AFRF Rac Lógico - Aula 0

Nome do Aluno- CPF do Aluno Nome do Aluno- CPF do Aluno


N o m e d o A l u n o - C P F d o A l u n o


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Raciocínio Lógico-Quantitativo – Teoria e Exercícios – Receita Federal do Brasil

Prof. José Jayme Moraes Junior 1

Raciocínio Lógico-Quantitativo – Teoria e Exercícios Receita Federal do Brasil

Prof. Moraes Junior Caro(a) concursando(a),

Primeiramente, gostaria de fazer uma breve apresentação: atualmente, sou Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, aprovado em 5o lugar para as Unidades Centrais no concurso de 2005 e trabalho na Coordenação-Geral de Fiscalização. Também ministro aulas de Contabilidade Geral, Avançada, Análise das Demonstrações Financeiras e Contabilidade de Custos em cursos preparatórios para concursos públicos e sou professor do Ponto dos Concursos. Além disso, trabalhei, durante 17 anos, na Marinha da Brasil, como Oficial de carreira (onde me graduei em Ciências Navais, ênfase em Eletrônica, na Escola Naval e, Engenharia Elétrica, ênfase em Telecomunicações, na Universidade de São Paulo) e 1 ano no Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada, como assessor da presidência.

Depois de longa espera (quatro anos!), finalmente, no dia 21 de setembro de 2009, dia da árvore, saiu o edital para o concurso de Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. E, em homenagem a esse dia, a disciplina de Raciocínio Lógico, veio cheia de “ramificações e folhas”.

De acordo com o edital supramencionado, Raciocínio Lógico-Quantitativo

agora é:

Raciocínio Lógico-Quant. (RL) + Matemática Financeira (MF) + Estatística (ES) A Esaf fez um “merge” (uma concatenação) e juntou três matérias em

uma única, denominada RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO. Há que se ressaltar a importância que foi dada a esta matéria. Veja o quadro abaixo:

Matérias Peso Questões Pontuação Percentual

Língua Portuguesa 2 20 40 11,43% Inglês ou Espanhol 1 10 10 2,86% Raciocínio Lógico-Quantitativo 2 20 40 11,43% Direito Comercial/Civil/Penal 1 20 20 5,71% Direito Constitucional/Administrativo 2 20 40 11,43% Direito Previdenciário 2 10 20 5,71% Direito Tributário 2 20 40 11,43% Comércio Internacional 2 10 20 5,71% Contabilidade Geral e Avançada 2 20 40 11,43% Auditoria 2 20 40 11,43% Administração Pública 2 10 20 5,71% Economia e Finanças Públicas 2 10 20 5,71%

Total 350 100%

Ou seja, RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO está entre as matérias de maior peso neste concurso, representando 11,43% do total de pontos das três provas.








Agora, você deve estar se perguntando: O que um professor de Contabilidade Geral, Análise e Custos está fazendo em um curso online de Raciocínio Lógico-Quantitativo? Bom, minha formação é em ciências exatas (sou Engenheiro de Telecomunicações, formado pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo) e estas matérias, que, agora, formam uma única, estão no meu “sangue”, isto é, fluem pela “minha corrente sanguínea” desde que me entendo por estudante. Sempre tive grande “paixão” por estas matérias (brincadeira, não é? Tanta coisa para ter paixão , fui escolher logo estas matérias! Rsrsrs). Enfim, quando comecei a ministrar aulas, além de Contabilidade Geral, também ministrava Raciocínio Lógico-Quantitativo, Estatística e Matemática Financeira. Passei um tempo dedicado somente à Contabilidade Geral, mas nunca me afastei das matérias exatas. E aqui estou eu, de volta, com este grande desafio de fazê-lo ser aprovado no concurso de Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. E farei tudo o que estiver ao meu alcance para que você atinja o seu objetivo. Bom, chega de apresentações e vamos ao nosso curso. Como o tempo é exíguo até a prova e você possui várias outras matérias “novas” para estudar, além da revisão das “antigas”, este curso será montado da seguinte maneira: um breve e conciso relato sobre a teoria relativa à aula e exercícios comentados e resolvidos de provas anteriores da Esaf, exceto na aula demonstrativa, que trará apenas um exercício resolvido como modelo, para que possa se familiarizar com o estilo de resolução de exercícios que será adotado no curso.

Somente em último caso, quando não houver questões suficientes da Esaf sobre determinado assunto, utilizarei questões de outras bancas examinadoras. Por que o curso será neste formato? Porque, como em todas as outras disciplinas de concursos, a maneira mais eficaz de aprender é fazendo exercícios anteriores da banca examinadora. E é deste modo que iremos trabalho para alcançar uma maior efetividade (eficiência + eficácia). Como diria um professor meu de um curso preparatório pré-militar: Resultado = Competência + Trabalho Se preferir:

“O gênio é composto por 2% de talento e 98% de perseverante aplicação”

Ludwing Van Beethoven Ou seja, vamos treinar, treinar, e, se for preciso, treinar mais, para aprender.








O conteúdo programático do curso será:

Conteúdo Programático - RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO (uma aula por semana)

Aula 00 (25/09/2009) – Aula Demonstrativa

1. Estruturas Lógicas (Teoria e exemplo de resolução de exercícios)

Aula 01 (06/10/2009) - Teoria e Exercícios Comentados e Resolvidos

1. Estruturas Lógicas (Exercícios Comentados e Resolvidos) 2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos.


4. Trigonometria. 5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares.

Aula 03 (20/10/2009) - Teoria e Exercícios Comentados e Resolvidos 6. Álgebra.

Aula 04 (27/10/2009) - Teoria e Exercícios Comentados e Resolvidos 7. Combinações, Arranjos e Permutação. 8.1. Probabilidade, Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de Probabilidade.

