RACIOCINIO

CURSO ON-LINE RACIOCNIO LGICO P/ INSS PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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Probabilidade1. Probabilidade . ............................................................................................................ 22. Espao Amostral . ...................................................................................................... 33. Evento . ...................................................................................................................... 34. Probabilidade de Laplace . ......................................................................................... 45. Combinaes de eventos . .......................................................................................... 46. Propriedades sobre probabilidades . ........................................................................... 67. Exerccios Resolvidos . .............................................................................................. 88. Probabilidade Condicional . ..................................................................................... 219. Exerccios . ............................................................................................................... 2410. Relao das questes comentadas . ...................................................................... 4111. Gabaritos . ............................................................................................................. 48



1. Probabilidade

A teoria do azar consiste em reduzir todos os acontecimentos do mesmo gnero a um certo nmero de casos igualmente possveis, ou seja, tais que estejamos igualmente inseguros sobre sua existncia, e em determinar o nmero de casos favorveis ao acontecimento cuja probabilidade buscada. A razo deste nmero para o de todos os casos possveis a medida desta probabilidade, a qual portanto uma frao cujo numerador o nmero de casos favorveis e cujo denominador o nmero de todos os casos possveis.

Pierre Simon Laplace, Ensaio filosfico sobre as Probabilidades

A Teoria das Probabilidades o ramo da Matemtica que cria modelos que so utilizados para estudar experimentos aleatrios.

Um experimento dito aleatrio quando ele pode ser repetido sob as mesmas condies inmeras vezes e os resultados no podem ser previstos com absoluta certeza.

Embora no possamos afirmar qual o resultado do experimento aleatrio, em geral podemos descrever o conjunto que abriga todos os resultados possveis.

Quando possvel fazer uma previso do resultado de um experimento, ele chamado de determinstico.

Experimentos ou fenmenos aleatrios acontecem com bastante frequncia em nossas vidas. Diariamente ouvimos perguntas do tipo: Chover prxima semana? Qual a minha chance de ganhar na Mega Sena?

Vejamos alguns exemplos de experimentos aleatrios:

i) Jogue um dado e observe o nmero mostrado na face de cima. ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima.

O que os experimentos acima tm em comum? As seguintes caractersticas definem um experimento aleatrio.

Cada experimento poder ser repetido indefinidamente sob condies essencialmente inalteradas.

Embora no possamos afirmar qual o resultado do experimento, somos capazes de descrever o conjunto de todos os resultados possveis do experimento.



2. Espao Amostral

Para cada experimento do tipo que estamos considerando (aleatrio), definiremos o espao amostral como o conjunto de todos os resultados possveis do experimento. Denotaremos este conjunto pela letra U.

Vamos considerar os experimentos acima e descrever um espao amostral para cada um deles.

i) Jogue um dado e observe o nmero mostrado na face de cima.

Quando jogamos um dado, o resultado pode ser 1,2,3,4,5 ou 6. Portanto:

1,2,3,4,5,6

ii) Jogue uma moeda e observe a face de cima.

,

Resumindo: ao efetuar um experimento aleatrio, o primeiro passo consiste em descrever todos os resultados possveis, ou seja, explicitar o conjunto de possveis resultados e calcular o nmero de elementos que pertencem a ele.

Este conjunto chamado de Espao Amostral.

3. Evento

Chamaremos de evento todo subconjunto do espao amostral. Voltemos ao lanamento do dado.

Jogue um dado e observe o nmero mostrado na face de cima.

Por exemplo, o subconjunto 1,2,3,4,5,6

2,3,5

o evento que acontece se o nmero mostrado na face de cima um nmero primo.

Vejamos outros eventos relativos a este espao amostral.

B: ocorrncia de nmero menor que 5. 1,2,3,4

. C: ocorrncia de nmero menor que 8. D: ocorrncia de nmero maior que 8.

1,2,3,4,5,6 (conjunto vazio).



Quando o evento igual ao espao amostral, dizemos que o evento certo.

Quando o evento igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento impossvel.

4. Probabilidade de Laplace

Passemos agora segunda etapa: calcular a probabilidade de um evento. Consideremos o caso do evento 2,3,5 que vimos anteriormente. Como so 6 resultados possveis no lanamento de um dado e so 3 nmeros primos nas faces, intuitivamente percebemos que se repetimos o experimento um grande nmero de vezes obteremos um nmero primo em aproximadamente a metade das vezes.

O que est por trs do nosso raciocnio intuitivo o seguinte:

i) Cada um dos elementos que compem o espao amostral so igualmente provveis.

ii) O nmero de elementos do evento 3 justamente a metade dos elementos do espao amostral 6.

Estas consideraes motivam a definio de probabilidade de um evento A da seguinte forma:

3 6

12

Como vimos o texto no incio da aula, Laplace referia-se aos elementos do evento como os casos favorveis (ou desejados). Os elementos do espao amostral so chamados de casos possveis. Desta forma:

5. Combinaes de eventos

Podemos empregar as vrias tcnicas de combinar conjuntos (eventos) para formar novos conjuntos (eventos).

Unio de dois eventos

Considere dois eventos A e B. O evento unio denotado por e ocorre se e somente se ao menos um dos eventos ocorrerem. Podemos dizer que ocorre se e somente se A ou B (ou ambos) ocorrerem.



Interseo de dois eventos

Considere dois eventos A e B. O evento interseo denotado por

e ocorre se e somente se os dois eventos ocorrerem (A e B ocorrerem).

Complementar de um evento Considere um evento A. O evento complementar de A denotado por e ocorre se e somente se no ocorre A.

Vejamos alguns exemplos:


Considere os seguintes eventos. 1,2,3,4,5,6

A: ocorrncia de um nmero mpar. 1,3,5 .

B: ocorrncia de um nmero par: 2,4,6 . C: ocorrncia de um nmero menor ou igual a 3.

Desta forma, temos os seguintes eventos. 1,2,3

: ocorrncia de um nmero mpar ou nmero par.

1,2,3,4,5,6

: ocorrncia de um nmero mpar ou de um nmero menor ou igual a 3.

1,2,3,5

: ocorrncia de um nmero par ou de um nmero menor ou igual a 3.

1,2,3,4,6

: ocorrncia de um nmero mpar e par.

O resultado foi o conjunto vazio porque no existe nmero que seja simultaneamente par e mpar. Neste caso dizemos que os eventos A e B so mutuamente exclusivos.

: ocorrncia de um nmero mpar e menor ou igual a 3.

1,3

: ocorrncia de um nmero par e menor ou igual a 3.



2

: no ocorrer um nmero mpar.

2,4,6

: no ocorrer um nmero par.

1,3,5

: no ocorrer um nmero menor ou igual a 3.

4,5,6

6. Propriedades sobre probabilidades

A probabilidade do evento impossvel 0 e a probabilidade do evento certo igual a 1.

Vamos lembrar:

Quando o evento igual ao espao amostral, dizemos que o evento certo.

Quando o evento igual ao conjunto vazio, dizemos que o evento impossvel.

Para ilustrar esta propriedade, vamos voltar ao exemplo do dado.


1,2,3,4,5,6Considere os eventos.

A: ocorrncia de nmero menor que 8. B: ocorrncia de nmero maior que 8.

1,2,3,4,5,6 (conjunto vazio).

J sabemos que:

Desta forma,

6 6

1



0 6

0

Se A um evento qualquer, ento 0 1.

