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PRF

Matemtica

Apostila Parte 1

Pedro Evaristo

MATEMTICA 2

PEDRO EVARISTO

CAPTULO 01

CONJUNTO DOS NMEROS

NATURAIS

N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

N* = N {0}

INTEIROS

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Z

* = Z {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} (inteiros no nulos)

Z+ = (0, 1, 2, 3, 4, ...} (inteiros no negativos)

Z - = {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros no positivos)

MLTIPLOS NATURAIS

Denominamos mltiplo de um nmero o produto desse nmero por um nmero natural qualquer. Dessa forma, para obter todos os mltiplos naturais de um nmero N, basta multiplicar N por todos os naturais. EXEMPLOS:

Como os mltiplos de um nmero so calculados multiplicando-se esse nmero pelos nmeros naturais, ento os mltiplos de 7 so:

7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

EXEMPLOS:

M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...}

M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...}

R Reais I Irracionais Q Racionais Z Inteiros N Naturais

LINK:

Importante!

Um nmero tem infinitos mltiplos.

Zero mltiplo de qualquer nmero natural.

Existem tambm os mltiplos negativos (no naturais)

R

N Z

Q I

MATEMTICA 3

PEDRO EVARISTO

OS 40 PRIMEIROS NOS PRIMOS

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

31 37 41 43 47 53 59 61 67 71

73 79 83 89 97 101 103 107 109 113

127 131 137 139 149 151 157 163 167 173

LINK:

DIVISORES NATURAIS

Um nmero natural divisor de outro quando o resto da diviso for igual a 0, ou seja, quando um nmero natural N for dividido por qualquer de seus divisores, o resultado dessa diviso ter que ser inteiro. EXEMPLOS:

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

M(35) = {1, 5, 7, 35}

PRIMOS

Um nmero natural dito primo quando possui apenas dois divisores naturais distintos, onde um deles o 1 e outro ele mesmo.

PRIMOS ENTRE SI

Dois nmeros inteiros A e B so ditos primos entre si quando seu maior divisor comum o nmero 1, ou ainda, o m.d.c.(A, B) = 1 e o m.m.c.(A, B) = A.B. Sendo assim, A/B sempre uma frao irredutvel.

EXEMPLO:

Os nmeros 14 e 45 so primos entre si, pois o maior divisor comum entre eles 1, uma vez que o 14 divisvel pelos primos 2 e 7, enquanto o que o 45 s divisvel pelos primos 3 e 5. Dessa forma, a frao 14/45 ser irredutvel.

Entende a diferena entre divisvel, divisor e mltiplo?

importante entender essas nomenclaturas! Observe que:

se 15 divisvel por 3, ento 3 divisor de 15, ou

seja, 15 mltiplo de 3.

se 28 divisvel por 7, ento 7 divisor de 28, ou

seja, 28 mltiplo de 7.

LINK:

Interessante!

Se um nmero maior que dez terminar em

{0, 2, 4, 5, 6, 8}, ento no ser primo.

Se um nmero maior que dez for primo,

ento terminar em {1, 3, 7, 9}.

LINK:

Dois nmeros consecutivos N e N+1, sempre sero

primos entre si.

LINK:

MATEMTICA 4

PEDRO EVARISTO

REGRAS DE DIVISIBILIDADE

EXEMPLO: Verifique se o nmero N = 27720 divisvel pelos naturais de 2 a 12.

SOLUO:

Como 27720 par, ento ele divisvel por 2;

A soma dos algarismos 2+7+7+2+0 = 18. Como 18 divisvel por 3, N tambm divisvel por 3;

Os dois ltimos algarismos formam o nmero 20, que divisvel por 4, logo N tambm divisvel por 4;

Como N termina em 0 ele divisvel por 5;

Como N mltiplo de 2 e 3, ele ser divisvel por 6;

Aplicando a regra do 7, temos 2772 2.0 = 2772, 277 2.2 = 273 e 27 2.3 = 21, que divisvel por 7;

Os trs ltimos algarismos formam o nmero 720, que divisvel por 8, logo N tambm divisvel por 8;

A soma dos algarismos 18. Como 18 divisvel por 9, N tambm divisvel por 9;

Como N termina em 0 ele divisvel por 10;

Somando os algarismos alternando o sinal temos 27+72+0 = 0, que divisvel por 11;

Como N mltiplo de 3 e 4, ele ser divisvel por 12.

2

3

4

5

6

8

9

10

11

12

15

25

Basta que o nmero seja par

A soma dos algarismos um no divisvel por 3

Os dois ltimos algarismos formam um no divisvel por 4

Termina em 0 ou 5

O nmero satisfaz a regra do 2 e do 3

Os trs ltimos algarismos formam um no divisvel por 8

A soma dos algarismos um no divisvel por 9

Termina em 0

A diferena entre as somas dos algarismos de ordem mpar e de ordem par (ou somar e subtrair os algarismos alternadamente) resulta em um n

o div. por 11.

O nmero satisfaz a regra do 4 e do 3

O nmero satisfaz a regra do 5 e do 3

Termina sempre em 00, 25, 50 e 75

7 Separa-se o algarismo das unidades. A diferena entre o nmero restante e o dobro do algarismo das unidades, tem que ser divisvel por 7.

a eb a b ra da pb ob

a2 a3 s4 s5 e6 a8 e9

10 u11 12 u15 o25

vBasta que o nmero seja par iA soma dos algarismos um n

o divisvel por 3

sOs dois ltimos algarismos formam um no divisvel por 4

Termina em 0 ou 5 vO nmero satisfaz a regra do 2 e do 3 eOs trs ltimos algarismos formam um n

o divisvel por 8

lA soma dos algarismos um no divisvel por 9

Termina em 0 pA diferena entre as somas dos algarismos de ordem mpar e de ordem par (ou somar e subtrair alternadamente) resulta em um n

o divisvel por 11.

oO nmero satisfaz a regra do 4 e do 3 rO nmero satisfaz a regra do 5 e do 3 Termina sempre em 00, 25, 50 e 75

77 A diferena entre o dobro do ltimo algarismo e o n

o formado pelos algarismos

restantes, resulta em um no divisvel por 7

N = ABCD

Se D par ento N M(2)

N = ABCD

Se (A+B+C+D)/3 Z ento N M(3)

N = ABCD

Se CD/4 Z ento N M(4)

N = ABCD

Se D = 0 ou 5 ento N M(5)

N = ABCD

Se N M(2) e N M(3) ento N M(6)

N = ABCD

Se (ABC2D)/7 Z ento N M(7)

N = ABCD

Se BCD/8 Z ento N M(8)

N = ABCD

Se (A+B+C+D)/9 Z ento N M(9)

N = ABCD

Se D = 0 ento N M(10)

N = ABCD

Se (AB+CD)/11 Z ento N M(11)

N = ABCD

Se N M(3) e N M(4) ento N M(12)

N = ABCD

Se N M(3) e N M(5) ento N M(15)

N = ABCD

Se CD/25 Z ento N M(25)

MATEMTICA 5

PEDRO EVARISTO

RACIONAIS

Os nmeros racionais so aqueles que podem ser escritos na forma de frao.

Q = {x = q

p/ p Z e q Z*}

EXEMPLOS:

NATURAIS E INTEIROS Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como frao. Afinal, eles representam divises exatas. Ex.:

5

10

1

22

8

0

1

00

5

30

1

66

2

18

1

9981

DECIMAIS Esse nmero pode ser escrito na forma fracionria colocando-se o nmero sem vrgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, aps a virgula. Ex.:

10

44,0

100

1212,0

1000

8125125,8

10

15

100

22525,2

DEMONSTRAO

Seja x = 0,12 ento 100.x = 12

ou seja x = 12100

DZIMA PERIDICA SIMPLES Nem toda dzima pode ser escrita em forma de frao, s as peridicas. No caso das simples, elas possuem apenas uma parte peridica, ou seja, que se repete. Para transformar em frao, basta escrever o nmero que se repete, sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem. Ex.:

9

4...444,04,0

99

12...121212,012,0

999

125....125125125,0125,0

9999

5526....265526552655,05526,0

DEMONSTRAO

Seja x = 0,222... ento 10x = 2,222...

10x = 2 + 0,222... 10x = 2 + x 9x = 2 Logo

x = 29

Seja x = 0,212121... ento 100x = 21,212121...

100x = 21 + 0,212121... 100x = 21 + x 99x = 21 Logo

x = 2199

Seja x = 0,218218218... ento 1000x = 218,218218218...

1000x = 218 + 0,218218218... 1000x = 218 + x 999x = 218 Logo

x = 218999

LINK: POR QUE O DENOMINADOR NO PODE SER ZERO?

Observe, ao lado, que quando isso ocorre, gera uma situao impossvel ou indeterminada.

MATEMTICA 6

PEDRO EVARISTO

DZIMA PERIDICA COMPOSTAS

No caso das compostas, elas possuem um parte no peridica (que no se repete) e outra parte peridica (que se repete). Para transformar em uma frao equivalente voc pode escrever a parte no peridica seguida da parte peridica, menos a parte no peridica, tudo sobre tantos noves quantos forem os algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos que esto aps a vrgula.

EXEMPLO:

90

221

90

24245...4555,254,2

900

4846

900

5385384...38444,5438,5

990

804

990

8812...8121212,0128,0

990

5331

990

535384...3848484,5843,5

9

20

9

222...222,22,2

999

5379

999

55384...384384384,5384,5

IRRACIONAIS Como o prprio nome j sugere so aqueles nmeros que no racionais, ou seja, que no podem ser escritos na forma de frao, tais como as dzimas no peridicas.

I = {x q

p/ p Z e q Z*} ou I = R Q

EXEMPLOS: DZIMAS NO PERIDICAS Observe que a raiz de um inteiro que no quadrado perfeito sempre ser uma dzima no peridica.

2 = 1,414213562...

3 = 1,732050807...

5 = 2,236067977...

= 3,141592658...

