Aula 08 Raciocínio Lógico

Raciocínio Lógico p/AFT Teoria e exercícios comentados

Prof Marcos Pinon - Aula 08

AULA 08: Problemas Geométricos

SUMÁRIO PÁGINA1. Resolução das questões da Aula 07 12. Geometria Plana 383. Geometria Espacial 554. Exercícios Comentados nesta aula 705. Exercícios Propostos 726. Gabarito 78

1 - Resolução das questões da Aula 07

(Texto para as questões de 365 a 367) Uma equipe de 10 profissionais, composta por 2 juízes, 4 promotores e 4 defensores públicos, atuou durante 4 dias em julgamentos de processos em determinado tribunal. A cada dia atuaram 1 juiz, 1 promotor e 1 defensor público. Na escala de trabalho, conta que Gerson, Marta e Julia atuaram na segunda-feira; Luiz, Paula e Carlos atuaram na terça-feira; Bianca e Adalberto atuaram na quarta-feira; Luiz e Diogo atuaram na quinta-feira.

Nessa situação, sabendo que Edna é defensora pública e atuou na quarta ou na quinta-feira, que a juíza Marta atuou em 2 dias, que Gerson e Bianca são promotores e que 3 promotores são do sexo masculino, julgue os itens seguintes:

365 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Diogo e Carlos são promotores.

Solução:

Vamos começar organizando as informações:

Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca e Adalberto Quinta-feira: Luiz e Diogo

Sabe-se ainda que:

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Prof Marcos Pinon - Aula 08- Edna é defensora pública- Edna atuou na quarta ou na quinta-feira- Marta é juíza- Marta atuou em 2 dias- Gerson é promotor- Bianca é promotora- 3 promotores são do sexo masculino

Para facilitar a explicação, os juízes serão marcados pela cor vermelha, os promotores pela cor azul e os defensores pela cor verde. Assim:

Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca e Adalberto Quinta-feira: Luiz e Diogo

Olhando para a segunda-feira, podemos concluir que Júlia é defensora, pois já temos um promotor e uma juíza atuando nesse dia.

Segunda-feira: Gerson, Marta e JuliaTerça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca e Adalberto Quinta-feira: Luiz e Diogo

Podemos perceber, também, que Luiz está atuando em dois dias (terça e quinta- feira), o que nos leva a concluir que ele é Juiz, já que temos apenas dois juízes para atuar nos quatro dias e Marta atua em apenas 2 dias.

Segunda-feira: Gerson, Marta e JuliaTerça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca e Adalberto Quinta-feira: Luiz e Diogo

Agora, podemos concluir que Marta atua na quarta-feira, já que temos Luiz (que é juiz) atuando na terça e na quinta-feira.

Segunda-feira: Gerson, Marta e JuliaTerça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta Quinta-feira: Luiz e Diogo

Podemos concluir, agora, que Adalberto é defensor, pois já temos uma promotora e uma juíza atuando na quarta-feira.

Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca, Adalberto e MartaQuinta-feira: Luiz e Diogo






Prof Marcos Pinon - Aula 08Sabemos, também, que Edna é defensora e que ela atuou na quarta ou na quinta- feira. Como na quarta nós já temos 3 pessoas atuando, podemos concluir que Edna atuou na quinta-feira.

Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca, Adalberto e MartaQuinta-feira: Luiz, Diogo e Edna

Como na quinta-feira nós já temos um juiz e uma defensora, podemos concluir que Diogo é promotor.

Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca, Adalberto e Marta Quinta-feira: Luiz, Diogo e Edna

Por fim, falta sabermos as profissões de Paula e Carlos. Já sabemos quem são os dois juízes (Marta e Luiz), três promotores (Bianca, Gerson e Diogo) e três defensores (Adalberto, Julia e Edna). Portanto, faltam um promotor e um defensor. Sabendo que 3 promotores são do sexo masculino, podemos concluir que Carlos é o promotor e que Paula é a defensora que faltam. Assim:

Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca, Adalberto e MartaQuinta-feira: Luiz, Diogo e Edna

Portanto, concluímos que o item está correto.

366 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Os 2 juízes são do sexo feminino.

Solução:

Vimos na resolução da questão an®rior que os dois juízes são Marta e Luiz. Portanto, apenas um dos juízes é do sexo feminino. Item errado.

367 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Adalberto e Paula são defensores públicos.

Solução:

Novamente, utilizando as informações obtidas anteriormente, vimos que Paula e Adalberto são defensores públicos. Item correto.

(Texto para as questões de 368 a 370) As atividades de manutenção, operação e instalação na área de informática de um escritório são






Prof Marcos Pinon - Aula 08desenvolvidas por Edson, Humberto e Danilo; cada um é responsável por uma única atividade. Os seus salários são: R$ 2.300,00, R$ 2.400,00 e R$ 2.500,00. Sabe-se que o responsável pela instalação de sistemas, que é irmão de Danilo, não tem o maior salário; Edson é o operador de sistemas; o responsável pela manutenção tem o menor salário.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.

368 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Danilo é o operado de sistemas.

Solução:

Para facilitar a resolução dessa questão, vamos montar a seguinte tabela:

Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00EdsonHumbertoDanilo

Agora, a partir das informações da questão, vamos preencher a tabela:

Edson é o operador de sistemas.

Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00Edson Não Sim NãoHumberto NãoDanilo Não

O responsável pela instalação de sistemas é irmão de Danilo.

Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00Edson Não Sim NãoHumberto NãoDanilo Não Não

Com isso, podemos concluir que Danilo é o responsável pela Manutenção e que Humberto é o responsável pela instalação.

Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00Edson Não Sim NãoHumberto Não Não SimDanilo Sim Não Não

O responsável pela manutenção tem o menor salário.






Prof Marcos Pinon - Aula 08Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00

Edson Não Sim Não NãoHumberto Não Não Sim NãoDanilo Sim Não Não Sim Não Não

O responsável pela instalação de sistemas não tem o maior salário

Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00Edson Não Sim Não Não Não SimHumberto Não Não Sim Não Sim NãoDanilo Sim Não Não Sim Não Não

Com isso, podemos concluir que Danilo não é o operador de sistemas. Item errado.

369 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) O salário do instalador de sistemas é igual a R$ 2.400,00.

Solução:

A partir das informações da questão anterior, podemos concluir que o salário do instalador de sistemas (que é Humberto) é igual a R$ 2.400,00. Item correto.

370 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Edson tem o maior salário.

Solução:

Mais uma vez, a partir do que vimos anteriormente, Edson tem o maior salário. Item correto.

(Texto para as questões 371 e 372) Um banner da Corregedoria Regional Eleitoral do Espírito Santo, parcialmente reproduzido abaixo, alerta a população acerca de possíveis irregularidades no processo de alistamento e cadastro de eleitores.







Pot/or iudiciÁria Federal

ATENÇÃO!Alistar-se eleitor ou transferir domkrlio

de forma fraudulenta éCRIME.'Aliciar ou induzir eleitor a alistar-se de

forma fraudulenta é CRIME.JDar declaração falsa ou omitir

declaração em documento é CRIME.

De acordo com o panfleto apresentado, João, José, Pedro, Marta e Lurdes tenham cometido crimes, cada um por motivo diferente do outro. Sabe-se que:

- os homens não transferiram domicílio de forma fraudulenta;

- as mulheres não omitiram declaração em documento;

- uma dessas pessoas aliciou e induziu outra pessoa do grupo, do sexo oposto, a alistar-se eleitor(a) de forma fraudulenta;

- Pedro ou Marta deram declaração falsa;

- José e João se alistaram de forma não fraudulenta.

Considerando o banner e as informações hipotéticas apresentadas acima, julgue os itens seguintes.

371 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A pessoa responsável pelo aliciamento é do sexo feminino.

Solução:

Para resolver esta questão, vamos preencher a seguinte tabelinha:







Alistar-se de forma

fraudulenta

Transferir domicílio de forma

fraudulenta

Aliciar / Induzir eleitor a alistar-

se de forma fraudulenta

Dardeclaração

falsa

Omitirdeclaração em

documento

JoãoJoséPedroMartaLurdes

Agora, a partir das informações da questão, vamos preencher a tabelinha:

- os homens não transferiram domicílio de forma fraudulenta;

Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dardeclaração

falsa


documento

João NãoJosé NãoPedro NãoMartaLurdes

- as mulheres não omitiram declaração em documento;

Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dardeclaração

falsa


documento

João NãoJosé NãoPedro NãoMarta NãoLurdes Não

- José e João se alistaram de forma não fraudulenta.

Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dardeclaração

falsa


documento

João Não NãoJosé Não NãoPedro NãoMarta NãoLurdes Não







- Pedro ou Marta deram declaração falsa;

Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dardeclaração

falsa


documento

João Não Não NãoJosé Não Não NãoPedro NãoMarta NãoLurdes Não Não

Podemos perceber que só restou a José e a João terem aliciado e induzido outra pessoa a alistar-se de forma fraudulenta ou omitido declaração em documento, pois eles não se alistaram, não transferiram domicilio nem deram declaração falsa. Assim:

Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dardeclaração

falsa


documento

João Não Não NãoJosé Não Não NãoPedro Não Não NãoMarta Não NãoLurdes Não Não Não

- uma dessas pessoas aliciou e induziu outra pessoa do grupo, do sexo oposto, a alistar-se eleitor(a) de forma fraudulenta;

Como quem aliciou e induziu foi um homem (José ou João), podemos concluir que quem alistou-se de forma fraudulenta foi uma mulher. Assim:

Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dardeclaração

falsa


documento

João Não Não NãoJosé Não Não NãoPedro Não Não Não NãoMarta Não NãoLurdes Não Não Não

O que nos leva a concluir que Pedro deu a declaração falsa:







Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dardeclaração

falsa


documento

João Não Não NãoJosé Não Não NãoPedro Não Não Não Sim NãoMarta Não Não NãoLurdes Não Não Não

Portanto, a pessoa responsável pelo aliciamento é do sexo masculino (José ou João). Item errado.

372 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Pedro deu declaração falsa.

Solução:

Vimos na questão anterior que foi Pedro quem deu a declaração falsa. Item correto.

(Texto para as questões 373 a 375) O Flamengo, o Corinthians e o Cruzeiro foram convidados para jogos amistosos de futebol contra times europeus. Os jogos serão realizados em Lisboa, em Roma e em Paris, nos dias 22, 23 e 24 de agosto. Além disso, sabe-se que:

> cada clube jogará apenas uma vez;> somente um jogo acontecerá em cada dia;> em cada cidade ocorrerá apenas um jogo;> o Flamengo jogará em Roma;> o Cruzeiro jogará no dia 24;> o jogo do dia 23 será em Lisboa.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens a seguir.

373 - (ANS - 2013 / CESPE) O Flamengo jogará no dia 22.

Solução:

Bom, temos a informação que cada clube jogará apenas uma vez, somente um jogo acontecerá em cada dia e que em cada cidade ocorrerá apenas um jogo. Assim, a melhor forma de resolver essa questão é montando uma tabelinha. Vejamos:

Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24FlamengoCorinthiansCruzeiro







Agora, vamos preencher a tabela com base nas informações da questão:

o Flamengo jogará em Roma;

Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24Flamengo Não Sim NãoCorinthians NãoCruzeiro Não

o Cruzeiro jogará no dia 24;

Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24Flamengo Não Sim Não NãoCorinthians Não NãoCruzeiro Não Não Não Sim

o jogo do dia 23 será em Lisboa.