Esta propriedade afirma que qualquer probabilidade um nmero maior ou igual a 0 e menor ou igual a 1. A probabilidade ser igual a 0 se o evento for impossvel e a probabilidade ser igual a 1 se o evento for certo. Se o evento A nem for o evento certo nem o evento impossvel, ento a probabilidade um nmero positivo e menor que 1.

Se A um evento qualquer, ento 1.

muito fcil ilustrar esta propriedade. Imagine que algum te informa que a probabilidade de chover amanh seja de 30%. Voc rapidamente conclui que a probabilidade de no chover de 70%. Isto porque a soma das probabilidades de eventos complementares igual a 1.

Lembre-se que o smbolo % significa dividir por 100. Desta forma, podemos dizer que a soma das probabilidades de eventos complementares igual a 1 ou 100%. J que:

100% 100100

1

Probabilidade do evento unio

Se A e B forem dois eventos quaisquer, ento

Podemos ilustrar esta propriedade utilizando conjuntos.

O evento interseo aquele formado pelos elementos comuns entre A e B.

O evento unio o representado abaixo.



Quando somamos as probabilidades dos eventos contidos em so computadas duas vezes (uma por estarem em A e outra vez por estarem em B). Para eliminar esta dupla contagem, subtramos para que nenhum elemento seja contado mais de uma vez.

Falei anteriormente que quando a interseo de dois conjuntos o conjunto vazio eles so chamados de mutuamente excludentes.

Neste caso, quando , tem-se que .

7. Exerccios Resolvidos

01. (INSS 2009/FUNRIO) Joo encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas igual metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. Joo, ento, colocou outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas por Joo na urna igual a(o) A) quantidade de bolas brancas. B) dobro da quantidade de bolas brancas. C) quantidade de bolas vermelhas. D) triplo da quantidade de bolas brancas. E) dobro da quantidade de bolas vermelhas.

Resoluo



Joo verificou que a quantidade de bolas pretas igual metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas.

Vamos considerar que a urna contm bolas brancas. A quantidade de bolas pretas o dobro da quantidade de bolas brancas. Desta forma, tem-se 2bolas pretas. Sabemos ainda que a quantidade de bolas pretas a metade da quantidade de bolas vermelhas. Conclumos que so 4 bolas vermelhas.

Resumindo:

bolas brancas. 2 bolas pretas. 4 bolas vermelhas.

Joo colocar mais bolas pretas na urna. Vamos considerar que Joo acrescentou bolas pretas na urna. O nosso quadro com a quantidade de bolas ficar assim:

bolas brancas. 2 bolas pretas. 4 bolas vermelhas.

Total de bolas: 2 4 7

A probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5.

0,5

12

Sabemos que probabilidade a razo entre o nmero de casos favorveis e o nmero de casos possveis.

12

H um total de 2 bolas pretas (nmero de casos favorveis) e um total de 7 bolas na urna (nmero de casos possveis.

2 7

12

O produto dos meios igual ao produto dos extremos.

2 2 1 7

4 2 7



2 7 4

3

O nmero de bolas pretas acrescentadas por Joo igual a 3. Como o nmero de bolas brancas igual a , ento o nmero de bolas pretas acrescentadas por Joo o triplo do nmero de bolas brancas.

Letra D

02. (INVEST RIO 2010/FUNRIO) Em uma empresa foram levantados os seguintes dados sobre os 80 funcionrios: - Existem funcionrios solteiros e funcionrios casados; - Existem 25 funcionrios que possuem filhos; - Dentre os solteiros, 20 funcionrios no possuem filhos. Diante desses dados, qual a probabilidade de se selecionar um funcionrio ao acaso que pertena ao grupo de casados? A) Inferior a 25% B) 25 % C) Superior a 25 e inferior a 50% D) 50% E) Superior a 50%

Resoluo

Observe que estamos trabalhando com eventos mutuamente excludentes, pois:

A interseo entre o conjunto dos funcionrios solteiros e o conjunto dos funcionrios casados o conjunto vazio.

A interseo entre o conjunto dos funcionrios que possuem filhos e o conjunto dos funcionrios que no possuem filhos o conjunto vazio.

Vamos representar estes conjuntos por meio de uma tabela.

Possuem filhos

No possuem

filhos Funcionrios

Solteiros

Funcionrios Casados

Sabemos que dentre os solteiros, 20 funcionrios no possuem filhos.

Possuem filhos

No possuem

filhos Funcionrios

Solteiros 20

Funcionrios Casados



Sabemos ainda que so 80 funcionrios e que existem 25 funcionrios que possuem filhos. Desta forma, o nmero total de funcionrios que no possuem filhos igual a .

80 25 55

Destes 55 funcionrios que no possuem filhos, sabemos que 20 so solteiros, e, portanto, 35 so casados.

Possuem filhos

No possuem

filhos Funcionrios

Solteiros 20

Funcionrios Casados

35

Diante desses dados, qual a probabilidade de se selecionar um funcionrio ao acaso que pertena ao grupo de casados?

Sabemos apenas que so 25 funcionrios que possuem filhos. No sabemos, porm, quantos so solteiros e quantos so casados. No temos dados suficientes para responder a pergunta do enunciado.

A questo foi anulada pela FUNRIO.

(PRF 2003/CESPE-UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o nmero de vtimas fatais em acidentes de trnsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatrios, um para cada uma das vtimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vtima e as condies em que ocorreu o acidente. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatrio escolhido aleatoriamente entre os citados acima.

03. A probabilidade de que esse relatrio corresponda a uma vtima de um acidente ocorrido no estado do Maranho superior a 0,2.

Resoluo



H um total de 1.405 relatrios. Este o nmero de casos possveis. Queremos calcular a probabilidade de que esse relatrio corresponda a uma vtima de um acidente ocorrido no estado do Maranho.

De acordo com a tabela, ocorreram 225 81 306 acidentes no estado do Maranho. A probabilidade de que esse relatrio corresponda a uma vtima de um acidente ocorrido no estado do Maranho :

306

1.405 0,21

Portanto, a probabilidade pedida superior a 0,2 e o item est certo.

04. A chance de que esse relatrio corresponda a uma vtima do sexo feminino superior a 23%.

Resoluo

H um total de 1.405 relatrios. Este o nmero de casos possveis. Queremos calcular a probabilidade de que esse relatrio corresponda a uma vtima do sexo feminino.

De acordo com a tabela fornecida, h um total de 81 42 142 42 307acidentes ocorridos com mulheres. A probabilidade de que esse relatrio corresponda a uma vtima do sexo feminino :

307

1.405 0,218 22%

A probabilidade pedida inferior a 23% e o item est errado.



05. Considerando que o relatrio escolhido corresponda a uma vtima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paran superior a 0,5.

Resoluo

Neste caso, o nmero de casos possveis no 1.405. O enunciado nos manda considerar que o relatrio escolhido corresponda a uma vtima do sexo masculino. Devemos, portanto, desconsiderar os acidentes com pessoas do sexo feminino.

O nosso espao amostral (casos possveis) est representado na tabela abaixo.

Desta forma, o nmero de casos possveis ser igual a 225 153 532 188 1.098.

Queremos calcular a probabilidade de que o acidente mencionado no relatrio tenha ocorrido no estado do Paran. Lembre-se que devemos olhar apenas para os acidentes ocorridos com vtimas do sexo masculino!!

