RAC Curso 3597 Aula 02

Aula 02

Curso: Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal - Todos os Cargos

Professor: Marcos Piñon

Raciocínio Lógico p/ PF

Teoria e exercícios comentados

Prof Marcos Piñon – Aula 02

Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 43

AULA 02: Lógica (Parte 2) Observação importante: este curso é protegido por direitos autorais (copyright), nos termos da Lei 9.610/98, que altera, atualiza e consolida a legislação sobre direitos autorais e dá outras providências. Grupos de rateio e pirataria são clandestinos, violam a lei e prejudicam os professores que elaboram os cursos. Valorize o trabalho de nossa equipe adquirindo os cursos honestamente através do site Estratégia Concursos ;-)

SUMÁRIO PÁGINA 1. Resolução das questões da Aula 01 1 2. Tautologia, Contradição e Contingência 12 3. Implicação 16 4. Equivalência Lógica 17 5. Exercícios Comentados nesta aula 36 6. Exercícios Propostos 39 7. Gabarito 43 Olá! Vocês viram como as questões se repetem? Pois é, por isso que é importante a resolução do maior número de questões possíveis. Vamos começar resolvendo as questões que deixei na aula passada. Mãos à obra! 1 - Resolução das questões da Aula 01 53 - (MCT – 2008 / CESPE) A sentença “O feijão é um alimento rico em proteínas” é uma proposição. Solução: Essa é bem simples, não podemos errar. Uma questão dessa na prova tem que ser considerada ponto garantido! Lembram-se da definição de proposição? É a sentença a qual podemos atribuir um valor lógico Verdadeiro ou Falso. Nessa questão, caso o feijão seja realmente um alimento rico em proteínas, essa sentença será verdadeira, caso contrário, a sentença será falsa. Portanto, a sentença é uma proposição. Item correto! 54 - (MCT – 2008 / CESPE) A frase “Por que Maria não come carne vermelha?” não é uma proposição. Solução: Mais uma questão que pede apenas que você identifique se a sentença é uma proposição ou não. Como não podemos atribuir um valor lógico para essa frase,

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não se trata de uma proposição. Lembram-se da dica? Frases interrogativas, exclamativas ou no imperativo não são proposições. Item correto! 55 - (FINEP – 2009 / CESPE) A frase “Os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia são instrumentos de financiamento de projetos.” é uma proposição. Solução: Mais uma no mesmo estilo. Nessa frase, se os Fundos Setoriais de Ciência e Tecnologia forem instrumentos de financiamento de projetos, atribuiremos um valor lógico verdadeiro para ela, caso contrário, atribuiremos um valor lógico falso. Assim, trata-se efetivamente de uma proposição. Item correto! 56 - (FINEP – 2009 / CESPE) A frase “O que é o CT-Amazônia?” é uma proposição. Solução: Lembram-se da dica? Frase interrogativa, portanto, não se trata de uma proposição. Item errado! 57 - (FINEP – 2009 / CESPE) A frase “Preste atenção ao edital!” é uma proposição. Solução: Mais uma vez, lembram-se da dica? Frase no imperativo, uma ordem, assim, não se trata de uma proposição. Item errado! 58 - (FINEP – 2009 / CESPE) A frase “Se o projeto for de cooperação universidade-empresa, então podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo.” é uma proposição. Solução: Nesse item temos uma sentença maior, mas não vamos nos assustar! Vamos no sentido inverso, para facilitar a explicação. Trata-se de uma afirmação, não é uma pergunta, nem uma exclamação, muito menos uma ordem, portanto, é provável que seja uma proposição. Vimos na aula passada as proposições compostas do tipo “se... então ...”, é justamente o caso dessa frase. Se o projeto for de cooperação universidade-empresa e não puderem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde, a sentença será falsa. Caso contrário, será verdadeira. Item correto!

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59 - (BB – 2007 / CESPE) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em 1980. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. Solução: Vamos analisar cada sentença: (I) O BB foi criado em 1980. Essa sentença é uma proposição, pois podemos avaliar se ela é verdadeira ou falsa sabendo o ano correto em que o BB foi fundado. É proposição. (II) Faça seu trabalho corretamente. Frase no imperativo, uma ordem, assim, não se trata de uma proposição. Não é proposição. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. Sabendo a real idade de Manuela, podemos avaliar se esta sentença é verdadeira ou falsa. É proposição. Portanto, temos duas proposições. Item correto. 60 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) A proposição “O SEBRAE facilita e orienta o acesso a serviços financeiros” é uma proposição simples. Solução: Nessa questão basta ter atenção pra não cair na pegadinha. Vamos reescrever a frase colocando o sujeito e o complemento para cada verbo: “O SEBRAE facilita e orienta o acesso a serviços financeiros” é o mesmo que: “O SEBRAE facilita o acesso a serviços financeiros e o SEBRAE orienta o acesso a serviços financeiros” Temos, como pode ser visto acima, duas proposições simples unidas pelo conectivo “e”, formando uma proposição composta. Como a questão afirma que se trata de uma proposição simples, este item está errado!

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61 - (TRT / 5ª Região – 2008) Considerando que, além de A e B, C, D, E e F também sejam proposições, não necessariamente todas distintas, e que N seja o número de linhas da tabela-verdade da proposição [A →→→→ (B v C)] ↔↔↔↔ [(D ∧∧∧∧ E) →→→→ F], então 2 ≤≤≤≤ N ≤≤≤≤ 64. Solução: Não se assuste com essa questão, ela é simples! Na última aula, quando mostrei como se constrói a tabela-verdade, eu disse que devemos contar a quantidade de variáveis distintas “n” para sabermos a quantidade de linhas da tabela verdade, que é dada por 2n. Para essa questão, basta saber isso! Assim, como A, B, C, D, E e F não são necessariamente proposições distintas, o “n” pode variar de 1 (com todas as proposições iguais) até 6 (com todas as proposições distintas). Com isso, temos: Para n = 1, o número de linhas da tabela-verdade (N) é dado por 21 = 2 linhas. Para n = 2, o número de linhas da tabela-verdade (N) é dado por 22 = 4 linhas. Para n = 3, o número de linhas da tabela-verdade (N) é dado por 23 = 8 linhas. Para n = 4, o número de linhas da tabela-verdade (N) é dado por 24 = 16 linhas. Para n = 5, o número de linhas da tabela-verdade (N) é dado por 25 = 32 linhas. Para n = 6, o número de linhas da tabela-verdade (N) é dado por 26 = 64 linhas. Assim, o valor de “N” varia de 2 até 64, ou seja, 2 ≤ N ≤ 64. Item correto! 62 - (MPE/AM – 2007 / CESPE) Supondo que A simboliza a proposição “Alice perseguiu o Coelho Branco” e B simboliza a proposição “O Coelho Branco olhou o relógio”, a proposição “Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco” pode ser simbolizada por (~B) →→→→ (~A). Solução: Nessa questão, devemos checar se a proposição “Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco” pode ser representada por (~B) → (~A). Vamos lá! B: O Coelho Branco olhou o relógio ~B: O Coelho Branco não olhou o relógio A: Alice perseguiu o Coelho Branco ~A: Alice não perseguiu o Coelho Branco Agora, olhando a proposição e conferindo o conector, temos: Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco

~B ~A →

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Portanto, o item está correto! 63 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Considerando que as proposições “Seu chefe lhe passa uma ordem” e “Você não aceita a ordem sem questioná-la” sejam V, a proposição “Se seu chefe lhe passa uma ordem, então você aceita a ordem sem questioná-la” é julgada como F. Solução: Vamos começar passando as sentenças para a linguagem simbólica: P: Seu chefe lhe passa uma ordem (valor lógico verdadeiro) Q: Você não aceita a ordem sem questioná-la (valor lógico verdadeiro) Agora a proposição composta: Se seu chefe lhe passa uma ordem, então você aceita a ordem sem questioná-la Vimos que o P é verdadeiro e que o Q também é verdadeiro. Nessa proposição composta, a segunda proposição é o ~Q, que possui valor lógico falso, já que diz “você aceita a ordem sem questioná-la”. Com isso, numa condicional (se...então...), com a primeira proposição verdadeira e a segunda proposição falsa, o valor lógico da proposição composta é falso. Assim, este item está correto! 64 - (TRT / 5ª Região – 2008) Considere as proposições abaixo. T: “João será aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas não em ambos”; A: “João será aprovado no concurso do TRT”; B: “João será aprovado no concurso do TSE”. Nesse caso, a proposição T estará corretamente simbolizada por (A v B) ∧∧∧∧ [~(A ∧∧∧∧ B)]. Solução: Agora, o que a questão pede é que transformemos a sentença “T” para a linguagem simbólica. Vamos lá: T: “João será aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas não em ambos” Para facilitar, vamos separar as sentenças, e reescrevê-las:

