Problem a Rio Muest Reo

EC2412 MUESTREO-CUANTIFICACION

Problema 1: Una seal sinusoidal de frecuencia f0=30 Hz, es muestreada uniformemente de forma que si se dibuja un cuarto de ciclo de la seal muestreada se observa lo siguiente:

A partir de esta seal se quiere recuperar la seal sinusoidal original usando un filtro cuya respuesta en frecuencia se muestra a la derecha de la figura anterior.

Determine B a fin de que el filtro de recepcin sea el ms barato posible

Respuesta:

Hz1800fseg301muestras60seg

301ciclo1 s == y f0=30Hz Hz1770301800B == ,

como se puede observar en la siguiente figura: (En realidad debe ser un poco menor que 1770 Hz)

Problema 2 Un mensaje x(t) tiene una funcin densidad de probabilidad uniforme a trozos.

1 X

p(x)

0.2

A

B

Este mensaje se quiere "compandir" antes de ser cuantificado uniformemente utilizando 256 niveles de cuantificacin, utilizando un sistema con la siguiente funcin caracterstica, adecuada a la distribucin probabilstica de la seal:

c(x ) =2. 5x Para 0 x 0.2

58

x + 38

Para0. 2 x 1

Y en forma similar para el lado negativo

a) Determine cuantos niveles de cuantificacin, del cuantificador uniforme,usar la seal de entrada cuando sta se encuentra en el rango de 0.1 a 0.3 voltios.(Considerando la compansin) b) Determine A y B si se sabe que el factor de perfeccionamiento de la compansin CI =1,02. c) Determine la relacin seal a ruido en dB con y sin compansor. Respuesta: a) Determine cuantos niveles de cuantificacin, del cuantificador uniforme,usar la seal de entrada cuando sta se encuentra en el rango de 0.1 a 0.3 voltios.(Considerando la compansin)

Esto implica que para 0.1 a 0.3 existe un rango dinmico de salida de 16

92

13.02.0

5.025.02.01.0

169x4

1

Problema 3 Una seal analgica aleatoria, uniformemente distribuida, tiene una densidad espectral de potencia como la mostrada

Gx(f)

2200 4000 Hz

0.01

Esta seal se desea digitalizar. a) Determine la mnima frecuencia de muestreo que permitira rescatar la seal sin distorsin en el receptor, si se sabe que el filtro de recepcin es un pasabajos ideal. b) Calcule la relacin seal a ruido a la salida de un cuantificador uniforme de 16 niveles. Respuesta: a) Determine la mnima frecuencia de muestreo que permitira rescatar la seal sin distorsin en el receptor, si se sabe que el filtro de recepcin es un pasabajos ideal. El valor de N mximo para el espectro mostrado es:

122,118002200 ==== n

BW

fN LMax , Por lo tanto la frecuencia de muestreo permitida para ese valor de

N es:

40004400400021

2 =+ SSL

SM ff

N

ff

N

f

b) Calcule la relacin seal a ruido a la salida de un cuantificador uniforme de 16 niveles

VManM 2416 === y 3

3601.0180022

2 Vxxx === (Por estar uniformemente distribuda)

( ) dBMV

V

a

xN

SQ

08,244

312log1012log10 22

2

2

2

=

=

=

Problema 4

Encuentre y grafique con absoluta precisin la caracterstica de compansin ptima

requerida para la cuantificacin no uniforme de una seal con la siguiente funcin de

densidad de probabilidades.

