Raciocínio

CURSO ON-LINE – PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA ANVISA TÉCNICO ADMINISTRATIVO

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Olá pessoal!

Continuemos nosso curso em exercícios para a ANVISA resolvendo várias questões de provas anteriores do CETRO e sempre que necessário, de outras bancas. Aproveito para agradecer ao aluno Wendel Lopes por ter digitalizado e enviado uma prova do CETRO realizada no último final de semana.

01.(TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos: N, dos números naturais. Z, dos números inteiros. Q, dos números racionais. R, dos números reais. Assinale a alternativa correta. (A) a, b N temos a b N (B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro. (C) N Z Q R (D) a Z, b Z e b 0 a/b Z (E) A equação 3x 1 = 0 não tem solução em Q.

Resolução

a) Falsa. A subtração não é uma operação nos Naturais, isto porque nem sempre a – b N. A subtração só é definida quando o minuendo (a) for maior ou igual ao subtraendo (b). Por exemplo, 3 – 5 = -2 e 2 N.

b) Falsa. O conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} não possui um menor elemento nem um maior elemento.

c) Verdadeiro. Todo número natural é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional e todo número racional é um número real.

d) Falsa. Se a Z, b Z e b 0, nem sempre a/b Z. Por exemplo, 8 Z, 5 Z e 8/5 = 1,6 .

e) Vamos resolver a equação 3x 1 = 0.

3 1

13

Portanto, a alternativa E é falsa.

Letra C



02. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações:

I.

II. N Z Q R III.

IV.

V.

Considere:

Ir = Conjunto dos números irracionais. N = Conjunto dos números naturais. Q = Conjunto dos números racionais. R = Conjunto dos números reais. Z = Conjunto dos números inteiros.

As afirmações verdadeiras estão contidas em

a) I apenas. b) I e III apenas. c) I, II e V apenas. d) II, III, IV e V apenas. e) I, II, III, IV e V.

Resolução

Nenhum número racional é irracional. Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma a/b, onde a é inteiro e b é um inteiro diferente de zero. A união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (Ir) é o conjunto dos números reais.

Como vimos na questão anterior, N Z Q R.

Assim,

I é verdadeira, II é verdadeira. III é falsa, pois . IV é falsa, pois . V é verdadeira pois o conjunto dos números irracionais é

formado por todos os números reais que não são racionais.

Letra C



03. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) Considere os conjuntos:

N dos números naturais, Q dos números racionais, Q+ números racionais não-negativos, R dos números reais. O número que expressa a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N. b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+. c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N. d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+. e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q. Resolução

a) Falso, pois a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de N.

b) Verdadeiro, pois o valor pago por um sorvete é um racional não-negativo. Por exemplo, 2,37 reais.

c) Falso, pois a medida da altura de uma pessoa não necessariamente é um elemento de N, pode ser um racional não-natural. Por exemplo, 1,72m.

d) Falsa, pois, teoricamente, a velocidade média de um veículo pode ser um número irracional.

e) Falsa, pois a medida do lado de um triângulo pode ser irracional. Letra B 04. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Um sociólogo fez a seguinte afirmação em um programa de televisão: “Se as taxas de natalidade são altas, então as campanhas de orientação sexual são poucas”. Assinale a alternativa que apresenta uma proposição logicamente equivalente à deste sociólogo.

a) “Se as campanhas de orientação não são poucas, então as taxas de natalidade não são altas”.

b) “Se as campanhas de orientação sexual são muitas, então as taxas de natalidade são altas”.

c) “Se as taxas de natalidade não são altas, então as campanhas de orientação sexual não são poucas”.



d) “As taxas de natalidade são altas e as campanhas de orientação sexual são poucas”.

e) “Ou as taxas de natalidade, ou as campanhas de orientação sexual são baixas”.

Resolução

Vimos na aula passada que em uma linguagem informal, poderíamos construir o seguinte algoritmo para construir essas proposições equivalentes notáveis, dada a proposição condicional p q→ .