REAIS o conjunto formado pela reunio de todos os conjuntos racionais e irracionais. Dessa forma, temos:

R = Q I

MATEMTICA 7

PEDRO EVARISTO

EXERCCIOS 01. (CESGRANRIO) Numa gaveta h 30 meias pretas e 20 brancas, qual o nmero mnimo de meias que uma pessoa deve retirar, no escuro, para ter certeza de formar um par da mesma cor? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 02. (CESGRANRIO) Numa gaveta h 30 meias pretas e 20 brancas, qual o nmero mnimo de meias que uma pessoa deve retirar, no escuro, para ter certeza de formar um par de meias pretas? a) 20 b) 21 c) 22 d) 31 e) 32 03. (CESGRANRIO) Numa gaveta h 30 meias pretas e 20 brancas, qual o nmero mnimo de meias que uma pessoa deve retirar, no escuro, para ter certeza de formar um par de meias brancas? a) 20 b) 21 c) 22 d) 31 e) 32 04. (CESGRANRIO) Numa gaveta h 30 meias pretas e 20 brancas, qual o nmero mnimo de meias que uma pessoa deve retirar, no escuro, para ter certeza de ter duas meias diferentes? a) 20 b) 21 c) 22 d) 31 e) 32

05. Lucas tem em sua cmoda 20 meias pretas, 16 brancas, 10 azuis, 8 vermelhas e 4 marrons. As meias esto todas misturadas. Lucas pega em algumas s escuras, sem lhes ver a cor. Quantas meias deve pegar para ter a certeza de conseguir, pelo menos um par da mesma cor? a) 3 b) 6 c) 17 d) 21 e) 55

ANOTAES:

MATEMTICA 8

PEDRO EVARISTO

06. Um caramujo resolve subir um muro de 12 metros de altura da seguinte maneira: durante o dia ele sobe 3 metros e durante a noite desce 2 metros. Sabendo-se que iniciou a subida da base, ao amanhecer do 1 dia, quantos dias gastar o caramujo para chegar ao topo? a) 12 dias b) 10 dias c) 09 dias d) 09 dias e meio e) 11 dias 07. Era um verme to pequeno que quase sumia, comeando do cho, no tronco subia. E usando de toda energia, noite 4 metros para cima fazia, mas de dia 2 metros descia. Aps 12 noites, a subida teve fim. Diga baixinho, s pra mim, qual era a altura da rvore do jardim? a) 48m b) 24m c) 22m d) 26m e) 25m

08. Uma grande lagoa apresenta uma mancha de leo em seu interior. Sabendo-se que a mancha dobra diariamente de tamanho e que leva 100 dias para cobrir toda a lagoa, quantos dias gasta, a mancha, para cobrir uma rea correspondente metade da lagoa? a) 50 b) 49 c) 98 d) 99 e) 60

09. Quantos algarismos um datilgrafo digita para numerar cada uma das 250 pginas de um livro? a) 151 b) 250 c) 636 d) 642 e) 750 10. Um estudante terminou um trabalho que tinha n pginas. Para numerar todas essas pginas, iniciando com a pgina 1, ele escreveu 270 algarismos. Ento determine o valor de n. a) 108 b) 126 c) 158 d) 194 11. Um estudante de direito que gostava muito de matemtica percebeu que para numerar todas as pginas de seu volumoso livro a partir do nmero 1, seriam necessrios 4893 dgitos. Determine quantas pginas tm o livro. a) 1500 b) 1850 c) 2520 d) 2889

ANOTAES:

MATEMTICA 9

PEDRO EVARISTO

12. Em um livro com 380 pginas, quantas vezes em sua numerao aparece o dgito 2? a) 178 b) 138 c) 78 d) 68

13. Em um livro com 380 pginas, quantas vezes em sua numerao aparece o dgito 5? a) 178 b) 138 c) 78 d) 68

14. Em um livro com 380 pginas, quantas vezes em sua numerao aparece o dgito 9? a) 178 b) 138 c) 78 d) 68

15. Em um livro com 1500 pginas, quantas vezes em sua numerao aparece o dgito 3? a) 200 b) 300 c) 400 d) 500 16. Em um livro com 440 pginas, quantas vezes em sua numerao aparece o dgito 4? a) 126 b) 128 c) 130 d) 132

17. Nair tem em seu cofre apenas moedas de 1 centavo, 5 centavos, 10 centavos, 25 centavos e 50 centavos, todas em quantidades iguais, totalizando R$15,47. Nessas condies, qual importncia que ela tem em moedas de 25 centavos? a) 5,75 b) 5,25 c) 4,75 d) 4,25

18. No tempo em que os animais falavam, um gavio sobrevoando um bando de pombinhas, cumprimentou-as: - Bom dia, minhas cem pombinhas! E uma das pombinhas respondeu: - Cem pombinhas no somos ns, mas com outro tanto de ns, mais a metade de ns, mais a quarta parte de ns, mais vs, senhor gavio, cem pombinhas seramos ns. Quantas pombinhas havia no bando? a) 28 b) 32 c) 36 d) 40

ANOTAES:

MATEMTICA 10

PEDRO EVARISTO

19. Uma pessoa tira R$100 em um caixa eletrnico, que dispe apenas de cdulas de 10, 20 e 50 reais. De quantas maneiras diferentes ele poder fazer esse saque? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 20. Uma pessoa quer trocar duas clulas de 100 reais por cdulas de 5, 10 e 50 reais, recebendo cdulas de todos esses valores. Nessas condies, qual nmero mnimo de cdulas que ela poder receber? a) 4 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15

GABARITO

01. B 02. C 03. E 04. D 05. B 06. D 07. D 08. D 09. D 10. B 11. A 12. A 13. C 14. D 15. D 16. A 17. D 18. C 19. C 20. B

ANOTAES:

MATEMTICA 11

PEDRO EVARISTO

CAPTULO 02

UNIDADES DE MEDIDAS

INTRODUO O mundo como conhecemos certamente no existiria sem que o homem tivesse inventado uma maneira de medir, pois isso o ajudou a contabilizar, mensurar, comparar, construir e at mesmo guardar

O SISTEMA MTRICO DECIMAL parte integrante do Sistema de Medidas. adotado no Brasil tendo como unidade fundamental de medida o metro. Apenas trs das 203 naes no adotaram oficialmente esse sistema como seu sistema principal ou nico de medio: Mianmar, Libria e Estados Unidos. O Sistema de Medidas um conjunto de medidas usado em quase todo o mundo, visando padronizar as formas de medio. Deste os tempos passados os povos criavam seu mtodo prprio de unidades de medidas. Cada um, desta forma, tinha seus prprios mtodos de medio. Com o comrcio crescente e em expanso na poca, ficava cada vez mais complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de informaes entre os povos era confusa. Assim foi necessrio que se adotasse um sistema padro de medidas em suas respectivas grandezas. Ento no ano de 1795, um grupo de representantes de diversos pases reuniu-se para discutir a forma de adotar um sistema de medidas nico que facilitasse a troca de informaes entre os povos. Aps isso foi desenvolvido o sistema mtrico decimal.

AS PRIMEIRAS MEDIES

No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos que permitem ao

homem moderno medir comprimentos. Porm nem sempre foi desta forma, h 3.000 anos, quando no se existia os recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de comprimentos? Esta necessidade de medir espaos to antiga quanto necessidade de contar. Quando o homem comeou a construir suas habitaes e desenvolver sua agricultura e outros meios de sobrevivncia e desenvolvimento econmico, que se fazia necessrio medir espaos, ento houve ai a necessidade de se medir espaos. Desta forma, para medir espaos o homem antigo, tinha como base seu prprio corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braa, o passo, o palmo. Algumas destas medidas ainda so usadas at hoje, como o caso da polegada. H algum tempo, o povo egpcio usava como padro para comprimento, o cbito, que a distncia do cotovelo a ponta do dedo mdio. Como as pessoas, claro, tem tamanhos diferentes, o cbito variava de uma pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergncia nos resultados finais de medidas. Ento, vendo este problema de variao de medidas, o povo egpcio resolveu adotar uma outra forma de medir o cbito, passaram ento ao invs de usar seu prprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim deu-se origem ento o cbito padro. Como era impossvel realizar medies em extenses grandes, o povo egpcio ento comeou a usar cordas, para medir grandes reas. Tinham ns que eram igualmente colocados em espaos iguais, e o intervalo entre estes ns, poderia medir x cbitos fixos. Desta forma de medio com cordas, originou-se o que chamamos hoje de trena.

MATEMTICA 12

PEDRO EVARISTO

SISTEMA IMPERIAL

Embora atualmente no sejam usadas com muita frequncia, principalmente no meio cientfico,

poderemos nos deparar com unidades expressas no Sistema Imperial. A Tabela a seguir fornece dados para converso entre os Sistemas Imperial e Internacional de Unidades.

Sistema Imperial Sistema Internacional

1 in (polegada) = 2,54 cm

1 ft (p) = 12 in (polegadas) = 30,48 cm

1 yd (jarda) = 3 ft (ps) = 36 in (polegadas) = 0,9144 m

1 mile (milha) = 1760 yd (jardas) = 1,609 km

`

O METRO

O metro (m) uma unidade de medida de comprimento padro do

sistema numrico decimal, sendo criado com base nas dimenses da Terra. O nome metro oriundo da palavra grega mtron e tem como significado o que mede.

Inicialmente a medida do metro foi definida como a dcima milionsima parte da distncia entre o Plo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa pela cidade francesa de Paris. O metro padro foi criado no de 1799 e hoje baseado no espao percorrido pela luz no vcuo Atualmente o metro definido como sendo "o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vcuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo".

MATEMTICA 13

PEDRO EVARISTO

SISTEMA MTRICO DECIMAL

O Sistema Mtrico Decimal tem o metro (m) como unidade fundamental do comprimento e dele foram criadas outras unidades menos ou maiores a partir de seus mltiplos e submltiplos. Os nomes prefixos destes mltiplos e submltiplos so: quilo (k), hecto (h), deca (da), deci (d), centi (c) e mili (m). Os mltiplos do metro so usados para realizar medio em grandes reas/distncias, enquanto os submltiplos para realizar medio em pequenas distncias. Outras unidades foram criadas de forma direta ou indireta a partir de relao com o metro. Por exemplo, para criar uma unidade especfica de volume foi definido que um cubo de 1dm de aresta, ou seja, com volume igual a 1dm

3, seria denominado de litro (L). Para definir uma unidade especfica para medidas de massa, foi usada

a gua como referncia, onde exatamente um litro de gua pura pesaria o que se conhece por quilograma. Dessa forma, outras unidades surgiram.

LINK: NOMES E FUNES DE ALGUMAS MEDIDAS

MATEMTICA 14

PEDRO EVARISTO

COMPRIMENTO

O metro uma das unidades bsicas do Sistema Internacional de Unidades. A partir dele so

denominadas outras unidades de medida apenas com o uso de prefixos, pois nem sempre ele prtico Se queremos medir grandes extenses ela muito pequena. Por outro lado, se queremos medir

extenses muito "pequenas", a unidade metro muito "grande", da a necessidade do uso de mltiplos e submltiplos do metro, que so chamados de unidades secundrias de comprimento.

OBSERVE A TABELA ABAIXO:

km hm dam m dm cm mm

quilmetro hectmetro decmetro metro decmetro centmetro milmetro

Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vrgula anda uma casa para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vrgula anda uma casa para direita. EXEMPLOS:

4,58 m = 45,8 dm

4,58 m = 458 cm

4,58 m = 4580 mm

LINK:

LINK: MLTIPLOS E SUBMTIPLOS DO METRO

10

x10 x10 x10 x10 x10 x10

10 10 10 10 10

MATEMTICA 15

PEDRO EVARISTO

LINK:

REA

As unidades de rea representam ao mesmo tempo duas dimenses e por isso tem um tratamento particular. rea um conceito matemtico que pode ser definida como quantidade de superfcie.

Existem vrias unidades de medida de rea, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m) e os seus mltiplos e sub-mltiplos. So tambm muito usadas as medidas agrrias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu mltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de rea so o acre e o alqueire.

OBSERVE A TABELA ABAIXO:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

quilmetro quadrado

hectmetro quadrado

decmetro quadrado

metro quadrado

decmetro quadrado

centmetro quadrado

milmetro quadrado

POR QUE A VRGULA DESLOCA DUAS CASAS?

Para unidades de rea ocorrem duas transformaes, nas duas dimenses: largura e comprimento. Por isso, 1 m

2 equivale a 100 dm

2.

LINK:

100

x100 x100 x100 x100 x100 x100

100 100 100 100 100

Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vrgula anda duas casas para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vrgula desloca duas casas para direita. EXEMPLOS:

4,58 m2 = 458 dm

2

4,58 m2 = 45800 cm

2

4,58 m2 = 4580000 mm

2

LINK:

SABE QUANTO MEDE UM QUARTEIRO PADRO?

