AFRF Rac Lógico - aula 2.pdf

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo – Teoria e Exercíciosp/ Receita Federal do Brasil

Prof. Moraes Junior

Prof. José Jayme Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 02: Teoria e Exercícios Comentados e Resolvidos4. Trigonometria.

5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares.

1. Introdução

Tudo bem? Bom, a notícia do momento foi a publicação do edital de AnalistaTributário da Receita Federal do Brasil. Mais um concurso a caminho. E tambémhá raciocínio lógico-quantitativo (RLQ), com 10 questões e peso 2.

Na verdade, o edital de Analista Tributário, na parte de RLQ, quase não mudouem relação ao edital de Auditor-Fiscal. Portanto, se você está fazendo este curso

e também vai prestar o concurso de Analista Tributário, não se preocupe, poiseste curso engloba todo conteúdo de Analista e mais um pouco.

Seguem, abaixo, os assuntos que serão vistos aqui e que não constam doconteúdo programático de Raciocínio Lógico-Quantitativo para AnalistaTributário:

A) Solução de Sistemas Lineares;B) Combinações, Arranjos e Permutação;C) Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de Probabilidade, Amostragem,Teste de Hipóteses e Análise de Regressão; eD) Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização.

Outra coisa. Havia prometido uma aula com, no máximo, 60 páginas, mas nãoposso deixar de falar nos conceitos importantes para a prova. Portanto, nestaaula, mais uma vez, me excedi um pouco no número de páginas. Vou mecontrolar para as próximas, mas, é claro, sem prejudicar o estudo da matéria.

Vamos iniciar a aula de hoje, então, com as nossas tradicionais questõesadaptadas de Malba Tahan:

Problema 1: Um poderoso cheique de Damasco mandou chamar suas trêsfilhas e disse-lhes:

“Aqui estão 90 maçãs que vocês deverão vender no mercado. Fátima, que é amais velha, levará 50. Cunda levará 30 e Siha, a caçula, será encarregada devender 10 restantes.

Se Fátima vender as 7 maças por um dinar, as outras deverão vender, também,pelo mesmo preço, isto é, 7 por um dinar; se Fátima fizer a venda das maçãs atrês dinares cada uma, será esse o preço pelo qual Cunda e Siha deverão

vender as que levam. O negócio deve fazer-se de sorte que as três apurem,com a venda das respectivas maçãs, a mesma quantia”




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O cheique ainda informou às filhas que não é possível se desfazer de nenhumadas maçãs. É necessário vendê-las. Resolva o problema e assinale a alternativacorreta:

(a) Fátima vendeu 42 maçãs por 7 dinares e 8 maçãs por 3 dinares.(b) Cunda vendeu 30 maças por 5 dinares.(c) Siha vendeu 7 maças por 1 dinar e 3 maças por 9 dinares.(d) Fátima vendeu 35 maças por 7 dinares e 15 maças por 3 dinares.(e) Cunda vendeu 21 maças por 4 dinares e 9 maçãs por 15 dinares.

Problema 2: Um navio voltava do Sri Lanka trazendo grande quantidade deespeciarias e foi “atacado” por violenta tempestade. A embarcação teria sidodestruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três

marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extremaperícia. O comandante do navio, querendo compensar os denotados marujos,deu-lhes certo número de moedas de ouro. Esse número era superior aduzentos, mas não chegava a trezentos.

As moedas de ouro foram colocadas em uma caixa para que, no dia seguinte,por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajososmarinheiros.

Aconteceu, porém, que, durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-

se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a minha parte. Assim, nãoterei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos”. E, sem nada a dizeraos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro,dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e quesobrava uma moeda de ouro. “Por causa desta mísera moedinha é capaz dehaver amanhã discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora.” E o marinheiro atiroua moeda ao mar, retirando-se cauteloso. Levava a sua parte e deixava nomesmo lugar a que cabia aos companheiros.

Horas depois, o segundo marinheiro teve a mesma idéia. Foi à arca em que se

depositava o prêmio coletivo dividiu-o em três partes iguais. Sobrava umamoeda. Ao marujo, para evitar futuras dívidas, veio à lembrança de atirá-la aomar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com direito.

O terceiro marinheiro, ignorando por completo a antecipação dos dois colegas,teve o mesmo alvitre. Levantou-se de madrugada e foi, pé ante pé, à caixa dasmoedas de ouro. Dividiu as moedas que lá encontrou em três partes iguais; adivisão não foi exata. Sobrou uma moeda de ouro. Não querendo complicar ocaso, o marujo atirou ao mar a moedinha excedente, retirou a terça parte parasi e voltou tranqüilo para o seu leito.

No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio encontrou70 moedas de ouro na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos




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marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos marujosuma dessas partes. Ainda dessa vez, a divisão não foi exata. Sobrava umamoeda, que o almoxarife guardou para si.

É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estavaconvencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia do dinheiro.

Calcule qual era a quantidade total de moedas de ouro, quanto recebeu cadaum dos marujos e assinale a alternativa correta:

(a) O primeiro marinheiro recebeu 103 moedas de ouro.(b) O segundo marinheiro recebeu 75 moedas de ouro.(c) O terceiro marinheiro recebeu 59 moedas de ouro.

(d) O número total de moedas de ouro é 238.(e) O número total de moedas de ouro é 244.

E aí, gostou das questões de Malba Tahan? Semana que vem tem mais.==============================================ERRATA da Aula 01 – foram corrigidas as soluções dos exercícios 16 deProposições e 16 de Argumentação Lógica, que estão na sessão de dúvidasinteressantes. O arquivo da aula também está atualizado no site (atualização de10/10/2009).==============================================

Coluna “Dúvidas Interessantes”

1. Comentário de questão – Parte 1: um aluno solicitou que eu comentassea questão abaixo, resolvida na aula 01, de outra maneira.

12. (Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Um renomadoeconomista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”. Doponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizerque:

a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.

Resolução

Esta questão é um tipo clássico de questão cuja resolução se dá por proposiçõesequivalentes. Por que cheguei a esta conclusão: porque estou partindo de uma

proposição disjuntiva (ou) e todas as respostas possuem proposiçõescondicionais.




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Além disso, sei (preciso saber) que existem as seguintes proposiçõesequivalentes: p q ~p v q (proposições equivalentes)

A informação que temos no enunciado é:1. A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta.Tipo de Proposição: DisjuntivaA inflação não baixa v a taxa de juros aumenta.

Considere que:~p = A inflação não baixaq = A taxa de juros aumenta

Achando a proposição equivalente:

p = A inflação baixaq = A taxa de juros aumentaProposição Equivalente:p q => A inflação baixa A taxa de juros aumentaOu seja: Se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.

GABARITO: D

2. Comentário de questão - Parte 2: um aluno fez uma outra solução para aquestão 16 de proposições que, inicialmente, achei que seria mais simples.

Contudo, depois, ele mesmo viu que havia um equívoco. Analisei a solução e,mais uma vez, prefiro adotar o procedimento das proposições equivalentes, poissei que irá funcionar em todas as questões. Vou resolver novamente a questão,para não restar dúvidas, explicando melhor alguns pontos (já atualizei a aula 01no site com a resolução abaixo).

16. (Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2008-Esaf) Se X > Y,então Z > Y; se X < Y, então Z > Y ou W > Y; se W < Y, então Z < Y; se W > Y,então X > Y. Com essas informações pode-se, com certeza, afirmar que:

a) X > Y; Z > Y; W > Yb) X < Y; Z < Y; W < Yc) X > Y; Z < Y; W < Yd) X < Y; W < Y; Z > Ye) X > Y; W < Y; Z > Y

Resolução

1. Se X > Y, então Z > Y.Tipo de Proposição: Condicional

p q ~q ~p




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p: X > Yq: Z > Yp q => X > Y Z > Y

~p: X ≤ Y~q: Z ≤ YProposição Equivalente:~q ~p => Z ≤ Y X ≤ Y

2. Se X < Y, então Z > Y ou W > Y.Tipo de Proposição: Condicional

p: X < Yq: Z > Y v W > Yp q => X < Y (Z > Y v W > Y)

~p: X ≥ Y~q: Z ≤ Y ^ W ≤ YProposição Equivalente:~q ~p => (Z ≤ Y ^ W ≤ Y) X ≥ Y

3. Se W < Y, então Z < Y.Tipo de Proposição: Condicional

p: W < Yq: Z < Yp q => W < Y Z < Y

~p: W ≥ Y

~q: Z ≥ YProposição Equivalente:~q ~p => Z ≥ Y W ≥ Y

4. Se W > Y, então X > Y.Tipo de Proposição: Condicional

p: W > Y

q: X > Yp q => W > Y X > Y

p q ~q ~p

p q ~q ~p

p q ~q ~p




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~p: W ≤ Y~q: X ≤ YProposição Equivalente:~q ~p => X ≤ Y W ≤ Y

Conclusões:1) X > Y Z > Y2) Z ≤ Y X ≤ Y (equivalente de “1”)3) X < Y (Z > Y v W > Y)4) (Z ≤ Y ^ W ≤ Y) X ≥ Y (equivalente de “3”)5) W < Y Z < Y6) Z ≥ Y W ≥ Y (equivalente de “5”)7) W > Y X > Y

8) X ≤ Y W ≤ Y (equivalente de “7”)

A questão, diferentemente das outras resolvidas até agora, não forneceunenhuma informação extra. Portanto, vamos analisar as alternativas, partindo-se da premissa dada no enunciado: “Com essas informações pode-se, comcerteza, afirmar que”

a) X > Y; Z > Y; W > YHipótese: W > Y (V)

De acordo com a conclusão 7: W > Y X > Y.Logo, pode-se concluir que X > Y (V).

De acordo com a conclusão 1: X > Y Z > YLogo, pode-se concluir que Z > Y (V).

De acordo com a conclusão 6: Z ≥ Y W ≥ YLogo, pode-se concluir que W > Y (V), que está de acordo com anossa hipótese.

A alternativa está CORRETA.

b) X < Y; Z < Y; W < YHipótese: W < Y (V)

De acordo com a conclusão 5: W < Y Z < YLogo, pode-se concluir que Z < Y (V).

De acordo com a conclusão 2: Z ≤ Y X ≤ YLogo, pode-se concluir que X < Y (V).

Contudo, de acordo com a conclusão 4: (Z ≤ Y ^ W ≤ Y) X ≥ Y




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Logo, pode-se concluir que X > Y (V), o que está em desacordo com aalternativa.A alternativa está INCORRETA.

c) X > Y; Z < Y; W < YHipótese: W < Y (V)

De acordo com a conclusão 5: W < Y Z < YLogo, pode-se concluir que Z < Y (V).

De acordo com a conclusão 2: Z ≤ Y X ≤ YLogo, pode-se concluir que X < Y (V), o que está em desacordo com aalternativa.

A alternativa está INCORRETA.

d) X < Y; W < Y; Z > YHipótese: Z > Y (V)

De acordo com a conclusão 6: Z ≥ Y W ≥ YLogo, pode-se concluir que W > Y (V), o que está em desacordo coma alternativa.A alternativa está INCORRETA.

e) X > Y; W < Y; Z > YHipótese: Z > Y (V)

De acordo com a conclusão 6: Z ≥ Y W ≥ YLogo, pode-se concluir que W > Y (V), o que está em desacordo coma alternativa.A alternativa está INCORRETA.

GABARITO: A

3. Comentário de questão - Parte 3: quando resolvi a questão 16 de lógicade argumentação havia entendido, erradamente, que o enunciado pedia onúmero de alunos matriculados em dois cursos. Na verdade, a questão pede onúmero de matriculados em mais de um curso. Já havia feito a correção daaula, mas vou resolver novamente a questão aqui para que não fiquemos comdúvidas.

16. (AFC-CGU-2006-Esaf) Uma escola de idiomas oferece apenas trêscursos: um curso de Alemão, um curso de Francês e um curso de Inglês. Aescola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos

desejar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso deAlemão, 30% no curso de Francês e 40% no de Inglês. Sabendo-se que 5% dos




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alunos estão matriculados em todos os três cursos, o número de alunosmatriculados em mais de um curso é igual a

a) 30b) 10c) 15d) 5e) 20

Resolução

Total de alunos = 200

Curso de Alemão = 50% x 200 100Curso de Francês = 30% x 200 60Curso de Inglês = 40% x 200 80Número Total de Matrículas 240

Alunos matriculados nos três cursos = 5% x 200 = 10

Do diagrama, temos:p + q + r + x + y + z + 10 = 200 => p + q + r = 190 – (x + y + z) (I)

Curso de Alemão = 100 = r + x + y + 10 => r + x + y = 90Curso de Francês = 60 = q + z + y + 10 => q + z + y = 50Curso de Inglês = 80 = p + x + z + 10 => p + x + z = 70Somando os três: p + q + r + 2 (x + y + z) = 210 (II)

Substituindo (I) em (II), teríamos:

190 – (x + y + z) + 2 (x + y + z) = 210 => x + y + z = 20 (número de alunosmatriculados em dois cursos simultaneamente)

Inglês Francês

Alemão

10

x y

z

r

p q




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Número de alunos matriculados em mais de um curso:Número de alunos matriculados em dois cursos 20Número de alunos matriculados em três cursos 10Número de alunos matriculados em mais de um curso 30

GABARITO: A

4. Resolução de Questão: foi solicitada, no f órum de dúvidas, a resolução daseguinte questão:

(AFC-STN-2002-Esaf) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. SeIara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. SeDébora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e

somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco nãofala francês e Ching não fala chinês. Logo,

a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.

