Quantização do Campo Eletromagnéticostrontium/Teaching/Material2020-2...campo eletromagnético entre as placas e no espaço exterior, interpretadas como processos espontâneos de

Instituto de Física de São Carlos - USP

Quantização doCampoEletromagnéticoGustavo Habermann

November 2020

1 Motivação

2 Quantização do Campo de Radiação

3 Resultados

4 Efeito Casimir

Sumário

2/31 Gustavo Habermann Quantização do Campo Eletromagnético

• O conceito do fóton, introduzido por Einstein em1905, possibilitou a solução do efeito fotoelétrico.• A equação de Schrödinger publicada cerca de 20anos depois possibilitou grande desenvolvimentoda mecânica quântica.• Não incorpora o fóton.

Motivação


Somente em 1927 Dirac quantizou o campo de radiaçãoeletromagnética utilizando uma abordagem que seapoia numa análise de Fourier do vetor potencial A.Vamos conhecer esse processo.

Motivação


As equações de Maxwell nos permitem escrever oscampos em função dos potenciais:

∇ · E = d

n0

∇ × E = −mBmC

∇ · B = 0

∇ × B = `0J + `0n0 mEmC

−→{E = −∇q − 1

2mAmC

B = ∇ ×A(1)

Eletrodinâmica Clássica


Além disso, os campos E e B são invariantes portransformação de Gauge

q→ q′ = q + 1

2

m 5

mC

A→ A′ = A − ∇ 5(2)

De modo que podemos escrever a equação de ondapara o vetor potencial com ∇ · A = 0:

∇2A − 1

22m2A

m2C= 0 (3)

Eletrodinâmica Clássica


Vamos considerar uma cavidade cúbica de lado !muito grande no vácuo. Consideremos o vetorpotencial A no interior da cavidade impondo condiçõesde contorno periódicas nas fronteiras da forma:

A(0, H, I, C) = A(!, H, I, C),A(G, 0, I, C) = A(G, !, I, C)...

(4)

Decomposição Espectral


Desse modo, o vetor potencial pode ser expandido emtermos dos coeficientes de Fourier correspondentesaos modos normais de uma onda:

A(r, C) =∑k

(2k(C)ak(r) + 2∗k(C)ak

∗(r))

(5)

Note que o índice da soma é referente ao momento kde cada modo normal.



Substituindo cada componente da equação (5) naequação de onda (3) temos:

∇2ak(r) +l2k

22ak(r) = 0

ak(r, U) = nU48k·r√+

(6)

m22k(C)mC2

+ l2k2k(C) = 0

2k,U (C) = 2k(0, U)4−8lkC

(7)

Note que a equação (7) nada mais é que a equaçãocaracterística do oscilador harmônico.



Tomando as soluções de (6) e (7) temos o potencialvetor:

A(r, C) =2∑

U=1

∞∑k=0

nU√+

[2k,U (C)48k·r + 2∗k,U (C)4

−8k·r]

(8)

Onde nU é o versor de polarização da ondaeletromagnética.



Agora podemos introduzir um par de variáveiscanônicas (%,&) para expressar o hamiltoniano docampo de radiação em conjunto com as equação (2).

� =

∫(�2 + �2)33G = 2

(lk

2

)22k,U2

∗k,U (9)

Variáveis Canônicas


Vamos introduzir as seguintes variáveis:

&k,U =1

2(2k,U + 2∗k,U) (10)

%k,U = −8lk

2(2k,U − 2∗k,U) (11)

Que nos da o novo hamiltoniano:

� =

2∑U=1

∞∑k=0

1

2(%2

k,U + l2k&

2k,U) (12)

O novo hamiltoniano equivale a uma coleção deosciladores harmônicos independentes!

Variáveis Canônicas


Agora que estamos lidando com osciladoresharmônicos prestes a serem quantizados éconveniente relembrar algumas propriedades dooscilador harmônico quântico.Em Mecânica Quântica posição e momento são dadospelos operadores:{

G = G

?G =ℏ8

mmG

−→ � =1

2

(?2

<+ <l2G2

)(13)

O Oscilador Harmônico Quântico


A relação entre os operadores G e ?G é dada pelocomutador:

[G, ?G] = 8ℏ (14)

Podemos pensar nessa relação como análoga aosparenteses de Poisson da Mecânica Clássica.



No caso do oscilador, podemos introduzir osoperadores de abaixamento e levantamento, dadospor:

0 =1√2ℏl(l@ + 8 ?)

0† =1√2ℏl(l@ − 8 ?)

(15)

Que nos permite escrever o hamiltoniano como:

� = ℏl

(0†0 + 1

2

)= ℏl

(# + 1

2

)(16)



De maneira muito resumida, o papel dos operadores 0e 0† é, respectivamente, reduzir ou elevar o estado dooscilador e, por consequência, sua energia:

0 |=〉 =√= |= − 1〉

0† |=〉 =√= + 1 |= + 1〉

(17)

Esses operadores terão papel análogo na quantizaçãodo campo de radiação.



