PREVISÃO DE SÉRIES TEMPORAIS FINANCEIRAS POR MEIO DE MÁQUINAS DE SUPORTE VETORIAL E ONDALETAS

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

PROGRAMA DE PÓS-DOUTORADO DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO.

PEDRO HENRIQUE MELO ALBUQUERQUE

PREVISÃO DE SÉRIES TEMPORAIS FINANCEIRAS POR MEIODE MÁQUINAS DE SUPORTE VETORIAL E ONDALETAS.

São Paulo2014



Relatório final apresentado à Comissão de Pes-

quisa do Instituto de Matemática e Estatística

da Universidade de São Paulo como requisito

para obtenção do título de Pós-Doutor em

Estatística.

São Paulo2014



Relatório final apresentado à Comissão de Pes-

quisa do Instituto de Matemática e Estatística

da Universidade de São Paulo como requisito

para obtenção do título de Pós-Doutor em

Estatística.

Área de concentração:Econometria Financeira

Supervisor:

Prof. Dr. Pedro Alberto Morettin

São Paulo2014

FICHA

CATALOGRÁFICA

Albuquerque, Pedro Henrique MeloPREVISÃO DE SÉRIES TEMPORAIS FINANCEIRAS POR MEIO DE MÁQUI-

NAS DE SUPORTE VETORIAL E ONDALETAS. / . – São Paulo, 2014. 56 p.

Relatório (Pós-Doutorado) — Programa de Pós-Graduação em Estatística.

1. Máquinas de Suporte Vetorial. 2. Ondaletas. I. Albuquerque, Pedro HenriqueMelo II. Universidade de São Paulo. Programa de Pós-Graduação em Estatística.II. Título.

http://www.ime.usp.br

http://www.ime.usp.br

RESUMO

O estudo e utilização de Séries Temporais Financeiras é considerada desafiadora, poissão séries permeadas de ruídos, não-estacionariedade e presença de um caos determinístico.Nesse sentido, o presente relatório de estágio pós-doutoral revisou, avaliou e implementou Má-quinas de Suporte Vetorial para núcleos via ondaletas simétricas, a saber: Ondaleta de Morlete Chapéu Mexicano, com o intuito de mensurar a acurácia na previsibilidade de retornos finan-ceiros.

A abordagem aqui apresentada, desenvolvida e implementada é inovadora e inédita por tersido aplicada em um contexto nacional, por utilizar núcleos que até o momento da finalizaçãodesse relatório não estavam disponíveis aos usuários de softwares estatísticos, por construiruma revisão teórica completa e exaustiva do uso das Máquinas de Suporte Vetorial em finançase por utilizar as Séries Temporais Financeiras no contexto da previsibilidade de retornos.

Ademais, nesse trabalho o contexto de análise e avaliação dos núcleos via Ondaletas foiexpandido, pois além de comparar esses núcleos com o núcleo Gaussiano, comparou-se aindacom outros núcleos popularmente utilizados, quais sejam: Núcleo Linear , Fourier, TangenteHiperbólica, Quadrático Racional, Multi-Quadrático ,Circular e Esférico.

Conclui-se após análise empírica que para todos os núcleos avaliados, exceto pelo núcleoGaussiano, os núcleos via ondaletas de Morlet e Chapéu Mexicano apresentaram resultadosestatisticamente significantes para a qualidade da previsibilidade dos retornos financeiros es-tudados no que tange ao Teste de Diebold e Mariano (2002) e medida de acurácia dada peloErro-Quadrático Médio, achado esse concordante com os textos de Zhang, Zhou e Jiao (2004),Yang e Wang (2008) e Wei (2012). O relatório é finalizado apresentado-se propostas de traba-lhos futuros e as limitações da análise aqui desenvolvida.

LISTA DE FIGURAS

2.1 Separação por máxima margem linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Separação por máxima margem linear na presença de folgas. . . . . . . . . . . 18

4.1 Representação gráfica da função de perda Lε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Representação gráfica da função de regressão linear. . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3 Representação gráfica da função de regressão não linear. . . . . . . . . . . . . 27

LISTA DE TABELAS

8.1 Resultados do teste de Diebold e Mariano (2002). . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.2 Resultados do Erro-Quadrático Médio (EQM) para os valores preditos. . . . . . . 49

LISTA DE ABREVIATURAS

AG Algorítimo Genético.

DJ Dow Jones Industrial Average Index.

GARCH Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.

HSI Hang Sang Index.

KOSPI Korea Stock Exchange Kospi Index.

KKT Karush-Kuhn-Tucker.

MSV Máquinas de Suporte Vetorial.

NSE National Stock Exchange.

NYSE New York Stock Exchange.

SH Shanghai Composite Index.

SVM Support Vector Machine.

SVR Support Vector Regression.

SSVR Smooth Support Vector Regression.

WSVM Wavelet Support Vector Machine.

SUMÁRIO

1 Introdução. 11

1.1 Proposta de pesquisa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Máquinas de Suporte Vetorial. 14

2.1 Máquinas de Suporte Vetorial com folgas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Referencial Teórico para o SVM. 20

3.1 Máquinas de Suporte Vetorial em Finanças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Formação de portfólios usando SVM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.2 Previsão da direção do Mercado usando SVM. . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Máquinas de Suporte para Regressão. 25

4.1 Support Vector Regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Referencial Teórico para o SVR. 30

5.1 Referencial Teórico para o SVR em Finanças. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.1 Formação de portfólios usando SVR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.2 Previsão do Retorno de Ativos Usando SVR. . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1.3 Previsão da Volatilidade de Ativos usando SVR. . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Fatos Estilizados em Séries Temporais Financeiras. 38

7 Núcleos nas Máquinas de Suporte Vetorial. 40

7.1 Ondaletas e SVM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7.1.1 Referencial Teórico sobre Ondaletas e SVM. . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 Máquinas de Suporte Vetorial com base em Ondaletas. 46

9 Conclusão. 50

Referências Bibliográficas 53

11

1 INTRODUÇÃO.

A previsibilidade em Séries Temporais Financeiras é desafiadora como apontado por Abu-

Mostafa e Atiya (1996), pois são séries permeadas de ruídos, não estacionariedade e presença

de um caos determinístico. A presença de um alto grau de ruído na série refere-se à indisponi-

bilidade de informações completas sobre o comportamento passado dos mercados financeiros,

que poderiam auxiliar na modelagem da dependência entre os preços futuros e passados, as-

sim, considera-se como ruído a informação que não está incluída no modelo, podendo ser

determinística ou estocástica. Já a característica de não estacionariedade da série implica que

a distribuição conjunta da série se altera ao longo do tempo, finalmente, o caos determinístico é

entendido como a presença de aleatoriedade em um curto prazo mas um padrão determinístico

a longo prazo. Desta forma, o presente relatório de estágio pós-doutoral tem como objetivo

apresentar como esses desafios que permeiam a modelagem de Séries Temporais Financeiras

podem ser, até certo ponto, superados por meio do uso das Máquinas de Suporte Vetorial e

Ondaletas.

A Teoria do Aprendizado Estatístico foi o campo no qual as Máquinas de Suporte Vetorial

foram desenvolvidas, e a maioria dos métodos de Teoria do Aprendizado Estatístico (incluindo

as Máquinas de Suporte Vetorial) seguem um princípio de Inferência Indutiva apresentado por

Hume (2000) mas definido e formalizado por Wolpert (1996). Nessa abordagem, os dados são

estudados a procura de um “padrão” que possa explicar determinado evento. Dessa forma,

para que a abordagem seja considerada válida é necessário que a Hipótese da Aprendizagem

Indutiva seja satisfeita. Essa hipótese é anunciada da seguinte forma (HAMEL, 2011):

Hipótese da Aprendizagem Indutiva. Uma função estimada com o objetivo de aproximar uma

determinada função alvo responsável pela geração dos dados obtidos no evento de interesse,

para um conjunto suficientemente grande de dados, também irá estimar adequadamente exem-

plos não observados do evento.

Nesse contexto, com o intuito de reconstruir o processo gerador dos dados por meio de

uma amostra observada surgem as Máquinas de Suporte Vetorial. As Máquinas de Suporte

12

Vetorial (Support Vector Machine - SVM) foram desenvolvidas por Vapnik (2000) com o intuito

de reconhecer padrões em um conjunto de dados. Por meio desse reconhecimento é possível

realizar um processo de inferência indutiva, o qual seria capaz de realizar previsões para um

conjunto de dados observados posteriormente a estimação dos parâmetros do modelo.

Em Séries Temporais Financeiras há evidências de que os dados observados sejam oriun-

dos de um Processo Dinâmico (SEWELL, 2011), o que explicaria a estrutura caótica frequente-

mente aparente nas Séries Temporais Financeiras. Dessa forma, segundo Takens (1981) para

sistemas dinâmicos de um certo tipo, a reconstrução do espaço de fase e a estrutura interna não

observada do sistema são topologicamente idênticas, caso a embedding dimension seja grande

o suficiente. Em outras palavras, sobre condições de regularidade1, caso as Séries Temporais

Financeiras sejam oriundas de Processo Dinâmico então o processo gerador dos dados pode

ser reconstruído.

De fato, a abordagem proposta por Vapnik (2000) é centrada na minimização simultânea do

erro de classificação empírico e na maximização da margem geométrica, também denominada

de Estimadores de Máxima Margem (TASKAR et al., 2004). O SVM aplica então o Princípio da

Minimização do Risco Estrutural, o qual procura minimizar o limite superior do erro de generali-

zação, em vez de minimizar apenas o erro do processo de estimação.

1.1 Proposta de pesquisa.

Tay e Cao (2001) afirmam que a qualidade da previsão em Séries Temporais Financeiras

está estritamente associada a escolha do núcleo utilizado nas Máquinas de Suporte Vetorial.

Essa afirmativa fica clara quando observa-se que o núcleo utilizado é o responsável pela forma-

ção da dependência entre as variáveis independentes e variável dependente.

Portanto, o presente relatório de estágio pós-doutoral tem como objetivo avaliar o grau de

acurácia para o núcleo das Máquinas de Suporte Vetorial construído por meio de Ondaletas

no contexto de previsão de Séries Temporais Financeiras. Mais especificamente, nesse rela-

tório será apresentada uma derivação das Máquinas de Suporte Vetorial para o contexto de

Regressão e Séries Temporais denominada Support Vector Regression - SVR.

Essas Séries Temporais Financeiras podem ser modeladas por meio do SVR, e este é com-

posto basicamente por uma função núcleo. As características dos núcleos que compõem o SVR

1Ruping e Morik (2003) ressalta que o Teorema de Takens (1981) não é válido para Sistemas Dinâmicos des-critos por equações diferenciais, assim, na prática não há como saber se o processo gerador dos dados pode ounão ser formado por um sistema de equações diferenciais.

13

no contexto de Séries Temporais Financeiras são estudadas bem como a utilização de Onda-

letas na composição e construção do núcleo K, com o intuito de incorporar os principais fatos

estilizados das Séries Temporais Financeiras e então avaliar a capacidade de previsibilidade

dessas séries, objetivo principal desse trabalho.

É importante ressaltar que o Princípio da Minimização do Risco Estrutural da Teoria do

Aprendizado Estatístico, no qual as Máquina de Suporte Vetorial foram baseadas, foi formulado

sobre a suposição de que os dados observados para o evento de interesse são independentes

e identicamente distribuídos (RUPING; MORIK, 2003), suposição essa claramente não satisfeita

no contexto de Séries Temporais Financeiras. Todavia, Fender (2004) demonstra que a maioria

dos teoremas centrais envolvidos na minimização do risco estrutural permanecem válidos para

dados dependentes desde que possuam uma estrutura de dependência fraca (RUPING; MORIK,

2003).

Segundo Ferreira (2011), apesar dessa restrição na validade das Máquinas de Suporte

Vetorial diversos trabalhos publicados utilizando as Máquinas de Suporte Vetorial em séries

temporais apresentaram bons resultados, justificando assim a utilização dessa abordagem em

Séries Temporais Financeiras.

Nesse relatório o Capítulo 2 apresenta o desenvolvimento do SVM clássico seguido pelo

Capítulo 3, o qual apresenta uma revisão na literatura de Econometria Financeira sobre as Má-

quinas de Suporte Vetorial com o intuito de contextualizar o leitor no ramo da aplicação dos

métodos de Teoria do Aprendizado Estatístico em finanças, bem como demonstrar a aplicabili-

dade das Máquinas de Suporte Vetorial nesse campo de pesquisa.

O Capítulo 4 apresentará o Support Vector Regression, sua construção e processo de es-

timação. Complementando esse capítulo, o Capítulo 5 demonstrará como o SVR pode ser

utilizado no contexto de Séries Temporais Financeiras, por meio de uma revisão na literatura.

