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Porcentagem

A razão como comparação

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Paulo fez uma prova que valia 8 e tirou 5. Para sua irmã Marta a mesma prova valia 5 e ela tirou 3. Qual dos dois se saiu melhor?

Porcentagem: a razão como comparação

O problema consiste em comparar 5 com 8 e, também, 3 com 5. Essa comparação pode ser feita a partir da operação divisão.

A razão entre duas medidas de mesma espécie estabelece uma comparação entre elas.

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Prof. Jorge

Paulo fez uma prova que valia 8 e tirou 5. Para sua irmã Marta a mesma prova valia 5 e ela tirou 3. Qual dos dois se saiu melhor?

Porcentagem: a razão como comparação

Veja como ficam os casos de Paulo e Marta.

Paulo →5

8= 0,625 =

62,5

100= 62,5 %

Marta →3

5= 0,6 =

60

100= 60 %

Paulo se saiu melhor. Mas por pouco!

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Veja como transformar uma porcentagem em número decimal e vice-versa.

Porcentagem: a razão como comparação

= 0,1=10

10010 % =

1

10

= 0,05=5

1005 %

= 1=100

100100 %

0,15 =15

100= 15 %

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No cálculo de porcentagem, a agilidade é muito importante. Tente fazer os cálculos mentalmente.

Porcentagem: a razão como comparação

Suponha que uma loja venda um produto por R$ 150,00 e, num certo dia, dê descontos sobre esse preço. Vamos achar, em reais, os descontos relativos a percentuais de 10%, 40%, 4% e 44%.

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Veja os cálculos.

Porcentagem: a razão como comparação

→=10

10010 % =

1

1010 % de 150 =

1

10. 150 = 15

→= 4 . 10%40 % 40 % de 150 = 4 . 15 = 60

=4 %1

10. 40% → 4 % de 150 =

1

10. 60 = 6

44 % = 40% + 4% → 44 % de 150 = 60 + 6 = 66

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Para refletir.

Porcentagem: a razão como comparação

A que percentuais de um número A que percentuais de um número

correspondem a metade dele, a correspondem a metade dele, a

terça parte dele, a quarta parte dele, terça parte dele, a quarta parte dele,

o próprio número e o dobro do o próprio número e o dobro do

número?número?

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150 pessoas participam de um concurso, sendo 46% homens. Quantos homens e quantas mulheres há entre os participantes?

Exemplos

Homens: 46 % de 150 = 0,46 . 150 = 69

Mulheres: 150 – 69 = 81

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Numa pesquisa sobre preferência de refrigerantes, 32% dos consumidores preferem a marca A, 42% dos consumidores preferem a marca B, e as outras 91 pessoas, a marca C. Qual é o total de pessoas consultadas.

Exemplos

Soma dos que preferem A e B: 32% + 42% = 74%

Preferem a marca C: 100% – 74% = 26%

26 % de x = 91 → 0,26 . x = 91

= 350=91

26x

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Juntam-se 36 L de água e 39 L de vinho. Qual é a porcentagem de cada componente na mistura?

Exemplos

=Vol. de água

Vol. totalÁgua =

36

75= 0,48 = 48%

=Vol. de vinho

Vol. totalVinho =

39

75= 0,52 = 52%

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Aumentos e descontos

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Aumentos e descontos

Se V0 é o valor inicial de uma medida e ela sofre um aumento ou um desconto segundo um percentual i, como obter seu valor final VF?

Nesse tipo de problema, vamos utilizar os conceitos de fator de aumento e fator de desconto.

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Um produto que custa R$ 300,00 sofre um aumento de 15%. Quanto ele passa a custar?

Fator de aumento

Como 100% + 15% = 115%

Podemos dizer que o preço final é 115% do preço inicial.

115 % de 300 = 1,15 . 300 = 345

O número 1,15 é o fator de aumento (fA).

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Veja outros casos.

Exemplos

Aumento percentual de 5% (i = 0,05)

fA = 100% + 5% = 105% = 1,05 = 1 + i

Aumento percentual de 32% (i = 0,32)

fA = 100% + 32% = 132% = 1,32 = 1 + i

Aumento percentual de 3,5% (i = 0,035)

fA = 100% + 3,5% = 105% = 1,035 = 1 + i

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Aumentos

Se um valor inicial VO tem um aumento

percentual i, o valor final VF é

De maneira geral: Se uma medida aumenta segundo uma taxa percentual i, o fator de aumento é

fA = 1 + i 1 = 100%

i = taxa de aumento

VF = VO . (1 + i)

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Um comerciante vende um tênis por R$ 65,00, à vista. Pagando com um cheque pré-datado para 30 dias, ele aumenta 12%. Qual será o preço do tênis?

Exemplos

O percentual de aumento i = 12% = 0,12.

