Aula 2 - RAC. LÓGICO

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AULA 2

PREPARATÓRIO PARA CONCURSOS

ESTRUTURA LÓGICA

É O ESTUDO DO PENSAMENTO E SUAS OPERAÇÕES, DO RACIOCÍNIO E DA

DEMONSTRAÇÃO.

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TIPOS DE ESTRUTURA LÓGICA

• ENTRE PESSOAS;• ENTRE LUGARES;• ENTRE OBJETOS;

• ENTRE EVENTOS FICTÍCIOS;• DE ARGUMENTAÇÃO.

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ESTRUTURA LÓGICA SÃO DIVIDIDAS EM:

• PROPOSIÇÕES

• CONECTIVOS

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PROPOSIÇÃO

DENOMINAMOS PROPOSIÇÃO A TODO CONJUNTO DE PALAVRAS OU SÍMBOLOS QUE EXPRIMEM UM

PENSAMENTO DE SENTIDO COMPLETO.

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PROPOSIÇÕES SÃO DIVIDIDAS EM:

• SIMPLES

• COMPOSTAS

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EXEMPLOS

O AR-CONDICIONADO ESTA LIGADO.

7 < 9

A SALA ESTÁ VAZIA.

PELÉ É O NOME DE UM PLANETA DO SISTEMA SOLAR.

GOSTO DE MAÇA.

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OBSERVAÇÃO

NEM TODA SENTENÇA É UMA PROPOSIÇÃO, OU SEJA, NÃO PODE RECEBER O VALOR LÓGICO

VERDADEIRO OU FALSO.

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EXEMPLOS

SENTENÇA EXCLAMATIVA:

“CARÁCOLES!”

“EITA!”

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EXEMPLOS

SENTENÇA INTERROGATIVA:

“VOCÊ CONHECE A CLAUDIA?”

“AMANHÃ CHOVERÁ?”

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EXEMPLOS

SENTENÇA IMPERATIVA:

“NÃO ME PERTURBE.”

“FALE COM A MINHA MÃO.”

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EXEMPLOS

SENTENÇA SEM VERBO:

“UM DIA QUENTE DE VERÃO.”

“HOJE MESMO.”

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OBSERVAÇÃO

AS SENTENÇAS EXCLAMATIVAS, INTERROGATIVAS, IMPERATIVAS E SEM VERBO ESTÃO FORA DO

ESCOPO DA LÓGICA E NÃO SERÃO ABORDADAS.

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OBSERVAÇÃO

AS PROPOSIÇÕES SÃO SENTENÇAS FECHADAS E QUE PODEM SER CLASSIFICADAS COMO

VERDADEIRAS OU FALSAS.

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UMA SENTENÇA DO TIPO X > 2 NÃO PODE SER CONSIDERADA UMA PROPOSIÇÃO, POIS O

JULGAMENTO DE SUA VERACIDADE VAI DEPENDER DO VALOR ATRIBUÍDO À

VARIÁVEL X.

SENTENÇAS DESTE TIPO SÃO DENOMINADAS ABERTAS.

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EXEMPLOS

“FULANO” É JOGADOR DE FUTEBOL.

3x + 2 = 11

“ELA” É EFICIENTE.

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DENOMINA-SE CONJUNTO UNIVERSO DE UMA SENTENÇA ABERTA AO CONJUNTO FORMADO POR TODOS OS

VALORES QUE A VARIÁVEL PODE ASSUMIR.AO SUBCONJUNTO FORMADO PELOS VALORES DA VARIÁVEL QUE TORNAM A SENTENÇA VERDADEIRA

DENOMINAMOS CONJUNTO VERDADE OU CONJUNTO SOLUÇÃO DA SENTENÇA ABERTA.

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OBSERVAÇÃO

SIMBOLIZAREMOS POR “V” OU “F” OS VALORES LÓGICOS DE UMA PROPOSIÇÃO, REPRESENTANDO,

RESPECTIVAMENTE UMA VERDADE E UMA FALSIDADE .

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PRINCÍPIOS DAS PROPOSIÇÕES

• PRINCÍPIO DA IDENTIDADE;

• PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO;

• PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO.