P ~Q →

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“João será aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas não em ambos” Sentença 1: João será aprovado no concurso do TRT ou do TSE Sentença 2: não em ambos Reescrevendo a sentença 1 temos: Sentença 1: João será aprovado no concurso do TRT ou João será aprovado no concurso do TSE Sentença 1: A v B Reescrevendo a sentença 2 temos: Sentença 2: João não será aprovado nos concursos do TRT e do TSE ao mesmo tempo Essa sentença 2 apresenta a negação de uma proposição composta que é “João será aprovado no concurso do TRT e no concurso do TSE”. Assim, a sentença 2 pode ser representada por ~(A ∧ B). Sentença 2: ~(A ∧ B) Unindo as duas sentenças, temos: T: (A v B) mas [~(A ∧ B)] E agora? Como representamos o “mas”? Na maioria das vezes o “∧” vem representado na linguagem corrente como “e”. Na aula passada eu mostrei que o “∧” simboliza tanto o “e” como o “mas”. Assim, a proposição “T” fica representada com (A v B) ∧ [~(A ∧ B)]. Portanto, o item está correto! 65 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) A proposição simbólica (A ∧∧∧∧ B) →→→→ (~(A →→→→ (~B))) é sempre julgada como V, independentemente de A e B serem V ou F. Solução: Vamos direto para a tabela-verdade? Número de linhas: 22 = 4 Número de colunas: 2 (variáveis) + 5 (operações) = 7

Sentença 1 Sentença 2

A B v

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A B ~B A → (~B) ~(A → (~B)) A ∧ B (A ∧ B)→(~(A → (~B))) V V F F V V V V F V V F F V F V F V F F V F F V V F F V

Portanto, conforme vemos na última coluna, o item está correto! 66 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Se A, B e C são proposições simples, então existem exatamente duas possibilidades para que a proposição (A ∧∧∧∧ B) ∧∧∧∧ C seja avaliada como V. Solução: Mais uma vez, vamos para a tabela-verdade? Número de linhas: 23 = 8 Número de colunas: 3 (variáveis) + 2 (operações) = 5

A B C A ∧ B (A ∧ B) ∧ C V V V V V V V F V F V F V F F V F F F F F V V F F F V F F F F F V F F F F F F F

Portanto, conforme vemos na última coluna, o item está errado! Aqui, vale uma observação. Para uma conjunção possuir valor lógico verdadeiro, todas as suas proposições devem ser verdadeiras. Assim, sempre só existirá uma possibilidade de uma conjunção ser verdadeira (com todas as proposições verdadeiras). Por exemplo: (A ∧ B) ∧ (C ∧ D) ∧ (E ∧ F) só terá um valor lógico verdadeiro. Pode conferir!!! 67 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Considerando-se que A e B sejam proposições ambas V ou sejam ambas F, então a proposição ~((~A) ∧∧∧∧ B) será F. Solução: Agora vamos fazer diferente. A questão informou que A e B podem ser ambas “V” ou ambas “F”. Vamos testar as duas hipóteses: Com ambas “V”:

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~((~A) ∧ B) (substituímos o valor “V” nas proposições “A” e ”B”) ~((~V) ∧ V) (realizamos a operação dentro dos parênteses (~V)) ~(F ∧ V) (realizamos a operação dentro dos parênteses (F ∧ V)) ~(F) = V Agora, testamos com ambas “F”: ~((~A) ∧ B) (substituímos o valor “F” nas proposições “A” e ”B”) ~((~F) ∧ F) (realizamos a operação dentro dos parênteses (~F)) ~(V ∧ F) (realizamos a operação dentro dos parênteses (V ∧ F)) ~(F) = V Portanto, vemos que tanto para ambas “V” como para ambas “F”, o valor lógico da proposição ~((~A) ∧ B) é sempre verdadeiro. Assim, o item está errado! 68 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) Proposições na forma (~(A ∧∧∧∧ (B v C))) v (A ∧∧∧∧ (B v C)) têm somente valores lógicos V, para quaisquer que sejam os valores lógicos de A, B e C. Solução: Essa parece trabalhosa hein? Vamos observar com cuidado a expressão: (~(A ∧∧∧∧ (B v C))) v (A ∧∧∧∧ (B v C)) Viram o meu destaque em azul? Vou batizar essa expressão destacada de “p”. Assim temos: p: A ∧ (B v C) Com isso, reescrevendo a expressão, temos: ~p v p Ficou fácil agora? Vamos desenhar essa tabela-verdade? Número de linhas: 21 = 2 Número de colunas: 1 (variável) + 2 (operações) = 3

p ~p ~p v p V F V F V V

Olhando para a última coluna, podemos ver que qualquer que seja o valor lógico de “p”, a expressão “~p v p” será sempre verdadeira. Assim, independentemente dos valores lógicos de “A”, “B” ou “C”, a expressão “A ∧ (B v C)” poderá ser verdadeira ou falsa. Porém, isso pouco importa, pois vimos que tanto faz que seja “V” ou “F”, a expressão resultante será sempre “V”. Assim, o item está correto!

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(Texto para as questões 69 a 71) Com a finalidade de reduzir as despesas mensais com energia elétrica na sua repartição, o gestor mandou instalar, nas áreas de circulação, sensores de presença e de claridade natural que atendem à seguinte especificação: P: A luz permanece acesa se, e somente se, há movimento e não há claridade natural suficiente no recinto. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes. 69 - (TCDF - 2012 / CESPE) Se fiscais visitarem um local da repartição em horário no qual haja claridade natural suficiente e, enquanto se movimentarem nesse local, a luz permanecer acesa, será correto inferir que o dispositivo instalado atende à especificação P. Solução: Para facilitar o entendimento, vamos passar a especificação “P” para a linguagem simbólica: P: A luz permanece acesa se, e somente se, há movimento e não há claridade natural suficiente no recinto. p: A luz permanece acesa q: há movimento r: não há claridade natural suficiente no recinto P: p ↔ (q ∧ r) Na questão, foi dito que “fiscais visitam um local da repartição em horário no qual há claridade natural suficiente”, ou seja, r é falso. Foi dito também que “se movimentam nesse local” ou seja, q é verdadeiro. Por fim, foi dito que “a luz permanece acesa”, ou seja, p é verdadeiro. Assim, temos: p é verdadeiro q é verdadeiro r é falso Substituindo os valores lógicos de p, q é r, em “P”, temos: P: p ↔ (q ∧ r) P: V ↔ (V ∧ F) P: V ↔ (F) = F Portanto, o dispositivo instalado não atende à especificação. Item errado.

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70 - (TCDF - 2012 / CESPE) A especificação P pode ser corretamente representada por p ↔↔↔↔ (q ∧∧∧∧ r), em que p, q e r correspondem a proposições adequadas e os símbolos ↔↔↔↔ e ∧∧∧∧ representam, respectivamente, a bicondicional e a conjunção. Solução: Utilizando as informações da questão anterior, podemos perceber que este item está correto, pois podemos representar a especificação “P” por p ↔↔↔↔ (q ∧∧∧∧ r), onde: p: A luz permanece acesa q: há movimento r: não há claridade natural suficiente no recinto Item correto. 71 - (TCDF - 2012 / CESPE) Em recinto onde tiver sido instalado um dispositivo que atenda à especificação P, a luz permanecerá acesa enquanto não houver claridade natural suficiente. Solução: O que este item está afirmando é que basta não haver claridade natural para a luz permanecer acesa. Será mesmo? Vejamos a especificação novamente: P: A luz permanece acesa se, e somente se, há movimento e não há claridade natural suficiente no recinto. p: A luz permanece acesa q: há movimento r: não há claridade natural suficiente no recinto P: p ↔ (q ∧ r) O que devemos analisar é se basta o r ser verdadeiro para que o p também seja. P: p ↔ (q ∧ V) Podemos ver que isso não é verdade, pois caso o q seja falso, ou seja, não haja movimento, o (q ∧ V) será falso, e fará com que o p também tenha que ser falso (ou seja, a luz não permanece acesa) para que o “P” seja verdadeiro. Item errado.