O quarteiro padro um quadrado de

100m de lado.

QUARTEIRO:

100m x 100m 10000m

2

1hm x 1hm 1hm

2

1ha (hectare) 100a (ares)

MATEMTICA 16

PEDRO EVARISTO

VOLUME

O volume de um corpo a quantidade de espao ocupada por esse corpo. Volume tem unidades de tamanho cbicas (por exemplo, cm, m, in, etc.).

Sua unidade no Sistema internacional de unidades o metro cbico (m). A seguinte tabela mostra a equivalncia entre volume e capacidade. Contudo, no considerado uma unidade fundamental do SI, pois pode ser calculado atravs dos comprimentos. A unidade mais comum utilizada o litro.

OBSERVE A TABELA ABAIXO:

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

quilmetro cbico

hectmetro cbico

decmetro cbico

metro cbico

decmetro cbico

centmetro cbico

milmetro cbico

1000

x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000

1000 1000 1000 1000 1000

POR QUE A VRGULA DESLOCA TRS CASAS?

Para unidades de volume ocorrem trs transformaes, nas trs dimenses: largura, comprimento e altura.

Por isso, 1 m3 equivale a 1000 dm

3.

LINK:

Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vrgula anda trs casas para esquerda e para cada unidade que mudamos para direita, a vrgula desloca trs casas para direita. EXEMPLOS:

4,58 m3 = 4580 dm

3

4,58 m3 = 4580000 cm

3

4,58 m3 = 4580000000 mm

3

LINK:

LITRO

O litro uma unidade de medida de volume ou capacidade que equivale a um cubo de 1 dm de aresta.

1 L = 1 dm3

1 kL (m3) = 1000 L (dm

3)

1 L (dm3) = 1000 mL (cm

3)

LINK:

MATEMTICA 17

PEDRO EVARISTO

PREFIXOS

As abreviaes das unidades derivadas do metro esto expressas na Tabela 1, bem como a medida

equivalente:

Nome Smbolo Fator de multiplicao da unidade

yotta Y 1024

= 1 000 000 000 000 000 000 000 000

zetta Z 1021

= 1 000 000 000 000 000 000 000

exa E 1018

= 1 000 000 000 000 000 000

peta P 1015

= 1 000 000 000 000 000

tera T 1012

= 1 000 000 000 000

giga G 109 = 1 000 000 000

mega M 106 = 1 000 000

quilo k 10 = 1 000

hecto h 10 = 100

deca da 10

deci d 10-1

= 0,1

centi c 10-2

= 0,01

mili m 10-3

= 0,001

micro 10-6

= 0,000 001

nano n 10-9

= 0,000 000 001

pico p 10-12

= 0,000 000 000 001

femto f 10-15

= 0,000 000 000 000 001

atto a 10-18

= 0,000 000 000 000 000 001

zepto z 10-21

= 0,000 000 000 000 000 000 001

yocto y 10-24

= 0,000 000 000 000 000 000 000 001

DENSIDADE

A densidade de um corpo pode ser dita como o quociente entre a massa e o volume desse corpo. Dessa forma, podemos dizer que a densidade mede o grau de concentrao de massa em determinado volume.

A gua referencial, sua densidade presso normal e temperatura de 25 C, de 1,00 g/cm.

DENSIDADE DA GUA

1 g/cm3 (g/mL) = 1 kg/dm

3 (kg/L) = 1 t/m

3 (1000 kg/m

3)

LINK:

MATEMTICA 18

PEDRO EVARISTO

UNIDADES DE BASE

As unidades de base do SI so sete, consideradas independentes do ponto de vista dimensional, definidas

para as grandezas e simbolizadas de acordo com o seguinte quadro:

GRANDEZA UNIDADE SI SMBOLO

Comprimento metro m

Massa quilograma kg

Tempo segundo s

Intensidade de corrente elctrica ampere A

Temperatura termodinmica kelvin K

Quantidade de matria Mole mol

Intensidade luminosa candela cd

UNIDADES DERIVADAS

So formadas pela combinao de unidades de base, unidades suplementares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relaes algbricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os smbolos para as unidades derivadas so obtidos por meio dos sinais matemticos de multiplicao e diviso e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadas tm nomes e smbolos especiais.

ALGUMAS UNIDADES SI DERIVADAS SIMPLES EM TERMOS DAS UNIDADES DE BASE

Grandeza Unidade Smbolo

rea metro quadrado m2

volume metro cbico m3

velocidade metro por segundo m/s

acelerao metro por segundo quadrado m/s2

nmero de onda metro recproco m-1

densidade quilograma por metro cbico kg/m3

UNIDADES DE USO PERMITIDO COM AS DO SISTEMA INTERNACIONAL

Grandeza Unidade Smbolo Converso

tempo minuto hora dia

mim h d

1 min = 60s 1h = 60 min = 3600s 1d = 24h = 86400 s

volume litro(a) l, L 1 L = 1 dm3 = 10

-3 m

3

massa tonelada(b) t 1 t = 103

kg

MATEMTICA 19

PEDRO EVARISTO

TEMPO

Este um item que muito pedido em grande parte de concursos que exigem matemtica, e justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem comprometido seus resultados. POR QUE DIVIDIRAM A HORA E

O MINUTO EM 60 PARTES?

O nmero 60 interessante porque fcil de fracionar, uma vez que divisvel por 2, 3, 4, 5 e 6. Observe:

LINK:

1/2 hora (30 min)

1/3 hora (20 min)

1/4 hora (15 min)

1/5 hora (12 min)

1/6 hora (10 min)

MATEMTICA 20

PEDRO EVARISTO

RESOLVIDOS

01. Determine a equivalncia dos tempos a seguir. a) 47/2 de hora

h2

47

2

1

2

46 = 23h 30min

b) 47/3 de hora

h3

47

3

2

3

45 = 15h 40min

c) 47/4 de hora

h4

47

4

3

4

44 = 11h 45min

d) 47/5 de hora

h5

47

5

2

5

45 = 9h 24min

e) 47/6 de hora

h6

47

6

5

6

42 = 7h 50min

f) 47/10 de hora

h10

47

10

7

10

40 = 4h 42min

g) 21/5 de hora

h5

21

5

1

5

02 = 4h 12min

h) 63/10 de hora

h10

63

10

3

10

60 = 6h 18min

i) 16/3 de minuto

min3

16

3

1

3

15 = 5min 20s

j) 35/4 de minuto

min4

35 min

4

3

4

32

= 8min 45s

f) 35/8 de um dia

dia8

35

8

3

8

32 = 4d 9h

g) 3/10 do dia

dia10

3 = h

5

36

5

1

5

35 = 7h 12min

x 60

x 60

x 60

X24

x 60

X60 X24

x 60

x 60

x 60

x 60

x 60

x 60

ANOTAES:

MATEMTICA 21

PEDRO EVARISTO

h) 17/36 do dia

dia36

17 = h

3

34

3

1

3

33 = 11h 20min

i) 5,85 horas

0,85h = 51min 5,85h = 5h 51min

j) 8,43 horas

0,43h = 25,8min 0,8min = 48s

8,43h = 8h 25min 48s k) 14,76 horas

0,76h = 45,6min 0,6min = 36s

14,76h = 14h 45min 36s

02. Qual a diferena de tempo entre 24h e 19h14min20s?

24h 19h 14min 20s

23h 59min 60s 19h 14min 20s 4h 45min 40s

X60 X24

X60

X60 X60

X60 X60

23h60min

23h59min60s

ANOTAES:

MATEMTICA 22

PEDRO EVARISTO

EXERCCIOS 01. Qual a rea de um terreno retangular que mede 0,3 km de largura por 500 m de comprimento? a) 0,15 ha b) 1,5 ha c) 15 ha d) 150 ha e) 1500 ha 02. Podemos afirma que 0,3 semana corresponde a: a) 2 dias e 1 hora; b) 2 dias, 2 horas e 4 minutos; c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos; d) 2 dias e 12 horas; e) 3 dias. 03. (FCC) Durante todo o ms de maro, o relgio de um tcnico estava adiantando 5 segundos por hora. Se ele s foi acertado s 7h do dia 2 de maro, ento s 7h do dia 5 de maro ele marcava a) 7h05min b) 7h06min c) 7h15min d) 7h30min e) 6h54min 04. Na ltima sexta-feira, cheguei ao trabalho s 8h20min da manh, trabalhei durante 21/5 de hora, sa para o almoo e retornei 32/15 de hora depois, trabalhei por mais 23/6 de hora e finalmente acabei meu expediente. A que horas terminei o expediente? a) 18h30min b) 17h30min c) 19h20min d) 16h50min 05. Considerando que um dia equivale a 24 horas, 1,8 dia equivale a: a) 1 dia e 8 horas; b) 1 dia e 18 horas; c) 1 dia e 19 horas; d) 1 dia, 19 horas e 2 minutos; e) 1 dia, 19 horas e 12 minutos.

06. Quantas cermicas quadradas, medindo 20 cm de lado, so necessrias para revestir o piso de uma sala de aula retangular, medindo 8 m de comprimento por 6 m de largura? a) 600 b) 800 c) 1000 d) 1200

ANOTAES:

MATEMTICA 23

PEDRO EVARISTO

07. (FCC) Uma mquina, operando ininterruptamente por 2 horas dirias, levou 5 dias para tirar um certo nmero de cpias de um texto. Pretende-se que essa mesma mquina, no mesmo ritmo, tire a mesma quantidade de cpias de tal texto em 3 dias. Para que isso seja possvel, ela dever operar ininterruptamente por um perodo dirio de a) 3 horas. b) 3 horas e 10 minutos. c) 3 horas e 15 minutos. d) 3 horas e 20 minutos. e) 3 horas e 45 minutos.

08. (FCC) Certo dia, um tcnico judicirio trabalhou ininterruptamente por 2 horas e 50 minutos na digitao de um texto. Se ele concluiu essa tarefa quando eram decorridos 11/16 do dia, ento ele iniciou a digitao do texto s a) 13h40min b) 13h20min c) 13h d) 12h20min e) 12h10min

09. Uma torneira despeja 180.000 cm3 de gua em 9

minutos. Quantos litros sero despejados em 2 horas e um quarto? a) 2.345 b) 1.890 c) 2.360 d) 2.700

10. Um gerador alugado ao preo de R$ 3,20 por minuto de operao. Se ele funcionar das 21h 48min at s 23h 16min, o preo do aluguel, em reais, ser de: a) 81,60 b) 89,60 c) 128,00 d) 281,60

11. (CESGRANRIO) Seu Jos produziu 10 litros de licor de cupuau e vai encher 12 garrafas de 750 mL para vender na feira. No havendo desperdcio, quantos litros de licor sobraro depois que ele encher todas as garrafas? a) 1,00 b) 1,25 c) 1,50 d) 1,75 e) 2,00

12. (CESGRANRIO) Um terreno de 1 km2 ser

dividido em 5 lotes, todos com a mesma rea. A rea de cada lote, em m

2, ser de:

a) 1 000 b) 2 000 c) 20 000 d) 100 000 e) 200 000

ANOTAES:

MATEMTICA 24

PEDRO EVARISTO

13. Pedro saiu de Fortaleza na segunda-feira s 10h da manh e chegou Goinia 35/8 de dia mais tarde. Qual dia da semana e horrio da chegada? a) quinta-feira s 10h da manh b) quinta-feira s 7h da noite c) sexta-feira s 7h da noite d) sexta-feira s 9h da noite

14. (CESGRANRIO) No modelo abaixo, os pontos A, B, C e D pertencem mesma reta. O ponto A dista 65,8 mm do ponto D; o ponto B dista 41,9 mm do ponto D, e o ponto C est a 48,7 mm do ponto A.