A proposta de avaliação do núcleo por meio de Ondaletas é realizada posteriormente aos

Capítulos 6, 7 concomitando na seção sobre Ondaletas, os quais discutem respectivamente:

principais Fatos Estilizados das Séries Temporais Financeiras, condições necessárias e su-

ficientes para que um núcleo seja considerado admissível. No capítulo 8 é apresentado a

proposta de pesquisa a qual utiliza Máquinas de Suporte Vetorial com base em Ondaletas si-

métricas com o objetivo de incrementar a previsão de retornos financeiros quando comparados

com os núcleos tradicionais, nesse mesmo capítulo é apresentada uma aplicação da avaliação

aqui proposta e desenvolvida e o Capítulo 9 conclui esse relatório de pesquisa apresentando as

limitações desse trabalho, recomendações e ainda propostas de estudos futuros.

14

2 MÁQUINAS DE SUPORTE VETORIAL.

O modelo mais simples das Máquinas de Suporte Vetorial é o modelo de classificação linear

dicotômica1, no qual, tem-se como objetivo encontrar uma função de decisão na forma:

f (x) = sinal(wT x− γ

)(2.1)

onde x é um vetor de dimensão p×1 representando o vetor de observações arbitrárias com p

variáveis, w é o vetor de parâmetros também de dimensão p× 1 e γ é um parâmetro escalar

denominado termo de viés.

A estimação por máxima margem, consiste em determinar w e γ de modo que as observa-

ções “positivas” fiquem o mais separadas possível das observações “negativas”. Graficamente

tem-se na Figura 2.1:

Figura 2.1: Separação por máxima margem linear.

Fonte: Elaboração do autor.

1Existem diversas modificações sugeridas pela literatura para o SVM, entretanto, Steinwart (2002) discute quea proposta do SVM clássico (apesentada nesse trabalho) é universalmente consistente segundo determinadascondições, justificando assim a omissão dos outros métodos de SVM desse capítulo.

15

na qual observa-se a separação linear para as observações de um conjunto de duas variáveis,

uma vez que os dados são separados por meio dois segmentos de retas, e ς representa a

máxima margem que separaria os dois conjuntos de dados.

A formulação do problema de separação linear é iniciada considerando como insumos para

estimação uma matriz X de dimensão n× p, onde cada linha dessa matriz representa uma

observação coletada de uma população alvo, e cada coluna uma variável dessa população.

Ademais, considera-se para fins de estimação uma vetor y de dimensão n×1 contendo somente

dois tipos de valores: +1 ou −1 representando o grupo no qual a observação se encontra.

Assim, no caso linear desejamos resolver o seguinte problema de programação matemática:

Maximize: ς =2‖w‖

Sujeito a

D(Xw− γ1)≥ 1

para w ∈ Rp,γ ∈ R.

(2.2)

onde 1 é um vetor unitário de dimensão n×1 e D = diag(y).

Sem perda de generalidade, o problema descrito em (2.2) pode ser escrito na forma:

Minimize: ς∗ = 12wT w

Sujeito a

D(Xw− γ1)≥ 1

para w ∈ Rp,γ ∈ R,

(2.3)

o qual torna-se um problema de programação quadrática. Todavia, o caso de separação linear

é apenas um caso particular e deseja-se no entanto uma formulação capaz de lidar com pro-

blemas que possuam não-linearidade. Considere então ao invés de um vetor x de dados, uma

aplicação na forma:

x → φ(x)

Rp 7→ Rq(2.4)

16

tal que q >> p. Dessa forma, o problema de separação não linear pode ser escrito como:

Minimize: ς∗ = 12wT w

Sujeito a

D(Φw− γ1)≥ 1

para w ∈ Rq,γ ∈ R,

(2.5)

onde:

Φ =

φ(x1)

T

φ(x2)T

...

φ(xn)T

(2.6)

é uma matriz de dimensão n× q, nesse caso o vetor w possui como dimensão q× 1. Mais

conveniente é resolver a forma dual de Wolfe (1961) do problema (2.6). O primeiro passo para

se obter a forma dual de Wolfe (1961) é encontrar a função Lagrangeana do problema (2.5), em

outras palavras:

L(w,γ) = 12wT w−λT [D(Φw− γ1)−1] (2.7)

derivando em relação as variáveis de decisão w e γ obtêm-se:

∂

∂wL(w,γ) = wT −λT DΦ = 0⇒ wT = λT DΦ

∂

∂γL(w,γ) = λT D1 = 0

(2.8)

Note ainda que λT D1 = 1T Dλ. Assim, substituindo os valores obtidos em (2.8) em (2.5) a

forma dual de Wolfe (1961), é obtida:

Maximize: L =−12λ

T DΦΦT DTλ+1Tλ

Sujeito a

1T Dλ= 0

para λ≥ 0.

(2.9)

onde λ é o vetor de multiplicadores de Lagrange de dimensão n×1, 0 é um vetor de zeros com

dimensão n×1.

17

O vetor de parâmetros w oriundos do problema primal pode ser obtido utilizando-se a se-

guinte relação em função de λ: wT = λT DΦ, ademais, baseado nas condições de Karush-

Kuhn-Tucker (KKT) nem todo λ será igual a zero. As observações cujo λ seja diferente de

zero são denotadas como Suportes Vetoriais e são tangenciadas pela função de decisão

yi = φ(xi)T w− γ, consequentemente o valor de γ é obtido tomando-se alguma observação que

seja um Suporte Vetorial e então substituir na expressão yi = φ(xi)T w− γ juntamente com os

valores de w.

Ademais, como a aplicação φ(xi) pode ser desconhecida, pode-se utilizar a expressão

wT = λT DΦ em yi = φ(xi)T w− γ a qual resulta em uma forma equivalente da função de deci-

são, em outras palavras:

yi = φ(xi)T w− γ ⇒

yi = φ(xi)T (ΦT Dλ

)− γ ⇒

yi = φ(xi)T(

φ(x1) φ(x2) · · · φ(xn))

Dλ− γ ⇒

yi =n

∑j=1

K(xi,x j)y jλ j− γ

(2.10)

onde, K(xi,x j) = φ(xi)T φ(x j) é denominado núcleo (kernel). É interessante ainda notar a

forma que a multiplicação de matrizes ΦΦT toma, isso é:

ΦΦT =

φ(x1)

T φ(x1) φ(x1)T φ(x2) · · · φ(x1)

T φ(xn)

φ(x2)T φ(x1) φ(x2)

T φ(x2) · · · φ(x2)T φ(xn)

...... · · · ...

φ(xn)T φ(x1) φ(xn)

T φ(x2) · · · φ(xn)T φ(xn)

(2.11)

.

O produto interno φ(xi)T φ(x j), para i = 1, . . . ,n e j = 1, . . . ,n pode ser escrito como uma

função bivariada na forma de núcleo, tal que K(xi,x j) = φ(xi)T φ(x j). Esse núcleo no entanto,

deve seguir as condições de Mercer (1909) para que seja considerado um núcleo admissível.

O problema (2.9) pode ser escrito em uma forma mais compacta, a qual é também resolvida

de maneira mais simples, uma vez que na prática a aplicação x→ φ(x) que leva Rp 7→ Rq é

frequentemente desconhecido.

Dessa forma, é mais interessante trabalhar com a matriz K formada pelos elementos

K(xi,x j) já que a multiplicação de matrizes ΦΦT pode ser computacionalmente extensiva, pois

o vetor φ(x) pode possuir, inclusive, possuir dimensão infinita. O problema na sua forma com-

18

pacta é então dado por:


T DKDTλ+1Tλ

Sujeito a

1T Dλ= 0

para λ≥ 0.

(2.12)

2.1 Máquinas de Suporte Vetorial com folgas.

Apesar da formulação (2.12) contemplar boa parte dos casos práticos da utilização das Má-

quinas de Suporte Vetorial, há casos em que não deseja-se ser “tão estritos”, isto é, permite-se

algum erro na classificação com o intuito de construir um modelo mais parcimonioso. Eviden-

temente, os erros obtidos devem ser penalizados no problema de Programação Matemática

utilizado na estimação dos parâmetros.

Graficamente, esse fato pode ser representado pela Figura 2.2, na qual os valores são

separados por margens lineares, mas com alguns pontos mal classificados.

Figura 2.2: Separação por máxima margem linearna presença de folgas.


onde na Figura 2.2, os valores ξl e ξk representariam, respectivamente, as variáveis de folga

para as observações l e k. Mais formalmente, pode-se alterar o problema (2.5) adicionando-se

19

variáveis de folga e penalizando-as na função objetivo:

Minimize: ς∗ = 12wT w+C1Tξ

Sujeito a

D(Φw− γ1)+ξ ≥ 1

ξ ≥ 0

para w ∈ Rq,γ ∈ R,

(2.13)

onde o vetor ξ de dimensão n×1 representa as variáveis de folgas para cada uma das obser-

vações contidas nos dados, C é uma constante fixa conhecida que penaliza a soma dos erros,

isso é, das classificações errôneas, por meio da quantia 1Tξ. Seguindo os mesmos passos

apresentados anteriormente para a construção do dual de Wolfe (1961) tem-se:

L(w,γ,ξ) = 12wT w+C1Tξ−λT [D(Φw− γ1)+ξ−1]−µTξ, (2.14)

onde λ e ξ são os multiplicadores de Lagrange. Derivando com respeito as variáveis de decisão

tem-se:

∂

∂wL(w,γ,ξ) = wT −λT DΦ = 0⇒ wT = λT DΦ

∂

∂γL(w,γ,ξ) = λT D1 = 0

∂

∂ξL(w,γ,ξ) =C1T −λT −µT = 0.

(2.15)

Note que como, λ≥ 0 e µ≥ 0 e também C−λi−µi = 0, para todo i = 1, . . . ,n, isso implica

que λi =C−µi, e portanto, 0≤ λi ≤C−µi. Usando essa informação e substituindo os valores

encontrados em (2.15) no problema (2.13) obtêm-se a forma dual de Wolfe (1961):


T DKDTλ+1Tλ

Sujeito a

yTλ= 0

para 0≤ λ≤C1.

(2.16)

20

3 REFERENCIAL TEÓRICO PARA O SVM.

Para compreender como as Máquinas de Suporte Vetorial podem ser utilizadas no contexto

de Econometria Financeira, faz-se necessária uma revisão na literatura sobre as principais apli-

cações desse método em finanças, objetivo do presente capítulo.

3.1 Máquinas de Suporte Vetorial em Finanças.

As aplicações das Máquinas de Suporte Vetorial em Séries Temporais Financeiras podem

ser, basicamente, agrupadas em dois segmentos: aplicações na formação de portfólio e previ-

são da direção do Mercado.

3.1.1 Formação de portfólios usando SVM.

A primeira aplicação direta de SVM em finanças refere-se ao estudo de Fan e Palaniswami

(2001) os quais apresentaram uma proposta para a formação de portfólios por meio das Má-

quinas de Suporte Vetorial. Utilizando dados contábeis e informações sobre os preços das

ações das corporações de interesse negociadas na Bolsa de Valores Australiana, os autores

formularam uma proposta para a construção de portfólios por meio do SVM, proposta essa que

apresentou retornos superiores ao modelo benchmark1 de Mercado, de fato, o portfólio formado

utilizando SVM apresentou um retorno total de 208%, enquanto o retorno total do Mercado foi

de 71%.

Utilizando os relatórios contábeis anuais, Fan e Palaniswami (2001) agruparam as informa-

ções em oito categorias financeiras, a saber: retorno sobre o capital, rentabilidade, alavanca-

gem, investimento, crescimento, liquidez de curto prazo, retorno sobre o investimento e risco.

Para o conjunto de variáveis que compunham cada uma das categorias Fan e Palaniswami

(2001) realizaram uma Análise de Componentes Principais e definiram o primeiro componente

1O retorno de referência (benchmark) foi determinado pelos autores por meio de uma carteira de investimentosuniformemente ponderada composta por todas as ações disponíveis para a classificação.

21

principal como a variável representativa do grupo de categoria financeira, essa variável foi então

armazenada para a formação do portfólio de interesse.

A variável dependente foi definida pelos autores como sendo o desempenho das ações, a

qual foi classificada como superior (Classe 1) se as ações estiverem acima do terceiro quartil

empírico para o retorno dessas, e inferior (Classe 2) para as piores ações, isso é, aquelas que

possuíram retorno inferior ao primeiro quartil empírico da distribuição de retornos das corpora-

ções da Bolsa de Valores Australiana.

Como o número de observações pertencentes a Classe 1 e Classe 2 eram muito diferentes,

os autores precederam com uma abordagem de SVM para dados não balanceados. Essa

abordagem foi inicialmente proposta por Veropoulos, Campbell e Cristianini (1999) e tem como

princípio a modificação do problema dual clássico de SVM apresentado em (2.12), no qual

permite-se que “custos” diferenciados possam ser atribuídos as observações da Classe 1 e

Classe 2. Matematicamente, tem-se:


T DKDTλ+1Tλ

Sujeito a

yTλ= 0

para 0≤ λ≤C+1+ e 0≤ λ≤C−1−.

(3.1)

onde 1+ é um vetor que recebe valor igual a 1 na i-ésima posição se a i-ésima observação for

da Classe 1 (isto é, yi = +1) e zero caso contrário, já o vetor 1− assume valor igual a 1 na

i-ésima posição se a i-ésima observação for da Classe 2 (isto é, yi =−1) e zero caso contrário.