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(Texto para as questões 72 a 74) Julgue os itens que se seguem, a respeito de estruturas lógicas. 72 - (UNIPAMPA - 2013 / CESPE) A expressão “Uma revisão dos pisos salariais dos professores assegurará a revolução na educação básica a que a sociedade aspira, pois qualquer reforma para melhorar a qualidade do ensino deverá passar pela valorização do educador” pode ser representada pela sentença lógica P →→→→ Q, em que P e Q sejam proposições convenientemente escolhidas. Solução: Essa é uma questão que confunde bastante. Temos aqui uma relação de causa e consequência, da mesa forma que temos numa condicional. A diferença aqui é a ordem das frases. Vejamos: “Uma revisão dos pisos salariais dos professores assegurará a revolução na educação básica a que a sociedade aspira, pois qualquer reforma para melhorar a qualidade do ensino deverá passar pela valorização do educador” Esta frase poderia ser reescrita da seguinte forma que continuaria com o mesmo sentido: “Se qualquer reforma para melhorar a qualidade do ensino deverá passar pela valorização do educador, então uma revisão dos pisos salariais dos professores assegurará a revolução na educação básica a que a sociedade aspira” Agora ficou mais fácil. Assim, batizando as proposições P e Q, temos: P: Qualquer reforma para melhorar a qualidade do ensino deverá passar pela valorização do educador Q: Uma revisão dos pisos salariais dos professores assegurará a revolução na educação básica a que a sociedade aspira P → Q: Se qualquer reforma para melhorar a qualidade do ensino deverá passar pela valorização do educador, então uma revisão dos pisos salariais dos professores assegurará a revolução na educação básica a que a sociedade aspira Portanto, item correto. 73 - (UNIPAMPA - 2013 / CESPE) A frase “O gaúcho, o mato-grossense e o mineiro têm em comum o amor pelo seu estado natal” pode ser representada logicamente na forma P ∧∧∧∧ Q ∧∧∧∧ R, em que P, Q e R sejam proposições simples convenientemente escolhidas. Solução:

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Essa é uma questão que pode nos confundir na hora da prova. Porém, percebam que a proposição afirma que os três "têm em comum" algo, ou seja, não diz o que ele têm, mas sim o que eles têm em comum. Dessa forma, não podemos separar esta proposição em três proposições distintas, pois assim teremos outro sentido para a proposição. Assim, se eu dissesse que “O gaúcho tem amor pelo seu estado natal, o mato-grossense tem amor pelo seu estado natal e o mineiro tem amor pelo seu estado natal” não estaríamos dizendo a mesma coisa que “O gaúcho, o mato-grossense e o mineiro têm em comum o amor pelo seu estado natal”. Com isso, podemos concluir que o item está errado. 74 - (UNIPAMPA - 2013 / CESPE) A proposição “A estabilidade econômica é dever do Estado e consequência do controle rígido da inflação” pode ser representada pela sentença lógica P →→→→ Q, em que P e Q sejam proposições simples convenientemente escolhidas. Solução: Nessa questão, vamos passar a proposição para a linguagem simbólica: “A estabilidade econômica é dever do Estado e consequência do controle rígido da inflação” Reescrevendo a proposição, temos: “A estabilidade econômica é dever do Estado e a estabilidade econômica é consequência do controle rígido da inflação” P: A estabilidade econômica é dever do Estado Q: A estabilidade econômica é consequência do controle rígido da inflação Assim, a proposição fica: P ∧ Q: A estabilidade econômica é dever do Estado e consequência do controle rígido da inflação Item errado. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ufa!!! Agora, vamos ver a teoria da aula de hoje. 2 - Tautologia, Contradição e Contingência Esses assuntos são bem simples. Tratam-se, na verdade, de casos particulares das proposições compostas. Por meio da tabela-verdade é possível identificá-los de maneira rápida e direta. Vejamos:

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Tautologia - Dizemos que uma proposição composta é uma tautologia (ou uma proposição logicamente verdadeira) quando, ao testarmos todos os possíveis valores lógicos de suas proposições simples, por meio de sua tabela-verdade, a última coluna contém somente a letra V. Ou melhor, é toda proposição composta cujo valor lógico será sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos de suas proposições simples. Exemplo: p v ~p

p ~p p v ~p V F V F V V

Contradição - Dizemos que uma proposição composta é uma contradição (ou uma proposição logicamente falsa) quando, ao testarmos todos os possíveis valores lógicos de suas proposições simples, por meio de sua tabela-verdade, a última coluna contém somente a letra F. Ou melhor, é toda proposição composta cujo valor lógico será sempre F (falsidade), independentemente dos valores lógicos de suas proposições simples. A contradição é o oposto da tautologia, pois enquanto na tautologia há unanimidade da letra V na última coluna da tabela-verdade, na contradição somente aparece a letra F. Exemplo: p ∧ ~p

p ~p p ∧ ~p V F F F V F

Aqui vale fazer uma observação: Toda negação de uma tautologia consiste numa contradição e toda negação de uma contradição resulta numa tautologia. A contingência é toda proposição composta que não é nem uma tautologia nem uma contradição. Há, pelo menos, um V e um F na última coluna da tabela-verdade. É bem simples, caso a proposição composta não seja nem uma tautologia nem uma contradição, será chamada de contingência. Exemplo: p ∧ q

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p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

Vamos às questões!!! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 75 - (Polícia Militar/DF - 2009 / CESPE) A proposição (A ∧∧∧∧ B) →→→→ (A v B) é uma tautologia. Solução: Nessa questão, deveremos saber que uma proposição composta será uma tautologia se, para todos os possíveis valores lógicos de suas proposições simples, seu valor lógico é sempre verdadeiro. A melhor forma de saber isso é construindo sua tabela-verdade: N° de linhas: 22 = 4 N° de colunas: 2 (variáveis) + 3 (operações “∧”, “→” e “v”) = 5

A B A ∧ B A v B (A ∧ B) → (A v B) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F V

Observando a última coluna da tabela-verdade, percebemos que o valor lógico da proposição composta é sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos das proposições simples “A” e “B” que a compõem. Portanto, o item está correto! 76 - (SERPRO - 2008 / CESPE) A proposição (A →→→→ B) →→→→ (~A v B) é uma tautologia. Solução: Mais um tipo de questão que se repete bastante. Como na questão anterior, basta construir a tabela-verdade:

A B ~A (A → B) ~A v B (A → B) → (~A v B) V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V

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Mais uma vez, percebemos que o valor lógico da proposição composta é sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. Portanto, o item está correto! 77 - (TRT - 2008 / CESPE) A proposição ~(A v B) →→→→ (~A) v B é uma tautologia Mais uma para praticar. Vamos direto para a tabela-verdade:

A B ~A A v B ~(A v B) (~A) v B ~(A v B) → (~A) v B V V F V F V V V F F V F F V F V V V F V V F F V F V V V

Novamente, vemos que realmente trata-se de uma tautologia. Item correto! 78 - (TRT - 2009 / CESPE) A proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” será V quando a proposição “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa. Solução: Essa questão afirma que quando uma proposição é verdadeira a outra é falsa e vice-versa. Assim, o que devemos observar é se a proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” e a proposição “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” apresentam valores lógicos opostos para os possíveis valores lógicos das proposições simples que as compõem. Assim, temos: p: A Constituição brasileira é moderna q: A Constituição brasileira precisa ser refeita Proposição 1: p v q Proposição 2: ~p ∧ ~q Construindo a tabela verdade, temos:

p q ~p ~q p v q ~p ∧ ~q V V F F V F V F F V V F F V V F V F F F V V F V

Assim, comparando as duas últimas colunas da tabela, percebemos que seus valores lógicos são opostos. Veremos mais na frente que ~p ∧ ~q é a negação da disjunção p v q. Assim, o item está correto!