Qual , em mm, a distncia entre os pontos B e C? a) 17,1 b) 23,1 c) 23,5 d) 23,9 e) 24,8

15. (CESGRANRIO) Jos funcionrio de uma imobiliria e gosta muito de Matemtica. Para fazer uma brincadeira com um colega, resolveu escrever as reas de cinco apartamentos que esto venda em unidades de medida diferentes, como mostra a tabela abaixo.

Em seguida, pediu ao colega que organizasse as reas dos cinco apartamentos em ordem crescente. O colega de Jos respondeu corretamente ao desafio proposto apresentando a ordem a) I < II < III < IV < V b) II < I < IV < V < III c) IV < V < III < I < II d) V < II < I < III < IV e) V < IV < III < II < I

16. Observe as regras que determinam se determinado ano , ou no, ano bissexto.

1 REGRA: Se o ano divisvel por 4 bissexto.

2 REGRA: Se divisvel por 100 no bissexto.

3 REGRA: Se for divisvel por 400 bissexto. Sabendo que a regra n

o 2 prevalece sobre a regra n

o 1

e que a regra no

3 prevalece sobre a regra no 2,

determine quantos dos anos a seguir so bissextos.

a) 4 b) 5 c) 6 c) 8 d) 10

GABARITO 01. C 02.C 03. B 04. A 05. E 06. D 07. D 08. A 09. D 10. D 11. A 12. E 13. C 14. E 15. C 16. C

ANOTAES:

A B C D

1380 1500 1550 1600 1724 1918 1945 2000 2032 2100 2146 2400

MATEMTICA 25

PEDRO EVARISTO

CAPTULO 03

RAZO

Podemos dizer que a razo entre duas grandezas o quociente estabelecido entre elas, ou melhor, o

resultado da diviso entre as grandezas.

Assim, dados dois nmeros reais A e B, com B 0, calcula-se a razo entre A e B atravs do quociente da

diviso de A por B.

Para indicarmos a razo entre A e B usamos: B

A ou A : B (l-se A est para B).

Na razo de A por B, o nmero A chamado de antecedente e o nmero B chamado de conseqente.

RAZES INVERSAS

Duas razes so inversas quando o antecedente de uma igual ao conseqente da outra e vice-versa

a

be

b

a. Note que, o produto de duas razes inversas sempre igual a 1.

RAZES ESPECIAIS

CONCORRNCIA DE UM CONCURSO

a razo entre o nmero de candidatos inscritos no concurso e o nmero de vagas oferecidas por ele.

VELOCIDADE MDIA a razo entre a distncia percorrida por um mvel e o tempo gasto para percorr-la.

DENSIDADE DE UM CORPO

a razo entre a massa do corpo e o volume por ele ocupado.

DENSIDADE DEMOGRFICA DE UMA REGIO

a razo entre o nmero de habitantes de uma regio e a rea dessa regio.

1. a

b

b

a

Concorrncia = oferecidasvagasden

inscritoscandden

.

Velocidade mdia = t

SVm

gasto tempo

apercorriad distncia

Densidade = V

md

volume

massa

Densidade demogrfica = regio dessa

regio uma de habitantes de

rea

no

Razo entre B e A = A

B Razo entre A e B =

B

A

MATEMTICA 26

PEDRO EVARISTO

ESCALA NUMRICA a razo entre um comprimento no desenho e o seu correspondente comprimento no tamanho real,

medidos na mesma unidade.

Tamanhos de escala

Escala grande: aquela que possui um pequeno denominador, ou seja, aquela destinada a pequenos comprimentos reais (reas urbanas). rica em detalhes. usada em cartas ou plantas.

Escala pequena: aquela que possui um grande denominador, ou seja, aquela destinada a grandes comprimentos reais (reas continentais). pobre em detalhes grficos. usada em mapas e globos.

OBS.: H ainda um outro tipo de escala, chamada escala grfica, que se apresenta sob a forma de um segmento de reta graduado. Nele, cada graduao representa 1cm de comprimento no desenho.

EXEMPLO:

A escala 1:2000 equivale dizer que m 20

cm 1

cm 2000

cm 1

EXEMPLO Numa prova com 50 questes, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Responda os itens seguir. a) Qual a razo entre o n de questes certas e erradas? b) Qual a razo entre o n de questes erradas sobre o total de questes da prova? c) Qual a razo entre o n de questes em branco sobre o n de questes certas?

SOLUO:

O importante dividir seguindo a ordem dada, logo

a) 2

7

10

35

ERRADAS

CERTAS= 7 : 2 (proporo de 7 certas para cada 2 questes erradas)

b) 5

1

50

10

TOTAL

ERRADAS= 1 : 5 (proporo de 1 errada para cada 5 questes da prova)

c) 7

1

35

5

CERTAS

BRANCO= 1 : 7 (proporo de 1 em branco para cada 5 questes certas)

VAZO (FLUXO)

A vazo de um lquido o volume desse fluido que passa por uma determinada seo de um conduto por uma unidade de tempo. Geralmente a unidade adotada litros por segundo (l/s), embora existam outras unidades.

tempo

VolumeVazo

Escala = real

desenho no

ocompriment

ocompriment

D

dE

MATEMTICA 27

PEDRO EVARISTO

SOMA DAS VAZES

Por exemplo, quando temos duas ou mais torneiras enchendo um mesmo balde, devemos somar as vazes dessas torneiras para encontrar a vazo equivalente, ou seja,

BA VVVazo

O volume do recipiente pode ser representado por uma unidade qualquer. Podemos ento dizer que a vazo da torneira A de 1 balde em tA minutos, da torneira B de 1 balde a cada tB minutos e a vazo equivalente de 1 balde em tE minutos, ou seja

BAe ttt

111

O conceito de fluxo pode ser aplicado a outras situaes diferentes dos lquidos, dessa forma podemos ter fluxo de carros, de pessoas, de dinheiro, de trabalho, etc. EXEMPLO Uma torneira enche um tanque em 3 horas, uma outra em 4 horas e uma terceira pode esvazilo em 2 horas. Se forem abertas as trs torneiras ao mesmo tempo, em quantas horas o tanque ficar completamente cheio? SOLUO:

Observe que quanto mais torneiras, menor o tempo, portanto o tempo equivalente ser dado por

ne tttt

1...

111

21

Nesse caso duas torneiras enchem e uma das torneiras esvazia, logo

2

1

3

1

4

11

et

12

6431

et

12

11

et te = 12 horas

A B

MATEMTICA 28

PEDRO EVARISTO

PROPORO

As grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. Um erro comum achar

simplesmente que quando as duas grandezas crescem so diretamente proporcionais e quando uma aumenta e

outra diminui so ditas inversamente. Na verdade, preciso que haja uma proporo.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas x e y so diretamente proporcionais quando a razo entre elas constante. Alm disso, quando o valor absoluto de x cresce, o valor absoluto de y cresce na mesma proporo.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas x e y so inversamente proporcionais quando o produto entre elas constante. Pode-se

afirmar tambm que quando o valor absoluto de x cresce, o valor absoluto de y decresce em proporo inversa.

SRIE DE RAZES IGUAIS

Uma srie de razes iguais uma igualdade de duas ou mais razes. Tambm, pode ser chamada de proporo mltipla. Em smbolos, temos:

kb

a

b

a

b

a

b

a

n

n ...3

3

2

2

1

1

A principal propriedade a ser utilizada :

n

n

n

n

bbbb

aaaa

b

a

b

a

b

a

b

a

...

......

321

321

3

3

2

2

1

1 = k

DIRETAMENTE PROPORCIONAL

Os nmeros de uma sucesso numrica A = (x, y, z) so ditos diretamente proporcionais aos nmeros da

sucesso numrica B = (a, b, c), quando as razes de cada termo de A pelo seu correspondente em B forem

iguais , isto :

kc

z

b

y

a

x

LINK:

MATEMTICA 29

PEDRO EVARISTO

Este valor k chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade, que pode

corresponder a razo entre a soma dos termos de A em relao a soma dos elementos de B.

EXEMPLO

Verificar se os nmeros da sucesso (20, 16, 12) so ou no diretamente proporcionais aos nmeros da sucesso

(5, 4, 3). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade k.

SOLUO:

Note que:

.43

124

4

16;4

5

20 e

Ento as sucesses so diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade k = 4.

EXEMPLO Encontrar x e y sabendo que os nmeros da sucesso (20, x, y) so diretamente proporcionais aos nmeros da

sucesso (4, 2, 1)

SOLUO:

Pela definio de nmeros diretamente proporcionais, temos:

5

10

125

124

20

y

xyxyx

EXEMPLO (FCC) Certo dia, em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judicirio observou que o nmero de pessoas atendidas no perodo da tarde excedera o das atendidas pela manh em 30 unidades. Se a razo entre a quantidade de pessoas atendidas no perodo da manh e a quantidade de pessoas atendida no perodo da tarde era 3/5, ento correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas a) 130 pessoas. b) 48 pessoas pela manh. c) 78 pessoas tarde. d) 46 pessoas pela manh. e) 75 pessoas tarde.

SOLUO:

Seja T nmero de pessoas atendidas no perodo da tarde; M nmero de pessoas atendidas no perodo da manh; Do enunciado, temos:

5

3

T

M

30MT

5

T

3

M

30MT

Ento

35

MT

3

M

5

T

logo

2

30

5

T T = 75 e

2

30

3

M T = 45

cba

zyx

c

z

b

y

a

x

ba

yx

ba

yx

b

y

a

x

52

52

MATEMTICA 30

PEDRO EVARISTO

INVERSAMENTE PROPORCIONAL

Os nmeros de uma sucesso numrica A = (x, y, z) so inversamente proporcionais aos nmeros da

sucesso numrica B = (a, b, c), quando os produtos de cada termo da sucesso A pelo seu correspondente em

B forem iguais, isto :

Este valor k tambm chamado de fator ou coeficiente de proporcionalidade.

Na situao exposta, podemos dizer tambm que os elementos da sucesso A so diretamente

proporcionais aos inversos dos elementos da sucesso B, assim como a soma dos elementos de A so

proporcionais a soma dos inversos de B.

Outra tcnica interessante, para facilitar o trabalho, consiste em dividir todos os produtos pelo mmc(a,b,c)

da sucesso numrica B ou simplesmente pelo produto desses nmeros abc, com o intuito de transformar uma

proporo inversa em direta.

EXEMPLO1

Verificar se os nmeros da sucesso (3, 6, 8) so ou no inversamente proporcionais aos nmeros da sucesso

(24, 12, 9). Em caso afirmativo, determine o coeficiente de proporcionalidade k.

SOLUO:

Note que:

3 . 24 = 72; 6 . 12 = 72; 8 . 9 = 72.

Ento as sucesses so inversamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade 72.

EXEMPLO

Encontrar x, y e z, sabendo que os nmeros das sucesses (x, 3, z) e (9, y, 36) so inversamente proporcionais e

tm coeficiente de proporcionalidade k = 36.

SOLUO:

Pela definio, temos:

.13636.

.1236.3

.4369.

zz

yy

xx

EXEMPLO

Repartir o nmero 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4.