Resolução

1. Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.Tipo de Proposição: Condicional

p = Iara não fala italianoq = Ana fala alemãop q => Iara não fala italiano Ana fala alemão

~p = Iara fala italiano~q = Ana não fala alemão.Proposição Equivalente:~q ~p => Ana não fala alemão Iara fala italiano

2. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora faladinamarquês.Tipo de Proposição: Condicional

p = Iara fala italiano

p q ~q ~p

p q ~q ~p




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q = r v s = ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês (disjunçãoexclusiva)

p q => Iara fala italiano ou Ching fala chinês ou Débora faladinamarquês

~p = Iara não fala italiano

Relembrando (negação da disjunção exclusiva):Proposição Negação

r v s r↔ s~q = ~(r v s) = Ching fala chinês se e somente se Débora fala dinamarquês

Proposição Equivalente:~q ~p => (Ching fala chinês se e somente se Débora faladinamarquês) Iara não fala italiano

3. Se Débora fala dinamarquês, (então) Elton fala espanhol.Tipo de Proposição: Condicional

p = Débora fala dinamarquêsq = Elton fala espanholp q => Débora fala dinamarquês Elton fala espanhol

~p = Débora não fala dinamarquês~q = Elton não fala espanhol.Proposição Equivalente:~q ~p => Elton não fala espanhol Débora não fala dinamarquês

4. Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisconão fala francês

É o mesmo que dizer:Elton fala espanhol se e somente se for mentira que Francisco não falaFrancês.

Ou ainda:Elton fala espanhol se e somente se Francisco fala Francês.

5. Informação para resolver a questão: Francisco não fala francês eChing não fala chinês.

De acordo com o item 4:Elton fala espanhol se e somente se Francisco fala Francês.

p q ~q ~p




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Logo, como “Francisco não francês” pode-se concluir que Elton não falaespanhol.

De acordo com o item 3:Elton não fala espanhol Débora não fala dinamarquês Logo, pode-se concluir que Débora não fala dinamarquês.

De acordo com o item 2:Ching fala chinês se e somente se Débora fala dinamarquês Iara nãofala italiano.

No antecedente da proposição condicional, temos uma proposição bicondicional:Ching fala chinês se e somente se Débora fala dinamarquês.

Tabela verdade da bicondicional:

p q p↔ qV V VV F FF V FF F V

No caso concreto da questão, estamos na linha 4:Ching fala chinês (F) se e somente se Débora fala dinamarquês (F) => logo, abicondicional é verdadeira e, conseqüentemente:

[Ching fala chinês (F) se e somente se Débora fala dinamarquês (F)](V) Iara não fala italiano.Logo, pode-se concluir que Iara não fala italiano.

De acordo com o item 1:Iara não fala italiano Ana fala alemão Logo, pode-se concluir que Ana fala alemão.

Conclusões:1. Francisco não fala francês.2. Ching não fala chinês.3. Elton não fala espanhol.4. Débora não fala dinamarquês.5. Iara não fala italiano.6. Ana fala alemão.

Vamos analisar as alternativas:

a) Iara não fala italiano (V) e Débora não fala dinamarquês (V) = (V).(V) ^ (V) = (V). A alternativa está CORRETA.




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b) Ching não fala chinês (V) e Débora fala dinamarquês (F).

(V) ^ (F) = (F). A alternativa está INCORRETA.

c) Francisco não fala francês (V) e Elton fala espanhol (F).(V) ^ (F) = (F). A alternativa está INCORRETA.

d) Ana não fala alemão (F) ou Iara fala italiano (F).(F) v (F) = (F). A alternativa está INCORRETA.

e) Ana fala alemão (V) e Débora fala dinamarquês (F).(V) ^ (F) = (F). A alternativa está INCORRETA.

GABARITO: A

5. Curiosidades matemáticas: para descontrair um pouco.1 x 8 + 1 = 912 x 8 + 2 = 98123 x 8 + 3 = 9871234 x 8 + 4 = 987612345 x 8 + 5 = 987 65123456 x 8 + 6 = 9876541234567 x 8 + 7 = 9876543

12345678 x 8 + 8 = 98765432123456789 x 8 + 9 = 987654321

6. Diagramas Lógicos: uma aluna solicitou que eu disponibilizasse maisquestões de diagramas lógicos. Vou colocar mais uma por aula, para quepossamos treinar mais.

(Inédita) A ASBAC (Associação dos Servidores do Banco Central), tradicionalclube de Brasília, possui 60 crianças associadas, das quais 40 gostam defutebol, 30 gostam de tênis e 20 gostam de voleibol. Dentre as crianças que

gostam de futebol, 10 não gostam de nenhum outro esporte, 3 gostam dos trêsesportes e 14 gostam também de tênis, mas não gostam de voleibol. Sabendo-se que há apenas 1 criança que gosta de tênis e voleibol, mas não gosta defutebol, assinale que indica quantas crianças não gostam de nenhum dos trêsesportes:

a) zerob) 1c) 2d) 3

e) 4




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Resolução

A partir do enunciado, obtemos o seguinte diagrama lógico:

t => crianças que não gostam de nenhum dos três esportes

Total = 60 = x + y + z + 10 + 14 + 3 + 1 + t =28 + x + y + z + t

Futebol = 40 = 10 + 14 + 3 + x => x = 40 – 27 = 13Tênis = 30 = 14 + 3 + 1 + y => y = 30 – 18 = 12Voleibol = 20 = x + z + 3 + 1 = 13 + z + 3 + 1 => z = 20 – 17 = 3

Total = 28 + x + y + z + t = 60 => 28 + 13 + 12 + 3 + t = 60 => t = 60 – 56 => t (crianças que não gostam de nenhum dos esportes) = 4

GABARITO: E

Ufa! Terminamos a sessão de dúvidas que, na primeira aula, já começoumovimentada. Foram 13 páginas até aqui. Vamos a parte principal da aula dehoje? Então se prepare para a trigonometria, matrizes, determinantes esistemas lineares.==============================================

Futebol Tênis

Voleibol

1014

31x

y

z

t




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4. Trigonometria

4.1. Conceitos IniciaisÂngulo: é a reunião de duas semi-retas de mesma origem, mas não contidasna mesma reta.

Exemplo:

Lados do ângulo: OA e OB.Vértice do ângulo: OÂngulo: Ô ou AÔB ou BÔA ou βUnidade de Medida: º (graus) ou radianos (rd)

Ângulos Suplementares: dois ângulos são suplementares quando a soma desuas medidas é 180º.

Exemplo: β + θ = 180º

Ângulo Reto: ângulo cuja medida é igual a 90º.

Exemplo: β = 90º

Ângulo Agudo: ângulo cuja medida é menor que 90º.

Exemplo: β < 90º

B

A

O

B

A

O

θ




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Ângulo Obtuso: ângulo cuja medida é maior que 90º e menor que 180º.Exemplo: 90º < β < 180º

Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares quando a somade suas medidas é 90º.Exemplo: β + θ = 90º

Triângulo: a reunião de três segmentos de reta não colineares forma umtriângulo.Exemplo: Triângulo ABC

Vértices: A, B e CLados: AB, BC e CAÂngulos: δ, β e θ => δ + β + θ = 180º

Triângulo Retângulo: é um triângulo em que um dos ângulos internos é reto(= 90º).Exemplo: δ = 90º

c

b

a θ

θ

C B

A

θ

δ

δ




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Considerando o ângulo β, teríamos:

a = Hipotenusab = Cateto opostoc = Cateto adjacente

4.2. Razões Trigonométricas em um Triângulo Retângulo

Seno = sen; Cosseno = cos; Tangente = tg; Cotangente = cotg

Considerando o triângulo retângulo do item anterior:

Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 (I)

Dividindo (I) por a2 => 1 = b2 /a2 + c2 /a2 = (b/a)2 + (c/a)2 => 1= (seno β)2 + (cosseno β)2 =>

(seno β)2 + (cosseno β)2 = 1 (II) => IMPORTANTE!

cos

CatetoOposto bsen Hipotenusa a

CatetoAdjacente c

Hipotenusa a

β

β

= =

= =

cos

cot

coscot

1

cot

CatetoOposto btg

CatetoAdjacente c

bsen batg

c ca

CatetoAdjacente cg

CatetoOposto b

ccag

bsen ba

tg

g

β

β β

β

β

β β

β

β

β

= =

= = =

= =

= = =

=




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Outras relações:

I – Relação entre cosseno e tangente:

Dividindo (II) por (cosseno β)2, temos:

(seno β)2 /(cosseno β)2 + 1 = 1/(cosseno β)2 => (tangente β)2 + 1 = 1/(cosseno β)2 => (cosseno β)2 = 1/[(tangente β)2 + 1] (III)

II – Relação entre seno e tangente:

Dividindo (II) por (seno β)2, temos:

1 + (cosseno β)2 /(seno β)2 = 1/(seno β)2 => 1 + 1/(tangente β)2 = 1/(seno β)2 => [(tangente β)2 + 1]/ /(tangente β)2 = 1/(seno β)2 => (seno β)2 = (tangente β)2 /[(tangente β)2 + 1] (IV)

Como β + θ = 90º (β e θ são complementares), temos as seguintes relações:

cos

cos

1

cot co t 1

cot

1

t

bsen

ac

sena

b ctg tg

c b

c bg g b ctg g

tgg

β θ

β θ

β θ

β θ

β θ

β θ

= =

= =

× = × =

× = × ==

=

c

b

a θ

δ




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4.3. Razões Trigonométricas Especiais

Partindo do ângulo para achar o valor:Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360ºSeno 0 1

2 2

2

3

2

1 0 -1 0

Cosseno 1 3

2

2

2

1

2 0 -1 0 1

Tangente 0 3

3

1 3 ∞ 0 -∞ 0

Cotangente ∞ 3 1 3

3

0 -∞ 0 ∞

∞ = infinito

Partindo do valor para achar o ângulo:Ângulo 0 1

2 2

2

3

2

1

Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90ºArco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º

Exemplos:Arco Seno 0 = 0ºArco Seno (1/2) = 30ºArco Cosseno (1) = 0º

Ângulo 3

3

1 3

Arco Tangente 30º 45º 60ºArco Cotangente 60º 45º 30ºLimites:-1 ≤ seno x ≤ 1

-1 ≤ cosseno x ≤ 1-∞ ≤ tangente x ≤ +∞-∞ ≤ cotangente x ≤ +∞

Reações de pi (π ) => radianos para graus.180º

90º2

60º3

30º6

π

π

π

π

=

=

=

=




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Ciclo Trigonométrico:

OA => eixo dos cossenos (sentido positivo => O -> A)OB => eixo dos senos (sentido positivo => O -> B)C => eixo das tangentes (sentido positivo => o mesmo do eixo dos senos)D => eixo das cotangentes (sentido positivo => o mesmo do eixo doscossenos)

Cosseno P = OP1

Seno P = OP2

Se definirmos sen α, cos α, tg α e cotg α no ciclo trigonométrico: α está nointervalo de 0 a 2π radianos. Ou seja:

0 = 2π = 4π = 6π = 2nπ π /2 = 2π + π /2 = 4π + π /2 = 6π + π /2 = 2nπ + π /2π = 3π = 5π = 2nπ + π 3π /2 = 2π + 3π /2 = 4π + 3π /2 = 6π + 3π /2 = 2nπ + 3π /2

Quadrantes:

Primeiro Quadrante: de 0 a π /2Segundo Quadrante: de π /2 a π Terceiro Quadrante: de π a 3π /2Quarto Quadrante: de 3π /2 a 2π

Quadrante Seno x Cosseno x Tangente x Cotangente x1 positivo positivo positiva positiva2 positivo negativo negativa negativa3 negativo negativo positiva positiva

4 negativo positivo negativa negativa

C

π /2

π

3π /2

P

P1O

P2

A

B

D




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Exemplos:

senα = 0 => α = 0, π, 2π, 3π, ... = nπ, n inteiro qualquersenα = 1 => α = π /2, 2π + π /2, ... = nπ + π /2, n inteiro qualquersenα = -1 => α = 3π /2, 2π + 3π /2, ... = nπ + 3π /2, n inteiro qualquer

cos α = 0 => α = π /2, 3π /2, 5π /2,... = nπ + π /2, n inteiro qualquercos α = 1 => α = 0, 2π, 4π, 6π, ... = 2nπ, n inteiro qualquercos α = -1 => α = π, 3π, 5π, ... = 2nπ + π, n inteiro qualquer

Tabela de valores:

X Seno x Cosseno X

0 = 0º 0 1

ππππ/6 = 30º 1

2 3

2

ππππ/3 = 60º 3

2

1

2

ππππ/2 = 90º 1 0

2ππππ/3 = 120º 3

2

1

2−

5ππππ/6 = 150º 1

2

3

2

−

ππππ = 180º 0 -1

7ππππ/6 = 210º 1

2−

3

2

−

4ππππ/3 = 240º 3

2

−

1

2−

3ππππ/2 = 270º -1 0

5ππππ/3 = 300º 3

2

−

1

2

11ππππ/6 = 330º 1

2− 3

2

2ππππ = 360º 0 1




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4.4. Transformações

Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen bComo ficaria o cos (a + a)?cos (a + a) = cos 2a = cos a . cos a – sen a . sen a = cos2 a – sen2 a (I)Como sen2 a + cos2 a = 1 => sen2 a = 1 – cos2 a (II)

Substituindo (II) em (I):cos 2a = cos2 a – (1 – cos2 a) = 2 . cos2 a – 1ouComo sen2 a + cos2 a = 1 => cos2 a = 1 – sen2 a (III)Substituindo (III) em (I):cos 2a = 1 – sen2 a – sen2 a = 1 – 2 . sen2 a

Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b

Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos aComo ficaria o sen (a + a)?sen (a + a) = sen 2a = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 . sen a . cos a

Seno da diferença: sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a

Curiosidade: A fórmula do seno da soma me faz lembrar um professor meu do

antigo “segundo grau” (é, estou ficando velho), que dizia (para memorizar afórmula):

“Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, seno a cosseno b, senob cosseno a”. E aí, sentiu a sonoridade? Risos.

Tangente da soma: tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a . tg b)

Como ficaria a tg (a + a)?tg (a + a) = tg 2a = (tg a + tg a)/(1 – tg a . tg a)

tg 2a = 2 . tg a/(1 – tg2 a)

Tangente da diferença: tg (a - b) = (tg a - tg b)/(1 + tg a . tg b)

Essas são pouco prováveis de serem cobradas, mas, por via das dúvidas:Cotangente da soma:cotg (a + b) = (cotg a . cotg b - 1)/(cotg a + cotg b)

Cotangente da diferença:

cotg (a - b)=(cotg a . cotg b + 1)/(cotg b - cotg a)




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5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares.