~ ~q p→ Negue o antecedente e o consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo “se...,então”

~ p q∨ Negue apenas o antecedente e troque o conectivo por “ou”.

“Se as taxas de natalidade são altas, então as campanhas de orientação sexual são poucas”

Essa proposição é equivalente às seguintes proposições:

“Se as campanhas de orientação sexual não são poucas, então as taxas de natalidade não são altas”. (Na alternativa A faltou a palavra “sexual”, portanto é a alternativa “menos errada”).

“As taxas de natalidade não são altas ou as campanhas de orientação sexual são poucas”.

Letra A

05. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Tem-se a seguinte proposição: “É falso que existem pessoas que não são sinceras”. Assinale a alternativa que apresenta uma forma logicamente equivalente à proposição.

a) “Não existem pessoas que sejam sinceras”. b) “Alguma pessoa não é sincera”. c) “Todas as pessoas são sinceras”. d) “Algumas pessoas são sinceras”. e) “Existem pessoas que não são sinceras”.



Resolução

Como saberemos se uma questão qualquer se refere à negação? De três maneiras: i) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição dada. ii) A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma falsa. iii) A questão fornece uma proposição falsa e pede uma verdadeira.

A questão forneceu uma frase falsa e pede uma verdadeira. Portanto, devemos negar a proposição dada. Para negar uma proposição com o quantificador “existem”, devemos trocá-lo por “todos” e modificar o verbo. Assim, a negação de “existem pessoas que não são sinceras” é “todas as pessoas são sinceras”. Letra C

06. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7) é (A) f(x) = 3x + 2 (B) f(x) = 2x – 3 (C) f(x) = x – 4 (D) f(x) = x + 3 (E) f(x) = 3x + 3

Resolução

Lembremos alguns fatos importantes sobre a função polinomial do 1º grau, também chamada de função afim e coloquialmente denominada função do 1º grau.

Amplamente definida, seu gráfico é uma reta.

Sua lei de formação é do tipo · .

O coeficiente “a” é denominado coeficiente angular, taxa de variação, coeficiente dominante ou coeficiente líder. Este coeficiente é responsável pela inclinação da reta. Quando a > 0 , a função é crescente (reta ascendente) e quando a < 0, a função é decrescente (reta descendente).

Quando são dados dois pontos (x1,y1) e (x2,y2), o coeficiente angular pode ser calculado como o quociente entre a variação de y e a variação de x. Ou seja,

∆∆



Já que o gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7), então o coeficiente “a” é dado por

∆∆

7 55 1

126 2

Com essa informação já poderíamos responder a questão marcando a alternativa B.

Bom, tendo calculado o coeficiente “a”, a lei de formação da função afim torna-se 2 . Podemos agora utilizar qualquer um dos pontos fornecido pelo enunciado para calcular o coeficiente “b”.

O coeficiente “b” é denominado coeficiente linear ou termo independente. Ele é o intercepto do gráfico com o eixo y.

Utilizemos por exemplo o ponto B(5, 7). Esse ponto nos informa que quando o x = 5, y = 7. Já que a lei de formação é 2 , devemos substituir esses valores na lei.

2 · 5 7

10 7

3

Assim, a lei de formação da função é 2 3.

Letra B

07. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado

de uma pessoa, utiliza-se a fórmula , em que C é o

número do calçado e p é o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é (A) 24,1cm. (B) 23,6cm. (C) 23,2cm. (D) 22,4cm. (E) 21,3cm.

Resolução

O enunciado nos informa que o número do calçado C é uma função polinomial do 1º grau do comprimento do pé.

Onde o coeficiente angular a = 5/4 e o coeficiente linear b = 28/4 = 7.



Uma pessoa calça um sapato tamanho 36, logo C = 36.

365 28

4

O 4 que está dividindo o segundo membro, “passa multiplicando o 1º membro”. Assim,

5 28 144

5 116

23,2

Letra C

08. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) Sobre a função seno, afirma-se: I. é uma função de R em R. II. tem D = [-1,1] e Im = R. III. sen x = - sen(-x), x R. IV. é uma função periódica de período p = . Estão corretas as afirmações (A) I e III. (B) I e IV. (C) II e III. (D) II e IV. (E) I, II e III.