SOLUO:

Sejam x e y as partes procuradas:

8

102

9

18

454545

18

y

xyxyxyx

yx

c/1b/1a/1

zyx

c/1

z

b/1

y

a/1

x

x.a = y.b = z.c = k

abc

cz

abc

by

abc

ax ...

ab

z

ac

y

bc

x

MATEMTICA 31

PEDRO EVARISTO

03. (FCC) No quadro abaixo, tm-se as idades e os tempos de servio de dois tcnicos judicirios do TRF de uma certa circunscrio judiciria.

IDADE TEMPO DE SERVIO

JOO 36 ANOS 8 ANOS

MARIA 30 ANOS 12 ANOS

Esses funcionrios foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razo direta de suas idades e inversa de seus tempos de servio no Tribunal. Se Joo digitou 27 laudas, determine o total de laudas do processo. SOLUO:

Sejam Laudas de Joo: x Laudas de Maria: y Ento

8

36

x =

12

30

y=

12

30

8

36

yx

Como x = 27, temos

8

36

27 =

12

30

8

36

yx

ou seja

36

8.27 =

2

5

2

9

yx

6 = 7

yx

ento x+y = 42

DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAL

Grandeza diretamente proporcional a dois valores ao mesmo tempo:

Grandeza diretamente proporcional a um valor e inversamente a outro:

Grandeza diretamente proporcional a dois valores e inversamente a um terceiro valor:

nmba

yx

nm

y

ba

x

....

nmba

yx

nm

y

ba

x

////

p

nm

c

ba

yx

p

nm

y

c

ba

x

....

MATEMTICA 32

PEDRO EVARISTO

(FCC) Valdete deu R$ 32,00 a seus dois filhos, apenas em moedas de 25 e 50 centavos. Eles dividiram a quantia recebida entre si, na razo direta de suas respectivas idades: 7 e 9 anos. Se o mais jovem ficou com todas as moedas de 25 centavos, o nmero de moedas de 50 centavos era a) 28 b) 32 c) 36 d) 48 e) 56

SOLUO:

Do enunciado temos:

97

BA

9

B

7

A

Sabendo que A+B = 32, ento

16

32

9

B B = 18 reais

Como o mais jovem ficou com todas as moedas de 25 centavos, o mais velho ficou com todas as de 50 centavos, portanto o nmero de moedas dele ser: nB = 18/0,50 = 36 moedas

REGRA DE SOCIEDADE O fato que: para ser justo em uma sociedade os lucros e os prejuzos devem ser distribudos entre os

vrios scios proporcionalmente aos capitais empregados (C) e ao tempo (T) durante o qual estiveram empregados na constituio dessa sociedade.

uma aplicao prtica da diviso em partes diretamente proporcionais, portanto:

332211332211 ...... TCTCTC

zyx

TC

z

TC

y

TC

x

Onde (x + y + z) total do lucro a ser dividido.

EXEMPLO:

Trs scios lucraram juntamente R$20.200,00. Para tanto, o primeiro entrou com um capital de R$7.000,00

durante 1 ano, o segundo com R$8.000,00 durante 8 meses e o terceiro com R$9.000,00 durante 1 semestre.

Quanto lucrou cada um?

SOLUO:

Sejam: Lucro Investimento Tempo 1 Scio x R$ 7 mil 12 meses 2 Scio y R$ 8 mil 8 meses 1 Scio x R$ 9 mil 6 meses

Como

332211332211 ...... TCTCTC

zyx

TC

z

TC

y

TC

x

Ento

6.98.812.7

20200

6.9

z

8.8

y

12.7

x

546484

20200

54

z

64

y

84

x

Ou seja

202

20200

84

x x = 8400

202

20200

64

y y = 6400

202

20200

54

z y = 5400

MATEMTICA 33

PEDRO EVARISTO

PROPORO

Dados quatro nmeros reais a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que eles formam, nesta ordem,

uma proporo, quando a razo entre o primeiro e o segundo (a:b) igual razo entre o terceiro e o quarto (c:d). Representamos isto por:

d

c

b

a ou a : b = c : d

E lemos: a est para b assim como c est para d.

Na proporo d

c

b

a , destacamos que os termos a e d so chamados extremos e os termos b e c so

chamados meios.

a : b = c : d ou d

c

b

a

PROPRIEDADES DE UMA PROPORO

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL Em toda proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

cbdad

c

b

a..

SOMA DOS TERMOS Em toda proporo, temos:

d

dc

b

ba

ou

c

dc

a

ba

d

c

b

a

DIFERENA DOS TERMOS Em toda proporo, temos:

d

dc

b

ba

ou

c

dc

a

ba

d

c

b

a

SOMA DOS ANTECEDENTES E CONSEQENTES Em toda proporo, a soma dos antecedentes est para a soma dos conseqentes, assim como qualquer

antecedente est para seu conseqente.

db

ca

d

c

b

a

MEIOS

EXTREMOS

MEIOS

EXTREMOS

MATEMTICA 34

PEDRO EVARISTO

QUARTA PROPORCIONAL

Dados trs nmeros reais, a, b e c, no-nulos, chama-se de quarta proporcional desses nmeros dados o nmero x tal que:

x

c

b

a

Note que, a quarta proporcional forma uma proporo com os nmeros a, b e c, nessa ordem.

TERCEIRA PROPORCIONAL

Dados dois nmeros reais a e b, no-nulos, chama-se de terceira proporcional desses nmeros o nmero x tal que:

x

b

b

a

REGRA DE TRS SIMPLES

uma regra prtica que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Nos problemas, haver um desses quatro valores que ser desconhecido e dever ser calculado com base nos trs valores dados. Da o nome regra de trs.

Dependendo das grandezas A e B, podemos ter:

Regra de trs direta A e B so grandezas diretamente proporcionais.

2

1

2

1

B

B

A

A

Regra de trs inversa A e B so grandezas inversamente proporcionais.

A1.B1 = A2.B2

EXEMPLO:

Se uma dzia de ovos custa R$1,40, ento quanto deve custar uma bandeja com 30 ovos?

SOLUO:

Faa uma tabela relacionando a quantidade de ovos ao preo, e por meio de setas verifique se estas grandezas

so diretamente ou inversamente proporcionais.

Quantidade de ovos Preo (R$)

12 1,40

30 xxx

As setas tm o mesmo sentido porque as grandezas so diretamente proporcionais, ou seja, quanto mais ovos

se quer comprar, mais dinheiro se tem que gastar. Logo:

50,312

40,1.3040,1

30

12 xx

x

Resposta: Uma bandeja com 30 ovos deve custar R$3,50.

MATEMTICA 35

PEDRO EVARISTO

REGRA DE TRS COMPOSTA

uma regra prtica utilizada na resoluo de problemas que envolvem

mais de duas grandezas proporcionais. importante entender que s

podemos comparar grandezas de duas em duas, sempre imaginando que as

demais grandezas esto fixas, como no exemplo ao lado.

A regra de trs composta realizada da seguinte maneira:

1 Passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente,

os valores de cada grandeza.

2 Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referncia.

3 Passo: Comparamos esta grandeza de referncia a cada uma das outras grandezas, isoladamente,

identificando se h proporcionalidade direta (seta de mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas).

4 Passo: Colocamos a razo da grandeza de referncia isolada no 1 membro e, no 2 membro, colocamos o

produto das razes das outras grandezas, lembrando que se h proporcionalidade inversa em relao a

uma grandeza, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e escrever a razo inversa no

produto.

EXEMPLO:

Dezoito operrios, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar um determinado servio.

Trabalhando 9 horas por dia, 12 operrios faro o mesmo servio em quantos dias?

1 SOLUO:

Montando a tabela e tomando a quantidade de dias como referncia, temos:

Operrios Horas por dia Dias

18 7 12

12 9 x

Logo:

7

9.

18

1212

x18.7 = 9.x x = 14 dias

Resposta: So necessrios 14 dias.

2 SOLUO:

Montando a tabela e tomando o no de operrios como referncia, temos:

Operrios Horas por dia Dias

18 7 12

12 9 x

Logo:

12.

7

9

12

18 x18.7 = 9.x x = 14 dias

Resposta: So necessrios 14 dias.

MATEMTICA 36

PEDRO EVARISTO

EXERCCIOS 01. Um balde de 5 litros pode ser cheio por uma

torneira A em 3 min ou em 6 min por uma torneira B.

Caso sejam ligadas as duas torneira

concomitantemente, em quanto tempo o balde estar

cheio?

a) 2 min b) 2 min e 30 seg c) 4 min e 30 seg d) 9 min

02. Antnio demora 6 horas para pintar uma parede,

enquanto seu auxiliar Baltazar demoraria mais tempo

para executar o mesmo servio. Sabendo que juntos

eles pintariam essa parede em 4 horas, determine em

quantas horas o auxiliar pintaria sozinho.

a) 7 b) 9 c) 12 d) 16 03. Sophia tenta encher sua piscina de plstico

usando duas mangueiras do jardim, sem perceber que

o plstico estava com um pequeno furo na parte

inferior e que poderia esvaziar completamente a

piscina em 60 min. Se no houvesse furo, uma das

mangueiras encheria toda a piscina em 10 min e a

outra mangueira, tambm sozinha e sem furo, enche a

piscina em 20 min. Dessa forma, mesmo com o furo,

em quanto tempo as duas mangueiras enchem

completamente a piscina?

a) 6 min e 40 seg b) 7 min e 10 seg c) 7 min e 30 seg d) 8 min e 20 seg

04. No Banco Dimdim ser dividido um prmio de R$2.400,00 entre os trs funcionrios que mais se destacaram no ltimo ano. A parte que caber a cada funcionrio diretamente proporcional ao tempo de servio prestado a empresa. Sabendo que Aurisvanderson tem 3 anos de empresa, Belarmino 4 anos e Cleosvaldo 5 anos, determine quanto coube ao funcionrio que ficou com a maior quantia. a) R$ 1.200,00

b) R$ 1.000,00

c) R$ 800,00

d) R$ 600,00

05. O dono de uma empresa resolveu distribuir uma

gratificao de R$2.100,00 entre seus dois gerentes,

de forma inversamente proporcional s faltas de cada

um num determinado ms. Quanto caber ao mais

assduo, se os gerentes faltaram 5 e 2 vezes?

a) 600 b) 900 c) 1200 d) 1500

ANOTAES:

MATEMTICA 37

PEDRO EVARISTO

06. (FCC) Curiosamente, dois tcnicos bancrios

observaram que, durante o expediente de certo dia os

nmeros de clientes que haviam atendido eram

inversamente proporcionais s suas respectivas

idades: 36 e 48 anos. Se um deles atendeu 4 clientes

a mais que o outro, ento o total de pessoas atendidas

pelo mais velho foi:

a) 20

b) 18

c) 16

d) 14

e) 12

07. Uma empresa ir dividir R$ 24.000,00 entre quatro

funcionrios de forma diretamente proporcional ao

tempo de empresa e inversamente proporcional ao

nmero de faltas. Determine o maior valor recebido

por um dos quatro, sabendo que Andr trabalha a 6

anos e faltou 3 vezes, Bruno trabalha a 2 anos e faltou

apenas uma vez, Clber trabalha a 12 anos e faltou 4

vezes e Daniel trabalha a 10 anos e faltou duas vezes.

a) R$ 2.000,00 b) R$ 4.000,00 d) R$ 6.000,00 d) R$ 10.000,00 e) R$ 12.000,00 08. O lucro de R$ 14.000,00 da lanchonete WR, ser

dividido entre seus dois scios. Wendel aplicou na

empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou

R$4.000,00 por 4 meses. Quanto, respectivamente,

coube a cada um deles?

a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00 b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00 c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00 d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00

09. (FCC) Um tcnico bancrio foi incumbido de

digitar as 48 pginas de um texto. Na tabela abaixo,

tm-se os tempos que ele leva, em mdia, para digitar

tais pginas.

