Probabilidade e Estatística Aplicada Na Engenharia

8/10/2019 Probabilidade e Estatstica Aplicada Na Engenharia

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Fundamentos de Estatstica Aplicada

Prof. Valner Brusamarello


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Variveis aleatrias contnuas

Em medidas, os dados podem ser influenciados porpequenas variaes de temperatura, presso,vibrao, entre outras variveis no

controladas.

Uma e a tirada da rodu o a ual ossui umamedida muito precisa sempre possui disperso em

torno da mesma. comum modelar a faixa de valores possveis

.


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F n n i i

variabilidade

Exemplo 1: O consumo de um carro no epen en es a s nc a reg s ra a apenas. epen ede fatores como tipo de estrada, condies do carro,

po e gaso na, e c. Exemplo 2: Um engenheiro est projetando um

conector de nilon para aplicao automotiva. A

parede deste conector est condicionada a fora deremoo do conector. O primeiro prottipo foi feitoe as seguintes foras de remoo so medidas: 12,6;

12,9; 13,4; 12,3 ;13,6; 13,5; 12,6; 13,1 N.


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Funes densidade de probabilidade

Serve para descrever a distribuio de probabilidades de uma

varivel aleatria contnua x. A probabilidade de x estar entre a e b determinada pela

integral de f(x) de a a b. Ex.: Considere a funo densidade

( ) 0f x

P(5


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Fun es densidade de robabilidade

Histograma uma aproximao da funo densidadeprobabilidade. O mesmo geralmente representado por umgrfico de barras.


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Funo de distribuio cumulativa

( ) ( ) ( )F x P X x f u du

= =

F(x) uma funo contnua

F x re resenta a robabilidade

acumulada. Observe ue os valores variam entre 0 e

1

A fun o densidade robabilidade de umavarivel aleatria contnua pode serdeterminada a partir da diferenciao da

( )( )

dF xf x

dx=

funo distribuio cumulativa.


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aleatria contnua

Se X uma varivel aleatria contnua com uma funo densidadepro a i i a e x a m ia ou o va or espera o e e a vari nciadefinida pelas equaes abaixo.

esv o pa r o a ra z qua ra a a m a.

( ) ( )

x

E X xf x dx

= =

( ) ( ) ( )22 2 2( )V X x f x dx x f x dx

+ +

= = =


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varivel aleatria discreta

A mdia da amostra utiliza pesos iguais 1/ncomo mu p ca or e ca a va or me o. A mdia ou o valor esperado de X denotados 1 2

...n

x x x xn n n

= + + +

o ponto de equilbrio quando um peso

i ual for colocado no local de cada medida ao( ) ( )

x

E X xf x= = x

longo da linha numrica. Similarmente se f(x)

for a funo densidade de uma carga de umaviga longa e delgada, E(X) o ponto no quala viga se equilibra. E(X) o centro de

.


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o ula o e uma amostra n

Mdia da amostra: valor mdio das observaes de

xi

Amostra: conjunto de observaes sobre ao ula o. n

x i== 1

Populao: Conjunto muito grande de observaes. No exem lo anterior as 8 medidas constituem uma

Mdia da amostra

amostra da populao. A populao deveria ser a

medida de todos os conectores. x

i

A mdia da amostra uma boa estimativa da mdiada populao Ni== 1

Mdia da populao


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Mdia e varincia de uma varivel

aleatria discreta

( ) ( ) ( )2 2 22

1 2

1 1 1...