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79 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) Se A, B, C e D são proposições, em que B é falsa e D é verdadeira, então, independentemente das valorações falsa ou verdadeira de A e C, a proposição A v B →→→→ C ∧∧∧∧ D será sempre verdadeira. Solução: Nessa questão, temos a informação que B é falsa e D é verdadeira. Assim, podemos ir direto construir a nossa tabela-verdade, sabendo que B e D só possuem um valor lógico possível. Isso faz com que a quantidade de variáveis diminua para duas (apenas A e C são variáveis, já que sabemos que B é falsa e D é verdadeira):

A B C D A v B C ∧ D A v B → C ∧ D V F V V V V V V F F V V F F F F V V F V V F F F V F F V

Olhando para a última coluna da tabela, podemos perceber que nem sempre o valor lógico da expressão A v B → C ∧ D será verdadeiro, ou seja, não se trata de uma tautologia. Logo, o item está errado. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 - Implicação Lógica Dizemos que uma proposição “A” implica em outra “B”, se “B” é verdadeira todas as vezes que “A” é verdadeira. Assim, em nenhuma linha da tabela-verdade de “A” e “B” aparece VF, ou seja, não temos simultaneamente o “A” verdadeiro e o “B” falso. Usamos para a implicação o símbolo ”⇒”. Vamos ver um exemplo: p ⇒ (p v q)

p q p v q V V V V F V F V V F F F

Podemos dizer que p ⇒ p v q, pois sempre que o “p” é verdadeiro, “p v q” também é verdadeiro. Devemos notar que uma proposição “A” implica numa proposição “B”, sempre que a condicional “A → B” for verdadeira. Das possíveis implicações, a mais importante para concurso é a propriedade transitiva:

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(p →→→→ q) ∧∧∧∧ (q →→→→ r) ⇒⇒⇒⇒ p →→→→ r

p q r p → q q → r (p → q) ∧ (q → r) p → r V V V V V V V V V F V F F F V F V F V F V V F F F V F F F V V V V V V F V F V F F V F F V V V V V F F F V V V V

4 - Equivalência Lógica Dizemos que duas proposições são equivalentes se elas forem formadas pelas mesmas proposições simples e suas tabelas-verdade forem iguais. Ou seja, pra os mesmos valores lógicos de suas proposições simples, seus valores resultantes serão sempre os mesmos. Usamos para a equivalência o símbolo "⇔". Vamos ver um exemplo: A proposição “~p v q” e a proposição “p → q”:

p q ~p ~p v q p → q V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V

Podemos dizer que ~p v q ⇔ p → q, pois as suas tabelas-verdade são iguais, conforme mostrado acima. Devemos notar que uma proposição “A” é equivalente à proposição “B”, sempre que a bicondicional “A ↔ B” for verdadeira. Negação de proposições compostas Algumas das principais equivalências são aquelas que negam as proposições compostas. Já vimos o operador “~” (negação) utilizado numa proposição simples. Veremos, agora, o que ocorre se negarmos uma proposição composta. O resultado dependerá da estrutura dessa proposição.

• Negação da conjunção: ~(p ∧ q)

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Para realizar a negação de uma conjunção, executaremos 3 passos: 1- Negamos o “p” 2- Negamos o “q” 3- Substituímos o “e” pelo “ou” Portanto, a negação de (p ∧ q) é (~p v ~q). Podemos dizer então que: ~(p ∧∧∧∧ q) ⇔⇔⇔⇔ ~p v ~q Não iremos demonstrar aqui, como chegamos a este resultado. Basta saber que a tabela-verdade da proposição composta e de sua negação devem ser opostas, ou seja, sempre que uma for verdadeira, a outra deverá ser falsa e sempre que uma for falsa a outra deverá ser verdadeira.

p q ~p ~q p ∧ q ~(p ∧ q) ~p v ~q V V F F V F F V F F V F V V F V V F F V V F F V V F V V

• Negação da disjunção: ~(p v q) Para realizar a negação de uma disjunção, executaremos, também, 3 passos: 1- Negamos o “p” 2- Negamos o “q” 3- Substituímos o “ou” pelo “e” Portanto, a negação de (p v q) é (~p ∧ ~q). Podemos dizer então que: ~(p v q) ⇔⇔⇔⇔ ~p ∧ ~q Da mesma forma que a conjunção, vamos apenas demonstrar a tabela-verdade:

p q ~p ~q p v q ~(p v q) ~p ∧ ~q V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V V

• Negação da condicional: ~(p → q) Para realizar a negação de uma condicional, executaremos, mais uma vez, 3 passos:

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1- Mantemos o “p” 2- Negamos o “q” 3- Substituímos o “se ... então...” pelo “e” Portanto, a negação de (p → q) é (p ∧ ~q). Podemos dizer então que: ~(p →→→→ q) ⇔⇔⇔⇔ p ∧∧∧∧ ~q Vamos, mais uma vez, apenas demonstrar a tabela-verdade:

p q ~p ~q p → q ~(p → q) p ∧ ~q V V F F V F F V F F V F V V F V V F V F F F F V V V F F

• Negação da bicondicional: ~(p ↔ q) Na negação da bicondicional (p ↔ q), que vimos na aula passada, é o mesmo que (p → q) ∧ (q → p), faremos o que já aprendemos para a negação da conjunção e da condicional. Vejamos: 1- Chamamos “p → q” de k 2- Chamamos “q → p” de j Teremos então uma conjunção: k ∧ j Para negar uma conjunção, já vimos que devemos negar as proposições e trocar o operador “e” por “ou”. Assim: ~(k ∧ j) = ~k v ~j Retornando os valores de k e j, temos: ~(p → q) v ~(q → p) Substituindo, agora, o que aprendemos para a negação da condicional, temos: ~(p → q) v ~(q → p) = (p ∧ ~q) v (q ∧ ~p) Portanto, a negação de (p ↔ q) é (p ∧ ~q) v (q ∧ ~p). ~(p ↔↔↔↔ q) ⇔⇔⇔⇔ (p ∧∧∧∧ ~q) v (q ∧∧∧∧ ~p) Vamos, mais uma vez, apenas demonstrar a tabela-verdade:

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p q ~p ~q p ↔ q ~(p ↔ q) (p ∧ ~q) (q ∧ ~p) (p ∧ ~q) v (q ∧ ~p) V V F F V F F F F V F F V F V V F V F V V F F V F V V F F V V V F F F F

Uma observação importante que podemos fazer aqui é sobre a disjunção exclusiva (ou...ou...). Qual seria a negação da disjunção exclusiva? Bom, ainda não vi nos livros de matemática qual seria a negação da disjunção exclusiva, mas já vi em uma questão do CESPE o que esta banca considera como uma possível negação para a disjunção exclusiva. Vejam esta questão do MCTI aplicada em 2012: "Julgue os próximos itens, considerando proposição P, a seguir: O desenvolvimento científico do país permanecerá estagnado se, e somente se, não houver investimento em pesquisa acadêmica no Brasil. 44 A negação da proposição P está corretamente enunciada da seguinte forma: “Ou o desenvolvimento científico do país permanecerá estagnado, ou não haverá investimento em pesquisa acadêmica no Brasil”." Essa questão foi considerada correta. Vejam que a disjunção exclusiva foi considerada como negação da bicondicional "..se e somente se ...". Percebam que isso faz todo o sentido, já que suas tabelas verdade são inversas, ou seja, quando uma é verdadeira a outra é falsa, e vice versa. Assim, para provas do CESPE, podemos considerar a bicondicional como sendo a negação da disjunção exclusiva, e vice versa. Vejamos algumas questões! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 80 - (Polícia Civil/ES - 2010 / CESPE) A negação da proposição “ter inabilidade de lidar com a raiva e apresentar depressão” é “ter habilidade de lidar com a raiva ou não apresentar depressão”. Solução: Começamos batizando as proposições simples e transformando a sentença para a linguagem simbólica: ter inabilidade de lidar com a raiva e apresentar depressão Assim, deveremos negar uma proposição do tipo p ∧ q, que já sabemos que é ~p v ~q. Assim, temos: p: “ter inabilidade de lidar com a raiva”