Com essa informação, podemos concluir que o cruzeiro não jogará em Lisboa, já que seu jogo é dia 24. Podemos concluir também, que o Flamengo não jogará dia 23, pois seu jogo será em Roma:

Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24Flamengo Não Sim Não Não NãoCorinthians Não NãoCruzeiro Não Não Não Não Sim

Concluímos, então, que o Cruzeiro jogará em Paris e que o Flamengo jogará dia 22:

Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24Flamengo Não Sim Não Sim Não NãoCorinthians Não Não Não NãoCruzeiro Não Não Sim Não Não Sim

Por fim, concluímos que o Corinthians jogará dia 23 em Lisboa:

Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24Flamengo Não Sim Não Sim Não NãoCorinthians Sim Não Não Não Sim NãoCruzeiro Não Não Sim Não Não Sim

Portanto, o item está correto, já que o Flamengo jogará dia 22.

374 - (ANS - 2013 / CESPE) O jogo em Paris ocorrerá no dia 24.







Solução:

Com base nas informações obtidas na questão anterior, concluímos que este item está correto, já que o Cruzeiro jogará dia 24 em Paris.

375 - (ANS - 2013 / CESPE) O Corinthians jogará em Paris

Solução:

Com base nas informações obtidas anteriormente, concluímos que este item está errado, já que o Corinthians jogará no dia 23 em Lisboa.

(Texto para as questões 376 a 378) Paulo, Tiago e João, auditores do trabalho, nasceram, um deles em Brasília, o outro, em Goiânia e o terceiro, em Curitiba. Suas idades são 25, 27 e 28 anos. Sabe-se que João não nasceu em Brasília e não tem 25 anos; que o auditor que nasceu em Goiânia tem 28 anos; que Paulo não nasceu em Curitiba nem tem 25 anos; e que Tiago nasceu na região Centro-Oeste.

Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.

376 - (AFT - 2013 / CESPE) O auditor brasiliense tem 27 anos.

Solução:

Nessa questão, vamos começar desenhando a tabelinha para organizar as informações:

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anosPauloTiagoJoão

Agora, vamos preencher a tabela com as informações da questão:

João não nasceu em Brasília e não tem 25 anos

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anosPauloTiagoJoão Não Não

Paulo não nasceu em Curitiba nem tem 25 anos







Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anosPaulo Não NãoTiagoJoão Não Não

Aqui podemos concluir que Tiago tem 25 anos, pois nem João nem Paulo possuem esta idade:

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anosPaulo Não NãoTiago Sim Não NãoJoão Não Não

Tiago nasceu na região Centro-Oeste

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anosPaulo Não NãoTiago Não Sim Não NãoJoão Não Não

Aqui podemos concluir que João nasceu em Curitiba, pois nem Paulo nem Tiago nasceram nesta cidade:

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anosPaulo Não NãoTiago Não Sim Não NãoJoão Não Não Sim Não

o auditor que nasceu em Goiânia tem 28 anos

Bom, como João nasceu em Curitiba, ele não possui 28 anos:

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anosPaulo Não NãoTiago Não Sim Não NãoJoão Não Não Sim Não Não

Assim, concluímos que João possui 27 anos:

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anosPaulo Não Não NãoTiago Não Sim Não NãoJoão Não Não Sim Não Sim Não






Prof Marcos Pinon - Aula 08Podemos concluir também que Paulo possui 28 anos e, com isso, concluir que ele nasceu em Goiânia, sobrando para Tiago nascer em Brasília:

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anosPaulo Não Sim Não Não Não SimTiago Sim Não Não Sim Não NãoJoão Não Não Sim Não Sim Não

Como Tiago é o auditor brasiliense e possui 25 anos, concluímos que o item está errado.

377 - (AFT - 2013 / CESPE) Paulo nasceu em Goiânia.

Solução:

Utilizando as informações da questão anterior, concluímos que Paulo nasceu em Goiânia. Item correto.

378 - (AFT - 2013 / CESPE) O auditor que nasceu em Curitiba tem 25 anos.

Solução:

Vimos que João nasceu em Curitiba e possui 27 anos. Item errado.

(Texto para a questão 379) José, Luís e Mário são funcionários públicos nas funções de auditor, analista e técnico, não necessariamente nessa ordem. Sabe-se que José não é analista, que o técnico será o primeiro dos três a se aposentar e que o analista se aposentará antes de Mário. Todo ano os três tiram um mês de férias e, no ano passado, no mesmo mês que José saiu de férias, ou Luís ou Mário também saiu. Com base nessas informações, julgue o item que se segue.

379 - (TCDF - 2013 / CESPE) Mário é analista, José é técnico e Luís, auditor.

Solução:

Vamos começar montando a seguinte tabelinha:

auditor analista técnicoJoséLuís

Mário







Prof Marcos Pinon - Aula 08José não é analista

auditor analista técnicoJosé NãoLuís

Mário

O analista se aposentará antes de Mário

Com essa informação, podemos concluir que Mário não é analista.

auditor analista técnicoJosé NãoLuís

Mário Não

Logo, podemos concluir que Luís é o analista

auditor analista técnicoJosé NãoLuís Não Sim Não

Mário Não

O técnico será o primeiro dos três a se aposentar e que o analista se aposentará antes de Mário

Ou seja, o técnico será o 1° a se aposentar, o analista será o 2° e Mário será o 3°, onde podemos concluir que Mário é o auditor, restando a José ser o técnico.

auditor analista técnicoJosé Não Não SimLuís Não Sim Não

Mário Sim Não Não

Como foi dito que Mário é analista, José é técnico e Luís, auditor, concluímos que o item está errado.

380 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Maria telefonou para determinada escola agendando um horário para matricular as crianças João, Marcos e José. Uma dessas crianças é filho de Maria, outra é filho de Ester e a terceira criança é filho de Marta. Ao anotar essas informações, o servidor da escola confundiu os nomes das mães e dos filhos, mas, das informações anotadas, ele pôde concluir que Marta e Ester são irmãs, que José não é filho de Marta e que João não é sobrinho de nenhuma das três mães. Em face dessa situação, é correto afirmar que as mães de João, Marcos e José são, respectivamente,

A) Ester, Marta e Maria.B) Marta, Ester e Maria.






Prof Marcos Pinon - Aula 08C) Marta, Maria e Ester.D) Maria, Marta e Ester. e) Maria, Ester e Marta.

Solução:

Mais uma vez, começamos montando a tabelinha:

Maria Ester MartaJoão

MarcosJosé

Agora, com as informações da questão, vamos preencher a tabela:

José não é filho de Marta

Maria Ester MartaJoão

MarcosJosé Não

Marta e Ester são irmãs, ... e que João não é sobrinho de nenhuma das três mães

Aqui podemos concluir que João é filho de Maria, pois se ele fosse filho de Ester ou de Marta ele seria sobrinho de alguma delas.

Maria Ester MartaJoão Sim Não Não

Marcos NãoJosé Não Não

Por fim, podemos concluir que Marcos é filho de Marta e José é filho de Ester:

Maria Ester MartaJoão Sim Não Não

Marcos Não Não SimJosé Não Sim Não

Resposta letra D.

381 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Considere que, em uma prova de língua inglesa, as notas de cinco alunos sejam N1, N2, N3, N4 e N5, Considere, ainda, que N1 seja inferior a N4, que N2 seja inferior a N5, que N3 não seja superior a N4 nem inferior a N2 e que N4 não ultrapasse N2. Em face dessa situação, é correto afirmar que







A) N1 < N2 = N3 = N4 < N5.B ) N1 = N2 < N3 < N4 = N5.C ) N1 < N2 < N3 < N4 < N5.D) N1 < N2 = N3 < N4 < N5.E) N1 < N2 < N3 = N4 = N5.

Solução:

Nessa questão, temos:

N1 seja inferior a N4

N1 < N4 (afirmação 1)

N2 seja inferior a N5


N3 não seja superior a N4 nem inferior a N2

N2 < N3 < N4 (afirmação 3)

N4 não ultrapasse N2


Agora, devemos perceber que para as afirmações 3 e 4 serem verdadeiras ao mesmo tempo, é necessário que N2 seja igual a N4. Com isso, concluímos também que N3 é igual a N2 e a N4. Assim, temos:

N1 < N2 = N3 = N4 < N5

Resposta letra A.

382 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Um professor, desconfiado que seus alunos — A, B e C — colaram em uma prova, indagou cada um deles e recebeu as seguintes respostas.

A disse: “Quem colou foi B.”B disse: “Quem colou foi C.”C disse: “A está mentindo.”

Posteriormente, os fatos mostraram que A não colou, que apenas um deles mentiu e que apenas um deles colou na prova. Considerando-se essa situação, é correto afirmar que

A) A mentiu, B disse a verdade e não colou, C disse a verdade e colou.






Prof Marcos Pinon - Aula 08B) A disse a verdade, B disse a verdade e não colou, C mentiu e colou.C) A disse a verdade, B disse a verdade e colou, C mentiu e não colou.D) A disse a verdade, B mentiu e colou, C disse a verdade e não colou.E) A mentiu, B disse a verdade e colou, C disse a verdade e não colou.

Solução:

Bom, temos a informação de que apenas um dos alunos mentiu, ou seja, dois alunos falaram a verdade. Podemos perceber que A e B não podem falar a verdade ao mesmo tempo, pois fazem afirmações contraditórias, já que apenas um aluno colou na prova. Assim, podemos concluir que C fala a verdade e que A mentiu. Com isso, podemos concluir também que B falou a verdade e que foi C que colou.

Resposta letra A.

(Texto para a questão 383) Considere que a empresa X tenha disponibilizado um aparelho celular a um empregado que viajou em missão de 30 dias corridos. O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa tenha estabelecido limite de R$ 200,00 e que, após ultrapassado esse limite, o empregado arcará com as despesas, julgue o item a seguir.

383 - (PC-DF - 2013 / CESPE) Considere que, em uma nova missão, o preço das ligações tenha passado a depender da localidade, mesma cidade ou cidade distinta da de origem da ligação, e do tipo de telefone para o qual a ligação tenha sido feita, celular, fixo ou rádio. As tabelas abaixo mostram quantas ligações de cada tipo foram feitas e o valor de cada uma:

celular fixo rádio

mesma cidade 6 3 1

cidade distinta 7 1 3Tabela I: número de ligações realizap as por tipo de telefone

mesma cidade cidade distinta

celular 0,20 0,50

fixo 0,15 0,30

rádio 0,20 0,20Tabela II: preço de cada ligação, em reais







Nessas condições, se A =6 3 17 1 3

for a matriz formada pelos dados da

tabela I, e B =0,20 0,50 0,15 0,30 0,20 0,20

for a matriz formada pelos dados da tabela II,

então a soma de todas as entradas da matriz A * B será igual ao valor total das ligações efetuadas.

