Paulo Seleghim Jr. Universidade de São Paulo€¦ · SEM0551 Fenômenos de Transporte Paulo Seleghim Jr. Universidade de São Paulo CONVECÇÃO DE CALOR E ESCOAMENTOS INTERNOS

SEM0551 Fenômenos de Transporte

Paulo Seleghim Jr.Universidade de São Paulo

CONVECÇÃO DE CALOR E ESCOAMENTOS INTERNOS

Por que algumas aves podem voar

sem bater as asas ?

CONDUÇÃO

CONVECÇÃO

RADIAÇÃO

Lei de Fourier

Lei de Newton

Lei de Stefan–Boltzmann

T

CONDUÇÃO

CONVECÇÃO

RADIAÇÃO

Lei de Fourier

Lei de Newton


T

CONDUÇÃO

CONVECÇÃO

RADIAÇÃO

Lei de Fourier

Lei de Newton


T

Convecção natural convecção forçada...

Forçada: a movimentação do fluido é induzida por forças externas...


Natural: a movimentação do fluido é induzida por forças de empuxo...



empuxo empuxo









Cumulonimbus !

ozônio

Modelos atmosféricos...

gdHdP −=

dHRT

g

RT

gdH

P

dP−=

−=

dividindo pela eq. estado

dH

dTdef= gradiente (lapse rate)

T

dT

R

g

P

dP

−=

→

−= T

T

P

P 11

T

dT

R

g

P

dP( ) )R/(g

11 T/TPP−

=

→

−= T

T

P

P 11

T

dT

R

g

P

dP( ) 1)R/(g

11 T/T−−

=

Troposfera:

−=− )HH()TT( 11

ozônio


gdHdP −=

dHRT

g

RT

gdH

P

dP−=

−=

dividindo pela eq. estado

−−= )HH(

RT

gexpPP 11

região isotérmica −

H

H

P

P 11

dHRT

g

P

dP

→−−

)HH(

RT

g

P

Pln 1

1

→−−

)HH(

RT

g

P

RTln 1

1

−−= )HH(

RT

gexp

RT

P1

1

Tropopausa:

ozônio

Estratopausa:


Estratosfera:

ozônio

Io

I

T

T

T

T

T

TRadiação em

meio participativo


H

T

H

P

H

−−= )HH(

RT

gexpPP 11

−−= )HH(

RT

gexp

RT

P1

1

ozônio

)R/(g

1

111

T

)HH(TPP

−

−+=

1)R/(g

1

111

T

)HH(TPP

−−

−+=)HH(TT 11 −+=

Santiago Borja Lopez

Santiago Borja Lopez

Equações governantes:

massa, forças e energia

Equações governantes: massa, forças e energia

0)U(t

=+

++−=

+

D3FT

~Puu

t

u

D~

:T~

)Tk(Tut

TCP +=

+

Continuidade (massa) →

Q. de movimento (Navier-Stokes) →

Energia (1ra lei) →

Escalas microscópicas (Kolmogorov) a escalas planetária (sinótica)...

x

y

)y,xx(u 1=u ,T

Cálculo das camadas limites hidrodinâmica e térmica...

)y,xx(T 2=

CLFD

CLTM

0y

v

x

u=

+

x

y

2

2

y

u

y

uv

x

uu

=

+

2

2

P y

T

C

k

y

Tv

x

Tu

=

+

)y,xx(u 1= )y,xx(T 2= massa

q. de mov imento

energia (desacoplada)

u ,T

==→= T)y,0(Teu)y,0(u0x/p

sT)0,x(Te0)0,x(v,0)0,x(u0y/p ===→=

==→→ T),x(Teu),x(uy/p

Cálculo das camadas limites hidrodinâmica e térmica...