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PRINCÍPIO DA IDENTIDADE

UMA PROPOSIÇÃO VERDADEIRA É VERDADEIRA EUMA PROPOSIÇÃO FALSA É FALSA.

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PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO

UMA PROPOSIÇÃO E VERDADEIRA OU FALSA, NÃO HAVENDO UM TERCEIRO VALOR LÓGICO.

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PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO

NENHUMA PROPOSIÇÃO É VERDADEIRA E FALSA AOMESMO TEMPO.

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SIMBOLOGIA

PROPOSIÇÕES SÃO SIMBOLIZADAS POR LETRAS MINÚSCULAS.

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EXEMPLOS

p = “NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO.”

q = “FAZ FRIO HOJE.”

r = “A SALA ESTÁ VAZIA.”

s = “CHOVE LÁ FORA.”

t = “SOU FLAMENGUISTA.”

u = “JÚLIO LAVOU O CARRO.”

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PROPOSIÇÃO SIMPLES

UMA PROPOSIÇÃO PODERÁ SER SIMPLES OU ATÔMICA, SE NÃO CONTÉM NENHUMA OUTRA PROPOSIÇÃO COMO

PARTE INTEGRANTE DE SI MESMA .

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EXEMPLOS

p: CARLOS É INTELIGENTE.

q: 7 É UM NÚMERO PAR.

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PROPOSIÇÃO COMPOSTA

UMA PROPOSIÇÃO SERÁ DENOMINADA COMPOSTA OU MOLÉCULA, SE FOR FORMADA PELA COMBINAÇÃO DE

DUAS OU MAIS PROPOSIÇÕES SIMPLES.

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EXEMPLOS

“O PROFESSOR É ALTO OU O FLAMENGO VENCEU O ÚLTIMO JOGO.”

ONDE

p = “O PROFESSOR É ALTO.”

q = “O FLAMENGO VENCEU O ÚLTIMO JOGO.”

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EXEMPLOS

“SE NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO ENTÃO SOU FLAMENGUISTA.”

ONDE

r = “NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO.”

s = “SOU FLAMENGUISTA.”

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EXEMPLOS

“FAZ FRIO HOJE E CHOVE LÁ FORA.”

ONDE

t = “FAZ FRIO HOJE.”

u = “CHOVE LÁ FORA.”

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CONECTIVOS

SÃO UTILIZADOS PARA UNIR AS PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMOS) E ASSIM CRIAR AS

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS (MOLÉCULAS).

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CONECTIVOS

É USUAL REPRESENTARMOS AS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS OU SIMPLES ATRAVÉS DE TABELAS

DAS POSSIBILIDADES DE SEUS VALORES LÓGICOS (V ou F), QUE DENOMINAREMOS TABELAS-VERDADE.

APÓS O ESTUDO DOS CONECTIVOS IREMOS DESENVOLVER UM ESTUDO MAIS DETALHADO

SOBRE AS TABELAS-VERDADE.

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OS PRINCIPAIS CONECTIVOS

• CONJUNÇÃO

• DISJUNÇÃO

• NEGAÇÃO

• CONDICIONAL

• BICONDICIONAL

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CONJUNÇÃO

CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “FAZ FRIO HOJE E CHOVE LÁ FORA.”, PODEMOS

ANALISAR O CONECTIVO CONJUNÇÃO, REPRESENTADO PELA LETRA “E” OU PELO

SÍMBOLO “^”.

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CONJUNÇÃO

PROPOSIÇÃO COMPOSTA “FAZ FRIO HOJE E CHOVE LÁ FORA”

p = “FAZ FRIO HOJE”q = “CHOVE LÁ FORA”

CONECTIVO : E = ^

REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p ^ q”

LÊ-SE = p e q

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É verdade que:“Faz frio hoje?”

É verdade que:“Chove lá fora?”

É verdade que:“Faz frio hoje e chove lá

fora?”Sim Sim Sim

Sim Não Não

Não Sim Não

Não Não Não

TABELA-VERDADE COM PALAVRAS

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p q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

TABELA-VERDADE COM SÍMBOLOS

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EXPRESSÕES EQUIVALENTES A PROPOSIÇÃO CONJUNTIVA

COM SÍMBOLOS COM PALAVRAS

p mas q Faz frio hoje mas chove lá fora.

