1

O produto vetorial u ev pode ser indicado por u xv ou u ^v e lê-se “u vetorial v ”. Para simplificar o cálculo do produto vetorial, usaremos:

ux v=| i j kx1 y1 z1

x2 y2 z2|

ux v=−( v x u), isto é, os vetores ux v e v x u são opostos, pois a troca de ordem dos

vetores no produto vetorial, ou seja, troca de sinal de todas as componentes. Portanto, no produto vetorial a ordem dos fatores é importante.

Características do Vetor ux v

Considerando os vetores u=( x1 , y1 , z1) e v=(x2 , y2 , z2)

Direção ux v é perpendicular (ortogonal) aos vetores u e v simultaneamente.

Sentido ux v: u , v e u x v, nesta ordem, formam um triedro positivo(segue a regra da mão direita).

Nulidade do produto vetorial

ux v= 0 se:

o Um dos vetores for nulo;

o Os dois vetores forem paralelos entre si, ou seja, u/¿ v.

2

Vetor Unitário

vers=ux v

¿u x v∨¿¿

Caso particular

Os vetores i , j e k, nesta ordem formam um triedro positivo. Apresentamos um dispositivo

mnemônico pra lembrar os seis produtos vetoriais possíveis com estes três vetores unitários que determinam o sistema cartesiano. Associando estes vetores a três pontos distintos de uma circunferência, e adotando o sentido anti-horário, o produto vetorial de dois vetores sucessivos quaisquer é o vetor seguinte. Assim, neste dispositivo temos imediatamente

i x j= k (sentido anti-horário) e j x i=−k (sentido horário). A tabela abaixo apresenta as

seis possibilidades com o produto vetorial não-nulo:

x i j ki 0 k − jj −k 0 ik j − i 0

Módulo de ux v|u x v|=|u|.|v|. senθ (com 0≤θ≤180 °). Importante saber que: |u x v|=|v x u|.

3

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL

Cálculo de áreas Paralelogramo

Observe o paralelogramo:

Este paralelogramo está determinado pelos vetores não nulo ue v, a medida da base é |u| e a altura

é |v|. senθ. Sabemos através da geometria analítica que a área deste paralelogramo é o produto da

base pela altura, ou seja, A = b x h, assim teremos:

A=|u|.|v|. senθ, ou seja,

A=¿ ux v∨¿

Para calcular a altura relativa à base u, teremos: h=¿ u x v∨¿¿u∨¿¿

¿

Cálculo de áreas Triângulo

Observe o triângulo ao lado:

A área de um triângulo determinados pelos vetores u=(x1 , y1 , z1) e w=(x2 , y2 , z2) é numericamente

igual ao módulo do produto vetorial desses vetores dividido por dois, ou seja,

A=|u|.|v|. senθ

2 , ou seja,

AABC=¿ u x w∨¿2

¿

4

Para calcular a altura relativa à base u, teremos: h=¿ u x v∨¿¿u∨¿¿

¿

Para finalizar o estudo do produto vetorial, segue as conclusões finais:

O produto vetorial não é associativo, isto é, em geral ( ux v ) x w ≠ ux ( v x w). Para quaisquer vetores u , v e w e o escalar α, são válidas as propriedades:

u x ( v+w )=( u x v )+(u x w) e ( u+ v ) x w=( u x w )+( v x w) ∝ (u x v )= (∝ u ) x v=u x (∝ v) u . ( v x w )=( u x v ) . w

Exemplos

1. Dado os vetores u=(3 ,1 ,2 ) e v=(−2,2,5) calcular u x v.

2. Determinar o vetor a, tal que a seja ortogonal ao eixo y e u=a x v, sendo u=(1,1 ,−1 ) e

v=(2 ,−1,1)

3. Dados os vetores u=(1,−1 ,1 ) e v=(2 ,−3 ,4) , calcular a área do paralelogramo determinado

pelos vetores u e v e a altura relativa a base u .

4. Dados os pontos A(2, 1, 1), B(3, -1, 0) e C(4, 2, -2), determinar a área do triângulo ABC e a altura relativa a base AB.