As constantes C+ e C− representam, respectivamente os custos de uma classificação errônea

para as Classes 1 e 2.

Utilizando o Problema de Programação Matemática apresentado em (3.1), Fan e Pala-

niswami (2001) usaram as informações dos anos de 1992 e 1993 para realizar a estimação

dos parâmetros do modelo SVM e o ano de 1994 foi utilizado para se validar o modelo, então

enfim, realizar a previsão para o ano de interesse, isso é, o ano de 19952.

Finalmente, utilizando o valor predito da variável dependente estimada após a solução do

problema (3.1) foram criados dois grupos: Classe 1, contendo os resultados contidos no terceiro

quartil empírico, e Classe 2 com os resultados contidos no primeiro quartil e então um portfólio

com ponderação uniforme é construído com base nesses ativos. Outros autores como Yu, Lu

e Chang (2008) e Huerta, Corbacho e Elkan (2013) mostram que essa abordagem supera o

2Os autores utilizaram esse processo para outros anos também. A análise completa de Fan e Palaniswami(2001) utilizou dados para a previsão para os anos de 1995 a 1999

22

Mercado consistentemente, abrindo assim espaço para mais pesquisa sobre esse tema.

Ainda no campo de construção de portfólios, Gupta, Mehlawat e Mittal (2012) propõem

uma abordagem para construção de carteiras de investimento usando, simultaneamente, SVM

e Algoritmos Genéticos. Nessa abordagem, os autores selecionam alguns ativos classificados

em três categorias segundo o desempenho destes ativos e o resultado do SVM, em seguida

o Algoritmo Genético (AG) é utilizado para se solucionar um problema multi-critério específico

para formar a carteira de investimento de interesse (GUPTA; MEHLAWAT; SAXENA, 2008). Quatro

covariáveis foram utilizadas pelos autores para a análise, a saber: retorno de curto prazo; re-

torno de longo prazo; liquidez e risco para o período de 36 meses. As observações analisadas

compunham o índice indiano de mercado denominado National Stock Exchange (NSE). A abor-

dagem híbrida proposta apresentou um desempenho 91.66% na acurácia de classificação dos

ativos para a formação de portfólios, o que consequentemente leva a um bom desempenho no

retorno esperado pela carteira de investimentos construída.

Mais recentemente, uma abordagem similar ao texto seminal de Fan e Palaniswami (2001)

é a proposta de Huerta, Corbacho e Elkan (2013). Os autores propõem uma abordagem men-

sal diferentemente de Fan e Palaniswami (2001) os quais seguem uma abordagem anual para

a construção das carteiras de investimento. Huerta, Corbacho e Elkan (2013) utilizam as ações

classificadas com o maior posto para posições de longo prazo na carteira e as de ranking mais

baixos para vendas a curto prazo. O período de análise utilizado pelos autores compreende os

anos de 1981 a 2010 cujos indicadores de liquidez, volume e preço foram utilizados como co-

variáveis. Especificamente, os autores aplicam filtros específicos para dois desses indicadores

com o intuito de aumentar o grau de acurácia do modelo. Essas transformações para os indica-

dores de liquidez e volume foram respectivamente os filtros de Khandani e Lo (2011) (baseado

em Kyle (1985)), Média Móvel Exponencial para multiplicação do retorno pelo volume no mesmo

período. Para esses três grupos de indicadores foram construídos indicadores fundamentalis-

tas e técnicos para a construção da carteira de investimento. Os autores então concluem que a

abordagem proposta (para o conjunto de dados estudados) forneceu um retorno anual de 15%

com volatilidade de aproximadamente 8% para a carteira formada.

3.1.2 Previsão da direção do Mercado usando SVM.

Emir, Dinçer e Mehpare (2012) utilizaram indicadores técnicos e financeiros para formar

portfólios por meio das 10 “melhores” empresas classificadas pelo SVM, no Mercado turco de

ações. De fato, os autores definiram como população de estudo todas as ações que com-

punham o Índice Istanbul Stock Exchange (ISE) para o período de 2002 a 2010. A variável

23

dependente binária foi definida como assumindo +1 para os 10 ativos com maior retorno anual

e−1 caso contrário. A inovação do trabalho de Emir, Dinçer e Mehpare (2012) sobre os demais

trabalhos citados nesse texto está no fato de que os autores incorporaram em sua análise, si-

multaneamente, indicadores financeiros técnicos e fundamentalistas. Os autores comparam o

SVM com as Redes Neuronais em quatro cenários: somente indicadores técnicos; indicadores

fundamentalistas; indicadores técnicos e fundamentalistas e seleção específica de indicadores

para a análise como o método proposto por Rodriguez-Lujan et al. (2010). O SVM apresen-

tou superioridade na acurácia de previsão para a maioria das comparações realizadas, além do

mais, o núcleo que apresentou o melhor desempenho foi o núcleo Gaussiano para o SVM. Emir,

Dinçer e Mehpare (2012) reforçam o indicativo da potencialidade do SVM na previsão financeira,

motivando assim a investigação mais aprofundada desse modelo no contexto financeiro.

Outra possibilidade de abordagem envolve a previsão da “direção” dos preços de ativos.

Kim (2003) compara a utilização das Redes Neuronais via back-propagation versus as Máqui-

nas de Suporte Vetorial e relata a superioridade das SVM sobre as Redes Neuronais. Os dados

utilizados por Kim (2003) eram 12 indicadores técnicos que foram utilizados como variáveis in-

dependentes na previsão da direção da mudança dos preços das ações que compunham o

Índice de Mercado da Coreia (KOSPI). As classes utilizadas pelo autor foram Classe 1, as ob-

servações cujo preço do KOSPI no dia posterior era superior ao dia inferior, e a Classe 2 no

qual a observação apresentava para o dia posterior uma queda no preço comparada com o dia

anterior. Os dados utilizados foram observações diárias dos preços do KOSPI juntamente com

os 12 indicadores técnicos para o período de Janeiro 1989 à Dezembro 1998. 80% das obser-

vações foram utilizadas para a estimação dos parâmetros, enquanto as 20% superiores foram

utilizadas para a validação do modelo, ademais, para fins de estabilidades, o autor padronizou

todos os dados em uma escala de (−1,1). Para os dados de validação, o SVM apesentou

um grau de acerto de aproximadamente 57.83%, enquanto a rede neuronal back-propagation

apesentou um percentual de acerto de 54.73%.

Similar ao estudo de Kim (2003), Zhang e Zhao (2010) também estudaram a “direção”

dos preços, mas ao invés de utilizar o mercado de ações, os autores estudaram o mercado

de câmbio. Especificamente, Zhang e Zhao (2010) trabalharam com os dados históricos dos

preços do câmbio euro/dólar oriundos do sistema Bloomberg. O intervalo de dados utilizado foi

de 10 de julho de 2007 a 9 de julho de 2009 incluindo um total de 523 dias. Em seguida, Zhang

e Zhao (2010) escolheram nove variáveis para representar a direção dos preços no qual, tem-se

Classe 1 (isto é, yi =+1), quando houve um aumento no preço e zero caso contrário e Classe

2, quando houve uma queda no preço (isto é, yi =−1) e zero caso contrário 3. Todas as nove

3Zhang e Zhao (2010) definiram que um retorno inferior a 0.5% deveria ser considerado como ausência de

24

variáveis foram defasadas em quatro períodos para permitir a previsão da direção do preço.

Nesse caso, quando o valor da função de decisão obtida pelo SVM com núcleo gaussiano fosse

absolutamente diferente de 0.1 então a previsão era realizada, caso contrário não deveria se

utilizar o valor para realizar a previsão da direção do preço. Quando o critério de previsibilidade

utilizado para a função de decisão foi de 0.1, o percentual de acerto para a direção do preço

obtido pelos autores foi de 63.2%. Entretanto, quando aumentou-se o rigor e trabalhou-se com

um patamar de 0.5, o percentual de acerto subiu para 69% na previsão de 50 dias a frente.

É claro que quanto maior o nível escolhido para realizar a previsão, menor a capacidade do

analista de realizar a previsão, pois menos pontos se enquadrariam nesse nível. Zhang e Zhao

(2010) concluem que o SVM é uma ferramenta capaz de realizar previsões em séries antes

consideradas “imprevisíveis”.

mudança, nesse caso, essas observações foram removidas da análise.

25

4 MÁQUINAS DE SUPORTE PARA REGRESSÃO.

4.1 Support Vector Regression.

Uma variação do SVM no contexto de regressão é o que é denominado por Support Vector

Regression (SVR) desenvolvido por Drucker et al. (1997). Nesse contexto, o problema básico

de regressão é encontrar uma função a qual aproxima determinado conjunto de dados. Nesse

caso, deseja-se encontrar uma função f (x) que aproxima um determinado vetor y a menos de

um erro de previsão ε especificado.

Uma decisão fundamental nesse problema é determinar o grau de “perda”, isso é rea-

lizado por meio de uma função de perda, por exemplo, aceitar-se-ia uma diferença igual a

|yi− f (xi)| ≤ ε, mas a medida que esse valor se afasta do erro permissível ε, há a atribui-

ção de uma penalização numérica para o modelo.

Em outras palavras, a função perda clássica utilizada no SVR é dada por:

Lε [yi, f (xi)] =

0 ,se|yi− f (xi)| ≤ ε

|yi− f (xi)|− ε ,caso contrário.(4.1)

Graficamente essa função pode ser esboçada pela Figura 4.1:

26

Figura 4.1: Representação gráfica da função de perda Lε.


Além de considerar a função perda, o SVR minimiza simultaneamente o recíproco da mar-

gem, isso é, wT w. Assim como no caso do SVM, permitimos a inclusão de variáveis de folga

como apresentado na Figura 4.2:

Figura 4.2: Representação gráfica da função de regressão linear.


No caso não linear a representação gráfica seria algo como a Figura 4.3:

27

Figura 4.3: Representação gráfica da função de regressão não linear.


O problema primal para o SVR clássico com vetores de erros (ξ,ξ∗) (variáveis de folga) é

dado por:

Minimize: L = 12wT w+C1Tξ+C1Tξ∗

Sujeito a

φ(xi)T w− yi ≤ ε+ξi, para i = 1, . . . ,n

yi−φ(xi)T w− yi ≤ ε+ξ∗i , para i = 1, . . . ,n

com ξi ≥ 0,ξ∗i ≥ 0, para i = 1, . . . ,n,

(4.2)

onde no problema de Programação Matemática, φ(xi) é uma aplicação na forma:

x → φ(x)

Rp 7→ Rq,(4.3)

tal que q >> p. O problema (4.2) ainda pode ser escrito como:

Minimize: ς∗ = 12wT w+C1Tξ+C1Tξ∗

Sujeito a

φ(xi)T w−ξi ≤ ε+ yi, para i = 1, . . . ,n

φ(xi)T w+ξ∗i ≥ yi− ε, para i = 1, . . . ,n

com ξi ≥ 0,ξ∗i ≥ 0, para i = 1, . . . ,n.

(4.4)

28

o qual, em sua forma matricial assume a forma apresentada em (4.5):

Minimize: ς∗ = 12wT w+C1Tξ+C1Tξ∗

Sujeito a

−Φ(x)w+ξ ≥−ε1−y

+Φ(x)w+ξ∗ ≥−ε1+y

para ξ ≥ 0,ξ∗ ≥ 0.

(4.5)

Note que a matriz Φ de dimensão n× q possui a mesma representação apresentada em

(2.6). Colocando na forma Lagrangeana, tem-se:

L(w,ξ,ξ∗) = 12wT w+C

[1Tξ+1Tξ∗

]−λT [−Φ(x)w+ξ+ ε1+y]

−λ∗T [+Φ(x)w+ξ∗+ ε1−y]−µTξ−µ∗Tξ∗(4.6)

onde os vetores µ,µ∗,λ e λ∗ são os Multiplicadores de Lagrange para cada um dos quatro

grupos de restrições. Derivando com respeito as variáveis de decisão, tem-se:

∂

∂wL(w,ξ,ξ∗) = wT −λT Φ−λ∗T Φ = 0⇒ wT =(λ∗T −λT)Φ

∂

∂ξL(w,ξ,ξ∗) =C1T −λT −µT = 0∂

∂ξ∗L(w,ξ,ξ∗) =C1T −λ∗T −µ∗T = 0

(4.7)

Substituindo os valores encontrados em (4.7) na equação (4.6), obtêm-se o seguinte pro-

blema de Programação Matemática:

Maximize: L∗(λ,λ∗) =−12

(λ∗T −λT)ΦΦT − ε

(λT 1+λ∗T 1

)+(λ∗T −λT)y

Sujeito a

0≤ λ,λ∗ ≤C1.

(4.8)

onde ΦΦT possui a mesma representação apresentada em (2.11) a qual é igual a matriz de

núcleo K composta pelos elementos K(xi,x j) = φ(xi)T φ(x j) para i = 1, . . . ,n e j = 1, . . . ,n.