1 1 1 n

s x x x x x x

n n n

= + + +

Para dados amostrais X1,X2, ..., Xn, a varincia um sumrio da

disperso ou espalhamento dos dados.

usa pesos iguais de 1/(n-1) como multiplicador de cada desvioquadrado2

s( )

2

ix x

desvios calculados a partir da mdia da populao. A varincia V X denotada or:

E o desvio adro:x

V X x x = =

( )2 2 2( )V X x f x = = x

1/ 2[ ( )]V X=


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o ula o e uma amostra

A variabilidade ou dis erso npode ser descrita pela varincia

12

= =

xxi

i

ou o esv o pa r o a amos ra.Em se tratando da o ula o, a

1n

varincia e o desvio padro so ( )22 1

n

i

i

x =

re erenc a os com N


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Graus de liberdade

o e que o v sor a var nc a a amos ra o aman o a amos ramenos 1 (n-1), enquanto para a varincia da populao, o tamanho da

o ulao n. Se soubssemos o valor verdadeiro da mdia populacional , ento

poderamos encontrar a varincia da amostra como a mdia dos quadradosos esv os as o serva es a amostra em torno e .

Na prtica, o valor de quase nunca conhecido, e dessa forma, a soma.

entanto as observaes Xi tendem a estar mais prximas do seu valor

mdio X, do que a mdia populacional . Para compensar isso, usamos n-1 como divisor ao invs de n. Se

usssemos n como divisor na varincia da amostra, obteramos uma, ,

que 2 da populao.


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Outra maneira de pensar acerca disso considerar avar nc a s , a amostra como estan o asea a em n-graus de liberdade.

termo graus e er a e resu ta o ato e que ndesvios X1 -X,X2X, ..., XnX sempre somam zero e, -

quantidades determina automaticamente aquele.

Dessa forma, somente n-1 nos n desvios Xi X, esto.


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Re resenta o da mdia e desvios

de forma grfica


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Teorema central do limite faz com que a forma seja um sino simtrico. Ponto central mximo re resenta a mdia Em uma medida, quando os desvios so decorrentes de variveis

independentes e podem ser igualmente positivos em relao mdia.

Exemplo: o desvio no comprimento de uma pea dependente devariaes na temperatura, vibraes, variaes de ngulos de corte,, ,

velocidade, entre outras.

Variveis aleatrias com diferentes mdias e varincias odem sermodeladas pelas funes densidade de probabilidade normal com escolhasapropriadas do centro e da largura da curva.

E(x)= etermina o centro a uno ensi a e pro a i i a e e V(x)=

a sua variabilidade;


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Di ri i N rm l

Uma varivel aleatria X com funo densidade deprobabilidade

( )2

221

( )2

x

F x e

=x < < para

Tem uma distribuio normal, com parmetros , em que: < <

0>

E X =2( )V X =


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Da simetria de f(x):

( ) ( ) 0.5P X P X > = < =

A funo densidade de probabilidade diminui a medidaque x se afasta de .

Pelo fato de mais de 0.9973 da probabilidade de umadistribuio normal estar dentro do intervalo de (-3,+3), 6 freqentemente referida como a largura de

uma distribuio normal. Uma varivel aleatria com =0 e 2=1 chamada de

varivel aleatria normal padro. Uma varivel aleatrianorma pa r o eno a a por .


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Exemplo: Utilize a tabela de probabilidades cumulativas para uma

var ve a ea r a pa r o para encon rar . .

A fun o de distribui o cumulativa de uma varivel aleatria normalpadro denotada por

( ) ( )z P Z z =

P(Z -4.6) no pode ser encontrada diretamente utilizando a tabela,no entanto a ltima entrada na tabela ode ser utilizada ara encontrarque P(Z -3.99)=0.000003. Logo P(Z -4.6) aproximadamentezero.

. .probabilidade pode ser escrita como P(Z z) = 0.95. Pela tabelaobserva-se que o valor mais prximo 0.95053 correspondente a

.


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Tabela de probabilidades cumulativas para uma


20/64

Tabela de probabilidades cumulativas

para uma varivel aleatria padro


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Di ri i N rm l

Todos os exemplos precedentes mostram como calcular as probabilidades para variveis.

pequena transformao para utilizar a tabela.

Se X for uma varivel aleatria normal com E(X)= e V(X)=2

, ento a varivel

XZ

=

ser uma varivel aleatria normal com E(Z)=0 e V(Z)=1 assim a tabela poder serutilizada.

uma mdia de 10 mA e uma varincia de 4 mA2. Qual a probabilidade da medidaexceder 13 mA? Faa X denotar a corrente em mA, ento P(x>13)=?