q p ∧

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q: “apresentar depressão” ~p: “não ter inabilidade de lidar com a raiva” (que é o mesmo que “ter habilidade de lidar com a raiva”) ~q: “não apresentar depressão” Assim, voltando para a linguagem corrente, temos: ~p v ~q: “ter habilidade de lidar com a raiva ou não apresentar depressão” Portanto, o item está correto! 81 - (TRT - 2009 / CESPE) A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” tem como negação a proposição “Carlos não é juiz nem é muito competente”. Solução: A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” pode ser assim dividida: p: Carlos é juiz q: Carlos é muito competente Dessa forma, a proposição pode ser escrita como p ∧ q. Assim, já sabemos que: ~(p ∧ q) = ~p v ~q Com isso, a negação de “Carlos é juiz e é muito competente” é “Carlos não é juiz ou Carlos não é muito competente”. Quando se fala “Carlos não é juiz nem é muito competente”, está se falando que “Carlos não é juiz e não é muito competente”. O “nem” pode ser substituído por “e não”. Em linguagem simbólica seria ~p ∧∧∧∧ ~q. Portanto, item errado. 82 - (Polícia Civil/ES - 2010 / CESPE) A negação da proposição (P v ~Q) ∧∧∧∧ R é (~P v Q) ∧∧∧∧ (~R). Solução: Essa questão é direta, simplesmente devemos encontrar a negação da proposição composta (P v ~Q) ∧ R. Para facilitar nossa vida, vamos chamar (P v ~Q) de “A”. Assim, devemos negar a proposição A ∧ R. A negação de uma conjunção p ∧ q nós já sabemos que é ~p v ~q. Assim, a negação de A ∧ R é igual a (~A) v (~R).

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Para chegar ao resultado final, basta agora encontrarmos quem é ~A. Substituindo A por (P v ~Q), teremos que descobrir a negação dessa disjunção. Já sabemos que a negação de p v q é igual a “~p ∧ ~q”. Assim, a negação de (P v ~Q) é igual a “~P ∧ Q”. Portanto, ~A v ~R é igual a (~P ∧ Q) v (~R). Concluímos, então, que o item está errado! Vou resumir o que fizemos nessa questão: ~[(P v ~Q) ∧ R] (negação de uma conjunção, negamos as duas proposições e trocamos o “e” pelo “ou”) ~(P v ~Q) v ~R (em seguida, negamos a disjunção dentro dos parênteses, ou seja, negamos o “P” e o “~Q” e trocamos o “ou” pelo “e”) (~P ∧ Q) v ~R (Assim encontramos o resultado, que é diferente do demonstrado no enunciado) 83 - (Polícia Militar/DF – 2009 / CESPE) A negação da proposição “O concurso será regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB” estará corretamente simbolizada na forma (~A) ∧∧∧∧ (~B), isto é, “O concurso não será regido por este edital nem será executado pelo CESPE/UnB”. Solução: Logo de início já devemos identificar que a proposição “O concurso será regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB” pode ser representada por A ∧ B, com A sendo “O concurso será regido por este edital” e B sendo “O concurso será executado pelo CESPE/UnB”. A negação do A ∧ B já sabemos que é ~A v ~B, que na linguagem corrente fica “O concurso não será regido por este edital ou não será executado pelo CESPE/UnB”. Portanto, o item está errado! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Voltando para a teroria... Mais Equivalências

• Lei Associativa (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) (A v B) v C ⇔ A v (B v C) Essa propriedade, que vale apenas para a conjunção e para a disjunção, pode ser verificada por meio da tabela-verdade. Vamos demonstrar a propriedade para a conjunção:

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A B C A ∧ B (A ∧ B) ∧ C B ∧ C A ∧ (B ∧ C) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F V F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F

O mesmo pode ser verificado para a disjunção (tente em casa!).

• Lei Distributiva A ∧ (B v C) ⇔ (A ∧ B) v (A ∧ C) A v (B ∧ C) ⇔ (A v B) ∧ (A v C) Mais uma vez, a propriedade só vale para a conjunção e para a disjunção. Vamos demonstrar, por meio da tabela-verdade:

A B C B v C A ∧ (B v C) A ∧ B A ∧ C (A ∧ B) v (A ∧ C) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F

• Dupla Negação ~(~A) ⇔ A Essa é bem intuitiva. Vamos direto para a tabela-verdade:

A ~A ~(~A) V F V F V F

• Equivalências da Condicional ~A → A ⇔ A Vamos direto para a tabela-verdade:

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A ~A ~A → A V F V F V F

A →→→→ B ⇔⇔⇔⇔ ~A v B A →→→→ B ⇔⇔⇔⇔ ~B →→→→ ~A Essas são as equivalências mais importantes. Vamos demonstrar as duas com uma única tabela-verdade:

A B ~A ~B A → B ~A v B ~B → ~A V V F F V V V V F F V F F F F V V F V V V F F V V V V V

• Equivalências da Bicondicional A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A) A ↔ B ⇔ (A ∧ B) v (~A ∧ ~B) Para concluir, as duas últimas equivalências:

A B A → B B → A A ↔ B (A → B) ∧ (B → A) V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V

A B ~A ~B A ∧ B ~A ∧ ~B A ↔ B (A ∧ B) v (~A ∧ ~B) V V F F V F V V V F F V F F F F F V V F F F F F F F V V F V V V

Agora, para fixar, vamos listar todas as equivalências citadas acima: (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) (A v B) v C ⇔ A v (B v C) A ∧ (B v C) ⇔ (A ∧ B) v (A ∧ C) A v (B ∧ C) ⇔ (A v B) ∧ (A v C) ~(~A) ⇔ A ~A → A ⇔ A A → B ⇔ ~A v B A → B ⇔ ~B → ~A A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A)

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A ↔ B ⇔ (A ∧ B) v (~A ∧ ~B) Não é preciso decorar essas equivalências, pois todas elas podem ser demonstradas a qualquer momento. No entanto, na medida em que formos resolvendo as questões, iremos perceber que elas podem ser muito úteis. Com o tempo, algumas dessas equivalências serão decoradas por você naturalmente. Isso fará com que você ganhe tempo na hora da prova. Vamos às questões!!! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 84 - (TRT - 2008 / CESPE) A proposição A →→→→ B é equivalente à proposição ~B →→→→ ~A. Solução: Vamos relembrar o conceito de proposições equivalentes? São proposições compostas formadas pelas mesmas proposições simples e que possuem tabelas-verdade iguais. Assim, podemos ver que as duas proposições compostas da questão “A → B” e “~B → ~A” possuem as mesmas proposições simples “A” e “B”. Agora, falta saber se suas tabelas-verdade são iguais:

A B ~A ~B A → B ~B → ~A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V

Vemos que suas tabelas-verdade também são iguais. Portanto, as proposições são equivalentes. Item correto! 85 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) As proposições “Se Mário é assessor de Pedro, então Carlos é cunhado de Mário” e “Se Carlos não é cunhado de Mário, então Mário não é assessor de Pedro” são equivalentes. Solução: Agora complicou! Que nada! Vamos passar para a linguagem simbólica: Frase 1: Se Mário é assessor de Pedro, então Carlos é cunhado de Mário A: Mário é assessor de Pedro B: Carlos é cunhado de Mário Frase 1: A → B

A B →

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Frase 2: Se Carlos não é cunhado de Mário, então Mário não é assessor de Pedro Frase 2: ~B → ~A Portanto, a questão está afirmando que “A → B” é equivalente a “~B → ~A”. Lembrando o conceito de proposições equivalentes, “São proposições compostas formadas pelas mesmas proposições simples e que possuem tabelas-verdade iguais”. Percebemos que as proposições simples são as mesmas (A e B). Agora, basta construir a tabela-verdade:

A B ~A ~B A → B ~B → ~A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V

Percebemos que suas tabelas-verdade também são iguais. Portanto, as proposições são equivalentes. Item correto! E então, já decorou essa equivalência? p → q ⇔ ~q → ~p Essa, talvez, seja a mais importante. Com o passar do tempo você verá como ela se repete! 86 - (MPE/AM - 2007 / CESPE) Supondo que A simboliza a proposição “Alice perseguiu o Coelho Branco” e B simboliza a proposição “O Coelho Branco olhou o relógio”, a proposição “Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco” é equivalente à proposição “O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco”. Solução: Vamos começar organizando as informações: A: Alice perseguiu o Coelho Branco B: O Coelho Branco olhou o relógio Proposição 1: Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco Proposição 1: B → ~A