Note ainda que a restrição apresentada vem do fato que C1T −λT −µT = 0, C1T −λ∗T −µ∗T = 0 e µ≥ 0,µ∗ ≥ 0.

A função de regressão estimada é dada então por f (xi) = φ(xi)T w, como w = ΦT (λ−λ),

29

temos:

f (xi) = φ(xi)T w⇒

f (xi) = φ(xi)T ΦT (λ∗−λ)⇒

f (xi) = φ(xi)T(

φ(x1) φ(x2) · · · φ(xn))(λ∗−λ)⇒

f (xi) =n

∑j=1

φ(xi)T

φ(x j)(λ∗j −λ j

)⇒

f (xi) =n

∑j=1

K(xi,x j)(λ∗j −λ j

)(4.9)

Ademais, de maneira similar é possível ainda trabalhar com um termo de viés na função

de regressão na forma f (xi) = φ(xi)T w− γ, procedendo com os mesmos passos realizados

anteriormente.

30

5 REFERENCIAL TEÓRICO PARA O SVR.

Nesse capítulo é apesentado o referencial teórico para o SVR no contexto de Séries Tem-

porais Financeiras. A abordagem para estimação de volatilidades, bem como seu algoritmo de

construção também são apresentados.

5.1 Referencial Teórico para o SVR em Finanças.

Similarmente ao SVM, as aplicações do SVR em Séries Temporais Financeiras podem ser

agrupados em três segmentos: aplicações na formação de portfólio, previsão do retorno de

ativos e previsão da volatilidade de ativos.

5.1.1 Formação de portfólios usando SVR.

Recentemente, Huang (2012) propôs um método híbrido envolvendo o SVR e Algoritmos

Genéticos para a seleção ótima de ativos para formar uma carteira de investimentos (portfólio).

O princípio é o mesmo apresentado por Huang e Wang (2006) mas possibilitando a variação

das covariáveis inseridas no modelo via Algorítimo Genético (AG) e otimização dos parâmetros

do SVR também via AG. A proposta de Huang (2012) pode ser inicialmente sumarizada pelos

seguintes passos, para cada ativo disponível:

1. Faça t = 1.

2. Usando as covariáveis disponíveis e os parâmetros do modelo SVR estimados até o

tempo t, encontre o valor predito para o retorno do ativo para o tempo t +1.

3. Escolha m ações com o maior valor predito para o tempo t +1, forme o portfólio e avalie

o retorno obtido.

4. Faça t = t +1 e repita os passos 2 e 3 até que a série temporal termine.

31

Huang (2012) no entanto, indica que a qualidade do modelo estimado via SVM (ou SVR)

depende fortemente das covariáveis utilizadas e dos parâmetros estimados para o modelo SVR.

Dessa forma, o autor propôs a utilização de um Algorítimo Genético para selecionar as cova-

riáveis adequadas bem como o valor ótimo para os parâmetros. Assim, o modelo SVR com

Algorítimo Genético proposto pelo autor pode ser representado pelos seguintes passos:

1. Faça t = 1.

2. Estime os parâmetros do modelo SVR e as covariáveis via AG usando os dados disponí-

veis até o tempo t, e então, encontre o valor predito para o retorno do ativo para o tempo

t +1.

3. Escolha m ações com o maior valor predito para o tempo t +1, forme o portfólio e avalie

o retorno obtido.

4. Faça t = t +1 e repita os passos 2 e 3 até que a série temporal termine.

Com base nessa estrutura e utilizando os dados padronizados entre o intervalo [-1,+1],

realizou-se a comparação dos portfólios formados via SVR puro, SVR com escolha dos parâ-

metros e covariáveis via AG, bem como outras duas modificações do SVR com AG. Especi-

ficamente, o autor utilizou as 200 maiores empresas na Bolsa de Valores de Taiwan como o

universo de investimento para o período de 1996 a 2010 e dados contábeis como insumos para

estimação da previsão do retorno via SVR. Huang (2012) mostrou que quando se utilizou o SVR

puro obteve-se um retorno acumulado de aproximadamente 275% (para carteira com 20 ativos)

e aproximadamente 350% combinando SVR e Algorítimo Genético (para uma carteira com 10

ativos), já o benchmark teve seu maior retorno acumulado igual a 175%.

5.1.2 Previsão do Retorno de Ativos Usando SVR.

Tay e Cao (2001) são os precursores do uso do Support Vector Regression (SVR) em

finanças. Especificamente, os autores comparam a acurácia do SVR em relação ao modelo não-

paramétrico de Redes Neuronais, utilizando para isso um conjunto de dados, a saber: título do

governo americano com vencimento em 30 anos (CBOT-US), título da dívida pública americana

com vencimento em 10 anos (CBOT-BO), título público alemão com vencimento em 10 anos

(EUREX-Bund) e índices de ações futuras do governo francês (MATIF-CAC40). Os autores

utilizaram para as 5 variáveis (em seus respectivos preços de fechamento) a transformação para

a diferença relativa de cinco dias em percentagem do preço sugerida por Thomason (1999).

32

Essa transformação, segundo Tay e Cao (2001) é capaz de corrigir a cauda pesada dos

dados e o alto grau de curtose frequentemente presente nas Séries Temporais Financeiras,

aproximando os dados então de uma distribuição Normal. Os autores, antes da aplicação,

fazem mais duas transformações nos dados: substituem os valores faltantes, definido pelos

autores como valores superiores (inferiores) a 2 desvios-padrão. A última alteração nos dados

realizada pelos autores foi alterar a escala dos dados de modo que estes fiquem restritos ao

intervalo [−0.9,0.9].

Para cada variável associada ao indicador financeiro de interesse, utilizou-se como cova-

riáveis para previsão o próprio indicador defasado 1,2, . . . ,4 períodos e uma variável represen-

tando a média móvel exponencial para os preços de fechamento. Tay e Cao (2001) comparam

então a acurácia do SVR em relação ao modelo de Redes Neurais (Back-Propagation) com

cinco nós de entradas (um para cada defasagem mais a média móvel exponencial) e um nó de

saída (representando o valor presente), o número de camadas ocultas variou entre 4 e 10 e os

autores escolheram o modelo que apresentou melhor acurácia segundo os seguinte critérios:

erro quadrático médio normalizado, erro médio absoluto, simetria direcional e simetria direcional

ponderada.

Os autores concluem que para a maioria das métricas de acurácia, o SVR supera a uti-

lização das Redes Neurais e concluem o texto informando que o Support Vector Regression

é promissor na previsão de Séries Temporais Financeiras devido aos seguintes fatos: o SVR

minimiza não somente o erro empírico mais também a Minimização do Risco Estrutural; o SVR

apresenta menos parâmetros livres do que as Redes Neuronais; o SVR converge sempre para

um máximo global, o que pode não ocorrer nas Redes Neurais; o processo de estimação nas

Redes Neuronais requerem experiência e um alto grau de subjetividade, diferentemente do

SVR. Entretanto, os autores apontam como dificuldade do SVR a escolha das constantes fixas

do modelo, as quais são obtidas usualmente, via validação cruzada.

Ainda no contexto de Séries Temporais, Stefan (2001) apresenta uma discussão sobre o

uso das Máquinas de Suporte Vetorial para dados temporais. O autor sugere o uso das obser-

vações defasadas para a modelagem de dados temporais, em outras palavras, considerando

o vetor xT = (x1, . . . ,xT−1,xT ), a variável dependente para o SVR seria justamente o vetor x,

mas as variáveis independentes seriam construídas com base no vetor x, tal que a matriz de

33

delineamento seja representada, por exemplo, na forma:

X =

xT−1 xT−2 · · · xT−l

xT−2 xT−3 · · · xT−l−1...

... · · · ...

x3 x2 · · · −x2 x1 · · · −x1 − ·· · −

(5.1)

Note entretanto, que algumas observações são perdidas, de fato, para l defasagens, perdem-

se l observações na análise. Stefan (2001) comenta as propriedades dos núcleos (kernels) para

dados temporais. Especificamente, no caso do núcleo linear, obtêm-se um modelo idêntico ao

modelo Autoregressivo de ordem l. O autor argumenta que a transformada de Fourier é fre-

quentemente usada em análise de dados oriundos de séries de tempo. Segundo Stefan (2001)

esta representação é útil se as informações das séries temporais não residem exclusivamente

nos valores individuais de cada observação temporal, mas também na frequência de algumas

dessas observações. Com base nessa argumentação e utilizando o trabalho de Vapnik (1998,

pg. 470), observa-se que o produto interno de expansão de Fourier de duas séries de tempo

pode ser diretamente calculado utilizando a seguinte função núcleo:

K(xi,x j) =1−θ2[

1−2θcos(xi−x j

)]+θ2 (5.2)

onde θ é o parâmetro do núcleo. Stefan (2001) em seu trabalho sugere ainda a possibilidade

da utilização das Máquinas de Suporte Vetorial para Análise Multivariada de Séries Temporais,

apresentando inclusive uma proposta de abordagem.

A análise de Fundos Mútuos foi realizada por Lu, Yu e Lin (2008) os quais comparam a

performance do Smooth Support Vector Regression (SSVR) proposta por Lee, Hsieh e Huang

(2005) contra as Redes Neuronais. O SSVR superou as Redes Neurais segundo Índice de

Sharpe, o qual assumiu aproximadamente os valores 3.09 e 2.74 para o SSVR e Redes Neu-

ronais, respectivamente. Lu, Yu e Lin (2008) utilizaram os dados do mercado de Taiwan para o

período composto de Janeiro de 2004 a Dezembro de 2004. Após a estimação do SSVR e das

Redes Neuronais, os 10 melhores fundos com melhor valor predito foram então utilizados para

a composição de uma carteira, fornecendo assim os valores dos Índices de Sharpe de 3.09

e 2.74. Ademais, os autores realçam que no período em que o Mercado se comporta como

um Bear Market ambos os modelos apresentam um baixo retorno, mas ainda assim, superior

34

ao mercado, e nos períodos de Bull Market ambos os modelos apesentam um grau elevado

de retorno comparado com o Mercado e destacando a utilização do SSVR sobre as Redes

Neuronais.

Tay e Cao (2001) iniciam seu texto argumentando que a previsão de séries temporais fi-

nanceiras é considerada como uma das aplicações mais desafiadoras no moderno campo de

previsão em séries temporais. De fato, citando Abu-Mostafa e Atiya (1996) e Hall (1994) afir-

mam que as Séries Temporais Financeiras são inerentemente permeadas de “ruído”, são não-

estacionárias e consideradas deterministicamente caóticas. Comparando o poder de previsibi-

lidade do SVR contra o modelo de Redes Neuronais multi-camadas via back-Propagation, os

autores demonstraram a superioridade do primeiro para os critérios de Erro Quadrático Médio

Normalizado, Erro Médio Absoluto, Simetria Direcional e Simetria Direcional Ponderada, para

isso, os autores utilizaram os dados de cinco contratos futuros obtidos a partir do mercado Chi-

cago Mercantile. Esses contratos referiam-se aos índices das 500 ações da Standard & Poor,

títulos públicos americanos de 30 anos, títulos públicos americanos de 10 anos, títulos públicos

germânicos de 10 anos e o índice de ações do governo francês. Os períodos de tempo utiliza-

dos por Tay e Cao (2001) variaram de 1992 a 1999 e os valores de fechamento foram utilizados

como informação inicial.

Entretanto, Tay e Cao (2001) não trabalharam com os valores originais dos dados. De

fato, os autores realizaram a transformação sugerida por Thomason (1999) para o preço de

fechamento, criando assim a diferença percentual relativa para 5 dias de transação para cada

uma das cinco séries utilizadas. As séries transformadas foram então defasadas 4 vezes, e

essas defasagens juntamente com a transformação da diferença do preço de fechamento com

o valor das Médias Móveis Exponenciais para 15 períodos foram utilizadas como covariáveis na

previsão futura dos ativos. Já a variável dependente foi construída por meio de Médias Móveis

Exponenciais para 3 períodos do preço de fechamento transformado.

Outras duas operações foram realizadas por Tay e Cao (2001): os valores discrepantes

(considerados pelos autores aqueles valores acima ou abaixo de 2 desvios-padrão) foram im-

putados pelo valor mais próximo dessa observação; os dados foram ainda padronizados para o

intervalo [−0.9,0.9]. Em seguida os dados foram particionados em três grupos: base de estima-

ção, base de validação e base para a previsão. Somente um núcleo foi explorado pelos autores,

a saber: kernel Gaussiano. Os autores concluem afirmando a superioridade do SVR sobre as

Redes Neuronais quanto a previsão das séries financeiras estudadas. Entretanto, alguns pon-

tos são destacados pelos autores como a sensibilidade das constantes de refinamento do SVR

na previsão de valores, determinação dessas quantias e a escolha do núcleo são problemas

35

não triviais a serem ainda explorados.