NMERODE PGINAS

TEMPO (MINUTOS)

1 12 2 24 3 36 4 48

Nessas condies, mantida a regularidade mostrada

na tabela, aps 9 horas de digitao desse texto, o

esperado que:

a) ainda devam ser digitadas 3 pginas.

b) Todas as pginas tenham sido digitadas.

c) Ainda devam ser digitadas 9 pginas.

d) Ainda devam ser digitadas 8 pginas.

e) Ainda devam ser digitadas 5 pginas.

ANOTAES:

MATEMTICA 38

PEDRO EVARISTO

10. Desenvolvendo uma velocidade mdia de 18km

por hora, um pedestre correu durante 1h 20min. Se

tivesse desenvolvido a velocidade mdia de 15km por

hora, teria feito o mesmo percurso em quanto tempo?

a) 1h 16min

b) 1h 26min

c) 1h 36min

d) 1h 46min

11. Quinze teares trabalhando 6 horas por dia,

durante 20 dias, produzem 600m de pano. Quantos

teares so necessrios para fazer 1200m do mesmo

pano, em 30 dias, com 8 horas de trabalho por dia?

a) 15 b) 16 c) 18 d) 20 12. No Banco Dimdim, em dias normais, na agncia central, 10 caixas atendem 900 pessoas trabalhando 6 horas dirias. Em uma manh de segunda-feira, aps um feriado prolongado, dois caixas faltaram e o gerente quer uma previso de quantas pessoas podero ser atendidas nas 2 horas iniciais desse dia atpico, quando espera-se que o nvel de dificuldade do atendimento seja duas vezes maior. Qual a estimativa do nmero de pessoas atendidas nesse intervalo? a) 240 b) 150 c) 120 d) 90

13. Trs ngulos consecutivos somam 360 e so

proporcionais aos nmeros 11, 12 e 13. Determine o

maior dos 3 ngulos, em graus.

a) 130

b) 120

c) 110

d) 100

14. Certo ms, um pai resolve dividir uma mesada de

R$140 entre seus trs filhos, de forma inversamente

proporcional ao nmero de faltas que cada um deles

teve na escola no ms anterior. Alysson faltou apenas

uma vez, Beatriz faltou duas vezes e Carine faltou

quatro vezes. Quanto recebeu o mais ausente?

a) 20

b) 40 c) 60 d) 80

15. (FCC) Certa noite, dois tcnicos em segurana

vistoriaram as 130 salas do edifcio de uma Unidade

de um Tribunal, dividindo essa tarefa em partes

inversamente proporcionais s suas respectivas

idades: 31 e 34 anos. O nmero de salas vistoriadas

pelo mais jovem foi

a) 68 b) 66 c) 64 d) 62

ANOTAES:

MATEMTICA 39

PEDRO EVARISTO

16. (FCC) A razo entre as idades de dois tcnicos igual a 5/9. Se a soma dessas idades igual a 70 anos, quantos anos o mais jovem tem a menos do que o mais velho? a) 15 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25 17. Para remoo das vtimas da enchente de uma

cidade foram necessrios 480 homens trabalhando

durante 8 dias. Quantos homens seriam necessrios

para se fazer o mesmo trabalho em 6 dias?

a) 720 b) 640 c) 580 d) 520 18. Num estdio de futebol, 60.000 torcedores

acabaram de assistir a um jogo. Por cada uma das

seis sadas disponveis podem passar 1000 pessoas

por minuto. Calcule o tempo mnimo necessrio para

que todos os torcedores saiam do estdio (em

minutos).

a) 5

b) 10

c) 20

d) 25

19. Desejo ler um livro de 400 pginas. Nas primeiras

duas horas, consegui ler 25 pginas. Continuando

neste ritmo, terminarei de ler o restante do livro em:

a) 24 horas

b) 32 horas

c) 48 horas

d) 36 horas

e) 30 horas

20. (FCC) Em uma estrada, dois automveis percorreram a distncia entre dois pontos X e Y, ininterruptamente. Ambos saram de X, o primeiro s 10h e o segundo s 11h30min, chegando juntos em Y s 14h. Se a velocidade mdia do primeiro foi de 50 km/h, a velocidade mdia do segundo foi de a) 60 km/h b) 70 km/h c) 75 km/h d) 80 km/h 21. Beatriz tem 12 anos e sua irm, 18. Daqui a

quantos anos a razo entre a idade de Beatriz e a de

sua irm ser de 3 para 4?

a) 3 anos

b) 4 anos

c) 5 anos

d) 6 anos

ANOTAES:

MATEMTICA 40

PEDRO EVARISTO

22. (FUNRIO) As telas dos televisores costumam ser medidas em polegadas. Quando se diz que um televisor tem 29 polegadas significa que a diagonal do vdeo mede 29 polegadas, isto , aproximadamente 73,66 centmetros. Se a medida da diagonal do vdeo de um televisor mede 43,18 centmetros, podemos afirmar que seu nmero de polegadas : a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 20

23. (CONSULPLAN) Daniel um dos funcionrios de

uma Agncia dos Correios. Neste ms ele entrou de

frias e foi viajar com a famlia. A viagem foi feita de

carro, em 4 dias, viajando-se 9 horas por dia a uma

velocidade mdia de 75 km/h. Se Daniel tivesse

viajado a uma velocidade de 90km/h e andado 5h por

dia, teria gasto quantos dias nessa viagem?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 24. (FCC) Suponha que, pelo consumo de energia eltrica de uma mquina que, durante 30 dias funciona ininterruptamente 8 horas por dia, paga-se o total de R$ 288,00. Se essa mquina passar a funcionar 5 horas por dia, a despesa que ela acarretar em 6 dias de funcionamento ininterrupto ser de a) R$ 36,00. b) R$ 36,80. c) R$ 40,00. d) R$ 42,60. e) R$ 42,80. 25. Se 2000kg de rao so suficientes para alimentar

32 cavalos durante 42 dias, quantos dias duraro

1000kg de rao para 24 cavalos de uma outra raa

que o nvel de consumo dirio duas vezes maior?

a) 14

b) 28

c) 25

d) 30

26. Para construir uma ponte em 75 dias de 8 horas

dirias de trabalho, foram contratados 100 operrios.

Como se deseja terminar a obra em 40 dias de 10

horas dirias de trabalho, determine quantos operrios

a mais devem ser contratados.

a) 150

b) 125 c) 40 d) 50

ANOTAES:

MATEMTICA 41

PEDRO EVARISTO

27. Um estdio de futebol est completamente lotado.

Aps a partida se for aberto apenas o porto A, o

estdio se esvazia em 30 min. Abrindo apenas o

porto B, o estdio se esvazia em 60 min. Se forem

abertos os portes A e B ao mesmo tempo, em quanto

tempo o estdio estar completamente vazio?

a) 90 min b) 45 min c) 20 min d) 15 min 28. Uma torneira A, ligada sozinha, capaz de encher um tanque de 1000 litros em 20 minutos. Para encher esse tanque, liga-se somente a torneira A por 4 min e em seguida liga-se tambm a torneira B, enchendo o restante do tanque em apenas 6 min. Supondo constantes as vazes dessas duas torneiras, ento a torneira B, trabalhando sozinho, encheria esse tanque em: a) 20 min. b) 16 min. c) 12 min. d) 10 min. e) 8 min. 29. Em um determinado banco, o funcionrio Antnio, trabalhando sozinho, realiza uma tarefa em 10 dias. Dando incio ao trabalho e tendo trabalhado sozinho apenas 2 dias, no terceiro dia Antnio junta-se ao funcionrio Bernardo e em 3 dias de trabalho concluram a tarefa. Supondo constante o desempenho desenvolvido por esses funcionrios para realizarem seus trabalhos, tem-se que Bernardo, trabalhando sozinho, realizaria toda a tarefa em a) 10 dias. b) 8 dias. c) 6 dias. d) 5 dias. e) 4 dias. 30. O trajeto de 10 km percorrido por um carteiro formado por 2 trechos. Sabe-se que os comprimentos desses trechos, em metros, so nmeros diretamente proporcionais a 2 e 3. Nesse caso, a diferena, em metros, entre os comprimentos do maior trecho e do menor trecho igual a a) 600. b) 1400. c) 1200. d) 1000. e) 800.

GABARITO 01. A 02. C 03. C 04. B 05. D 06. E 07. D 08. B 09. A 10. C 11. A 12. C 13. A 14. A 15. A 16. C 17. B 18. B 19. E 20. D 21. D 22. D 23. C 24. A 25. A 26. D 27. C 28. C 29. C 30. D

ANOTAES:

MATEMTICA 42

PEDRO EVARISTO

CAPTULO 04

PORCENTAGEM

INTRODUO A expresso por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. Assim, quando voc l ou

escuta uma afirmao como "Grande liquidao: 20 por cento de desconto em todos os artigos", significa que voc ter 20 reais de desconto para cada 100 reais do preo do artigo que comprar.

Estabelecemos, ento, a razo 100

20 e podemos afirmar que:

Assim, 100

20 o mesmo que 20 por cento. A expresso por cento pode ser substituda pelo smbolo %. Dessa

forma, temos:

100

20 = 20 %

Veja os exemplos:

8 pessoas em um grupo de 10 correspondem a 10

8ou

100

80ou 80% do grupo.

Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale a 300

21ou

100

7ou 7% do total.

EXEMPLO: Se uma barra de chocolate dividida em 5 pedaos e uma pessoa come 3 deles, ela ter comido 3/5 do total, mas se tivesse dividido em 100 partes ela teria comido 60 partes, o que na verdade representa a mesma coisa. Veja a ilustrao.

FRAO x PORCENTAGEM

OBSERVAO:

Toda razo a/b na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem.

%60100

60

10

6

5

3

MATEMTICA 43

PEDRO EVARISTO

AUMENTOS E DESCONTOS AUMENTO DE 20%

Valor inicial x

Valor do aumento 20% de x

Valor aps o aumento 120% de x DESCONTO DE 20%

Valor inicial x

Valor do desconto 20% de x

Valor aps o desconto 80% de x

Para ganhar tempo (o que fundamental em concursos) lembre-se que se um capital x aumenta 20%, ele ir para 120% de x. Dessa forma no necessrio fazer o desenvolvimento:

x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x

Observe os aumentos e descontos a seguir:

LINK:

x +20%

120%x

x +50%

150%x

x +84%

184%x

x +136%

236%x

x 20%

80%x

x 50%

50%x

x 84%

16%x

x +100%

200%x

x +100%

2x = 200%x

x +200%

3x = 300%x

x +400%

5x = 500%x

x +800%

9x = 900%x R Reais I Irracionais Q Racionais Z Inteiros N Naturais

LINK:

MATEMTICA 44

PEDRO EVARISTO

PORCENTAGEM DE CABEA

O segredo para calcular porcentagem de cabea perceber como fcil calcular 10% e 1%.

Para fazer porcentagem de cabea, basta entender a relao de todas as porcentagens com 10%.