Aula 05 (03/11/2009) - Teoria e Exercícios Comentados e Resolvidos 8.2. Estatística Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão. 9. Geometria Básica.

Aula 06 (10/11/2009) - Teoria e Exercícios Comentados e Resolvidos 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização.


11. Parte 1: Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos.


11.1 Parte 2: Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros,








conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos.

Espero, que este curso seja bastante útil a você e que possa,

efetivamente, auxiliá-lo na preparação para o concurso público para Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil e na conseqüente conquista da tão sonhada vaga. As dúvidas serão sanadas por meio do fórum do curso, a que todos os matriculados terão acesso, que ficará disponível até o dia 04 de dezembro.

As críticas ou sugestões poderão ser enviadas para: [email protected].

Finalmente, gostaria de salientar a você, concursando(a): NUNCA

DESISTA DOS SEUS SONHOS. Deus nos deu o livre arbítrio para que possamos determinar nosso destino. Se você deseja ser aprovado em um concurso público, lute por isso, faça com dedicação, com sacrifício, sempre visando ao seu objetivo. Desta forma, você conseguirá ser aprovado!

Prof. Moraes Junior Setembro/2009








Aula 00: Estruturas Lógicas

1. Estruturas Lógicas. 1.1. Introdução Desde adolescente, ainda no século passado (tudo bem, não precisa me chamar de velho. Rsrsrs), sempre li vários livros de cálculos matemáticos, enigmas, charadas, como o “Livro dos Códigos”, “Malba Tahan – O Homem que Calculava”, “O Último Teorema de Fermat”, “Será que Deus Joga Dados”, “20.000 Léguas Matemáticas”, “Teorema do Papagaio” e outros.

Até como uma forma de treinar seu raciocínio lógico-quantitativo, no início de cada aula, independentemente do tema estudado, colocarei dois problemas para você solucionar. A solução estará no final da aula. Retirarei os problemas do livro “Malba Tahan – O Homem que Calculava”, que acho fantástico. Farei uma adaptação dos problemas, sem perder os conceitos. Vejamos os primeiros:

Problema 1: Suponha que você possua um camelo de sua propriedade e que três irmãos te contrataram para dividir a herança deles, de 35 camelos, pois eles não estavam conseguindo chegar a um acordo. De acordo com o testamento do pai, a herança deveria ser dividida da seguinte forma: o irmão mais velho fica com a metade dos camelos, o irmão do meio com a terça parte e o irmão mais novo com a nona parte. Você não pode dividir um mesmo camelo, pois, deste modo teria que matá-lo. Assinale a alternativa que deixaria todos os irmãos felizes na partilha da herança, cumprindo o disposto no testamento: (a) 18 camelos para o irmão mais velho; 10 camelos para o irmão do meio e 7 camelos para o irmão mais novo. (b) 18 camelos para o irmão mais velho; 12 camelos para o irmão do meio e 4 camelos para o irmão mais novo e 1 camelo para você. (c) 17 camelos para o irmão mais velho; 12 camelos para o irmão do meio e 6 camelos para o irmão mais novo. (d) 17 camelos para o irmão mais velho; 11 camelos para o irmão do meio e 6 camelos para o irmão mais novo e 2 camelos para você. (e) 17 camelos para o irmão mais velho; 11 camelos para o irmão do meio e 5 camelos para o irmão mais novo e 2 camelos para você.








Problema 2: Um homem que veio da Síria vender jóias fez um acordo com o dono da hospedaria em que ficou. Pagaria, pela sua hospedagem, 20 dinares se vendesse as jóias por 100 dinares, e 35 dinares se as vendesse por 200 dinares. Ao final de vários dias, vendeu tudo por 140 dinares. Quanto deveria o homem da Síria pagar pela hospedagem? (a) 22 dinares. (b) 24,50 dinares. (c) 26 dinares. (d) 38,50 dinares. (e) 30 dinares. Gostou? Já imaginou se cai na prova um problema destes? Bom, na próxima aula tem mais. Na introdução de cada aula, se for o caso, como já faço em meu curso online de Contabilidade Geral, Avançada e Análise em Exercícios para a Receita Federal, também haverá um item denominado “Dúvidas Interessantes”, onde trarei as dúvidas que julgo mais relevantes, postadas no fórum ou enviadas para o meu e-mail, com as respostas. Vamos a nossa aula de hoje?

1. Proposição Corresponde ao conceito mais elementar no estudo da lógica e representa uma sentença que declara algo por meio de palavras e símbolos. A partir daí, deve-se verificar se o conteúdo será verdadeiro ou falso. As proposições podem ser simples (uma única proposição) ou compostas (acompanhadas de outras proposições) e, normalmente, são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s, t, u, ...). As proposições podem ser abertas ou fechadas. As proposições abertas possuem uma variável ou um elemento desconhecido e não há como garantir que serão verdadeiras ou falsas. Por outro lado, as proposições fechadas serão sempre verdadeiras ou falsas. Exemplos: 1. Proposições Simples: Navio é um meio de transporte utilizado no mar. => declaração afirmativa Valor Lógico = Verdadeiro

Proposição => declaração (afirmativa ou negativa) => => verdadeira ou falsa








O automóvel é um meio de transporte utilizado no mar. => declaração afirmativa.