Huang et al. (2010) trabalham com a abordagem de SVR no mercado de câmbio. Os auto-

res ressaltam no início do texto, com base nos trabalhos de Cao (2003) e Huang e Wu (2010),

a dificuldade de previsão em Séries Temporais Financeiras, dificuldade essa devida a presença

de não-linearidade e não-estacionariedade, principalmente para as taxas de câmbio. Huang

et al. (2010) relatam que o SVR tem se tornado o “estado da arte” no que se diz respeito a

problemas de classificação e regressão, devido principalmente ao fato de que essa técnica su-

pera, na maioria dos casos, outros métodos como as Redes Neuronais. A abordagem dos

autores é realizada por meio da teoria do caos determinístico em finanças como indicado por

Scheinkman e LeBaron (1989) e Frank e Stengos (1988). Essa abordagem corrobora para a

utilização do SVR, pois considera-se que a representação caótica observada pode ser mode-

lada por alguma função não-linear permeada de ruído, essa função poderia ser estimada via

SVR no caso das Séries Temporais Financeiras. A ideia da abordagem de Huang et al. (2010)

é reconstruir o atrator do sistema dinâmico responsável pela criação da série de dados cambial

por meio do que é conhecido por delay coordinate embedding (TAKENS, 1981), o qual resulta em

um espaço de estado reconstruído, que contém um atrator caótico reconstruído, preservando

assim as propriedades tanto geométricas quanto dinâmicas do atrator caótico original. Usando

essas informações reconstruídas, os autores utilizaram o Support Vector Regression para re-

alizar a previsão de algumas taxas de câmbio, a saber: Euro/Dólar (EUR/USD), Libras/Dólar

(GBP/USD), NZD/Dólar (NZD/USD), AUD/Dólar (AUD/USD), Yen/Dólar (JPY/USD) e RUB/Dólar

(RUB/USD) para o período de 3 de Janeiro de 2005 a 31 de Dezembro de 2007, segmentando

os dados em uma base utilizada para estimação (80% dos dados) e outra para validação (20%

das observações restantes). Em seguida, os autores comparam o desempenho das previsões

do SVR, SVR utilizando a abordagem de caos determinístico, Redes Neuronais e Redes Neu-

ronais com a abordagem de caos determinístico, usando para isso o Erro Quadrático Médio,

Raiz do Erro Quadrático Médio e Erro Médio Absoluto como medidas de desempenho. Huang

et al. (2010) demonstram a superioridade do SVR com a abordagem de caos determinístico

sobre os demais métodos. De fato, o segundo método que apresentou o melhor desempenho,

consistentemente para todas as medidas de desempenho foi o SVR. Ratificando mais uma vez

para o potencial do SVR na previsão de Séries Temporais Financeiras.

No caso do SVR aplicado em finanças, Lai, Liu e Hu (2013) demonstram que o núcleo

construído por meio da distribuição de Lévy para os dados de três índices financeiros (Hang

Sang Index (HSI), Dow Jones Industrial Average Index (DJ) e Shanghai Composite Index (SH)

apresentou resultado superior ao kernel mais popular, a saber, o núcleo Gaussiano. Segundo

os autores, a distribuição e Lévy apesentada satisfaz as condições de Mercer (1909). Desta

36

forma, o kernel é admissível para o modelo SVR. Os autores concluem que o aumento na

acurácia ocorreu em três mercados, com enfase especial no mercado de Changai representado

pelo índice HSI. Esse aumento na robustez do método é justificado pelos autores devido ao fato

da distribuição de Lévy ser capaz de incorporar assimetrias, bem como a presença de caudas

pesadas frequentemente presentes nas Séries Temporais Financeiras. Finalmente, os autores

sugerem como estudos futuros o uso de outras distribuições de probabilidade para a construção

de kernels tais como Secante Hiperbólica, T de Student e distribuição de Laplace.

5.1.3 Previsão da Volatilidade de Ativos usando SVR.

Chen, Härdle e Jeong (2010) apesentam como o SVR pode ser utilizado na estimação,

e consequentemente, na previsão da volatilidade de Séries Temporais Financeiras via modelo

Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH). Os autores demonstram

que o SVR baseado na estrutura GARCH supera os GARCH paramétrico clássico, as Redes

Neuronais para estimação da volatilidade e o modelo de Médias Móveis para voltailidade se-

gundo os critérios de Erro Médio Absoluto e Acurácia Direcional para a previsão um período

a frente e múltiplos períodos a frente. Os dados utilizados pelos autores foram compostos por

duas séries, a saber: a taxa de câmbio diária entre a Libra Esterlina e o Dólar entre 02 de julho

de 2003 a 30 junho de 2005 e o índice New York Stock Exchange (NYSE) para o período de 3

de julho de 2003 a 30 junho de 2005. Os dados utilizados foram transformados em log-retornos

percentuais, considerando uma estrutura AR(1)-GARCH(1,1) para os dados, Chen, Härdle e

Jeong (2010) definem o seguinte processo gerador de dados:

yt = f (yt−1)+ εt

ε2t = g(ε2

t ,ut−1)+ut−1

(5.3)

onde os termos εt e ut são os termos de erro para os retornos e volatilidade dos dados, respec-

tivamente. A estimação é então realizada em três passos:

1. Inicialmente, modela-se o SVR com estrutura yt = f (yt−1) e então os resíduos εt são

obtidos.

2. Em seguida, recursivamente, modela-se um SVR para os quadrados dos resíduos tal que

ε21,ε

22, . . . ,ε

2T1

para T1 < T atualizando a cada etapa na forma ε2t = g(ε2

t ,ut−1)+ut−1.

3. Finalmente, modela-se SVR para o quadrado dos resíduos obtidos no Passo 2 sem a

atualização para que se obtenha as estimativas futuras das volatilidades.

37

O trabalho de Chen, Härdle e Jeong (2010) é baseado no texto de Chen e Jeong (2005)

os quais especificam um modelo ARIMA não-linear via SVR. Ademais há outros autores que

trabalharam com a previsão de volatilidade por meio de SVM, são eles Pérez-Cruz, Afonso-

Rodriguez e Giner (2003). Entretanto, a proposta desses autores é baseada somente para a

estrutura GARCH(1,1) e o modelo apresentado peca por falta de robustez como relatado por

Chen, Härdle e Jeong (2010).

Nacionalmente a realização de previsão para volatilidade usando SVR foi estudada por

Ferreira (2011). Usando o teste de Diebold e Mariano (2002) para comparar a qualidade da pre-

visão realizada pelo que o autor denominou SVM-GARCH (baseado no texto de Chen, Härdle e

Jeong (2010)) comprovaram a superioridade do SVR na realização de previsão da volatilidade

de Séries Temporais Financeiras.

38

6 FATOS ESTILIZADOS EM SÉRIES TEMPORAISFINANCEIRAS.

Um “fato estilizado” é um conjunto de propriedades comuns observadas empiricamente para

amostras obtidas em algum ramo de conhecimento, mais especificamente, em econometria

financeira. As séries temporais observadas apresentam determinadas características comuns

aos dados. Essas características são denominadas fatos estilizados.

A utilização desses fatos como um mecanismo de pesquisa empírica vem sendo empregada

ao longo do tempo, em diversos ramos da ciência. Uma vez identificadas essas características

e, após a consistente averiguação das mesmas, modelos teóricos são propostos.

No campo de finanças, Ane e Geman (2000) demonstram que os dados usuais associados

às séries financeiras não possuem distribuição normal, sendo a distribuição lognormal a que

mais se aproxima do padrão dos dados financeiros. Assim, os autores aconselham o uso de

métodos não paramétricos para o tratamento e análise de dados financeiros, uma vez que essa

abordagem é livre de estruturas paramétricas e uma proposição para a distribuição do processo

gerador dos dados torna-se desnecessária. Nesse contexto, as Máquinas de Suporte Vetorial

podem ser utilizadas já que o método é por natureza, não paramétrico.

Cont (2001) apresenta um conjunto de fatos estilizados emergentes em finanças para a

análise das variações dos preços em vários tipos de mercados financeiros. Primeiramente,

Cont (2001) discute questões gerais comuns a todos os estudos quantitativos associados às

Séries Temporais Financeiras. Várias propriedades estatísticas dos retornos dos ativos são,

então, descritas no artigo, como: propriedades distribucionais, propriedades da cauda e ob-

servações extremas, dependência linear e não linear dos retornos no tempo. O autor também

argumenta quanto à importância da incorporação desses fatos estilizados na composição e

construção de modelos teóricos e estatísticos com o intuito de acurar a análise dos dados e a

formulação teórica de modelos. Similarmente a Cont (2001), Sewell (2011) faz um apanhando

das principais características das Séries Temporais Financeiras no campo da Teoria Estatística

do Aprendizado.

39

De maneira sumarizada, os principais fatos estilizados relatados para as Séries Temporais

Financeiras são:

1. Ausência de autocorrelação linear: a autocorrelação linear dos retornos financeiros

são frequentemente não significantes, exceto para dados observados no período intraday

com escala inferior a 20 minutos, para os quais o efeito da microestrutura econômica se

apresenta fortemente.

2. Caudas pesadas: a distribuição incondicional dos retornos segue uma lei de potências

ou Pareto nas caudas da distribuição.

3. Assimetria para ganhos ou perdas: os dados financeiros possuem frequentemente

mais valores negativos do que valores positivos induzindo a uma assimetria.

4. Aglomeração de volatilidades: diferentes medidas de volatilidade apresentam autocor-

relação positiva durante vários períodos de tempo, dessa forma, altas volatilidades ten-

dem a estar agrupadas no tempo, assim como baixas volatilidades. Fornecendo assim

uma indicação natural da presença de dois regimes: um regime com alta volatilidade e

um regime com baixa volatilidade.

5. Efeito de alavancagem: a maioria das medidas de volatilidade está correlacionada ne-

gativamente com os retornos do ativo estudado.

6. Memória Longa: há evidências empíricas de que as Séries Temporais Financeiras pos-

suam memória longa.

7. Reversão a Média: os retornos tendem a seguir um padrão médio para as Séries Tempo-

rais Financeiras, em outras palavras, valores de retornos extremos tendem a não persistir.

Após algum período, esses retornos se aproximam novamente do valor médio da série.

Com base no exposto, a proposta é construir um núcleo para o SVR por meio de Ondaletas

que, na medida do possível, adeque o modelo a esses fatos estilizados. Isso é importante, pois

como apresentado nos Capítulos 3 e 5 a maioria das aplicações se utilizam de transformações

nos dados para aumentar a acurácia do método, essa necessidade de transformar os dados

pode ser justificada pela utilização de núcleos “pobres”, os quais não incorporariam as peculi-

aridades exigidas pelas Séries Temporais Financeiras. Nesse contexto, o campo de Ondaletas

pode ser útil pois além de tratar parte desses fatos estilizados, a abordagem de Ondaletas

também é capaz de atuar em séries temporais não-estacionárias como as séries financeiras.

40

7 NÚCLEOS NAS MÁQUINAS DE SUPORTE VETORIAL.

Segundo, Tay e Cao (2001) a escolha do núcleo utilizado em uma Máquina de Suporte

vetorial é crucial para o bom desempenho do modelo no que tange a previsibilidade de valo-

res em Séries Temporais Financeiras. Um núcleo (ou kernel) define a similaridade entre duas

observações e permite ao analista a inserção de um conhecimento prévio sobre o domínio do

problema. Além do mais, o núcleo contém toda a informação relativa que liga as observações

ao algoritmo de aprendizagem, e pode portanto, ser utilizado sem a apresentação explícita do

conjunto de dados originais, em outras palavras, os dados coletados entram como insumos das

posições da matriz núcleo representada por (2.11).

Outra vantagem da utilização do núcleo é que o número de operações computacionais

para a estimação dos parâmetros da Máquina de Suporte Vetorial é reduzido quando se utiliza

a matriz núcleo fornecida diretamente por (2.11) (matriz de Gram) ao invés de computar a

operação ΦΦT , pois uma das dimensões da matriz ΦT pode ser muito grande ou até mesmo

infinita.

Matematicamente, define-se o núcleo como:

Definição 7.1. Seja X um conjunto não vazio. A função K : X ×X → R é denominada núcleo

(kernel) se existe um espaço vetorial com produto interno H , e uma aplicação φ : X → H tal

que para todos xi,x j ∈ X tem-se:

K(xi,x j) = φ(xi)T

φ(x j)

para todo i, j.