5.1. Matrizes5.1.1. Introdução

Uma matriz representa um conjunto de elementos representados em linhas ecolunas. Cada elemento da matriz está associado a uma posição, que éidentificada da seguinte forma:

m = número de linhas da matrizn = número de colunas da matriz

a = elemento da matriza11 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 1.a12 = representa o elemento localizado linha 1 e na coluna 2......axy = representa o elemento localizado linha x e na coluna y.

Ordem de uma matriz: representa a quantidade de linhas e colunas da matriz.Uma matriz de m linhas e de n de colunas é uma matriz de ordem m x n.

Exemplos:

a11 a12 a13 ... a1n

a21 a22 a23 ... a2n

a31 a32 a33 ... a3n

... ... ... ... ...am1 am2 am3 ... amn

= Matriz m x n (m linhas e n colunas)




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1 2

6 13

34 2

7

0 2 3

16 8

5

0 4 1

2

3

7

11

−

−

−

−

Podemos, também, identificar uma matriz por sua notação explícita ou por suanotação condensada.

3 5 1

1 2 7

1 4 9

A

−

= − − => notação explícita

1 2 3

2 2 3

3 3 3

A

= => notação explícita

Exemplo de notação condensada (supondo a matriz acima):

A =(aij )3x3 , onde aij = i, se i ≥ j j, se i < j

5.1.2. Matrizes Especiais

Matriz Linha: é toda matriz do tipo 1 x n, ou seja, é toda matriz que possuiuma única linha.

Matriz Coluna: é toda matriz do tipo m x 1, ou seja, é toda matriz que possuiuma única coluna.

= Matriz 2 x 2 (2 linhas e 2 colunas)

= Matriz 3 x 3 (3 linhas e 3 colunas)

= Matriz 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)= Matriz 1 x 1 (1 linha e 1 coluna)

= Matriz 3 x 1 (3 linhas e 1 coluna)




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Matriz Nula: é toda matriz em que todos os elementos são iguais a zero.

Exemplos: 0 5 4 3 A = − => matriz linha

2

3 A

=−

=> matriz coluna

0 0 0

0 0 0

0 0 0

A

= => matriz nula

Matriz Quadrada de ordem n: é toda matriz do tipo n x n, ou seja, o númerode linhas da matriz é igual ao número de colunas.Exemplos:

7

2 1 4

11 3 5

13 8

A

= −

−

=> matriz quadrada de ordem 3

a11 a12 a13 ... a1n

a21 a22 a23 ... a2n

a31 a32 a33 ... a3n

... ... ... ... ...an1 an2 an3 ... ann

Diagonal Principal: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada deordem n que possui dois índices iguais.

Na matriz n x n acima: Diagonal Principal = {a11, a22, a33, ...., ann}

Diagonal Secundária: é o conjunto de elementos de uma matriz quadrada deordem n cuja soma dos índices é igual a (n + 1).

Na matriz n x n acima: Diagonal Secundária = {a1n, a2(n-1), a3(n-2), ...., an1}

= matriz quadrada de ordem n(n linhas e n colunas)




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Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada em que os elementos que nãopertencem à diagonal principal são iguais a zero.

Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (In): é toda matrizdiagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

Exemplos:

2 0 0

0 3 0

0 0 8

A

= => matriz diagonal

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A

= => matriz unidade ou identidade (I3)

Matriz Triangular Superior: é toda matriz em que todos os elementos acimada diagonal principal são iguais a zero.

Matriz Triangular Inferior: é toda matriz em que todos os elementos abaixoda diagonal principal são iguais a zero.

Exemplos:

1 0 0

3 1 0

2 5 1

A

= => matriz triangular superior

Exemplos:

7

2 1 4

11 3 5

13 8

A

= −

−

=> matriz quadrada de ordem 3

Diagonal Secundária = {4,3,7}

Diagonal Principal = {2,3,8}




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1 5 3

0 2 7

0 0 3

A

= => matriz triangular inferior

Nota: Se uma matriz for triangular superior e triangular inferior, ela será umamatriz diagonal.

Matriz Escalar: é uma matriz diagonal onde todos os elementos são iguais.

Exemplo:

2 0 0

0 2 0

0 0 2

A

= => matriz escalar

5.1.3. Igualdade

Duas matrizes A = (aij )mxn e B = (bij )mxn são iguais quando aij = bij qualquer queseja i = {1, 2, 3, ..., m} e j = {1, 2, 3, ..., n}. Ou seja, duas matrizes serãoiguais quando forem de mesma ordem e os elementos de posiçõescorrespondentes forem iguais.

Exemplo:

1 2 0 1 2 0

3 4 1 3 4 1

5 7 3 5 7 3

A B

− −

= − = = −

− −

a11 = b11 = 1; a12 = b12 = -2; a13 = b13 = 0;a21 = b21 = 3; a22 = b22 = 4; a23 = b23 = -1;a31 = b31 = 5; a32 = b32 = 7; a33 = b33 = -3;

A igualdade de matrizes costuma ser cobrada em prova da seguinte maneira:

Exemplo: Determine x e y de forma que a igualdade das matrizes abaixo sejaverdadeira:

1 4 1

4 4 2

x y

x y

+=

−




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Como as matrizes são iguais, temos:x + y = 4 => x = 4 – y (I)x – y = 2 (II)

Substituindo (I) em (II), temos: 4 – y – y = 2 => 2y = 2 => y = 1 (III)

Substituindo (III) em (I): x = 4 – y = 4 – 1 => x = 3

5.1.4. Adição

Dadas duas matrizes A = (aij )mxn e B = (bij )mxn , a soma A + B será uma matriz C = (c ij )mxn, tal que c ij = aij + bij , para todo i = {1, 2, 3, ..., m} e j = {1, 2, 3, ...,n}. Ou seja, a soma de duas matrizes A e B de ordem m x n será uma matriz C de mesma ordem em que cada elemento será a soma dos elementoscorrespondentes das matrizes A e B.

Exemplo: 1 2 2 0 1 2 2 0 3 2

3 4 4 5 3 4 4 5 7 9

+ ++ = =

+ +

1 4 1 4 3

2 3 2 3 5

3 1 3 1 2

− − −

+ = + =

− −

Nota: Só é possível somar matrizes de mesmo número de linhas emesmo número de colunas.

Propriedades da adição de matrizes m x n:I. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)

II. Comutativa: A + B = B + AIII. Elemento neutro: A + Matriz Nula = AIV. Elemento simétrico: A – A = Matriz Nula

Matriz Oposta: Dada a matriz A = (aij )mxn, denomina-se oposta de A (-A) amatriz B = (bij )mxn , tal que A + B = 0.Exemplo:

1 2 1 2

4 3 4 3 A A

− −= ⇒ − =

− −




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5.1.5. Produto de Número por Matriz

Dados um número k e uma matriz A = (aij )mxn , o produto kA será uma matriz B= (bij )mxn, tal que bij = k bij , qualquer que seja i = {1, 2, 3, ..., m} e j = {1, 2,3, ..., n}. Ou seja, a multiplicação de uma matriz A de ordem m x n por umnúmero k será uma matriz B formada pelos elementos de A, todos multiplicadospor k .

Exemplo:

1 2 1 4 2 4 4 84

4 3 4 4 3 4 16 12 A B

− × − × −= × ⇒ = =

× ×

Propriedades do produto de um número por uma matriz m x n (k e p sãonúmeros reais):

I. Associativa: k x (p x B) = (kp) x BII. Distributiva em relação à adição: k x (A + B) = k x A + k x BIII. Dist. em relação à adição de números: (k + p) x A = k x A + p x AIV. Elemento neutro: 1 x A = A

5.1.6. Produto de Matrizes

Dadas duas matrizes A = (aij )mxn e B = (b jk )nxp , o produto AB será uma matriz C= (c ij )mxp, tal que

c ik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k +....+ ain . bnk

para todo i = {1, 2, 3, ..., m} e k = {1, 2, 3, ..., p}.

Observações:1) O produto AB só irá existir se e somente se o número de colunas de A forigual ao número de linhas de B. Ou seja, A terá que ser da ordem m x n e B daordem n x p.

2) A matriz C , originada do produto AB, será uma matriz da ordem m x p (mesmo número de linhas da matriz A e mesmo número de colunas da matrizB).

3) O elemento c ik da matriz C = AB será obtido de acordo com o seguinteprocedimento:

(I) Toma-se a linha i da matriz A: ai1; ai2; ai3; ....; ain (n elementos)




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(II) Toma-se a coluna k da matriz B: b1k b2k b3k ....bnk (n elementos)

(III) Coloca-se a linha i da matriz A na “vertical”, ao lado da coluna k da matrizB:ai1 b1k ai2 b2k ai3 b3k .... ....ain bnk (n elementos)

(IV) Calculam-se os n produtos dos elementos que ficaram lado a lado:ai1 x b1k ai2 x b2k ai3 x b3k .... ....ain x bnk

(V) Somam-se esses n produtos, obtendo c ik:

c ik = ai1 . b1k + ai2 . b2k + ai3 . b3k +....+ ain . bnk

Exemplos:

1)0 1

2 3

1 2

3 4

A

B

=

=

Calcular AB.

I) Primeira linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “B”:0 x 1 = 01 x 3 = 3c 11 = a11 . b11 + a12 . b21 = 0 x 1 + 1 x 3 = 3

II) Primeira linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “B”:0 x 2 = 01 x 4 = 4

c 12 = a11 . b12 + a12 . b22 = 0 x 2 + 1 x 4 = 4




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III) Segunda linha de “A” (na vertical) x Primeira coluna de “B”:2 x 1 = 23 x 3 = 9c 21 = a21 . b11 + a22 . b21 = 2 x 1 + 3 x 3 = 11

IV) Segunda linha de “A” (na vertical) x Segunda coluna de “B”:2 x 2 = 43 x 4 = 12c 22 = a21 . b12 + a22 . b22 = 2 x 2 + 3 x 4 = 16

3 4

11 16 AB C

= =

2)0 1

2 3

1 2

3 4

A

B

=

=

Calcular BA.

I) Primeira linha de “B” (na vertical) x Primeira coluna de “A”:1 x 0 = 02 x 2 = 3c 11 = b11 . a11 + b12 . a21 = 1 x 0 + 2 x 2 = 4

II) Primeira linha de “B” (na vertical) x Segunda coluna de “A”:1 x 1 = 12 x 3 = 6c 12 = b11 . a12 + b12 . a22 = 1 x 1 + 2 x 3 = 7

III) Segunda linha de “B” (na vertical) x Primeira coluna de “A”:3 x 0 = 04 x 2 = 8c 21 = b21 . a11 + b22 . a21 = 3 x 0 + 4 x 2 = 8

IV) Segunda linha de “B” (na vertical) x Segunda coluna de “A”:3 x 1 = 34 x 3 = 12c 22 = b21 . a12 + b22 . a22 = 3 x 1 + 4 x 3 = 15




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4 7

8 15 BA C

= =

Portanto, percebe-se que AB é diferente de BA.

ATENÇÃO!!! A multiplicação de matrizes não possui a propriedadecomutativa.

Propriedades da multiplicação de matrizes:I. Associativa: (A . B) . C = A . (B . C)

II. Distributiva em relação à adição (à esquerda):

A . (B + C) = A . B + A . C

III. Distributiva em relação à adição (à direita):(A + B) . C = A . C + B . C

IV. Elemento neutro: A . In = A, onde In é a matriz identidade de ordem n.Logo, A . A-1 = I n (A-1 é a matriz inversa de A, e será vista adiante).

V. (k A) . B = A . (k B) = k . (AB)

VI. Quando A . B = 0, não implica, necessariamente, que A = 0 ou B = 0.

5.1.7. Matriz Transposta

Uma matriz B = (b ji )nxm é transposta de uma matriz A = (aij )mxn , se aij = b ji ,qualquer que seja i = {1, 2, 3, ..., m} e j = {1, 2, 3, ..., n}. Repare que amatriz B possui n linhas e m colunas, enquanto a que a matriz A possui m linhase n colunas.

Ou seja, matriz transposta B (representada At ) representa a inversão dos

elementos de A. O que era linha passa a ser coluna e o que era coluna passa aser linha.

Exemplos:

1 2 1 4

4 3 2 3

1 4 2 1 3 1

3 8 7 4 8 6

1 6 5 2 7 5

t A A

t A A

−= ⇒ =

−

−

= => =

−




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a11 = at11 = 1; a12 = at

21 = 4; a13 = at31 = 2

a21 = at12 = 3; a22 = at

22 = 8; a23 = at32 = 7

a31 = at13 = -1; a32 = at

23 = 6; a33 = at33 = 5

Propriedades (k é um número real):

I. (At)t = AII. (A + B)t = At + Bt III. (k A)t = k . At IV. (AB)t = Bt . At

Matriz Simétrica: Se a transposta At da matriz A for igual a própria matriz A,então At é uma matriz simétrica de A (só ocorre se a matriz A for quadrada).

Exemplo:

1 2 1 2

2 3 2 3

t A A

− −= ⇒ =

− −=> matrizes simétricas

Matriz Anti-Simétrica: corresponde a toda matriz quadrada A, de ordem n, talque At = - A, ou seja, os elementos simetricamente dispostos em relação àdiagonal principal são opostos.

Exemplo:

0 1 0 1

1 0 1 0

t A A

⇒

−= =

−=> At = - A => anti-simétrica

5.1.8. Matriz Inversível

Uma matriz quadrada A, de ordem n, será inversível se existir uma matriz B tal

que: AB = BA = I n (matriz identidade).Esta matriz B também é quadrada, de ordem n, é única e é conhecida comomatriz inversa, sendo representada por A-1.

Caso a matriz quadrada A não tenha matriz inversível, ela é denominada matrizsingular.

Exemplo: Qual é a matriz inversa da matriz abaixo?