Paul R.H. Blasius

(1883 – 1970)

2

2

d

fd

x2

u

x

u

−=

2

2

d

fd

x

uu

y

u

=

3

32

2

2

d

fd

x

u

y

u

=

2

2

y

u

y

uv

x

uu

=

+

0d

fdf

d

fd2

2

2

3

3

=

+

0)(f0/p =→=

0d/df0/p =→=

1d/df/p =→=

=→= u)y,0(u0x/p

0)0,x(v,0)0,x(u0y/p ==→=

=→→ u),x(uy/p

Solução de Blasius (1908)... velocidades

Paul R.H. Blasius

(1883 – 1970)

Solução de Blasius (1908)... c. limite térmica

PCk/Pr

=

2

2

2

P yd

d

C

k

yf

d

df

x

u

2

1

xd

dfu

=

−

+

0d

dfPr

d

d2

2

2

=

+

...

1)(e0)0( ==

Paul R.H. Blasius

(1883 – 1970)


x

y

)y,x(u )y,x(T

x

0yy

u=

=

x

2

xRe

u332.0

=

x

0y

qky

T−=

=

xqx

x

u)TT(Pr332.0

k

qs

3/1x

−=−

x3/1TM

RePr

x0.5 =

x

FDRe

x0.5 =

Paul R.H. Blasius

(1883 – 1970)


x

y

)y,x(u )y,x(T

x

0yy

u=

=

x

0y

qky

T−=

=

xqx

3/1

TM

FD Pr=

x

2

xRe

u332.0

=x

u)TT(Pr332.0

k

qs

3/1x

−=−

x3/1TM

RePr

x0.5 =

x

FDRe

x0.5 =

1Pr

1Pr

OBTENÇÃO DOS COEFICIENTES EMPÍRICOS DE CONVECÇÃO:

A convecção de calor ocorre em função do escoamento de um

fluido. Portanto, pode ser descrito por equações de balanço demassa (continuidade), quantidade de movimento (forças) e energia

(1ª lei da termodinâmica).

Exemplo: escoamento sobre uma placa plana...

ux

uy

0)U(t

=+

++−=

+

D3

2 FuPuut

u

D~

:~

)Tk(Tut

TCP +=

+


ux

uy

0)U(t

***

*=+

++−=

+

*

D3*

2****

** Fu

Re

1PEuuu

t

u

*******

*

* D~

:~

)Tk(PrRe

1Tu

t

T+

=

+

...D/x*x

...u/u*u 0

...)u/D/(t*t 0


0)U(t

***

*=+

++−=

+

*

D3*

2****

** Fu

Re

1PEuuu

t

u

*******

*

* D~

:~

)Tk(PrRe

1Tu

t

T+

=

+

...D/x*x

...u/u*u 0

...)u/D/(t*t 0

=

DuRe 0

0

0

gL

uFr

=

k

CPr

p= 2

0

0

u

PEu

=

ux

uy

Simulações numéricas (CFD)...

Simulações numéricas (CFD)...

Abordagem empírica...

x

y

T

pT

camada de estagnação

camada emmovimento convecção

condução

condução


itelimcamada

pqdy

dTk)TT(hq −=−=

x

y

D/yy* p

p*

TT

TTT

−

−

T

pT

( )*pppq T)TT(T

dy

dk)TT(h −+−=−

dy

dT)TT(k)TT(h

*

ppq −−=−

dy

dy

dy

dTkh

*

*

*

q −=

*

*q

dy

dT

D/k

h−=→Nusseltde.Nr

condução

convecção


x

y

T

pT

D/k

hNu

qdef

=

As equações diferenciais de balanço indicam que:

( )Pr,RefNu =

caracteriza o

escoamento

caracteriza o

fluido

=

DuRe 0

k

CPr

p=


x

y

T

pT

Nu

x

laminar turbulento

D/k

hNu

qdef

=

As equações diferenciais de balanço indicam que:

( )Pr,RefNu =

caracteriza o

escoamento

caracteriza o

fluido

=

DuRe 0

k

CPr

p=

Correlações para escoamentos internos...