O nmero de casos desejados (favorveis) , portanto, igual a 532.

A probabilidade pedida igual a:



5321.098

0,48

Que inferior a 0,5. Portanto, o item est errado.

06. Considerando que o relatrio escolhido corresponda a uma vtima de um acidente que no ocorreu no Paran, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranho superior a 0,27.

Resoluo

O enunciado nos manda considerar que o relatrio escolhido corresponda a uma vtima de um acidente que no ocorreu no Paran. Desta forma, o nosso espao amostral ser reduzido.

Eis o nosso espao amostral:

O total de elementos do nosso espao amostral (casos possveis) igual a . .Estamos interessados em calcular a probabilidade de o acidente ser com uma vtima do sexo masculino no estado do Maranho. Eis o nosso evento (em verde).




225 731

0,3

A probabilidade calcular superior a 0,27 e o item est certo.

07. A chance de que o relatrio escolhido corresponda a uma vtima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da regio Sul do Brasil listados na tabela inferior a 70%.

Resoluo

Voltamos a considerar o nosso espao amostral com 1.405 relatrios.

Queremos calcular a probabilidade de que o relatrio escolhido corresponda a uma vtima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da regio Sul do Brasil listados na tabela.

Vamos selecionar as vtimas do sexo feminino.

Vamos agora selecionar as vtimas da regio Sul.

Queremos calcular a probabilidade do evento unio (ou). H um total de 532 188 42 142 42 81 1.027 casos desejados.


1.0271.405



Poderamos ter utilizado a frmula da probabilidade do evento unio.

Onde:

532 188 142 42

1.405

9041.405

307

1.405 4.

142 42

1.405

1841.405

Desta forma:

904

1.405

3071.405

184

1.405

1.0271.405

A frmula no foi til na questo, por haver clculos em demasia.

Bom, a probabilidade pedida :

1.0271.405

0,73 73%

Portanto, o item est errado.

08. (SEFAZ-SP 2009/ESAF) Considere que numa cidade 40% da populao adulta fumante, 40% dos adultos fumantes so mulheres e 60% dos adultos no-fumantes so mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56%

Resoluo



Para facilitar a resoluo do exerccio, vamos supor que a cidade tenha 100 adultos.

Fumantes No-fumantes Total

Homem Mulher Total 100

O enunciado nos diz que 40% dos adultos so fumantes.

40% 100 40

100 100 40

Logo, temos 40 fumantes.


Homem Mulher Total 40 100

40% dos fumantes so mulheres.

40% 40 40

100 40 16

So 16 mulheres fumantes.


Homem Mulher 16 Total 40 100

Se, das 100 pessoas, 40 so fumantes, ento h 60 no-fumantes.


Homem Mulher 16 Total 40 60 100

O enunciado informa que 60% dos no-fumantes so mulheres.

60% 60 60

100 60 36




Homem Mulher 16 36 Total 40 60 100

Ao todo, temos 52 mulheres.

Fumantes No-fumantes

Total

Homem Mulher 16 36 52 Total 40 60 100

Como estamos considerando que a cidade possui 100 adultos, ento o nmero de casos possveis igual a 100. Queremos calcular a probabilidade de a pessoa escolhida ser uma mulher. Como h 52 mulheres, ento o nmero de casos desejados igual a 52.

52

100 52%

Letra B

(SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) Na eleio para prefeito de uma cidade de 10.000 eleitores legalmente aptos a votar, concorrem os candidatos A e B. Uma pesquisa de opinio revela que 1.500 eleitores no votariam em nenhum desses candidatos. A pesquisa mostrou ainda que o nmero de eleitores indecisos isto , que, apesar de no terem ainda decidido, votaro em algum dos dois candidatos , que votariam apenas no candidato A ou que votariam apenas no candidato B so nmeros diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Nessa situao, com base nessa pesquisa, escolhendo-se ao acaso um desses eleitores, correto afirmar que a probabilidade dele

09. votar em algum dos candidatos superior a 80%

10. ser um eleitor indeciso inferior a 15%.

11. j estar decidido em qual dos candidatos vai votar superior a 65% e inferior a 70%.

Resoluo

Vamos analisar o enunciado e, em seguida, avaliar cada um dos itens.

H um total de 10.000 eleitores. Como 1.500 eleitores no votariam nos candidatos A e B, ento os dois candidatos juntos computaro um total de 10.000 1.500 8.500 votos.



A quantidade de candidatos indecisos, dos que votaro em A e dos que votaro em B so diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Se a constante de proporcionalidade for igual a , ento:

2 pessoas esto indecisas. 3 pessoas votaro em A. 5 pessoas votaro em B.

Somando estas quantidades temos 8.500 pessoas.

2 3 5 8.500

10 8.500

850

Desta forma:

2 2 850 1.700 pessoas esto indecisas. 3 3 850 2.550 pessoas votaro em A. 5 5 850 4.250 pessoas votaro em B.

correto afirmar que a probabilidade dele


Sabemos que 8.500 pessoas votaro nos candidatos A e B. Temos 8.500 casos favorveis e 10.000 casos possveis. A probabilidade pedida igual a

8.50010.000

0,85 85%

O item est certo.

10. ser um eleitor indeciso inferior a 15%. Sabemos que 1.700 pessoas esto indecisas. Como h um total de 10.000 eleitores, a probabilidade pedida igual a:

1.70010.000

0,17 17%

O item est errado.




Sabemos que 2.550 pessoas votaro em A e 4.250 pessoas votaro em B. O total de decididos igual a 2.550 4.250 6.800. A probabilidade pedida igual a

6.80010.000

0,68 68%

O item est certo.

12. (MPOG 2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlo, Denlson e Eleonora so moradores de um bairro muito antigo que est comemorando 100 anos de existncia. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comisso que ser a responsvel pela decorao da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, trs pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlo, Denlson e Eleonora. Sabendo-se que Denlson no pertence comisso formada, ento a probabilidade de Carlo pertencer comisso , em termos percentuais, igual a: a) 30 % b) 80 % c) 62 % d) 25 % e) 75 %

Resoluo Vamos listar todas as comisses, excluindo Denlson: - Arnor, Bruce, Carlo - Arnor, Bruce, Eleonora - Arnor, Carlo, Eleonora - Bruce, Carlo, Eleonora So 4 comisses possveis. Em trs delas ns temos a participao de Carlo. So 3 casos favorveis em 4 possveis.

Logo: % 7543 = =P

Letra E



8. Probabilidade Condicional

Imagine a seguinte situao: voc est sentado em um teatro assistindo a uma pea. H 400 homens e 600 mulheres no teatro. De repente, anunciado que ser sorteado um carro entre os espectadores. Desta forma, como h 1.000 pessoas na platia, ento a probabilidade de um homem ser sorteado igual a

400

e a probabilidade de uma mulher ser sorteada igual a

1.000 0,4 40%

6001.000

0,6 60%

Se eu, Guilherme, estivesse sentado neste teatro, a minha chance de ganhar este carro seria de

11.000

0,001 0,1%

Estas so as probabilidades a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize. Suponhamos que o apresentador do sorteio realize o experimento e resolve fazer um tipo de suspense. Ele ento informa que a pessoa sorteada um homem. Ocorre uma frustrao geral entre as mulheres. Por qu? Porque a chance de alguma mulher vencer agora igual a 0. Esta uma probabilidade a posteriori, isto , depois de realizado o experimento.