Exercícios

1. Conhecendo os vetores a=2 i+3 j+ k, b=i− j+2 k , pede-se:

a) a x bb) b x ac) ¿ a x b∨¿d) ¿ b x a∨¿

2. Dados os vetores a=2 j+k , b=i+3 j+4 k e c=−i+4 j+2 k , determinar:

a) a x bb) a x cc) b x cd) a .( b x c )

5

(a x b ) . c3. Dados os vetores a=(1 ,1 ,2 ) , b=(3 ,1 ,−1 ) e c=(0 ,2 ,1), encontre:

a) c x b

b) b x ( c - a )c) (a + b ) x ( b - c )

6

4. Dados os vetores a=3 i− j−2 k, b=2 i+4 j−k e c=−i+ k, determinar:a) | a x a |b) (2 b ) x (3 b )c) ( a x c )+( cx a )d) (a - b ) x ce) (a x b ) x cf) a x ( b + c )g) a x b + a x ch) (a x b ) . bi) (a x b ) . cj) a .( b x c )

5. Efetuar:

a) i x kb) i x jc) j x (2 i )

d) (3 i ) x (2 k )

e) (3 i ) x (2 j )

f) ( i x j) x j

g) i x ( j x j )

6. Dados os pontos A(2, 1, -1), B(3, 0, 1) e C(2, -1, -3), determinar o ponto D tal que AD= BC x AC.

7. Determinar o vetor x tal que x .a=−7 e x x b=(3 ,5 ,−2), sabendo que

a=(1 ,4 ,−3 ) e b=(4 ,−2 ,1).

8. Dados os vetores u=(3 ,−1 ,2 )e v=(−2 ,2 ,1 ), calcular a área do paralelogramo determinado por

u e v.

9. Sendo |u|=4 e|v|=3 e o ângulo entre ue v é igual a 150°, calcular a área do triângulo construído

sobre ue v.

10. Calcular a área do triângulo construído sobre u=2 i− j+k e w=−i+ j−k .

11. Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por

u=(m,−3 ,1 )e v=(1 ,−2 ,2) seja igual a √26.

12. No triângulo de vértices A(0, 0, 2), B(3, -2, 8) e C(-3, -5, 10) , calcular:a) A medida dos lados a, b e c;

7

b) A medida dos ângulos A , B e C ;

c) A área do triângulo.13. Calcular a área do triângulo eqüilátero ABC de lado igual a 10 e o ângulo no vértice A é igual a 60°.

14. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo dados:

a) A(-4, 1, 1), B(1, 0, 1) e C(0,- 1, 3) b) A(4, 2, 1), B(1, 0, 1) e C(1, 2, 0)

15. Achar o vetor a tal que a . b=6 e a x c=(2,12,3), sabendo que as componentes do vetor

b=(0,4,5 ) e do vetor c=(3 ,0 ,−2).

16. Achar o vetor ¿ a∨¿, conhecendo |a x b|=4 √2, |b|=2 e o ângulo entre a e b é igual a 45º.

17. Dados os vetores a=(1 ,1 ,0) e b=(−1,1,2), determinar um vetor ortogonal a a e b.

18. Determinar um vetor concomitantemente perpendicular ao vetor u+ v e 2 v− u, sendo u=(1,1 ,0 ) e v=(2 ,0 ,−1).

19. Calcular a altura relativa ao vértice B do triângulo de vértices A(2, 4, 0), B(0, 2, 4) e C(6, 0, 2).

Respostas

1. a)(7, -3, -5) b) (-7, 3, 5) c) √83 d) √83 2. a) (5, 1, -2) b) (0, -1, 2) c) (-10, -6, 7)

d) -5 e) -5 3. a) (-3, 3, -6) b) (0, 4, 4) c) (-3, 11, -10) 4. a) 0 b) 0 c) 0

d) (-5, 0, -5) e) (-1, -23, -1) f)(8, -2, 13) g) (8, -2, 13) h) 0 i) 5 j) 5 5. a) − j

b) k c) −2 k d) −6 j e) 6 k f) −i g) 0 6. D(-4, -1, 1) 7. x=(3 ,−1 ,2)