~B → ~A

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Proposição 2: O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco Proposição 2: ~B v ~A Vamos, agora, construir a tabela-verdade e verificar se as proposições são equivalentes:

A B ~A ~B B → ~A ~B v ~A V V F F F F V F F V V V F V V F V V F F V V V V

Olhando as duas últimas colunas da tabela, vemos que as proposições são equivalentes. Portanto, o item está correto! 87 - (Banco da Amazônia - 2010 / CESPE) A sentença “como hoje o alarme não foi acionado, então José não foi ao banco e os sensores não estavam ligados” é logicamente equivalente a “se José foi ao banco ou os sensores estavam ligados, então hoje o alarme foi acionado”. Solução: Mais uma questão bem parecida com as que vimos agora. Vamos começar passando as proposições para a linguagem simbólica: A: Hoje o alarme não foi acionado B: José não foi ao banco C: Os sensores não estavam ligados “como hoje o alarme não foi acionado, então José não foi ao banco e os sensores não estavam ligados” A → (B ∧ C) “se José foi ao banco ou os sensores estavam ligados, então hoje o alarme foi acionado” (~B v ~C) → ~A Assim, deveremos verificar se A → (B ∧ C) ⇔ (~B v ~C) → ~A Poderíamos simplesmente construir a tabela-verdade e verificar essa informação. Ocorre que temos 3 variáveis, o que necessitaria de uma tabela com 8 linhas (lembra que o número de linhas é igual a 2n, onde n é o número de variáveis?).

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Assim, existe uma forma mais simples de resolver esta questão. Vamos olhar com mais cuidado para a equivalência: A → (B ∧ C) ⇔ (~B v ~C) → ~A Olhando com mais atenção para o termo destacado em azul: (~B v ~C) = ~(B ∧ C) Assim, podemos reescrever a equivalência da seguinte forma: A → (B ∧ C) ⇔ ~(B ∧ C) → ~A Chamando “B ∧ C” de K, temos: A → (K) ⇔ ~(K) → ~A Que é uma equivalência já demonstrada anteriormente. Se você não lembrar dela na hora da prova, basta construir a tabela-verdade e verificar o que demonstramos aqui. Portanto, o item está correto! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Continuando com a teoria, vamos aprender mais algumas simbologias e sua aplicação na lógica. Lembram quando eu disse na aula passada que era possível transformar sentenças abertas em proposições com a utilização de quantificadores? Pois é, isso nós veremos agora! Já sabemos que a expressão “x + 5 = 10” é uma sentença aberta (também chamada de “função proposicional”), e, portanto, não é considerada uma proposição, já que ela possui um elemento (o “x”) que não permite sabermos se é verdadeira ou falsa. Mas se eu disser que “existe x tal que x + 5 = 10”. Será que agora poderemos atribuir um valor lógico a essa sentença? Claro que sim! E esse valor lógico é V, já que realmente existe x (nesse caso x = 5) que torna a sentença verdadeira. Mas como representamos simbolicamente esses quantificadores? Os principais quantificadores são representados da seguinte forma: ∃: (lê-se: existe; existe pelo menos um; existe um) ∀: (lê-se: para todo; qualquer que seja; para cada) ∃|: (lê-se: existe só um; existe um e um só; existe só um) (este aparece muito pouco em concurso)

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Assim, para transformar a sentença aberta “x + 5 = 10” em proposição, adicionamos um quantificador e representamos assim: (∃ x)(x + 5 = 10): (lê-se: existe x tal que x mais cinco é igual a dez) Nesse caso, o valor lógico dessa proposição é verdadeiro, pois para x = 5, x + 5 = 10. Ou então: (∀ x)(x + 5 = 10): (lê-se: para todo x, temos que x mais cinco é igual a dez) Nesse caso, o valor lógico é falso, pois para x = 4 (por exemplo), x + 5 ≠ 10. É preciso saber também, a negação desses quantificadores. Vejamos: - A negação de “existe... que é...” (∃) é “todo... não é...” (∀). - A negação de “todo... é...” (∀) é “existe... que não é...” (∃). Portanto, a negação de “existe ... que é ...” é dada por “todo ... não é ...” e a negação de “todo ... é ...” é dado por “existe ... que não é ...”. Aqui, podemos introduzir o conceito que o Cespe utiliza para a Lógica de Primeira Ordem. Alguns de vocês podem já ter estudado este assunto e verão que não estou aprofundando nada dele. Eu retirei de uma prova do próprio Cespe o que a banca considera suficiente sabermos sobre este assunto: “Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x, tem-se que x – 2 > 0” possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.” Vejam que é basicamente o que acabamos de ver. Vamos ver umas questões para tentar melhorar o entendimento. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 88 - (UNIPAMPA - 2009 / CESPE) A negação da proposição “existe um triângulo equilátero e não isósceles” pode ser escrita como “todo triângulo equilátero é isósceles”. Solução:

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Este item pede que verifiquemos se a negação da proposição “existe um triângulo equilátero e não isósceles” pode ser escrita como “todo triângulo equilátero é isósceles”. Vimos que a negação do “existe ... que é ...” é dada por “todo ... não é ...”. Assim, vamos negar a proposição utilizando esse formato: A: existe um triângulo equilátero e não isósceles Reescrevendo essa frase para facilitar o entendimento, temos: A: existe um triângulo equilátero que não é isósceles Assim, a negação fica da seguinte forma: ~A: todo triângulo equilátero é isósceles. Trocamos o “existe ... que é” por “todo... não é”. Como a proposição original já afirmava que “...não é”, ao negarmos o “não”, acabamos com a afirmação ”...é...”. Comparando o enunciado da questão com o que encontramos, podemos afirmar que essa questão está correta! 89 - (TRT - 2008 / CESPE) Considerando que P seja a proposição “Todo jogador de futebol será craque algum dia”, então a proposição ~P é corretamente enunciada como “Nenhum jogador de futebol será craque sempre”. Solução: Organizando as informações, temos: P: Todo jogador de futebol será craque algum dia A questão pede que verifiquemos se a negação de P é a proposição “Nenhum jogador de futebol será craque sempre”. Podemos observar que temos uma proposição com aquelas expressões “todo”, “existe”, etc. O “P” afirma que “Todo jogador de futebol será craque algum dia”. Vimos que a negação de “todo... é...” é dado por “existe ... que não é ...”. Assim, a negação de “P” é dado por: ~P: Existe jogador de futebol que não será craque algum dia. Observe que a questão tenta lhe induzir ao erro com o termo “algum dia”, para que você pense que terá que negar essa parte da proposição também. O importante é perceber que o “algum dia” dá apenas o momento em que a ação irá acontecer. É como se a negação de “vai chover hoje” fosse “vai chover amanhã”. Perceberam?

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São informações diferentes que não são excludentes entre si. Portanto, o item está errado! 90 - (EMBASA - 2009 / CESPE) A negação da afirmação “Todas as famílias da rua B são preferenciais” é “Nenhuma família da rua B é preferencial”. Solução: Mais uma questão que pede apenas a negação de uma proposição com o quantificador “Todo”. Vimos que para negar uma proposição do tipo “todo... é...” fazemos “existe... que não é...”. Assim, A: “Todas as famílias da rua B são preferenciais” ~A: “Existe família da rua B que não é preferencial” Assim, dizer que “Existe família da rua B que não é preferencial” não é o mesmo que dizer “Nenhuma família da rua B é preferencial”. Portanto, o item está errado. 91 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Julgando-se como V a proposição “Alguns textos contêm erros de impressão”, então também será julgada como V a proposição “Todos os textos contêm erros de impressão”. Solução: O que esta questão está dizendo é que sempre que a proposição “Alguns textos contêm erros de impressão” for verdadeira, a proposição “Todos os textos contêm erros de impressão” também será verdadeira. Intuitivamente percebemos que essa questão é errada, pois alguns não é o mesmo que todos. Vamos demonstrar com um exemplo. Suponhamos que o total de textos seja dez e que dois desses dez textos contenham erros de impressão. Assim, a afirmação “alguns textos contêm erros de impressão” terá valor lógico verdadeiro e a afirmação “Todos os textos contêm erros de impressão” terá valor lógico falso. Com isso, podemos concluir que esta questão está errada. 92 - (BB - 2007 / CESPE) A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x2 > x” é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto . Solução:

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Nessa questão, devemos observar se TODOS os elementos do conjunto

21

,2,23

,3,25

,5 satisfazem a proposição “Para qualquer x, tem-se que x2 > x”, ou

seja, se os elementos tornam a proposição verdadeira. Para isso, vamos testar cada elemento: Testando x = 5 x2 > x 52 > 5 25 > 5 (verdadeiro)

Testando x = 25

x2 > x

2

25

> 25

425

> 25

425

> 4

10 (verdadeiro)

Testando x = 3 x2 > x 32 > 3 9 > 3 (verdadeiro)

Testando x = 23

x2 > x

2

23

> 23

49

> 23

49

> 46

(verdadeiro)

Testando x = 2 x2 > x 22 > 2 4 > 2 (verdadeiro)

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Testando x = 21

x2 > x

2

21

> 21

41

> 21

41

> 42

(falso)

Portanto, nem todos os elementos do conjunto

21

,2,23

,3,25

,5 satisfazem a

proposição, o que torna o item errado. 93 - (BB - 2007 / CESPE) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. Solução: Bom, nessa questão, devemos verificar se existe algum elemento do conjunto que torne a proposição “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” verdadeira. Para a proposição ser verdadeira, é necessário que o número seja divisível por 2 e por 3, ou seja, deve ser divisível pelos dois números. Vamos checar cada elemento do conjunto: 2: Só é divisível por 2 3: Só é divisível por 3 9: Só é divisível por 3 10: Só é divisível por 2 15: Só é divisível por 3 16: Só é divisível por 2 Portanto, não há nenhum elemento do conjunto que torne a proposição verdadeira. Item errado. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Vimos, até agora, as proposições do tipo “se Marcos ... então Pedro ...” ou então “(A v B) → C”. Ocorre que as proposições também podem aparecer na forma de expressões matemáticas, por exemplo: “Se X > 0 então X ∈ R”. E então, se eu pedir para vocês me falarem a negação dessa proposição, como fica? Calma, que eu explico!

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É bem simples, da mesma forma que fizemos quando tínhamos as sentenças na linguagem corrente, faremos para as expressões matemáticas: passaremos tudo para a linguagem simbólica. Vamos ao nosso exemplo: Proposição: Se X > 0 então X ∈ R (lê-se “se X é maior do que zero, então a raiz quadrada de X pertence ao conjunto dos números reais”) Batizando as proposições simples, temos: A: X > 0 B: X ∈ R Assim, estamos diante de uma proposição A → B. Para encontrar o resultado da negação dessa proposição, fazemos: ~(A → B) = A ∧ ~B O “A” continua o mesmo, resta saber qual é a negação do “B” ( X ∈ R). Como você negaria essa proposição se ela lhe fosse apresentada na linguagem corrente? Isso mesmo: “a raiz quadrada de X não pertence ao conjunto dos números reais”. Agora é só escrever isso na forma de uma expressão matemática: ~B: X ∉ R” Assim, a negação de “Se X > 0 então X ∈ R” é dado por: X > 0 e X ∉ R Não é simples? Pois é, o que pode dificultar é você não se lembrar desses símbolos utilizados na matemática. Vou apresentar uma tabela para ajudar vocês a se lembrarem.

Símbolo Significado Símbolo da Negação

Significado

= Igual ≠ Diferente > Maior que ≤ Menor ou igual que < Menor que ≥ Maior ou igual que ∈ Pertence ∉ Não pertence ⊂ Está contido ⊄ Não está contido

Vamos às questões! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 94 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.

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Solução: Bom, essa questão é bem direta: Devemos saber a negação de uma expressão matemática “2 + 5 = 9”. Para entendermos melhor a negação dessa proposição, vamos escrevê-la em linguagem corrente “dois mais cinco é igual a nove”. Como negamos esta afirmação? Isso mesmo, “dois mais cinco não é igual a nove”. Voltando para o formato matemático, e lembrando que dizer que algo “não é igual” é o mesmo que dizer que algo “é diferente”, temos: A: “2 + 5 = 9” ~A: “2 + 5 ≠ 9”. Portanto, a questão está errada. 95 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) A negação da proposição (∃∃∃∃x)(x + 3 = 25) pode ser expressa corretamente por (∀∀∀∀x)(x + 3 ≠≠≠≠ 25). Solução: Mais uma vez, vamos organizar as informações: A: (∃x)(x + 3 = 25) (lê-se: existe x tal que x mais três é igual a vinte e cinco) Vimos que podemos negar o “existe...que é...” afirmando que “todo ... não é...”. Primeiro vamos tentar negar o “A” utilizando a linguagem corrente: A: existe x tal que x mais três é igual a vinte e cinco ~A: para todo x, x mais três não é igual a vinte e cinco Assim, vamos verificar o que a questão está informando que é a negação de A: (∀x)(x + 3 ≠ 25) (lê-se: para todo x, x mais três é diferente de vinte e cinco) Ora, comparando a forma como negamos o “A” com a forma que foi apresentada a negação do “A” na questão, podemos perceber que se trata da mesma afirmação, pois dizer que “A não é igual a B” é o mesmo que dizer que “A é diferente de B”. Logo, o item está correto! Por hoje é só. Um grande abraço, e não se esqueçam de resolver as questões propostas. A resolução delas será apresentada na próxima aula.

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5 - Questões comentadas nesta aula 75 - (Polícia Militar/DF - 2009 / CESPE) A proposição (A ∧ B) → (A v B) é uma tautologia. 76 - (SERPRO - 2008 / CESPE) A proposição (A → B) → (~A v B) é uma tautologia. 77 - (TRT - 2008 / CESPE) A proposição ~(A v B) → (~A) v B é uma tautologia 78 - (TRT - 2009 / CESPE) A proposição “A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita” será V quando a proposição “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa. 79 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) Se A, B, C e D são proposições, em que B é falsa e D é verdadeira, então, independentemente das valorações falsa ou verdadeira de A e C, a proposição A v B → C ∧ D será sempre verdadeira. 80 - (Polícia Civil/ES - 2010 / CESPE) A negação da proposição “ter inabilidade de lidar com a raiva e apresentar depressão” é “ter habilidade de lidar com a raiva ou não apresentar depressão”. 81 - (TRT - 2009 / CESPE) A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” tem como negação a proposição “Carlos não é juiz nem é muito competente”. 82 - (Polícia Civil/ES - 2010 / CESPE) A negação da proposição (P v ~Q) ∧ R é (~P v Q) ∧ (~R). 83 - (Polícia Militar/DF – 2009 / CESPE) A negação da proposição “O concurso será regido por este edital e executado pelo CESPE/UnB” estará corretamente simbolizada na forma (~A) ∧ (~B), isto é, “O concurso não será regido por este edital nem será executado pelo CESPE/UnB”. 84 - (TRT - 2008 / CESPE) A proposição A → B é equivalente à proposição ~B → ~A.

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85 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) As proposições “Se Mário é assessor de Pedro, então Carlos é cunhado de Mário” e “Se Carlos não é cunhado de Mário, então Mário não é assessor de Pedro” são equivalentes. 86 - (MPE/AM - 2007 / CESPE) Supondo que A simboliza a proposição “Alice perseguiu o Coelho Branco” e B simboliza a proposição “O Coelho Branco olhou o relógio”, a proposição “Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco” é equivalente à proposição “O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco”. 87 - (Banco da Amazônia - 2009 / CESPE) A sentença “como hoje o alarme não foi acionado, então José não foi ao banco e os sensores não estavam ligados” é logicamente equivalente a “se José foi ao banco ou os sensores estavam ligados, então hoje o alarme foi acionado”. 88 - (UNIPAMPA - 2009 / CESPE) A negação da proposição “existe um triângulo equilátero e não isósceles” pode ser escrita como “todo triângulo equilátero é isósceles”. 89 - (TRT - 2008 / CESPE) Considerando que P seja a proposição “Todo jogador de futebol será craque algum dia”, então a proposição ~P é corretamente enunciada como “Nenhum jogador de futebol será craque sempre”. 90 - (EMBASA - 2009 / CESPE) A negação da afirmação “Todas as famílias da rua B são preferenciais” é “Nenhuma família da rua B é preferencial”. 91 - (SEPLAG/DF - 2009 / CESPE) Julgando-se como V a proposição “Alguns textos contêm erros de impressão”, então também será julgada como V a proposição “Todos os textos contêm erros de impressão”. 92 - (BB - 2007 / CESPE) A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x2 > x” é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto . 93 - (BB - 2007 / CESPE) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. 94 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.