Por outro lado, os nimos dos homens se exaltam. Suas chances aumentaram!!

Ora, no temos mais 1.000 concorrentes, e sim 400. Os casos possveis agora totalizam 400 pessoas. A minha chance que antes era de 0,1%, agora ser de:

1 400

0,0025 0,25%A minha chance de ganhar o carro aumentou! Observe que o espao amostral foi reduzido. Isto j foi trabalhado um pouco nas questes 05 e 06.

Vejamos outro exemplo.

Consideremos o experimento que consiste em jogar um dado no-viciado. Sejam o espao amostral 1,2,3,4,5,6 e os eventos 2,4,6 e

. 1,2,5

Temos que a probabilidade de ocorrer o evento B igual a:

3 6

12



Esta a probabilidade de B a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize.

Suponhamos que, uma vez realizado o experimento, algum nos informe que o resultado do mesmo um nmero par, isto , que o evento A ocorreu. A nossa opinio sobre a ocorrncia do evento B se modifica com esta informao, j que, ento, somente poder ter ocorrido B se o resultado do experimento tiver sido o nmero 2.

Esta opinio quantificada com a introduo de uma probabilidade a posteriori ou, como vamos cham-la doravante, probabilidade condicional de B dado A, definida por.

|

13

Vamos ilustrar esta situao com um diagrama.

Sabemos que ocorreu um nmero par. O nosso espao amostral (casos possveis) deixa de ser U e passa a ser A.

Vamos representar o espao amostral com a cor vermelha.

O nmero de casos possveis agora igual a 3.



Para calcular a probabilidade de ocorrer o evento B, devemos nos restringir aos elementos comuns de A e B. Portanto, os casos desejados so os elementos da interseo entre A e B.

Finalmente, a expresso probabilidade de ocorrer B sabendo que A ocorreu expressa assim:

|

Chegamos frmula:

|

A noo geral a seguinte:

|

Que pode ser expressa da seguinte forma:

Esta frmula chamada de Teorema da Multiplicao e pode ser lida assim: |

A probabilidade de ocorrerem os eventos A e B igual a probabilidade de A vezes a probabilidade de B depois que A ocorreu.

Se a ocorrncia do evento A no influir no clculo da probabilidade do evento B, os eventos so ditos independentes e neste caso, tem-se

Vamos resolver alguns exerccios para por a teoria em prtica.



9. Exerccios

13. (IJSN 2010/CESPE-UNB) A probabilidade de se obter um nmero menor que 5 no lanamento de um dado, sabendo que o dado no defeituoso e que o resultado um nmero mpar, igual a 2/3.

Resoluo

CUIDADO!!! O problema nos informou que o resultado um nmero mpar. Devemos descartar os nmeros pares.

Casos possveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Nosso novo espao amostral (casos possveis) {1, 3, 5}.

Queremos calcular a probabilidade de se obter um nmero menor que 5. H 2 casos desejados.

Portanto, a probabilidade pedida igual a

23

O item est certo.

(Paran Previdncia 2002/CESPE/UnB) Texto IV Uma empresa adotou uma poltica de contratao de deficientes fsicos. Para avaliar se as deficincias afetam o desempenho desses empregados no trabalho, foi gerado o seguinte quadro, a partir de uma avaliao dos 400 empregados dessa empresa.

Desempenho Tipo de deficincia Total Surdez Cegueira Outras Sem

deficincia Bom 35 40 2 123 200

Regular 5 20 18 157 200 Total 40 60 20 280 400

Com relao aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens. 14. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado como tendo bom desempenho ser igual a 0,50. 15. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego ser de 0,20. 16. Considere A o evento o empregado surdo e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a probabilidade de ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A B), ser igual a P(A) P(B) = 0,05.



17. Considere C o evento o empregado cego e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso, a

probabilidade condicional ser 1 ,0) (

)() |( ==B PC BPCB P .

18. Considere B o evento o empregado tem desempenho regular e D o evento o empregado tem desempenho bom. Os eventos B e D so independentes, pois 0 )( = D BP .

Resoluo 14. Queremos a probabilidade de um empregado, escolhido ao acaso, ter bom desempenho. So 400 funcionrios. Logo, so 400 casos possveis. Todos eles so equiprovveis (todos os funcionrios tm a mesma chance de serem escolhidos). Estamos interessados em um dos 200 empregados que tm bom desempenho. Portanto, so 200 casos favorveis. A probabilidade fica:

200 400

0,5

O item est certo.

15. A escolha vai se dar apenas entre os empregados com bom desempenho. So 200 casos possveis (h 200 empregados com bom desempenho). Estamos interessados apenas nos empregados que tm bom desempenho e so cegos. Nesta condio temos 40 funcionrios. So 40 casos favorveis. A probabilidade fica:

40 200

0,2

O item est certo. 16. Queremos a probabilidade da interseco de dois eventos. Queremos que o empregado seja, ao mesmo tempo, surdo e tenha desempenho regular. Esto nesta condio 5 empregados. So 5 casos favorveis. Os casos possveis so 400. A probabilidade fica:

5 400

0,0125



. O item est errado.

17. Queremos a probabilidade de o evento B acontecer dado que ocorreu o evento C ocorreu. Trata-se de clculo de probabilidade condicional. Note que a frmula dada pelo exerccio est errada. J dava pra marcar errado de cara, sem fazer conta.

Vejamos: | lido como probabilidade de ocorrer B sabendo que C ocorreu. Se C ocorreu, ento o nosso espao amostral C e no B. O denominador deveria ser .

Podemos fazer o problema aplicando a frmula ou no. Primeiro, sem utilizar a frmula. Queremos calcular a probabilidade de o funcionrio ter desempenho regular. Se no tivssemos nenhuma informao, os casos possveis seriam 400, assim discriminados:

35 funcionrios tm desempenho bom e so surdos 40 funcionrios tm desempenho bom e so cegos 2 funcionrios tm desempenho bom e tm outras deficincias 123 funcionrios tm desempenho bom e no tm deficincia 5 funcionrios tm desempenho regular e so surdos 20 funcionrios tm desempenho regular e so cegos 18 funcionrios tm desempenho regular e tm outras deficincias 157 funcionrios tm desempenho regular e no tm deficincia

Estamos interessados nos empregados que tm desempenho regular. So 200 casos favorveis, assim discriminados: 5 funcionrios tm desempenho regular e so surdos 20 funcionrios tm desempenho regular e so cegos 18 funcionrios tm desempenho regular e tm outras deficincias 157 funcionrios tm desempenho regular e no tm deficincia

S que temos uma condio. dado que o empregado escolhido cego. Nossos casos possveis passam a ser apenas 60, assim discriminados: 35 funcionrios tm desempenho bom e so surdos

40 funcionrios tm desempenho bom e so cegos



2 funcionrios tm desempenho bom e tm outras deficincias 123 funcionrios tm desempenho bom e no tm deficincia 5 funcionrios tm desempenho regular e so surdos 20 funcionrios tm desempenho regular e so cegos 18 funcionrios tm desempenho regular e tm outras deficincias 157 funcionrios tm desempenho regular e no tm deficincia

E os casos favorveis ficam assim: 5 funcionrios tm desempenho regular e so surdos 20 funcionrios tm desempenho regular e so cegos 18 funcionrios tm desempenho regular e tm outras deficincias 157 funcionrios tm desempenho regular e no tm deficincia

A probabilidade fica:

333.. , 06020 = =P

O item est errado. Para resolver esse item, tambm poderamos utilizar a frmula. Primeiro calculamos a probabilidade de os eventos B e C ocorrerem simultaneamente. Cegos com desempenho regular so apenas 20. Portanto:

,05 0 40020 )( ==CB

P

A probabilidade de um cego ser escolhido :

,15 0 400

60 )( ==CP Portanto, a probabilidade de ser escolhido um empregado com desempenho regular, dado que foi escolhido um cego, de:

333... 0, ,15 0,05 0

) ()() |( ===

C PC BPCB P

Item errado.