Solução:

A primeira coisa que devemos entender é qual será o valor total das ligações efetuadas. Assim, temos:

Para a mesma cidade, foram feitas 6 ligações para celular, 3 ligações para fixo e 1 ligação para rádio, ou seja, o valor total foi:

6 x 0,20 + 3 x 0,15 + 1 x 0,20 = 1,2 + 0,45 + 0,2 = R$ 1,85

Para uma cidade distinta, foram feitas 7 ligações para celular, 1 ligação para fixo e 3 ligações para rádio, ou seja, o valor total foi:

7 x 0,50 + 1 x 0,30 + 3 x 0,20 = 3,5 + 0,3 + 0,6 = R$ 4,40

Portanto, o custo total foi de 1,85 + 4,4 = R$ 6,25

Agora, devemos comparar se este valor é igual ao valor da soma dos elementos da matriz resultante da multiplicação entre as matrizes A e B acima. Vejamos:

A x B =

"0,20 0,50""6 3 1"

x 0,15 0,307 1 3_

0,20 0,20

6 x 0,20 + 3 x 0,15 +1 x 0,20 6 x 0,50 + 3 x 0,30 +1 x 0,207 x 0,20 +1 x 0,15 + 3 x 0,20 7 x 0,50 +1 x 0,30 + 3 x 0,20

1,2 + 0,45 + 0,2 3 + 0,9 + 0,2 =1,4 + 0,15 + 0,6 3,5 + 0,3 + 0,6_ =

"1,85 4,1" =2,15 4,4_ =

Assim, a soma de todos os elementos dessa matriz fica:






Prof Marcos Pinon - Aula 081,85 + 4,1 + 2,15 + 4,4 = R$ 12,50

Portanto, a soma de todas as entradas da matriz A x B NÃO será igual ao valor total das ligações efetuadas. Item errado.

384 - (TRE/MT - 2010 / CESPE) Um método conhecido para se codificar palavras é associar a cada letra do alfabeto um número real; para as palavras com k letras, escolhe-se uma matriz k x k, denominada matriz de codificação, de forma que, para cada palavra com k letras, determina-se o vetor k x 1 formado pelos números associados às letras da palavra, e associa-se a palavra ao vetor resultante do produto da matriz de codificação pelo vetor associado às letras da palavra. Considere a codificação em que k = 3, a

matriz de codificação seja A =1 0 20 1 03 _2 1

e as 26 letras do alfabeto sejam

associadas da forma:

A = 1; B = 2; C = 3; ... ; Y = 25; e Z = 26. Por exemplo, considerando a palavra"18" "20"

RUA, que é associada ao vetor E = 21 , seu código será o vetor A.E = 211 13

Nessa situação, considere que r seja o vetor associado a determinada palavra de 3 letras e que W = A.r seja o seu código. Nessas condições, a matriz que permite decodificar o vetor W, isto é, a matriz B tal que B.W = r é igual a

A) - x 5

B)

-1 0 3

01

C)

D)

45

- 2120

_ 1 3 _ 2 -1 0 0 _ 1

- 3 21 0 3 0 1 _ 22 0 1

1

_20

_1

20

_1







E) 5 x1 4 -20 1 0

- 3 2 -1

Solução:

Nessa questão, temos que ¥ = A .r e queremos encontrar a matriz B, tal que B .¥ = r . Podemos perceber o seguinte:

¥ = A .r

¥A

= r

a - 1.¥ = r

Assim, podemos concluir que B = A-1, ou seja, B é a matriz inversa de A:

'1 0 2A = 0 1 0

3 - 2 1

A x A-1 = I

Vamos definir A- i

a -1 =a b c d e f g h i

como sendo a seguinte matriz:

Assim, temos:

1 0 2' a b c '1 0 0'0 1 0 x d e f = 0 1 03 - 2 1 g h i 0 0 1

a + 2.g b + 2.h c + 2.i ' '1 0 0'd e f = 0 1 0

3.a - 2.d + g 3.b - 2.e + h 3.c - 2.f + i 0 0 1

Aqui já podemos concluir que d = 0, e = 1 e f = 0:







a + 2.g b + 2.h c + 2.i 1 0 00 1 0 = 0 1 0

3.a + g 3.b - 2 + h 3.c + i 0 0 1

Agora, temos os seguintes sistemas de equação:

a + 2.g = 1 3.a + g = 0

b + 2.h = 0 3.b + h - 2 = 0

c + 2.i = 0 3.c + i = 1

Resolvendo o 1° sistema, temos:

a + 2.g = 1 3.a + g = 0

a = 1 - 2.g 3.a + g = 0

Substituindo o valor de a da 1a equação na 2a temos:

3.a + g = 0

3.(1 - 2.g) + g = 0

3 - 6.g + g = 0

3 - 5.g = 0

5.g = 3

Voltando com o valor de g para encontrar a, temos:

a = 1 - 2.g

g =35

a = 1







a = 1 -65

1a = —

5


b + 2.h = 0 3.b + h - 2 = 0

b = -2.h 3.b + h - 2 = 0

Substituindo o valor de b da 1a equação na 2a temos:

3.b + h - 2 = 0

3.(-2.h) + h - 2 = 0

-6 .h + h - 2 = 0

-5 .h - 2 = 0

5.h = -2

h = -25

Voltando com o valor de h para encontrar b, temos:

b = -2.h

2b = - 2 . ( - - )

5

b =45


c + 2.i = 0 3.c + i = 1

c = -2 .i 3.c + i = 1






Prof Marcos Pinon - Aula 08Substituindo o valor de c da 1a equação na 2a temos:

3.c + i = 1

3.(-2.i) + i = 1

-6 .i + i = 1

-5 .i = 1

i = _A i 5

Voltando com o valor de i para encontrar c, temos:

c = -2 .i

c = - 2 . ( - 1 )5

2c = —

5

Assim, temos:

4 25 5 1 02 _ 1 5 5

B = A-1 =a b c d e f

g h i

03

15

5

Olhando as alternativas, não temos nenhuma aparentemente igual ao que encontramos. Porém, podemos perceber que a letra “A” pode ser igual ao que acabamos de encontrar. Vejamos:

1X

1 4 2"" 1

545

2 " 5

0 5 0 = 0 1 05

3 _ 2 _ 1 35

25

15

Resposta letra A.

(Texto para as questões 385 a 388) Nos jardins X, Y e Z foram semeadas, respectivamente, as quantidades x, y e z de sementes de determinado tipo de flor. Essas sementes germinaram, deram origem a novas plantas e não foi feita nenhuma nova semeadura. Considerando as matrizes







1 1 0" x" "xk "A = 1 0 0 B = y GO II yk

1 0 2_ z zk, em que k = 1, 2, ..., Bk = Ak x B, Ak é a k-

ésima potência de A, xk, yk, zk representam as quantidades de plantas dessa espécie nos jardins X, Y e Z, respectivamente, k anos depois da semeadura.

385 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Considere que foram semeadas nos jardins X, Y e Z, respectivamente, 1, 3 e 2 sementes da planta. Assim sendo, assinale a opção correspondente às quantidades de plantas que havia nos jardins X, Y e Z, respectivamente, 2 anos após a semeadura.

A) 2, 3 e 10B) 3, 6 e 17C) 4, 1 e 9D) 5, 4 e 14E) 16, 1 e 25

Solução:

Temos a informação de que foram semeadas 1, 3 e 2 sementes da planta nos

jardins X, Y e Z, respectivamente, ou seja, B = . Queremos encontrar as

quantidades de plantas dos jardins X, Y e Z, 2 anos após a semeadura, ou seja, precisamos encontrar B2 :

Bk = Ak x B

B2 = A2 x B

'1 1 0" '1 1 0" '1"B2 = 1 0 0 X 1 0 0 X 3

1 0 2 1 0 2 2

'1 +1 + 0 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0" '1"B2 = 1 + 0 + 0 1 + 0 + 0 0 + 0 + 0 X 3

1 + 0 + 2 1 + 0 + 0 0 + 0 + 4 2

'2 1 0" '1"B2 = 1 1 0 X 3

3 1 4 2







Estratégiar n u r i i D c n ç

B2 =

B2 =

C 0 N C U R S O S

2 + 3 + 01 + 3 + 03 + 3 + 8

" 5" 4 14

Resposta letra D.

386 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) O determinante de A4 é igual a

A) -16.B) 0.C) 16.D) 20.E) 81.

Solução:

Olha que interessante. Sabemos a seguinte propriedade:

O determinante do produto de duas matrizes de mesma ordem é igual à multiplicação do determinante da primeira pelo determinante segunda matriz

A matriz A4 é a matriz A x A x A x A, ou seja, basta calcularmos o determinante da matriz A, para podermos encontrar o determinante da matriz A4:

A =111

Det(A)

Det(A)

Det(A)

1 00 00 2

= (1x0x2 + 1x0x1 + 0x1x0) - (1x0x0 + 0x0x1 + 2x1x1)

= (0 + 0 + 0) - (0 + 0 + 2)

= 0 - 2 = -2

Com isso, podemos encontrar Det(A4):

Det(A4) = Det(A) x Det(A) x Det(A) x Det(A)

Det(A4) = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16

Resposta letra C.







387 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Se 2 anos após a semeadura haviam 20, 15 e 29 pés da planta nos jardins X, Y e Z, respectivamente, então, no jardim Y foram semeadas

A) 2 sementes.B) 5 sementes.C) 7 sementes.D) 10 sementes. e) 16 sementes.

Solução:

Agora, temos a informação de que 2 anos após a semeadura haviam 20, 15 e 29'20'

plantas nos jardins X Y e Z respectivamente, ou seja, B2 = 1529

Queremos

encontrar a quantidade de sementes plantadas no jardim Y, representada por “y”. Para isso, temos:

Bk = Ak x B

B2 = A2 x B

'20 ' '1 1 0' '1 1 0' x15 = 1 0 0 X 1 0 0 X y29 1 0 2 1 0 2 z

Já calculamos A2 anteriormente:

20'

1K

)

O ___

1

'x '15 = 1 1 0 X y29 3 1 4 z

20' 2.x + y15 = x + y29 3.x + y + 4.z

Assim, temos:

2. x + y = 20 x + y = 153. x + y + 4.z = 29






Prof Marcos Pinon - Aula 08Resolvendo este sistema, temos:

2. x + y = 20 x = 15 - y3. x + y + 4.z = 29

Substituindo o valor de x da 2a equação na 1a equação, temos:

2.x + y = 20

2.(15 - y) + y = 20

30 - 2.y + y = 20

30 - y = 20

y = 30 - 20

y = 10

Resposta letra D.

388 - (SEDUC/CE - 2013 / CESPE) Se a e b são números reais, partir de a e b, uma sequência de Fibonacci {ak} por: a1 = ak = ak - i + ak - 2, para k > 2. Nesse sentido, é correto afirmar que

A) apenas {xk} é uma sequência de Fibonacci.B) apenas {yk} é uma sequência de Fibonacci.C) apenas {xk} e {yk} são sequências de Fibonacci.d ) apenas {xk} e {zk} são sequências de Fibonacci.e) {xk}, {yk} e {zk} são sequências de Fibonacci.

