ProfessorAutor_Matemática_Matemática I 2º Ano I Médio_Matriz Inversa

8/17/2019 ProfessorAutor_Matemática_Matemática I 2º Ano I Médio_Matriz Inversa

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MatemáticaEnsino Médio, 2º Ano

Matriz Inversa


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Matemática, 2º Ano

Matriz Inversa

Noções iniciais

• No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0 , existe um número b,denominado inverso de a, satisfazendo a condição:

a.b = b.a =1

• É bastante comum indicarmos o inverso de a por ou a -1.

Exemplo:

a

1

155

1

5

15 =⋅=⋅


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Matriz Inversa

Definição • Uma matriz A, uadrada de ordem n, diz!se invertível se, e somente se,

existir uma matriz B, uadrada de ordem n, tal ue:

Em ue I n " a matriz identidade de ordem n e B " denominada inversade A e indicada por A-1 #

n I A B B A =⋅=⋅


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Matriz Inversa

Exemplo $:• %erifiue ue a matriz " a inversa da matriz #

−

−=

411

13 B

=

311

14 A

=

− −⋅

=⋅

10

01

411

13

311

14

B A

=

⋅

−

−=⋅

10

01

311

14

411

13 A B

Como A · B = B · A = I 2 , a matriz B é a inversa de A, isto é, B = A-1.


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Matriz Inversa

• Para verificar se uma matriz quadrada é ou não invertível e,em caso afirmativo, determinar sua inversa,

aresentaremos, a se!uir, um rocesso "aseado na

definição de matriz inversa e na resolução de sistemaslineares.

• #uando uma matriz é invertível, dizemos que ela é umamatriz não sin!ular, caso contr$rio, ser$ uma matriz sin!ular.

%"servações&


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Matriz Inversa

Exemplo &:• %amos encontrar, se existir, a inversa de #

'evemos verificar se existe , tal ue A . A-1 = I n.

=

45

23 A

=−

d c

ba A 1

(o)o:

=

++

++

⇒

=

⋅

10

01

4545

2323

10

01

45

23

d bca

d bca

d c

ba


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Matriz Inversa

Exemplo & *continuação+:'o conceito de i)ualdade, se)uem os sistemas:

=+=+

=+

=+

045

123

045

123

d b

d b

ca

ca

, cuja solução " a = 2 e c = -5/2

, cuja solução " b = -1 e c = 3/2

Então,

−

−=−

2

3

2

5

121 A

É fácil ver que A-1 . A = I n também está satisfeita.


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Matriz Inversa

Exemplo :• %amos encontrar, se existir, a inversa de #

=

12

24 A

-azendo A.A-1 = I n , temos:

=

++++⇒

=

10

01

22

2424

10

01.

12

24

d bca

d bca

d c

ba

(o)o:

=+=+

=+=+

12

024

02

124

d b

d be

ca

ca


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Matriz Inversa

Exemplo .:

/om o primeiro sistema não admitindo solução, j0 seria poss1vel concluir uenão existe a inversa de A *2 se)undo sistema tamb"m não admitiu solução+#

#

=+=+

=+=+

12

024

02

124

d b

d b

ca

ca

#*!&+ #*!&+

−=−−=+

=−−=+

224

024

024

124

d b

d b

ca

ca

3esolvendo os sistemas pelo m"todo da adição, temos:

10 = 20 −=*4mposs1vel+ *4mposs1vel+


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Matriz Inversa

• % rocesso aresentado nos e'emlos anteriores, aesardo !rande nível de comle'idade, ode ser usado ara o

c$lculo de inversas de matrizes quadradas de ordem n, com

n ≥ 2.

• (studar métodos ara solução de sistemas lineares ser$"astante eficaz ara o c$lculo de matrizes inversas de ordem

n, com n ≥ 3.

%"servações&


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Matriz Inversa

('ercícios

5$# 2bter a matriz inversa da matriz #

=

11

12 A

)esolução&

6endo , temos:

=−

cc

ba A 1

=

++++

⇒

=

10

0122

10

01.

11

12

d bca

d bca

d c

ba

=+=+

=+

=+

0

12

012

d b

d b

ca

ca , cuja solução é a = 1 e c = -1

, cuja solução é b = -1 e c = 2

⇒

−

−=−

21

111 A


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Matriz Inversa

('ercícios

5 %erifiue se " a inversa de #

−

−31

52

21

53

)esosta& 647

5# 'etermine, se existir, a inversa da matriz #

01

21

)esosta&

−2

1

2

1

10


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Matriz Inversa

('ercícios

5.# %erifiue se a inversa de " a matriz #

)esosta& 647

−

301

020

001

−

−

3

10

3

1

02

10

001

58# 9 inversa de " a matriz # 'etermine x e #

−

− x

y

2

3

)esosta& x ; < e ; $

−

−15

4

x

x x


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Matriz Inversa

Proriedades

• 6endo A e B matrizes uadradas de ordem n e invert1veis, temosas se)uintes propriedades:

• 'ada A, se existir A-1, então ela " única=

• (A-1 )-1 = A;

• (A . B)-1

= B-1

. A-1

=

• (A-1 )t = (At )-1.


