade média de garrafas plásticas jogadas no lixo, nos EUA, em função do tempo.

De acordo com os dados do gráfico, aproximadamente quantas garrafas plásticas são jogadas no lixo, nos EUA, a cada hora? (A) 8.000 (B) 12.000 (C) 18.000 (D) 24.000 (E) 30.000

27. (CITEPE 2009/CESGRANRO) O gráfico abaixo apresenta o custo de produção, em reais, de certo tipo de tecido, em função da quantidade produzida, em metros.




Se cada metro de tecido for vendido por R$ 5,10, o lucro na venda de 10.000 metros, em reais, será de (A) 15.400,00 (B) 16.200,00 (C) 17.500,00 (D) 18.600,00 (E) 19.000,00

28. (Petrobras Biocombustível 2010/CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta a capacidade de processamento de oleaginosas de uma máquina extratora de óleos vegetais, em função do tempo t.

Em quanto tempo essa máquina processa 800 kg de oleaginosas? (A) 6 horas e 20 minutos (B) 6 horas e 30 minutos (C) 6 horas e 40 minutos (D) 7 horas e 20 minutos (E) 7 horas e 40 minutos

29. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7) é (A) f(x) = 3x + 2 (B) f(x) = 2x – 3 (C) f(x) = x – 4 (D) f(x) = x + 3 (E) f(x) = 3x + 3

30. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado de uma pessoa, utiliza-se a fórmula I � pqr�2s , em que C é o número do calçado e




p é o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é (A) 24,1cm. (B) 23,6cm. (C) 23,2cm. (D) 22,4cm. (E) 21,3cm.

31. (Pref. de Araçatuba 2008/CETRO) A figura a seguir representa o gráfico de uma função do tipo f (x) = ax + b.

Sobre a natureza do gráfico desta função representada acima, é cor-reto afirmar que

(A) possui duas raízes reais. (B) a < 0. (C) b > 0. (D) ab < 0. (E) não possui raízes reais.

32. (AFC-SFC 2000/ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -2x +β interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo, a) α > 0 e β > 0 b) α > 0 e β < 0 c) α < 0 e β < 0 d) α < -1 e β < 0 e) α > -1 e β > 0

(SEBRAE/AC 2007 – CESPE-UnB) O lucro y, em reais, que um comerciante obtém com a venda de x quilogramas de farinha é expresso pela função % � ��² � 12� � 11. Se y<0, significa que o comerciante teve prejuízo. Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes.

33. Se o comerciante vende mais de 3kg de farinha, então o seu lucro será superior a R$ 16,00.




34. Na venda de 6 kg de farinha, o lucro obtido pelo comerciante é superior a R$ 20,00. 35. A função y é uma função crescente de x.

36. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é representado na figura abaixo.

Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. a) R$ 45,00 b) R$ 80,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 1.225,00 e) R$ 1.400,00

37. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) As medidas da base e da altura de certo triângulo são expressas por (20 − x) cm e (10 + x) cm, onde x é um número natural. A área máxima que esse triângulo pode ter, em cm2, é (A) 225,0 (B) 185,5 (C) 160,0 (D) 125,5 (E) 112,5

38. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por: <�� 2� � 1 � 0�V�� 2�� 3� � 2 l 0.




Sabendo que A é o conjunto solução de <�� e B o conjunto solução de V��, então o conjunto � � G ∩ H é igual a:

a) � � �� ∈ �� < � � 2� b) � � �� ∈ �� 2� c) � � Q� ∈ �|� � 1R d) � � Q� ∈ �|� l 0R e) � � Q� ∈ �|� � 0R

39. (ANVISA 2010/CETRO) Considere as seguintes funções <�� 4� � 4 e V�� 6� � 5. Assinale a alternativa que apresenta a solução da inequação definida por <�� ∙ V�� 0.

a) > � Q� ∈ �|� � 2R b) > � Q� ∈ �|� � 1 !� � 2R c) > � Q� ∈ �|1 � � � 5 !� � 2R d) > � Q� ∈ �|� � 1 !� l 5 !� � 2R e) > � Q� ∈ �|� l 1 !� � 5 !� � 2R

40. (Assembleia Legislativa do Estado de São Paulo 2010/FCC) O gráfico a seguir representa a função <, de domínio real, dada pela lei <�� .

Sabendo que a, b e c são constantes, é correto concluir que (A) a < 0, b < 0 e c < 0 (B) a < 0, b < 0 e c > 0 (C) a < 0, b > 0 e c < 0 (D) a < 0, b > 0 e c > 0 (E) a > 0, b < 0 e c < 0

41. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Considere a função f (x) = mx2 + px , onde m, p e q são números reais tais que m < 0 e p > 0. O gráfico que melhor representa f (x) é




(CMB-ES 2011/CESPE-UnB) Os números positivos e � são tais que seus logaritmos, na base 10, são 0,01 e 0,1. Acerca desses números, julgue os itens subsequentes.

42. O logaritmo na base 10 do número p1 ∙ �bp é igual a 4. 43. A razão b/a é igual a 10.

44. (Ministério da Defesa 2006/CESGRANRIO) O logaritmo na base 4 de 32 vale: (A) 2,5 (B) 3,5 (C) 4 (D) 5 (E) 8




45. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) A função <�� log} �, onde ∈ Wr∗ �Q1R e � ∈ W, está representada no gráfico abaixo.