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2

1

3 7

5 11

:

3 7 1 0

5 11 0 1

1 03 5 7 11

0 13 5 7 11

A

Solução

a b A A I

c d

a b a b

c d c d

− ⇒

=

× = = ⇒

+ +⇒ =

+ +

3a + 5b = 1 (I)

7a + 11b = 0 => a = -11b/7 (II)Substituindo (II) em (I): 3. (-11b/7) + 5b = 1 => (-33 + 35)b = 7 => b = 7/2 (III)

Substituindo (III) em (II): a = -11 x (7/2)/7 = - 11/2

3c + 5d = 0 => c = -5d/3 (IV)7c + 11d = 1 (V)

Substituindo (IV) em (V): 7 x (-5d/3) + 11d = 1 => (-35 + 33)d = 3 => d = -3/2 (VI)

Substituindo (VI) em (IV): c = -5 x (-3/2)/3 = 5/2

1

11 7

2 2

5 3

2 2

A

−

−

=−

5.2. Determinantes

5.2.1. Definições e Propriedades

Para obter o determinante de uma matriz quadrada A (det A), de ordem n (n ≤3), devemos adotar o seguinte procedimento:

1) n = 1. Nesta situação, o determinante de A é o único elemento de A.

A = [a11] => det A = a11




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Exemplo: A = [23] => det A = 23

2) n = 2. Nesta situação, o determinante de A será o produto dos elementos dadiagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

11 12

21 22

a a A

a a

= => det A = a11 . a22 - a12 . a21

Exemplo:3 1

det 3 2 4 ( 1) 104 2

cosdet cos .cos . cos( )

cos

A A

x senx B B x y senx seny x y

seny y

−

= ⇒ = × − × − =

= ⇒ = − = +

3) n = 3. Nesta situação, temos:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 - a13 . a22 . a31 –- a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33

Para memorizar esta fórmula, vamos adotar o seguinte procedimento, tambémconhecido como Regra de Sarrus para o cálculo de determinantes de ordem 3:

a) Repete-se, ao lado da matriz, as duas primeiras colunas

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 3231 32 33

a a a a a

A a a a a a

a aa a a

=

b) Os termos precedidos do sinal “+” são obtidos multiplicando-se os elementossegundo as flechas situadas na direção da diagonal principal:a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32

+-

+–




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c) Os termos precedidos do sinal “-” são obtidos multiplicando-se os elementossegundo as flechas situadas na direção da diagonal secundária:- a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 - a12 . a21 . a33

Exemplo:

1 3 4

5 2 3

1 4 2

A

= −

1 3 4 1 3

det 5 2 3 5 2 1 2 2 3 ( 3) 1 4 5 4 4 2 1 1 ( 3) 4 3 5 2

1 4 2 1 4

det 4 9 80 8 12 30 49

A x x x x x x x x x x x x

A

= − = + − + − − − −

= − + − + − =

Outra forma de memorizar: I) Os termos precedidos pelo sinal “+” são obtidos multiplicando-se oselementos de acordo com os caminhos indicados abaixo:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

II) Os termos precedidos pelo sinal “-” são obtidos multiplicando-se os

elementos de acordo com os caminhos indicados abaixo:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

=

a11 x a22 x a33

a12 x a23 x a31

a13 x a21 x a32

a13 x a22 x a31

a11 x a32 x a23

a12 x a21 x a33




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Propriedades dos determinantes (IMPORTANTE!!):

I) det A = det At

Exemplos: 1 2 1 4

4 3 2 3

det 3 1 ( 2) 4 3 8 11

det 1 3 4 ( 2) 3 8 11

1 4 2 1 3 13 8 7 4 8 6

1 6 5 2 7 5

det 1 8 5 4 7 ( 1) 3 6 2 2 8 ( 1) 1 6 7 3 4 5

det 40 28 36 16 42 60 3

t A A

A

t A

t A A

A

A

−= ⇒ =

−

= × − − × = + =

= × − × − = + =

−

= => =

−

= × × + × × − + × × − × × − − × × − × × ⇒

= − + + − − = − 8

det 1 8 5 ( 1) 4 7 3 6 2 ( 1) 8 2 1 6 7 4 3 5

det 40 28 36 16 42 60 38

t A

t A

= × × + − × × + × × − − × × − × × − × × ⇒

= − + + − − = − II) Se os elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) de umamatriz A, de ordem n, forem todos nulos, então det A = 0.

Exemplos: 0 0

4 3

det 3 0 0 4 0

0 4 2

0 8 7

0 6 5

det 0 8 5 4 7 0 0 6 2 2 8 0 0 6 7 0 4 5 0

A

A

A

A

=

= × − × =

=

= × × + × × + × × − × × − × × − × × = III) Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por umnúmero k , o determinante na nova matriz A´ será o produto de k pelo

determinante de A. det A´= k . det A. Também é válida para divisão porum número k. Neste caso, teríamos: det A´= (1/k) . det A.




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Exemplos:

2( 1)

1( 1)

2 1

4 3det 3 2 1 4 2

2 2 1 4 1´

4 2 3 8 3

det ´ 4 3 1 8 4 2 2

1 4 2

2 8 7

3 6 5

det 1 8 5 4 7 3 2 6 2 2 8 3 1 6 7 2 4 5

det 40 84 24 48 42 40 18

1 (

´

k coluna

k linha

A

A

A

A x

A

A

A

A

=

= −

=

= × − × =

×= =

×

= × − × = =

=

= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒

⇒ = + + − − − =

× −

=

1) 4 ( 1) 2 ( 1) 1 4 2

2 8 7 2 8 7

3 6 5 3 6 5

det ´ ( 1) 8 5 ( 4) 7 3 ( 2) 6 2 ( 2) 8 3 ( 1) 6 7 2 ( 4) 5

det ´ 40 84 24 48 42 40 18

A

A

=

× − × − − − −

= − × × + − × × + − × × − − × × − − × × − × − × ⇒

⇒ = − − − + + + = − Nota: Como conseqüência da propriedade acima, se multiplicarmos todaa matriz por um número k , det (kA) = k n . det A, onde n é a ordem damatriz quadrada A.Exemplo:

2

, 22 14 3

det 3 2 1 4 2

4 2´ 2.

8 6

det ´ 4 6 2 8 24 16 8 2 2

n A

A

A A

A

=

=

= × − × =

= =

= × − × = − = = ×

IV) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de

posição duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas), obteremosuma nova matriz A´, tal que: det A´= - det A.




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Exemplos: 2 1

4 3det 3 2 1 4 2

1 2´

3 4

det ´ 4 1 3 2 2

1 4 2

2 8 73 6 5

det 1 8 5 4 7 3 2 6 2 2 8 3 1 6 7 2 4 5

det 40 84 24 48 42 40 18

1 4 2

´ 3 6 5

2 8 7

det ´ 1 6 7 3 8 2 4 5 2 2 6

A

A

A

A

A

A

A

A

A

=

= × − × =

=

= × − × = −

=

= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒

⇒ = + + − − − =

=

= × × + × × + × × − × 2 1 8 5 3 4 7det ´ 42 48 40 24 40 84 18 A

× − × × − × × ⇒⇒ = + + − − − = − V) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duasfilas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementosrespectivamente iguais. Portanto, det A = 0.Exemplos:

2 2

2 2

det 2 2 2 2 01 4 1

2 1 2

3 6 3

det 1 1 3 4 2 3 2 6 1 1 1 3 1 2 6 2 4 3

det 3 24 12 3 12 24 0

A

A

A

A

A

=

= × − × =

=

= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒

⇒ = + + − − − = VI) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas

filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementosrespectivamente proporcionais. Portanto, det A = 0.




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Exemplos:

,

2 1

2 1det 2 1 1 2 0

1 4 1

2 8 2 2 2 1

3 6 1

det 1 8 1 4 2 3 2 6 1 1 8 3 1 2 6 2 4 1

det 8 24 12 24 12 8 0

A

A

A linha linha

A

A

=

= × − × =

= = ×

= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒

⇒ = + + − − − = VII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui umfila que é uma combinação linear das outras filas. Portanto, det A = 0.Exemplo:

,

1 2 1

2 5 3 3 2 1 2

4 9 5

det 1 5 5 2 3 4 2 9 1 1 5 4 1 3 9 2 2 5

det 25 24 18 20 27 20 0

A linha xlinha linha

A

A

= = +

= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒⇒ = + + − − − = VIII) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possuitodos elementos acima ou abaixo da diagonal principal iguais a zero.Neste caso, o determinante de A é o produto dos elementos dessadiagonal.Exemplo:

1 0 0

2 5 0

4 9 5

det 1 5 5 0 0 4 2 9 0 0 5 4 1 0 9 2 0 5 det 1 5 5 25

A

A A

=

= × × + × × + × × − × × − × × − × × ⇒ = × × = IX) Seja A uma matriz de ordem n (maior ou igual a 2) que possui todoselementos acima ou abaixo da diagonal secundária iguais a zero. Nestecaso, o determinante de A é o produto dos elementos dessa diagonal(secundária) multiplicado por: (-1)n.(n-1)/2, onde n é a ordem da matrizquadrada.




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Exemplo:

3.(3 1)

2

1 4 2

2 5 0

4 0 0

det 1 5 0 4 0 4 2 0 ( 2) ( 2) 5 4 1 0 0 2 4 0 det 2 5 4 40

det ( 1) ( 2) 5 4 40

A

A A

ou

A−

−

=

= × × + × × + × × − − − × × − × × − × × ⇒ = × × =

= − × − × × =

X) Teorema de Binet: Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordemn. det (AB) = det (A).det(B).

Exemplo: 2 0

2 1

det 2 1 0 2 2

1 2

3 4

det 1 4 3 2 2

det det 2 ( 2) 42 0 1 2 2 1 0 3 2 2 0 4 2 4

. .2 1 3 4 2 1 1 3 2 2 1 4 5 8

det 2 8 5 4 16 20 4

A

A

B

B

A B

A B

AB

=

= × − × =

=

= × − × = −

× = × − = −× + × × + ×= = =

× + × × + ×

= × − × = − = −

Nota: Como A . A-1 = I n, pela propriedade acima, temos:det(A.A-1)= det(In) => det A . det A-1 = 1 => det A-1 = 1/det A o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da

matriz. Uma outra conseqüência é que uma matriz somente terá matriz

inversa se o seu determinante for diferente de zero.

5.2.2. Menor Complementar e Complemento Algébrico ou Cofator

Cofator ou Complemento Algébrico: o cofator ou complemento algébrico doelemento aij de uma matriz A é representado por:

Aij = (-1)i+j . Dij, onde Dij (ou menor complementar) é o determinante da matriz

que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de A.




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Exemplos de cálculo do menor complementar:

2)

Seja7 8

4 5 A

= . Calcule D12 e D22.

7 84

124 5

7 87

224 5

A D

A D

= ⇒ =

= ⇒ =

Exemplos de cálculo do menor complemento algébrico:

1) Seja

1 3 4

5 2 3

1 4 2

A

= − . Calcule A11, A21 e A31.

1)

Seja

1 3 4

5 2 3

1 4 2

A

= − . Calcule D11, D21 e D31.

1 3 42 3

5 2 3 det 2 2 ( 3) 4 1611 4 2

1 4 2

1 3 43 4

5 2 3 det 3 2 4 4 1021 4 2

1 4 2

1 3 43 4

5 2 3 det 3 ( 3) 4 2 1731 2 3

1 4 2

A D

A D

A D

−= − ⇒ = = × − − × =

= − ⇒ = = × − × = −

= − ⇒ = = × − − × = −−




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5.2.3. Matriz dos Cofatores

A matriz dos cofatores da matriz A, denominada A´, é formada pelos cofatoresencontrados para cada elemento da matriz A.

Exemplo:

1) Seja7 8

4 5

A

= . Calcule a matriz do cofatores A´.

1 1

2 1

1 3 42 3

5 2 3 det 2 2 ( 3) 4 16 ( 1) 16 16

11 114 21 4 2

1 3 43 4

5 2 3 det 3 2 4 4 10 ( 1) ( 10) 1021 214 2

1 4 2

1 3 43 4

5 2 3 det31 2 3

1 4 2

A D A

A D A

A D

+

+

−= − ⇒ = = × − − × = ⇒ = − × =

= − ⇒ = = × − × = − ⇒ = − × − =

= − ⇒ = =−

3 13 ( 3) 4 2 17 ( 1) ( 17) 1731

A +× − − × = − ⇒ = − × − = −

2) Seja7 8

4 5 A

= . Calcule A12 e A22.

1 2

2 2

7 84 ( 1) 7 4

12 124 5

7 8

7 ( 1) 5 722 224 5

A D A

A D A

+

+

= ⇒ = ⇒ = − × = −

= ⇒ = ⇒ = − × =




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1 1

1 2

2 1

2 2

7 85 ( 1) 5 5

11 114 5

7 84 ( 1) 4 4

12 124 5

7 88 ( 1) 8 8

21 214 5

7 87 ( 1) 7 7

22 224 5

5 4

´ 8 7

A D A

A D A

A D A

A D A

A

+

+

+

+

= ⇒ = ⇒ = − × =

= ⇒ = ⇒ = − × = −

= ⇒ = ⇒ = − × = −

= ⇒ = ⇒ = − × =

−

= −

2) Seja

1 3 4

5 2 3

1 4 2

A

= − . Calcule a matriz dos cofatores A´.

1 1

2 1

1 3 42 3

5 2 3 det 2 2 ( 3) 4 16 ( 1) 16 1611 114 21 4 2

1 3 43 4

5 2 3 det 3 2 4 4 10 ( 1) ( 10) 1021 214 2

1 4 2

1 3 43 4

5 2 3 det

31 2 31 4 2

A D A

A D A

A D

+

+

−= − ⇒ = = × − − × = ⇒ = − × =

= − ⇒ = = × − × = − ⇒ = − × − =

= − ⇒ = =

−

3 13 ( 3) 4 2 17 ( 1) ( 17) 17

31

A +× − − × = − ⇒ = − × − = −




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16 13 18

´ 10 2 1

17 23 13

A

= − −

− −

Matriz Adjunta: é a matriz transposta da matriz dos cofatores.