Para quantizar o campo de radiação vamos transformaro par de variáveis canônicas (%,&) em operadores evamos impor os comutadores (análogos ao osciladorquântico):

[&k,U, %k′,U′] = 8ℏXkk′XUU′

[&k,U, &k′,U′] = 0

[%k,U, %k′,U′] = 0

(18)

Campo de Radiação Quantizado


Em seguida, introduzimos os operadores 0 e 0† demaneira análoga a equação (15):

0 =1

√2ℏlk

(lk&k,U + 8%k,U) (19)

0† =1

√2ℏlk

(lk&k,U − 8%k,U) (20)

Para torna-los adimensionais faremos a troca:

2k,U → 2

√ℏ

2lk0k,U (21)



Em termos dos novos operadores, temos o potencialvetor:

A(r, C) = 1√+

2∑U=1

∞∑k=0

2

√ℏ

2lk[0k,U nU48k·r + 0†k,U nU4

−8k·r] (22)

E o hamiltoniano (com E e B calculados com (1)):

� =

2∑U=1

∞∑k=0

ℏlk(0†k,U0k,U + 0k,U0†k,U) =

2∑U=1

∞∑k=0

ℏlk

(0†k,U0k,U +

1

2

)(23)

� =

2∑U=1

∞∑k=0

ℏlk

(# + 1

2

)(24)



Com esses novos operadores definidos o campo deradiação está quantizado. Sendo assim, vamosrapidamente ver como os auto-estados de #representam o vácuo na presença de fótons.



O vácuo com a presença de fótons pode serrepresentado pelo ket |=k1,U1 , =k2,U1 , ...〉, onde =k1,U1 é onúmero de fótons caracterizados por momento k1 epolarização U1 e assim por diante.Note que o papel dos operadores 0, 0† e # é análogo aooscilador harmônico:



0: Operador de aniquilação, reduz o número de fótonsdo estado em que é aplicado:

0 |=k,U〉 =√=k,U |=k,U − 1〉 (25)

0†: Operador de criação, aumenta em um o número defótons do estado em que é aplicado:

0† |=k,U〉 =√=k,U + 1 |=k,U + 1〉 (26)

# : Extrai o número de ocupação =k,U do estado em queé aplicado:

# |=k,U〉 = =k,U |=k,U〉 (27)



Com o campo quantizado, vamos rapidamente veralguns resultados na ausência de fótons:Valor esperado do campo elétrico:

〈E〉 = 〈0|E|0〉 = 8

√ℏl

2+n0(〈0|0 |0〉 4−8lC − 〈0|0† |0〉 48lC ) = 0 (28)

Como esperado, o valor de 〈E〉 é nulo no vácuo e naausência de fótons.

Resultados


Incerteza associada ao campo elétrico:

(ΔE)2 = 〈E2〉 −��〈E〉2 = 〈0|E · E|0〉 =∞∑k

ℏlk

2+n0→∞ (29)

Este resultado ilustra que, mesmo quando os númerosde ocupação são fixos, não podemos saber o valor docampo elétrico com precisão arbitrária. Isto da origemàs flutuações quânticas do campo eletromagnético.

Resultados


Se calcularmos a energia do vácuo temos:

〈0|� |0〉 =2∑

U=1

∞∑k=0

ℏlk 〈0|# +1

2|0〉 = 1

2

∞∑k=0

ℏlk →∞ (30)

Até mesmo o vácuo sem nenhuma presença de fótonspossui energia (que esta associada às flutuaçõesquânticas dos campos).Vamos ver agora as consequências desses resultadosfazendo uma breve análise do efeito Casimir

Resultados


Hendrik Casimir, em 1948, previu que se aproximarmosduas placas metálicas neutras e paralelas até que adistância entre elas seja de mícrons deve surgir umaforça que tende a unir as placas.A força que parece surgir do nada pode ser explicadacomo consequência das flutuações quânticas docampo eletromagnético entre as placas e no espaçoexterior, interpretadas como processos espontâneos decriação e aniquilação de partículas virtuais que trocammomento com as placas.

Efeito Casimir


Figure: Efeito Casimir

Efeito Casimir


No espaço entre as placas as flutuações do campoeletromagnético estão restritas aos modos normaiscujo comprimento de onda seja _= = 23

=, onde 3 é a

distância entre as placas e = corresponde ao modonormal.

Efeito Casimir


Figure: Efeito Casimir

Efeito Casimir


Em todo o resto do espaça esta restrição não existe, deforma que temos muito mais processos permitidos emcomparação com o espaço entre as placas. O resultadoé uma pressão que tende a unir as placas.O cálculo da força envolve uma técnica chamadarenormalização e fornece o seguinte resultado porunidade de área:

5 = − ℏ2c2

24004(31)

Efeito Casimir


Barton, W (2017). Scalar Wave Equations and theCasimir Effect in (1+1)D.

COURTEILLE, PW (n.d.). Electrodynamics-Electricity,Magnetism and Radiation. 2020.

Griffiths, David J (2005). Introduction toelectrodynamics.

Jackson, John David (1999). Classical electrodynamics.Mandl, Franz and Graham Shaw (2010). Quantum fieldtheory. John Wiley & Sons.

Sakurai, Jun John and Eugene D Commins (1995).Modern quantummechanics, revised edition.

Beamer template:https://pt.overleaf.com/latex/templates/umea-university-unofficial-beamer-theme/ptvmzxqzjhcn

Referências


Documents

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