Resolução

I. Qual o significado da expressão “é uma função de R em R”? Quando dizemos que uma função é de A em B, estamos afirmando que o domínio da função é o conjunto A e o contradomínio é o conjunto B. O domínio é responsável pelos valores de x, é o conjunto de partida da função. Já o contradomínio é o conjunto de chegada. O conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio.

Assim, quando dizemos que a função seno é uma função de R em R, estamos afirmando que na função y = sen x, x pode assumir qualquer valor real (e é verdade, podemos calcular o seno de qualquer número real) e que o resultado, ou seja, o valor do seno será também um número real. Portanto I é verdadeira.

II. “tem D = [-1,1] e Im = R.”

Pelo exposto no item I, o item II é falso. Como vimos, o domínio da função seno é o conjunto dos números reais. E o que é o conjunto



imagem? É o conjunto que “abriga” os valores de y. Podemos calcular o seno de qualquer número, porém o resultado, ou seja, o seno sempre será um número -1 ≤ y ≤ 1. O seno sempre assume valores entre -1 e 1 (inclusive). Portanto, o conjunto imagem não é o conjunto dos números reais. Podemos afirmar que o valor máximo da função seno é igual a 1 e o valor mínimo é igual a -1.

III. sen x = - sen(-x), x R. Verdadeiro, pois a função seno é ímpar. Dizemos que uma função f é ímpar quando . Dizemos que uma função f é par quando . Em relação às funções , cos , quais são pares e quais são ímpares? As funções seno e tangente são ímpares, enquanto a função cosseno é par. Ou seja,

cos cos IV. é uma função periódica de período p = . Uma função : (f de A em B) é periódica se existir um número p > 0 satisfazendo a condição , . O símbolo significa “para todo”. O menos valor de p que satisfaz a condição acima é denominado período da função f. Pois bem, e em relação às funções trigonométricas seno, cosseno e tangente?

Todas elas são periódicas. O período das função seno é , o período da função cosseno também é e o período da função tangente é .

Portanto, IV é falso.

Letra A



09. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) O funcionamento de uma bomba de água pode ser descrito, simplificadamente, pela função seno. Suponha que, para uma determinada bomba de água, o volume v de água na bomba, medido em litros, seja dado, aproximadamente, pela fórmula abaixo:

323

onde t é o tempo medido em segundos. Assinale a alternativa correta. a) A bomba aspira e expira água a cada dois segundos. b) A bomba aspira e expira água a cada quatro segundos. c) O valor máximo atingido pelo volume de água da bomba é 3 litros. d) O valor mínimo atingido pelo volume de água da bomba é 2 litros. e) O valor mínimo atingido pelo volume de água da bomba é 3 litros. Resolução Vimos na questão anterior que o valor máximo da função seno é igual a 1 e o valor mínimo é igual a -1.

Assim, o valor máximo da função (volume máximo) é igual a v = 3 +1 =4. O valor mínimo da função (volume mínimo) é igual a v = 3 + (-1) = 2. Letra D 10. (AFT 2006/ESAF) Sabendo-se que 3 1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a:

a) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) 1/7

Resolução

Coloquei essa questão com o intuito de lembrar uma fórmula importantíssima de trigonometria. É tão importante que é chamada de Relação Fundamental da Trigonometria. Ei-la:

1

São inúmeras as questões que podem ser resolvidas com o auxílio dessa relação. Para que possamos utilizá-la na questão, devemos elevar ambos os membros da equação ao quadrado.