10% de 120 = 12 (1/10 de 120 = 120/10 = 12)

20% de 120 = 24 (20% = 10% + 10%, ou seja 12 + 12 = 24)

30% de 120 = 36 (30% = 10% + 10% + 10%, ou seja 12 + 12 + 12 = 3.12 = 36)

5% de 120 = 6 (5% a metade de 10%, logo a metade de 12 6)

1% de 120 = 1,20 (1/100 de 120 = 120/100 = 1,20)

21% de 120 = 25,2 (21% = 10% + 10% + 1%, ou seja 12 + 12 + 1,2 = 25,2)

35% de 120 = 42 (35% = 10% + 10% + 10% + 5%, ou seja 12 + 12 + 12 + 6 = 42)

52% de 120 = 62,4 (52% = 50% (metade) + 1% + 1%, ou seja 60 + 1,2 + 1,2 = 62,4)

90% de 120 = 108 (90% = 100% (o todo) 10%, ou seja 120 12 = 108)

95% de 120 = 114 (95% = 100% (o todo) 5%, ou seja 120 6 = 114)

99% de 120 = 118,8 (99% = 100% (o todo) 1%, ou seja 120 1,2 = 118,8)

125% de 120 = 150 (125% = 100% (o todo) + 25% (um quarto), ou seja 120 + 30 = 150)

151% de 120 = 181,2 (151% = 100% (o todo) + 50% (metade) + 1%, ou seja 120 + 60 + 1,2 = 181,2)

LINK: LINK:

MATEMTICA 45

PEDRO EVARISTO

EXERCCIOS RESOLVIDOS

01. Em uma sala com 50 alunos, sendo 38 mulheres, qual o percentual de homens?

SOLUO:

Lembre-se que porcentagem frao, mas uma frao cujo denominador 100. Ento, para calcular o percentual que os 12 homens representam diante dos 50 alunos, basta escrever a frao que isso representa, procurando a frao equivalente cujo denominador seja 100. Observe:

02. Em uma viagem de 200km, j foram percorridos 126km, qual o percentual j percorridos?

SOLUO:

A frao do que j foi percorrido, em relao ao total da viagem, pode ser escrito da seguinte forma:

03. Se Joo gastou 18/25 do seu salrio, qual o percentual que ainda resta?

SOLUO:

Quem gasta 18 partes de 25 por que ainda restam 7 partes de 25, logo essa frao equivale a:

04. Sabendo que 7/20 dos vereadores de um municpio votaram contra uma determinada obra, qual o percentual que votou a favor?

SOLUO:

Se 7 entre 20 vereadores votaram contra por que os 13 restantes entre 20 votaram a favor, logo:

05. Aps uma prova, de cada 8 recursos, 5 foram indeferidos. Qual o percentual de deferidos? SOLUO:

Se foram indeferidos 5 dentre 8 recursos, ento foram deferidos 3 dentre 8. Nesse caso, multiplicaremos o numerador e o denominador por 100, para em seguida dividir tudo por 8, pois dessa forma surge o denominador 100. Observe:

06. Em uma festa, o DJ tocou 8 msicas nacionais para cada 11 estrangeiras. Qual o percentual de nacionais nesse repertrio?

SOLUO:

MATEMTICA 46

PEDRO EVARISTO

07. Dois aumentos sucessivos de 30% e 20% so equivalentes a um nico aumento de quanto?

SOLUO:

Podemos empregar nessa questo um artifcio aritmtico que costumo chamar de truque do 100. A idia consiste em escrever o nmero 100 e seguir os comandos, ou seja, aumentar 30% em cimas dos 100 e em seguida aplicar mais 20% em cima do novo valor, no caso 130. Isso de forma cumulativa, observe:

Dessa forma, como iniciamos com 100 e terminamos com 156, percebe-se facilmente que houve aumento de 56 partes pra cada 100 que colocamos no incio, ou seja, aumento de 56 por 100, ou ainda aumento de 56%. Um fato interessante que a ordem dos aumentos no altera o resultado final, observe:

Isso ocorre pois quando aumentamos 20% estamos multiplicando por 1,20 e quando aumentamos 30% basta multiplicar por 30%, portanto x.1,20.1,30 = x.1,30.1,20 = x.1,56 = 156%.x (aumento de 56%).

08. Descontos sucessivos de 30% e 20% so equivalentes a um nico desconto de quanto?

SOLUO:

Da mesma forma que na questo anterior podemos aplicar o truque dos 100, veja:

Portanto, reduo de 44 para cada 100, ou seja, diminuio de 44%. 09. Trs aumentos sucessivos de 100%, equivalem a um nico aumento de quanto? SOLUO:

Aplicando o truque dos 100, temos:

10. Uma loja, realizando uma promoo, oferece um desconto de 20% nos preos dos seus produtos. Pra voltar

aos preos iniciais, os preos promocionais devem sofrer um acrscimo de A%. Determine o valor A.

SOLUO:

Observe que para cada 100 aplicado desconta-se 20, mas na voltar ao original deve aumentar 20 em relao a 80, ou seja, 1/4 de 80, ou ainda, aumento de 25%.

Observe:

Portanto, para retornar aos preos iniciais, os preos promocionais devem sofrer acrscimo de 25%. 11. Aps um desconto de 30%, Maria pagou por um sof o valor de R$350,00. Quanto era o valor original do sof,

sem o desconto de 30%? SOLUO:

Do enunciado, temos:

MATEMTICA 47

PEDRO EVARISTO

Dessa forma, podemos afirmar que os 350 reais correspondem a 70% do valor original do sof, ou seja 70%.x = 350 Logo

70/100.x = 350 Portanto x = 500 12. Aps um aumento de 30%, uma cadeira passou a valer de R$390,00. Quanto era o valor original da cadeira,

antes do aumento de 30%? SOLUO:

Do enunciado, temos:

Dessa forma, podemos afirmar que os 390 reais correspondem a 130% do valor original do sof, ou seja 130%.x = 390 Logo

130/100.x = 390 Portanto x = 300 13. Um fichrio tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas esto etiquetadas com nmero par.

Quantas fichas tm a etiqueta com nmero par? SOLUO:

Representando por x o nmero de fichas que tm etiqueta com nmero par e lembrando que 52% = 52/100 = 0,52, temos:

x = 52% de 25 x = 0,52.25 x = 13

Nesse fichrio h 13 fichas etiquetadas com nmero par. 14. No torneio pr-olmpico de basquete, realizado na Argentina em agosto de 1995, a seleo brasileira disputou

4 partidas na 1 fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitrias obtidas pelo Brasil nessa fase? 1 SOLUO:

Vamos indicar por x% o nmero que representa essa porcentagem. O problema pode, ento, ser expresso por: x% de 4 igual a 3

Isso resulta na equao 100

x.4 = 3 4x = 300 x = 75

2 SOLUO:

Do Enunciado temos:

4

3 = 0,75 =

100

75 = 75%

O Brasil venceu 75% dos jogos que disputou nessa fase. 15. Numa indstria trabalham 255 mulheres. Esse nmero corresponde a 42,5% do total de empregados. Quantas

pessoas trabalham, ao todo, nessa indstria? SOLUO:

Vamos representar por x o nmero total de empregados dessa indstria. Esse problema pode ser expresso por: 42,5% de x igual a 255

Sabendo que 42,5% = 100

42,5 = 0,425, podemos formar a equao:

0,425 . x = 255

x = 0,425

255 x = 600

Nessa indstria trabalham, ao todo, 600 pessoas.

MATEMTICA 48

PEDRO EVARISTO

16. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preo marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preo original dessa mercadoria?

SOLUO:

Se obtive 8% de desconto, o preo que paguei representa 100% 8% = 92% do preo original. Representando o preo original da mercadoria por x, esse problema pode ser expresso por: 92% de x igual a 690

Sabendo que 92% = 100

92 = 0,92, podemos formar a equao:

0,92 . x = 690 0,92x = 690

x = 0,92

690 x = 750

O preo original da mercadoria era R$ 750,00. 17. 40% de 20% corresponde a quantos por cento? SOLUO:

Representando por x% a taxa de porcentagem procurada, o problema se reduz a: 40% de 20% igual a x Se 40% = 0,40 e 20% = 0,20, temos a equao: 0,40 . 0,20 = x x = 0,08

0,08 = 100

8 = 8%

Assim, 40% de 20% corresponde a 8%. 18. Uma geladeira, cujo preo vista de R$ 680,00 tem um acrscimo de 5% no seu preo se for paga em 3

prestaes iguais. Qual o valor de cada prestao? SOLUO

5% de 680 = 0,05 . 680 = 34 (acrscimo) 680 + 34 = 714 (preo em 3 prestaes iguais) 714 : 3 = 238 (valor de cada prestao) Ento, o valor de cada prestao de R$ 238,00. 19. O salrio de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a porcentagem de

aumento? SOLUO:

1 modo: 966 840 = 126 (aumento em reais) x% de 840 = 126

100

15

20

3

120

18

840

126 15% (aumento em porcentagem)

2 modo: x% de 840 = 966 (salrio anterior mais aumento)

%15%100%115100

115

20

23

120

138

840

966

Logo, a porcentagem de aumento foi de 15%. 20. Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com R$ 87,00. Quanto ele tinha e quanto gastou, em reais? SOLUO:

Quem gasta 40% do que tem, fica com 60% do que tinha, que corresponde a R$ 87,00. Dessa forma, temos:

60% de x = 87

Ou seja

aumento

MATEMTICA 49

PEDRO EVARISTO

0,6.x = 87

Logo, ele tinha

x = 145 e gastou:

145 87 = 58 ou 40% de 145 = 58 Portanto, Paulo tinha R$ 145,00 e gastou R$ 58,00. 21. Laura gastou R$ 900,00 na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e de uma estante. A bicicleta

custou R$ 60,00 a menos que a estante e o preo do aparelho de som corresponde a 80% do preo da bicicleta. Quanto custou cada uma das mercadorias?

SOLUO:

Sejam: Preo da estante: x Preo da bicicleta: x 60 Preo do aparelho de som: 80% de (x 60)

Sendo o total das mercadorias igual a 900, ento x + x 60 + 80%(x 60) = 900

ou seja 2x 60 + 0,8x 48 = 900 2,8x = 1008 portanto

x = 360 Logo, o preo da estante foi de

R$ 360,00 Da bicicleta foi de

R$ 300,00 (360 60) Do aparelho de som foi de

R$ 240,00 (80% de 300)

22. Cntia e Fbio dispem, cada um, de certa quantia em dinheiro. Se Cntia emprestar a Fbio 20% do que tem, este ficar com R$ 174,00; entretanto, se Fbio emprestar 20% do valor que tem Cntia, ela ficar com R$ 150,00. Determine a quantia que os dois tm juntos.

SOLUO:

Do enunciado, temos: F + 20%C = 174 20%F + C = 150 Somando as equaes, temos: 120%F + 120%C = 324 1,20.(F + C) = 324 Logo, a quantia que eles tem juntos, : F + C = 270 23. (ESAF) Uma estranha clnica veterinria atende apenas ces e gatos. Dos ces hospedados, 90% agem

como ces e 10% como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como ces. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clnica agem como gatos e que os 80% restantes agem como ces. Sabendo-se que na clnica veterinria esto hospedados 10 gatos, determine o nmero de ces hospedados nessa estranha.