É interessante que se possa construir núcleos diretamente da aplicação φ e também des-

construir a função núcleo a ponto de recuperar a aplicação φ, principalmente no caso de Séries

Temporais Financeiras, pois a estrutura de dependência dos dados é representada exatamente

pela forma de φ. Quando pode-se utilizar φ para construir o kernel e também se for possível

encontrar φ para uma função núcleo dada, dizemos que o núcleo é admissível. A condição ne-

cessária e suficiente para que as etapas anteriores sejam possíveis é que o núcleo seja positivo

41

definido (SCHÖLKOPF; SMOLA, 2002). Assim:

Definição 7.2. Seja X um conjunto não vazio, então, define-se um núcleo K como um núcleo

positivo definido se para todo n ∈N e todos x1, . . . ,xn ∈ X a matriz de núcleos K cujos elemen-

tos são compostos por K(xi,x j), para todos i, j é positiva definida, em outras palavras, vale:

n

∑i=1

n

∑j=1

cic jK(xi,x j)≥ 0

para todos ci,c j ∈ R

Esse tipo de núcleo pode ser utilizado livremente na construção das Máquinas de Suporte

Vetorial. Uma definição mais completa de um kernel admissível é apresentada por Schölkopf

e Smola (2002). Segundo Schölkopf e Smola (2002), um núcleo é considerado admissível se

esse satisfaz as condições de Mercer (1909), as quais podem ser sumarizadas da seguinte

forma (SCHÖLKOPF; SMOLA, 2002):

Teorema 7.1. Seja X o domínio de uma função, considere uma função real bivariada, simétrica

e contínua K(., .) definida em X ×X . Então, K é dito satisfazer as condições de Mercer se:

∫K(x,y)g(x)g(y)dxdy≥ 0

para todo (x,y) ∈ X ×X e para todo g(.) ∈ L2(X ) (função quadrado-integrável).

Schölkopf e Smola (2002) apresentam algumas propriedades dos núcleos admissíveis,

quais sejam:

Propriedade 7.1. Sejam K1 e K2 núcleos admissíveis, então as seguintes propriedades valem:

1. K p1 , para p ∈ N é um núcleo admissível.

2. λK1 + γK2, para λ,γ > 0 é um núcleo admissível.

3. K1K2 é um núcleo admissível.

Com base no exposto, pode-se definir estratégias para a construção de núcleos que sejam

considerados admissíveis, em última estância, o proposito é construir um núcleo admissível por

meio de Ondaletas que seja capaz de modelar (ao máximo) os principais fatos estilizados em

finanças com o intuito de melhorar a previsão de valores em Séries Temporais Financeiras via

Support Vector Machine.

42

7.1 Ondaletas e SVM.

Na Teoria de Ondaletas, o método de Análise de Multiresolução usa como base fatores

para dilatação (a) e translação (c) em diferentes espaços de dimensão para obter uma família

de funções Ondaletas (Wavelets). Dado Ψ ∈ L2(R) com a > 1 e c > 0, admita {Ψm,n}m,n∈Z =

{DamTncΨm,n}m,n∈Z ,então , essa família de funções gera uma estrutura de Ondaleta em L2(R),onde Ψ é denominando ondaleta “mãe” e a,c são parâmetros dessa ondaleta. Pode-se ainda

expressar a ondaleta da seguinte forma:

Ψa,c(y) =1√|a|

Ψ

(y− c

a

)(7.1)

onde y ∈R, tal que a > 0 é o fator de dilatação e c ∈R o fator de translação. Assim, a transfor-

mada em Ondaleta de uma f (y) ∈ L2(R) pode ser escrita como o produto interno entre f (y) e

Ψa,c(y), em outras palavras, Wa,c( f ) = 〈 f (y),Ψa,c(y)〉 o qual indica a decomposição da função

f (.) por meio de ondaletas. Para que Ψ(y) seja considera uma ondaleta mãe é necessário e

suficiente que (MORETTIN, 2014):

WΨ =∫

∞

0

|H(ω)|2

|ω|dω (7.2)

onde H(ω) é a transformada de Fourier de Ψ(y). Ademais, necessita-se ainda que∫

∞

−∞

Ψ(t)dt =

0 e∫

∞

−∞

|Ψ(t)|dt < ∞

Segundo Yang e Wang (2008), algumas funções ondaletas mãe para algumas funções base

podem ser utilizadas para se gerar uma estrutura adequada para a decomposição por Onda-

letas, e ao satisfazer as condições de Mercer (1909) podem ser utilizadas para a construção

de núcleos admissíveis no contexto de Máquinas de Suporte Vetorial. A condição de Mercer

(1909) nesse caso, segue uma estrutura similar ao que foi apresentado anteriormente, em ou-

tras palavras se

∫∫L2⊗L2

K(x,x′)g(x)g(x′)dxdx′ ≥ 0 (7.3)

é satisfeito para todo g(x) ∈ L2(Rp) então dizemos que o núcleo é admissível, logo, K(x,x′)

pode ser escrito como um produto interno, tal que K(x,x′) = K(〈x,x′〉) = φ(x)T φ(x′). Ademais,

no espaço L2(Rp) se g = {Ψi} é uma estrutura de ondaleta e K(x,x′) = ∑i

λiΨi(x)Ψi(x′),

para λi > 0 e λi < λi+1 o núcleo apresentado pode ser considerado como uma função ondaleta

43

multidimensional (YANG; WANG, 2008). Li, Zhou e Licheng (2001) apresentam o seguinte teorema

utilizado por Strauss e Steidl (2002) em seu trabalho:

Teorema 7.2. Seja Ψ(.) uma determinada função ondaleta mãe com a e c fatores de dilatação

e translação respectivamente, então a função núcleo via ondaletas pode ser escrita como:

K(x,x′) =p

∏i=1

Ψ

(xi− ci

ai

)Ψ

(x′i− c

′i

a′i

)(7.4)

se

F (k)(ω) =∫Rp

exp [−i〈ω,x〉]k(x)dx≥ 0 (7.5)

para x,x′ ∈Rd e k(x) = K(〈x,x′〉). Caso (7.5) seja satisfeito e o núcleo utilizado seja invariante

a translação, i.e., K(x,x′) = k(x−x′) então o núcleo construído via ondaletas pode ser escrito

como (ZHANG; ZHOU; JIAO, 2004):

K(x,x′) = k(x−x′) =p

∏i=1

Ψ

(xi−x′i

ai

)(7.6)

Corroborando para os achados de Yang e Wang (2008), Neumann, Schnörr e Steidl (2003)

afirmam que a união entre a abordagem de Máquinas de Suporte Vetorial usando como núcleos

funções ondaletas fornece resultados mais acurados do que a utilização única das Máquinas de

Suporte Vetorial com núcleos tradicionais. Especificamente, os autores apresentam ferramentas

para a resolução eficiente desse tipo de problema híbrido, uma vez que a otimização desse tipo

de problema, conforme os autores, é robusta e necessita de outras abordagens de otimização

além dos algoritmos clássicos.

7.1.1 Referencial Teórico sobre Ondaletas e SVM.

Após uma vasta busca na literatura, o primeiro texto encontrado utilizando simultaneamente

SVM e Ondaletas foi produzido por Strauss e Steidl (2002). Os autores propuseram as bases

teóricas para o que denominaram de Wavelet Support Vector Machine - WSVM. Nesse sen-

tido, Zhang, Zhou e Jiao (2004) desenvolvem ainda mais a ideia de Wavelet Support Vector

Machine. Os autores afirmam que um suporte vetorial admissível construído por meio de onda-

letas é nada mais do que uma espécie de função ondaleta multidimensional capaz de aproximar

funções não lineares arbitrárias, de fato, uma vez que a técnica de ondaletas tem apresentado

44

bons resultados na literatura quanto a aproximação de sinais não estacionários e também para

classificação de elementos, seria interessante incorporar essa técnica às Máquinas de Suporte

Vetorial. Zhang, Zhou e Jiao (2004) declaram que se a inequação (7.3) vale, então, K(x,x′)

pode ser escrito como um produto interno K(〈x,x′〉) = 〈φ(x),φ(x′)〉 em algum espaço de ca-

racterística. Um caso especial citado pelos autores são os núcleos invariantes a translação,

i.e., K(x,x′) = k(x− x′), os quais são admissíveis se satisfazem a inequação (7.3) (condição

de Mercer (1909)). Uma forma de testar se um núcleo invariante a translação é admissível ou

não é por meio do Teorema (7.2) também reproduzido no texto de Zhang, Zhou e Jiao (2004).

Utilizando a ondaleta mãe de Morlet, os autores demonstraram via simulação a superioridade

do núcleo construído via ondaleta sobre o núcleo Gaussiano utilizando uma função univariada

arbitrária, uma função bivariada arbitrária e um conjunto de dados reais para a classificação de

imagens. Como medida de erro, os autores utilizaram:

δ =

√√√√√√√√n

∏i=1

(yi− fi)2

n

∏i=1

(yi− yi)2

(7.7)

onde yi é a variável resposta para a i-ésima observação e fi o valor estimado para a função f por

meio das Máquinas de Suporte Vetorial. Para os três experimentos gerados, o núcleo construído

via ondaletas supera o núcleo Gaussiano. Zhang, Zhou e Jiao (2004) afirmam que como o

núcleo via ondaleta é aproximadamente ortonormal e como o núcleo Gaussiano não o é, isso

implicaria em uma redundância na informação produzida pelo núcleo Gaussiano, justificando

em parte, a ineficiência desse núcleo quando comparado com o núcleo construído por meio da

ondaleta mãe de Morlet.

Yang e Wang (2008) aplica o WSVM na detecção de ataques de negação de serviço (De-

nial of Service (DoS Attack)) o qual é basicamente uma tentativa de tornar os recursos de um

sistema indisponíveis para seus utilizadores. Yang e Wang (2008) averiguaram por meio de si-

mulação que sob as mesmas condições, a capacidade de previsão do WSVM supera o clássico

SVM em cerca de 4%, além do mais, a taxa de falsos positivos produzidas pelo WSVM é me-

nor do que a taxa produzida pelo clássico SVM na aplicação estudada. Os autores utilizaram

como funções mãe ondaletas a função de Morlet, Ψ(y) = cos(5y)exp(−y2/2) a qual produz a

seguinte função núcleo:

K(x,x′) =p

∏i=1

cos

(5(xi− x

′i)

ai

)exp

[−(xi− x

′i)

2

2a2i

](7.8)

45

e o Chapéu Mexicano, Ψ(y) = (1− y2)exp(−y2/2) o qual produz a seguinte função núcleo:

K(x,x′) =p

∏i=1

(1− (xi− x

′i)

2

a2i

)exp

[−(xi− x

′i)

2

2a2i

](7.9)

Os resultados apresentados pelos autores indicam que o desempenho da classificação via

SVM usando núcleos baseados em ondaletas, como a ondaleta de Morlet e o chapéu Mexicano

produz resultados melhores do que o SVM utilizando o núcleo Gaussiano, motivando assim a

construção de núcleos por meio de ondaletas para a previsão de Séries Temporais Financeiras.

Wu (2010) aplica o SVM juntamente com a abordagem de Ondaletas no contexto de pre-

visão de demanda futura para o abastecimento na cadeia de suprimentos de organizações.

Segundo o autor, o SVM não é adequado para modelar séries temporais com poucas obser-

vações, não linearidade, ruídos e imprecisão de medida. Utilizando WSVM e Otimização por

Enxame de Partículas (Particle Swarm Optimization - PSO) o autor constrói uma abordagem

mista a qual denominada PSOWν− SV M a qual superou os métodos tradicionais de previsão

via Máquinas de Suporte Vetorial para uma determinada aplicação apresentada pelo autor no

caso de uma série temporal representando a venda de carros. Mais especificamente, usando

um conjunto de covariáveis normalizadas a previsão do número de carros vendidos em um de-

terminado período foi estimada usando as ondaletas de Morlet, Gaussiana complexa, chapéu

Mexicano e núcleo Gaussiano. Para cada um dos modelos utilizados as medidas de Erro Mé-

dio Absoluto, Erro Médio Absoluto Percentual e Erro Quadrático Médio foram computadas para

se avaliar a qualidade na previsão dos resultados. Wu (2010) afirma ainda que além de apre-

sentar bons resultados, o método PSOWν− SV M supera a “maldição da dimensionalidade”

e apresenta outras propriedades interessantes como a forte capacidade de aprendizagem em

pequenas amostras, o bom desempenho de generalização, insensibilidade ao ruído ou valores

extremos e a seleção automática dos parâmetros ideais.

Wei (2012) apresenta como o modelo WSVM pode ser utilizado para prever os níveis de

água, por hora, nas estações hidrométricas na China. O autor, também utilizando o núcleo ba-

seado na ondaleta mãe de Morlet, mostrou via simulação que os resultados obtidos superavam

os resultados do núcleo Gaussiano para a medida de Erro Quadrático Médio Relativo. Assim

como outros autores, Wei (2012) normalizou os dados com o intuito de melhorar a previsibili-

dade das Máquinas de Suporte Vetorial, ademais, o autor fixou o parâmetro de penalização do

SVM, C = 1000, parâmetro ε = 0.01 e o fator de dilatação para a ondaleta mãe foi fixado em

1. O autor conclui seu texto, declarando que o WSVM tem se apresentado promissor no que se

diz respeito sobre previsão de séries temporais em comparação com o SVM tradicional.

46

8 MÁQUINAS DE SUPORTE VETORIAL COM BASE EMONDALETAS.

Como exposto anteriormente, a previsão em Séries Temporais Financeiras é desafiadora,

uma vez que esse tipo de série apresenta particularidades não incorporadas na maioria dos

métodos de Econometria Financeira, tais como: não estacionariedade, caudas pesadas, corre-

lação não linear, etc..