Matriz Adjunta de A = (A´)t

Exemplo: No exemplo anterior (2), a matriz adjunta seria:

16 10 17

13 2 23

18 1 13

A

−

= −

− −

1 2

2 2

1 3 45 3

5 2 3 det 5 2 ( 3) 1 13 ( 1) 13 1312 12

1 21 4 2

1 3 41 4

5 2 3 det 1 2 4 1 2 ( 1) ( 2) 222 221 2

1 4 2

1 3 41 4

5 2 3 det 132 5 3

1 4 2

A D A

A D A

A D

+

+

−= − ⇒ = = × − − × = ⇒ = − × =

= − ⇒ = = × − × = − ⇒ = − × − = −

= − ⇒ = = ×−

3 2( 3) 4 5 23 ( 1) ( 23) 2332

A +− − × = − ⇒ = − × − =

1 3

2 3

1 3 45 2

5 2 3 det 5 4 2 1 18 ( 1) 18 1813 131 4

1 4 2

1 3 41 3

5 2 3 det 1 4 3 1 1 ( 1) 1 123 231 4

1 4 2

1 3 4 1 35 2 3 det 1 2 3 5 13

33 5 21 4 2

A D A

A D A

A D

+

+

= − ⇒ = = × − × = ⇒ = − × =

= − ⇒ = = × − × = ⇒ = − × = −

= − ⇒ = = × − × = − 3 3( 1) ( 13) 1333

A +⇒ = − × − = −




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Matriz Inversa: nós aprendemos a calcular a matriz inversa utilizando umsistema de equações (item 5.1.8). Agora, vamos aprender a calcular a matrizinversa utilizando a matriz dos cofatores.

O procedimento é o seguinte para encontrar a matriz inversa da matriz A:

1) Calcular o determinante da matriz A;2) Calcular a matriz dos cofatores;3) Obter a matriz adjunta da matriz A (transposta da matriz dos cofatores);4) Dividir cada um dos elementos da matriz ajunta pelo determinante da

matriz A.

Exemplo: Qual é a matriz inversa da matriz abaixo? (é o mesmo exemplo doitem 5.1.8 – vamos verificar se o resultado é o mesmo)

1 111 11

1 212 12

2 121 21

2 222 22

3 7

5 11

:

det 3 11 5 7 33 35 211 ( 1) 11 11

5 ( 1) 5 5

7 ( 1) 7 7

3 ( 1) 3 3

11 5

´( ) 7 3

11 7( )

5 3

11det

A

Solução

A D A

D A

D A

D A

A cofatores

A adjunta

A A A

+

+

+

+

=

= × − × = − = −= ⇒ = − × =

= ⇒ = − × = −

= ⇒ = − × = −

= ⇒ = − × =

−

= −

−=

−

− = ×

11 711 7 2 21

2 5 3 5 3

2 2

−−

= × =− − −

(está de acordo com o resultado do item 5.1.8)

Fórmula:

1 1

det A A A

−

= ×




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Mais uma Propriedade dos determinantes:

XI) Teorema de Laplace: é possível calcular o determinante de uma matriz deordem n por meio do somatório do produto do elemento pelo seu cofator parauma única fila (linha ou coluna).

Exemplo: Determine o determinante da matriz abaixo utilizando o teorema deLaplace?

1 111 11

1 212 12

11 11 12 12

3 7

5 11

:

det 3 11 5 7 33 35 2

11 ( 1) 11 11

5 ( 1) 5 5

:

det 3 11 7 ( 5) 33 35 2

A

Solução A

D A

D A

Laplace

A a A a A

+

+

=

= × − × = − = −

= ⇒ = − × =

= ⇒ = − × = −

= × + × = × + × − = − = −

5.3. Solução de Sistemas Lineares

Sistemas lineares são conjuntos de equações (duas ou mais) em que se desejaencontrar a solução, ou seja, uma solução que atende e torne todas asequações verdadeiras.Exemplos:

S1: 2x + 6y = 4x – y = 5

No sistema linear S1, temos duas equações e duas incógnitas ( x e y ).

S2: 2x + 3y + 3z = 4x – y + z= 23x + y – 2z = 0

No sistema linear S2, temos três equações e três incógnitas ( x, y e z ).

Se um sistema linear S tiver, pelo menos, uma solução, ele será possível oucompatível. Caso não tenha nenhuma solução, S será impossível ouincompatível.




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5.3.1. Método da Substituição

Por este método, você deve isolar uma variável em uma equação, substituir naseguinte, e assim por diante (dependendo do número de equações), de modoque, na última equação, você possua uma única variável a encontrar.

Depois de encontrada a primeira variável, basta fazer o caminho inverso paraencontrar as demais. Vamos a um exemplo para entender melhor o método.

Exemplos:

1)

S1: 2x + 6y = 4 (I)x – y = 5 (II)

Isolar x em (I):De (I), temos: 2x + 6y = 4 => 2x = (4 – 6y) => x = 2 – 3y (III)

Encontrar y utilizando (II):Substituindo (III) em (II): 2 – 3y – y = 5 => -4y = 3 => y = -3/4 (IV)

Fazer o caminho inverso:

Substituindo (IV) em (III): x = 2 – 3 x (-3/4) = 2 + 9/4 => x = 17/4

2)

S2: x + y + z = 4 (I)x – y + 3z= 2 (II)3x + y – 2z = 3 (III)

Isolar x em (I): x + y + z = 4 => x = 4 – y – z (IV)

Substituir x em (II) e isolar y:Substituindo (IV) em (II): 4 – y – z – y + 3z = 2 => -2y + 2z = -2 =>=> -y + z = -1 => -y = -1 – z => y = 1 + z (V)

Substituir x (IV) e y (V) em (III) e encontrar z: 3x + y – 2z = 3 => 3 (4 – y – z) + 1 + z – 2z = 3 =>12 – 3y – 3z + 1 – z = 3 => 12 – 3(1+z) – 4z + 1 = 3 => 12 – 3 – 3z – 4z + 1 = 3 => -7z = 3 – 10 => -7z = -7 => z = 1 (VI)

Fazer o caminho inverso:

Substituir (VI) em (V): y = 1 + z = 1 + 1 => y = 2 (VII)Substituir (VI) e (VII) em (IV): x = 4 – y – z = 4 – 2 – 1 => x = 1




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Também é possível representar um sistema linear por meio de matrizes:

Exemplo:


1 1 1 4 1. 1. 1. 4

1 1 3 2 1. 1. 3. 2

3 1 2 3 3. 1. 2. 3

x x y z

y x y z

z x y z

⇒ =

+ +

− • = − +

− + −

Primeira matriz: matriz incompleta (formada pelos coeficientes dasvariáveis)

Segunda matriz: matriz das incógnitas

Ainda há a matriz completa, que é formada pelos coeficientes dasvariáveis e pelos termos independentes (termos após o sinal de igual),conforme abaixo:

1 1 1 41 1 3 2

3 1 2 3

−

−

Nota: Quando o número de equações do sistema é igual ao número devariáveis, e o determinante da matriz incompleta é diferente de zero, osistema é denominado sistema normal.

5.3.2. Regra de Cramer

Para todo sistema normal, é possível obter a sua solução por meio doprocedimento abaixo:

x = D x /D; y = Dy /D e z = D z /D e, assim sucessivamente, para as demaisvariáveis, se houver. No nosso caso, iremos concentrar nossas resoluções emsistemas normais de duas ou três variáveis.

D => determinante da matriz incompleta.

Dx => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, acoluna dos coeficientes de x pelos termos independentes.




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Dy => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, acoluna dos coeficientes de y pelos termos independentes.

Dz => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, acoluna dos coeficientes de z pelos termos independentes.

D => determinante da matriz incompleta

D = 1.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.1.1 – 1.(-1).3 – 1.1.(-2) – 1.1.3 => D = 2 + 9 + 1 + 3 + 2 – 3 = 14

Dx => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, acoluna dos coeficientes de x pelos termos independentes.4 1 1

2 1 3

3 1 2

−

−

=> Dx = 4.(-1).(-2) + 1.3.3 + 1.2.1 – 1.(-1).3 – 2.1.(-2) – 4.1.3

=> Dx = 8 + 9 + 2 + 3 + 4 – 12 =14

x = D/Dx = 14/14 => x = 1

Dy => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, acoluna dos coeficientes de y pelos termos independentes.1 4 1

1 2 3

3 3 2

−

=> Dy = 1.2.(-2) + 4.3.3 + 1.3.1 – 1.2.3 – 4.1.(-2) – 1.3.3 =>

Dy = -4 + 36 + 3 – 6 + 8 – 9 =28y = D/Dy = 28/14 => y = 2

Exemplo:


1 1 1 4

1 1 3 2

3 1 2 3

x

y

z

− • =

−

MatrizIncompleta

Matriz dasIncógnitas

TermosIndependentes




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Dz => determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, acoluna dos coeficientes de z pelos termos independentes.

1 1 41 1 2

3 1 3

− => Dz = 1.(-1).3 + 1.2.3 + 4.1.1 – 4.(-1).3 – 1.1.2 – 1.1.3 =>

Dz = -3 + 6 + 4 + 12 – 2 – 3 =14z = D/Dz = 14/14 => z = 1

Nota: Análise de um sistema

1) Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução)

2) Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx,Dy e Dz forem iguais a zero.

3) Impossível: D = 0 e Dx, Dy e Dz forem diferentes de zero.

Anexo (extra)Método de Eliminação de Gauss (vou ensinar mais este método de resolução de sistemas lineares,mas considere como uma leitura complementar, tendo em vista que os dois primeiros métodos já sãosuficientes para a resolução de questões).

Suponha o seguinte sistema linear:

X + 2Y + 4Z = 5 (I)2X - Y + 2Z = 8 (II)3X -3y - Z =7 (III)

1 2 4 X 52 -1 2 Y = 83 -3 -1 Z 7

Matriz Completa:

1 2 4 5

2 -1 2 83 -3 -1 7

I – Primeira Eliminação de Gauss: os coeficientes abaixo de a11 ficarão iguais a zero, fazendo a

transformação abaixo:

a11 = 1 (diferente de zero)

λ 1 = a21 / a11= 2/1 = 2

a´22 = a22 - λ 1 x a12 = -1 – 2 x 2 = -5

a´23 = a23 - λ 1 x a13 = 2 – 2 x 4 = -6

a´24 = a24 - λ 1 x a14 = 8 – 2 x 5 = -2

λ 2 = a31 / a11= 3/1 = 3




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a´32 = a32 – λ 2 x a12 = -3 – 3 x 2 = -9

a´33 = a33 – λ 2 x a13 = -1 – 3 x 4 = -13

a´34 = a34 – λ 2 x a14 = 7 – 3 x 5 = -8

1 2 4 50 -5 -6 -20 -9 -13 -8

II – Segunda Eliminação de Gauss: os coeficientes abaixo de a22 ficarão iguais a zero, fazendo atransformação abaixo:

a22 = -5 (diferente de zero)

λ 3 = a32 / a22= -9/-5 = 9/5

a´33 = a33 – λ 3 x a23 = -13 – 9/5 x (-6) = -13 + 54/5 = -11/5a´34 = a34 – λ 3 x a24 = -8 – 9/5 x (-2) = -8 + 18/5 = -22/5

1 2 4 50 -5 -6 -20 0 -11/5 -22/5

III – Substituição retrocedida:

1 2 4 X 50 -5 -6 Y = -2

0 0 -11/5 Z -22/5

-11/5 x Z = -22/5 => Z = 2 (linha 3 da matriz)

-5 Y – 6 Z = -2 => -5Y – 6 x 2 = -2 => -5Y = 10 => Y = - 2 (linha 2 da matriz)

X + 2Y + 4Z = 5 => X + 2 x (-2) + 4 x 2 = 5 => X = 1 (linha 1 da matriz)




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Questões Comentadas e Resolvidas

Nota: Não se assustem com os anos das questões. Como não há muitasquestões desses assuntos em provas da Esaf (no máximo, um ou duas porprova, quando aparece), tive “garimpar” questões até no século passado, ouseja, antes de 2000 (risos). Mas não há problema, pois, desde Aristóteles, queos conceitos básicos da matemática são os mesmos.

1. (Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matrizquadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matrizpor 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, odeterminante da matriz fica:

a) Multiplicado por –1.b) Multiplicado por –16/81.c) Multiplicado por 2/3.d) Multiplicado por 16/81.e) Multiplicado por –2/3.

Resolução

Repare que a questão pede o determinante de uma matriz 4 x 4. Aí, vocêpoderia indagar: o professor ficou maluco, pois ele ensinou apenas oprocedimento de cálculo das matrizes quadradas de ordem 1 (1 x 1), ordem 2(2 x 2) e de ordem 3 (3 x 3). E aí? Como fazer?

Bom esta questão envolve as propriedades dos determinantes, que sãoaplicáveis a quaisquer matrizes quadradas, independentemente da ordem.

Vamos relembrar a propriedade que será utilizada na questão:Se multiplicarmos uma fila qualquer de uma matriz A, por um número k ,o determinante na nova matriz A´ será o produto de k pelodeterminante de A: det A´= k . det A. Também vale para a divisão por k:

det A´= (1/k) . det A.