= = = =- , , - , .Qual a probabilidade da medida da corrente estar entre 9 e 11 mA?P(9


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Mtodos utilizados para tomar decises ou tirar concluses a cerca da

popu ao Exemplo: Um engenheiro est analisando a resistncia a tenso de um

com onente usado em um chassi de automvel. Uma vez ue avariabilidade da resistncia a trao est naturalmente presente emcomponentes individuais, devido a diferenas nas matrias primas,

interessado na resistncia mdia a trao, e para tal far uma estimativabaseado em uma amostra da populaoopu a o: cons s e na o a a e as o serva es em que es amos

interessados

Amostra: um subconjunto de observaes selecionadas a partir de umapopulao. As variveis aleatrias (X1, X2,...Xn) so uma amostra aleatria de

um deles tiver a mesma distribuio de probabilidades.


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e or es ma va

Quando um valor numrico reportado, geralmentenecess r o ar a guma a a ncer eza a es ma o.medida da incerteza geralmente empregada o desvio

sendo utilizado). A incerteza adro de um estimador o seu desvio

padro dado por

Se a incerteza adro envolver armetros desconhecidos

( )V

=

que possam ser estimados ento a substituio daquelesvalores em produzir uma incerteza padro estimada.


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e a a spers o

Suponha que estejamos amostrando a partir de uma

distribui o normal com mdia e varincia 2.Sabemos que: nx

1iXn

==

observaes de um conjunto de dados. Amostra: con unto de observa es sobre

N

a populao.

Populao: Conjunto muito grande de xi

i

== 1o serva es.

A mdia da amostra uma boa

N


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Medidas de dis erso

A variabilidade ou disperso pode serdescrita pela varincia ou o desvio

adro da amostra. n Em se tratando da populao, a

12 = =xx

i

i

var nc a e o esv o pa r o s o

referenciados com

1n

( )2

2 1

n

i

i

x =

=

N


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Desvio padro da mdia

Considere um caso genrico com as variveis aleatrias X1, X2,...Xp econstantes C , C ,...C Se Y for uma combina o linear dessas variveis.temos:

Y= C1X1+C2X2+... +CpXn Podemos determinar o valor esperado de Y: e sua varincia:

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )p pE Y C E X C E X C E X= + + +

2 2 2

1 1 2 22

( ) ( ) ( ) ... ( ) 2 cov( , )p p i j i ji j

V Y C V X C V X C V X C C X X < == + + + +

n a, se 1, 2,... p orem n epen entes ent o

2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ... ( )p pV Y C V X C V X C V X = + + +

ssa uma conc us o mpor an e, po s po emos concen rarmos nacombinao linear particular que representa a mdia de p variveisaleatrias, com mdia e varincia idnticas, pois, se X1, X2,...X foremindependentes ento:


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Se a mdia com ara i=1 2 ...1 2 ... pX X XX + + += ( )E X =

ento .

Se X X ... X so inde endentes com V X =2 ara

p

( )E X =

. p i=1,2,...p ento

O desvio adro da mdia menor ue da o ula o. Este o

2

( )V Xp

=

valor utilizado como incerteza padro!X

=

Quando o estimador seguir uma distribuio normal,

odemos ficar razoavelmente confiantes de ue o valorverdadeiro do parmetro encontra-se no intervalo daincerteza adro estimada.

S

X

p

=


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Standard Error

Quando reportamos a mdia de N medidas, a incerteza que devemosassociar com esta mdia o desvio padro da mdia.

O desvio padro da mdia menor que o desvio padro por um fatorn . sso re e e o a o e que n s esperamos que a ncer eza o va or

da mdia seja menor quando utilizamos um grande nmero de medidas

N.


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Distribui es amostrais , -informao contida em uma amostra aleatria proveniente daquela populao.

