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Josefa Bastos www.aprendematematica.com Pgina 1

Matemtica Ficha de Apoio

Modelos de Probabilidade - Introduo

12ano

Introduo s probabilidades

No final desta unidade, cada aluno dever ser capaz de:

- Identificar acontecimentos com conjuntos e operar com eles;

- Encontrar modelos matemticos adequados ao estudo de fenmenos aleatrios;

- Utilizar o conceito frequencista de probabilidade e o conceito clssico de probabilidade ou de

Laplace;

- Calcular a probabilidade de alguns acontecimentos a partir de modelos de probabilidade

simples;

- Identificar e utilizar as propriedades bsicas das distribuies de probabilidades;

- Utilizar a calculadora e/ou o computador na resoluo de problemas, envolvendo

distribuies de probabilidade, em particular a distribuio normal.

Experincia aleatria /Experincia Determinista.

Numa caixa foram introduzidas dez bolas iguais numeradas de 1 a 10. Uma jogada consiste

em extrair uma bola da caixa. Todas as jogadas so iniciadas com dez bolas na caixa e o custo de

cada jogada 2.

a) Numa jogada possvel determinar antecipadamente o nmero da bola de vai sair?

b) Numa sequncia de trs jogadas possvel determinar antecipadamente o nmero de

vezes em que ocorre a bola nmero 5?

c) possvel determinar o nmero de jogadas a efectuar para que o preo a pagar seja 8?

d) possvel determinar o preo a pagar por uma sequncia de 6 jogadas?


Uma Experiencia aleatria uma experincia da qual se conhecem os resultados

possveis, mas relativamente qual no possvel prever (determinar) o resultado de cada uma

das experiencias.

Uma Experincia Determinista uma experincia em que possvel determinar o

resultado mesmo antes de ser efectuada, desde que sejam conhecidas as condies em que se

realiza.

Conjunto de Resultados ou Espao Amostral de uma experincia aleatria o

conjunto de resultados possveis que lhe est associado.

Representa-se, habitualmente por, S, E ou .

Qual o conjunto de resultados possveis associados a esta experincia?

{ } = Na realizao da experincia considerada, pode haver interesse em verificar a ocorrncia ou

no dos seguintes acontecimentos:

:A sair nmero par;

:B sair nmero mltiplo de 5;

:C sair nmero inteiro; :D sair nmero maior do que 10;

:E sair nmero primo maior que 6; A cada um destes acontecimentos est associado um subconjunto do conjunto de resultados,

por exemplo:

{ }10 ,8 ,6 ,4 ,2=A

e) Define cada uma dos restantes sub-conjuntos

Dada uma experincia aleatria em que o espao amostral , d-se o nome de Acontecimento a todo o sub-conjunto de .

Acontecimento Composto constitudo por mais do que um elemento de . Acontecimento Elementar constitudo por um nico elemento de .

Acontecimento Certo constitudo por todos os elementos de . Acontecimento Impossvel no tem qualquer elemento de . um acontecimento

que no tem qualquer probabilidade de ocorrer, ou seja, que nunca se verifica.


Exerccio 1

Na figura encontra-se representada uma planificao de um dado.

Indica o conjunto de resultados de cada uma das experincias:

a) Lanamento do dado e registo do nmero obtido;

b) Lanamento do dado e registo da cor voltada para cima.

Exerccio 2

Designando por E, a face euro e por V a face verso, indica o espao de resultados na

experincia que consiste no registo da face que fica voltada para cima quando se efectua:

a) O lanamento de uma moeda uma s vez;

b) O lanamento de uma moeda duas vezes.

Exerccio 3

Na figura encontra-se representada uma caixa com seis bolas,

indistinguveis ao tacto, numeradas de 1 a 6, sendo trs delas azuis, duas

vermelhas e uma amarela.

Considere a experiencia que consiste em retirar aleatoriamente uma

bola da caixa e registar o nmero.

a) Indica o espao de resultados . b) Considera os seguintes acontecimentos

:A sair nmero par;

:B sair nmero no superior a 4;

:C sair nmero primo; :D sair mltiplo de 4;

I) Representa-os na forma de conjuntos.

II) Indica um acontecimento elementar e um acontecimento composto.


c) Relativamente experincia aleatria que consiste em retirar uma bola da caixa e registar a

cor, indica um acontecimento:

I) Elementar;

II) Impossvel;

III) Certo.

Exerccio 4

O Pedro pretende numerar aleatoriamente os dois crculos coloridos, um amarelo

e um verde de um cartaz, com nmeros entre 1 e 6. Para cada um dos crculos vai

lanar um dado vulgar com faces numeradas de 1 a 6, e escrever no circulo o

resultado obtido no lanamento.

a) Preenche o quadro abaixo e indica o nmero de elementos do espao amostral da experincia

descrita.

b) Representa sob a forma de conjunto, cada um dos

acontecimentos:

c) Supe agora que o Pedro pretendia colorir trs crculos, um vermelho, um amarelo

e outro verde, recorrendo ao mesmo processo. Qual o nmero de possibilidades

que o Pedro tem para colorir os crculos?

Sugesto: imagina a extenso do problema do quadro da alnea anterior a um cubo de tripla entrada.


Extraces com reposio e sem reposio

Exemplo:

Num saco encontram-se quatro bolas, indistinguveis ao tacto, e numeradas de 1 a 4.

Considere-se a experincia que consiste na extraco sucessiva de duas bolas, com reposio

da primeira bola extrada, e registo do nmero formado pelos respectivos algarismos, sendo o

primeiro o das dezenas e o segundo o das unidades.