Respuesta al problema 4

El valor que debe tomar Px(x) entre 2 y 4 debe ser tal que haga que el rea total bajo la

curva entre -4 y 4 sea igual a 1. Si ese valor se denomina A, se puede calcular de la

siguiente manera:

( )2 2 2 2 16

1 112

+ = =A A

Px(x) queda definida de la siguiente manera:

Debido a las caractersticas de la funcin de densidad de probabilidad, la curva de

compansin debe expandir los valores que toma x entre 0 y 2 y comprimir los valores

de x entre 2 y 4. Por lo tanto una curva de compansin podra ser la indicada:

[ ]CP (x)

C '(x)dx

adx

bdx

a bIX=

= +

= +

24

4 1

2 22

4

0

2 1

2 2

12

16

1 112

1 23

13

Existe una dependencia entre a y b, ya que las dos rectas deben tener el mismo

valor en x = 2.

a x b x b

a b ba b

x x = + = += +

= =2 24 42 2 4 4

2

Sustituyendo en CI

( )C b bI = + +

2

3 2

132 2

1

Para que la potencia de ruido sea mnima, hay que encontrar el valor de b de manera

que CI sea mxima. Esto se realiza derivando la funcin e igualndola a cero.

[ ] ( )

[ ]

ba

bbbbb C b

bbbb

bbbbb

bb bC

b

I

I

1.115=a 2885.02

0.885=b 09619214472180

163240249961921447218

31

232

2345

234

23451

22

+=+=

=++=

++++=

++=

Con estos valores de a y b se obtiene el valor de CI mximo.

( ) ( ) 1.0489031

11.132

31

32

1

22

1

22mx=

+=

+=

.baCI

Problema 5

Un mensaje x(t) tiene una funcin de densidad de probabilidad dada por Px(x) y se

quiere comprimir, antes de ser cuantificado, utilizando un sistema con la funcin

caracterstica dada por C(x).

Usando como criterio el factor de perfeccionamiento de compansin CI dado por:

( )

( )[ ]CP x

C ' x dxI

x=

21

1 1

a.- Determine P1 y P2 para mejorar la relacin seal a ruido.

b.- Calcule CI y determine cuntos dB mejora la (S/N)Q.


a.- Clculo de A. (Nota: el problema en realidad se puede realizar sin la necesidad de encontrar el valor de A, ya que al derivar CI e igualarlo a cero, desaparece la

constante A ). 2

12

21 4

9 +

= A

A A=

Las ecuaciones que describen las rectas tanto en Px(x) como en C(x) son las

siguientes:

1

22

21

1

22

21

1

41

0

1

41

22

21 3

23

123

43242

+=

+=

++= PPPAPAdx PAdxP AxACI

La dependencia entre P1 y P2 proviene de que en x = las dos rectas deben tener igual

valor.

431

44

1

21221

4122

411

+=+=

+= ==P P P

PP

PxPx Pxx

Sustituyendo en CI se tiene

( )C P PI = + +

1

3 3 4

232

22

2

1

Para obtener los valores de P2 que hagan CI mxima, hay que derivar CI e igualarla a

cero para luego despejar P2.

[ ] ( )( )

( )

( ) ( )2

22

22

32

42

52

62

22

23

2

2

22

22

22

222

1

22

2222

32

4331.19243232481

256576432114

32

4331

32

4331

32

4331

+++

+=

=

++

++

=

++

=

PPPPPP

PPP

PP

PPP

PPPC

P I

105,1P 965,0P

0256576432114

1

2

22

23

2

==

=+ PPP

b.- El valor de CI es:

( ) ( )C . .I = +

=

1

3 1105

2

3 0 96510112 2

1

.

La cantidad en decibeles que aumenta la relacin seal a ruido, ( S/N )Q, es:

10 1011Log( ). = 0.048 dB

Problema 6

Una seal tiene la siguiente funcin de densidad de probabilidad:

a.- Determine el paso de un cuantificador uniforme de 8 niveles.

b.- Determine la caracterstica de compansin necesaria para lograr que los niveles de

la seal cuantificada sean equiprobables.


a.- a = paso del cuantificador

M V . Va= = =8 28

0 25

b.- Hay que encontrar una curva de compansin c(x) que transforme la variable

aleatoria x en otra con distribucin uniforme que se adapte mejor a los 8 niveles de

cuantificacin igualmente espaciados.

Hay que dividir la funcin de densidad de probabilidad de x en ocho trozos que tengan

la misma probabilidad ( igual a 1/8 ).