364.Nu =

Escoamento laminar:

Fluxo de calor constante:

663.Nu =Temperatura constante:

Escoamento turbulento desenvolvido (Re > 104):

Superfície lisa: n/ PrRe.Nu = 540230

ms TT/p.n = 30

ms TT/p.n = 40

Superfície rugosa:)(Pr)/f(.

Pr)(RefNu

// 187121

1000

8 3221 −+

−=

factorfrictionf =

=

DuRe 0

k

CPr

p=

desenvolvido

(Dittus-Boelter)

A equação de Darcy e cálculo do fator de atrito...

Stuart W. Churchill

12/1

5,1

12

)BA(Re

88f

++

= −

16

Re

37530B

=

D

m4Re

=

161

9,0

D27,0

Re

7ln457,2A

+

=

−

Diagrama de Moody

Re

64f =

+−=

fRe

51.2

D

e7.3log2

f

1

Laminar (Re < 2500)

Turbulento (Re > 4000)

Colebrook-White

A equação de Darcy e cálculo do fator de atrito...

Stuart W. Churchill

Diagrama de Moody

12/1

5,1

12

)BA(Re

88f

++

= −

16

Re

37530B

=

D

m4Re

=

161

9,0

D27,0

Re

7ln457,2A

+

=

−

8.31: Para resfriar uma casa de verão sem uso de um ciclo frigorífico, ar é encaminhado através deuma tubulação de plástico (k=0.15W/m/K, Di=0.15m, D0=0.17m) submersa em um corpo d’águaadjacente. A temperatura da água é normalmente de T=17°C, e o coeficiente de convecção émantido em ho=1500 W/m2/K na superfície externa da tubulação. Se ar proveniente da casa entrano tubo a uma temperatura de Tm,i=29°C e uma vazão volumétrica de Vi=0.025m3/s, qual extensãoL é necessária para que a temperatura na saída seja de Tm,o=21°C ?


)hh(V)hh(mQ oiiioi −=−=



kg

kJ)..(

s

m.

m

kg.Q 4142046428025015331

3

3−=



kg

kJ)..(

s

m.

m

kg.Q 4142046428025015331

3

3−=

s/kg.m 028830=



kg

kJ)..(

s

m.

m

kg.Q 4142046428025015331

3

3−=

kW.Q 23210=

s/kg.m 028830=


Equação do decaimento da temperatura

ao longo da tubulação

Balanço global de energia...

dx

m

mh mm dhh +

mT mm dTT +

( ) ( ) ++−++=−entra

kkkk

sai

kkkk /Vgzhm/VgzhmWQ 22 22

mmmconv hm)hdh(mdxpq −+=

convconv qpdxdQ =

0=−−

)TT(phdx

hdm msconv

m

sT ss dTT +

→−= )TT(hq msconvconv

p = perímetro

L

m

m


0=−−

)TT(phdx

hdm msconv

m

)T,P(hh =

Implementação numérica...

Solução direta via método numérico de solução de equação diferencial


0=−−

)TT(phdx

hdm msconv

m


Solução analítica a partir de hipóteses simplificadoras

gases perfeitos“fluido incompressível” (Cp=Cv)