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95 - (TCE/RN - 2009 / CESPE) A negação da proposição (∃x)(x + 3 = 25) pode ser expressa corretamente por (∀x)(x + 3 ≠ 25).

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6 - Questões para praticar! A solução será apresentada na próxima aula 96 - (MPS - 2009 / CESPE) Considerando as proposições P, Q e R e os símbolos lógicos: ~ (negação); v (ou); ∧ (e); → (se ..., então), é correto afirmar que a proposição ~((~P) → R) → ~(P ∧ (~Q)) é uma tautologia. 97 - (DETRAN/DF - 2008 / CESPE) A proposição (A v B) ∧ [(~A) ∧ (~B)] é sempre falsa. 98 - (TRT - 2008 / CESPE) A proposição A ∧ (~B) → ~(A ∧ B) é uma tautologia. 99 - (MPS - 2010 / CESPE) Considerando as proposições P e Q e os símbolos lógicos: ~ (negação); v (ou); ∧ (e); → (se, ... então), é correto afirmar que a proposição (~P) ∧ Q → (~P) v Q é uma tautologia. 100 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) Independentemente dos valores lógicos atribuídos às proposições A e B, a proposição [(A → B) ∧ (~B)] → (~A) tem somente o valor lógico F. 101 - (Banco da Amazônia - 2010 / CESPE) A negação da proposição “se Paulo está entre os 40% dos homens com mais de 30 anos, então Luísa tem mais de 30 anos” é “se Paulo não está entre os 40% dos homens com mais de 30 anos, então Luísa não tem mais de 30 anos”. 102 - (SEBRAE - 2008 / CESPE) As proposições na forma ~(A ∧ B) têm exatamente três valores lógicos V, para todos os possíveis valores lógicos de A e B. 103 - (TRT - 2009 / CESPE) A negação da proposição “O juiz determinou a libertação de um estelionatário e de um ladrão” é expressa na forma “O juiz não determinou a libertação de um estelionatário nem de um ladrão”. 104 - (TER/ES - 2009 / CESPE) A negação da proposição “A pressão sobre os parlamentares para diminuir ou não aprovar o percentual de reajuste dos seus próprios salários” está corretamente redigida na seguinte forma: “A pressão sobre os parlamentares para não diminuir e aprovar o percentual de reajuste dos seus próprios salários”. 105 - (MPE/RR - 2008 / CESPE) Considere as seguintes proposições.

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A: Jorge briga com sua namorada Sílvia. B: Sílvia vai ao teatro. Nesse caso, independentemente das valorações V ou F para A e B, a expressão ~(A v B) correspondente à proposição C: “Jorge não briga com sua namorada Sílvia e Sílvia não vai ao teatro”. 106 - (Polícia Civil/ES - 2010 / CESPE) A negação da proposição “havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue à mulher de Gavião.” é logicamente equivalente à proposição “Não havia um caixa eletrônico em frente ao banco ou o dinheiro não foi entregue à mulher de Gavião”. 107 - (MPS - 2009 / CESPE) A negação da proposição “Pedro não sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado” é “Pedro sofreu acidente de trabalho ou Pedro não está aposentado”. 108 - (MPS - 2009 / CESPE) A negação da proposição “O cartão de Joana tem final par ou Joana não recebe acima do salário mínimo” é “O cartão de Joana tem final ímpar e Joana recebe acima do salário mínimo”. 109 - (TRT - 2009 / CESPE) As proposições (~A) v (~B) e A → B têm os mesmos valores lógicos para todas as possíveis valorações lógicas das proposições A e B. 110 - (MPE/RR - 2008 / CESPE) Se A e B são proposições, então ~(A ↔ B) tem as mesmas valorações que [(~A) → (~B)] ∧ [(~B) → (~A)]. 111 - (UNIPAMPA - 2009 / CESPE) As proposições A ∧ (~B) ∧ (~C) e ~[(A → (B v C)] têm os mesmos valores lógicos, independentemente dos valores lógicos das proposições A, B e C. 112 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) As proposições [A v (~B)] → (~A) e [(~A) ∧ B] v (~A) são equivalentes. 113 - (Polícia Civil/ES - 2010 / CESPE) A proposição “se havia um caixa eletrônico em frente ao banco, então o dinheiro ficou com Gavião;” é logicamente equivalente à proposição “Se o dinheiro não ficou com Gavião, então não havia um caixa eletrônico em frente ao banco”.

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114 - (Escrivão-PF - 2009 / CESPE) Se A for a proposição “Todos os policiais são honestos”, então a proposição ~A estará enunciada corretamente por “Nenhum policial é honesto”. 115 - (Banco da Amazônia - 2010 / CESPE) Dizer que “todas as senhas são números ímpares” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que “pelo menos uma das senhas não é um número ímpar”. 116 - (UNIPAMPA - 2009 / CESPE) Se a proposição A → B v C é F, então a proposição (A ∧ B) v (A ∧ C) é V. 117 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) A negação da proposição “Toda pessoa pobre é violenta” é equivalente a “Existe alguma pessoa pobre que não é violenta”. 118 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) A negação da proposição “Se houver corrupção, os níveis de violência crescerão” é equivalente a “Se não houver corrupção, os níveis de violência não crescerão”. 119 - (Polícia Civil/CE - 2012 / CESPE) Considerando que Jorge não seja pobre, mas pratique atos violentos, é correto afirmar que Jorge é um contraexemplo para a afirmação: “Todo indivíduo pobre pratica atos violentos”. (Texto para a questão 120) Com a finalidade de reduzir as despesas mensais com energia elétrica na sua repartição, o gestor mandou instalar, nas áreas de circulação, sensores de presença e de claridade natural que atendem à seguinte especificação: P: A luz permanece acesa se, e somente se, há movimento e não há claridade natural suficiente no recinto. Acerca dessa situação, julgue o item seguinte. 120 - (TCDF - 2012 / CESPE) A negação da especificação P é logicamente equivalente à proposição “A luz não permanece acesa se, e somente se, não há movimento ou há claridade natural suficiente no recinto”. 121 - (MPU - 2013 / CESPE) A negação da proposição “Não apareceram interessados na licitação anterior e ela não pode ser repetida sem prejuízo para a administração” está corretamente expressa por “Apareceram interessados na licitação anterior ou ela pode ser repetida sem prejuízo para a administração”.

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(Texto para as questões 122 a 125) — Mário, você não vai tirar férias este ano de novo? Você trabalha demais! — Ah, João, aquele que trabalha com o que gosta está sempre de férias. Considerando o diálogo acima, julgue os itens seguintes, tendo como referência a declaração de Mário. 122 - (SERPRO - 2013 / CESPE) A negação da declaração de Mário pode ser corretamente expressa pela seguinte proposição: “Aquele que não trabalha com o que não gosta não está sempre de férias”. 123 - (SERPRO - 2013 / CESPE) A declaração de Mário é equivalente a “Se o indivíduo trabalhar com o que gosta, então ele estará sempre de férias”. 124 - (SERPRO - 2013 / CESPE) A proposição “Enquanto trabalhar com o que gosta, o indivíduo estará de férias” é uma forma equivalente à declaração de Mário. 125 - (SERPRO - 2013 / CESPE) “Se o indivíduo estiver sempre de férias, então ele trabalha com o que gosta” é uma proposição equivalente à declaração de Mário.

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7 - Gabarito 75 - C 76 - C 77 - C 78 - C 79 - E 80 - C 81 - E 82 - E 83 - E 84 - C 85 - C 86 - C 87 - C 88 - C 89 - E 90 - E 91 - E 92 - E 93 - E 94 - E 95 - C 96 - C 97 - C 98 - C 99 - C 100 - E

101 - E 102 - C 103 - E 104 - C 105 - C 106 - E 107 - E 108 - C 109 - E 110 - E 111 - C 112 - C 113 - C 114 - E 115 - C 116 - E 117 - C 118 - E 119 - E 120 - E 121 - C 122 - E 123 - C 124 - C 125 - E

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RAC Curso 3597 Aula 02