Considere o exemplo do volume mdio de uma lata de 300 ml. Um engenheiro considera uma.engenheiro decidir provavelmente que a mdia da populao =300 ml, muio embora a mdiaamostral tenha sido 298 ml, porque ele sabe que a mdia amostral uma estimativa razovel de e que a mdia amostral de 298 muito provvel de ocorrer, mesmo se a mdia verdadeira dapopulao seja de =300 ml. De fato, se a mdia verdadeira for de 300 ml, ento os testes de 25

latas feitos rapidamente, talvez a cada 5 minutos, produziro valores de que variaro acima eabaixo de =300 ml

m a amostra uma estat st ca, sto , uma var ve a eat r a que epen e os resu ta osobtidos em cada amostra particular. Uma vez que uma estatstica uma varivel aleatria, ela temuma distribuio de probabilidades

X

X


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Distribuies amostrais .

Esta amostra retirada de uma populao normal com mdia e varincia 2. A mdia da amostra:

Tem uma distribuio normal com mdia e varincia:1 2 ... nX X XX

n

+ + +=

Se estivermos amostrando de uma o ula o ue tenha uma distribui o desconhecida de...

+ + +

= =2 2 2 2

2 ...X

+ += =

probabilidades, a distribuio amostral da mdia da amostra ser aproximadamentenormal com mdia e varincia 2/n.

n nn


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Teorema central do limite

Se X1, X2,...Xn for uma amostra aleatria de tamanho n retirada de umapopu a o inita ou in inita, com m ia e vari ncia , e se or amdia da amostra, ento a forma limite da distribuio deX

quando n tende a infinito, a distribuio normal padro.Z

n

=

A aproximao normal para depende do tamanho n da amostra.

X


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Uma companhia eletrnica fabrica resistores que possuem uma resistncia mdia de. .

a probabilidade de uma amostra de n=25 resistores ter uma resistncia mdia menorque 95 .

A distribuio amostral da mdia da amostra normal com mdia e desvio padro:

10

a ron zan o o pon o , emos:

E assim:

X=

25X

n= = =

95 100 95X=

,2

95 2 5 0 0062P X P Z < = < =


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Suponha que uma varivel aleatria X tenha uma distribuio contnuauni orme:( )

,2

0,

xf x

caso contrrio

=

Encontre a distribuio amostral da mdia de uma amostra aleatria detamanho n=40. A mdia e a varincia de X so

2

5= 212 3

= =

teorema centra o imite in ica que a istri ui o eaproximadamente normal com mdia e varincia

2

5X =

( )

2

3 40 120X

n

= = =


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Bibliografia

Estatstica aplicada e probabilidade para engenheiros, Douglas

Mont omer , Geor e Run er, LTC 2 Ed. Design and analysis of experiments 2Ed. Douglas Montgomory.

John Wiley and Sons.

BALBINOT A., BRUSAMARELLO V. J., Instrumentao eFundamentos de Medidas V 1 e V2 , 2006 e 2007.


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Re resso Linear


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Coletando dados Estudo observacional: Os dados so observados a medida ue esto dis onveis.

Ex.: Desempenho de componentes de plsticos. Observao de:temperatura, encolhimento, resistncia, etc. Utilizao de dados para a construo de um modelo emprico.

Ex.: Verificar histrica de pastilhas semicondutoras, onde variveis amostraisso registradas e podem ser avaliadas ao longo do tempo.

Freqentemente estes estudos envolvem um volume grande de dados egran e om n o e conce tos estat st cos.


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Coletando dados Ex erimento lane ado: O en enheiro rovoca variaes ro ositais em

variveis controladas. Observa a sada e ento toma a deciso sobre as principaisvariveis responsveis pelas mudanas.

Ex.: Um conector tem no prottipo inicial uma parede p. A fim de verificarse a ora e remo o o mesmo tem mu ana s gn cat va, a pare eaumentada para p1.

Experimentos planejados tendem a ser mais confiveis so recomendados em.