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LEI

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CONJUNTIVA SÓ SERÁ VERDADEIRA SE TODAS AS SUAS PROPOSIÇÕES

SIMPLES (ÁTOMOS) FOREM VERDADEIRAS. SE PELO MENOS UMA DE SUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMO)

FOR FALSA, A PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CONJUNTIVA SERÁ FALSA.

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DISJUNÇÃO

CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “O PROFESSOR E ALTO OU O FLAMENGO VENCEU

O ÚLTIMO JOGO.”, PODEMOS ANALISAR O CONECTIVO DISJUNÇÃO,

REPRESENTADO PELA PALAVRA “OU” OU PELO SÍMBOLO “v”.

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DISJUNÇÃO

PROPOSIÇÃO COMPOSTA “O PROFESSOR E ALTO OU O FLAMENGO VENCEU

O ÚLTIMO JOGO”

p = “O PROFESSOR E ALTO”q = “O FLAMENGO VENCEU O ÚLTIMO JOGO”

CONECTIVO : OU = v

REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p v q”

LÊ-SE = p OU q

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É verdade que:“O professor é

alto?”

É verdade que:“O Flamengo

venceu o último jogo?”

É verdade que:“O professor é alto ou o

Flamengo venceu o último jogo?”

Sim Sim Sim

Sim Não Sim

Não Sim Sim

Não Não Não


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p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F


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LEI

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) DISJUNTIVA SERÁ VERDADEIRA SE PELO MENOS UMA DAS SUAS

PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMOS) FOREM VERDADEIRAS.SE TODAS AS PROPOSIÇÕES SIMPLES (ÁTOMO)

FOREM FALSAS, A PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) DISJUNTIVA SERÁ FALSA.

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NEGAÇÃO

A NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO, SIMPLES OU COMPOSTA, É FEITA ATRAVÉS DO MODIFICADOR

~ OU ¬ (negação lógica). CONSIDEREMOS AS SEGUINTES PROPOSIÇÕES SIMPLES:

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NEGAÇÃO

PROPOSIÇÃO SIMPLES:

p = “O PROFESSOR É ALTO”

NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÃO SIMPLES:

¬ p = “O PROFESSOR NÃO É ALTO”

NEGAÇÃO ALTERNATIVA

¬ p = “O PROFESSOR É BAIXO”

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NEGAÇÃO

PROPOSIÇÃO SIMPLES:

p = “FAZ FRIO HOJE”

NEGAÇÃO DA PROPOSIÇÃO SIMPLES:

¬ p = “NÃO FAZ FRIO HOJE”

NEGAÇÃO ALTERNATIVA

¬ p = “FAZ CALOR HOJE”

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NEGAÇÃO

CONECTIVO : NÃO = ~ ou ¬ (negação lógica)

REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “¬ p”, “¬ q”, “~p” e “~q”

LÊ-SE = NÃO p OU NÃO q

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É verdade que:“O professor é

alto?”

É verdade que:“O professor não é

alto?”

Sim Não

Não Sim


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É verdade que:“Faz frio hoje?”

É verdade que:“Não faz frio hoje?”

Sim Não

Não Sim


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p ¬p ~p

V F F

F V V


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Com Símbolos Com Palavras

Não é verdade que p. Não é verdade que o professor é alto.

É falso que p. É falso que o professor é alto.

Não é verdade que p. Não é verdade que faz frio hoje.

É falso que p. É falso que faz frio hoje.

EXPRESSÕES EQUIVALENTES A NEGAÇÃO DE UMAPROPOSIÇÃO SIMPLES

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ATENÇÃO COM A DUPLA NEGAÇÃO

¬(¬p) = p OU ~(~p) = p

“O PROFESSOR NÃO É NÃO ALTO” = “O PROFESSOR É BAIXO”

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CONDICIONAL

CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “SE NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO ENTÃO

SOU CARIOCA.”, PODEMOS ANALISAR O CONECTIVO CONDICIONAL,

REPRESENTADO PELAS PALAVRAS “SE ..... ENTÃO” OU PELO SÍMBOLO “→”.

