Planejamento e Controle de Estoques – Parte II Prof. Dr. Marcos Georges

Planejamento e Controle de Estoques – Parte II

Prof. Dr. Marcos Georges

PUC C A M P I N A S

Adm. Produção II Prof. Dr. Marcos Georges 2

Planejamento e Controle de Estoques

Lote Econômico com Variáveis Probabilística: Até o momento, todos os modelos partiam do

pressuposto de que a demanda era constante e determinística, o que dificilmente ocorre na prática;

Agora relaxa-se esta hipótese e supõe-se que a demanda é regida por uma distribuição de probabilidade, logo, incerta.

Inicialmente, para facilitar, suponha-se também uma demanda discreta.



Demanda: Constante ou Variável; Contínua ou Discreta; Determinística ou Estocástica

Dependência dos Itens: Dependente Independente;

Número de Itens Um ou muitos

Revisão do Tempo: Contínuo ou Periódica;

Capacidade / Recursos Limitado ou Ilimitado;

Lead Time: Instantâneo ou não;

Desconto: nenhum; Todas as quantidades; Somente acima de uma quantidade comprada

Horizonte de Planejamento: Simples, Finito ou Infinito

Dimensões na Modelagem de Estoques



As principais variáveis dos modelos probabilísticos são: A demanda: suponha que a demanda seja normalmente distribuída. O lead time: suponha também que o lead time seja normalmente distribuído. O nível de serviço: variável definida pela empresa que determina a porcentagens de pedidos que seguramente não faltará produto em estoque.

D~N(,); L~N(,); SL=1-P(DEstoque)



Cálculo do Ponto de Reposição:

222 ....

).(..

).(..

.

Ld

L

d

dLzLdR

dzLdR

LzLdR

LdR

Demanda e Lead Time constantes

Demanda variável e Lead Time constante

Demanda constante e Lead Time variável

Demanda e Lead Time variáveis



Ponto de Reposição

Estoque de Segurança

Demanda máxima provável durante

o Lead Time Demanda esperada durante

o Lead Time

Lead Time

Qu

anti

dad

e

Tempo

RISCO

NÍVEL DE SERVIÇO

O

z

Estoque de Segurança

Reposição



Exemplo: Um restaurante consome, em média, 50 vidros de palmito por semana, com desvio padrão de 3 vidros. O lead time médio de entrega é de 2 semanas com desvio padrão de uma semana. O risco máximo aceitável é de 10% de pedidos não atendidos.

z=1,28 é encontrado na tabela normal para SL=90%

23,1641.25009.2.28,12.50....

164)1.(50.28,12.50).(..

43,105)3.(2.28,12.50).(..

1002.50.

222

Ld

L

d

dLzLdR

dzLdR

LzLdR

LdR



Observem que o Ponto de Reposição é dado por:

R = d.L + Estoque de Segurança Ou seja, o estoque de segurança é calculado a partir da variabilidade da demanda, do lead time

de entrega e do nível de serviço desejado

23,641.25009.2.28,1...

64)1.(50.28,1).(.

43,5)3.(2.28,1).(.

222

Ld

L

d

dLzES

dzES

LzES



Outro problema comum quando se lida com demanda probabilística é encontrar o tamanho do lote que maximiza o lucro esperado.

Este problema é conhecido como problema do jornaleiro, e é simbolizado pela decisão de quantos jornais comprar no domingo. Se sobrar, é vendido como sucata na segunda, se faltar há um custo de não atender o cliente.



Considere: c : custo do produto; v : preço de venda do produto; f : custo da falta do produto; s : preço de venda da sobra; q : quantidade a ser comprada, o tamanho do lote; X : a demanda, que é uma variável aleatória cuja distribuição é conhecida ou, no mínino, tabelada;

Existe duas possibilidades a considerar Quando q>x , ou seja, quando sobra produto; Quando x>q , ou seja, quando falta produto.