Valor Lógico = Falso O Tuareg, veículo utilitário de luxo, não é produzido no Brasil. => declaração negativa Valor Lógico = Verdadeiro O Ford Ecosport não é fabricado no Brasil. => declaração negativa Valor Lógico = Falso “10 + 5 = 14” => declaração afirmativa. Valor Lógico = Falso Nota: ATENÇÃO!! Vitor, vá escovar os dentes. => não é declaração e, conseqüentemente, não é uma proposição. O Fluminense vai cair para a segunda divisão? => não é uma declaração e, conseqüentemente, não é uma proposição. “10 + 5” => não é uma declaração e sim uma indicação de uma operação matemática. 2. Proposições Compostas: O navio é um meio de transporte utilizado no mar e o automóvel em um meio de transporte utilizado no continente. Se chover amanhã então eu não vou sair de casa. 3. Proposições Fechadas: Navio é um meio de transporte utilizado no mar. “10 + 5 = 14” 4. Proposições Abertas: “X + 5 = 10” “O carro X é fabricado no Brasil” Conceitos Importantes: I - Valor Lógico: corresponde a um dos dois possíveis valores atribuídos a uma proposição, verdadeiro ou falso.








II – Princípios do Raciocínio Lógico-Quantitativo:

- Princípio da Identidade: uma proposição verdadeira é sempre verdadeira e, conseqüentemente, uma proposição falsa é sempre falsa;

- Princípio do Não-Contraditório: não existe proposição que seja

verdadeira e falsa ao mesmo tempo; e

- Princípio do Terceiro Excluído: uma proposição somente será verdadeira ou falsa, e não há outra possibilidade.

III – Proposições Equivalentes: São proposições cujas tabelas-verdade são iguais (será visto adiante novamente). IV - Tabela-Verdade => representa todas as situações possíveis de uma proposição simples ou composta. O número de linhas da tabela verdade é igual a 2n, onde “n” é o número de proposições. Exemplo: Proposições p, q, r e s

� n = 4 � Número de Linhas = 2n = 24 = 16

Dica para montar a tabela verdade, de modo que sejam previstas todas as possibilidades: Exemplo 1: duas proposições = p e q Quantidade de linhas = 2n = 22 = 4 I – Na primeira coluna: Colocar “V” até a metade das linhas e “F” da linha seguinte em diante. Metade das Linhas = 4/2 = 2 Primeira coluna:

“V” => linhas 1 e 2 “F” => linhas 3 e 4

p q V V F F

II – Na segunda coluna: Colocar “V” até a metade das linhas com “V” da coluna anterior e “F” da linha seguinte das linhas com “V” da coluna anterior








até a última linha com “V”. Repetir o procedimento para o “F”. Repetir o procedimento para o “V” e o “F” até alcançar o número de linhas da tabela. Metade das Linhas da Coluna Anterior com “V” ou “F” = 2/2 = 1

Segunda coluna: “V” => linha 1 “F” => linha 2 “V” => linha 3 “F” => linha 4

p q V V V F F V F F

Exemplo 2: três proposições = p, q e r Quantidade de linhas = 2n = 23 = 8 I – Na primeira coluna: Colocar “V” até a metade das linhas e “F” da linha seguinte em diante. Metade das Linhas = 8/2 = 4 Primeira coluna:

“V” => linhas 1 a 4 “F” => linhas 5 e 8

p q r V V V V F F F F

II – Na segunda coluna: Colocar “V” até a metade das linhas com “V” da coluna anterior e “F” da linha seguinte das linhas com “V” da coluna anterior até a última linha com “V”. Repetir o procedimento para o “F”. Repetir o procedimento para o “V” e o “F” até alcançar o número de linhas da tabela. Metade das Linhas da Coluna Anterior com “V” ou “F” = 4/2 = 2

Segunda coluna: “V” => linhas 1 e 2 “F” => linhas 3 e 4 “V” => linhas 5 e 6








“F” => linhas 7 e 8 p q r V V V V V F V F F V F V F F F F

III – Na terceira coluna: Colocar “V” até a metade das linhas com “V” da coluna anterior e “F” da linha seguinte das linhas com “V” da coluna anterior até a última linha com “V”. Repetir o procedimento para o “F”. Repetir o procedimento para o “V” e o “F” até alcançar o número de linhas da tabela. Metade das Linhas da Coluna Anterior com “V” ou “F” = 2/2 = 1

Terceira coluna: “V” => linha 1 “F” => linha 2 “V” => linha 3 “F” => linha 4 “V” => linha 5 “F” => linha 6 “V” => linha 7 “F” => linha 8

p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Exemplo 4: quatro proposições = p, q, r e s Quantidade de linhas = 2n = 24 = 16 I – Na primeira coluna: Colocar “V” até a metade das linhas e “F” da linha seguinte em diante. Metade das Linhas = 16/2 = 8 Primeira coluna:

“V” => linhas 1 a 8 “F” => linhas 9 e 16








p q r s V V V V V V V V F F F F F F F F

II – Na segunda coluna: Colocar “V” até a metade das linhas com “V” da coluna anterior e “F” da linha seguinte das linhas com “V” da coluna anterior até a última linha com “V”. Repetir o procedimento para o “F”. Repetir o procedimento para o “V” e o “F” até alcançar o número de linhas da tabela. Metade das Linhas da Coluna Anterior com “V” ou “F” = 8/2 = 4

Segunda coluna: “V” => linhas 1 a 4 “F” => linhas 5 e 8 “V” => linhas 9 e 12 “F” => linhas 13 e 16

p q r s V V V V V V V V V F V F V F V F F V F V F V F V F F F F F F F F








III – Na terceira coluna: Colocar “V” até a metade das linhas com “V” da coluna anterior e “F” da linha seguinte das linhas com “V” da coluna anterior até a última linha com “V”. Repetir o procedimento para o “F”. Repetir o procedimento para o “V” e o “F” até alcançar o número de linhas da tabela. Metade das Linhas da Coluna Anterior com “V” ou “F” = 4/2 = 2