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CONDICIONAL

PROPOSIÇÃO COMPOSTA “SE NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

ENTÃO SOU CARIOCA”

p = “NASCI NA CIDADE DO RIO DE JANEIRO”q = “SOU CARIOCA”

CONECTIVO : SE ..... ENTÃO = →

REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p → q”

LÊ-SE = p ENTÃO q

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É verdade que:“Nasci na

cidade do Rio de Janeiro?”

É verdade que:“Sou carioca?”

É verdade que:“Se nasci na cidade do

Rio de Janeiro então sou carioca?”

Sim Sim Sim

Sim Não Não

Não Sim Sim

Não Não Sim


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p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V


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LEI

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA QUANDO A PROPOSIÇÃO ANTECEDENTE

(À ESQUERDA) DO CONECTIVO FOR VERDADEIRA E A PROPOSIÇÃO CONSEQÜENTE (À DIREITA) DO CONECTIVO

FOR FALSA.

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BI-CONDICIONAL

CONSIDERANDO-SE A PROPOSIÇÃO COMPOSTA “CHOVE SE E SOMENTE SE FAZ FRIO.”, PODEMOS

ANALISAR O CONECTIVO BI-CONDICIONAL, REPRESENTADO PELAS PALAVRAS “SE E SOMENTE SE”

OU PELO SÍMBOLO “↔”.

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BI-CONDICIONAL

PROPOSIÇÃO COMPOSTA “CHOVE SE E SOMENTE SE FAZ FRIO”

p = “CHOVE”q = “FAZ FRIO”

CONECTIVO : SE E SOMENTE SE = ↔

REPRESENTAÇÃO LÓGICA = “p ↔ q”

LÊ-SE = p SE E SOMENTE SE q

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É verdade que:“Chove?”

É verdade que:“Faz frio?”

É verdade que:“Chove se e somente se

faz frio?”

Sim Sim Sim

Sim Não Não

Não Sim Não

Não Não Sim


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p q p ↔ q

V V V

V F F

F V F

F F V


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LEI

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) BI-CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA QUANDO A

PROPOSIÇÃO ANTECEDENTE (À ESQUERDA) DO CONECTIVO FOR DIFERENTE DA

PROPOSIÇÃO CONSEQÜENTE (À DIREITA) DO CONECTIVO.

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p q ¬p p ^ q p v q p → q p ↔ q

V V F V V V V

V F F F V F F

F V V F V V F

F F V F F V V

TABELA-VERDADE

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TAUTOLOGIA

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CUJO VALORLÓGICO É SEMPRE VERDADEIRO, INDEPENDENTEMENTE

DOS VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES(ÁTOMOS) QUE A COMPÕEM, É DENOMINADA

TAUTOLOGIA.

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p ¬p p v ¬ p

V F V

F V V

EXEMPLOS

p v ¬p É UMA TAUTOLOGIA

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p q p ^ q (p ^ q) → p

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V

EXEMPLOS

(p ^ q ) → p É UMA TAUTOLOGIA

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p q p v q p → (p v q)

V V V V

V F V V

F V V V

F F F V

EXEMPLOS

p → (p v q ) É UMA TAUTOLOGIA

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CONTRADIÇÃO OU CONTRA-VÁLIDA

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CUJO VALORLÓGICO É SEMPRE FALSO, INDEPENDENTEMENTE

DOS VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES(ÁTOMOS) QUE A COMPÕEM, É DENOMINADA

CONTRADIÇÃO OU CONTRA-VÁLIDA. A NEGAÇÃO DEUMA TAUTOLOGIA É UMA CONTRADIÇÃO.