Nesse sentido, o presente capítulo apresenta a proposta de pesquisa a qual se objetiva na

construção de Máquinas de Suporte Vetorial com base em Ondaletas simétricas e sua avaliação

em respeito aos principais núcleos utilizados na construção dos Support Vector Regression

para séries temporais. A simetria requerida para os núcleos de Ondaletas é uma a propriedade

desejável e requisito suficiente e necessário para que o núcleo desenvolvido seja considerado

permissível.

Para isso, as bases teóricas apresentadas no Capítulo 7 são utilizadas e as famílias de

ondaletas simétricas são estudadas e então utilizadas na construção das Máquinas de Suporte

Vetorial na previsão de Séries Temporais Financeiras.

Com o intuito de avaliar a capacidade de previsibilidade do WSVM na previsibilidade de

retornos financeiros utilizou-se os dados do Índice Bovespa (valor no fechamento) entre Janeiro

de 2000 e Dezembro de 2013 padronizados, isso é, subtraiu-se o valor do índice pela sua média

amostral e o resultado foi então dividido pelo desvio-padrão amostral, como sugerido por Tang,

Tang e Sheng (2009) 1 com o seguinte conjunto de ondaletas mãe simétricas:

1. Ondaleta de Morlet.

2. Chapéu Mexicano.

Essas ondaletas foram então comparadas com os seguintes núcleos (SOUZA, 2010):

1Os dados foram todos padronizados, exceto para o núcleo de Fourier o qual os dados foram normalizadosentre 0 e 2π.

47

1. Núcleo Linear.

2. Núcleo Gaussiano.

3. Núcleo de Fourier.

4. Núcleo Tangente Hiperbólica.

5. Núcleo Quadrático Racional.

6. Núcleo Multi-Quadrático.

7. Núcleo Circular.

8. Núcleo Esférico.

Com base nas ondaletas descritas anteriormente, utilizou-se o período de 2000 a 2012

para a construção da Máquina de Suporte Vetorial a qual minimizava o Erro-Quadrático Médio

dos valores preditos para o ano de 2013 usando 9 observações passadas como covariáveis.

Especificamente, para todos os núcleos utilizou-se a busca em grelha (Grid Search), no caso

dos núcleos via ondaletas utilizou-se para o fator de dilatação variando de 0 a 5. Com o intuito

de comparar os resultados, utilizou-se ainda os núcleos Gaussiano, Exponencial, Quadrático

Racional, Circular e Esférico com parâmetro σ variando de 0 a 5, e núcleo de Fourier com

parâmetro q variando de 0 a 1 e finalmente para os núcleos Linear, Tangente Hiperbólica e

Multi-Quadrático utilizou-se para a busca o intervalo do parâmetro c entre -1 e 1.

Especificamente, as Máquinas de Suporte Vetorial foram todas construídas por meio do

software R, usando bibliotecas específicas para otimização quadrática, já os núcleos utilizados

foram todos construídos como funções de dois argumentos e cujo resultado fornecido era o

valor do núcleo para os dois pontos apresentados. Os dados utilizados foram obtidos por meio

do Yahoo Finance com o suporte do software R para download da série temporal no servidor

do Yahoo. Utilizando a abordagem descrita, observou-se que o valor ótimo para os fatores de

dilatação para a ondaleta de Morlet e Chapéu Mexicano foram equivalentes, ambos iguais a

2.55. Para comparar os valores preditos entre todos os núcleos estudados utilizou-se o teste

de Diebold e Mariano (2002) em relação as Máquinas de Suporte Vetorial construídas por meio

dos núcleos de ondaletas, cujos resultados são apresentados na tabela 8.1:

48

Núcleo 1 Núcleo 2 Estatística DM Nível críticoMexicano Gaussiano 0.2754 0.7832Mexicano Morlet -0.3113 0.7558Mexicano Fourier -12.6423 ≤ 10−10

Mexicano Linear -11.601 ≤ 10−10

Mexicano Circular -8.5337 ≤ 10−10

Mexicano Esférico -11.9131 ≤ 10−10

Mexicano Multi-Quadrático -51.5208 ≤ 10−10

Mexicano Quadrático Racional -10.9301 ≤ 10−10

Mexicano Tangente Hiperbólica -46.0118 ≤ 10−10

Mexicano Exponencial -11.5013 ≤ 10−10

Morlet Gaussiano 0.5868 0.5578Morlet Fourier -12.6147 ≤ 10−10

Morlet Linear -11.4918 ≤ 10−10

Morlet Circular -8.5329 ≤ 10−10

Morlet Esférico -11.822 ≤ 10−10

Morlet Multi-Quadrático -51.5208 ≤ 10−10

Morlet Quadrático Racional -10.8517 ≤ 10−10

Morlet Tangente Hiperbólica -46.0115 ≤ 10−10

Morlet Exponencial -45.9671 ≤ 10−10

Tabela 8.1: Resultados do teste de Diebold e Mariano (2002).

Os resultados do teste de Diebold e Mariano (2002) indicam que para quase todos os nú-

cleos a hipótese nula de equivalência na precisão da previsão é rejeitada. Especificamente, a

medida de precisão definida como L = |ε1|2−|ε2|2 onde ε1 e ε2 são a diferença entre o valor

predito e observado para os modelos 1 e 2, respectivamente. Entretanto, quando comparados

os núcleos via ondaletas e o núcleo Gaussiano, não há evidências de rejeição da hipótese nula,

sugerindo assim uma possível equivalência na qualidade das previsões geradas por meio das

Máquinas de Suporte Vetorial com núcleos Gaussiano, Morlet e Chapéu Mexicano.

Para as combinações de núcleos apresentados anteriormente, avaliou-se o Erro-Quadrático

Médio (EQM) dos valores preditos para estes, resultado apresentado na Tabela 8.2:

49

Núcleo 1 Núcleo 2 EQM1 EQM2 EQM1/EQM2Mexicano Gaussiano 0.0012 0.0012 1.0234Mexicano Morlet 0.0012 0.0012 0.9748Mexicano Fourier 0.0012 0.0103 0.1167Mexicano Linear 0.0012 0.0043 0.279Mexicano Circular 0.0012 0.2264 0.0053Mexicano Esférico 0.0012 0.0048 0.2491Mexicano Multi-Quadrático 0.0012 1.45E+08 8.33E-12Mexicano Quadrático Racional 0.0012 0.0045 0.2666Mexicano Tangente Hiperbólica 0.0012 5.3123 0.0002Mexicano Exponencial 0.0012 0.0047 0.2562Morlet Gaussiano 0.0012 0.0012 1.0498Morlet Fourier 0.0012 0.0103 0.1198Morlet Linear 0.0012 0.0043 0.2862Morlet Circular 0.0012 0.2264 0.0055Morlet Esférico 0.0012 0.0048 0.2555Morlet Multi-Quadrático 0.0012 1.45E+08 8.33E-12Morlet Quadrático Racional 0.0012 0.0045 0.2734Morlet Tangente Hiperbólica 0.0012 5.3123 0.0002Morlet Exponencial 0.0012 0.0047 0.2628

Tabela 8.2: Resultados do Erro-Quadrático Médio (EQM) para os valores preditos.

Um resultado interessante obtido com base na Tabela 8.2 é de apesar de não haver evidên-

cias para a rejeição da hipótese nula de equivalência na precisão da previsão entre os núcleos

via Ondaletas e o Gaussiano, os primeiros apresentaram pontualmente um Erro-Quadrático

Médio menor. Ademais entre os núcleos via ondaleta de Morlet e Chapéu Mexicano, o Chapéu

Mexicano apresentou, pontualmente, um Erro-Quadrático Médio menor apesar de não ser uma

ondaleta ortogonal. Outro cometário importante a ser feito é que em geral, os núcleos apresen-

taram uma razão entre os Erro-Quadráticos Médios em intervalos razóaveis, exceto pelo núcleo

Multi-Quadrático que apresentou um erro de previsão muito superior aos demais núcleos.

50

9 CONCLUSÃO.

O presente relatório de estágio pós-doutoral avaliou a capacidade de previsibilidade dos

núcleos via ondaletas simétricas, a saber: Ondaleta de Morlet e Chapéu Mexicano. Especifica-

mente, essa análise foi desenvolvida para o contexto de Séries Temporais Financeiras por se

tratar de um campo desafiador uma vez que são séries permeadas de ruídos, não estacionari-

edade e presença de um caos determinístico.

A abordagem aqui apresentada, desenvolvida e implementada é inovadora e inédita por ter

sido aplicada em um contexto nacional, por utilizar núcleos que até o momento da finalização

desse relatório não foram implementados em softwares estatísticos, por construir uma revisão

teórica completa e exaustiva do uso das Máquinas de Suporte Vetorial em finanças e por utilizar

as Séries Temporais Financeiras. Além do mais, como constata-se do referencial apresentado

nos Capítulos 5 e 7 a abordagem da análise via Máquinas de Suporte Vetorial é recente, permi-

tindo assim a possibilidade da contribuição acadêmica dos mais diversos pesquisadores.

De fato, a qualidade da previsibilidade dos retornos financeiros via Máquina de Suporte

Vetorial está diretamente relacionada com o núcleo utilizado na análise, especificamente nesse

trabalho, os núcleos via ondaletas como o núcleo de Morlet e Chapéu Mexicano apresentaram

resultados superiores ao núcleo Gaussiano na previsibilidade os retornos do Índice Bovespa,

essa superioridade pontual apesar de não ser estatisticamente significante, corrobora para os

achados de Zhang, Zhou e Jiao (2004), Yang e Wang (2008) e Wei (2012) os quais averiguaram

que os núcleos construídos via Ondaletas são superiores ao núcleo Gaussiano.

Esse trabalho no entanto, expandiu o contexto de análise e avaliação dos núcleos via On-

daletas pois além de comparar esses núcleos com o núcleo Gaussiano, comparou ainda com

outros núcleos popularmente utilizados, quais sejam: Núcleo Linear , Fourier, Tangente Hiper-

bólica, Quadrático Racional, Multi-Quadrático ,Circular e Esférico. Para todos os núcleos ava-

liados, exceto pelo núcleo Gaussiano, os núcleos via ondaletas de Morlet e Chapéu Mexicano

apresentaram resultados estatisticamente significantes para a qualidade da previsibilidade dos

retornos financeiros estuados no que tange ao Teste de Diebold e Mariano (2002).

51

Corroborando ainda para os achados de Yang e Wang (2008), Neumann, Schnörr e Steidl

(2003) os quais afirmam que a união entre a abordagem de Máquinas de Suporte Vetorial

usando como núcleos funções ondaletas fornece resultados mais acurados do que a utilização

única das Máquinas de Suporte Vetorial com núcleos tradicionais, esse trabalho demonstrou

que para o principal Índice do Bovespa essa acurácia se mantêm quando o objetivo é a previsi-

bilidade dos retornos financeiros.

Entretanto, há algumas limitações para esse trabalho, quais sejam: impossibilidade da im-

plementação de outras Ondaletas mães não simétricas e a utilização de ondaletas não orto-

gonais. No caso de Ondaletas mães não simétricas, as condições de Mercer (1909) não são

satisfeitas como apresentado no Capítulo 7, entretanto, alguns autores utilizaram esses núcleos

não admissíveis em suas análises e obtiveram bons resultados, mesmo que teoricamente a

construção das Máquinas de Suporte Vetorial esteja comprometida.

Especificamente, no caso de ondaletas não simétricas, He e Yan (2007) utilizaram o WSVM

na detecção de danos estruturais no campo de engenharia civil. Para isso, os autores utilizaram

os seguintes núcleos: polinomial cúbico, função de base radial e a ondaleta de Daubechies.

O percentual de acertos usando a ondaleta de Daubechies superou o percentual de acerto

dos outros dois núcleos para o problema estudado, corroborando assim para a superioridade

dos núcleos construídos via ondaletas em comparação com os demais núcleos frequentemente

aplicados. Similarmente, Chen e Dudek (2009) afirmam que pode-se escolher qualquer função

ondaleta de suporte compacto para a construção do núcleo, entretanto, segundo os experimen-

tos realizados pelos autores a ondaleta de Daubechies-4 (D4) forneceu a melhor acurácia na

representação dos sinais simulados pelos autores. Cabe ressaltar que essas abordagens ape-

sar de apresentarem resultados empíricos razoáveis, carecem de embasamento teórico para

possibilitar a unificação entre as Máquinas de Suporte Vetorial e Ondaletas não simétricas pois

essas não fornecem núcleos admissíveis.

Quanto a utilização de uma ondaleta não ortogonal como é o caso do Chapéu Mexicano, os

resultados não demonstraram qualquer indicativo de ineficácia na previsibilidade dos retornos

por meio desse núcleo, de fato, núcleos via ondaletas aproximadamente ortogonais não haveria

redundância na informação produzida por estes, mas como apresentado nas Tabelas 8.1 e 8.2

não há evidências significativas da superioridade entre os núcleos via ondaletas e o núcleo

Gaussiano, sugerindo assim que a ausência de ortogonalidade, para esse exercício, pode não

ser um problema.