3 1

9 6 · · 1

Ora, mas podemos dizer que 9 8

Ficamos com 8 6 · · 1

Mas lembre-se que 1

Portanto,

8 6 · · 1 1

8 6 · · 0

8 6 · ·

8 6 ·

86

43

Letra A

11. (Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Seja o triângulo retângulo representado na figura abaixo:

Assinale a alternativa que representa o valor de cos θ.

a) 0,5 b) 0,6 c) 0,71.



d) 0,75. e) 0,8 Resolução Apliquemos o Teorema de Pitágoras: Um triângulo é retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

2 1 2 2 1

4 4 1 4 4 4 4 1

4 4 0

√ 42

4 4 4 · 1 · 4

2 · 1

4 02 2

Assim, os lados do triângulo serão: 2x – 1 = 3 x+2 = 4 2x+1=5

â 35 0,6

Letra B 12. (Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Para cercar um terreno triangular, o proprietário precisa determinar o comprimento do muro para que providencie a



compra do material necessário. Na figura abaixo, você pode visualizar uma representação esquemática do terreno:

Assinale a alternativa que representa o comprimento do muro, sabendo-se que esta medida é dada pelo perímetro do triângulo apresentado.

a) 1 2√3 b) 2 2√3 c) 1 √3 d) 2 √3 e) 3 √3

Resolução

Lembremos os valores do seno, cosseno e tangente dos arcos notáveis.

30º 45º 60º

Seno √

√

Cosseno √ √

Tangente √ √

Um lembrete importante que poderá você ganhar tempo é o seguinte.

Em um triângulo retângulo com ângulos agudos iguais a 30º e 60º, o cateto oposto ao ângulo de 30º é igual à metade da hipotenusa.

Como a hipotenusa é igual a 2, o cateto oposto ao ângulo de 30º é igual a 1. Se você não se lembrar, basta aplicar as definições de seno e cosseno no triângulo retângulo.

â



â

Assim,

30 â

212

Portanto, x = 1.

30 â

2√32

Assim, √3 O perímetro (em geometria indicamos o perímetro por 2p) é igual a

2 2 1 √3 3 √3 Letra E 13. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A função f: R R é crescente, se f (4x – 2) > f (6 + 2x), então (A) 2<x<3. (B) x > 4. (C) x < 4. (D) x > 0. (E) x< 2.

Resolução

Uma função é crescente se, para dois valores quaisquer x1 e x2, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2). Ou se x1 > x2, tivermos f(x1) > f(x2).

Uma função é decrescente se, para dois valores quaisquer x1 e x2, com x1 < x2, tivermos f(x1) > f(x2). Ou se x1 > x2, tivermos f(x1) < f(x2).

Assim, como f é crescente e f (4x – 2) > f (6 + 2x), podemos concluir que

4 2 6 2

4 2 6 2

2 8

4

Letra B



14. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 (A) (1,-1) (B) (-7,-1) (C) (7,1) (D) (-7,1) (E) (-1,0) Resolução Considere uma equação do 2º grau 0, com 0. As raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula

√ 42

Na equação dada, temos que a = 1, b = - 8 e c = 7. Logo,

8 8 4 · 1 · 72 · 1

8 √64 28

2

8 62

Assim, x = 7 ou x = 1. Letra C 15. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0 (A) S={-2,2,-3,3} (B) conjunto vazio (C) S={-2,-3} (D) S={2,3} (E) S={-2,-3,-1,1} Resolução A equação dada é chamada de biquadrada e pode ser resolvida com a ajuda de uma mudança de variável. Chamemos x2 de y. Ou seja, x2 = y. Assim, x4 = y2. A equação ficará



13 36 0 Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 1, b = 13 e c = 36) devemos utilizar a seguinte fórmula:

√ 42

13 √13 4 · 1 · 362 · 1

13 √169 1442

13 52

Assim,

13 52 4

ou

13 52 9

Como x2=y, então x2 = -4 (x não pertence aos reais, pois não há número real que elevado ao quadrado seja igual a -4, porque todo número real elevado ao quadrado é não-negativo) ou x2 = -9 (x não pertence aos reais pelo mesmo motivo). Assim, o conjunto-solução da equação é o conjunto vazio. Letra B 16. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é: (A) - 7 (B) - 2 (C) 1 (D) - 1 (E) 7 Resolução