Existem tcnicas de anlise estatsticas poderosas, assim como ferramentascomputacionais disponveis para avaliar resultados e hipteses sobrevariabilidade de sistemas. Desde testes sim les at estudos de variabilidadesmultivariveis.


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Modelos Mecanicista: Construdo a partir do mecanismo fsico bsico

que relaciona as variveis. Ex.: Pode-se ajustar modelo influncias externas:

EI=

Onde representa as fontes de variabilidadeno modeladas.

Emprico: Modelo construdo pela observao de um

fenmeno e pelas influncias de variveis no mesmo. Ex.:

EI = +

Modelo de resistncia a trao, relacionando comprimento ealtura da matriz.

N Obs

Resist.

Trao

Comp.

Arame Alt. Molde


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1 9,95 2 50

2 24,45 8 110

Exemplo: Modelo de resistncia trao

relacionando altura do molde e comprimento

3 31,75 11 120

4 35 10 550

5 25,02 8 295

do arame:,

7 14,38 2 375

8 9,6 2 52

9 24,35 9 100

( ) ( )0 1 2Resistncia a trao= .comp altura + + +

Denominado10 27,5 8 300

11 17,08 4 412

12 37 11 400

modelo deregresso

,

14 11,66 2 36015 21,65 4 205

16 17,89 4 400

17 69 20 600

18 10,3 1 585

19 34,93 10 540

,

21 44,88 15 290

22 54,12 16 510

23 56,63 17 590

24 22,13 6 100

25 21,15 5 400


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Anlise de regresso N daobservao

Nvel de

hidrocarboneto

Pureza

%

Tcnica estatstica para investigar relao

entre duas ou mais variveis.

1 0,99 90,01

2 1,02 89,05

3 1,15 91,43

Problema: Tabela onde uma das variveis a% da pureza de oxignio produzido em umprocesso qumico de destilao e a outra

, ,

5 1,46 96,73

6 1,36 94,45

7 0,87 87,59

vari ve a percentagem e i rocar onetos

presentes no condensador principal daunidade de destilao.

8 1,23 91,77

9 1,55 99,42

10 1,4 93,65

ran ezas: x - ve e rocar one o y -% Pureza do oxignio

, ,

12 1,15 92,52

13 0,98 90,56

14 1,01 89,5415 1,11 89,85

16 1,2 90,39

17 1,26 93,25

, ,

19 1,43 94,98

20 0,95 87,33


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Diagrama de dispersoDisperso x ajuste

102

en nc a: near

Nenhuma curva

passa por todos

98

100 .

Pergunta: Possodescrever o

94

96

rezaO

2

uma reta?

Se afirmativo,qual a reta que

90Pumelhor descreve

a relao?

86

0,75 0,95 1,15 1,35 1,55 1,75

Nvel hidrocarboneto


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Re resso linear sim les Os pontos repousam em torno de uma reta aleatoriamente,

considerando a mdia de y em relao a x. Pode-se ter, portanto um valor esperado:

| 0 1y x

0 e 1 coeficientes da regresso.

x = + +

Modelo linear probabilstico:

termo aleatrio com mdia igual a zero2


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Regresso linear simples Para cada valor de x existe uma distribui o do valor verdadeiro

de y. O valor de e 2 determinam se o ponto cai longe ou perto

da reta. Considerando n pares (x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn) existe

uma reta candidata. -

quadrados. Estima-se 0 e

1 de modo a minimizar a soma dosquadrados dos desvios verticais


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Mnimos uadrados0 1i i i= , , ,...,

2

2

n n

0 11 1

i i i

i i= =

^ ^

^ ^

0 1

0 110 ,

2 0i ii y x == = 0 1

1 1i i

i in x y

= =+ =

^ ^

0 1

^ ^

0 111

,

2 0n

i i i

i

Ly x x

=

= =

^ ^2

0 11 1 1

n n n

i i i i

i i i

x x y x = = =

+ =


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Mnimos uadrados Simplificando:

0 1

n n

y x =

1 1

i ini i

i i

y x

y xn

= =1 2

n

in x

==

12

1

i

i

i

xn

=

=

1 n

iy y= 1 n

ix xn =

= =


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Re resso Linear sim les 0 1i i iy x e= + + 1,2,3,...,i n=

resduoi i ie y y=

o a es ao enom na or

2n

( )2 12

ini

xx i iS x x x

n

= = = n n

i in y x

1 1

1

i ii i i i

i

Sxy y x x y x

n

= =

=

= =


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Exem lo anterior: ureza O220n=

20

1

1843,21ii

y=

= 92,16y=2020

20

1

23,92ii

x=

=

1,2x=21

29,29ii

x=

= 2

1

170044,53ii

y=

=1

2214,66i ii

x y=

=

220

12 0,68i

i

xx i

xS x

=

= =

20 20

201 1 10,18

i ii i

i i

y xSxy y x = == =

1i=

10,18

14 97xyS

= = = ( )0 1

92,16 14,97 1,20 74, 20y x = = =0,68xxS

Resultado do ajuste


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Resultado do ajuste

74, 20 14,97y x= +

Disperso x ajuste

98

100

102

%

90

92

94

Purez

aO2

86

88

0,75 0,95 1,15 1,35 1,55 1,75

Nvel hidrocarboneto

Propriedades de varincia


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uadrados

um estimador no tendencioso da inclinaoverdadeira 1

Os resduos so utilizados no clculo dai i ie y y= estimativa de 2

A soma dos quadrados dos resduos ou a soma dosquadrados dos erros

2

n

1

E i i

i=

Propriedades de variana


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uadrados

Uma frmula conveniente para o clculo de sQE pode

Valor esperado encontra a su stituin o o mo e o ajusta o

Fazendo ainda algumas simplificaes chegamos em:0 1i iy x = +para a soma

dos quadrados

dos erros

n

( ) ( ) 2

2EE sQ n =

11

E i xy

i

sQ y ny S =

=

n n

s ma or n o

tendencioso de

2

( )22 2

1 1T i i

i i

sQ y ny y y= =

= = 2 E

sQ=

1E T xysQ sQ S

= 2n


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No exem lo anterior10,18Sxy= 1 ,=

220

( )2

20 2012 2 2 1843,21170044,53 173,37

i

i

T i i

y

sQ y ny y = = = = =

1 1i i= =

12 14,97 10,18 173,37 1,17

2 2 20 2

T xyE sQ SsQ

n n

= = = =


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coeficientes

Por fim pode-se chegar ao erro padro

2

estimado da inclinao

1se

Sxx

=

E ao erro padro do estimado da

interseco:

22 1

xse

=

n xx

Grfico de resduos


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2

3

indcios sobre a regresso.

-1

0

1

87 89 91 93 95 97 99R

esduos

-3

-2

Pureza de O2 -es uos

3

0

1

sduos

-3

-2

-1, , , , ,R

Nvel de h idrocarboneto


54/64

Abusos e limitaes Fre entemente mal em re ada Forte associao entre duas variveis no implica que existe relao causal entre

as mesmas

Ex.: O nmero de ce onhas aumentou si nificativamente a s a 2 uerramundial. Observou-se que o mesmo aconteceu com nascimento de bebs.Concluso: O aumento de cegonhas provocou o aumento de bebs!!!???

Planejamento de experimentos a nica maneira de determinar relaes causais Ajustes no devem ser extrapolados (apenas dentro da faixa considerada) Testes de significncia so normalmente executados


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Abusos e limitaes ,

hiperespao. A continuao deste assunto regresso linear

mltipla e trata de regresso multivariveis. E se a relao no for linear? Cuidado! Lembre-se do estudo do

seu processo. Voc deve ter conhecimento sobre as variveis dasquais est tratando

Transformao para uma


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intrinsicamente lineares

1

x

= =1

Y Y z = + + = + +

1

x

=x

*1

= =( )0 1

*

exp

1

x + +

Y

=


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Bibliografia A rea de ro eto de ex erimentos e todas as suas a lica es e articularidades

muito importante em um trabalho cientfico. Busque mais informaesquando chegar o momento de verificar os seus arquivos de dados. Talvez voc

tenha mais do que pensa ou ainda faltam muitos dados para conse uir provar oque voc busca! Assunto Geral: Projetos de Experimentos

, ,

George Runger, LTC 2 Ed. Design and analysis of experiments 2Ed. Douglas Montgomory. John Wiley and

ons.