Finalmente, algumas sugestões de trabalhos futuros são apresentadas, quais sejam: ava-

liação da acurácia da previsibilidade das Máquinas de Suporte Vetorial construídas por meio

52

de misturas finitas de núcleos, possibilitando assim o ajuste de outros fatos estilizados relativos

à Séries temporais Financeiras como a presença de caudas pesadas e assimetria distribucio-

nal. A utilização, avaliação e o estudo de outras ondaletas como Coiflets e especialmente as

Symmlets. Essa proposta apesar de não possuir fundamentação teórica válida, poderia levar a

uma heurística na qual os resultados produzidos por essas ondaletas podem ser adequados e

portanto, justificados na prática. Ademais, há ainda outras ondaletas simétricas que poderiam

ser consideradas em trabalhos futuros tais como: Shannon, Battle-Lemarié, Meyer e B-splines.

Muito ainda há o que se estudar em previsão de Séries Temporais Financeiras por meio

de Máquinas de Suporte Vetorial e Ondaletas, principalmente devido a tenridade desses temas

quando observados os artigos publicados, os quais em sua grande maioria não possuem mais

do que 5 anos. Motivando assim, cada vez mais o estudo desse campo do conhecimento

multidisciplinar o qual une Finanças, Computação, Matemática e Estatística.

53

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ABU-MOSTAFA, Y. S.; ATIYA, A. F. Introduction to financial forecasting. Applied Intelligence,Springer, v. 6, n. 3, p. 205–213, 1996.

ANE, T.; GEMAN, H. Order flow, transaction clock, and normality of asset re-turns. Journal of Finance, v. 55, n. 5, p. 2259–2284, October 2000. Disponível em:<http://ideas.repec.org/a/bla/jfinan/v55y2000i5p2259-2284.html>.

CAO, L. Support vector machines experts for time series forecasting. Neurocomputing, Elsevier,v. 51, p. 321–339, 2003.

CHEN, G.; DUDEK, G. Auto-correlation wavelet support vector machine. Image and VisionComputing, Elsevier, v. 27, n. 8, p. 1040–1046, 2009.

CHEN, S.; HÄRDLE, W. K.; JEONG, K. Forecasting volatility with support vector machine-basedgarch model. Journal of Forecasting, Wiley Online Library, v. 29, n. 4, p. 406–433, 2010.

CHEN, S.; JEONG, K. Forecasting exchange rates using feedback support vector regression:Nonlinear arima model. Em revisão., 2005.

CONT, R. Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues. QuantitativeFinance, v. 1, p. 223–236, 2001.

DIEBOLD, F. X.; MARIANO, R. S. Comparing predictive accuracy. Journal of Business &economic statistics, v. 20, n. 1, 2002.

DRUCKER, H.; BURGES, C. J.; KAUFMAN, L.; SMOLA, A.; VAPNIK, V. Support vectorregression machines. Advances in neural information processing systems, Morgan KaufmannPublishers, p. 155–161, 1997.

EMIR, S.; DINÇER, H.; MEHPARE, T. A stock selection model based on fundamental andtechnical analysis variables by using artificial neural networks and support vector machines.Review of Economics & Finance, p. 106–122, 2012.

FAN, A.; PALANISWAMI, M. Stock selection using support vector machines. Neural Networks,2001. Proceedings. IJCNN’01. International Joint Conference on. [S.l.], 2001. v. 3, p.1793–1798.

FENDER, T. Empirische risiko-minimierung für dynamische datenstrukturen. UniversitätDortmund, 2004.

FERREIRA, T. A. Previsão da volatilidade de séries financeiras via máquina de suporte vetorial.Dissertação de Mestrado, Universidade de São Paulo, 2011.

FRANK, M. Z.; STENGOS, T. Some evidence concerning macroeconomic chaos. Journal ofMonetary Economics, Elsevier, v. 22, n. 3, p. 423–438, 1988.

54

GUPTA, P.; MEHLAWAT, M. K.; MITTAL, G. Asset portfolio optimization using support vectormachines and real-coded genetic algorithm. Journal of Global Optimization, Springer, v. 53,n. 2, p. 297–315, 2012.

GUPTA, P.; MEHLAWAT, M. K.; SAXENA, A. Asset portfolio optimization using fuzzymathematical programming. Information Sciences, Elsevier, v. 178, n. 6, p. 1734–1755, 2008.

HALL, J. W. Adaptive selection of us stocks with neural nets. Trading on the edge: neural,genetic, and fuzzy systems for chaotic financial markets. New York: Wiley, p. 45–65, 1994.

HAMEL, L. H. Knowledge discovery with support vector machines. [S.l.]: John Wiley & Sons,2011.

HE, H.-X.; YAN, W.-m. Structural damage detection with wavelet support vector machine:introduction and applications. Structural Control and Health Monitoring, Wiley Online Library,v. 14, n. 1, p. 162–176, 2007.

HUANG, C.-F. A hybrid stock selection model using genetic algorithms and support vectorregression. Applied Soft Computing, Elsevier, v. 12, n. 2, p. 807–818, 2012.

HUANG, C.-L.; WANG, C.-J. A ga-based feature selection and parameters optimization forsupport vector machines. Expert Systems with applications, Elsevier, v. 31, n. 2, p. 231–240,2006.

HUANG, S.-C.; CHUANG, P.-J.; WU, C.-F.; LAI, H.-J. Chaos-based support vector regressionsfor exchange rate forecasting. Expert Systems with Applications, Elsevier, v. 37, n. 12, p.8590–8598, 2010.

HUANG, S.-C.; WU, T.-K. Integrating recurrent som with wavelet-based kernel partial leastsquare regressions for financial forecasting. Expert Systems with Applications, Elsevier, v. 37,n. 8, p. 5698–5705, 2010.

HUERTA, R.; CORBACHO, F.; ELKAN, C. Nonlinear support vector machines can systematicallyidentify stocks with high and low future returns. Algorithmic Finance, IOS Press, v. 2, n. 1, p.45–58, 2013.

HUME, D. An enquiry concerning human understanding: A critical edition. [S.l.]: OxfordUniversity Press, 2000.

KHANDANI, A. E.; LO, A. W. What happened to the quants in august 2007? evidence fromfactors and transactions data. Journal of Financial Markets, Elsevier, v. 14, n. 1, p. 1–46, 2011.

KIM, K.-j. Financial time series forecasting using support vector machines. Neurocomputing,Elsevier, v. 55, n. 1, p. 307–319, 2003.

KYLE, A. S. Continuous auctions and insider trading. Econometrica: Journal of the EconometricSociety, JSTOR, p. 1315–1335, 1985.

LAI, L. K.; LIU, J. N.; HU, Y. Support Vector Regression with Levy Distribution Kernel for StockForecasting. [S.l.]: In Proceedings of the International Conference on Intelligent InformationProcessing and Knowledge Management (ICIIPKM 2013), 2013. 1315-1335 p.

55

LEE, Y.-J.; HSIEH, W.-F.; HUANG, C.-M. &epsi;-ssvr: a smooth support vector machine for&epsi;-insensitive regression. Knowledge and Data Engineering, IEEE Transactions on, IEEE,v. 17, n. 5, p. 678–685, 2005.

LI, Z.; ZHOU; LICHENG, J. Wavelet kernel function network. Journal of Infrared and MillimeterWaves, v. 20, n. 3, p. 223–227, 2001.

LU, R.-S.; YU, S.-W.; LIN, Y.-H. The prediction of applying smooth support vector regressionand back propagation network in mutual fund performance. Neural Networks, 2008. IJCNN2008.(IEEE World Congress on Computational Intelligence). IEEE International JointConference on. [S.l.], 2008. p. 3192–3196.

MERCER, J. Functions of positive and negative type, and their connection with the theoryof integral equations. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A,Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, The Royal Society, v. 209, p.415–446, 1909. ISSN 02643952. Disponível em: <http://www.jstor.org/stable/91043>.

MORETTIN, P. A. Ondas e ondaletas: da análise de Fourier à análise de ondaletas de sériestemporais. [S.l.]: Edusp, Segunda Ed., 2014.

NEUMANN, J.; SCHNÖRR, C.; STEIDL, G. Effectively finding the optimal wavelet for hybridwavelet–large margin signal classification. [S.l.], 2003.

PÉREZ-CRUZ, F.; AFONSO-RODRIGUEZ, J. A.; GINER, J. Estimating garch models usingsupport vector machines. Quantitative Finance, Taylor & Francis, v. 3, n. 3, p. 163–172, 2003.

RODRIGUEZ-LUJAN, I.; HUERTA, R.; ELKAN, C.; CRUZ, C. S. Quadratic programming featureselection. The Journal of Machine Learning Research, MIT Press, v. 99, p. 1491–1516, 2010.

RUPING, S.; MORIK, K. Support vector machines and learning about time. Acoustics,Speech, and Signal Processing, 2003. Proceedings.(ICASSP’03). 2003 IEEE InternationalConference on. [S.l.], 2003. v. 4, p. IV–864.

SCHEINKMAN, J. A.; LEBARON, B. Nonlinear dynamics and stock returns. Journal of Business,JSTOR, p. 311–337, 1989.

SCHÖLKOPF, B.; SMOLA, A. J. Learning with kernels. [S.l.]: MIT Press, 2002.

SEWELL, M. Characterization of financial time series. Research Note, v. 11, n. 01, p. 01, 2011.

SOUZA, C. R. Kernel functions for machine learning applications. Acesso em 27.06.2014.http://crsouza.blogspot.com/2010/03/kernel-functions-for-machine-learning.html, 2010.

STEFAN, R. Svm kernels for time series analysis. Proc. of Tagungsband der GIWorkshop-Woche. [S.l.: s.n.], 2001. p. 43–50.

STEINWART, I. Support vector machines are universally consistent. Journal of Complexity,Elsevier, v. 18, n. 3, p. 768–791, 2002.

STRAUSS, D. J.; STEIDL, G. Hybrid wavelet-support vector classification of waveforms. Journalof Computational and Applied Mathematics, Elsevier, v. 148, n. 2, p. 375–400, 2002.

TAKENS, F. Detecting strange attractors in turbulence. In: Dynamical systems and turbulence,Warwick 1980. [S.l.]: Springer, 1981. p. 366–381.

56

TANG, L.-B.; TANG, L.-X.; SHENG, H.-Y. Forecasting volatility based on wavelet support vectormachine. Expert Systems with Applications, Elsevier, v. 36, n. 2, p. 2901–2909, 2009.

TASKAR, B.; KLEIN, D.; COLLINS, M.; KOLLER, D.; MANNING, C. D. Max-margin parsing.EMNLP. [S.l.: s.n.], 2004. v. 1, n. 1.1, p. 3.

TAY, F. E.; CAO, L. Application of support vector machines in financial time series forecasting.Omega, Elsevier, v. 29, n. 4, p. 309–317, 2001.

THOMASON, M. The practitioner methods and tool. Journal of Computational Intelligence inFinance, v. 7, n. 3, p. 36–45, 1999.

VAPNIK, V. The nature of statistical learning theory. [S.l.]: Springer, 2000.

VAPNIK, V. N. Statistical learning theory. Wiley, 1998.

VEROPOULOS, K.; CAMPBELL, C.; CRISTIANINI, N. Controlling the sensitivity of supportvector machines. Proceedings of the international joint conference on artificialintelligence. [S.l.], 1999. v. 1999, p. 55–60.

WEI, C.-C. Wavelet kernel support vector machines forecasting techniques: Case study onwater-level predictions during typhoons. Expert Systems with Applications, Elsevier, v. 39, n. 5,p. 5189–5199, 2012.

WOLFE, P. A duality theorem for non-linear programming. Quarterly of Applied Mathematics,n. 19, p. 239–244, 1961.

WOLPERT, D. H. The lack of a priori distinctions between learning algorithms. Neuralcomputation, MIT Press, v. 8, n. 7, p. 1341–1390, 1996.

WU, Q. Product demand forecasts using wavelet kernel support vector machine and particleswarm optimization in manufacture system. Journal of Computational and Applied Mathematics,Elsevier, v. 233, n. 10, p. 2481–2491, 2010.

YANG, M.-h.; WANG, R.-c. DDoS detection based on wavelet kernel support vector machine.The Journal of China Universities of Posts and Telecommunications, Elsevier, v. 15, n. 3, p.59–94, 2008.

YU, S.-W.; LU, R.-S.; CHANG, C.-H. A study on application of smooth support vectorclassification to stock selection in taiwan’s stock market. 2008.

ZHANG, L.; ZHOU, W.; JIAO, L. Wavelet support vector machine. Systems, Man, andCybernetics, Part B: Cybernetics, IEEE Transactions on, IEEE, v. 34, n. 1, p. 34–39, 2004.

ZHANG, Z.; ZHAO, Q. The application of svms method on exchange rates fluctuation. DiscreteDynamics in Nature and Society, Hindawi Publishing Corporation, v. 2009, 2010.

Documents

PREVISÃO DE SÉRIES TEMPORAIS FINANCEIRAS POR MEIO DE MÁQUINAS DE SUPORTE VETORIAL E ONDALETAS