Lembremos o que dizem as Relações de Girard. Considere uma equação do 2º grau 0, com 0 cujas raízes podem ser calculadas com o auxílio da seguinte fórmula

√ 42

A soma das raízes dessa equação é dada por

e o produto das raízes é dado por

Voltemos ao problema. Na equação mx2 – 7x + 10 = 0, temos que a = m, b = - 7 e c = 10. A soma das raízes é igual a 7, logo

7

77

7 7

1

Letra C 17. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: (A) -2 (B) -1 (C) 5 (D) 7 (E) 2 Resolução Na questão anterior vimos que na equação 0, a soma das raízes é dada por



e o produto das raízes é dado por

Na equação dada, temos que a = 5, b = -10 e c = 2m – 4. Como a soma das raízes é igual ao produto das raízes,

10 2 4

2 4 10

2 14

7 Letra D 18. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2 Resolução Sejam x1 e x2 as raízes da equação dada. Temos que a = 2, b = m e c = 1. O texto nos informa que uma raiz é o dobro da outra. Ou seja, x1 = 2x2. Sabendo os valores de “a” e “c”, temos condições de calcular o produto das raízes.



·

Como x1 = 2x2,

2 · ·12

14

Como as raízes são positivas, então

12

Consequentemente

2 · 2 ·12 1

Assim, a soma das raízes será igual a

112

2 12

32 1,5

Letra D 19. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A maior raiz da equação 32x + 1 – 16. 3x + 5 = 0 é (A) 4. (B) 0,5. (C) log3 5. (D) log5 3. (E) 5.

Resolução

Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim,

·

/

E da mesma forma que · , temos que · (óbvio não?).



Assim, o primeiro termo da equação, 32x + 1=32x .31=3.32x

Lembremos outra propriedade das potências:

Assim, 32x = (3x)2.

Podemos reescrever a equação 32x + 1 – 16 . 3x + 5 = 0 da seguinte forma:

3 · 3 16 · 3 5 0

Fazendo 3 , a equação toma a seguinte forma:

3 · 16 · 5 0

Ou seja, temos agora uma equação do segundo grau em y. Para resolver uma equação do segundo grau com coeficientes a,b e c (na nossa equação a = 3, b = -16 e c = 5) devemos utilizar a seguinte fórmula:

√ 42

16 16 4 · 3 · 52 · 3

16 √256 606

16 146

Assim,

5 ou

Mas como 3 , então 3 5 ou 3 1/3.

Temos agora duas equações exponenciais para resolver.

i) 3 5

Sabemos que a expressão pode ser escrita na forma log .

Assim 3 5 pode ser escrito como log 5.



ii) 3 1/3.

3 3

1

Assim as raízes da equação são log 5 e 1. A maior raiz é log 5 e a resposta é a letra C.

20. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se a quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas, seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2t. Determine, aproximadamente, o tempo necessário, em semanas, para que entre no padrão “preocupante”. (Considere: log10 2 = 0,3) a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

Resolução

O padrão preocupante é de 20 mil células por mililitro (no mínimo). O tempo necessário para que entre no padrão é a raiz da equação

20 · 2 20.000

2 1.000

O logaritmo de “auxílio” dado pela questão está na base 10. Podemos, portanto “logaritmar” ambos os membros na base 10.

log 2 log 1.000

log 2 log 10

Lembrando que log · log ,

· log 2 3 · log 10

Lembrando também que log 1,



· 0,3 3 · 1

30,3 10

Letra C

21. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma função y = f(x).

Resolução O gráfico de uma função não pode possuir mais de um ponto na mesma vertical. Portanto, o gráfico da letra C não representa uma função.

