UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE CI ˆ ENCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA - ´ AREA II C ´ ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 - 2012.2 3 o Exerc´ ıci o Escolar - 10/0 4/2013 Justifique as suas afirma¸c˜ oes! 1. Calcule as seguintes integrais: a) (1,0 ponto) arctg(x) dx b)(0,75 ponto) √ x + 2 x + 2 dx c) (0,75 ponto) x 3 e −2x 4 dx d)(1,0 ponto) √ 1 − x 2 x dx 2. a) (1,0 ponto) Esboce a regi˜ ao do plano R delimitada pela par´ abola y = x 2 , pela reta y = 4x − 4 e pelo eixo Ox. b) (1,0 ponto) Calcule o valor da ´ area da regi˜ ao R. 3. (2,5 pontos) Obtenha uma primitiva G(x) (integral indefinid a) para a func˜ ao racional f (x) = 2 + 2 x − x 2 x 2 (x 2 − 2x + 2) , x = 0, que satisfaz à condi¸ c˜ ao G(1) = 0. Su ges t˜ ao: Escreva f (x) = 2 + 2 x − x 2 x 2 (x 2 − 2x + 2) na forma A x + B x 2 + Cx + D x 2 − 2x + 2 . 4. Considere a fun¸ c˜ ao f : R → R dada por f (x) = 2x 3 +x 3 2t 3 dt √ t 2 + 16 · a) (1,0 ponto) Determine f (1) e f (−1). b) (1,0 ponto) Calcule f (x), utilizando o Teorema Fundamental do C´ alculo.

Prova_3_Calculo_1_2012_2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA NATUREZA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA - AREA II

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 - 2012.2

3o Exerccio Escolar - 10/04/2013

Justifique as suas afirmacoes!

1. Calcule as seguintes integrais:

a) (1,0 ponto)

arctg(x) dx b)(0,75 ponto)

x + 2x + 2

dx

c) (0,75 ponto)

x3e2x

4

dx d)(1,0 ponto)

1 x2x

dx

2. a) (1,0 ponto) Esboce a regiao do plano R delimitada pela parabola y = x2, pelareta y = 4x 4 e pelo eixo Ox.

b) (1,0 ponto) Calcule o valor da area da regiao R.

3. (2,5 pontos) Obtenha uma primitiva G(x) (integral indefinida) para a funcao racional

f(x) =2 + 2x x2

x2(x2 2x + 2) , x 6= 0, que satisfaz a` condicao G(1) = 0.

Sugestao: Escreva f(x) =2 + 2x x2

x2(x2 2x + 2) na formaAx

+Bx2

+Cx + D

x2 2x + 2 .

4. Considere a funcao f : R R dada por f(x) = 2x3+x3

2t3 dtt2 + 16

a) (1,0 ponto) Determine f(1) e f(1).b) (1,0 ponto) Calcule f (x), utilizando o Teorema Fundamental do Calculo.