8. 3.√10 9. A = 3 u.a. 10. √22

u .a. 11. m = 0 ou m = 2 12. a) 7; 7√2; 7 b)

45°; 90º; 45° c) A = 492u .a . 13. 25.√3 u.a. 14. a) A=√35u .a . e h=√210

3u .c . b)

A=72u .a . e h=7 √5

5u . c . 15. a=(3 ,−1 ,2) 16. ¿ a∨¿ = 4 17. (2,-2,2) 18. (-3,

3, -6) 19. h= 10√2

3 u.c.

8

PRODUTO MISTO

Definição: Dados os vetores u=(x1 , y1 , z1) ,v=(x2 , y2 , z2) e w=(x3 , y3 , z3), o produto misto (ou a

multiplicação mista) destes três vetores é o número real é representado por u .( v x w ), quando

tomados nessa ordem.

O produto misto de u , v e w também é indicado por (u , v , w) e para calculá-los, basta resolvermos o determinante formado pelas coordenadas dos três vetores em questão. Tendo em vista que:

v x w=| i j kx2 y2 z2

x3 y3 z3|=|y2 z2

y3 z3|i−|x2 z2

x3 z3| j+|x2 y2

x3 y3|k (definição do produto vetorial)

Então:

u .( v x w )=x1|y2 z2

y3 z3|− y1|x2 z2

x3 z3|+z1|x2 y2

x3 y3| (aplicação do produto escalar)

Logo,

u .( v x w )=|x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3|

PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO

As propriedades do produto misto decorrem, em sua maioria, das propriedades dos determinantes.

O produto misto (u , v , w) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores.Se hipoteticamente tivermos (u , v , w) = 27, então ( v , u , w) = -27. Então, se num produto misto (u , v , w) ocorrer:o Uma permutação de vetores, haverá mudança de sinal do produto misto.

o Duas permutações de vetores, não haverá alteração no valor do produto misto.

Resulta desta propriedade que os sinais (.) e (x) podem ser permutados, isto é, u . ( v x w )=( ux v ) . w.

( u+ x , v , w )=( u , v , w )+( x , v , w)

( u , v+ x , w )=( u , v , w )+( u , x , w)

( u , v , w+ x )=( u , v , w )+( u , v , x )

9

(∝u , v , w )=( u ,∝ v , w )= (u , v ,∝ w )=∝(u , v , w) (u , v , w) = 0 se: Pelo menos um dos vetores for nulo; Se u , v e w forem coplanares , ou seja, estão no mesmo plano; Se dois deles forem paralelos.

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO MISTO

Volume do Paralelepípedo

Geometricamente, o produto misto u . ( v x w )é igual a, em módulo, ao volume do paralelepípedo de

arestas determinadas pelos vetores não-coplanares u , v e w. Ou seja, o volume do paralelepípedo é igual:

V=¿( v , u , w)∨¿

Volume do Tetraedro

Decorrente do exposto até então, podemos calcular o volume do tetraedro gerado por três vetores não-coplanares.

V=¿( v , u , w)∨ ¿6

¿

Para calcular a altura relativa à base u x v, teremos: h=( u , v , w )

¿ u x v∨¿¿

Exemplo

1. Calcular o produto misto dos vetores u=(2 ,3 ,5 ) , v=(−1 ,3 ,3 ) e w=(4 ,−3 ,2).2. Calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores

u=(2 ,0 ,0 ) , v=(0 ,7 ,0 ) e w=(0 ,0 ,5).3. Sejam A(1, 2, -1), B(5, 0, 1), C(2, -1, 1) e D(6, 1, -3) vértice de um tetraedro. Calcular o

volume deste tetraedro.