( ) + = + = = x dx - a a a= - .a

118 2

18

112

3 01330

2

( )

( )

+ = + = =

+ = + = =

x dx - b b b= - .

x dx -c

c c= .

-

b

-

c

1 18 2

18

18

1 12

2 0 2929

118 2

14

18

12

0 5

112

3

2

112

2

2

La curva de compansin debe transformar linealmente los 8 segmentos en que fue

dividido x, en 8 segmentos igualmente espaciados, como se muestra a continuacin.

Problema 7

Una seal aleatoria ergdica x(t) tiene una funcin de densidad de probabilidad igual a:

Esta seal es muestreada y cuantificada uniformemente ( x(nts) = xq(nts) + eq(nts) ).

Si se utilizan 2 niveles de cuantificacin, calcular:

a.- La potencia del error de cuantificacin ( E[ eq2(nts) ] )

b.- La potencia de la seal cuantificada ( E[ xq2(nts) ] )


a.- Para 2 niveles, la curva de cuantificacin de la seal x(nTs) es xq(nTs) y la funcin de

densidad de probabilidad de xq(nTs) es Pxq, tal y como se muestra

La potencia del error de cuantificacin es:

[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )

eq (t) E e (t) E x(t) x (t) x x P x dx

x x dx x x dx

q q q X2 2 2 2

1

1

2

1

0 2

0

112

1 12

1

= = =

=

+ +

+ =

112

b.- La potencia de la seal cuantificada es:

( ) ( )[ ] ( )( )

( )41tqx

41

81

81

21

21

21

21-

21

21

21

21

2

22

1

0

20

1

22

1

1

222

=

=+=

+

=

=

+

+=

==

dxxxdxxxtx

dx=xPxtxEtx

q

qXqqq

Problema 8

Una seal de video tiene el siguiente espectro de potencia:

Esta seal se muestrea idealmente a fs = 42 MHz. Determine (analtica o grficamente)

si ella puede ser recuperada, despus de este muestreo, con un filtro pasabanda ideal

ubicado entre 60 MHz y 66 MHz.


Si una seal pasabanda cumple f

BWL 1

Entonces podr ser muestreada a una frecuencia de muestreo menor al

lmite de Nyquist ( que en este caso sera: fNyquist = 2fmx = 266MHz = 132MHz ).

Para el caso de la seal analizada esta condicin se cumple ya que:

fBW

MHz MHz

L = =606

10

La frecuencia de muestreo fs, debe satisfacer la siguiente condicin para que no haya

solapamiento de espectros.

21

2+

fN

f fN

Ms

L

donde N es un nmero entero que representa la cantidad de veces que el espectro

original se puede repartir entre -fL y +fL. Los valores permisibles para N estn entre 1 y

(fL / BW).

Para verificar si fs est dentro de los valores permitidos, se buscar qu valor de N

corresponde a la frecuencia de muestreo fijada.

86.2 N 86.2 MHz42

MHz602ff2 N

Nf2f

14.2 N 14.21 MHz42

MHz6621ff2 N f

1Nf2

s

LLs

s

Ms

M

==

==+

Los resultados obtenidos indican que para la frecuencia fs = 42 MHz, no existe ningn

nmero entero vlido para N que impida un solapamiento entre los espectros. Por lo

tanto no se puede recuperar la seal.

Problema 9

Observe el siguiente sistema:

( )( ) ( )

X(f)f

senf

f ff

H f T ff

m t t nT

f KHz

f f

c c c

sc

s

c

s Nyquist

=

=

= ==

12 2 2

2

112

2

Determine las expresiones de xs(t) y y(t)


El espectro en frecuencia de la seal x(t) viene definido por el cuadrado de un seno

cuyo perodo es:

KHz=fc= T Tfc

4 4 212

1= ( Nota: Las unidades del perodo de X(f) son en Hertz, por ser un espectro )

Grficamente X(f) se representa de la siguiente manera:

El ancho de banda correspondiente a este espectro es igual a 1KHz, por lo tanto,

segn las indicaciones del problema, al multiplicar x(t) por m(t), se est muestreando la

seal a la mitad de la frecuencia de Nyquist, quedando la frecuencia de muestreo igual

a:

ff KHz KHz fsNyquist

c= = = =22 1

21

El utilizar esta frecuencia de muestreo implica que la seal xs(t) resulta en un

solapamiento de espectros. Pero si se analiza cules son las seales que se estn

superponiendo en cada punto del espectro de xs(t) se obtiene lo siguiente:

Por ejemplo, dentro del rango de frecuencias de 0KHz a 1KHz, Xs(f) se rige por la

siguiente ecuacin:

( ) ( )

+

= c

ccs fff

ff

fX2

sen21

2sen

21 22

Pero el segundo trmino es un seno elevado al cuadrado desfasado de perodo, lo

que lo convierte en un coseno cuadrtico. Por lo tanto, la expresin de Xs(f) queda

definida de la siguiente manera:

( )21

2cos

2sen

21 22 =

+

= f

ff

ffX

ccs

Esta expresin es vlida para cualquier valor de f, lo que indica que el espectro de

amplitud de Xs(t) es una constante. Al antitransformar Xs(f) obtenemos xs(t).

Al pasar xs(t) por el filtro pasabajo ideal se obtiene lo siguiente:

Para obtener y(t) hay que antitransformar Y(f).

[ ] ( )( )

y(t) Y(f)f f f

f f tc c c

c c= =

=

=

F F1 1 2 212 12 12 2 2sincy(t)

1

fsinc 2f t

cc

Problema 10

Una seal tiene el siguiente espectro de amplitud:

Se desea discretizar en tiempo esta seal muestrendola a una frecuencia fs apropiada,

para luego poder recuperarla con un filtro pasabanda. Deduzca analticamente y

consiga el valor de fs ms conveniente.


El valor de N mximo para el espectro mostrado anteriormente es el siguiente:

N fBW

KHz KHz

Lmax = = =201 20 ( ya que segn el grfico fL=20KHz y BW=1KHz )

Por lo tanto, la frecuencia de muestreo permitida para este valor de N, es la siguiente: 2

12

2 2120 1

2 2020

2 2

+

+

=

fN

f fN

KHz f KHz

KHz f KHz

Ms

L

s

s fs 2 KHz

Problema 11(2422p3sd00) La figura presenta un trozo arbitrario de 1mseg de una seal pasabajo aleatoria uniformemente distribuida entre 1v y 1v. Tambin se muestra el sistema por donde pasa.

Se obtienen los siguientes datos:

a. La seal x(t) se muestrea exactamente a la menor frecuencia posible para poder recuperar posteriormente la seal.

b. La relacin seal a ruido a la salida del cuantificador es igual a 64

En base a estos datos:

1. Determine la potencia de la seal x(t)

2. Dibuje con absoluto detalle (escala de tiempo y amplitud) y total explicacin( para el mismo intervalo de 1 mseg de la seal de entrada ) la seal a la salida del cuantificador asumiendo que la seal cuantificada ocupa 7.5KHz aproximadamente

3. Calcule la potencia de la seal cuantificada(xQ(t))

Solucin Problema 11

a. La potencia de una seal uniformemente distribuida entre v y v se calcula

mediante la siguiente integral: vv

x dxxpx

2 )( es 3

2v . Sabemos que v es 1, por lo

tanto la potencia de la seal es igual a 31 .

b. Nos dicen que la seal cuantificada tiene kHzW 5.7= y sabemos que el ancho de banda de una seal cuantificada es igual al nmero de bits de cuantificacin multiplicado por el ancho de banda de la seal original. Para cuantificar sabemos

que QN

S

= 64 = 12

2

2

a

x =

12

31

2a= 23

12a

.

Despejamos al paso de cuantificacin: 643

122=a = 0,0625 25,0=a . Tenemos

la frmula Mav =2 25,012 =M = 8. Siendo este ltimo valor el nmero de

niveles de cuantificacin y por la regla nM 2= donde n es el nmero de bits usados en el proceso, obtenemos que 3=n .