18. No h nenhum funcionrio que tenha, ao mesmo tempo, um desempenho bom e um desempenho regular. Portanto:



0 )( = B D P A probabilidade de um funcionrio escolhido aleatoriamente ter um desempenho regular :

,5 0 400200 )( ==BP

A probabilidade de um funcionrio escolhido aleatoriamente ter um desempenho bom :

,5 0 400200 )( ==DP

Conclumos que: ) () ()( D PB PD BP

Portanto, os dois eventos no so independentes. Item errado. Note que o CESPE tentou confundir EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES com EVENTOS INDEPENDENTES. Eventos mutuamente excludentes so aqueles cuja interseo o conjunto vazio.

Se a ocorrncia do evento A no influir no clculo da probabilidade do evento B, os eventos so ditos independentes e neste caso, tem-se

19. (CGU 2008/ESAF) A e B so eventos independentes se: a) ) () ()( B PA PB AP += b) ) () ()( B PA PB AP = c) ) () ()( B PA PB AP = d) )() ()( A BP AP BA P += e) ) () ()( B PA PB AP =

Resoluo Aplicao direta da frmula vista. Letra E 20. (STN 2008/ESAF) Dois eventos A e B so ditos eventos independentes se e somente se: a) a probabilidade de ocorrncia conjunta de A e B for nula b) a ocorrncia de B alterar a probabilidade de ocorrncia de A. c) a ocorrncia de A alterar a probabilidade de ocorrncia de B. d) a ocorrncia de B no alterar a probabilidade de ocorrncia de A.



e) a probabilidade de ocorrncia conjunta de A e B for igual a 1.

Resoluo: Aplicao direta do conceito visto acima. Letra D

21. (Administrador FUNAI 2009/FUNRIO) O vrus X aparece nas formas X1 e X2. Se um indivduo tem esse vrus, a probabilidade de ser na forma X1 3/5. Se o indivduo tem o vrus na forma X1, a probabilidade desse indivduo sobreviver 2/3; mas, se o indivduo tem o vrus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver 5/6. Nessas condies, a probabilidade do indivduo portador do vrus X sobreviver

a) 11/15 b) 2/3 c) 3/5 d) 7/15 e) 1/3

Resoluo

Se o indivduo tem o vrus X, a probabilidade de ser na forma X1 3/5.

35

Como o vrus s aparece nas formas X1 e X2, ento a probabilidade de aparecer na forma X2 :

Isto porque a soma das probabilidades deve ser igual a 1.

25

Se o indivduo tem o vrus na forma X1, a probabilidade desse indivduo sobreviver 2/3; mas, se o indivduo tem o vrus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver 5/6.

Queremos calcular a probabilidade de um portador do vrus X sobreviver.



H dois casos a considerar. Os portadores na forma X1 e os portadores na forma X2.

35

23

25

56

6

15

1030

12 10

30

2230

1115

Letra A

22. (TCE-ES 2004/CESPE-UnB) Considere que dois controladores de recursos pblicos de um tribunal de contas estadual sero escolhidos para auditar as contas de determinada empresa estatal e que, devido s suas qualificaes tcnicas, a probabilidade de Jos ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, enquanto a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas consideraes, julgue os itens subseqentes. 1. Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de Jos ser escolhido 1/5. Nessas condies, a probabilidade de Jos e Carlos serem ambos escolhidos menor que 1/4 .

Resoluo. O exerccio forneceu as seguintes probabilidades:

/ 8 ) 3 ( =JoseP / 8 ) 5 ( =Carlos P

5 /1 )( =CarlosJose P A pergunta :

? )( =Carlos JoseP

Aplicando a frmula da probabilidade da interseco, temos:

Probabilidade de ser portador do vrus na forma X1

, 35

23

25

56

Probabilidade de sobreviver com o vrus na forma X1

Probabilidade de ser portador do vrus na forma X2

Probabilidade de sobreviver com o vrus na forma X2



)()()( Carlos JoseP CarlosP CarlosJose P =

81

51

85 )( = =JoseCarlos P

O item est certo.

23. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Os eventos A e B so independentes e suas probabilidades so P(A) = 0,5 e P (B) = 0,4. Quanto vale P(A B)? (A) 0,5 (B) 0,6 (C) 0,7 (D) 0,8 (E) 0,9

Resoluo. Como os eventos so independentes, ento:

,2 4 0 0, ,5 ) 0 (( ) )( = == B PA PB AP Agora podemos achar a probabilidade da unio:

)(( ) ( ) )( B AP BP AP BA P +=70, ,2 4 0 0, ,5 ) 0 ( = + = B AP

Letra C

24. (TRT 1 Regio 2008/CESPE-UnB) Considere que, em 2005, foram julgados 640 processos dos quais 160 referiam-se a acidentes de trabalho; 120, a no-recolhimento de contribuio do INSS; e 80, a acidentes de trabalho e no-recolhimento de contribuio de INSS. Nesse caso, ao se escolher aleatoriamente um desses processos julgados, a probabilidade dele se referir a acidentes de trabalho ou ao no-recolhimento de contribuio do INSS igual a a) 3/64 b) 5/64 c) 5/16 d) 7/16 e) 9/16

Resoluo. Sejam os seguintes eventos: - A: ocorre quando o processo escolhido aleatoriamente se refere a acidentes de trabalho



- B: ocorre quando o processo escolhido aleatoriamente se refere a no-recolhimento. Temos:

640160 )( =AP ;

640120 )( =BP ;

64080 )( = BA P

Aplicando a frmula probabilidade da unio: )() () ()( B AP BP AP BA P +=

165

640200

64080

640120

640160 )( == + = B AP

Letra C

25. (CGU 2008/ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando igual a: a) 0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95

Resoluo: Seja A o evento que ocorre quando, escolhendo-se ao acaso um dia em que Paulo vai ao futebol, ele encontra Ricardo. Seja B o evento equivalente, quando Paulo encontra Fernando. Temos:

,4 ) 0 ( =A P ,1 ) 0 ( =B P

,05 0 )( = B AP A pergunta :

? )( =A BP Aplicando a frmula:

)() () ()( B AP BP AP BA P +=450, ,05 010, ,4 0 )( = += B AP

Letra D



26. (Ministrio da Fazenda 2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o nmero 6 de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro nmero so iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais prximo da probabilidade de um nmero par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50%

Resoluo. A probabilidade de sair 6 20%

,2 ) 0 6 ( =P A probabilidade para os demais nmeros, portanto, de 80%. Esta probabilidade dividida entre os cinco nmeros restantes.