TCh p =

0=−− )TT(C

ph

dx

dTm ms

P

convm

Fluxo de calor constante →

)T,P(hh =


xCm

pqT)x(T

P

convi,mm +=

Temperatura superficial constante →

−−= x

Cm

hpexp)TT(T)x(T

P

convi,mssm

Geometria cilíndrica... variação radial da temperatura

L

rLDA ii =

LDA oo =

ooii AqAqQ :Obs. ==

r

mT

L

r

→= 0)Tk(

LDA ii =

LDA oo =

ooii AqAqQ :Obs. ==


r

mT

0dr

dTkr

dr

d=

r

CC

dr

dT 21 +=→

oo T)r(T =

−+=→

iio

ioi

r

rln

)r/rln(

TTT)r(T

drr

CdT 2=→

=→

r

r

2

)r(T

T ii

drr

CdT

2

i

i Cr

rlnT)r(T

=−→

0dr

dTLim:.Obsr

=→

Equação do decaimento radial da

temperatura

L

rLDA ii =

LDA oo =

ooii AqAqQ :Obs. ==

→= 0)Tk(


r

mT

0dr

dTkr

dr

d=

−+=

iio

ioi

r

rln

)r/rln(

TTT)r(T

L

r

)TT()r/rln(

Lk2)r(

dr

dTkAQ io

io

o −

=−=

LDA ii =

LDA oo =

ooii AqAqQ :Obs. ==

→= 0)Tk(


mT

r

0dr

dTkr

dr

d=

−+=

iio

ioi

r

rln

)r/rln(

TTT)r(T

oo

io

ii

m

Lhr2

1

Lk2

)r/rln(

Lhr2

1

TTQ

+

+

−=

L

r

)TT()r/rln(

Lk2)r(

dr

dTkAQ io

io

o −

=−=

)TT(UAR

TT... m

total

m

−=−

=

LDA ii =

LDA oo =

ooii AqAqQ :Obs. ==

→= 0)Tk(


mT

r

0dr

dTkr

dr

d=

−+=

iio

ioi

r

rln

)r/rln(

TTT)r(T

oo

io

ii

m

Lhr2

1

Lk2

)r/rln(

Lhr2

1

TTQ

+

+

−=

L

r

)TT()r/rln(

Lk2)r(

dr

dTkAQ io

io

o −

=−=

→= LDA i

def1

o

i

oi

oi

i r

r

h

1

r

rln

k

r

h

1U

−

+

+=

)TT(UAR

TT... m

total

m

−=−

=

LDA ii =

LDA oo =

ooii AqAqQ :Obs. ==

→= 0)Tk(


mT

r

0dr

dTkr

dr

d=

−+=

iio

ioi

r

rln

)r/rln(

TTT)r(T

coeficiente global de transferência de calor

(condutância)