Por lo tanto el ancho de banda de la seal original es:

kHzkHz

n

kHzW 5,2

35,75,7 === .

Y debido a que, por dato, la frecuencia de muestreo es la menor frecuencia posible, es decir, Nyquist, concluimos que la frecuencia de muestreo es el doble de la frecuencia del mensaje lo cual es kHzkHzffs NYQUIST 55,22 === . Entonces el tiempo transcurrido entre una muestra y otra es ms

kHzfsts 2,0

511 === . Con

estos valores podemos dibujar las grficas solicitadas:

c. La potencia de la seal cuantificada se calcula multiplicando el tiempo que transcurre la seal en cada nivel de cuantificacin por la probabilidad de dicho nivel. En este caso la potencia sera igual a

( ) ( ) ( ) ( ) =

+++81875,0

81625,0

81375,0

81125,02 2222 0,32 debido a que

la seal cuantificada permanece en cada nivel de cuantificacin, cuya

probabilidad es para todos de 81 porque es una cuantificacin uniforme. El factor

de 2 es porque los niveles negativos producen la misma potencia que los positivos.

Problema 12

Una seal aleatoria banda base x(t) con valores entre -1y 1 (con fdp como la mostrada ) es muestreada cada 0.15 mseg. usando un muestreador tope plano. Esa seal luego se cuantifica usando el cuantificador mostrado. La seal se puede recuperar con un LPF sin distorsin.

a. Dibuje una posible seal cuantificada (detalle tiempos y amplitudes) b. Determine el nivel DC de la seal a la salida del cuantificador. c. Determine la potencia de la seal cuantificada. d. Determine el mximo ancho de banda de la seal x(t)

Solucin Problema 12: a. Se sabe por las caractersticas del cuantificador que los posibles valores de salida son (0.25V, 0.5V, 1V), como la seal de entrada es muestreada cada 0.15 mseg, se sabe que este ser el valor de nuestros pasos en la salida del cuantificador. Por ende la seal de salida debe tener esas caractersticas, por dar un ejemplo mostraremos lo siguiente:

b. Para hallar el valor DC de la seal de salida se usara lo siguiente: - Se sabe cuales son los nicos posibles valores de voltaje a la salida.

- Se puede calcula la probabilidad de que salga cada uno de esos valores, usando la fdp.

El rea debajo de la curva ser el valor de la probabilidad de cada valor y anlogamente se har con al lado negativo. P1(0-0.1)= 0.1 P2(0.1-0.2)=0.2 P3(0.2-1)=0.2 V1=0.25 V2=0.5 V3=1 - Usando eso se puede decir que el valor DC de la seal ser la sumatoria de los distintos valores de voltaje multiplicado por su probabilidad de ocurrencia.

Vi*Pi Y tendremos DC=0.1*V1+0.2*V2+0.2*V3+0.1*(-V1)+0.2*(-V2)+0.2*(-V3) DC=0 Esto se debe a la simetra tanto de la fdp como la simetra con respecto al eje del cuantizador. c. Similarmente como en el caso anterior ahora para calcular la potencia se usa el valor del voltaje al cuadrado por su probabilidad de ocurrencia por ende la formula ser as. Pot=P1*V12+P2*V22+P3*V32+P4*(-V1) 2+P5*(-V2) 2+P6*(-V3) 2 Pot=0.1*V12+0.2*V22+0.2*V32+0.1*(-V1) 2+0.2*(-V2) 2+0.2*(-V3) 2 En este caso ya no ser cero ya que el efecto de los signos se elimina con el cuadrado Pot=0.625

d. Para determinar el mximo ancho de banda sabemos que por el teorema de nyquist la frecuencia de muestreo debe ser mayor o igual a dos veces el ancho de banda a modo tal de poder recuperar la seal.