O função lucro é dada por:

),().()],([ XqLucroxXPXqLucroE

O lucro esperado é dado por uma “média ponderada” do lucro obtido para uma dada demanda vezes a probabilidade desta demanda ocorrer, ou seja:

qxsxqcqvx

xqfqxcqvqXqLucro

caso

caso

,)(

,)(),(



Seu Manuel que decidir quantos frangos por para assar no dia de domingo. Os dados que seu Manoel tem são:

c = 5,00 : custo do produto; v = 10,00 : preço de venda do produto; f = 3,00 : custo da falta do produto; s = 4,00 : preço de venda da sobra;Distribuição da Demanda

0,2

0,3

0,4

0,1

0

0,5

30 40 50 60Quantidade de Frangos

P(X

=x)



O função lucro é dada por:

xqqxxqqx

qxxqqxqqXqLucro

se

se

,6)(4510

,38)(3510),(

Demanda (X) E[Lucro(q,X)]

30 40 50 60 P(x).Lucro

P(X=x) 0,2 0,3 0,4 0,1

LOTE

q=30 150 120 90 60 108

q=40 140 200 170 140 170

q=50 130 190 250 280 255

q=60 120 180 240 300 246

Este é o lucro esperado máximo

Este tamanho do lote a ser adotado



Lote Econômico com Demanda Probabilística com informação completa: Agora vamos sofisticar o modelo anterior

(problema do jornaleiro) e passar a utilizar uma distribuição de probabilidade definida para todos os possíveis valores da demanda, e não somente valores discretos;

Dessa forma é possível calcular o lucro esperado para qualquer valor de demanda e de tamanho do lote, melhorando o resultado.














A idéia é exatamente a mesma do modelo anterior, mas agora a demanda é dada por uma distribuição de probabilidade com função de densidade f(x) e função de distribuição acumulada F(X). Para este caso o lucro esperado é dado por:

Q

Q

dxxffqxcqvq

dxxfsxqcqvx

XqLucro

)(])([

)(])([

),( 0



Derivando o lucro esperado em relação ao tamanho do lote e igualando o resultado a zero obtem-se:

Q QQ

Q Q

dxxffdxxfcdxxfvdxxfsdxxfcdQ

Ld)()()()()(

)(

0 0

Q Q

Q

dxxffdxxfvdxxfsdxxfcdQ

Ld)()()()(

)(

0 0



)](1[)](1[)()(

QFfQFvQsFcdQ

Ld

fsv

fcvFQ

fsv

fcvQF

fvcQFfvs

QFfvsfvcdQ

Ld

1)(

)()(

0)()()(



Exemplo: seja o caso da padaria do Seu Manuel, mas agora ele sabe que a demanda é dada por distribuição Normal, com média de 44 clientes e desvio padrão de 9 clientes. Quantos frangos assar de modo a maximizar o lucro esperado?

3

2

3410

3510 11 FFQ

Qual o valor de x, tal que, F(Xx)=2/3 onde F~N(44,9)

Com a ajuda o Excel, usando a função INV.NORM(2/3;44;9) = 47,87, ou 48 frangos



Gestão de Estoque no tempo: Até o momento, todos os modelos partiam do

pressuposto de que o horizonte de planejamento era infinito.

Agora, vamos partir de uma hipótese mais realista, de que o horizonte de planejamento é finito, ou seja, vamos considerar a demanda para um certo número de meses e determinar qual é a melhor forma de atender esta demanda.














Os modelos básico de gestão de estoques com horizonte finito são:

Lot-for-lot: aqui é comprada a quantidade exata para atender a demanda do mês corrente;

Compra única: compra-se, no início do período, o suficiente para atender todos os meses;

Lote Econômico: compra-se lote definidos pelo lote econômico;

Part Period Balancing: compra até que o custo de estoque seja maior que o custo fixo de compra;

Silver Meal: busca minimizar o custo médio a cada compra; Modelos de Otimização: usam a programação matemática:

Wagner-Whitin (programação dinâmica), e Programação Linear Inteira mista



Exemplo: considere uma industria cuja demanda ao longo do ano seja

D = 2.000 un/ano

S = 500,00$/pedido

C = 50,00$/un

h = 24%/un-ano

($1/un-mês)

Demanda

0

50

100

150

200

250

300

jan fev mar abr mai jun jul ago set out nov dez

Quando Pedir e Quanto Pedir para atender esta demanda?