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Matriz Inversa

Proriedades• 6e uma matriz A " invert1vel, então esta inversa " única#

• Demonstração:

'e fato, vamos supor ue A seja invert1vel de ordem n, ue B e C

sejam suas inversas e ainda ue B ≠ C # 'essa forma, AB = BA = I n e

AC = CA = I n# >omando a primeira euação e multiplicando

ambos os lados da euação, ? esuerda, por C , temos C (AB) = CI n,

ou seja, (CA)B= CI n, como CA = I n# (o)o: @ ; /#


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Matriz Inversa

Proriedades• 6e uma matriz A " invert1vel, então a inversa A-1 " invert1vel e

(A-1 )-1 = A #

• Demonstração:

6abemos ue uma matriz B " inversa de A se, e somente se,

A.B=B.A = I n.

/omo A-1 " a inversa e A, então AA-1 = A-1 A =I n.

Aela demonstração anterior, temos ue a inversa " única, então B = A "

a inversa e A-1 , ou seja, (A-1 )-1= A.


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Matriz Inversa

Exemplo 8:• %amos encontrar a inversa de # #

azendo A . A-1 = I n:

=

45

23 A

=

++++

⇒

=

⋅

10

01

4545

2323

10

01

45

23

d bca

d bca

d c

ba

Então

−

−=−

2

3

2

512

1 A

Calculando (A-1 )-1

=

+−+−

−−⇒

=

⋅

−

−

10

01

2

3

2

5

2

3

2

5

22

10

01

2

3

2

5

12

w y z x

w y z x

w z y x

( ) A A =

=

−−

45

2311


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Matriz Inversa

Proriedades• 6e A e B são invert1veis, então AB tamb"m " e (AB)-1 = B-1 A-1#

• Demonstração:

Aara verificarmos esta propriedade, devemos mostrar ue

(AB)B-1 A-1=I n e B-1 A-1(AB) = I n .

*+-1+-1+*-1+-1 +/n+-1 ++-1 /n .

9 se)unda identidade " inteiramente an0lo)a.


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Matriz Inversa

Exemplo B:• Encontrando as inversas e o produto de e #

=

45

23 A

/alculando (AB)-1 e B-1 A-1 , podemos confirmar a i)ualdade:

−

−=−

2

3

2

5

121 A

=

11

12 B

−

−=−

21

111 B

=

914

58 AB

( )

− −=−

87

5

2

91

AB

− −=−−

87

5

2

911

A B


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Matriz Inversa

Exemplo B:• %amos verificar a propriedade (At )-1 = (A-1 )t para a matriz

=

12

13 A

/alculando At e A-1 , teremos respectivamente:

=

11

23t A

−

−=−32

111 A

-azendo uso dos recursos expostos anteriormente, temos:

( ) ( )t t A A 1131

21 −− =

−

−=


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Matriz Inversa

9plicação pr0tica:$# 9s senCas num"ricas de uatro d1)itos dos clientes de um determinado

banco são representadas como uma matriz S 2 x 2 , em ue os dois primeiros

são a $D linCa e os dois últimos, a &D linCa# 2 banco usa uma matriz invert1vel

denominada matr! c"a#e, !ara

manter o si"ilo das sen#as de seus clientes. E, !or quest$es de se"urança, o

banco "era uma nova matriz $ = S.% , denominada matr! tran&mt'a.

a% Como &recu!erar' a sen#a de um cliente, se s( con#ecemos a matriz c#ave

e a matriz transmitida)b% *abendo que a matriz transmitida de um determinado cliente é ,

qual sua sen#a)

= 2413

X

=

1836

1226T

)esosta&

a+ *6+!$;6*!$+; 64& ;6 b+ &85F


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Matriz Inversa

('ercícios de fi'ação

5$# Encontre a inversa de cada matriz dada, se poss1vel:

−=

−=

=

θ θ

θ θ

cos

cos)

222

22

2

)

32

65

5

3

4

3

)

sen

senC c

Bb

Aa

3esp: " sin)ular

3esp:

3esp: cosɵ senɵ+senɵ cosɵ

$G8 H& $G8 H&

!&G8 H& $G$5 H&


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Matriz Inversa

('ercício de 0i'ação

5 'adas as matrizes ,calcule:.14

02

11

32

=

−−= Be A

a+ A-%+ b% A-%t c% AA+ / 0 d% 1-%+

$G& G&

! !I3esp: a+ b+ c+ 5 d+

!$B B

! $

$G. 5

!$ $G&


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Matriz Inversa

5# 6ão dadas as matrizes A e B, uadradas de ordem n e invert1veis# 9 soluçãoda euação (BA%)t = B, em ue (BA%)t " a transposta da matriz (BA%), " amatriz % tal ue:

('ercício de 0i'ação

( ) t B AB X 1−=

( ) t B BA X 1−=

( ) 1−= AB B X t

( )

1−

= BA B X t

a+

b+

c+

d+

)esosta&


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=

10

11 A

−

=11

10B

=

01

12X

('ercícios de fi'ação

5.# 6e e , determine a matriz % 2x2 tal ue

*9!$#+!$ ; @#

)esosta&

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