SOLUO:

Nmero de gatos: G Nmero de ces: C Do enunciado, temos: Ces que pensam ser gatos: 10% de C Gatos que agem realmente como gatos: 90% de G Animais que pensam ser gatos: 20% de todos os animais (C + G) Ento 10%.C + 90%.G = 20%.(G+C) 10%C + 90%G = 20%G + 20%C

MATEMTICA 50

PEDRO EVARISTO

90%G - 20%G = 20%C - 10%C 70%G = 10%C C = 7G 24. Um auditrio, com 200 alunos, tem 96% de mulheres e o restante de homens. Saem N mulheres e o

percentual de mulheres passa a ser de 95%. Determine o valor de N. SOLUO:

Do enunciado, temos que o nmero de homens igual a 4% dos 200 alunos, ou seja H = 4%.200 = 8 Perceba que esse nmero de homens fixo e depois da sada das N mulheres eles passaram a valer 5% de um novo total, ou seja H = 5%.x Ento 8 = 5/100.x Logo x = 160 Dessa forma, como eram 200 alunos e agora so apenas 160, saram 40 mulheres.

MATEMTICA 51

PEDRO EVARISTO

EXERCCIOS 01. Na loja de Bosco, os produtos so anunciados por 80% a mais que seu custo. Quando vendidos a vista, ele d um desconto de 20% sobre o valor marcado na etiqueta. Dessa forma, aps o desconto, qual o percentual de lucro que ele obtm sobre o custo? a) 20% b) 24% c) 36% d) 44% e) 60%

02. Um comerciante resolve aumentar em 40% o preo de todos os produtos de sua loja, para em seguida, anunciar uma liquidao com desconto de 40% em todos eles. Podemos afirmar que, aps o desconto, o valor do produto: a) aumentou 16% em relao ao valor antes do aumento. b) reduziu 16% em relao ao valor antes do aumento. c) no pode ser definido, pois depende do valor marcado na etiqueta. d) no sofreu alterao em relao ao valor antes do aumento.

03. No semestre passado, sabe-se que 30% dos alunos matriculados no curso de idiomas Spanglish estudavam espanhol e os outros 70% estudavam ingls, mas nenhum deles estava matriculado nos dois idiomas. No semestre seguinte, a turma de espanhol teve aumento de 50% no nmero de matrculas, enquanto que a turma de ingls reduziu em 10% o nmero de alunos matriculados. Com base nessas informaes, podemos afirmar que, em relao ao nmero de alunos do semestre passado, o total de alunos matriculados no semestre: a) aumentou 8% b) diminuiu 8% c) aumentou 18% d) diminuiu 18%

ANOTAES:

MATEMTICA 52

PEDRO EVARISTO

04. A massa crua com que fabricado um certo tipo de po composta de 40% de gua, 58% de farinha e 2% de sal e fermento. Enquanto assada, 75% da gua contida na massa crua evapora, sendo esta a nica substncia perdida nesse processo. Nessas condies, calcule a massa crua de po necessria para obter-se um po assado de 42g. a) 65g b) 60g c) 55g d) 50g

05. Que nmero deve ser somado ao numerador e ao

denominador da frao 23 para que ela tenha um aumento de 20%? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

06. (FUNRIO) A rede Lojas BBB, numa promoo relmpago, estava oferecendo um desconto de 20% em todas as suas mercadorias. Maria se interessou por um sof e pagou pelo mesmo o valor de R$400,00. O valor original do sof, sem o desconto de 20%, era de a) R$480,00 b) R$500,00 c) R$520,00 d) R$540,00 e) R$560,00 07. (FUNRIO) Um reservatrio para gua tem a seguinte propriedade: quando est 40% vazio, o volume da gua excede em 40 litros o volume do reservatrio quando este est 40% cheio. Dessa forma, podemos concluir que a capacidade do reservatrio a) 240 litros b) 220 litros c) 200 litros d) 180 litros e) 160 litros 08. Uma sala de aula, com 50 alunos, tem 60% de mulheres e o restante de homens. Entram mais N mulheres e o percentual de homens passa a ser de 25%. Determine o valor de N. a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 09. Uma pessoa gasta 15% do seu salrio com aluguel. Se o aluguel aumenta 26% e o salrio 5%, que percentagem do salrio esta pessoa passar a gastar com aluguel? a) 15% b) 16% c) 18% d) 20%

ANOTAES:

MATEMTICA 53

PEDRO EVARISTO

10. Dois aumentos sucessivos de 40% e 10% so equivalentes a um nico aumento de: a) 58% b) 54% c) 50% d) 44%

11. Descontos sucessivos de 30% e 10% so equivalentes a um nico desconto de: a) 40% b) 37% c) 33% d) 20%

12. Um produto alimentcio sofreu dois aumentos mensais seguidos de 20% e 30% e no terceiro ms sofreu uma reduo de 50% em seu valor. Podemos ento afirmar que, ao final desses 3 meses, o valor do produto, em relao ao valor inicial, sofreu: a) aumento de 10% b) reduo de 22% c) reduo de 15% d) nem aumento, nem reduo 13. Uma loja, realizando uma promoo, oferece um desconto de 50% nos preos dos seus produtos. Pra voltar aos preos iniciais, os preos promocionais devem sofrer um acrscimo de A%. Determine o valor A. a) 25 b) 50 c) 80 d) 100 14. Dona Menina investiu 20% de suas economias comprando Euro e o restante comprando Dlar. Sabendo que o Euro valorizou 10% em 6 meses e o Dlar caiu 20% ao final do mesmo perodo, determine o que aconteceu com o investimento que ela fez. a) rendeu 10% b) reduziu 10% c) rendeu 14% d) reduziu 14% 15. (CESGRANRIO) Um aparelho de som pode ser comprado em 4 prestaes de R$ 150,00 ou vista com 10% de desconto. Quanto ser pago, em reais, se a compra for feita vista? a) 480,00 b) 500,00 c) 520,00 d) 540,00 e) 560,00

16. Um refrigerador sofre dois aumentos anuais sucessivos: o primeiro de 25% em um ano e outro de 35% no ano seguinte. Se ele custava R$1.200,00, determine quanto passou a custar depois desses aumentos. a) R$ 1.250,00 b) R$ 2.025,00 c) R$ 1.750,00 d) R$ 2.250,00

ANOTAES:

MATEMTICA 54

PEDRO EVARISTO

17. O salrio de Rafaela sofreu um aumento de 32% e passou a valer R$ 2.640,00. Quanto era seu salrio antes desse aumento? a) R$ 2.000,00 b) R$ 2.100,00 c) R$ 2.200,00 d) R$ 2.400,00

18. (FCC) Em dezembro, uma loja de carros aumentou o preo do veculo A em 10% e o do veculo B em 15%, o que fez com que ambos fossem colocados a venda pelo mesmo preo nesse ms. Em janeiro houve reduo de 20% sobre o preo de A e de 10% sobre o preo de B, ambos de dezembro, o que fez com que o preo de B, em janeiro, superasse o de A em a) 11,5% b) 12% c) 12,5% d) 13% e) 13,5%.

19. Joo recebeu um aumento salarial de 15% no incio do ms de maro e, no ltimo dia do mesmo ms, recebeu um outro aumento de 20% sobre seu novo salrio. Qual o percentual total de aumento que Joo recebeu em maro? a) 32% b) 35% c) 38 % d) 135%

20. Joozinho gastou a metade do dinheiro que tinha com um presente que comprou para a sua me. Em seguida, gastou 30% do que lhe restou, na compra de um jogo, e ainda ficou com R$ 63,00. Quantos reais tinha Joozinho antes das compras? a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 420

21. Um produto custava, em certa loja, R$ 200,00. Aps dois aumentos consecutivos de 10%, foi colocado em promoo com 20% de desconto. Qual o novo preo do produto (em R$)? a) 176,00 b) 192,00 c) 193,60 d) 200,00

22. Srgio vendeu um relgio por 150% a mais do que lhe custou. Determine o percentual de lucro que ele obteve em relao ao preo de venda. a) 40% b) 50% c) 60% d) 75%

ANOTAES:

MATEMTICA 55

PEDRO EVARISTO

23. Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preo de venda (margem de lucro). Dessa forma, qual seria o percentual de lucro em relao ao preo de custo? a) 50% b) 75% c) 100% d) 150%

24. Um comerciante obtm lucro de 75% sobre o preo de venda. Determine o percentual do lucro calculado sobre o preo de custo. a) 25% b) 100% c) 300% d) 400%

25. O preo de certo produto alimentcio dobrou trs vezes seguidas, ou seja, durante o perodo da entressafra, que durou trs meses, o produto dobrava de preo em relao ao ms passado. Esses aumentos consecutivos podem ser representados por um nico aumento trimestral de: a) 300% b) 500% c) 600% d) 700% e) 800%

26. (CESGRANRIO) Trs aumentos mensais sucessivos de 30%, correspondem a um nico aumento trimestral de: a) 0,9% b) 90% c) 190% d) 219,7% e) 119,7%

27. (FUNRIO) Constatou-se num vilarejo que, em determinado ano, 120 pessoas foram vitimadas pela dengue. No ano seguinte, esse nmero caiu para 90 pessoas. Podemos dizer, ento, que houve uma reduo no nmero de vitimados da ordem de a) 20% b) 25% c) 30% d) 35% e) 40 % 28. (FUNRIO) Lus investiu uma determinada quantia comprando aes de uma indstria. No final do primeiro ano ele verificou que as aes tinham valorizado 25%. No final do ano seguinte, ele afirmou: puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro que investi. Dessa forma, a valorizao das aes no segundo ano foi de a) 45% b) 50% c) 55% d) 60% e) 65%

ANOTAES:

MATEMTICA 56

PEDRO EVARISTO

29. (FUNRIO) Uma jarra tem 800 ml de refresco, em que 60% dessa quantidade corresponde a gua e 40% corresponde ao concentrado de suco de uva. Para que o concentrado corresponda a 25% da mistura final, a quantidade de gua que deve ser acrescido ao refresco de a) 320 ml b) 400 ml c) 480 ml d) 560 ml e) 640 ml 30. (FCC) O preo de um aparelho P reais. Como eu s possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12% no preo, ainda faltariam R$ 54,00 reais para que eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condies, a quantia que possuo: a) 210,00 b) 230,00 c) 250,00 d) 270,00

GABARITO 01. D 02. B 03. A 04. B 05. B 06. B 07. C 08. D 09. C 10. B 11. B 12. B 13. D 14. D 15. D 16. B 17. A 18. C 19. C 20. C 21. C 22. C 23. C 24. C 25. D 26. E 27. B 28. D 29. C 30. A

ANOTAES:

MATEMTICA 57

PEDRO EVARISTO

CAPTULO 05

PROBABILIDADE

IINNTTRROODDUUOO

Com certeza voc j utilizou o conceito de probabilidade, mesmo sem saber. Quer ver? Quantas vezes j dissemos frases do tipo a probabilidade de algum ganhar na Mega Sena muito pequena, ele teve muita sorte ou a probabilidade de ns sermos promovidos bem grande, afinal, fizemos um bom trabalho. Quando falamos da porcentagem de chance de um determinado evento ocorrer, estamos falando de probabilidade, mas agora vamos aprender a quantificar isso. Saiba que, em algumas situaes, a anlise combinatria estudada nas aulas anteriores ser de grande importncia para o calculo da probabilidade.

A probabilidade a porcentagem (frao) de chance de um determinado evento ocorrer. um assunto interessante para os at