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Exerc cios

velocidade de misturador na quantidade

de impurezas de um processo de

20 8,4

fabricao de tintas.

Faa o grfico de disperso dos dados (x-24 11,8

26 10,4rpm x y-impurezas).

Determine a reta de ajuste.28 13,3

30 14,8

Calcule os resduos para cada pontoutilizado no ajuste

,

34 14,7

Calcule o erro residual quadrtico 2 ,38 16,5

40 18 9

42 18,5

Preo de venda /1000 Taxas anuais/1000

25,9 4,9176

29 5 5 0208


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29,5 5,0208

Exerccios Um arti o em Technometrics de S.C.

27,9 4,5429

25,9 4,5573

29,9 5,0597Narula e J. F. Wellington Vol. 19,1977) apresenta dados de preos de

29,9 3,891

30,9 5,898

28,9 5,6039

. Faa um ajuste de curva por mnimos

quadrados.

, ,

31,5 5,3003

31 6,2712

Encontre o preo mdio de venda,dado que a taxa paga x=7,50.

, ,

30 5,05

36,9 8,2464

a cu e o va or a us a o e ycorrespondendo a x=5,8980 eencontre o resduo correspondente.

, ,

40,5 7,7841

43,9 9,0384

37 5 5 989437,9 7,5422

44,5 8,7951

37,9 6,0831

38,9 8,3607

36,9 8,1445,8 9,1416


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Exerccios A quantidade de libras de vapor usadas por ms por umaplanta qumica est relacionada temperatura (F) mdiaam iente para aque e m s. O consumo o ano passa o e atemperatura so mostrados na seguinte tabela:

Considerando um modelo de re resso linear sim les fa a oajuste de curva para o consumo de vapor (y) por temperaturamdia (x).

a temp. for 55 F? Que mudana no uso mdio de vapor ser esperada quando a

temp. m ia variar 1 F? Suponha que a temp. mdia mensal seja de 47 F. Calcule o

valor a ustado de e o resduo corres ondente.


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exerccios.

jan 21 185,79

fev 24 214 47mar 32 288,03

abr 47 424,84

mai 50 454,58

jun 59 539,03

u ,

ago 74 675,06

,out 50 452,93

nov 41 369,95

dez 30 273,98

exerccios


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Os dados relativos ao peso e presso sanguneasistlica de 26 homens selecionadosaleatoriamente na faixa etria de 25 a 30 anos, somostrados na tabela seguinte. Considere que opeso e a presso sangu nea estejam istri u osnormal e conjuntamente.

Encontre a reta e regresso inear

indivduo peso Presso S.

1 165 130


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exerccios

2 167 133

3 180 150

4 155 128

5 212 151

6 175 146

7 190 150

8 210 140

9 200 148

10 149 125

11 158 133

12 169 135

13 170 150

14 172 153

15 159 128

17 174 149

18 183 158

19 215 150

20 195 163

21 180 156

22 143 124

24 235 165

25 192 160

26 187 159


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Bibliografia ogra a Estatstica aplicada e probabilidade para engenheiros, Douglas

, , . Design and analysis of experiments 2Ed. Douglas Montgomory.

ohn Wile and Sons.

BALBINOT A., BRUSAMARELLO V. J., Instrumentao eFundamentos de Medidas V 1 e V2 , 2006 e 2007.

Documents

Probabilidade e Estatística Aplicada Na Engenharia