Terceira coluna: “V” => linhas 1 e 2 “F” => linhas 3 e 4 “V” => linhas 5 e 6 “F” => linhas 7 e 8 “V” => linhas 9 e 10 “F” => linhas 11 e 12 “V” => linhas 13 e 14 “F” => linhas 15 e 16

p q r s V V V V V V V V F V V F V F V V F V V F F V F F F V V F V V F V F F V F F F V F F V F F F F F F

IV – Na quarta coluna: Colocar “V” até a metade das linhas com “V” da coluna anterior e “F” da linha seguinte das linhas com “V” da coluna anterior até a última linha com “V”. Repetir o procedimento para o “F”. Repetir o procedimento para o “V” e o “F” até alcançar o número de linhas da tabela. Metade das Linhas da Coluna Anterior com “V” ou “F” = 2/2 = 1

Terceira coluna: “V” => linha 1 “F” => linha 2 “V” => linha 3 “F” => linha 4 “V” => linha 5 “F” => linha 6








“V” => linha 7 “F” => linha 8 “V” => linha 9 “F” => linha 10 “V” => linha 11 “F” => linha 12 “V” => linha 13 “F” => linha 14 “V” => linha 15 “F” => linha 16

p q r s V V V V V V V F V V F V V V F F V F V V V F V F V F F V V F F F F V V V F V V F F V F V F V F F F F V V F F V F F F F V F F F F

1.1 Conectivos 1.1.1 Conjunção (“e” ou “^”) Quando a proposição é conjuntiva, somente será verdadeira se todas as proposições envolvidas forem verdadeiras. Exemplos: O Fluminense é um time do Rio de Janeiro e o São Paulo é um time de São Paulo. => proposição conjuntiva verdadeira (ambas proposições verdadeiras). O Fluminense é um time do Rio de Janeiro e o São Paulo é um time de Minas Gerais. => proposição conjuntiva falsa (uma proposição verdadeira e outra proposição falsa).

p e q p ^ q








O Fluminense é um time de São Paulo e o São Paulo é um time de Minas Gerais. => proposição conjuntiva falsa (ambas proposições falsas). Tabela-Verdade da Proposição Conjuntiva

p q p ^ q V V V V F F F V F F F F

Representação por Conjuntos da Proposição Conjuntiva

=> interseção

p q p q Propriedades: Comutativa: p ^ q � q ^ p Associativa: p ^ (q ^ r) � (p ^ q) ^ r � p ^ q ^ r Distributiva em relação à disjunção (*): p ^ (q v r) � (p ^ q) v (p ^ r) (*) Será vista no próximo item. 1.1.2 Disjunção (“ou” ou “v”) Quando a proposição é disjuntiva, somente será falsa se todas as proposições envolvidas forem falsas. Exemplos: O Fluminense é um time do Rio de Janeiro ou o São Paulo é um time de São Paulo. => proposição disjuntiva verdadeira (ambas proposições verdadeiras). O Fluminense é um time do Rio de Janeiro ou o São Paulo é um time de Minas Gerais. => proposição disjuntiva verdadeira (uma proposição verdadeira e outra proposição falsa).

p ou q p v q








O Fluminense é um time de São Paulo ou o São Paulo é um time de Minas Gerais. => proposição disjuntiva falsa (ambas proposições falsas). Tabela-Verdade da Proposição Disjuntiva

p q p v q V V V V F V F V V F F F

Representação por Conjuntos da Proposição Disjuntiva

=> união p q p q Propriedades: Comutativa: p v q � q v p Associativa: p v (q v r) � (p v q) v r � p v q v r Distributiva em relação à conjunção: p v (q ^ r) � (p v q) ^ (p v r) 1.1.3 Disjunção Exclusiva ou “Ou Exclusivo” (“ou...ou...” ou

“v”) Quando a proposição é disjuntiva exclusiva, somente será verdadeira se uma das sentenças for verdadeira e a outra for falsa (sentenças mutuamente exclusivas). Exemplos: Ou o Fluminense é um time do Rio de Janeiro ou é um time de São Paulo. => proposição disjuntiva exclusiva verdadeira (uma proposição verdadeira e outra falsa). Ou o Fluminense é um time do Rio de Janeiro ou é um time de Rio de Janeiro. => proposição disjuntiva exclusiva falsa (ambas proposições verdadeiras). Ou o Fluminense é um time de São Paulo ou é um time de Minas Gerais.

ou p ou q p v q








=> proposição disjuntiva exclusiva falsa (ambas proposições falsas). Tabela-Verdade da Proposição Disjuntiva Exclusiva

p q p v q V V F V F V F V V F F F

Propriedades: Comutativa: p v q � q v p Associativa: p v (q v r) � (p v q) v r � p v q v r

1.1.4 Condicional ou Implicação (“Se...então” ou “�”) Quando a proposição é condicional, a proposição após o “se” é o antecedente ou hipótese e a proposição após o “então” é o conseqüente. A proposição condicional somente será falsa quando o antecedente (condição suficiente) for verdadeiro e o conseqüente for falso. Exemplos: Se o Fluminense não cair para a segunda divisão, então ficarei 100 dias sem beber coca-cola. => proposição condicional verdadeira (O Fluminense não caiu para a segunda divisão e eu fiquei 100 dias sem beber coca-cola). Se o Fluminense não cair para a segunda divisão, então ficarei 100 dias sem beber coca-cola. => proposição condicional falsa (O Fluminense não caiu para a segunda divisão, mas eu não fiquei 100 dias sem beber coca-cola). Se o Fluminense não cair para a segunda divisão, então ficarei 100 dias sem beber coca-cola. => proposição condicional verdadeira (O Fluminense caiu para a segunda divisão. Com isso, não importa se o conseqüente é verdadeiro ou falso, pois o antecedente já é falso e não se cumpriu).