Solução:

Nessa questão, devemos encontrar |< 1, y1 e Z1; x2 , y2 e Z2 ; x3, )sabermos quais são sequencias de Fibonacci. Para isso, temos:

Bk = Ak x B

Calculando xi, yi e zi:

B1 = A 1 x B

x 1" '1 1 0" x

y1 = 1 0 0 X y

z1 _ 1 0 2 z

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define-se, a a, a2 = b, e

e Z3; para

27 de 78






' x 1" x + y

yi = x

_z i _ x + 2.z

Logo:

xi = x + y yi = x zi = x + 2.z

Calculando X2, y2 e Z2:

B2 = A2 x B

x 2" '1 1 0" '1 1 0" x

y2 = 1 0 0 X 1 0 0 X y

z2 _ 1 0 2 1 0 2 z

x 2 " '2 1 0" 'x"

y2 = 1 1 0 X y

z2 _ 3 1 4 z

x 2 " 2.x + y

y2 = x + y

z2 _ 3.x + y + 4.z

Logo:

x2 = 2.x + yy2 = x + yZ2 = 3.x + y + 4.z

Calculando X3, y3 e Z3:

B3 = A3 x B

x 3 " '1 1 0" '1 1 0" '1 1 0" 'x"

y3 = 1 0 0 X 1 0 0 X 1 0 0 X y

_z3 _ 1 0 2 1 0 2 1 0 2 z





1X CO ______

__1y s

iN CO 1___

___

1X CO ______

__1

y a

iN CO 1___

___

1X CO ____

1

y3

i N CO 1___

1X CO ___

_____1

y3

iN CO 1_____

__

213

3

328

8

1 0" '1 1 0' x1 0 X 1 0 0 X y1 4 1 0 2 z

2 +1 2 0' x1 +1 1 0 X y+1 + 4 3 8 z

2 0' x1 0 X y3 8 z

3.x + 2.y 2.x + y

.x + 3.y + 8.z

Logo:

X3 = 3.x + 2.yy3 = 2.x + yZ3 = 8.x + 3.y + 8.z



Bom, aqui já temos informação suficiente para julgar a afirmação. Para uma sequência ser considerada de Fibonacci, a3 deve ser igual a soma a1 + a2. Assim, começando com {xk}, encontramos o seguinte:

x1 = x + y x2 = 2.x + y X3 = 3.x + 2.y

Assim, testando a sequência, temos:

x3 = x1 + x2

x3 = x + y + 2.x + y

X3 = 3.x + 2.y

Portanto, concluímos que {xk} é uma sequência de Fibonacci.

Testando {yk}, temos:

y1 = x y2 = x + y






Prof Marcos Pinon - Aula 08y3 = 2.x + y

Assim, temos:

y3 = y i + y2

y3 = x + x + y

y3 = 2.x + y

Portanto, concluímos que {yk} é uma sequência de Fibonacci.

Testando {zk}, temos:

z1 = x + 2.z z2 = 3.x + y + 4.z Z3 = 8.x + 3.y + 8.z

Assim, temos:

z3 = z1 + z2

z3 = x + 2.z + 3.x + y + 4.z

Z3 = 4.x + y + 6.z

Aqui podemos perceber que o valor encontrado para z3 é diferente da soma de z1 + z2 . Portanto, concluímos que {zk} NÃO é uma sequência de Fibonacci.

Como apenas {xk} e {yk} são sequências de Fibonacci, concluímos que a resposta é a letra C.

Resposta letra C.

389 - (AFRFB - 2014 / ESAF) A matrij quadrada A, definida genericamente por A = aij, é dada por an = 0; a12 = - 4; a13 = 2; a21 = x; a22 = 0; a23 = (1 - z); a31 = y; a32 = 2z e, por último, a33 = 0. Desse modo, para que a matriz A seja uma matriz antissimétrica, os valores de a21, a23, a31 e a32 deverão ser, respectivamente, iguais a:

a) 4; -2; -2; -2.b) 4; -2; 2; -2.c) 4; 2; -2; -2.d) -4; -2; 2; -2.e) -4; -2; -2; -2.

Solução:






Prof Marcos Pinon - Aula 08Bom, por definição, numa matriz assimétrica qualquer, a i,j = -a j i, assim, temos:

a2,i = - a i,2

a2,i = - ( -4 ) = 4

a2,3 = - a 3,2

1 - z = -(2.z)

- z + 2.z = -1

z = -1

Assim, temos:

a2,3 = 1 - z

a2,3 = 1 - (-1)

a2,3 = 1 + 1 = 2

a3,2 = 2.z

a3,2 = 2.(-1)

a3,2 = -2

a3,1 — a1,3

a3,1 = -(2) = -2

Resumindo:

a2,1 - 4, a2,3 - 2, a3,1 — 2 e a3,2 — 2

Resposta letra C.

390 - (STN - 2013 / ESAF) Os elementos de uma matriz X são representados, genericamente, por xij - onde i representa a linha e j representa a coluna às quais o elemento xij pertence. Os valores assumidos pelos elementos da matriz A são: an = 1; a12 = x; a13 = -3; a21 = 2; a22 = 1; a23 = x; a31 = a; a32 = 0 e a33 = 1. De modo análogo, os elementos assumidos pela matriz B são: bn = 2; b12 = 1; b13 = x; b21 = 1; b22 = x; b23 = -3; b31 = a; b32 = 0 e b33 = 1. Sabendo-






Prof Marcos Pinon - Aula 08se que o determinante da matriz inversa de A é igual a 1/7, então a soma entre os determinantes da matriz transposta de A e da matriz B é igual a:

a) -7b) -14c) 14d) 2/7e) 0

Solução:

Bom, como já foi informado o valor do determinante da matriz inversa de A, podemos encontrar o determinante de A:

Det(A) =1

Det(A-1)

Det(A) =V/7

Det(A) = 7

Sabemos também que o determinante de uma matriz qualquer é igual ao determinante de sua transposta. Assim, temos:

Det(At) = Det(A) = 7

Por fim, resta calcular o determinante de B:

'1 x - 3" '2 1 x "A = 2 1 x e B = 1 x - 3

a 0 1 a 0 1

Bom, já sabemos o determinante de A e podemos perceber que a matriz B é igual a matriz A com as linhas 1 e 2 trocadas de posição. Ora, vimos uma propriedade em que o sinal do determinante de uma matriz se inverte se trocarmos duas linhas de posição. Com isso, podemos concluir que:

Det(B) = -Det(A) = -7

Agora, resta somarmos Det(At) e Det(B)

Det(At) + Det(B) = 7 - 7 = 0

Resposta letra E.






Prof Marcos Pinon - Aula 08391 - (AFRFB - 2012 / ESAF) As matrizes, A, B, C e D são quadradas de quarta ordem. A matriz B é igual a 1/2 da matriz A, ou seja: B = 1/2 A. A matriz C é igual a matriz transposta de B, ou seja: C = Bt. A matriz D é definida a partir da matriz C; a única diferença entre essas duas matrizes é que a matriz D tem como primeira linha a primeira linha de C multiplicada por 2. Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a 32, então a soma dos determinantes das matrizes B, C e D é igual a

a) 6.b) 4.c) 12.d) 10.e) 8.

Solução:

Nessa questão, temos:

Det(A) = 32

Como B =A~2

e A e B são matrizes de ordem 4, temos:

Det(B) = Det(A ) = 32 = 32 = 2 2 24 16

Sabemos também que o determinante de uma matriz qualquer é igual ao determinante de sua transposta. Assim, temos:

Det(C) = Det(Bt) = Det(B) = 2

Sabemos também que se multiplicarmos uma linha de uma matriz por uma constante, seu determinante fica multiplicado por esta constante:

Det(D) = 2.Det(C) = 2 x 2 = 4

Por fim, resta somarmos os valores que encontramos:

Det(B) + Det(C) + Det(D) = 2 + 2 + 4 = 8

Resposta letra E.

392 - (ATRFB - 2012 / ESAF) Dada a matriz A =2 10 1

o determinante de A5 é

igual a

a) 20.






Prof Marcos Pinon - Aula 08b) 28.c) 32.d) 30.e) 25.

Solução:

Sabemos que:

O determinante do produto de duas matrizes de mesma ordem é igual à multiplicação do determinante da primeira pelo determinante segunda matriz

A matriz A5 é a matriz A x A x A x A x A , ou seja, basta calcularmos o determinante da matriz A, para podermos encontrar o determinante da matriz A5:

Det(A) = (2 x 1) - (0 x 1) = 2 - 0 = 2

Assim temos:

Det(A5) = Det(A) x Det(A) x Det(A) x Det(A) x Det(A)

Det(A5) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

Resposta letra C.

393 - (ATA - 2012 / ESAF) Dadas as matrizes A =

o determinante do produto A . B.

a) 8b) 12c) 9d) 15e) 6

2 31 3

e B =2 4 1 3

, calcule

Solução:

Aqui temos duas opções, ou calculamos o determinante de cada matriz e depois multiplicamos o resultado, ou multiplicamos as matrizes A e B e depois calculamos seu determinante. Vou optar pela 1a opção:

Det(A) = (2 x 3) - (1 x 3) = 6 - 3 = 3

Det(B) = (2 x 3) - (1 x 4) = 6 - 4 = 2

Por fim, temos:






Prof Marcos Pinon - Aula 08Det(A x B) = Det(A) x Det(B) = 3 x 2 = 6

Resposta letra E.

394 - (DNIT - 2012 / ESAF) Os elementos de uma matriz Azxi, isto é, com três linhas e duas colunas, são dados por:

a _ í(i + j)2 sei = ja'j _ 2 .2l i2 + j2 sei * j

Em que aj representa o elemento da matriz A3X2 localizado na linha i e coluna j. Então, a soma dos elementos da primeira coluna de A3X2 é igual a:

a) 17b) 15c) 12d) 19e) 13

Solução:

Nessa questão, vamos escrever a matriz A3x2:

ai1 a12 a21 a22 a31 a32

Usando a regra definida para os elementos de A, temos:

A(1 + 1)2 12 + 22 22 + 12 (2 + 2)232 + 12 32 + 22

A(2)2 1 + 4 4 +1 (4)2 9 +1 9 + 4

A4 55 16 10 13

Por fim, podemos somar os elementos da 1a coluna:







Soma = 4 + 5 + 10 = 19

Resposta letra D.

395 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças diferentes e de cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores - branco e laranja - ; a cobra vive na casa do meio. Assim , os animais de estim ação de Zezé, Zozó e Zuzu são, respectivamente:

a) cão, cobra, calopsita.b) cão, calopsita, cobra.c) calopsita, cão, cobra.d) calopsita, cobra, cão.e) cobra, cão, calopsita.

Solução:

Nessa questão, vamos começar montando a seguinte tabelinha:

cão cobra calopsitaZezéZozóZuzu


Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó

cão cobra calopsitaZezéZozó NãoZuzu

A calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores - branco e laranja

cão cobra calopsitaZezé NãoZozó NãoZuzu

Agora, podemos perceber o seguinte:

o cão mora em uma casa contígua à casa de Zozó; a cobra vive na casa do meio







Com essas informações, podemos concluir que Zozó possui uma cobra, pois se é a cobra que fica no meio, consequentemente o cão fica em uma das pontas. Como o cão é vizinho de Zozó, podemos concluir que Zozó fica na casa do meio.

cão cobra calopsitaZezé Não NãoZozó Não Sim NãoZuzu Não

Por fim, resta a Zezé ser o dono do Cão e Zuzu o dono da calopsita:

cão cobra calopsitaZezé Sim Não NãoZozó Não Sim NãoZuzu Não Não Sim

Resposta letra A.






Prof Marcos Pinon - Aula 08Vamos tratar hoje dos “Problemas Geométricos”. Antes, vamos relembrar um pouco da Geometria Básica. Vamos lá:

2 - Geometria Plana

Ponto, reta e plano

O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma definição aceita de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um ponto por uma letra maiúscula do alfabeto (A, B, C, P, ...).