Os valores de e de �, respectivamente, são

(A) 1/4 e 3 (B) 1/2 e 3 (C) 4 e 2 (D) 4 e 3 (E) 5 e 2

46. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) As exportações de certa empresa de autopeças vêm crescendo exponencialmente de acordo com a função E(x) = k(1,2)x, onde x representa o número de anos e k, o número de autopeças exportadas atualmente. Daqui a quantos anos a quantidade de peças exportadas corresponderá a 1,728.k? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2

47. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) A magnitude M de um terremoto é expressa, em função da energia liberada “x”, em joules, pela lei

\ � �log�1 �� 1,441,5Um terremoto que libere 100³ joules de energia, terá magnitude M igual a

(A) 1,70 (B) 2,27 (C) 3,04 (D) 4,22 (E) 4,96

48. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Um estudo em laboratório revelou que a altura média de determinada espécie de planta é dada, a partir de um ano de idade, pela função ℎ �� logZ10�,bp ∙ √2�� [, onde h(x) representa a altura média, em m, e x, a idade, em anos. Qual é, em m, a altura média de uma planta dessa espécie aos cinco anos de idade? (A) 1,5 (B) 1,6 (C) 1,7




(D) 1,8 (E) 1,9

49. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Quanto vale x, se log�1 �³ � log�1 � � 4? (A) 1 000 (B) 100 (C) 50 (D) 10 (E) 1

50. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se a quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas, seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2t. Determine, aproximadamente, o tempo necessário, em semanas, para que entre no padrão “preocupante”. (Considere: log10 2 = 0,3) a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

51. (Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Usando os valores log 2 = 0,3 e log 3 = 0,47, calcule e assinale o valor correspondente a log 144. a) 2,22. b) 2,19. c) 2,06. d) 2,14. e) 2,27.

52. (TCM SP 2006/CETRO) A população de uma cidade aumenta segundo a equação � � 30.000 ∙ �1,01��, onde N é o número de habitantes e t é o tempo em anos. O valor de t para que a população dobre em relação a hoje é de

a) �� ,1�

b) log 2 � ] V1,01

c) 2 ∙ �] V2� ∙ �] V1,01�

d) � �� 1,1�




e) 50

53. (CEF 2010/CESPE-UnB) A população P de uma comunidade, t anos após determinado ano – considerado ano t = 0 - , pode ser calculada pela fórmula ? � ?1 ∙ �¤�, em que k é uma constante positiva, ?1 é a quantidade de indivíduos na comunidade no ano t = 0 e � é a base do logaritmo neperiano.

Nesse caso, considerando 0,63 como valor aproximado para ¥3�¥3b e que a

população ?1 triplique em 6 anos, então ?1 será duplicada em

a) 3,38 anos. b) 3,48 anos. c) 3,58 anos. d) 3,68 anos. e) 3,78 anos.

54. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A maior raiz da equação 32x + 1 – 16. 3x + 5 = 0 é (A) 4. (B) 0,5. (C) log3 5. (D) log5 3. (E) 5.

55. (TCE-RN 2000/ESAF) Se f(x) = ekx e f (2) = 5, então f(6) é igual a: a) 0 b) 5 c) 15 d) 125 e) 130

(PC/ES 2010 – CESPE-UnB) Em um sítio arqueológico, foram encontrados ossos de animais e um perito foi incumbido de fazer a datação das ossadas. Sabe-se que a quantidade de carbono 14, após a morte do animal, varia segundo a lei ¨�S� � ̈ �0� ∙ �a1,111��, em que que � é a base do logaritmo natural, ¨�0� é a quantidade de carbono 14 existente no corpo do animal no instante da morte e ¨�S� é a quantidade de carbono 14 t anos depois da morte. Com base nessas informações e considerando �2,4 e 0,05 como valores aproximados de ln�0,09� e �ab, respectivamente, julgue os itens que se seguem.

56. Suponha que, ao examinar uma ossada, o perito tenha verificado que o animal morreu há 25.000 anos. Nesse caso, a quantidade de carbono 14 existente nessa ossada, no instante do exame, era superior a 4% da quantidade no instante da morte.




57. Se, em uma ossada, o perito constatou que a quantidade de carbono 14 presente era 9% da quantidade no instante da morte do animal, então é correto afirmar que o animal morreu a menos de 19.000 anos.

Gabarito

01. Errado 02. Certo 03. Errado 04. A 05. C 06. B 07. A 08. C 09. B 10. B 11. E 12. C 13. D 14. D 15. A 16. C 17. A 18. E 19. E 20. A 21. Errado 22. Errado 23. B 24. B 25. D 26. A 27. C 28. B 29. C 30. C 31. B 32. Errado 33. Certo




34. Errado 35. D 36. E 37. C 38. B 39. A 40. E 41. Certo 42. Errado 43. A 44. A 45. D 46. C 47. B 48. B 49. C 50. D 51. A 52. E 53. C 54. D 55. Certo 56. Errado

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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB …download.oversubs.org/RECEITA FEDERAL 2013 - PONTO DOS CONC… · (SEAD-SE 2008/CESPE-UnB) As raízes da equação ² − 4 + 1 = 0