Fs2*W

Despejando se obtiene que:

WFs/2

Como Ts es 0.15mseg. Fs=1/Ts=6.66KHz Por lo tanto

Wmax=3.33KHz Problema 13

Solucin Problema 13 : Parte A) El hecho de que la relacin seal a ruido haya mejorado en 3dB despus de la compansin, lo podemos expresar matemticamente de la siguiente manera: 10.log(S/Nc) = 10.log(S/N) + 3dB (1) donde S/Nc es la relacin seal a ruido despus de haber sido compandida la seal. Sabemos que la relacin seal a ruido mejora con respecto al factor de mejoramiento C1, explicado en la gua de cuantificacin no uniforme, por lo que se puede rescribir: S/Nc = (S/N).C1; Resolvemos (1) aplicando antilogaritmo:

=> C1 = 2 Las derivadas del compansor son: C(x) 3 , 0

Como el cuantificador es 8 niveles, M = 8 y la mxima amplitud A =1, sabemos que a = (1/4). Finalmente (S) = 12x16x0.0416x2 = 15.97 N En dB seria [S/N]dB = 12.03 dB Parte C) Si la seal solo pasa por el cuantificador uniforme se pierde el efecto del factor de mejoramiento (C1) introducido por el Compansor, entonces nos queda:

S = 12x16x0.0416.= 7.98 N En dB seria [S/N]dB = 9.03 dB Problema 14 (p3em04) Una seal aleatoria x (t) tiene una fdp tal y como se muestra en la figura de la izquierda, mientras que su DEP est representada por la figura de la derecha.

Dicha seal se muestrea adecuadamente (Nyquist, ideal) y pasa por un Cuantificador no-uniforme el cual puede ser modelado por: un compansor (Con la caracterstica c(x) definida a continuacin) seguido de un Cuantificador uniforme de 8 niveles y simtrico respecto al cero.

Estos dos sistemas en cascada son equivalentes a un cuantificador no uniforme, simtrico respecto al cero, como el siguiente:

a) Determine b) Determine la probabilidad de que XQ sea igual a -0.125.

Solucin Problema 14 a) La funcin del compansor esta definida por C(x)

Si la graficamos se tiene una recta con una misma pendiente de -0,5 a 0,5; y otras dos con una pendiente mayor que van de -0,5 a -1 y de 0,5 a 1 respectivamente.

El cuantificador uniforme se visualiza en la siguiente grfica:

Para hallar el valor de alfa (), lo que hacemos es evaluar los valores lmites del compansor y verificar donde quedan ubicados dentro del cuantificador uniforme para hacer los pasos del cuantificador no uniforme.

Evaluamos los valores limtrofes de la primera recta con valores X positivos del compansor, que va de cero (0) a cero coma cinco (0,5) 5,00 y calculamos los valores de C(x)

25,05,05,0)5,0(;005,0)0( ==== CC Entonces observamos que aunque en el compansor va de 5,00 en el cuantificador uniforme equivale al primer nivel completo que va de 25,00 , esto demuestra que esta recta del compansor alarga el valor del cuantificador no uniforme en ese intervalo. En la grfica del cuantificador no uniforme se aprecia mejor esta relacin. El siguiente paso del cuantificador uniforme va hasta 0,5, entonces si evaluamos en la funcin de C (x) correspondiente a los valores de x entre 0,5 y 1, sustituyendo x por alfa () y lo igualamos a 0,5 podemos despejar alfa (). En el compansor va de 5,0

25,05,075,05,05,05,1)5,0( ===C

667,015,15,05,05,1 === A continuacin se muestra el grfico de QX con los valores especificados:

b) Para determinar la probabilidad de que QX sea igual a -0,125, nos ubicamos en la fdp y calculamos el rea que abarca los valores de 5,00 en el eje x.

Para calcular la altura de la fdp, sabemos que el rea total vale uno (1), entonces el rea de cada tringulo vale , y de la ecuacin despejamos la altura

121

22=== hhhbAT

para calcular el valor de la fdp en x = -0,5 lo hacemos por la ecuacin de la recta

112

12 == m

xx

yym

xmy = 5,05,0 == yx

Teniendo la base y la altura del tringulo podemos calcular el rea rayada:

81

221

21

2=

== hbAT

81)125,0( ==QXP

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