Podemos definir uma reta como sendo um número infinito de pontos em sequência. É possível perceber que sobre um ponto passa um número infinito de retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta, a qual passaremos a chamar por uma letra minúscula do alfabeto (s, t, q, r, ...). Além disso, chama-se de semirreta aquela que começa em um ponto qualquer de uma reta e não tem fim. Já o segmento de reta é aquele que começa em um ponto qualquer da reta e termina em outro ponto desta mesma reta.

Reta< -------------------------->

, > Semirreta

■ > Segmento de reta

O plano será definido por três pontos não-colineares (que não estão na mesma reta). Todas as retas que passam por dois desses pontos que definem o plano estão contidas nele. Denominaremos o plano por uma letra grega minúscula qualquer (a, p, y, ...).

Posições relativas entre retas, semirretas, segmentos e planos

Duas retas distintas podem assumir diferentes posições no espaço. Elas podem ser: paralelas, coincidentes, concome ntes, perpendiculares ou reversas.

• Retas Paralelas

Duas retas serão paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum.

Retas Coincidentes

sr






Prof Marcos Pinon - Aula 08Duas retas são ditas coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.

• Retas Concorrentes s

Retas concorrentes são aquelas que possuem apenas um ponto comum, elas se tocam apenas uma vez.

t i

• Retas Perpendiculares s* *

r

Duas retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes. Sua peculiaridade é que o ângulo formado por essas duas retas é igual a 90°

• Retas Reversas

Duas retas serão ditas reversas se, ao mesmo tempo, elas não forem paralelas e não possuírem nenhum ponto em comum.

Podemos, também, definir outras posições relativas das retas, semirretas, segmentos e planos:

• Semirretas Opostas O<----------- •----------- >•

Duas semirretas são denominadas d postas se elas estão numa mesma reta, possuem um mesmo ponto de origem e possuem sentidos opostos (na figura acima o ponto “O” divide a reta em duas semirretas opostas).

• Segmentos ConsecutivosB A

C

Dois segmentos de reta são ditos consecutivos se a extremidade de um dos segmentos é também a extremidade do outro, ou seja, se uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro. Na figura acima, os segmentos AB e BC são consecutivos.

• Segmentos Colineares A B C D<— m---------• — • ------------1— >







Dois segmentos de reta serão colineares se eles pertencerem a uma mesma reta. Na figura acima, os segmentos AB e CD são colineares.

C D• Segmentos Congruentes a b •-----------•

5 cm5 cm

Dois segmentos serão congruentes se eles tiverem as mesmas medidas. Na figura acima, os segmentos AB e CD são congruentes, pois ambos medem cinco centímetros.

• Segmentos Adjacentes<■

A B C“■------ ■------ W- *•

Dois segmentos serão ditos adjacentes se eles forem consecutivos e colineares, e ainda, se possuírem apenas uma extremidade em comum e não tiverem outros pontos em comum. Na figura acima, AB e BC são adjacentes.

Reta paralela a um plano

Uma reta será paralela a um plano se eles não tiverem nenhum ponto em comum.

• Reta contida num plano

Uma reta estará contida num plano se todos os seus pontos pertencerem a este plano.

Reta secante (ou concorrente) a um plano

Uma reta será secante (ou concorrente) a um plano se ambos só tiverem um ponto em comum.

Se o ângulo que se formar entre a reta e o plano for 90°, dizemos que eles são perpendiculares.

Ângulos






Prof Marcos Pinon - Aula 08Podemos definir um ângulo como sendo uma região formada pela abertura de duas semirretas que possuem uma origem em comum. A origem dessas duas semirretas chama-se vértice do ângulo.

Os

r

Existe uma semirreta importante no estudo dos ângulos que é a bissetriz. Ela tem origem no vértice de um ângulo qualquer e o divide em dois ângulos iguais.

s

Bissetriz

r

As unidades de medida mais comuns para os ângulos são radianos ou graus. Existem outras unidades, porém, muito pouco usadas e não merecem que percamos nosso tempo com elas.

A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. Já a medida em graus de um ângulo é o comprimento desse mesmo arco, dividido pela circunferência do círculo e multiplicada por 360.

a (em graus) = L2.n.R

.360

Obs: Veremos mais na frente que o comprimento da circunferência vale 2.n.R.

Agora, vamos verificar as seguintes classificações dos ângulos: quanto à medida, quanto à posição e quanto à complementação.





Estratégiar n N r i i R < ; n < ; * *C O N C U R S O S



• Classificação quanto à medida

Os ângulos podem ser:

Nulo: O ângulo nulo é aquele que mede 0°(ou 0 radianos).

Agudo: O ângulo será agudo, se sua medida valer mais que 0°(ou 0 radianos) e menos que 90°(ou ^2 radianos).

Reto: O ângulo reto é aquele que mede exatamente 90°(o u radianos).

Obtuso: O ângulo será obtuso, se sua medida valer mais que 90° (ou ^2

radianos) e menos que 180°(ou n radianos).

Raso: O ângulo raso é aquele que mede 180°(ou n radianos).

• Classificação quanto à posição

Congruentes: Dois ângulos são classificados como congruentes, quando eles possuem a mesma medida.

Consecutivos: Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Na figura abaixo, a e p são consecutivos.

Adjacentes: Dois ângulos são classificados como adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Na figura abaixo, a e p são adjacentes.

Opostos pelo vértice: São ângulos formados por duas retas concorrentes e que possuem seus dois lados nas mesmas retas. Na figura abaixo, a e p são opostos pelo vértice.







• Classificação quanto à complementação

Complementares: Dizemos que a e p são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Assim, dizemos que a é o complemento de p e vice- versa.

Suplementares: Dizemos que a e p são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180° Assim, dizemos que a é o suplemento de p e vice-versa.

Circunferência

Podemos definir uma circunferência como o lugar geométrico dos pontos de um plano que possuem a mesma distância (raio) de um ponto fixo (centro).

O segmento de reta que passa pelo centro e une dois pontos da circunferência é chamado de diâmetro (D). Esse diâmetro vale o dobro do raio (R).

O comprimento da circunferência, ou perímetro (P), é igual a:

P = 2.n.R ou P = n.D

A área de uma circunferência é dada pela seguinte expressão:

Polígonos

O polígono é uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se interceptam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do






Prof Marcos Pinon - Aula 08polígono. Os pontos de interseção são denominados vértices do polígono. Os polígonos podem ser: Convexo ou Côncavo.

O Polígono Convexo é aquele construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento de reta tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.

O Polígono Côncavo é aquele construído de modo que existam dois pontos contidos no polígono de forma que o segmento de reta com esses dois pontos nas extremidades possua pontos fora do polígono.

Triângulos

Os triângulos são polígonos que possuem três lados e a soma de seus ângulos internos vale 180°. Para podermos garantir a existência de um triângulo, devemos garantir que cada lado seja menor que a soma dos outros dois lados. Além disso, devemos garantir que cada lado seja maior que o módulo da diferença entre os outros dois lados e que os seus três vértices não estejam numa mesma reta:

a < b + c a > |b - c|

aEles podem ter as seguintes classificações:

- Quanto à medida dos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo)- Quanto à medida dos lados (equilátero, isósceles e escaleno)

Classificação dos triângulos quanto à medida dos seus ângulos

• Triângulo Acutângulo






Prof Marcos Pinon - Aula 08O triângulo é classificado como acutângulo, quando ele possui todos os ângulos menores que 90°.

• Triângulo Retângulo

Classificamos o triângulo como retângulo, quando ele possui um ângulo medindo exatamente 90°. Nesse triângulo, os lados que forma m o ângulo reto denominam- se catetos, e o lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa.

Cabe destacar logo agora o Teorema de Pitágoras. Esse teorema estabelece que o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos:

Cateto 2

Cateto 1

/ --------------------------------------------------------------- \

(Hipotenusa)2 = (Cateto 1)2 + (Cateto 2)2V______________________________________/

• Triângulo obtusângulo

O triângulo é classificado como obtusângulo, quando possui um ângulo medindo mais de 90°.

Classificação dos triângulos quanto à medida dos seus lados

• Triângulo equilátero

O triângulo é classificado como equilátero, quando todos os seus lados possuem a mesma medida. Este triângulo também possui todos os seus ângulos medindo 60°(é dito equiângulo).

• Triângulo Isósceles

O triângulo é classificado como isósceles, quando possui dois lados de mesma medida. Pode-se dizer que o triângulo equilátero é um caso particular do triângulo isósceles, quando o terceiro lado também apresenta a mesma medida dos outros dois.

• Triângulo Escaleno

Classificamos o triângulo como escaleno se todos os seus lados possuírem medidas diferentes.






Prof Marcos Pinon - Aula 08Existem algumas medidas dos triângulos que devem ser destacadas

Mediatriz, Altura, Mediana e Bissetriz

• Mediatriz

A mediatriz de um triângulo é a semirreta perpendicular a um lado do triângulo, traçada a partir do seu ponto médio.

As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, chamado de circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo (o triângulo fica dentro da circunferência). O circuncentro pode ficar dentro ou fora do triângulo.

• Altura

A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Ela é o segmento de reta que liga um vértice ao seu lado oposto, ou ao prolongamento do seu lado oposto, formando um ângulo reto com esse lado, que é chamado de base dessa altura. Na figura abaixo, “h” é a altura relativa à base “a”.

a

O ponto de encontro das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro. No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo.







• Mediana

A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une o vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.

O ponto de interseção das três medianas é chamado de baricentro do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice

Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede metade desta hipotenusa.

• Bissetriz

A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.

O ponto de encontro das três bissetrizes internas do triângulo chama-se incentro. O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito.

Aqui, cabe destacar que os dois segmentos de reta que ligam um vértice do triângulo aos pontos em que o circulo inscrito tangencia os lados do triângulo, possuem a mesma medida.







Área do triângulo

Para se calcular a área de um triângulo, devemos primeiro saber quem é a altura do triângulo. A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Na figura abaixo, “h” é a altura relativa à base “a”. Pode-se calcular a área de um triângulo multiplicando-se um lado qualquer desse triângulo por sua altura relativa e dividindo o resultado por dois.

f ------------------------- ■na . hArea =

2\ ___________ J

Num triângulo retângulo, as alturas relativas às bases que formam o ângulo reto coincidem com os lados desse triângulo, conforme figura abaixo. Assim, para calcular a área desse triângulo basta multiplicar esses dois catetos e dividir o resultado por dois.

Area = a . b~2~

Outra forma de calcular a área de um triângulo é por meio da medida de seus lados. Assim, um triângulo de lados a, b e c, possui a seguinte área:

Area = /̂s.(s - a).(s - b).(s - c ) , onde s = a + 2 + C (semi-perímetro)

Semelhança entre triângulos

Podemos definir a semelhança entre dois triângulos da seguinte forma:

“Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.”







X A

a

Os triângulos 1 e 2 são ditos semelhantes se:

A AX = AA AY = BA AZ = Cx _ y _ za b c

A semelhança de triângulos possui um teorema fundamental que numa prova pode nos ajudar a rapidamente identificar dois triângulos semelhantes:

“Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em dois pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro”

C

A ' B

Considerando que a reta r é paralela ao lado AB, os triângulos ABC e XYC são semelhantes.