Compra única: no início do período compra-se quantidade suficiente para todo o período.

mês demanda Lote Estoque $ estoque $pedido $ período

jan 200 2000 1800 R$ 1.800,00 R$ 500,00 R$ 2.300,00

fev 150 0 1650 R$ 1.650,00 R$ 0,00 R$ 1.650,00

mar 100 0 1550 R$ 1.550,00 R$ 0,00 R$ 1.550,00

abr 50 0 1500 R$ 1.500,00 R$ 0,00 R$ 1.500,00

mai 50 0 1450 R$ 1.450,00 R$ 0,00 R$ 1.450,00

jun 100 0 1350 R$ 1.350,00 R$ 0,00 R$ 1.350,00

jul 150 0 1200 R$ 1.200,00 R$ 0,00 R$ 1.200,00

ago 200 0 1000 R$ 1.000,00 R$ 0,00 R$ 1.000,00

set 200 0 800 R$ 800,00 R$ 0,00 R$ 800,00

out 250 0 550 R$ 550,00 R$ 0,00 R$ 550,00

nov 300 0 250 R$ 250,00 R$ 0,00 R$ 250,00

dez 250 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

total 2000 2000 R$ 13.100,00 R$ 500,00 R$ 13.600,00



Lot-4-Lot: a cada mês compra-se somente a quantidade a ser usada no mêsmês demanda Lote Estoque $ estoque $pedido $ período

jan 200 200 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

fev 150 150 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

mar 100 100 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

abr 50 50 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

mai 50 50 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

jun 100 100 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

jul 150 150 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

ago 200 200 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

set 200 200 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

out 250 250 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

nov 300 300 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

dez 250 250 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

total 2000 2000 R$ 0,00 R$ 6.000,00 R$ 6.000,00



Lote Econômico: compra com lotes definidos pela fórmula do Lote Econômico -> Q = (2x2000x500)/(50x0,24)=400


jan 200 400 200 R$ 200,00 R$ 500,00 R$ 700,00

fev 150 0 50 R$ 50,00 R$ 0,00 R$ 50,00

mar 100 400 350 R$ 350,00 R$ 500,00 R$ 850,00

abr 50 0 300 R$ 300,00 R$ 0,00 R$ 300,00

mai 50 0 250 R$ 250,00 R$ 0,00 R$ 250,00

jun 100 0 150 R$ 150,00 R$ 0,00 R$ 150,00

jul 150 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

ago 200 400 200 R$ 200,00 R$ 500,00 R$ 700,00

set 200 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

out 250 400 150 R$ 150,00 R$ 500,00 R$ 650,00

nov 300 400 250 R$ 250,00 R$ 500,00 R$ 750,00

dez 250 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

total 2000 2000 R$ 1.900,00 R$ 2.500,00 R$ 4.400,00



O Silver Meal é um procedimento que baseia-se na determinação do número de compras a serem feitas ao longo de todo o período (no nosso exemplo 12 meses);

O objetivo é determinar qual o tamanho de cada compra de modo que o custo total médio mensal seja mínimo a cada compra; Se a compra é pequena, em geral o custo médio de estocagem é pequeno, mas o custo fixo médio é grande, se a compra é

grande, o custo fixo médio é pequeno, mas o custo médio de estocagem é grande.



mês demanda Lote $ estoque $pedido $ compra $ médio

1ºCompra

jan 200 200 0 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00

fev 150 350 150+0 R$ 500,00 R$ 650,00 R$ 325,00

mar 100 450 250+100+0 R$ 500,00 R$ 850,00 R$ 283,33

abr 50 500 300+150+50+0 R$ 500,00 R$ 1.000,00 R$ 250,00

mai 50 550 350+200+100+50+0 R$ 500,00 R$ 1.200,00 R$ 240,00

jun 100 650 450+300+200+150+100+0 R$ 500,00 R$ 1.700,00 R$ 283,33

2ºCompra

jun 100 100 0 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00

jul 150 250 150+0 R$ 500,00 R$ 650,00 R$ 325,00

ago 200 450 350+200+0 R$ 500,00 R$ 1.050,00 R$ 350,00

3ºCompra

ago 200 200 0 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00

set 200 400 200+0 R$ 500,00 R$ 900,00 R$ 450,00

out 250 650 450+250+0 R$ 500,00 R$ 1.200,00 R$ 400,00



Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez550 0 0 0 0 250 0 400 0 550 0 250