Letra C



22. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO)Admita que z é um número primo. Quantos pares ordenados de números inteiros (x, y) existem tal que x . y = z? (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) Nenhuma das alternativas anteriores. Resolução Um número é primo quando possui apenas dois divisores naturais. Podemos dizer que um número primo possui 4 divisores inteiros. Lembre-se que o número 1 não é primo nem composto. Vejamos um exemplo: 7 é um número primo. Isso porque ele possui apenas 2 divisores naturais: 1 e 7. Portanto, quais são os números inteiros que multiplicados resultam em 7? 1 x 7 = 7 7 x 1 = 7 (-1) x (-7) = 7 (-7) x (-1) = 7. Temos, portanto 4 pares ordenados (x,y) tal que x . y = 7. (1,7), (7,1), (-1,-7), (-7,-1). Letra B 23. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por:

2 1 0 2 3 2 0. Sabendo que A é o conjunto solução de e B o conjunto solução de

, então o conjunto é igual a: a) 2

b) 2 c) | 1 d) | 0 e) | 0

Resolução Relembremos alguns fatos importantes sobre a função quadrática definida nos reais pela lei com 0.



Seu gráfico é uma parábola com eixo de simetria vertical. Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima, se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. As raízes da função são dadas pela fórmula

√ 42

O número ∆ 4 é chamado de discriminante. Se ∆ 0, então a função possui duas raízes reais e distintas e o gráfico intercepta o eixo x em dois pontos distintos. Se ∆ 0, então a função possui duas raízes reais e iguais (ou 1 raiz dupla) e o gráfico tangencia o eixo x. Se ∆ 0, então a função não possui raízes reais e o gráfico não intercepta o eixo x. Considere a função 2 1. O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Calculemos suas supostas raízes.

2 2 4 · 1 · 12 · 1

2 0

2 1 Ou seja, a função possui duas raízes reais e iguais (raiz dupla).

Resolver a inequação 2 1 0, significa responder quando é que a função 2 1 é menor do que ou igual a 0. De acordo com o gráfico exposto acima, a função nunca é menor do que 0. A função é igual a 0 apenas para x = 1. Assim, o conjunto solução da inequação é | 1 . Olhemos a segunda inequação. 2 3 2 0. O gráfico da função g é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. Calculemos as raízes:



3 3 4 · 2 · 2

2 · 2

3 5

4

3 54

12

3 54 2

Temos o seguinte gráfico.

Resolver a inequação 2 3 2 0 significar responder quando a função g é maior do que ou igual a 0. Pelo gráfico vemos que o conjunto solução dessa inequação é o conjunto

2 . O enunciado pede o conjunto .

A interseção resume-se ao ponto x=1. | 1 Letra C 24. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é representado na figura abaixo.



Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. a) R$ 45,00 b) R$ 80,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 1.225,00 e) R$ 1.400,00 Resolução Lembremos outros fatos importantes acerca da função quadrática

com 0. Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e a função admite um ponto de mínimo. Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo e a função admite um ponto de máximo. Se a < 0, a função quadrática admite o valor máximo

áΔ

4 áb

2 Neste caso o valor é denominado valor máximo da função e o valor

é denominado maximante.



Se a > 0, a função quadrática admite o valor mínimo

íΔ

4 íb

2 Neste caso o valor é denominado valor mínimo da função e o valor

é denominado minimante. O ponto , é chamado vértice da parábola representativa da função quadrática. Voltemos à questão. A questão chegava até ser interessante, mas o gráfico estragou tudo e o candidato poderia responder a questão sem tocar no lápis.

Obviamente, o lucro máximo é maior do que 1.200 e menor do que 1.400. Assim, a resposta só pode ser a letra D. Mas nosso papel não é apenas marcar o gabarito. Vamos esquecer o gráfico. O valor máximo da função é dado por

áΔ

4 Lembrando que Δ 4 .



A função lucro é dada por L(x) = –x2 + 90x – 800. Então Δ 4 90 4 · 1 · 800 4.900 Assim, o valor máximo (lucro máximo) é

áΔ

44.900

4 · 14.900

4 1.225

Letra D Se quiséssemos calcular o valor do mouse a ser vendido que torna o lucro máximo bastaríamos calcular xmáx.