Existem outras formas de se determinar que dois triângulos são semelhantes:

AA (Angulo-Angulo): Se dois triângulos possuem dois ângulos internos correspondentes iguais, então os dois triângulos são semelhantes.

LAL (Lado-Ângulo-Lado): Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e os ângulos determinados por estes lados são iguais, então os triângulos são semelhantes.







LLL (Lado-Lado-Lado): Se as medidas dos lados de um triângulo são respectivamente proporcionais às medidas dos lados homólogos de outro triângulo, então os dois triângulos são semelhantes.

Quadriláteros

O quadrilátero é o polígono que possui quatro lados e a soma de seus ângulos internos vale 360°. As diagonais do quadrilátero são segmentos de reta que unem seus vértices opostos.

Concentraremos o estudo nos quadriláteros que possuem dois lados opostos paralelos. Eles se dividem em dois grupos: os paralelogramos e os trapézios.

Os paralelogramos possuem os lados paralelos dois a dois (lados opostos paralelos) e suas diagonais se encontram no ponto médio. Eles se dividem em: Quadrados, Retângulos, Losangos e Paralelogramos obliquângulos.

Os trapézios possuem apenas dois de seus lados paralelos, mas o comprimento dos seus lados e a medida de seus ângulos variam sem nenhuma relação uns com os outros. Eles se dividem em: trapézio retângulo, trapézio isósceles e trapézio escaleno.

Quadrado: É um quadrilátero que possui todos os lados do mesmo tamanho e todos os ângulos iguais a 90°.

Retângulo: É um quadrilátero que possui todos os ângulos iguais a 90°, seus lados paralelos com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos diferentes.

Losango: É um quadrilátero que possui todos os lados de mesmo tamanho, seus ângulos oposto com a mesma medida e seus ângulos adjacentes com medidas diferentes.

Paralelogramo obliquângulo: É um quadrilátero que possui seus lados paralelos com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos diferentes. Seus ângulos opostos são congruentes e os adjacentes de medidas diferentes.







Trapézio Reto: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos diferentes, e dois ângulos adjacentes medindo 90°.

90°

90°

Trapézio Isosceles: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos diferentes, e dois lados opostos não paralelos de mesmo tamanho. Num trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são iguais.

Trapézio Escaleno: É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos diferentes e dois lados não paralelos, também de tamanhos diferentes, sem nenhum ângulo reto.

Polígonos de “n" lados

Além dos triângulos e dos quadriláteros, os polígonos podem ter 5, 6, 7, ..., n lados. Segue uma tabelinha com algumas de suas nomenclaturas:

N° de lados Nomenclatura N° de lados Nomenclatura3 lados Triângulo 7 lados Heptágono4 lados Quadrilátero 8 lados Octógono5 lados Pentágono 9 lados Eneágono6 lados Hexágono 10 lados Decágono

Uma informação importante a respeito dos polígonos, é a quantidade de diagonais que possui cada polígono. Vamos ver alguns exemplos:

Triângulo: Não possui nenhuma diagonal

Quadrilátero: Possui duas diagonais







Pentágono: Possui cinco diagonais

Hexágono: Possui nove diagonais

Percebam que fica cada vez mais difícil contar a quantidade de diagonais do polígono. Mas existe uma lógica que nos permite estabelecer uma “fórmula” para o seu cálculo. Para um polígono convexo de n lados, o número de diagonais é dado por:

/ >1D = n.(n - 3)

2v_________ J

Vamos testar a fórmula com os exemplos que vimos acima:

Quadrilátero:

D = n.(n - 3) = 4.(4 - 3) = 4.(1) = 2 2 2 2

Pentágono:

D = n.(n - 3) = 5.(5 - 3) = 5.(2) = 5 2 2 2

Hexágono:






Prof Marcos Pinon - Aula 08D = n.(n - 3) = 6.(6 - 3) = 6.(3) = g

2 2 2

É interessante, também, sabermos como calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer. Já sabemos que a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180° e do quadrilátero é igual a 360°. Isso se deve ao fato de podermos dividir o quadrilátero em dois triângulos:

Si = 2 x 180°= 360°(S i é a soma dos ângulos internos)

Para o pentágono, temos:

Si = 3 x 180°= 540°

Para um polígono de n lados também podemos fazer a mesma coisa, mas pode dar muito trabalho e nos levar a errar na prova. Assim, para um polígono de n lados, existe uma expressão que resume o que fizemos:

C------------------------------\Si = (n - 2) x 180°

V ____________________________________

Perímetro

O perímetro de uma figura plana qualquer é o comprimento de seu contorno. Assim, o perímetro de um polígono qualquer é igual à soma das medidas de seus lados.

Áreas de regiões planas

Já vimos como calcular a área de uma circunferência e a área de um triângulo qualquer. Vamos ver agora, como encontrar a área dos outros polígonos.






Prof Marcos Pinon - Aula 08Area dos paralelogramos: A área de um paralelogramo é dada pelo produto da base por sua altura relativa.

Area = base x altura

No caso do quadrado, a base e a altura coincidem com seus lados (L). Como os lados do quadrado são iguais, temos:

f---------------------------------------\Area do quadrado = L2

V _______________________ ✓

No caso do retângulo, a base e a altura também coincidem com seus lados (L1 e L2). Assim:

C---------------------------------------------- \

Area do retângulo = L1 x L2V ________________________________________________________ )

No caso do losango, é possível demonstrar que sua área é igual à metade do produto de suas diagonais. Assim:

Area do losango = D1xD22

Por fim, no caso de um trapézio qualquer, é possível demonstrar que a sua área é igual ao produto da média de seus lados paralelos por sua altura relativa:

Area do trapézio = (Base1 + Base2) x Altura 2

y

Ainda, cabe destacar que para calcular a área de qualquer polígono, podemos dividi-lo em triângulos, calcular suas áreas e somá-las.

Área do pentágono = A1 + A2 + A3 Área do hexágono = A1 + A2 + A3 + A4





Estratégiar n N r i i R < ; n < ; * *C O N C U R S O S



3 - Geometria Espacial

A Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, onde estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro e esfera.

Cada plano do sólido é chamado de face.

As arestas são os segmentos de reta que unem duas faces do sólido.

Os vértices são os pontos onde mais de duas arestas do sólido se encontram.

O prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos. O prisma cujas bases são paralelogramos é chamado de paralelepípedo.

Prisma reto

As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são perpendiculares ao plano da base e as faces laterais são retangulares. O prisma reto que possui em todas as faces um quadrado é chamado de cubo.

Prisma oblíquo

As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são oblíquas ao plano da base e as faces laterais não são retangulares.

/ 7 1

J /

Prisma

M__IX







• Altura do prisma

A altura do prisma é a medida da distância entre sua base inferior e sua base superior.

• Área Lateral e Área Total

A área lateral do prisma é dada pela soma das áreas de cada quadrilátero de suas faces laterais. No caso de um prisma com base triangular, teremos que sua área lateral será igual à soma das áreas dos três quadriláteros que formam suas faces laterais.

A área total do prisma é igual à soma de sua área lateral com a área de suas duas bases, a inferior e a superior.

• Volume

O volume do prisma é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida de sua altura:

r----------------------------------------- \

V = Área da base x AlturaV_________________________/

Pirâmide

Uma pirâmide é todo um sólido formado por uma face inferior (base) e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base.

• Altura da pirâmide

A altura da pirâmide é a medida da distância entre o vértice e sua base inferior.








A área lateral da pirâmide é dada pela soma das áreas de cada triângulo de suas faces laterais. No caso de uma pirâmide com base quadrada, teremos que sua área lateral será igual à soma das áreas dos quatro triângulos que formam suas faces laterais.

A área total da pirâmide é igual a soma de sua área lateral com a área de sua base.

• Volume

O volume da pirâmide é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida de sua altura e dividindo-se o resultado por 3:

r

Vpirâmide _ Área da Base x Altura 3

Pose ser cobrado numa prova o volume, a área lateral ou alguma outra medida de um tronco de pirâmide. Mas o que é isso? Simples, o tronco de uma pirâmide é obtido ao se traçar uma seção transversal em uma pirâmide, conforme mostrado abaixo:

Pirâmidemenor

Tronco da pirâmide

O tronco da pirâmide está representado pelo sólido limitado pelas arestas azuis.

Normalmente o que é cobrado é o tronco de pirâmide formado a partir de um corte paralelo à base. Assim, para calcular o volume do tronco dessa pirâmide, temos:

r--------------------------------------------------------- \Vtronco = Vpirâmide maior — Vpirâmide menor

v__________________________________

O mesmo serve para a área lateral do tronco.







Cilindro

O cilindro é semelhante a um prisma, sendo que sua base é um círculo. Ele pode ser formado pela rotação de um quadrado ou retângulo em torno de um de seus lados.

• Altura do cilindro

A altura do cilindro é a medida da distância entre sua base inferior e sua base superior.


A área lateral do cilindro é dada por:c--------------------------- \

Alateral = 2.n.R.h

A área total do prisma é igual à soma de sua área lateral com a área de suas duas bases, a inferior e a superior.

c------------------------------------------------------------------ \Atotal = 2.n.R.h + n.R2 + n.R2 = 2.n.R.(h + R)

V________________________________________________________________________________ /

• Volume

O volume do cilindro é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida de sua altura: I

V = Abase x Altura = n.R2.hV_________________________ /

Cone

Aqui, só iremos tratar dos cones circulares retos, que são os cones onde a projeção do vértice na sua base coincide com o centro da circunferência. Um cone é semelhante a uma pirâmide, sendo que sua base é um círculo. Ele pode ser formado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.






Prof Marcos Pinon - Aula 08A hipotenusa desse triângulo é chamada de geratriz (ou apótema), que é a medida do segmento de reta que liga o vértice do cone à borda da sua base.

geratriz

• Altura do cone

A altura do cone é a medida da distância entre o vértice e sua base inferior. Para um cone onde a geratriz é igual ao diâmetro da base (cone equilátero), a altura vale:

h = R.V3


A área lateral do cone é dada por:

'-----------------------\Alateral = TC.R.g

v____________________

A área total do cone é igual à soma de sua área lateral com a área de sua base.

/----------------------------------------------------\Atotal = n.R.g + n.R2 = n.R.(R + g)

V_______________________________

• Volume

O volume do cone é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida de sua altura e dividindo-se esse resultado por 3:

V = Ab ura3

n.R2.h3 y

Semelhante ao que vimos para a pirâmide, pode ser cobrado numa prova as medidas de um tronco de cone. Utilizaremos os mesmo conceitos vistos lá em cima.

Esfera






Prof Marcos Pinon - Aula 08A esfera é um sólido formado por uma superfície curva onde todos os seus pontos possuem a mesma distância de um outro ponto denominado centro. Ela pode ser formada pelo giro de uma semi-circunferência em torno de um eixo.

• Área

A área da superfície de uma esfera é dada por:

f-----------------------\Área = 4.n.R2

V___________________________

• Volume

O volume de uma esfera é dado por:

Volume = 4.n.R33 j

Ufa! Agora vamos às questões!






Prof Marcos Pinon - Aula 08(Texto para as questões de 396 e 397) Três crianças costumam brincar de caça ao tesouro, em local plano, na praia, da forma descrita a seguir: de posse de uma bússola, elas fixam um ponto P na praia com uma bandeirinha, uma delas esconde um brinquedo sob a areia e, depois, passa o mapa e a bússola para que as outras duas tentem encontrar o tesouro. O mapa consiste em uma sequência de instruções formadas pelo número de passos em linha reta e um sentido — a partir da bandeirinha —, que deve ser observada para se encontrar o tesouro.