Se p então q p � q p => antecedente q => conseqüente








Aqui, para entender melhor, pois a implicação, normalmente, é o que mais complica (implicação complica...estranho não!!! Tudo bem, é só para descontrair), vamos analisar novamente: Se o Fluminense não cair para a segunda divisão, então ficarei 100 dias sem beber coca-cola. Outras formas de expressar essa implicação: 1. Eu ficarei 100 dias sem beber coca-cola somente se o Fluminense não cair para a segunda divisão. 2. O Fluminense não cair para a segunda divisão é condição suficiente para que eu fique 100 dias sem beber coca-cola. 3. Eu ficar 100 dias sem beber coca-cola é condição necessária para o Fluminense não cair para a segunda divisão. Tabela-Verdade da Proposição Condicional

p q p � q V V V V F F F V V F F V

Nota: Condição Suficiente: p � q => p é suficiente para q (se p ocorrer então q ocorre) Condição Necessária: ~q (*) � ~p => q é necessário para p (se q não ocorrer então p não ocorre) (*) ~ => símbolo de negação (será visto adiante). Representação por Conjuntos da Proposição Condicional

=> inclusão (está contido) p q p q

1.1.5 Bicondicional ou Dupla Implicação (“Se e somente se” ou “↔”)








A proposição bicondicional, na verdade, é uma conjunção entre duas proposições condicionais. A proposição bicondicional somente será falsa quando uma proposição condicional for falsa e outra verdadeira, ou vice versa, ou seja, quando tiverem valores lógicos diferentes. Exemplos: O Fluminense não cairá para a segunda divisão se e somente se ganhar todos os jogos até o final do campeonato. => proposição bicondicional verdadeira (O Fluminense ganhou todos os jogos até o final do campeonato e não caiu para a segunda divisão). O Fluminense não cairá para a segunda divisão se e somente se ganhar todos os jogos até o final do campeonato. => proposição bicondicional verdadeira (O Fluminense não ganhou todos os jogos até o final do campeonato e caiu para a segunda divisão). O Fluminense não cairá para a segunda divisão se e somente se ganhar todos os jogos até o final do campeonato. => proposição bicondicional falsa (O Fluminense ganhou todos os jogos até o final do campeonato e caiu para a segunda divisão). O Fluminense não cairá para a segunda divisão se e somente se ganhar todos os jogos até o final do campeonato. => proposição bicondicional falsa (O Fluminense não ganhou todos os jogos até o final do campeonato e não caiu para a segunda divisão). Outra forma de expressar a bicondicional: Para que o Fluminense não caia para a segunda divisão é condição necessária e suficiente ganhar todos os jogos até o final do campeonato Tabela-Verdade da Proposição Bicondicional

p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

Ou como, a proposição bicondicional é representada por duas proposições condicionais:

p se e somente se q p ↔ q








p q p � q q � p (p � q) ^ (q � p) p ↔ q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V

Representação por Conjuntos da Proposição Bicondicional p = q 1.1.6 Negação (“~” ou “¬”) Uma proposição será negação de outra quando, se uma for verdadeira, então a outra é obrigatoriamente falsa; ou se uma for falsa, a outra é obrigatoriamente verdadeira. 1.1.6.1 Negação de Proposição Simples (“~p”) Exemplos: O Fluminense é o pior time do Brasil. O Fluminense não é o pior time do Brasil (negação) ATENÇÃO! “O carro é preto” não é a negação de “O carro é branco”, visto que se o carro não é preto (falso) não é obrigatoriamente verdade que o carro é branco. O carro pode ser azul, vermelho, etc. A negação de “O carro é preto” é “O carro não é preto”. Tabela-Verdade da Negação da Proposição Simples

p ~p V F F V

1.1.6.2 Negação de Proposição Composta 1.1.6.2.1 Negação de Proposição Conjuntiva (“~(p ^ q)”) Exemplos: O Fluminense é um time do Rio de Janeiro e o São Paulo é um time de São Paulo.








O Fluminense não é um time do Rio de Janeiro ou o São Paulo não é um time de São Paulo (negação). Atenção! Procedimento a ser adotado na negação de proposição conjuntiva: Proposição Conjuntiva = p ^ q

1. Negar a primeira proposição; 2. Trocar o “e” pelo “ou”; e 3. Negar a segunda proposição.

Negação da Proposição Conjuntiva = ~(p ^ q) �� ~p v ~q (*)

(*) Proposições equivalentes Tabela-Verdade da Negação da Proposição Conjuntiva

p q p ^ q ~(p ^ q) V V V F V F F V F V F V F F F V

Ou (adotando o procedimento descrito acima):

p q ~p ~q ~p v ~q V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V

1.1.6.2.2 Negação de Proposição Disjuntiva (“~(p v q)”) Exemplos: O Fluminense é um time do Rio de Janeiro ou o São Paulo é um time de São Paulo. O Fluminense não é um time do Rio de Janeiro e o São Paulo não é um time de São Paulo (negação). Atenção! Procedimento a ser adotado na negação de proposição disjuntiva: Proposição Disjuntiva = p v q








1. Negar a primeira proposição; 2. Trocar o “ou” pelo “e”; e 3. Negar a segunda proposição.

Negação da Proposição Disjuntiva = ~(p v q) �� ~p ^ ~q (*) (*) Proposições equivalentes