O fator de aumento é fA = 1 + i = 1,12.

VF = VO . (1 + i) = 65 . 1,12 → VF = 72,80

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Uma loja vende um CD por R$ 20,00, com lucro de 25% sobre o preço de custo. Qual era o preço de custo?

Exemplos

O percentual de aumento i = 25% = 0,25.

O fator de aumento é fA = 1 + i = 1,25.

VF = VO . (1 + i)

20 = VO . 1,25 → VO

=

= 1620

1,25

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Um produto que custa R$ 250,00 sofre um desconto de 14%. Quanto ele passa a custar?

Fator de desconto

Como 100% – 14% = 86%

Podemos dizer que o preço final é 86% do preço inicial.

86 % de 250 = 0,86 . 250 = 215

O número 0,86 é o fator de desconto (fD).

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Veja outros casos.

Exemplos

Desconto percentual de 5% (i = 0,05)

fD = 100% – 5% = 95% = 0,95 = 1 – i

Desconto percentual de 19% (i = 0,19)

fD = 100% – 19% = 81% = 0,81 = 1 – i

Desconto percentual de 83% (i = 0,83)

fD = 100% – 83% = 17% = 0,17 = 1 – i

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Descontos

Se um valor inicial VO sofre um desconto

percentual i, o valor final VF é

De maneira geral: Se uma medida sofre um desconto segundo um percentual i, o fator de desconto é

fD = 1 – i 1 = 100%

i = taxa de desconto

VF = VO . (1 – i)

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Uma fábrica produz mensalmente 1350 peças de sapatos. Qual será sua produção mensal, caso ela reduza em 4%?

Exemplos

O percentual de desconto i = 4% = 0,04.

O fator de desconto é fD = 1 – i = 0,96.

VF = VO . (1 + i) = 1350 . 0,96 → VF = 1296

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Para refletir.

Porcentagem: a razão como comparação

O real 1 é fator de aumento? É fator O real 1 é fator de aumento? É fator

de desconto? Como distinguir um fator de desconto? Como distinguir um fator

de aumento de um fator de desconto, de aumento de um fator de desconto,

comparando-os com o real 1?comparando-os com o real 1?

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Cálculo do percentual de aumento ou desconto

A comparação do valor final VF com o valor

inicial VO de uma medida nos dá o fator de

aumento ou de desconto, conforme o caso.

Essa comparação é obtida, dividindo-se VF

por VO?

VF

VO

> 1 → fator de aumento=

= 1 + i

< 1 → fator de desconto= 1 – i

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Uma loja aumentou o preço de um liquidificador de R$ 35,00 para R$ 40,60 e reduziu o preço de uma TV de R$ 840,00 para R$ 739,20. Quais foram os percentuais de aumento do liquidificar e de desconto na TV?

Exemplos

Liquidificador: VO = 35,00 e VF = 40,60

VF

VO

=40,60

35= 1,16

1 + i = 1,16 → i = 0,16 → aumento de 16%

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Uma loja aumentou o preço de um liquidificador de R$ 35,00 para R$ 40,60 e reduziu o preço de uma TV de R$ 840,00 para R$ 739,20. Quais foram os percentuais de aumento do liquidificar e de desconto na TV?

Exemplos

TV: VO = 840,00 e VF = 739,20

VF

VO

=840

739,20= 0,88

1 – i = 0,88 → i = 0,12 → desconto de 12%

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Aumentos e descontos sucessivos

Muitas vezes, um valor sofre vários aumentos ou descontos sucessivos. No caso, o valor final é obtido, multiplicando-se o valor inicial pelos sucessivos fatores de aumento ou de desconto.

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Uma indústria produziu, em janeiro, 1500 unidades de certo produto. De janeiro para fevereiro, sua produção aumentou 12%; de fevereiro para março, teve redução de 10%. Quantas unidades foram produzidas em fevereiro e março?

Exemplos

De janeiro para fevereiro: aumento 12% → fA = 1,12

De fevereiro para março: redução 10% → fD = 0,90

PF = 1500 . 1,12 → PF = 1680

PM = 1680 . 0,90 → PM = 1512

PM = 1500.1,12.0,90 = 1512

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Um preço aumenta 10%; depois, aumenta 20%; finalmente, diminui 30%. No caso, o preço volta ao valor inicial? Se não, qual é o percentual de reajuste ou de desconto?

Exemplos

1.º aumento: i = 10% → i = 0,1 → fA = 1,1

2.º aumento: i = 20% → i = 0,2 → fA = 1,2

desconto: i = 30% → i = 0,3 → fD = 0,7

Produto dos três fatores:

1,1 . 1,2 . 0,7= 0,924

1 – iF = 0,924 → iF = 1 – 0,924 = 0,076

→ 7,6% de desconto