A partir do texto acima e considerando que a medida do passo de todas as crianças seja idêntica e que as instruções do mapa sejam seguidas na ordem apresentada, julgue os itens seguintes.

396 - (MEC - 2011 / CESPE) Se as crianças se unirem no ponto P e a primeira caminhar 2 passos para o norte, a segunda, 2 passos para o sudoeste e a terceira, 2 passos para o sudeste, o triângulo cujos vértices corresponderão às posições finais das crianças será equilátero.

Solução:

Vamos, primeiro, tentar desenhar o triângulo da questão:

No desenho acima, os traços azuis representam os caminhos e o triangulo vermelho é o que devemos analisar se é equilátero ou não. Com um desenho bem feito nós já podemos perceber que o triângulo é isósceles e não equilátero, haja vista que um dos lados é menor do que os outros dois. Uma forma de provar isso é que num triângulo equilátero seus ângulos internos são iguais. Observe que os

ângulos dos vértices SO e SE possuem38

da circunferência cada um, enquanto

que o ângulo do vértice N possui

figura abaixo:

28

da circunferência, conforme demonstrado na







Assim, o item está errado.

397 - (MEC - 2011 / CESPE) O mapa contendo as instruções “4 passos para o norte, 5 passos para o sudeste e 5 passos para o oeste” conduzirá ao mesmo ponto que o mapa com a instrução “2 passos para o oeste”.

Solução:

Nessa questão, vamos desenhar os caminhos indicados pelos dois mapas:

4

P2

<— P

Mapa 1 Mapa 2

Novamente, com um desenho bem feito, podemos perceber que a questão está errada. De qualquer forma, vamos analisar os mapas. Percebam que a última instrução do mapa 1 é para oeste, assim como o mapa 2. Com isso, podemos concluir que, para os mapas levarem ao mesmo lugar, é necessário que a última instrução do mapa 1 faça o menino cruzar o ponto de partida quando faltarem ainda 2 passos para oeste, ou seja, após o terceiro passo.

4 2

< P

Mapa 1

Agora, percebam que andar para o norte e andar para oeste são direções perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90° entre si. Além disso, andar para o norte e andar para sudeste formam um ângulo de 45°, da mesma forma que andar para sudeste e andar para oeste também formam. Assim, podemos concluir que o triângulo formado pelo mapa 1 é isósceles, já que possui 2 ângulos de 45° e um ângulo de 90°. A base desse triângulo isósceles é a segunda instrução do mapa, portanto, ela mede 5 passos. Assim:







Por fim, percebam que há uma contradição nos dois últimos desenhos, pois no primeiro desenho os lados do triângulo são 3, 4 e 5, e no segundo desenho dois dos lados do triângulo possuem a mesma medida.

Portanto, o item está errado.

(Texto para as questões 398 e 399) Nas retas paralelas, R e S, que distam 10 cm uma da outra, marcaram-se 4 pontos na reta R e 5 pontos na reta S; dois pontos adjacentes em uma mesma reta distam 7 cm um do outro. Julgue os itens que se seguem, acerca dos triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses 9 pontos.

398 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Nenhum desses triângulos tem área superior 138 cm2.

Solução:

Vamos, primeiro, desenhar o que o texto nos informa:

rR

10 cm<

7 cm

Bom, agora devemos analisar se algum dos triângulos formados pelos nove pontos marcados nas retas pode ter uma área superior a 138 cm2. Sabemos que a área de um triângulo é dada por:

Área =a x h

2

Com isso, podemos ver que a área do triângulo será maior, quando sua base e sua altura forem as maiores possíveis. Assim, se a base for formada pelos pontos






Prof Marcos Pinon - Aula 08extremos da reta “S”, teremos uma base de 28 cm, que é a maior possível. Ligando essa base a qualquer um dos pontos da reta “R”, teremos uma altura de 10 cm. Assim:

R

S

Área =a x h

228x10

2280

= 140 cm2

Portanto, como existe a possibilidade de a área de um triângulo formado pelos pontos das retas “R” e “S” possuir mais do que 138 cm2, o item está errado.


399 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Todos esses triângulos têm área superior a 32 cm2.

Solução:

Para formarmos os triângulos necessariamente teremos que utilizar pontos das duas retas, pois três pontos numa mesma reta não formam um triângulo. Assim, o menor triângulo possível de ser formado com esses pontos terá uma base de 7cm e uma altura de 10 cm:

r

10 cm<

R

S

7 cm

Área =a x h

27 x 1 0

270T

= 35 cm2

Portanto, se o menor triângulo possível de ser formado com esses pontos possui 35 cm2, podemos concluir que todos os triângulos têm área superior a 32 cm2. Item correto.








400 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considerando 20 pontos sobre uma circunferência, em posições distintas, o polígono que tem vértices nesses 20 pontos tem 170 diagonais.

Solução:

Bom, para resolver essa questão, devemos nos lembrar de como encontrar o número de diagonais de um polígono qualquer. Para isso, vamos utilizar a seguinte equação:

D =n.(n - 3)

2onde D é a quantidade de diagonais e n o número de lados do

polígono.

No nosso caso, como o polígono possui 20 vértices, ele também possui 20 lados. Assim:

D = n.(n - 3)2

D = 20.(20 - 3) 2

D = 10 x 17 = 170

Item correto.

(Texto para a questão 401) A figura abaixo ilustra uma quadra de basquete correspondente a um retângulo com 28 m de comprimento e 15 m de largura. O círculo central tem diâmetro de 3,6 m, e o ponto O, seu centro, coincide com o centro do retângulo. O ponto A está sobre o círculo central, no ponto de interseção deste com a reta que une o centro da quadra com o vértice B, conforme apresentado na figura. Durante a partida, um jogador marca pontos para sua equipe se, depois de arremessar a bola, acertá-la no cesto que fica no campo adversário. Dependendo da distância do arremesso e da circunstância da partida, um acerto da bola no cesto pode valer 1, 2 ou 3 pontos.







Com base nessas informações e tomando 15,88 como valor aproximado de ^252,25 , julgue os itens seguintes.

401 - (IFB - 2010 / CESPE) O comprimento do segmento AB é superior a 14,2m.

Solução:

Nessa questão, vamos começar encontrando o comprimento do segmento OB. Vejamos:

Podemos ver na figura acima que o segmento OB é a hipotenusa do triângulo vermelho. Assim:

OB2 = 142 + 7,52

OB2 = 196 + 56,25

OB2 = 252,25

OB = V252,25 = 15,88 m

Assim, podemos desenhar o segmenP OB da seguinte forma:

O A B

Sabemos que OB mede 15,88 m. Além disso, sabemos que OA é igual ao raio do círculo central, que possui 3,6 m de diâmetro. Com isso, temos:

OA = R

OA = D~2







OA = — = 1,8 m 2

Por fim, podemos encontrar o comprimento de AB:

AB = OB - OA

AB = 15,88 - 1,8

AB = 14,08 m

Portanto, o item está errado.

(Texto para as questões 402 e 403) A área de um retângulo é 23 m2 e a soma das medidas de seus 4 lados é 20 m. Com relação a esse retângulo, julgue os itens seguintes.

402 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As diagonais do retângulo em apreço são medidas, em metros, por números não fracionários.

Solução:

Nessa questão, sabemos que a soma das medidas dos lados do retângulo vale 20 m:

B

A

B

A

A + B + A + B = 20

2.A + 2.B = 20

Dividindo tudo por 2, temos:

A + B = 10

A = 10 - B

Além disso, temos a informação de que a área do retângulo vale 23 m2:

A.B = 23

Substituindo o valor de A que encontramos logo acima, temos:

A.B = 23







(10 - B).B = 23

10.B - B2 = 23

B2 - 10.B + 23 = 0

Agora, devemos resolver esta equação do segundo grau:

A = b2 - 4.a.c

A = (-10)2 - 4.1.23

A = 100 - 92 = 8

B = - (-10) ±VÃ 2.1

B =10 ± 4 8

2

B =10 ± 2.V2

2

B = 5 ± 4 2

Para B = 5 + 4 2 , temos:

A = 10 - B

A = 10 - (5 + 4 2 )

A = 10 - 5 - 42

A = 5 - 4 2

Para B = 5 - 42 , temos:

A = 10 - B

A = 10 - (5 - 42 )

A = 10 - 5 + 4 2

A = 5 + 4 2







Portanto, um dos lados mede 5 + V2 e o outro lado mede 5 - V 2 .

5 + V2

5 - V2

5 + V2

5 - V2

Assim, podemos calcular a medida da diagonal do retângulo utilizando Pitágoras:

D2 = (5 + V 2)2 + (5 - V 2 )2

D2 = 52 + 2.5. V2 + (V 2 )2 + 52 - 2.5. V2 + (V 2 )2

D2 = 25 + 10. V2 + 2 + 25 - 10. v2 + 2

D2 = 25 + 2 + 25 + 2

D2 = 54

D = Võ4 = 3. a/6

Assim, como V6 é um número irracional, concluímos que o item está correto, jáque 3.V6 também é um número irracional, e, portanto, não é um número fracionário.

Item correto.

403 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As medidas dos lados desse retângulo, em metros, são números fracionários.

Solução:

Utilizando as informações que obtivemos na questão anterior, os lados do retângulo medem 5 + V2 e 5 - V 2 . Com isso, podemos concluir que os lados doretângulo não são números fracionários pois V2 é um número irracional, e, portanto, não fracionário.

Item errado.






Prof Marcos Pinon - Aula 084 - Questões comentadas nesta aula

(Texto para as questões de 396 e 397) Três crianças costumam brincar de caça ao tesouro, em local plano, na praia, da forma descrita a seguir: de posse de uma bússola, elas fixam um ponto P na praia com uma bandeirinha, uma delas esconde um brinquedo sob a areia e, depois, passa o mapa e a bússola para que as outras duas tentem encontrar o tesouro. O mapa consiste em uma sequência de instruções formadas pelo número de passos em linha reta e um sentido — a partir da bandeirinha — , que deve ser observada para se encontrar o tesouro.

A partir do texto acima e considerando que a medida do passo de todas as crianças seja idêntica e que as instruções do mapa sejam seguidas na ordem apresentada, julgue os itens seguintes.

396 - (MEC - 2011 / CESPE) Se as crianças se unirem no ponto P e a primeira caminhar 2 passos para o norte, a segunda, 2 passos para o sudoeste e a terceira, 2 passos para o sudeste, o triângulo cujos vértices corresponderão às posições finais das crianças será equilátero.

397 - (MEC - 2011 / CESPE) O mapa contendo as instruções “4 passos para o norte, 5 passos para o sudeste e 5 passos para o oeste” conduzirá ao mesmo ponto que o mapa com a instrução “2 passos para o oeste”.

(Texto para as questões 398 e 399) Nas retas paralelas, R e S, que distam 10 cm uma da outra, marcaram-se 4 pontos na reta R e 5 pontos na reta S; dois pontos adjacentes em uma mesma reta distam 7 cm um do outro. Julgue os itens que se seguem, acerca dos triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses 9 pontos.