Consideramos a matriz 4 x 4 igual A e o determinante de A igual a: det(A)

I. Linha 2 da matriz A multiplicada por 2: logo, o novo determinante será:2.det(A)

II. Linha 3 da matriz A dividida por -3: logo, o novo determinante será:2.det(A). (-1/3) = (-2/3) . det(A)

GABARITO: E




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2. (ANA-2009-Esaf) O determinante da matriz

2 1 0

4 2

B a b c

a b c

=+ +

a) 2bc + c - ab) 2b - cc) a + b + cd) 6 + a + b + ce) 0

GABARITO: E

3. (Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Genericamente,qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, onde “i”representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matrizA = (aij), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X =(xij) e Y=(yij). Sabendo-se que (xij) = i1/2 e que yij = (i-j)2, então a potênciadada por (a22)a12 e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a:

) 2 2

) 2 0

) 2 1

)2 0

) 2 0

a e

b e

c e

d e

e e

−

−

Resolução

A = (aij), de terceira ordem

Resolução

Cálculo do determinante de uma matriz de ordem 3:

2 1 0 2 1

4 2 4 2

B a b c a b

a b c a b

=

+ + + +

det B = 2.b.c + 1.c.(4+a) + 0.a.(2+b) – 0.b.(4+a) – 2.c.(2+b) – 1.a.c => det B = 2bc + 4c + ca – 4c – 2bc – ac = 2bc – 2bc + 4c – 4c + ca – ca

det B = 0




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A = X + Y

X = (xij)Y=(yij)xij = i1/2

yij = (i-j)2

I – Cálculo da (a22)a12:

Como a matriz A é soma das matrizes X e Y, cada elemento de A corresponde àsoma dos elementos correspondentes de X e Y. Logo:

a22 = x22 + y22

x22 (i=2) = i1/2 = 21/2

y22 (i=2;j=2) = (i-j)2 = (2-2)2 = 02 = 0a22 = x22 + y22 = 21/2 + 0 = 21/2

a12 = x12 + y12 x12 (i=1) = i1/2 = 11/2 = 1y12 (i=1;j=2) = (i-j)2 = (1-2)2 = (-1)2 = 1a12 = x12 + y12 = 1 + 1 = 2

(a22)a12 = (21/2)2 = 2

II – Cálculo do determinante da matriz X: como A é de ordem 3 e é o resultadoda soma de X e Y, tanto X quanto Y também possuem ordem 3.

Matriz X:1ª linha (i=1): x11 = x12 = x13 = 11/2 = 1;2ª linha (i=2): x21 = x22 = x23 = 2(1/2); e3ª linha (i=3): x21 = x22 = x23 = 3(1/2).

Vamos relembrar outra propriedade dos determinantes: Seja A uma matriz de

ordem n (maior ou igual a 2) que possui duas filas paralelas (duaslinhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamenteproporcionais. Portanto, det A = 0.

Logo, como a linha 2 da matriz X é proporcional a linha 1:Linha 2 = 2(1/2) x Linha 1

Então, det (X) = 0

GABARITO: D




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4. (Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Considerando osistema de equações lineares,

x1 – x2 = 22x1 + px2 = q

pode-se corretamente afirmar que:

a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível.b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado.c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado.d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado.

e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível.

Resolução

De acordo com a Regra de Cramer, temos:D => determinante da matriz incompleta.



Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução)

Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx e Dy forem iguais a zero.

Impossível: D = 0 e Dx e Dy forem diferentes de zero.

Escrevendo o sistema em forma de matriz, teríamos:

1

2

1 1 2.

2

x

x p q

−=

D = 1.p – (-1).2

O determinante D da matriz incompleta será zero quando:D = p + 2 = 0 => p = -2




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2 12 ( 1). 2 D p q p q x

q p

−=> = − − = +

Dx = 0, quando: 2p + q = 0 => p = -q/2 ou q = -2p

1 21. 2.2 4

2 D q q y

q

=> = − = −

Dy = 0, quando: q – 4 = 0 => q = 4

Portanto, teremos:

I – Sistema possível e determinado: D ≠ 0 => p ≠ -2

II – Sistema possível e indeterminado: D = 0, ou seja, p = -2 e D x e Dy forem

iguais a zero.

Para p = -2, temos: Dx = -2p = -2 x (-2) = 4 ≠ 0 => logo, não hápossibilidade deste sistema ser possível e indeterminado, pois Dx édiferente de zero para p = -2.

Dy = 0, quando q = 4.

III – Sistema impossível: D = 0, ou seja, p = -2 e;Dx≠ 0, para p = -2 => Dx = -2p = -2 x (-2) = 4 ≠ 0; eDy≠ 0 => q – 4 ≠ 0 => q ≠ 4

GABARITO: A

5. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Sabendo que

2cos

2 x arc= e que

1

2 y arcsen= , então o valor da expressão cos(x - y) é igual

a:6 2

)4

6 2)

4

2)

2

2) 3

2) 2

a

b

c

d

e

+

−

+




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cos (x – y) = cos (45º - 30º) => aquí, temos que utilizar a equação dediferença de ângulos para o cosseno, tendo em vista que não conhecemos ovalor de cos 15º, que é 45º - 30º.

Relembrando:Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b

cos (45º - 30º) = cos 45º . cos 30º + sen 45º . sen 30º =>

2 3 2 1 2 3 2 6 2cos(45 30 )

2 2 2 2 4 4 4o o × +⇒ − = × + × = + =

GABARITO: A

6. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Qualquer elemento deuma matriz X pode ser representado por x

ij, onde i representa a linha e j a

coluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), deterceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também de terceira ordem, dadapor: Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então odeterminante da matriz B é igual a:

11 31 12 32 13 33

21 21 22 22 23 23

31 11 32 12 33 13

b a b a b a

b a b a b a

b a b a b a

= = = = = = = = =

Resolução

Vamos relembrar algumas relações:

Partindo do valor para achar o ângulo (a questão não irá informar estevalores => temos que saber para a prova):Partindo do valor para achar o ângulo:

Ângulo 0 1

2 2

2

3

2

1

Arco Seno 0º 30º 45º 60º 90ºArco Cosseno 90º 60º 45º 30º 0º

2cos 45

2

o

x arc x= => =

1

302

o y arcsen y= => =




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a) 50b) -50c) 0d) -100e) 100

Resolução

Mais uma questão de propriedade de determinantes: repare que a linha 1 damatriz B corresponde a linha 3 da matriz A, e vice-versa. A linha 2 de ambas asmatrizes, A e B, são iguais. Ou seja, houve a troca de duas linhas (3 e 1), damatriz A para a matriz B.

Logo, temos que utilizar a seguinte propriedade: Seja A uma matriz deordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posição duas filasparalelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz A´, tal que: det A´= - det A.

Portanto, na questão , teremos: det (B) = - det (A) = - 100

GABARITO: D

7. (Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2008-Esaf) Uma matriz

X de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtidamultiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, odeterminante da matriz B é igual a:

a) 10-6

b) 105

c) 1010

d) 106

e) 103

Resolução

Matriz X (quinta ordem => n=5) => Det (X) = 10

Matriz B = 10 x Matriz X

Propriedade a ser aplicada: se multiplicarmos toda a matriz por umnúmero k , det (kA) = k n . det A, onde n é a ordem da matriz quadrada A.

Portanto, det (B) = 105 x det (A) = 105 x 10 = 106

GABARITO: D




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8. (Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-2006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x +sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a:

a) -4/3b) 4/3c) 5/3d) -5/3e) 1/7

Resolução

3 cos x + sen x = -1 (I)

A questão só fornece uma equação, mas temos que conhecer a equação oriundado Teorema de Pitágoras: sen2 x + cos2 x = 1 (II)

Portanto, temos um sistema:3 cos x + sen x = -1 (I)sen2 x + cos2 x = 1 (II)

De (I), temos: sen x = -1 – 3 cos x (III)

Substituindo (III) em (II):

(-1 – 3 cos x)2 + cos2 x = 1 => 1 + 6 cos x + 9 cos2 x + cos2 x = 1 => 10 cos2 x + 6 cos x = 0 => cos x . (10 cos x + 6) = 0

Nota: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(-1 – 3 cos x)2=(-1)2 + 2.(-1).(-3 cos x) + (-3cos x)2 = 1 + 6cos x + 9cos2 x

Soluções da equação: cos x . (10 cos x + 6) = 0cos x = 010 cos x + 6 = 0 => cos x = - 6/10 = -3/5

Quando cos x = 0 => sen x = -1 – 3 cos x = -1 – 3 . 0 =-1Quando cos x = -3/5 => sen x = -1 – 3 . (-3/5) = -1 + 9/5 = 4/5

Solução 1: cos x = 0; sen x = -1 => tg x = sen x/cos x = -1/0 = -∞

Solução 2: cos x = -3/5; sen x = 4/5 => tg x = sen x/cos x = (4/5)/(-3/5) = -4/3

GABARITO: A




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9. (Auditor-Fiscal da Receita Estadual-MG–2005-Esaf) A, B e C sãomatrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matrizidentidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matrizquadrada. A matriz Z, portanto, é igual a:

a) A-1 B Cb) A C-1 B-1 c) A-1 C B-1 d) A B C-1 e) C-1 B-1 A-1

Resolução

Vamos relembrar alguns conceitos:Caso a matriz quadrada A não tenha matriz inversível, ela é denominada matrizsingular. Logo, uma matriz não singular é uma matriz que possui matrizinversa.

Matriz Unidade (ou matriz identidade) de ordem n (In): é toda matrizdiagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1.

Da questão, temos: C = A.Z.B e queremos isolar Z.

Para isso, precisamos lembrar uma propriedade das matrizes: A . A-1 = I n, ouseja, a multiplicação da matriz pela sua inversa é igual a matrizidentidade, que, por sua vez, é um elemento neutro na multiplicação.

Voltando a questão: C = A.Z.B => A.Z.B = C (I)

Multiplicando (I) por A-1, do lado de A (matriz inversa de A):A-1.A.Z.B = A-1.C => In .Z.B = A-1.C => Z.B = A-1.C (II)

Multiplicando (II) por B-1, do lado de B (matriz inversa de B):

Z.B.B-1

= A-1

.C.B-1

=> Z.In = A-1

.C.B-1

=> Z = A-1

.C.B-1

Nota: temos que multiplicar do lado certo, pois, como vimos na teoria, amultiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, AB é diferente deBA. É claro que isto não vale para a multiplicação da matriz pela suainversa, pois A . A-1 = A-1.A = I n.

GABARITO: C




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10. (Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2005-Esaf) O menorcomplementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o determinanteque se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza.Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma dasmatrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)2 e que bij = i2 , entãoo menor complementar do elemento y23 é igual a:

a) 0b) -8c) -80d) 8e) 80

Resolução

Y = (yij), de terceira ordemY = A + B

A = (aij) => aij = (i+j)2 B=(bij) => bij = i2

I – Repare que a questão explica o que é menor complementar e pede o menorcomplementar de y 23:

Menor complementar: O menor complementar de um elemento genérico xij deuma matriz X é o determinante que se obtém suprimindo a linha e a coluna emque esse elemento se localiza.

Logo, para achar o menor complementar de y 23, devemos, inicialmente,suprimir a linha 2 e a coluna 3 da matriz Y . Veja abaixo:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

y y y

y y y

y y y

A partir daí, temos que achar o determinante da matriz: D23 =11 12

31 32

y y

y y

Det (D23) = y11.y32 - y12.y31




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II – Cálculo da y11, y12, y31 e y32,:

Como a matriz Y é soma das matrizes A e B, cada elemento de Y corresponde àsoma dos elementos correspondentes de A e B. Logo:

y11 = a11 + b11 a11 (i=1;j=1) = (i+j)2= (1+1)2 = 22 = 4b11 (i=1) = i2 = 12 = 1y11 = a11 + b11 = 4 + 1 = 5

y12 = a12 + b12 a12 (i=1;j=2) = (i+j)2= (1+2)2 = 32 = 9b12 (i=1) = i2 = 12 = 1

y12 = a12 + b12 = 9 + 1 = 10

y31 = a31 + b31 a31 (i=3;j=1) = (i+j)2= (3+1)2 = 42 = 16b31 (i=3) = 32 = 9y31 = a31 + b31 = 16 + 9 = 25

y32 = a32 + b32 a32 (i=3;j=2) = (i+j)2= (3+2)2 = 52 = 25b32 (i=3) = 32 = 9

y32 = a32 + b32 = 25 + 9 = 34

III – Cálculo do menor complementar de y 23:

Det (D23) = y11.y32 - y12.y31 = 5 x 34 – 10 x 25 = 170 – 250 = -80

GABARITO: C

11. (Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) Considere duasmatrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceira

colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e àprimeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3,então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a:

a) –x-6 b) –x6 c) x3 d) –1e) 1

ResoluçãoA e B => matrizes quadradas de terceira ordem




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Linha 1 da Matriz B = Linha 3 da Matriz ALinha 2 da Matriz B = Linha 2 da Matriz ALinha 3 da Matriz B = Linha 1 da Matriz ADet (A) = x3

Mais uma questão de propriedade de determinantes: repare que a linha 1 damatriz B corresponde a linha 3 da matriz A, e vice-versa. A linha 2 de ambas asmatrizes, A e B, são iguais. Ou seja, houve a troca de duas linhas (3 e 1), damatriz A para a matriz B.

Logo, temos que utilizar a seguinte propriedade: Seja A uma matriz deordem n (maior ou igual a 2). Se trocarmos de posição duas filasparalelas (duas linhas ou duas colunas), obteremos uma nova matriz A´, tal que: det A´= - det A.

Portanto, na questão , teremos: det (B) = - det (A) = - x3

A questão pede para a calcular o produto entre os determinantes de A e B:

Produto = det (B) x det (A) = x3 . (-x3) = -x6

GABARITO: B

12. (Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) O sistema dadopelas equações

. .cos cos2

.cos . 2

x sena y a a

x a y sena sen a

− = −

+ =

possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a somados quadrados das raízes é igual a

a) 1b) 2c) 4d) sen π e) cos π

Resolução

Dica: em questões deste tipo, tente sempre obter os quadrados dossenos e cossenos para tentar substituir pela equação abaixo:

sen2 x + cos2 x = 1




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x.sen a – y.cos a = - cos 2a (I)Elevando (I) ao quadrado: (x.sen a – y.cos a)2 = (- cos 2a)2 => x2. sen2 a – 2xy sen a.cos a + y2.cos2 a = cos2 2a (I´)

x.cos a + y.sen a = sen 2aElevando (II) ao quadrado: (x.cos a + y.sen a)2 = (sen 2a)2 => x2. cos2 a + 2xy sen a.cos a + y2.sen2 a = sen2 2a (II´)

Somando (I´) com (II´): x2. sen2 a – 2xy sen a.cos a + y2.cos2 a + x2. cos2 a + 2xy sen a.cos a +

+ y2.sen2 a = cos2 2a + sen2 2a =>

Repare que “– 2xy sen a.cos a” vai compensar com “+ 2xy sen a.cos a”

=> x2.(sen2 a + cos2 a) + y2.(sen2 a + cos2 a) = cos2 2a + sen2 2a

Lembrando da equação: sen2 x + cos2 x = 1 (esta fórmula tem que estar “nosangue”. Você precisa comer a fórmula com “arroz e feijão”), temos:

sen2 a + cos2 a = 1cos2 2a + sen2 2a = 1

Logo, a fórmula fica: x2 + y2= 1 (que é a resposta da questão: soma dos

quadrados das raízes)

GABARITO: A

13. (Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Com relação ao sistema

ax –y = 0x + 2a = 0, de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema

a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a.

b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a.c) tem solução não trivial para um único valor real de a.d) tem somente a solução trivial para todo valor de a.e) é impossível para qualquer valor real de a.