Serão feitas 5 compras no ano. Os meses que ocorrerão ascompras e as quantidades a serem compradas estão abaixo

mês demanda Lote $ estoque $pedido $ compra $ médio

4ºCompra

out 250 250 0 R$ 500,00 R$ 500,00 R$ 500,00

nov 300 550 300+0 R$ 500,00 R$ 800,00 R$ 400,00

dez 250 800 550+250+0 R$ 500,00 R$ 1.300,00 R$ 433,33

5ºCompra

dez 250 250 0 R$ 500,00 R$ 0,00 R$ 500,00



Silver Meal: busca o menor custo médio por pedidomês demanda Lote Estoque $ estoque $pedido $ período

jan 200 550 350 R$ 350,00 R$ 500,00 R$ 850,00

fev 150 0 200 R$ 200,00 R$ 0,00 R$ 200,00

mar 100 0 100 R$ 100,00 R$ 0,00 R$ 100,00

abr 50 0 50 R$ 50,00 R$ 0,00 R$ 50,00

mai 50 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

jun 100 250 150 R$ 150,00 R$ 500,00 R$ 650,00

jul 150 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

ago 200 400 200 R$ 200,00 R$ 500,00 R$ 700,00

set 200 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

out 250 550 300 R$ 300,00 R$ 500,00 R$ 800,00

nov 300 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

dez 250 250 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

total 2000 2000 R$ 1.350,00 R$ 2.500,00 R$ 3.850,00



O Part Period Balancing é um método que busca a compra para os períodos seguintes de modo que o custo de armazenagem seja menor que o custo fixo, pois, quando o custo de armazenagem se torna maior que o custo fixo, é preferível comprar a estocar.


Planejamento e Controle de Estoquesmês demanda Lote $ estoque comparação $ fixo

1ºCompra

jan 200 200 0 < 500

fev 150 350 150+0 < 500

mar 100 450 250+100+0 < 500

abr 50 500 300+150+50+0 igual 500

2ºCompra

mai 50 50 0 < 500

jun 100 150 100+0 < 500

jul 150 300 250+150+0 < 500

ago 200 500 450+350+200+0 > 500

3ºCompra

ago 200 200 0 < 500

set 200 400 200+0 < 500

out 250 650 450+250+0 > 500

4ºCompra

out 250 250 0 < 500

nov 300 550 300+0 < 500

dez 250 800 550+250+0 > 500

5ºCompra 500

dez 250 250 0 < 500



PART PERIOD BALANCING


jan 200 500 300 R$ 300,00 R$ 500,00 R$ 800,00

fev 150 0 150 R$ 150,00 R$ 0,00 R$ 150,00

mar 100 0 50 R$ 50,00 R$ 0,00 R$ 50,00

abr 50 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

mai 50 300 250 R$ 250,00 R$ 0,00 R$ 250,00

jun 100 0 150 R$ 150,00 R$ 500,00 R$ 650,00

jul 150 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

ago 200 400 200 R$ 200,00 R$ 500,00 R$ 700,00

set 200 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

out 250 550 300 R$ 300,00 R$ 500,00 R$ 800,00

nov 300 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

dez 250 250 0 R$ 0,00 R$ 500,00 R$ 500,00

total 2000 2000 R$ 1.400,00 R$ 2.500,00 R$ 3.900,00



O Método de Wagner-Whitin é um procedimento recursivo baseado em programação dinâmica que busca, mês a mês, qual é melhor estratégia para atender os meses remanescentes;

No final de qualquer período j (considerando a ausência de estoque) é possível calcular todas as possibilidades para atender os meses restantes, período a período, onde este período varia de j até k, onde k = j +1, j +2, ..., T