16% 5% 80 =

Queremos calcular a probabilidade de, em um dado lanamento, sair par. )4 6 (2 )( = P parP

Os eventos sair 2, sair 4 e sair 6 so mutuamente excludentes. A probabilidade da unio a soma das probabilidades.

6) (4) (2) ()( P PP parP ++=,52 0 2, 0,16 016, 0)( = ++ =par P

Queremos que dois nmeros pares ocorram em dois lanamentos. Seja A o evento que ocorre quando, no primeiro lanamento, o resultado par. Seja B o evento que ocorre quando, no segundo lanamento, o resultado par. Para que tenhamos dois nmeros pares, A e B devem ocorrer.

) ? ( = A B P Como os dois eventos so independentes, a probabilidade da interseco o produto das probabilidades.

= == 52 ,52 0 , 0) () ()( B PA PB AP 0,2704 Letra B



27. (IJSN 2010/CESPE-UNB) Considere que de uma urna contendo 2 bolas azuis e 6 bolas brancas retira-se ao acaso uma bola, anota-se sua cor e repese a bola na urna. Em seguida retira-se novamente uma bola da urna e anotase sua cor. Nessas condies, a probabilidade das duas bolas retiradas serem azuis 1/4.

Resoluo

Como a primeira bola retirada colocada de volta na urna, ento os eventos so independentes (a cor da bola retirada na primeira vez no vai influenciar na cor da bola retirada na segunda vez).

Neste caso,

1 2 28

2 8

4

32

18

O item est errado.

28. (CGU 2008/ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, trs desses profissionais para constiturem um grupo de trabalho, a probabilidade de os trs profissionais sorteados serem do mesmo sexo igual a: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24

Resoluo: De quantas formas podemos escolher os profissionais? Vamos dividir em etapas. Na primeira etapa, temos 10 opes (so 10 profissionais). Escolhido o primeiro para entrar no grupo de trabalho, sorteamos o segundo. Nessa segunda etapa temos, portanto, 9 opes. Escolhidos os dois primeiros, vamos ao terceiro. Para a terceira vaga do grupo de trabalho nos restam 8 opes. Logo, o nmero total de formas pelas quais podemos formar o tal grupo :

72089 10 =

1 etapa 2 etapa 3 etapa

10 9 8



So 720 casos possveis. Vamos ver agora quantos so os casos favorveis. Estamos interessados nos casos em que os trs escolhidos so do mesmo sexo. Vamos dividir em dois casos. Primeiro caso: so sorteadas trs mulheres. Segundo caso: so sorteados trs homens. Vejamos de quantas formas podemos escolher trs mulheres. No primeiro sorteio, temos 4 mulheres para escolher. So 4 maneiras de completar a primeira etapa. Escolhida a primeira mulher, vamos para a segunda etapa. No segundo sorteio, temos 3 opes de mulher. Escolhidas a primeira e a segunda mulheres, vamos para a terceira etapa. Na terceira etapa, restaram opes de mulher. Assim, o nmero de maneiras pelas quais podemos escolher trs mulheres :

2 24 34 = So 24 formas de se sortearem as trs mulheres. Para os homens as contas so anlogas. Temos 6 formas de realizar a primeira etapa (so 6 opes de homem para o segundo sorteio). Escolhido o primeiro homem, ficamos com 5 opes para o segundo sorteio. Escolhidos o primeiro e o segundo homens, ficamos com 4 opes para o terceiro sorteio. O nmero de maneiras pelas quais podemos escolher trs homens :

4 120 56 = So 120 formas de se escolherem os trs homens.

Ao todo, so 144 casos favorveis. So 120 casos em que temos trs homens no grupo de trabalho. E 24 casos nos quais temos trs mulheres no grupo de trabalho. Alm disso, so 720 casos possveis. A probabilidade de termos trs profissionais do mesmo sexo :

20% 51

6012

720144 = == = P

Letra D


4 3 2


6 5 4



29. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contm bolas vermelhas, azuis, amarelas e pretas. O nmero de bolas pretas duas vezes o nmero de bolas azuis, o nmero de bolas amarelas cinco vezes o nmero de bolas vermelhas, e o nmero de bolas azuis duas vezes o nmero de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso trs bolas da urna, com reposio, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? a) 100/729. b) 100/243. c) 10/27. d) 115/243. e) 25/81.

Resoluo

Suponha que temos apenas uma bola vermelha.

O nmero de bolas amarelas cinco vezes o nmero de bolas vermelhas, logo temos 5 bolas amarelas.

O nmero de bolas azuis duas vezes o nmero de bolas amarelas, logo temos 10 bolas azuis.

O nmero de bolas pretas duas vezes o nmero de bolas azuis, logo temos 20 bolas pretas.

Total de bolas: 1 + 5 + 10 + 20 = 36 bolas.

20 bolas pretas e 16 no-pretas.

Ao se retirar ao acaso trs bolas da urna, com reposio, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? Temos as seguintes possibilidades: - no preta, preta, preta. - preta, no preta, preta - preta, preta, no preta

Seja X uma bola de cor no-preta.

XPP, PXP, PPX 3 1636

2036

2036

100243

Letra B



30. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodomstico apresentam a seguinte distribuio de probabilidades de ocorrncia de venda:

A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodomstico igual a (A) 87,5%. (B) 80,0%. (C) 75,0%. (D) 60,0%. (E) 50,0%.

Resoluo

O somatrio de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Desta forma: 3 2 1

8 1

18

A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodomstico igual a

3 2 6 6 18

6 8

34

0,75 75%

Letra C

31. (Analista ANEEL 2006/ESAF) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasio de seu aniversrio, Ana ganhou de sua me quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasio, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vtor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e trs pretas. Ana guardou todas essas blusas - e apenas essas - em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vtor, Ana retira, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua me ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai igual a: a) 4/5 b) 7/10 c) 3/5 d) 3/10 e) 2/3

Resoluo

Vamos resumir os dados do problema.



Me 4 blusas pretas e 5 brancas. Pai 4 blusas pretas e 2 blusas brancas. Namorado 2 blusas brancas e 3 blusas pretas.

Na gaveta de Ana h, portanto, 20 blusas.

Como queremos calcular a probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua me ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai, ento o nmero de casos desejados igual a 6.

6

20

310

Letra D

32. (Tcnico MPU 2004/ESAF) Maria ganhou de Joo nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e trs delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de jias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com Joo, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jias. Ela v, ento, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informaes, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de Joo igual a a) 1/3 b) 1/5. c) 9/20. d) 4/5. e) 3/5.

Resoluo

Pulseiras de Joo 4 de prata e 5 de ouro. Pulseiras de Pedro 8 de prata e 3 de ouro.

Maria retirou uma pulseira de prata. Ela tem 12 pulseiras de prata (casos possveis). Queremos saber a probabilidade de essa pulseira ser uma das que ganhou de Joo. Ela ganhou 4 pulseiras de prata de Joo (casos desejados) Assim, a probabilidade pedida

4

12

13

Letra A

33. (TCE-RN 2000/ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos 3/5. A probabilidade de um co estar vivo daqui a 5 anos 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o co estar vivo daqui a 5 anos de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5



Resoluo

Se os eventos so independentes, a probabilidade de os dois eventos acontecerem simultaneamente igual ao produto das probabilidades.