Quantos nmeros se podem formar?

Nota: A construo de uma tabela de dupla entrada facilita a identificao de todos os

nmeros que possvel formar nas condies referidas.

R:

Considere-se a primeira experincia, mas agora sem reposio da primeira bola extrada.

Este facto implica a no ocorrncia de nmeros com os dois algarismos iguais.

Nestas condies, quantos nmeros se podem formar?

Resolve o mesmo problema, esquematizando a situao atravs de um diagrama em rvore:


Exerccio 5

A associao de pais de uma escola organizou um sorteio de rifas. Para o sorteio existem trs

urnas, cada uma com dez bolas numeradas de 0 a 9. Os nmeros premiados so obtidos atravs

da extraco de uma bola de cada uma das urnas (por exemplo 088).

Quantos nmeros diferentes se podem formar nestas condies?

Exerccio 6

Lanam-se dois dados tetradricos regulares, um azul e um vermelho, ambos com os

vrtices numerados de 1 a 4, e registam-se os nmeros dos vrtices voltados para cima e a cor

do dado.

a) Indica o nmero de elementos do espao amostral b) Representa sob a forma de conjunto cada um dos seguintes acontecimentos:

:A os nmeros so diferentes e impares

:B a soma dos nmeros par

:C pelo menos um nmero primo

Exerccio 7

O Lus tem no bolso cinco moedas, uma de 2, uma de 1, uma de 50 cntimos, uma de 20

cntimos e uma de 10 cntimos.

Para comprar um gelado custa 1,5, o Lus retira do bolso, ao acaso, duas moedas e observa

quantia obtida.

a) Qual o espao amostral desta experincia?

b) Indica o nmero de elementos1 de cada um dos conjuntos que representam os

acontecimentos.

:A a quantia retirada suficiente para comprar o gelado

:B ainda ficou no bolso dinheiro suficiente para um gelado

1 Ao nmero de elementos de um conjunto d-se o nome de cardinal do conjunto. Representa-se por #.


Exerccio 8

Num saco h cinco bolas numeradas de 1 a 5. Um jogador extrai ao acaso duas das bolas,

uma de cada vez, sem reposio, sendo registado o nmero de cada uma.

O jogador ganha se retirar bola numeradas por ordem crescente.

Considera os acontecimentos:

:A o jogador ganha o jogo

:B o nmero da segunda bola o dobro do da primeira a) Indica o nmero de elementos do conjunto de resultados.

b) Define em extenso os acontecimentos A e B .


Lei de Laplace recordar

Seja E uma experincia aleatria em que o espao amostral constitudo por n elementos, sendo equiprovveis os n acontecimentos elementares.

Se um acontecimento A formado por m acontecimentos elementares, sendo nm , a

probabilidade de A dada pelo quociente entre o nmero de casos favorveis e o nmero de casos possveis, isto :

( )n

mAP ==possveis casos de nmerofavorveis casos de nmero

Exerccio 9

No frigorfico h quatro iogurtes de morango, 2 de pssego e 6 de maa. O Pedro tirou um

iogurte ao acaso.

Qual a probabilidade do iogurte que o Pedro tirou:

a) Ser de maa?

b) Ser de pssego?

c) No ser de morango?

Exerccio 10

Considera que de um baralho de 40 cartas se extrai, aleatoriamente, uma carta. Determina a

probabilidade da carta extrada ser:

a) um s;

b) um rei;

c) um as ou um rei;

d) no ser uma carta de copas.

Exerccio 11

Resolve o problema anterior, considerando agora um baralho de 52 cartas.


Algumas tcnicas de contagem recordar

Diagrama em rvore

Tabela de dupla entrada

Diagrama de Venn

Princpio Fundamental da Contagem

Regra do Produto

Quando necessrio realizar k sucessivas, em que na primeira h 1n alternativas, na

segundo h 2n alternativas, , na escola de ordem k h kn alternativas, ento o nmero total

de alternativas dado por knnn ....21

Exemplo:

Se, para uma dada refeio, houver 3 entradas disponveis, 4 pratos distintos e 2

sobremesas, possvel fazer 24243 = .

Exerccio 12

O Sr. Jos ganhou, num concurso, dois bilhetes para a estreia de um filme, os quais ir

distribuir, ao acaso, por dois dos seus quatro filhos, Joana, Rui, Andr e Filipa.

a) De quantas formas diferentes o pode fazer?

b) De quantas formas diferentes o pode fazer de modo a que a Joana no seja contemplada?

c) Qual a probabilidade de a Joana no ser contemplada?

Exerccio 13

O Rui tem, num bolso do casaco, duas moedas de 0,50, uma moeda de 1 e uma moeda de

0,20. Se retirar duas moedas, qual a probabilidade de, com elas, perfazer um quantia que

permita pagar uma despesa de 1,20?


Exerccio 14

O cubo pintado

Construi-se um cubo em madeira cujas faces foram pintadas de azul.

Por cortes paralelos s faces, esse cubo deu origem a 64 pequenos cubos, todos de igual

tamanho, como sugerido na figura.

Os 64 cubos foram introduzidos num saco, do qual retirado um ao acaso. Determina a

probabilidade de o cubo retirado ter:

a) Ter trs faces pintadas;

b) Ter duas faces pintadas;

c) Ter uma s face pintada;

d) Ter pelo menos uma face pontada;

e) Ter pelo menos duas faces pintadas;

f) Ter, no mximo, duas faces pintadas.

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