398 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Nenhum desses triângulos tem área superior 138 cm2.

399 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Todos esses triângulos têm área superior a 32 cm2.

400 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considerando 20 pontos sobre uma circunferência, em posições distintas, o polígono que tem vértices nesses 20 pontos tem 170 diagonais.

(Texto para a questão 401) A figura abaixo ilustra uma quadra de basquete correspondente a um retângulo com 28 m de comprimento e 15 m de largura. O círculo central tem diâmetro de 3,6 m, e o ponto O, seu centro, coincide com o centro do retângulo. O ponto A está sobre o círculo central, no ponto de interseção






Prof Marcos Pinon - Aula 08deste com a reta que une o centro da quadra com o vértice B, conforme apresentado na figura. Durante a partida, um jogador marca pontos para sua equipe se, depois de arremessar a bola, acertá-la no cesto que fica no campo adversário. Dependendo da distância do arremesso e da circunstância da partida, um acerto da bola no cesto pode valer 1 ,2 ou 3 pontos.

Com base nessas informações e tomando 15,88 como valor aproximado de ^252,25 , julgue os itens seguintes.

401 - (IFB - 2010 / CESPE) O comprimento do segmento AB é superior a 14,2m.

(Texto para as questões 402 e 403) A área de um retângulo é 23 m2 e a soma das medidas de seus 4 lados é 20 m. Com relação a esse retângulo, julgue os itens seguintes.

402 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As diagonais do retângulo em apreço são medidas, em metros, por números não fracionários.

403 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As medidas dos lados desse retângulo, em metros, são números fracionários.






Prof Marcos Pinon - Aula 085 - Questões para praticar! A solução será apresentada na próxima aula

(Texto para as questões de 404 a 406) No prisma reto da figura acima, que representa, esquematicamente, uma urna eletrônica, as bases são trapézios retos, em que a base maior mede 27 cm, a base menor, 14 cm, e a altura, 13 cm. A altura do prisma é igual a 42 cm. No retângulo da parte frontal do prisma mostrado na figura, em um dos retângulos destacados, localizam-se as teclas e, no outro, uma tela em que aparece a foto do candidato escolhido pelo eleitor. Para atender aos eleitores portadores de deficiência visual, cada tecla possui, além do caractere comum, sua correspondente representação na linguagem braille. Cada caractere na linguagem braille é formado a partir de seis pontos colocados em duas colunas paralelas de três pontos cada. Seguindo as regras da linguagem braille, cada caractere é formado levantando o relevo de alguns desses pontos, que pode ser apenas um ponto ou até cinco pontos. A partir dessas informações econsiderando 1,4 como valor aproximado de V 2 , julgue os itens que se seguem.

404 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Se duas urnas serão armazenadas, sem sobras de espaço, em uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, então a soma das dimensões dessa caixa será igual a 96 cm.

405 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A área da face da urna onde estão localizados a tela e as teclas é superior a 7 dm2.

406 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) O volume do prisma é superior a 11 dm3.

(Texto para as questões 407 e 408) Sabe-se que as semirretas R e S são perpendiculares entre si e possuem a mesma origem e que sobre elas são mercados 5 pontos, 3 deles pertencentes à semirreta R e 1 desses 3 pontos pertencente também à semirreta S. Sabe-se, ainda, que, em cada semirreta, a distância entre pontos adjacentes é de 6 cm. Julgue os itens que se seguem acerca dos triângulos que têm vértices nesses pontos.

407 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) A proposição “Entre todos os triângulos formados a partir desses 5 pontos, o de menor perímetro tem área superior a 16 cm2” é falsa.






Prof Marcos Pinon - Aula 08408 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) A proposição “Se um triângulo formado a partir desses 5 pontos é isósceles, então esse triângulo tem um ângulo reto” é verdadeira.

(Texto para as questões 409 e 410) Em uma circunferência com raio de 5 cm, são marcados n pontos, igualmente espaçados. A respeito dessa situação, julgue os próximos itens.

409 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Se n = 4, então a área do polígono convexo que tem vértices nesses pontos é igual a 60 cm2.

410 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Se n = 6, então o polígono convexo que tem vértices nesses pontos tem perímetro inferior a 32 cm.

(Texto para a questão 411) O artista plástico estadunidense Richard Serra é notável por suas enormes esculturas em aço inspiradas em figuras geométricas. A figura acima mostra uma das salas do museu Guggenheim, em Bilbao, Espanha, com algumas de suas obras em exposição permanente. A escultura apontada pela seta, nessa figura, corresponde à superfície lateral de um tronco de cone circular reto, cuja área é dada pela diferença entre as áreas das superfícies laterais dos cones que o determinam. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

411 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Se o diâmetro da base maior medisse 5 m, o diâmetro da base menor medisse 3 m e a altura do tronco de cone fosse igual 3 m, teriam sido necessários mais de 36 m2 da lâmina de aço para construir essa escultura com a superfície lateral completamente fechada.

(Texto para as questões 412 e 413) Considerando que os números x, x + 7 e x + 8 sejam as medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo, julgue os próximos itens.

412 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A soma das medidas dos lados desse triângulo é superior a 28 cm.






Prof Marcos Pinon - Aula 08413 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A área desse triângulo é inferior a 32 cm2.

(Texto para as questões 414 a 416) Três caixas de água têm os seguintes formatos: paralelepípedo retângulo, com altura de 1 m e base quadrangular de 2 m de lado; cilíndrico, com altura de 1 m e base circular de raio igual a 1 m; e cone invertido, com base circular de 1 m de raio e altura igual a 3 m. Com referência a essas informações, tomando 3,14 como o valor aproximado da constante B e desprezando a espessura das paredes das caixas, julgue os itens subsequentes.

414 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A caixa com o formato cônico tem um volume de 3,14 m3.

415 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A caixa com a maior capacidade é a que tem o formato de um paralelepípedo retângulo.

416 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A caixa com o formato cilíndrico tem capacidade menor que a caixa com formato cônico.

(Texto para as questões 417 e 418) Considerando que o triângulo ABC seja retângulo no vértice A, que a hipotenusa desse triângulo meça 10 cm e que AH seja a altura desse triângulo relativa ao vértice A, julgue os itens que se seguem.

417 - (PM/ES - 2010 / CESPE) Se esse triângulo for isósceles, então a altura AH medirá 5 cm.

418 - (PM/ES - 2010 / CESPE) Se o segmento BH medir 2 cm, então as medidas, em centímetros, dos catetos desse triângulo serão números fracionários.

(Texto para as questões 419 e 420) Considere que as retas r e s sejam paralelas e que a distância entre elas é de 2 cm; que, na reta r, sejam marcados 4 pontos, de forma que a distância de qualquer um deles ao mais próximo seja de 5 cm; que, na reta s, sejam marcados 5 pontos, de forma que a distância de qualquer um deles ao mais próximo seja de 3 cm. Com base nessas informações e considerando, ainda, as áreas dos triângulos de vértices nos pontos marcados nas retas r e s, é correto afirmar que

419 - (EBC - 2011 / CESPE) a menor área é igual a 5 cm2.

420 - (EBC - 2011 / CESPE) a maior área é igual a 15 cm2.

(Texto para as questões 421 a 423) Considerando que as retas R1, R2, R3 e R4 sejam distintas e estejam no mesmo plano, e que, se a reta Ri intercepta a reta Rj,






Prof Marcos Pinon - Aula 08Pij — em que i, j = 0, 1, 2, 3, 4 e i * j — denote o ponto de interseção dessas retas, julgue os itens seguintes.

421 - (ANS - 2013 / CESPE) No caso de os pontos P12, P13 e P14 existirem e P12 = P13 = P14, então os pontos P34 e P23 também existirão e P34 = P23.

422 - (ANS - 2013 / CESPE) Se R1 for perpendicular a R2 e se R3 for perpendicular a R4, então, no mínimo, duas dessas quatro retas serão paralelas.

423 - (ANS - 2013 / CESPE) Se os pontos P12, P13 e P23 existirem e forem distintos, então a reta R1 não poderá ser perpendicular à reta R2.

(Texto para a questão 424) Os moradores de um município utilizam o marco zero da cidade, onde está localizada a estátua de seu fundador, como referência para endereços. Nesse município, existem 3 delegacias de polícia: a primeira localiza- se a 14 km ao norte do marco zero; a segunda, a 5 km ao sul e a 12 km a oeste do marco; e a terceira, a 9 km ao sul e a 12 km a leste do marco. Além disso, nesse município, a responsabilidade pelo inquérito de um delito é da delegacia mais próxima do local onde aconteceu o delito.

Considerando essas informações e que um latrocínio tenha sido praticado em um estabelecimento comercial situado a 3 km ao sul e a 1 km a leste do marco zero, julgue o item seguinte.

424 - (PO/AL - 2013 / CESPE) O inquérito do latrocínio ficou sob a responsabilidade da segunda delegacia.

425 - (AFRFB - 2014 / ESAF) Um polígono regular possui 48 diagonais que não passam pelo seu centro. A partir desta informação, pode-se concluir que o número de lados desse polígono é igual a:

a) 12b) 36c) 24d) 48e) 22

426 - (AFRFB - 2012 / ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, z metros e (w - 2) metros. Sabendo-se que o ângulo oposto ao cateto que mede (w - 2) metros é igual a um ângulo de 45°, então o perímetro desse triângulo, em metros, é igual a

a) zV2 (w - 2).







b) zw(2 - 2).c) zw(2 + V 2 ).d) (z + w)(z + w V 2 ).e ) z(2 + 2).

427 - (SMF/RJ - 2010 / ESAF) Considere um cubo C no qual a área de cada face mede 4 cm2. Sabendo-se que a diagonal do cubo é o segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo C mede, em centímetros:

a) 2 3 .b) 2 2.c) 4 2 .d) 3 3.e) 3 a/2 .

428 - (AFT - 2010 / ESAF) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa maneira,considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e de comprimento 5V2 cada uma. Sendo A a área desse quadrilátero, então:

a) A = 25.b) 25 < A < 50.c) 5>/2 < A < 25.d) 0 < A < 25.e) A > 25.

429 - (SUSEP - 2010 / ESAF) Um aquário em forma de cubo possui capacidade para abrigar 20 peixinhos coloridos por metro cúbico. Sabendo-se que uma diagonal de face desse aquário mede 10 metros, então o volume do aquário, em metros cúbicos (m3), e o número aproximado de peixinhos que podem ser abrigados neste aquário são, respectivamente, iguais a:

a) 250 2 m3; 250 800 kgb) 250 2 m3; 500 2 kgc) 50 2 m3; 250V8ÕÕ kgd) 50 20 m3; 250 800 kge) 50V20 m3; 250V400 kg






Prof Marcos Pinon - Aula 08430 - (AFRFB - 2009 / ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão numa mesma reta. Assim, o número de retas que ficam determinadas por estes sete pontos é igual a:

a) 16b) 28c) 15d) 24e) 32






Prof Marcos Pinon - Aula 086 - Gabarito

396 - E397 - E398 - E399 - C400 - C401 - E402 - C403 - E404 - C405 - C406 - C407 - E408 - C409 - E410 - C411 - C412 - C413 - C414 - C415 - C416 - E417 - C418 - E419 - E420 - C421 - C422 - E423 - E424 - E425 - A426 - E427 - A428 - D429 - A430 - A





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Aula 08 Raciocínio Lógico