Lembre-se que 1, onde o evento complementar do evento .Por exemplo, se a probabilidade de chover 40% = 0,4, ento a probabilidade de no chover 60% = 0,6, pois 0,4+0,6 =1. Calcular a probabilidade de somente o co estar vivo o mesmo que calcular a probabilidade de o co estar vivo e o gato estar morto (coitado!). Se a probabilidade de o gato estar vivo daqui a 5 anos igual a 3/5, ento a probabilidade de ele no estar vivo igual a 2/5. Assim,

45

2 5

8

25.

Letra B

34. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Uma urna contm duas bolas brancas e trs bolas pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade de que sejam da mesma cor de:

a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60%

Resoluo

So 5 bolas das quais 2 so brancas e 3 so pretas. Queremos calcular a probabilidade de sacar ao acaso duas bolas e as duas serem brancas ou as duas serem pretas.

A probabilidade de a primeira bola ser branca igual a 2/5 (pois so 2 bolas brancas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser branca igual a 1/4 (pois agora h apenas uma branca e 4 bolas no total). A probabilidade de a primeira bola ser preta igual a 3/5 (pois so 3 bolas pretas num total de 5 bolas). A probabilidade de a segunda ser preta igual a 2/4 (pois agora h 2 bolas pretas e 4 bolas no total).

25

1 4

35

2 4

2

20

620

8

20 0,4 40%

Letra C



35. (UNIPAMPA 2009/CESPE-UnB) Considerando duas moedas viciadas A e B, de modo que, jogando a moeda A, a probabilidade de dar cara 0,7, e a moeda B tem probabilidade 0,5 de dar coroa, ento a probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente igual a 0,2.

Resoluo

Vejamos a moeda A. Se a probabilidade de dar cara 0,7, ento a probabilidade de dar coroa deve ser 0,3, pois a soma das probabilidades deve ser igual a 1.

O resultado de uma moeda no interfere no resultado da outra moeda, portanto os eventos so independentes. A probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente igual a:

0,3 0,5 0,15

O item est errado.



10. Relao das questes comentadas

01. (INSS 2009/FUNRIO) Joo encontrou uma urna com bolas brancas, pretas e vermelhas. Ele verificou que a quantidade de bolas pretas igual metade da quantidade de bolas vermelhas e ao dobro da quantidade de bolas brancas. Joo, ento, colocou outras bolas pretas na urna, e a probabilidade de se escolher, ao acaso, uma bola preta do referido recipiente tornou-se igual a 0,5. Diante disso, a quantidade de bolas colocadas por Joo na urna igual a(o) A) quantidade de bolas brancas. B) dobro da quantidade de bolas brancas. C) quantidade de bolas vermelhas. D) triplo da quantidade de bolas brancas. E) dobro da quantidade de bolas vermelhas.

02. (INVEST RIO 2010/FUNRIO) Em uma empresa foram levantados os seguintes dados sobre os 80 funcionrios: - Existem funcionrios solteiros e funcionrios casados; - Existem 25 funcionrios que possuem filhos; - Dentre os solteiros, 20 funcionrios no possuem filhos. Diante desses dados, qual a probabilidade de se selecionar um funcionrio ao acaso que pertena ao grupo de casados? A) Inferior a 25% B) 25 % C) Superior a 25 e inferior a 50% D) 50% E) Superior a 50%

(PRF 2003/CESPE-UnB) Considere que a tabela abaixo mostra o nmero de vtimas fatais em acidentes de trnsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatrios, um para cada uma das vtimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vtima e as condies em que ocorreu o acidente. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatrio escolhido aleatoriamente entre os citados acima.



03. A probabilidade de que esse relatrio corresponda a uma vtima de um acidente ocorrido no estado do Maranho superior a 0,2.

04. A chance de que esse relatrio corresponda a uma vtima do sexo feminino superior a 23%.

05. Considerando que o relatrio escolhido corresponda a uma vtima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paran superior a 0,5.

06. Considerando que o relatrio escolhido corresponda a uma vtima de um acidente que no ocorreu no Paran, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranho superior a 0,27.

07. A chance de que o relatrio escolhido corresponda a uma vtima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos estados da regio Sul do Brasil listados na tabela inferior a 70%.

08. (SEFAZ-SP 2009/ESAF) Considere que numa cidade 40% da populao adulta fumante, 40% dos adultos fumantes so mulheres e 60% dos adultos no-fumantes so mulheres. Qual a probabilidade de uma pessoa adulta da cidade escolhida ao acaso ser mulher? a) 44% b) 52% c) 50% d) 48% e) 56%

(SEBRAE-BA 2008/CESPE-UnB) Na eleio para prefeito de uma cidade de 10.000 eleitores legalmente aptos a votar, concorrem os candidatos A e B. Uma pesquisa de opinio revela que 1.500 eleitores no votariam em nenhum desses candidatos. A pesquisa mostrou ainda que o nmero de eleitores indecisos isto , que, apesar de no terem ainda decidido, votaro em algum dos dois candidatos , que votariam apenas no candidato A ou que votariam apenas no candidato B so nmeros diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Nessa situao, com base nessa pesquisa, escolhendo-se ao acaso um desses eleitores, correto afirmar que a probabilidade dele


10. ser um eleitor indeciso inferior a 15%.




12. (MPOG 2010/ESAF) Em uma pequena localidade, os amigos Arnor, Bruce, Carlo, Denlson e Eleonora so moradores de um bairro muito antigo que est comemorando 100 anos de existncia. Dona Matilde, uma antiga moradora, ficou encarregada de formar uma comisso que ser a responsvel pela decorao da festa. Para tanto, Dona Matilde selecionou, ao acaso, trs pessoas entre os amigos Arnor, Bruce, Carlo, Denlson e Eleonora. Sabendo-se que Denlson no pertence comisso formada, ento a probabilidade de Carlo pertencer comisso , em termos percentuais, igual a: a) 30 % b) 80 % c) 62 % d) 25 % e) 75 %

13. (IJSN 2010/CESPE-UNB) A probabilidade de se obter um nmero menor que 5 no lanamento de um dado, sabendo que o dado no defeituoso e que o resultado um nmero mpar, igual a 2/3. (Paran Previdncia 2002/CESPE/UnB) Texto IV Uma empresa adotou uma poltica de contratao de deficientes fsicos. Para avaliar se as deficincias afetam o desempenho desses empregados no trabalho, foi gerado o seguinte quadro, a partir de uma avaliao dos 400 empregados dessa empresa.

Desempenho Tipo de deficincia Total Surdez Cegueira Outras Sem

deficincia Bom 35 40 2 123 200

Regular 5 20 18 157 200 Total 40 60 20 280 400

Com relao aos dados do texto IV, julgue os seguintes itens. 14. Se um empregado for escolhido ao acaso, a probabilidade de ele ser considerado como tendo bom desempenho ser igual a 0,50. 15. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os empregados considerados como tendo bom desempenho, a probabilidade de ele ser cego ser de 0,20. 16. Considere A o evento o empregado surdo e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso entre os 400 avaliados, a probabilidade de ele ser surdo e ter sido avaliado como tendo desempenho regular, P(A B), ser igual a P(A) P(B) = 0,05. 17. Considere C o evento o empregado cego e B o evento o empregado tem desempenho regular. Se um empregado for escolhido ao acaso, a

probabilidade condicional ser 1 ,0) (

)() |( ==B PC BPCB P .