Tabela-Verdade da Negação da Proposição Disjuntiva

p q p v q ~(p v q) V V V F V F V F F V V F F F F V


p q ~p ~q ~p ^ ~q V V F F F V F F V F F V V F F F F V V V

1.1.6.2.3 Negação de Proposição Disjuntiva Exclusiva (“~(p v q)”) Exemplos: Ou o Fluminense é um time do Rio de Janeiro ou é um time de São Paulo. O Fluminense é um time do Rio de Janeiro se e somente se é um time de São Paulo (negação). Atenção! Procedimento a ser adotado na negação de proposição disjuntiva exclusiva: Proposição Disjuntiva Exclusiva = p v q

1. Manter a primeira proposição; 2. Trocar o “ou exclusivo” pelo “se e somente se”; e 3. Manter a segunda proposição.

Negação da Proposição Disjuntiva Exclusiva = ~(p v q) �� p ↔ q (*) (*) Proposições equivalentes

Tabela-Verdade da Negação da Proposição Disjuntiva Exclusiva

p q p v q ~(p v q) V V F V V F V F








F V V F F F F V


p q p ↔ q V V V V F F F V F F F V

Nota: A negação da proposição disjuntiva exclusiva gera uma proposição bicondicional. Por conseqüência, a negação de uma proposição bicondicional gera uma proposição disjuntiva exclusiva. 1.1.6.2.4 Negação de Proposição Condicional (“~(p � q)”) Exemplos: Se o Fluminense não cair para a segunda divisão, então ficarei 100 dias sem beber coca-cola. O Fluminense não cai para a segunda divisão e não ficarei 100 dias sem beber coca-cola (negação). Atenção! Procedimento a ser adotado na negação de proposição condicional: Proposição Condicional = p � q

1. Manter a primeira proposição; 2. Trocar o “Se...então” pelo “e”; e 3. Negar a segunda proposição.

Negação da Proposição Condicional = ~(p �� q) �� p ^ ~q (*) (*) Proposições equivalentes

Tabela-Verdade da Negação da Proposição Condicional

p q p � q ~(p � q) V V V F V F F V F V V F F F V F









p q p ~q p ^ ~q V V V F F V F V V V F V F F F F F F V F

1.1.6.2.5 Negação de Proposição Bicondicional (“~(p ↔ q)”) Exemplos: O Fluminense não cairá para a segunda divisão se e somente se ganhar todos os jogos até o final do campeonato. Ou o Fluminense não cairá para a segunda divisão ou ganhará todos os jogos até o final do campeonato (negação). Atenção! Procedimento a ser adotado na negação de proposição bicondicional: Proposição Bicondicional = p ↔ q

1. Manter a primeira proposição; 2. Trocar o “se e somente se” pelo “ou exclusivo”; e 3. Manter a segunda proposição.

Negação da Proposição Bicondicional = ~(p ↔ q) �� p v q (*) (*) Proposições equivalentes

Tabela-Verdade da Negação da Proposição Bicondicional

p q p ↔ q ~(p ↔ q) V V V F V F F V F V F V F F V F


p q p v q V V F V F V F V V F F F

Nota: A negação da proposição disjuntiva exclusiva gera uma proposição bicondicional. Por conseqüência, a negação de uma proposição bicondicional gera uma proposiação disjuntiva exclusiva.








1.1.7 Tautologia Corresponde a uma proposição composta sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos que a compõem. Tabela-Verdade de uma Tautologia => última coluna terá somente linhas com “V” (verdadeiro).

p q ..... Resultado V V V V F V F V V F F V

1.1.8 Contradição Diferentemente da tautologia, a contradição corresponde a uma proposição composta sempre falsa, independentemente dos valores lógicos que a compõem. Tabela-Verdade de uma Contradição => última coluna terá somente linhas com “F” (falso).

p q ..... Resultado V V F V F F F V F F F F

1.1.9 Contingência Corresponde a toda proposição composta que não se caracteriza como tautologia ou contradição. Exemplo: Tabela-Verdade da Negação da Proposição Bicondicional

p q p ↔ q ~(p ↔ q) V V V F V F F V F V F V F F V F

1.1.10 Proposições Equivalentes São proposições cujas tabelas-verdade são iguais.

Contingência => última coluna não é tautologia e nem contradição.








Exemplo: p q p � q ~q ~p ~q � ~p V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V

Logo, p � q é equivalente a ~q � ~p. Se João foi ao cinema então ele não ficou em casa. Esta implicação é equivalente a: Se João ficou em casa então ele não foi ao cinema. Exemplo:

p q p � q q � p (p �� q) ^ (q �� p) p ↔ q V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V

Logo, p ↔ q é equivalente a (p �� q) ^ (q �� p).

Exemplos:

p q p v q p ~q p ↔ ~q V V F V F F V F V V V V F V V F F V F F F F V F

Logo, p v q é equivalente a p ↔ ~q.

p q p v q ~p q ~p ↔ q V V F F V F V F V F F V F V V V V V F F F V F F

Logo: p v q é equivalente a p ↔ ~q.

p v q é equivalente a ~p ↔ q. ATENÇÃO: proposições equivalentes importantes para a prova: Exemplo: Se Carlos é pai de Escobar então Lúcio não é filho de Getúlio.

p � q �� ~q � ~p








Proposição equivalente: Se Lúcio é filho de Getúlio então Carlos não é pai de Escobar. Exemplo: Ou Carlos é pai de Escobar ou Lúcio não é filho de Getúlio. Proposições equivalentes: Carlos é pai de Escobar se e somente se Lúcio é filho de Getúlio. Carlos não é pai de Escobar se e somente se Lúcio não é filho de Getúlio.