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p ¬p p ^ ¬ p

V F F

F V F

EXEMPLOS

p ^ ¬p É UMA CONTRADIÇÃO

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CONTINGÊNCIA

UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) CUJO VALORLÓGICO PODE SER VERDADEIRO OU FALSO, DEPENDENDO

DOS VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES(ÁTOMOS) QUE A COMPÕEM, É DENOMINADA CONTINGÊNCIA. EM OUTRAS PALAVRAS, UMA

PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLÉCULA) QUE NÃO É NEMTAUTOLOGIA, NEM CONTRADIÇÃO, É, PORTANTO,

UMA CONTINGÊNCIA.

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p q r p v q p ^ r (p v q) ^ (p ^ r)V V V V V VV V F V F FV F V V V VV F F V F FF V V V F FF V F V F FF F V F F FF F F F F F

EXEMPLOS(p v q) ^ (p ^ r) É UMA CONTINGÊNCIA

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EXERCÍCIO

SEJAM AS PROPOSIÇÕES p E q, TAL QUE:

p = “ESTÁ CALOR”q = “ESTÁ CHOVENDO”

DESCREVER AS SEGUINTES PROPOSIÇÕES ABAIXO:

a) ¬ pb) p v qc) p ^ qd) p → qe) P ↔ q

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SOLUÇÃO

a) ¬ p = “NÃO ESTÁ CALOR”b) p v q = “ESTÁ CALOR OU ESTÁ CHOVENDO”c) p ^ q = “ESTÁ CALOR E ESTÁ CHOVENDO”d) p → q = “SE ESTÁ CALOR, ENTÃO ESTÁ CHOVENDO”e) P ↔ q = “ESTÁ CALOR SE E SOMENTE SE ESTÁ CHOVENDO”

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EXERCÍCIO

SEJA p = “CARLOS É MAGRO” E q = “CARLOS É BONITO”. REPRESENTE CADA UMA

DAS SEGUINTES AFIRMAÇÕES EM FUNÇÃO DE p E q:

a) “CARLOS É MAGRO OU BONITO”b) “CARLOS É MAGRO E BONITO”

c) “SE CARLOS É MAGRO, ENTÃO É BONITO”d) “CARLOS NÃO É MAGRO, NEM BONITO”

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SOLUÇÃO

a) “CARLOS É MAGRO OU BONITO” = p v qb) “CARLOS É MAGRO E BONITO” = p ^ qc) “SE CARLOS É MAGRO, ENTÃO É BONITO” = p → qd) “CARLOS NÃO É MAGRO, NEM BONITO” = ¬ p ^ ¬ q

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EXERCÍCIO

SEJAM p E q PROPOSIÇÕES, COMPLETE A TABELAVERDADE ABAIXO:

p q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q

V V V

V F F F

F V F

F F V

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SOLUÇÃO

P q ¬p ¬q p → q q → p p ↔ q

V V F F V V V

V F F V F V F

F V V F V F F

F F V V V V V

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EXERCÍCIO

SEJAM p E q PROPOSIÇÕES, COMPLETE A TABELAVERDADE ABAIXO:

p q ¬p ¬q p v q p ^ q ¬p ^ ¬q ¬p v ¬q

V V F V V F

V F F

F V V V F

F F V V V

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SOLUÇÃO

p q ¬p ¬q p v q p ^ q ¬p ^ ¬q ¬p v ¬q

V V F F V V F F

V F F V V F F V

F V V F V F F V

F F V V F F V V

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EXERCÍCIO

DETERMINAR O VALOR VERDADE DA PROPOSIÇÃO (p ^ q) → r, SABENDO-SE QUE VAL (p) = V, VAL (q) = v E VAL (r) = F.

P q r p ^ q (p ^ q) → r

V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

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SOLUÇÃO

P q r p ^ q (p ^ q) → r

V V V V VV V F V FV F V F VV F F F VF V V F VF V F F VF F V F VF F F F V

LOGO O VAL(p ^ q) → r = F

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EXERCÍCIO

SENDO p UMA PROPOSIÇÃO VERDADEIRA E q UMA PROPOSIÇÃO FALSA, QUAL O VALOR LÓGICO DA

PROPOSIÇÃO COMPOSTA r: (p ^ ¬ q) → q ?

SOLUÇÃO:

p q ¬ q p ^ ¬ q (p ^ ¬ q) → q

V F V V F

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