L

LDA ii =

LDA oo =

Geometria cilíndrica... variação axial da temperatura

)x(TT mm =Eliminando Ts do equacionamento

L

LDA ii =

LDA oo =

)TT(UAQ mi −=

)TT(AhQ smiair −=)x(TT mm =


L

LDA ii =

LDA oo =

)TT(UAQ mi −=

)TT(AhQ smiair −=

)TT(h

UTT m

air

ms −−=

)x(TT mm =


L

LDA ii =

LDA oo =

)TT(UAQ mi −=

)TT(AhQ smiair −=

0=−− )TT(phdx

dTCm msair

mP

)TT(h

UTT m

air

ms −−=

equação do balanço global

de energia

)x(TT mm =


L

LDA ii =

LDA oo =

)TT(UAQ mi −=

)TT(AhQ smiair −=

0=−− )TT(phdx

dTCm msair

mP

)TT(h

UTT m

air

ms −−=

→=

−

−−− 0mm

air

mairm

P TTT(h

UTph

dx

dTCm


de energia

)x(TT mm =


L

LDA ii =

LDA oo =

)TT(UAQ mi −=

)TT(AhQ smiair −=

0=−− )TT(phdx

dTCm msair

mP

)TT(h

UTT m

air

ms −−=

→=

−

−−− 0mm

air

mairm

P TTT(h

UTph

dx

dTCm 0=−+ )TT(pU

dx

dTCm m

mP


de energia

)x(TT mm =


L

LDA ii =

LDA oo =

)TT(UAQ mi −=

)TT(AhQ smiair −=

0=−− )TT(phdx

dTCm msair

mP

)TT(h

UTT m

air

ms −−=

→=

−

−−− 0mm

air

mairm

P TTT(h

UTph

dx

dTCm 0=−+ )TT(pU

dx

dTCm m

mP

→−=−

−

dxCm

pU

TT

)TT(d

Pm

m


de energia

)x(TT mm =


L

LDA ii =

LDA oo =

)TT(UAQ mi −=

)TT(AhQ smiair −=

0=−− )TT(phdx

dTCm msair

mP

)TT(h

UTT m

air

ms −−=

→=

−

−−− 0mm

air

mairm

P TTT(h

UTph

dx

dTCm

→−=−

−

dxCm

pU

TT

)TT(d

Pm

m

−=−

−

L

P

T

T m

m UdxLCm

pL

TT

)TT(ds,m

e,m 0

1


de energia

)x(TT mm =


0=−+ )TT(pUdx

dTCm m

mP

L

LDA ii =

LDA oo =

)TT(UAQ mi −=

)TT(AhQ smiair −=

0=−− )TT(phdx

dTCm msair

mP

)TT(h

UTT m

air

ms −−=

→=

−

−−− 0mm

air

mairm

P TTT(h

UTph

dx

dTCm

→−=−

−

dxCm

pU

TT

)TT(d

Pm

m

−=−

−

L

P

T

T m

m UdxLCm

pL

TT

)TT(ds,m

e,m 0

1

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT


de energia

)x(TT mm =


0=−+ )TT(pUdx

dTCm m

mP

... calculado @

temperatura axial média

oo

io

ii

iLhrLk

)r/rln(

Lhr)AU(

+

+

=−

2

1

22

11

=cteDittus-Boelter ? =cte

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

oo

io

ii

iLhrLk

)r/rln(

Lhr)AU(

+

+

=−

2

1

22

11

=cte=cte

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

Dittus-Boelter ?

oo

io

ii

iLhrLk

)r/rln(

Lhr)AU(

+

+

=−

2

1

22

11

=cte=cte

→= CT 25316881 m/kg.= sPa. = 44818

707290.Pr =K/m/mW.k 24726=

K/kg/kJ.CP 00631=

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

Dittus-Boelter ?

oo

io

ii

iLhrLk

)r/rln(

Lhr)AU(

+

+

=−

2

1

22

11

=cte=cte

→= CT 25316881 m/kg.= sPa. = 44818

4

262103441

4150

0250

1044818

15016881

4=

=

=

=

−.

/.

.

.

..

/D

VDUDRe

i

i

707290.Pr =K/m/mW.k 24726=

K/kg/kJ.CP 00631=

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

Dittus-Boelter ?

oo

io

ii

iLhrLk

)r/rln(

Lhr)AU(

+

+

=−

2

1

22

11

=cte=cte

→= CT 25316881 m/kg.= sPa. = 44818

4

262103441

4150

0250

1044818

15016881

4=

=

=

=

−.

/.

.

.

..

/D

VDUDRe

i

i

2060.4)(0.70729)10(1.3440.023PrRe0.023Nu 0.44/540.34/5 ===

707290.Pr =K/m/mW.k 24726=

K/kg/kJ.CP 00631=

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

Dittus-Boelter ?

oo

io

ii

iLhrLk

)r/rln(

Lhr)AU(

+

+

=−

2

1

22

11

=cte=cte

→= CT 25316881 m/kg.= sPa. = 44818

4

262103441

4150

0250

1044818

15016881

4=

=

=

=

−.

/.

.

.

..

/D

VDUDRe

i

i

2060.4)(0.70729)10(1.3440.023PrRe0.023Nu 0.44/540.34/5 ===

707290.Pr =

Km

W.

.

..h

k

DhNu i

ii

2

3

0357150

206401024726=

=→=

−

K/m/mW.k 24726=

K/kg/kJ.CP 00631=

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

Dittus-Boelter ?

oo

io

ii

iLhrLk

)r/rln(

Lhr)AU(

+

+

=−

2

1

22

11

Km

W.

20357

Km

W2

1500Km

W.150

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

L.AU..

.ln

...L)AU( ii =→

+

+

=− 2952

1701500

1

150

170

1502

1

1500357

111

oo

io

ii

iLhrLk

)r/rln(

Lhr)AU(

+

+

=−

2

1

22

11

Km

W.