Questões Comentadas e Resolvidas

Exercício Modelo Resolvido para Aula Demonstrativa A idéia do exercício modelo é que você já conheça o modo de resolução e dos comentários dos exercícios que serão disponibilizados ao longo do curso. Em cada aula, serão disponibilizados, em média, de 20 a 30 exercícios comentados e resolvidos sobre os temas da aula. Repare, que, nesta aula demonstrativa, só haverá este exercício modelo. Portanto, na aula 01, haverá de 20 a 30 exercícios da teoria da aula demonstrativa e mais 20 a 30 exercícios da teoria da aula 01. Todos os exercícios serão de provas anteriores da Esaf. Caso, em alguma aula, não haja exercícios suficientes de determinado assunto da Esaf, selecionarei exercícios de outras bancas. 1. (Esaf-TCU-1999) Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.

a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda. b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda. e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.

Resolução

p v q �� p ↔ ~q

p v q �� ~p ↔ q








1. Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Tipo de Proposição: Condicional p = Flávia é filha de Fernanda q = Ana não é filha de Alice p �� q => Flávia é filha de Fernanda �� Ana não é filha de Alice ~p = Flávia não é filha de Fernanda ~q = Ana é filha de Alice (repare que aqui é a negação de Ana não é filha de Alice) Proposição Equivalente: ~q �� ~p => Ana é filha de Alice �� Flávia não é filha de Fernanda 2. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Tipo de Proposição: Disjunção Exclusiva ou “Ou Exclusivo” p = Ana é filha de Alice q = Ênia é filha de Elisa p v q => Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa ~p = Ana não é filha de Alice ~q = Ênia não é filha de Elisa Proposições Equivalentes: p ↔ ~q => Ana é filha de Alice ↔ Ênia não é filha de Elisa ~p ↔ q => Ana não é filha de Alice ↔ Ênia é filha de Elisa 3. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Tipo de Proposição: Condicional p = Paula não é filha de Paulete q = Flávia é filha de Fernanda p �� q => Paula não é filha de Paulete �� Flávia é filha de Fernanda ~p = Paula é filha de Paulete

p � q �� ~q � ~p

p v q �� p ↔ ~q

p v q �� ~p ↔ q

p � q �� ~q � ~p








~q = Flávia não é filha de Fernanda Proposição Equivalente: ~q �� ~p => Flávia não é filha de Fernanda �� Paula é filha de Paulete 4. Informação para resolver a questão: Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa. Tipo de Proposição: Conjunção p = nem Ênia é filha de Elisa = Ênia não é filha de Elisa q = nem Inês é filha de Isa = Inês não é filha de Isa p ^ q => Ênia não é filha de Elisa e Inês não é filha de Isa A proposição “Inês não é filha de Isa” não será utilizada na resolução do problema, tendo em vista que Inês e Isa não foram citadas nas proposições anteriores. Ou seja, a informação que temos como verdadeira é: Ênia não é filha de Elisa. De acordo com o item 2: p ↔ ~q => Ana é filha de Alice ↔ Ênia não é filha de Elisa Logo, pode-se concluir que Ana é filha de Alice. De acordo com o item 1: ~q �� ~p => Ana é filha de Alice �� Flávia não é filha de Fernanda Logo, pode-se concluir que Flávia não é filha de Fernanda. De acordo com o item 3: ~q �� ~p => Flávia não é filha de Fernanda �� Paula é filha de Paulete Logo, pode-se concluir que Paula é filha de Paulete. Conclusões:

1. Ênia não é filha de Elisa. 2. Ana é filha de Alice. 3. Flávia não é filha de Fernanda. 4. Paula é filha de Paulete.

Vamos analisar as alternativas:

a) Paula é filha de Paulete (V) e Flávia é filha de Fernanda (F). b) Paula é filha de Paulete (V) e Ana é filha de Alice (V). c) Paula não é filha de Paulete (F) e Ana é filha de Alice (V). d) Ênia é filha de Elisa (F) ou Flávia é filha de Fernanda (F). e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.

Na alternativa “e”, temos: e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda








Tipo de Proposição: Condicional p = Ana é filha de Alice (V) q = Flávia é filha de Fernanda (F) Tabela-Verdade da Proposição Condicional

p q p � q V V V V F F F V V F F V

Ana é filha de Alice (V) � Flávia é filha de Fernanda (F) => logo, a proposição condicional é falsa. GABARITO: B A partir da próxima aula, iniciaremos o nosso treinamento por meio de questões de concursos anteriores. Esta aula foi somente um aperitivo. Até o final do curso, você estará preparado para “bater” na prova de Raciocínio Lógico-Quantitativo e vencer esta batalha! Abraços e até a próxima aula, Bons estudos, Moraes Junior [email protected]








Lista de Questões Comentadas na Aula

1. (Esaf-TCU-1999) Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.

a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda. b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda. e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.

GABARITO: Problema 1: Suponha que você possua um camelo de sua propriedade e que três irmãos te contrataram para dividir a herança deles, de 35 camelos, pois eles não estavam conseguindo chegar a um acordo. De acordo com o testamento do pai, a herança deveria ser dividida da seguinte forma: o irmão mais velho fica com a metade dos camelos, o irmão do meio com a terça parte e o irmão mais novo com a nona parte. Você não pode dividir um mesmo camelo, pois, deste modo teria que matá-lo. Assinale a alternativa que deixaria todos os irmãos felizes na partilha da herança, cumprindo o disposto no testamento: (a) 18 camelos para o irmão mais velho; 10 camelos para o irmão do meio e 7 camelos para o irmão mais novo. (b) 18 camelos para o irmão mais velho; 12 camelos para o irmão do meio e 4 camelos para o irmão mais novo e 1 camelo para você. (c) 17 camelos para o irmão mais velho; 12 camelos para o irmão do meio e 6 camelos para o irmão mais novo. (d) 17 camelos para o irmão mais velho; 11 camelos para o irmão do meio e 6 camelos para o irmão mais novo e 2 camelos para você. (e) 17 camelos para o irmão mais velho; 11 camelos para o irmão do meio e 5 camelos para o irmão mais novo e 2 camelos para você. Solução: Se você colocar também o seu camelo como parte da herança, teríamos: Camelos dos irmãos = 35 Seu Camelo = 1 Total de Camelos = 35 + 1 = 36 Efetuando a partilha: Irmão mais velho = 36/2 = 18 camelos (deveria receber 35/2 = 17,5 camelos e recebeu 18 => saiu feliz).