Exercícios

1. Dados os vetores u=(3 ,−1,1), v=(1 ,2 ,2) e w=(2 ,0 ,−3), calcular:

a) (u , v , w) b) (w ,u , v)

2. Calcule o produto misto (u , v , w), sabendo que u=(3 ,−1,2), v=(2 ,1 ,0) e w=(0 ,1,−1).

3. Dados os vetores u=(1 ,1,2), v=(3 ,1 ,−1) e w=(0 ,2,1), calcule:

a) u .( v x w ) b) (w ,u , v) c) (u , w , v )

10

4. Verifique se são coplanares os vetores:

a) u=(1 ,−1 ,2), v=(2 ,2 ,1) e w=(−2 ,0 ,4)b) u=(2 ,−1 ,3), v=(3 ,1 ,−2) e w=(7 ,−1 ,4)5. Dados os pontos abaixo, verifique se são coplanares:a) A(1, 1, 0) , B(0, 2, 3) , C(2, 0, -1) e D(-1, 3, 5)b) A(1, 1, 1) , B(1, 2, 1) , C(3, 0, 1) e D(5, 7, 10)

6. Qual é o valor de m para que os vetores u=(3 ,−1,m), v=(2 ,m ,0) e w=(1 ,1 ,m) sejam

coplanares?

7. Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u=(2 ,0 ,0), v=(0 ,3 ,0) e w=(1,1,2)

8. Determine o volume do tetraedro de vértices O(0, 0, 0) , A(6, 0, 0) , B(0, 6, 0) e C(0, 0, 6).

9. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores u=(3 ,−1, 4), v=(2 ,0 ,1) e w=(−2 ,1 ,5). Calcular o seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores u e v.

10. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores

a=− j+2 k , b=−4 i+2 j−k e c=3 i+m j−2 k seja igual a 33. Calcular a altura deste paralelepípedo

relativa à base definida por ae b .

11. Sabendo que os vetores AB=(2 ,1,−4 ) , AC=(m,−1 ,3) e AD=(−3 ,1 ,−2), determinam um

tetraedro de volume 3. Calcular o valor de m.

12. Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i , j e k .

13. Determinar x para que o ponto A pertença ao plano BCD. Dados A(4, 5, x), B(-4, 4, 4), C(0,-1,-1) e D(3, 9, 4).

14. Três vértices de um tetraedro de volume 6 são A(-2, 4 -1), B(-3, 2, 3), C(1, -2, -1). Determinar o quarto vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy.

15. Dados os pontos A(2, 1, 1), B(-1, 0, 1) e C(3, 2, -2), determinar o ponto D do eixo Oz para que o

volume do paralelepípedo determinado por AB , AC e AD seja 25 u.v.

16. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A(2, 0, 0), B(2, 4, 0), C(0, 3, 0) e P(2, -2, 9). Qual é a altura relativa ao vértice P?

17. Calcule a distância do ponto D(2, 5, 2) ao plano determinado pelos pontos A(3, 0, 0), B(0, -3, 0) e C(0, 0, 3).

Respostas

1.a) -29 b) -29 2. a) -1 3. a) 12 b) 12 c) -12 4. a) Não b) Sim 5.

a) Sim b) Não 6. m = 0 ou m = -2 7. V = 12 u.v. 8. V = 36 u.v. 9. V = 17 u.v.

11

h = 17√30

30 u.c. 10. m =4 ou m =

−174

e h = 33√89

89u . c . 11. m =

−172

ou m = 192

12. V = 1u.v. 13. 1 14. D(0, 2, 0) ou D(0, -4, 0) 15. D(0, 0, -10) ou D(0, 0, 15) 16. 12 u.v. e

9 u.c. 17. 4

√3u . c .

COMINAÇÃO LINEAR

Sejam os vetores v1 , v2 ,…, vn do espaço vetorial V e os escalares a1, a2, ...,an.

Qualquer vetor v ∈ V da forma:

é uma combinação linear dos vetores v1 , v2 ,…, vn.

Exemplo: Escrever o vetor v=(−4 ,−18 ,7)como combinação linear dos vetores u=(1 ,−3 ,2) e

v=(2 ,4 ,−1).