Defina-se as seguintes variáveis: Cjk = o custo total de produção/compra no período j +1 para

atender a demanda no período compreendido entre j +1 até k; O Custo Total no período j para a demanda ente (j +1, k) é

dado por:

1

11

k

jtttjjk NhSC

Custo Fixo em j +1

Quantidade em

estoque no período

t

Custo de estocagem

t



O procedimento recursivo consiste em calcular qual o melhor custo total global da compra/produção:

TkCZminZ jkjkj

k ,...,2,1,*

10

A cada estágio procura-se minimizar a combinação dos custos entre dois pontos (j ,k), acrescentando a programação ótima até o ponto j ;

O procedimento é recursivo, iniciando em k =1 até T, definindo-se Z0=0.



Exemplo:

500)0(15000100101 SZCZZ

1000500500

650)150(1500

21121

2100202 SZCZ

hNSZCZZ

1150500650

1100)100(1500500)(

850)100250(1500)(

32232

321131

3210030

3

SZCZ

NhSZCZ

NNhSZCZ

Z



1500500100

1400)50(1500850)(

1300)50100(1500650)(

1350)50100200(1500500

)(

1200)50100200350(1500

)(

44454

543353

5432252

54321151

543210050

5

SZCZ

NhSZCZ

NNhSZCZ

NNNhSZCZ

NNNNhSZCZ

Z

1350500850

1200)50(1500650)(

1200)50150(1500500)(

1000)50150300(1500)(

43343

432242

4321141

43210040

4

SZCZ

NhSZCZ

NNhSZCZ

NNNhSZCZ

Z



050.4

000.4

450.9

800.10

300.12

600.13

111211

101210

3123

2122

1121

0120

12

CZ

CZ

CZ

CZ

CZ

CZ

Z

Melhor Solução

Z10= Z7 + C710

Z7= Z3 + C37

Z3= Z0 + C03

As Compras ocorrerão em

C1012 ; C710 ; C37 ; C03




jan 200 450 250 R$ 250,00 R$ 500,00 R$ 750,00

fev 150 0 100 R$ 100,00 R$ 0,00 R$ 100,00

mar 100 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

abr 50 350 300 R$ 300,00 R$ 0,00 R$ 300,00

mai 50 0 250 R$ 250,00 R$ 0,00 R$ 250,00

jun 100 0 150 R$ 150,00 R$ 500,00 R$ 650,00

jul 150 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

ago 200 650 450 R$ 450,00 R$ 0,00 R$ 450,00

set 200 0 250 R$ 250,00 R$ 500,00 R$ 750,00

out 250 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

nov 300 550 250 R$ 250,00 R$ 500,00 R$ 750,00

dez 250 0 0 R$ 0,00 R$ 0,00 R$ 0,00

total 2000 2000 R$ 2.000,00 R$ 2.000,00 R$ 4.000,00

Wagner Whitin: procedimento recursivo.



Otimização utilizando a Programação Linear Inteira Mista; Considere as seguintes variáveis:

Qi = a quantidade comprada no mês i (lote);

Zi = variável de compra no mês i, se Zi = 1 há compra, se Zi = 0 não há compra no mês i ;

Bi = estoque no início do mês i ;

Ei = estoque no final do mês i ;

Di = demanda no mês i ; S = custo do pedido; h = custo de armazenagem por unidade por mês; M = um número muito grande;



,...,n iZ

,...,n iQ

,...,n iE

,...,n iB

,...,n iQMZ

,...,n iDQBE

,...,n iEB

B

as

EhZSCTMin

i

i

i

i

ii

iiii

ii

n

ii

n

ii

11,0

10

10

10

10

1

20

0

..

1

1

11

Função objetivo: minimizar os custos totais = custo pedido + custo armazenagem em todos os meses

Restrição de estoque: o estoque no início é zero e o estoque no inicio do mês é igual ao final do mês anterior

Restrição de conservação de massa: final – inicio – entra=saiu

Assegura que a compra só ocorrerá quando Q>0

Restrições de não negatividade





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Planejamento e Controle de Estoques – Parte II Prof. Dr. Marcos Georges