Irmão do meio = 36/3 = 12 camelos (deveria receber 35/3 = 11,67 camelos e recebeu 12 => saiu feliz). Irmão mais novo = 36/9 = 4 camelos (deveria receber 35/9 = 3,89 camelos e recebeu 4 => saiu feliz). Total dos Irmãos = 18 + 12 + 4 = 34 camelos (todos saíram felizes) Você efetuaria a partilha e ainda sairia com 2 camelos (1 que já era seu) e outro da própria herança. E aí, qual o mistério deste problema. Como pode todos os irmãos saírem felizes e você ainda ganhar um camelo? É simples. Repare: Irmão mais velho = 35/2 = (17 + 1/2) = 17,5 camelos Irmão do meio = 35/3 = (11 + 2/3) = 11,67 camelos Irmão mais novo = 35/9 = (3 + 8/9) = 3,89 camelos Soma = 17,5 + 11,67 + 3,89 = 33,05 Ou seja, a soma da partilha não dá os 35 camelos da herança, pois há uma sobre de quase 2 camelos. Ou seja, você percebeu isso e ainda ganhou um camelo! Resumindo, a metade do todo, mas a terça parte do todo, mas um nono do todo, não é igual ao todo. GABARITO: B Problema 2: Um homem que veio da Síria vender jóias fez um acordo com o dono da hospedaria em que ficou. Pagaria, pela sua hospedagem, 20 dinares se vendesse as jóias por 100 dinares, e 35 dinares se as vendesse por 200 dinares. Ao final de vários dias, vendeu tudo por 140 dinares. Quanto deveria o homem da Síria pagar pela hospedagem? (a) 22 dinares. (b) 24,50 dinares. (c) 26 dinares. (d) 38,50 dinares. (e) 30 dinares. Solução: Conta feita pelo vendedor de jóias (que quer pagar menos): 200 dinares ===� 35 dinares de hospedagem 140 dinares ===� X








X = (140 x 35)/200 = 24,5 dinares. Certo? Não, ERRADO! Conta feita pelo dono da hospedagem (que quer receber mais): 100 dinares ===� 20 dinares de hospedagem 140 dinares ===� X X = (140 x 20)/100 = 28 dinares. Certo? Não, ERRADO! A resolução é a seguinte: 200 dinares ===� 35 dinares de hospedagem 100 dinares ===� 20 dinares de hospedagem Repare que a diferença no preço de venda de 100 (200 – 100) corresponde a diferença no preço da hospedagem de 15 (35 – 20). Logo, devemos efetuar a seguinte conta: (200 – 100) ===� (35 – 20) dinares (140 – 100) ===� (X – 20) dinares (140 – 100) x (35 – 20) = (200 – 100) x (X – 20) =>

� 40 x 15 = 100 x (X – 20) => 600 = 100 x (X – 20) => � X – 20 = 6 => X = 26

O macete do problema é que não se verifica proporcionalidade entre o preço cobrado pela hospedagem e o valor pelo qual as jóias foram vendidas. Vejamos: Se o joalheiro vendesse as jóias por 100, pagaria 20 dinares pela hospedagem. Logo, se vendesse as jóias por 200, deveria pagar, caso os valores fossem proporcionais, 40 dinares e não 35, como informa o problema. Por isso, para resolver corretamente, deve-se utilizar a diferença entre os valores na regra de três. GABARITO: C GABARITO DAS QUESTÕES DE PROVA: 1 – B








Bibliografia ANDRADE, Nonato de, Raciocínio Lógico para Concursos. Rio de Janeiro. Ed. Ferreira, 2008. CARVALHO FILHO, Sérgio de, Estatística Básica para concursos: teoria e 150 questões. Niterói/RJ. Impetus, 2004. CESAR, Benjamim, Matemática Financeira: teoria e 640 questões. 5a Edição. Rio de Janeiro. Impetus, 2004. DEWDNEY, A. K., 20.000 Léguas Matemáticas: um passeio pelo misterioso mundo dos números. Tradução: Vera Ribeiro; Revisão: Vitor Tinoco. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Ed., 2000. DOXIADIS, Apóstolos, Tio Petros e a conjectura de Goldbach: um romance sobre os desafios da Matemática. Tradução: Cristiane Gomes de Riba. São Paulo. Ed. 34, 2001. GUEDJ, Denis, O teorema do papagaio. Tradução: Eduardo Brandão. São Paulo. Companhia das Letras, 1999. ROCHA, Enrique, Raciocínio Lógico: você consegue aprender. Rio de Janeiro. Elsevier, 2005. SINGH, Simon, O Último Teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as maiores mentes do mundo durante 358 anos. Tradução: Jorge Luiz Calife; 7a Edição. Rio de Janeiro. Record, 2000. SINGH, Simon, O livro dos códigos. Tradução: Jorge Luiz Calife; 7a Edição. Rio de Janeiro. Record, 2001. STEWART, Ian, Será que Deus joga dados? Tradução: Maria Luiza X. de A. Borges; Revisão: Ildeu de Castro Moreira. Rio de Janeiro. Jorge Zahar Ed., 1991. TAHAN, Malba, 1895-1974, O homem que calculava/Malba Tahan. 44a Edição. Rio de Janeiro. Record, 1997.

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