Resolução

De acordo com a Regra de Cramer, temos:D => determinante da matriz incompleta.





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Sistema possível e determinado: D ≠ 0 (uma única solução)

Possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx e Dy forem iguais a zero.

Impossível: D = 0 e Dx e Dy forem diferentes de zero.

Escrevendo o sistema em forma de matriz, teríamos:

1 0.1 2 0a

y

−=

D = 2.a – (-1).1

O determinante D da matriz incompleta será zero quando:D = 2a + 1 = 0 => a = -1/2

0 10

0 2

D x

−=> = , independe de a.

00

1 0

a D y

=> = , independe de a.

x = Dx /D = 0y = Dy /D = 0

Portanto, teremos:

Sistema possível e determinado (x=0 e y=0): D ≠ 0, para qualquer valorde a, ou seja, a sistema apresenta uma solução não trivial (x=0 e y=0)para uma infinidade de valores de a.

GABARITO: A




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14. (Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Sabendo-se que a matriz1 1

1

0 1

A e que n e n

= ∈Ν ≥ , então o determinante da matriz

An– An-1 é igual a:

a) 1b) -1c) 0d) ne) n-1

Resolução

Para resolver a questão, vamos ter que encontrar alguma regra de formação:

1

2

2 3

3 4

.

.

1 1

0 1

1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2. .

0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1

1 2 1 1 1 1 2 0 1 1 2 1 1 3.0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1

1 3

0 1

A

A A A

A A A

A A A

= =

= =

=

× + × × + ×= =

× + × × + ×

× + × × + ×= =× + × × + ×

= =

1

1

....

1 1 1 1 3 0 1 1 3 1 1 4.

0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1

1 1

0 1

1

0 1

1 1 1 0 11 1 ( 1)

0 1 0 1 0 00 1 1

n

n

n n

n A

n A

n n n n A A

−

−

= =

− = − = =

× + × × + ×

× + × × + ×

−=

=

− − − −

−

Det (An – An-1) = 0x0 – 1x0 = 0

GABARITO: C




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15. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2004-Esaf) Genericamente,qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i”representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matrizX = x ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij)e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto doselementos x31 e x13 é igual a:

a) 16b) 18c) 26d) 65e) 169

Resolução

X = (xij), de terceira ordemX = A + B

A=(aij) => aij = i2

B = (bij) => bij = (i-j)2

I – Cálculo da x13 e x31:

Como a matriz X é soma das matrizes A e B, cada elemento de X corresponde àsoma dos elementos correspondentes de A e B. Logo:

x13 = a13 + b13 a13 (i=1) = i2= 12 = 1b13 (i=1;j=3) = (i-j)2 = (1-3)2 = (-2)2 = 4x13 = a13 + b13 = 1 + 4 = 5

x31 = a31 + b31 a31 (i=3) = 32 = 9

b31 (i=3;j=1) = (i-j)2

= (3-1)2

= 22

= 4x31 = a31 + b31 = 9 + 4 = 13

II – Cálculo de x13.x31: x13.x31 = 5 x 13 = 65

GABARITO: D




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16. (Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) A expressão dadapor y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalode variação de y é:

a) -4 ≤ y ≤ 8b) 0 < y ≤ 8c) -∞ ≤ y ≤ ∞ d) 0 ≤ y ≤ 4e) 0 ≤ y ≤ 8

Resolução

y = 4 (cosseno x) + 4Sabemos que –1 ≤ cosseno x ≤ 1

Portanto, calculando y para os limites do intervalo do cosseno, temos:

cosseno x = -1 => y = 4 x (-1) + 4 = 0cosseno x = 1 => y = 4 x 1 + 4 = 8

Logo, 0 ≤ y ≤ 8

GABARITO: E

17. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y =4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por:

a) 16 y2 - 9 x2 = 144b) 16 x2 - 9 y2 = 144c) 16 y2 + 9 x2 = 144d) 16 x2 + 9 y2 = 144e) 9 y2 - 16 x2 = 144

Resolução

Observe que, nesta questão, novamente, temos que tentar obter:sen2 x + cos2 x = 1

x = 3 sen t (I)y = 4 cos t (II)

Multiplicando (I) por 4: 4x = 12 sen t (I´)

Multiplicando (II) por 3: 3y = 12 cos t (II´)




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Elevando (I´) ao quadrado: (4x)2 = (12 sen t)2 => 16x2 = 144 sen2 t (I´´)

Elevando (II´) ao quadrado: (3y)2 = (12 cos t)2 => 9y2 = 144 cos2 t (II´´)

Somando (I´´) com (II´´):16x2 + 9y2 = 144 sen2 t + 144 cos2 t = 144 . (sen2 t + cos2 t)

Como: sen2 t + cos2 t = 1 => 16x2 + 9y2 = 144

GABARITO: D

18. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Dada a matriz1 1

1 X

e

sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valorde X é igual a:

a) -1b) 0c) 1/2d) 1e) 2

Resolução

Mais uma questão de propriedades determinantes:det(A.A-1)= det(In) => det A . det A-1 = 1 => det A-1 = 1/det A o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da

matriz.

1 1

1 X

= A

det (A) = 1 – X

det (A-1) = 1/2

det (A-1) = 1/det (A) => 1/2 = 1/(1-X) => 1 – X = 2 => X = -1

GABARITO: A




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19. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duasfunções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x)= sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a:

a) f (-1)b) f (2)c) g (0)d) g (2)e) f (1)

Resolução

Temos que: (g o f) (x) = g[f(x)]

f(x) = sen2 (x -1)g(x) = x – 1

Cuidado! Repare que a questão explica a função (g o f) (x) = g[f(x)], mas pedea função (f o g) (inverteu o f com o g).(f o g) (2) = f[g(2)]

g(2) = 2 – 1 = 1f[g(2)] = sen2 (g(2) – 1) = sen2 (1 – 1) = sen2 0 = 0

Como f[g(2)] = f(1), pois g(2) = 1, temos: (f o g) (2) = f(1)

GABARITO: E

20. (Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A condiçãonecessária e suficiente para a identidade sen 2 αααα = 2 sen αααα ser verdadeira éque αααα seja, em radianos, igual a:

a) π /3b) π /2

c) n π sendo n um número inteiro qualquerd) n π /2, sendo n um número inteiro qualquere) n π /3 ,sendo n um número inteiro qualquer

Resolução

Relembrando:sen (a + a) = sen 2a = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 . sen a . cos a

sen 2 α = 2 sen α => 2 sen α.cos α - 2 sen α = 0 => 2senα .(cos α - 1) = 0




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Logo, temos duas possibilidades:2senα = 0 => senα = 0 => α = 0, π, 2π, 3π, ... = nπ, n inteiro qualqueroucos α - 1 = 0 => cos α = 1 => α = 0, 2π, 4π, 6π, ... = 2nπ, n inteiro qualquer

Logo, a solução, considerando as duas possibilidades é: nππππ sendo n umnúmero inteiro qualquer.

GABARITO: C

21. (Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A matriz S = sij, deterceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij).

Sabendo-se que (aij ) = i2+j2 e que bij = 2 i j, então: a soma dos elementos s31 e s13 é igual a:

a) 12b) 14c) 16d) 24e) 32

Resolução

Caramba! Mais uma questão deste tipo. E aí, vocês acham que este tipo dequestão tem chance cair, ou seja, de ser uma das 20 questões? Eu diria quesim.

S = (sij), de terceira ordemX = A + BA=(aij) => aij = i2+j2

B = (bij) => bij = 2 i j

I – Cálculo da s13 e s31:Como a matriz S é soma das matrizes A e B, cada elemento de S corresponde àsoma dos elementos correspondentes de A e B. Logo:

s13 = a13 + b13 a13 (i=1;j=3) = i2+j2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10b13 (i=1;j=3) = 2 i j = 2 x 1 x 3 = 6s13 = a13 + b13 = 10 + 6 = 16

s31 = a31 + b31

a31 (i=3;j=1) = i2+j2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10b31 (i=3;j=1) = 2 i j = 2 x 3 x 1 = 6




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s31 = a31 + b31 = 10 + 6 = 16

II – Cálculo de s13 + s31: s13 + s31 = 16 + 16 = 32

GABARITO: E

22. (Analista-Serpro-2001-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de umamatriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a colunaem que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é amatriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que(aij) = i2+j2 e que bij = (i+j)2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é iguala:

a) 1/5b) 2/5c) 3/5d) 4/5e) 1

Resolução

Mais uma!!!!

S = (sij), de terceira ordemX = A + BA=(aij) => aij = i2+j2

B = (bij) => bij = (i+j)2

I – Cálculo da s13 e s31:Como a matriz S é soma das matrizes A e B, cada elemento de S corresponde àsoma dos elementos correspondentes de A e B. Logo:

s13 = a13 + b13

a13 (i=1;j=3) = i2

+j2

= 12

+ 32

= 1 + 9 = 10b13 (i=1;j=3) = (i+j)2= (1+3)2= 42 = 16s13 = a13 + b13 = 10 + 16 = 26

s31 = a31 + b31 a31 (i=3;j=1) = i2+j2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10b31 (i=3;j=1) = (i+j)2= (3+1)2= 42 = 16s31 = a31 + b31 = 10 + 16 = 26

II – Cálculo de s31 /s31: s31/s13 = 26/26 = 1

GABARITO: E




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23. (Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) A expressão dadapor y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo devariação de y é

a) -1 ≤ y ≤ 7b) -7 < y < 1c) -7 < y ≤ -1d) 1 ≤ y < 7e) 1 ≤ y ≤ 7

Resolução

y = 3 sen x + 4Sabemos que –1 ≤ seno x ≤ 1

Portanto, calculando y para os limites do intervalo do seno, temos:

seno x = -1 => y = 3 x (-1) + 4 = 1seno x = 1 => y = 3 x 1 + 4 = 7

Logo, 1 ≤ y ≤ 7

GABARITO: E

24. (Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Uma matrizquadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se quea matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3 Z temdeterminante igual a

a) 1/3b) 3c) 9

d) 27e) 81

Resolução

Matriz X (n = 3)=> det (X) = 3Matriz Z = Transposta da Matriz X

Mais uma propriedade importante dos determinantes: det A = det At

Logo, det (X) = det (Xt) (transposta de X) = det (Z) = 3




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Matriz Y = 3 . Matriz Z

Propriedade a ser aplicada: se multiplicarmos toda a matriz por umnúmero k , det (kA) = k n . det A, onde n é a ordem da matriz quadrada A.

Matrizes quadradas de ordem 3 => n = 3

det (Y) = 33 x det (Z) = 33 x 3 = 81

GABARITO: E

25. (Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Considerando-se asmatrizes

2 4 1 1

3 1 1 2 A B

= =

a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produtoda matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a:

a) –10b) -2

c) 1d) 2e) 10

Resolução

I – Determinação da Matriz Transposta de A:

2 4

3 1

2 4

3 1

A

t A

=

=

Matriz transposta de A




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II – Determinação da Matriz Inversa de B:

1 111 11

1 212 12

2 121 21

2 222 22

1 1

1 2

:

det 1 2 1 1 2 1 1

2 ( 1) 2 2

1 ( 1) 1 1

1 ( 1) 1 1

1 ( 1) 1 1

2 1´( )

1 1

2 1( )

1 1

B

Solução

B

D B

D B

D B

D B

B cofatores

B adjunta

+

+

+

+

=

= × − × = − =

= ⇒ = − × =

= ⇒ = − × = −

= ⇒ = − × = −

= ⇒ = − × =

−=

−

−=

−

III – Cálculo de A.B-1

1

1

2 2 4 ( 1) 2 ( 1) 4 12 4 2 1. .

3 2 1 ( 1) 3 ( 1) 1 13 1 1 1

0 2.

5 2

A B

A B

−

−

× + × − × − + ×−= = =

× + × − × − + ×−

=−

Soma dos elementos da diagonal principal de A.B-1 = 0 – 2 = -2

GABARITO: B

Abraços e até a próxima aula,

Bons estudos,

Moraes [email protected]

2 11 11

det 1 1 1 B B B

−−= × = × −




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Lista de Questões Comentadas na Aula

1. (Assistente Técnico-Administrativo-MF-2009-Esaf) Seja uma matrizquadrada 4 por 4. Se multiplicarmos os elementos da segunda linha da matrizpor 2 e dividirmos os elementos da terceira linha da matriz por –3, odeterminante da matriz fica:

a) Multiplicado por –1.b) Multiplicado por –16/81.c) Multiplicado por 2/3.d) Multiplicado por 16/81.e) Multiplicado por –2/3.

2. (ANA-2009-Esaf) O determinante da matriz2 1 0

4 2

B a b c

a b c

=

+ +

a) 2bc + c - ab) 2b - cc) a + b + cd) 6 + a + b + ce) 0

3. (Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Genericamente,qualquer elemento de uma matriz Z pode ser representado por zij, onde “i”representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matrizA = (aij), de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes X =(xij) e Y=(yij). Sabendo-se que (xij) = i1/2 e que yij = (i-j)2, então a potênciadada por (a22)a12 e o determinante da matriz X são, respectivamente, iguais a:

) 2 2

) 2 0

) 2 1)2 0

) 2 0

a e

b e

c ed e

e e

−

−

4. (Técnico de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Considerando osistema de equações lineares,

x1 – x2 = 22x1 + px2 = q




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6. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Qualquer elemento deuma matriz X pode ser representado por x ij, onde i representa a linha e j acoluna em que esse elemento se localiza. A partir de uma matriz A (aij), deterceira ordem, constrói-se a matriz B(bij), também de terceira ordem, dadapor: Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 100, então odeterminante da matriz B é igual a:

11 31 12 32 13 33

21 21 22 22 23 23

31 11 32 12 33 13

b a b a b a

b a b a b a

b a b a b a

= = =

= = = = = =

a) 50b) -50c) 0d) -100e) 100

pode-se corretamente afirmar que:

a) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é impossível.b) se p ≠ -2 e q = 4, então o sistema é possível e indeterminado.c) se p = -2, então o sistema é possível e determinado.d) se p = -2 e q ≠ 4, então o sistema é possível e indeterminado.e) se p = 2 e q = 4, então o sistema é impossível.

5. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Sabendo que

2cos

2 x arc= e que

1

2 y arcsen= , então o valor da expressão cos(x - y) é igual

a:

6 2)4

6 2)

4

2)

2

2) 3

2

) 2

a

b

c

d

e

+

−

+




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7. (Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2008-Esaf) Uma matrizX de quinta ordem possui determinante igual a 10. A matriz B é obtidamultiplicando-se todos os elementos da matriz X por 10. Desse modo, odeterminante da matriz B é igual a:

a) 10-6

b) 105

c) 1010

d) 106

e) 103

8. (Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-2006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x +sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a:

a) -4/3b) 4/3c) 5/3d) -5/3e) 1/7

9. (Auditor-Fiscal da Receita Estadual-MG–2005-Esaf) A, B e C sãomatrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e diferentes da matrizidentidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também uma matriz

quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a:

a) A-1 B Cb) A C-1 B-1 c) A-1 C B-1 d) A B C-1 e) C-1 B-1 A-1

10. (Analista de Planejamento e Orçamento-MPOG-2005-Esaf) O menorcomplementar de um elemento genérico xij de uma matriz X é o determinante

que se obtém suprimindo a linha e a coluna em que esse elemento se localiza.Uma matriz Y = yij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma dasmatrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij) = (i+j)2 e que bij = i2 , entãoo menor complementar do elemento y23 é igual a:

a) 0b) -8c) -80d) 8e) 80




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11. (Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) Considere duasmatrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A primeira, a segunda e a terceiracolunas da matriz B são iguais, respectivamente, à terceira, à segunda e àprimeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3,então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a:

a) –x-6 b) –x6 c) x3 d) –1e) 1

12. (Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) O sistema dado

pelas equações

. .cos cos2

.cos . 2

x sena y a a

x a y sena sen a

− = −

+ =

possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a somados quadrados das raízes é igual a

a) 1

b) 2c) 4d) sen π e) cos π

13. (Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Com relação ao sistema

ax –y = 0x + 2a = 0, de incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema

a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a.b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a.c) tem solução não trivial para um único valor real de a.d) tem somente a solução trivial para todo valor de a.e) é impossível para qualquer valor real de a.

14. (Analista Administrativo-MPU-2004-Esaf) Sabendo-se que a matriz1 1

10 1

A e que n e n

= ∈Ν ≥ , então o determinante da matriz

An

– An-1

é igual a:a) 1




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b) -1c) 0d) ne) n-1

15. (Analista de Finanças e Controle-CGU-2004-Esaf) Genericamente,qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde “i”representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matrizX = x ij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij)e B=(bij). Sabendo-se que (aij) = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto doselementos x31 e x13 é igual a:

a) 16

b) 18c) 26d) 65e) 169

16. (Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) A expressão dadapor y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalode variação de y é:

a) -4 ≤ y ≤ 8

b) 0 < y ≤ 8c) -∞ ≤ y ≤ ∞ d) 0 ≤ y ≤ 4e) 0 ≤ y ≤ 8

17. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y =4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por:

a) 16 y2 - 9 x2 = 144b) 16 x2 - 9 y2 = 144

c) 16 y2 + 9 x2 = 144d) 16 x2 + 9 y2 = 144e) 9 y2 - 16 x2 = 144

18. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Dada a matriz1 1

1 X

e

sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valorde X é igual a:a) -1b) 0

c) 1/2d) 1e) 2




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19. (Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duasfunções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x)

= sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a:

a) f (-1)b) f (2)c) g (0)d) g (2)e) f (1)

20. (Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A condiçãonecessária e suficiente para a identidade sen 2 αααα = 2 sen αααα ser verdadeira é

que αααα seja, em radianos, igual a:a) π /3b) π /2c) n π sendo n um número inteiro qualquerd) n π /2, sendo n um número inteiro qualquere) n π /3 ,sendo n um número inteiro qualquer

21. (Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A matriz S = sij, deterceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij).

Sabendo-se que (aij ) = i2

+j2

e que bij = 2 i j, então: a soma dos elementoss31 e s13 é igual a:

a) 12b) 14c) 16d) 24e) 32

22. (Analista-Serpro-2001-Esaf) Genericamente, qualquer elemento de uma

matriz M pode ser representado por m ij, onde i representa a linha e j a colunaem que esse elemento se localiza. Uma matriz S = sij, de terceira ordem, é amatriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que(aij) = i2+j2 e que bij = (i+j)2, então a razão entre os elementos s31 e s13 é iguala:

a) 1/5b) 2/5c) 3/5d) 4/5

e) 1




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23. (Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) A expressão dadapor y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo devariação de y é

a) -1 ≤ y ≤ 7b) -7 < y < 1c) -7 < y ≤ -1d) 1 ≤ y < 7e) 1 ≤ y ≤ 7

24. (Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) Uma matrizquadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que

a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3 Z temdeterminante igual a

a) 1/3b) 3c) 9d) 27e) 81

25. (Analista de Finanças e Controle-STN-1997-Esaf) Considerando-se as

matrizes

2 4 1 1

3 1 1 2 A B

= =

a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produtoda matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a:

a) –10b) -2c) 1d) 2e) 10




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GABARITO:

Problema 1: Um poderoso cheique de Damasco mandou chamar suas trêsfilhas e disse-lhes:

“Aqui estão 90 maçãs que vocês deverão vender no mercado. Fátima, que é amais velha, levará 50. Cunda levará 30 e Siha, a caçula, será encarregada devender 10 restantes.

Se Fátima vender as 7 maças por um dinar, as outras deverão vender, também,pelo mesmo preço, isto é, 7 por um dinar; se Fátima fizer a venda das maçãs atrês dinares cada uma, será esse o preço pelo qual Cunda e Siha deverãovender as que levam. O negócio deve fazer-se de sorte que as três apurem,com a venda das respectivas maçãs, a mesma quantia”

O cheique ainda informou às filhas que não é possível se desfazer de nenhumadas maçãs. É necessário vendê-las. Resolva o problema e assinale a alternativacorreta:

(a) Fátima vendeu 42 maçãs por 7 dinares e 8 maçãs por 3 dinares.(b) Cunda vendeu 30 maças por 5 dinares.(c) Siha vendeu 7 maças por 1 dinar e 3 maças por 9 dinares.(d) Fátima vendeu 35 maças por 7 dinares e 15 maças por 3 dinares.

(e) Cunda vendeu 21 maças por 4 dinares e 9 maçãs por 15 dinares.

Solução:

Na verdade, a resposta da questão está no próprio enunciado.

I – Fátima, seguindo a indicação do pai, começou vendendo 7 maçãs a 1 dinar.Com isso, vendeu 49 maçãs a 7 dinares no total.

Total Venda de Fátima (primeira fase) = 49 maçãs a 7 dinares

Ainda sobrou uma maçã para Fátima vender.

II – Cunda também teria que vender o lote de 7 maças a 1 dinar, seguindo oprocedimento determinado pelo pai. Logo, Cunda vendeu 28 maças a 4 dinares.

Total Venda de Cunda (primeira fase) = 28 maçãs a 4 dinaresAinda sobraram duas maçãs para Cunda vender.

III – Siha também teria que vender o lote de 7 maças a 1 dinar, seguindo oprocedimento determinado pelo pai. Logo, Cunda vendeu 7 maças a 1 dinar.

Total Venda de Siha (primeira fase) = 7 maçãs a 1 dinaresAinda sobraram três maçãs para Siha vender.




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Ou seja, até o momento, as três filhas cumpriram o ordem do pai: venderampelo mesmo preço o lote de 7 maças (cada lote de 7 a 1 dinar).

IV – Fátima, agora, vendeu a maça que restou por 3 dinares.

Total da Venda de Fátima:49 maçãs (1 dinar o lote de 7 maçãs) = (49/7) x 1 7 dinares1 maça a 3 dinares 3 dinaresTotal da Venda de Fátima 10 dinares

V – Cunda, agora, também terá que vender as 2 maçãs que sobraram a 3dinares cada.

Total da Venda de Cunda:28 maçãs (1 dinar o lote de 7 maçãs) = (28/7) x 1 4 dinares2 maças a 3 dinares cada = 2 x 3 6 dinaresTotal da Venda de Fátima 10 dinares

VI – Siha também terá que vender as 3 maçãs que sobraram a 3 dinares cada.

Total da Venda de Siha:7 maçãs (1 dinar o lote de 7 maçãs) = (7/7) x 1 1 dinares

3 maças a 3 dinares cada = 3 x 3 3 dinaresTotal da Venda de Fátima 10 dinares

GABARITO: C

Problema 2: Um navio voltava do Sri Lanka trazendo grande quantidade deespeciarias e foi “atacado” por violenta tempestade. A embarcação teria sidodestruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de trêsmarinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extremaperícia. O comandante do navio, querendo compensar os denotados marujos,

deu-lhes certo número de moedas de ouro. Esse número era superior aduzentos, mas não chegava a trezentos.

As moedas de ouro foram colocadas em uma caixa para que, no dia seguinte,por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajososmarinheiros.

Aconteceu, porém, que, durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a minha parte. Assim, nãoterei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos”. E, sem nada a dizer

aos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro,dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e quesobrava uma moeda de ouro. “Por causa desta mísera moedinha é capaz de




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haver amanhã discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora.” E o marinheiro atiroua moeda ao mar, retirando-se cauteloso. Levava a sua parte e deixava nomesmo lugar a que cabia aos companheiros.

Horas depois, o segundo marinheiro teve a mesma idéia. Foi à arca em que sedepositava o prêmio coletivo dividiu-o em três partes iguais. Sobrava umamoeda. Ao marujo, para evitar futuras dívidas, veio à lembrança de atirá-la aomar. E dali voltou levando consigo a parte a que se julgava com direito.

O terceiro marinheiro, ignorando por completo a antecipação dos dois colegas,teve o mesmo alvitre. Levantou-se de madrugada e foi, pé ante pé, à caixa dasmoedas de ouro. Dividiu as moedas que lá encontrou em três partes iguais; adivisão não foi exata. Sobrou uma moeda de ouro. Não querendo complicar o

caso, o marujo atirou ao mar a moedinha excedente, retirou a terça parte parasi e voltou tranqüilo para o seu leito.

No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio encontrou70 moedas de ouro na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aosmarinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos marujosuma dessas partes. Ainda dessa vez, a divisão não foi exata. Sobrava umamoeda, que o almoxarife guardou para si.

É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava

convencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia do dinheiro.

Calcule qual era a quantidade total de moedas de ouro, quanto recebeu cadaum dos marujos e assinale a alternativa correta:

(a) O primeiro marinheiro recebeu 103 moedas de ouro.(b) O segundo marinheiro recebeu 75 moedas de ouro.(c) O terceiro marinheiro recebeu 59 moedas de ouro.(d) O número total de moedas de ouro é 238.(e) O número total de moedas de ouro é 244.

Solução:

I – O almoxarife encontrou 70 moedas de ouro na caixa, que corresponde a 2/3do valor encontrado pelo terceiro marinheiro, menos uma moeda que foi jogadaao mar (tendo em vista que o terceiro marinheiro retirou 1/3 do valorencontrado por ele):

70 moedas = (2/3) x [Valor Encontrado pelo Terceiro Marinheiro – 1]=>=> Valor Encontrado pelo Terceiro Marinheiro = 70 x 3/2 + 1 = 106

II – O terceiro marinheiro encontrou 106 moedas de ouro na caixa, quecorresponde a 2/3 do valor encontrado pelo segundo marinheiro, menos uma




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moeda que foi jogada ao mar (tendo em vista que o segundo marinheiro retirou1/3 do valor encontrado por ele):

106 moedas = (2/3) x [Valor Encontrado pelo Segundo Marinheiro – 1]=>=> Valor Encontrado pelo Segundo Marinheiro = 106 x 3/2 + 1 = 160

III – O segundo marinheiro encontrou 160 moedas de ouro na caixa, quecorresponde a 2/3 do valor encontrado pelo primeiro marinheiro, menos umamoeda que foi jogada ao mar (tendo em vista que o primeiro marinheiro retirou1/3 do valor encontrado por ele):

160 moedas = (2/3) x [Valor Encontrado pelo Primeiro Marinheiro – 1]=> Valor Encontrado pelo Primeiro Marinheiro = 160 x 3/2 + 1 = 241

Numero Total de Moedas = 241

Primeiro Marinheiro Recebeu:(241 – 1)/3 = 80 moedas => parte retirada por ele(70 – 1)/3 = 23 moedas => parte dada pelo almoxarifeTotal Recebido pelo Primeiro Marinheiro = 80 + 23 = 103

Segundo Marinheiro Recebeu:(160 – 1)/3 = 53 moedas => parte retirada por ele

(70 – 1)/3 = 23 moedas => parte dada pelo almoxarifeTotal Recebido pelo Segundo Marinheiro = 53 + 23 = 76

Terceiro Marinheiro Recebeu:(106 – 1)/3 = 35 moedas => parte retirada por ele(70 – 1)/3 = 23 moedas => parte dada pelo almoxarifeTotal Recebido pelo Terceiro Marinheiro = 35 + 23 = 58

GABARITO: A




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GABARITO DAS COMENTADAS NESTA AULA:

1 – E2 – E3 – D4 – A5 – A6 – D7 – D8 – A9 – C10 – C11 – B12 – A13 – A14 – C15 – D16 – E17 – D18 – A19 – E20 – C21 – E

22 – E23 – E24 – E25 – B




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