Dependência Linear

Definição: Consideremos n vetores v1 , v2 ,…, vn , n≥2, de um certo espaço vetorial (ℜ2 ou ℜ3).

Dizemos que o conjunto { v1 , v2 ,…, vn} é Linearmente Dependente (LD) quando um

dos seus vetores é combinação linear dos outros.

Dizemos que o conjunto {v1 , v2 ,…, vn}é Linearmente Independente (LI) quando não é

linearmente dependente, admite apenas a solução trivial.

Dependência Linear de dois vetores

Decorre da definição que dois vetores u e v, do ℜ2 ou ℜ3, são linearmente dependente quando um é múltiplo do outro, isto é, quando são paralelos.

No ℜ2, sendo u=(x1 , y1 )e v=(x2 , y2), temos:

u e v linearmente dependente quando x1

x2

=y1

y2

(x2 y2≠0)

v=a1 v1+a2 v2+…+an vn

12

u e v linearmente independente quando x1

x2

≠y1

y2

(x2 y2≠0)

No ℜ3, sendo u=(x1 , y1 , z1 )e v=(x2 , y2, z2), temos:

u e v linearmente dependente quando x1

x2

=y1

y2

=z1

z2

(x2 y2 z2≠0)

u e v linearmente independente quando x1

x2

≠y1

y2

ouy1

y2

≠z1

z2

(x2 y2 z2≠0)

Dependência Linear de três vetores no ℜ3

Três vetores u , v e w, do ℜ3, são linearmente dependente quando são coplanares. Assim,

sendo u=(x1 , y1 , z1 ) , v=(x2 , y2 , z2 )e w=(x3 , y3 , z3 ), teremos:

u , v e w linearmente dependente quando (u , v , w ¿=0 u , v e w linearmente independente quando (u , v , w ¿≠0

Exercícios

1. Escrever o vetor w=(2 ,13 ) como combinação linear de u=(1,2 ) e v=(−1 ,1).

2. Escrever o vetor w=(10 ,7 ,4 ) como combinação linear de u=(1,0 ,1 ) , v=(1 ,1 ,1 ) e s=(0 ,−1 ,1).

3. Calcular o valor de k para que o vetor w=(3 ,4 , k ) seja combinação linear de

u=(1,1 ,2 ) , v=(0 ,2 ,1 ).

4. Para qual valor m o vetor u=(1 ,−2 ,m) é uma combinação linear dos vetores v e w, sabendo que

v=3 i−2 k e w=2 i− j−5 k?

5. Verificar se o vetor a=(6 ,6 ,−1) é combinação linear de b=(2 ,0 ,−1 ) e c=(0 ,3 ,1).

6. Verificar se os vetores a e b são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI)

nos casos abaixo:

a) a=(1 ,2 )e b=(3 ,6)

b) a=(6 ,8 ) e b=(−2 ,−3)

c) a=(2 ,1 ,3 ) e b=(4 ,2 ,5)

d) a=(4 ,6 ,−8 )e b=(−2 ,−3 , 4)

7. Nos casos abaixo, verificar se os vetores são LD ou LI:

13

a) u=(2 ,1 ,0 ) , b=(−1 ,1 ,1 ) e w=(0 ,3 ,2)

b) u=(1,1 ,2 ) , b=(1 ,0 ,1 ) e w= (0 ,1,3 )

c) u=(0 ,1 ,2 ) , b=(1 ,2 ,3 )e w=(2 ,3 ,4)

8. Determinar o valor de m para que os vetores a=(m ,1 ,0 ) , b= (2,2 ,3 ) e c=(−1 ,0 ,2) sejam LD.

Respostas: 1.w=5 u+3 v 2. w=9 u+ v−6 s 3. k=132

4. m = -8 5. Sim. a=3 b+2 c

6. a) LD b) LI c) LI d) LD 7. a) LD b) LI c) LD 8. m=74

14

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Santos, Reginaldo J. Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2009.

VENTURI, Jacir J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. Curitiba: Biblioteca Central UFPR, 1949.

WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.