20357

Km

W2

1500Km

W.150

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

L.AU..

.ln

...L)AU( ii =→

+

+

=− 2952

1701500

1

150

170

1502

1

1500357

111

oo

io

ii

iLhrLk

)r/rln(

Lhr)AU(

+

+

=−

2

1

22

11

Km

W.

20357

Km

W2

1500Km

W.150

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

L.AU..

.ln

...L)AU( ii =→

+

+

=− 2952

1701500

1

150

170

1502

1

1500357

111

oo

io

ii

iLhrLk

)r/rln(

Lhr)AU(

+

+

=−

2

1

22

11

Km

W.

20357

Km

W2

1500Km

W.150

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

−=

−

−

31006028830

2952

1729

1721

..

L.exp

L.AU..

.ln

...L)AU( ii =→

+

+

=− 2952

1701500

1

150

170

1502

1

1500357

111

oo

io

ii

iLhrLk

)r/rln(

Lhr)AU(

+

+

=−

2

1

22

11

Km

W.

20357

Km

W2

1500Km

W.150

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

→

−=

−

−

Pe,m

s,m

Cm

AUexp

TT

TT

−=

−

−

31006028830

2952

1729

1721

..

L.exp

m.L 8813=

Considerando propriedades termofísicas variáveis...

=

DuRe 0

k

CPr

p=


0=−−

)TT(phdx

hdm msconv

m


Solução analítica a partir de hipóteses simplificadoras

gases perfeitos“fluido incompressível” (Cp=Cv)

TCh p =

0=−− )TT(C

ph

dx

dTm ms

P

convm

)T,P(hh =



...),T,P(=

0=−+ )TT(pUdx

dTCm m

mP

L

LDA ii =

LDA oo =

)x(TT mm =


Eliminada Ts da eq.

0=−+ )TT(pUdx

dTCm m

mP

L

LDA ii =

LDA oo =

)x(TT mm =


1

o

i

oi

oi

i r

r

h

1

r

rln

k

r

h

1U

−

+

+=

0=−+ )TT(pUdx

dTCm m

mP

L

LDA ii =

LDA oo =

)x(TT mm =


=cte=cteDittus-Boelter

n5/4 PrRe023.0Nu =

1

o

i

oi

oi

i r

r

h

1

r

rln

k

r

h

1U

−

+

+=

0=−+ )TT(pUdx

dTCm m

mP

L

LDA ii =

LDA oo =

)x(TT mm =


=cte=cteDittus-Boelter

n5/4 PrRe023.0Nu =

1

o

i

oi

oi

i r

r

h

1

r

rln

k

r

h

1U

−

+

+=

mT

0DuRe

=

mT

p

k

CPr

=

0=−+ )TT(pUdx

dTCm m

mP

L

LDA ii =

LDA oo =

)x(TT mm =


0)TT()T(dx

dTmm

m =−+ )T(C

)T(U

m

p)T(

mP

mm

=

0)TT(dx

TTj,mj

j,m1j,m=−+

−

+

dx)TT(TT j,mjj,m1j,m −−= +


129°C 21°C2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

L

→−−= + dx)TT(TT j,mjj,m1j,m

T0 T1 T2 T20T19


129°C 21°C2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

L

→−−= + dx)TT(TT j,mjj,m1j,m

T0 T1 T2 T20T19

dx)TT(TT 0,m00,m1,m −−=

dx)TT(TT 1,m11,m2,m −−=

dx)TT(TT 2,m22,m3,m −−=

dx)TT(TT 19,m1919,m20,m −−=

=

Tutorial: montagem da planilha de simulação...

=0.70729=1.344104

=40.206



=13.40 m

21 °C

=13.88 m

www.youtube.com/pseleghim

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Paulo Seleghim Jr. Universidade de São Paulo€¦ · SEM0551 Fenômenos de Transporte Paulo Seleghim Jr. Universidade de São Paulo CONVECÇÃO DE CALOR E ESCOAMENTOS INTERNOS