18. Considere B o evento o empregado tem desempenho regular e D o evento o empregado tem desempenho bom. Os eventos B e D so independentes, pois 0 )( = D BP . 19. (CGU 2008/ESAF) A e B so eventos independentes se: a) ) () ()( B PA PB AP += b) ) () ()( B PA PB AP = c) ) () ()( B PA PB AP = d) )() ()( A BP AP BA P += e) ) () ()( B PA PB AP = 20. (STN 2008/ESAF) Dois eventos A e B so ditos eventos independentes se e somente se: a) a probabilidade de ocorrncia conjunta de A e B for nula b) a ocorrncia de B alterar a probabilidade de ocorrncia de A. c) a ocorrncia de A alterar a probabilidade de ocorrncia de B. d) a ocorrncia de B no alterar a probabilidade de ocorrncia de A. e) a probabilidade de ocorrncia conjunta de A e B for igual a 1.

21. (Administrador FUNAI 2009/FUNRIO) O vrus X aparece nas formas X1 e X2. Se um indivduo tem esse vrus, a probabilidade de ser na forma X1 3/5. Se o indivduo tem o vrus na forma X1, a probabilidade desse indivduo sobreviver 2/3; mas, se o indivduo tem o vrus na forma X2, a probabilidade dele sobreviver 5/6. Nessas condies, a probabilidade do indivduo portador do vrus X sobreviver

a) 11/15 b) 2/3 c) 3/5 d) 7/15 e) 1/3 22. (TCE-ES 2004/CESPE-UnB) Considere que dois controladores de recursos pblicos de um tribunal de contas estadual sero escolhidos para auditar as contas de determinada empresa estatal e que, devido s suas qualificaes tcnicas, a probabilidade de Jos ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, enquanto a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas consideraes, julgue o itens subseqente. Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de Jos ser escolhido 1/5. Nessas condies, a probabilidade de Jos e Carlos serem ambos escolhidos menor que 1/4 .



23. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Os eventos A e B so independentes e suas probabilidades so P(A) = 0,5 e P (B) = 0,4. Quanto vale P(A B)? (A) 0,5 (B) 0,6 (C) 0,7 (D) 0,8 (E) 0,9 24. (TRT 1 Regio 2008/CESPE-UnB) Considere que, em 2005, foram julgados 640 processos dos quais 160 referiam-se a acidentes de trabalho; 120, a no-recolhimento de contribuio do INSS; e 80, a acidentes de trabalho e no-recolhimento de contribuio de INSS. Nesse caso, ao se escolher aleatoriamente um desses processos julgados, a probabilidade dele se referir a acidentes de trabalho ou ao no-recolhimento de contribuio do INSS igual a a) 3/64 b) 5/64 c) 5/16 d) 7/16 e) 9/16 25. (CGU 2008/ESAF) Quando Paulo vai ao futebol, a probabilidade de ele encontrar Ricardo 0,4; a probabilidade de ele encontrar Fernando igual a 0,10; a probabilidade de ele encontrar ambos, Ricardo e Fernando, igual a 0,05. Assim, a probabilidade de Paulo encontrar Ricardo ou Fernando igual a: a) 0,04 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,45 e) 0,95 26. (Ministrio da Fazenda 2009/ESAF) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o nmero 6 de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro nmero so iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais prximo da probabilidade de um nmero par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 25% d) 23% e) 50%



27. (IJSN 2010/CESPE-UNB) Considere que de uma urna contendo 2 bolas azuis e 6 bolas brancas retira-se ao acaso uma bola, anota-se sua cor e repese a bola na urna. Em seguida retira-se novamente uma bola da urna e anotase sua cor. Nessas condies, a probabilidade das duas bolas retiradas serem azuis 1/4. 28. (CGU 2008/ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, trs desses profissionais para constiturem um grupo de trabalho, a probabilidade de os trs profissionais sorteados serem do mesmo sexo igual a: a) 0,10 b) 0,12 c) 0,15 d) 0,20 e) 0,24

29. (SUSEP 2010/ESAF) Uma urna contm bolas vermelhas, azuis, amarelas e pretas. O nmero de bolas pretas duas vezes o nmero de bolas azuis, o nmero de bolas amarelas cinco vezes o nmero de bolas vermelhas, e o nmero de bolas azuis duas vezes o nmero de bolas amarelas. Se as bolas diferem apenas na cor, ao se retirar ao acaso trs bolas da urna, com reposio, qual a probabilidade de exatamente duas bolas serem pretas? a) 100/729. b) 100/243. c) 10/27. d) 115/243. e) 25/81.

30. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Em uma loja, as unidades vendidas por dia de um determinado eletrodomstico apresentam a seguinte distribuio de probabilidades de ocorrncia de venda:

A probabilidade de que em um determinado dia tenham sido vendidas mais que uma unidade do eletrodomstico igual a (A) 87,5%. (B) 80,0%. (C) 75,0%. (D) 60,0%. (E) 50,0%.



31. (Analista ANEEL 2006/ESAF) Ana tem o estranho costume de somente usar blusas brancas ou pretas. Por ocasio de seu aniversrio, Ana ganhou de sua me quatro blusas pretas e cinco brancas. Na mesma ocasio, o pai de Ana a presenteou com quatro blusas pretas e duas brancas. Vtor, namorado de Ana, a presenteou com duas blusas brancas e trs pretas. Ana guardou todas essas blusas - e apenas essas - em uma mesma gaveta. Uma tarde, arrumando-se para ir ao parque com Vtor, Ana retira, ao acaso, uma blusa dessa gaveta. A probabilidade de a blusa retirada por Ana ser uma das blusas pretas que ganhou de sua me ou uma das blusas brancas que ganhou de seu pai igual a: a) 4/5 b) 7/10 c) 3/5 d) 3/10 e) 2/3

32. (Tcnico MPU 2004/ESAF) Maria ganhou de Joo nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e trs delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras e apenas essas em sua pequena caixa de jias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com Joo, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de jias. Ela v, ento, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informaes, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou de Joo igual a a) 1/3 b) 1/5. c) 9/20. d) 4/5. e) 3/5.

33. (TCE-RN 2000/ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos 3/5. A probabilidade de um co estar vivo daqui a 5 anos 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o co estar vivo daqui a 5 anos de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5

34. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) Uma urna contm duas bolas brancas e trs bolas pretas, todas de mesmo tamanho e peso. Sacando ao acaso duas bolas da urna, a probabilidade de que sejam da mesma cor de:

a) 20% b) 30% c) 40% d) 50% e) 60%



35. (UNIPAMPA 2009/CESPE-UnB) Considerando duas moedas viciadas A e B, de modo que, jogando a moeda A, a probabilidade de dar cara 0,7, e a moeda B tem probabilidade 0,5 de dar coroa, ento a probabilidade de se obterem duas coroas ao se jogarem as moedas A e B simultaneamente igual a 0,2.

11. Gabaritos

01. D 02. ANULADA 03. CERTO 04. ERRADO 05. ERRADO 06. CERTO 07. ERRADO 08. B 09. CERTO 10. ERRADO 11. CERTO 12. E 13. CERTO 14. CERTO 15. CERTO 16. ERRADO 17. ERRADO 18. ERRADO 19. E 20. D 21. A 22. CERTO 23. C 24. C 25. D 26. B 27. ERRADO 28. D 29. B 30. C 31. D 32. A 33. B 34. C 35. ERRADO

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