á 290

2 · 1 45

Esse valor foi explicitado no gráfico (eixo x). Observe outra coisa: o xmáx pode ser calculado como a média aritmética das raízes. As raízes são os pontos em que o gráfico toca o eixo x. Analisando o gráfico, vemos que a parábola toca o eixo x em x = 10 e em x = 80. Assim,

á10 80

2 45 E, sabendo o xmáx podemos calcular ymáx substituindo o x na função por 45.

– 90 – 800

45 – 45 90 · 45 – 800 1.225

Para terminar nossa aula, resolverei uma questão de geometria plana – assunto base da próxima aula. Forte abraço e fique com Deus. Prof. Guilherme Neves.



25. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m “cortado” por um arco de circunferência.

Considerando =3,14, a área da região pintada de preto é de (A) 7,74m² (B) 7,98m² (C) 8,42m² (D) 8,86m² (E) 9,12m² Resolução A área de um quadrado de lado é igual a . A área de uma circunferência de raio é igual a . Observe que a região branca é um quarto de círculo. Portanto, a área da região pintada de preto é igual à área do quadrado menos a área branca. Lembrando que a área branca é igual à área do círculo dividida por 4.

í / ℓ 4 63,14 · 6

4 7,74 Letra A



Questões comentadas nesta aula

01.(TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos: N, dos números naturais. Z, dos números inteiros. Q, dos números racionais. R, dos números reais. Assinale a alternativa correta. (A) a, b N temos a b N (B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro. (C) N Z Q R (D) a Z, b Z e b 0 a/b Z (E) A equação 3x 1 = 0 não tem solução em Q.

02. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações:

I.

II. N Z Q R III.

IV.

V.

Considere:

Ir = Conjunto dos números irracionais. N = Conjunto dos números naturais. Q = Conjunto dos números racionais. R = Conjunto dos números reais. Z = Conjunto dos números inteiros.

As afirmações verdadeiras estão contidas em

a) I apenas. b) I e III apenas. c) I, II e V apenas. d) II, III, IV e V apenas. e) I, II, III, IV e V.



03. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) Considere os conjuntos: N dos números naturais, Q dos números racionais, Q+ números racionais não-negativos, R dos números reais. O número que expressa a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N. b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+. c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N. d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+. e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.

04. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Um sociólogo fez a seguinte afirmação em um programa de televisão: “Se as taxas de natalidade são altas, então as campanhas de orientação sexual são poucas”. Assinale a alternativa que apresenta uma proposição logicamente equivalente à deste sociólogo.

a) “Se as campanhas de orientação não são poucas, então as taxas de natalidade não são altas”.

b) “Se as campanhas de orientação sexual são muitas, então as taxas de natalidade são altas”.

c) “Se as taxas de natalidade não são altas, então as campanhas de orientação sexual não são poucas”.

d) “As taxas de natalidade são altas e as campanhas de orientação sexual são poucas”.

e) “Ou as taxas de natalidade, ou as campanhas de orientação sexual são baixas”.

05. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Tem-se a seguinte proposição: “É falso que existem pessoas que não são sinceras”. Assinale a alternativa que apresenta uma forma logicamente equivalente à proposição.

a) “Não existem pessoas que sejam sinceras”. b) “Alguma pessoa não é sincera”. c) “Todas as pessoas são sinceras”.



d) “Algumas pessoas são sinceras”. e) “Existem pessoas que não são sinceras”.

06. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A função f de 1º grau, cujo gráfico passa pelos pontos A(-1, -5) e B(5, 7) é (A) f(x) = 3x + 2 (B) f(x) = 2x – 3 (C) f(x) = x – 4 (D) f(x) = x + 3 (E) f(x) = 3x + 3

07. (Pref. Mairinque/SP 2009/CETRO) Para saber o número do calçado

de uma pessoa, utiliza-se a fórmula , em que C é o

número do calçado e p é o comprimento do pé em centímetros. Se uma pessoa calça um sapato tamanho 36, significa que o comprimento de seu pé é (A) 24,1cm. (B) 23,6cm. (C) 23,2cm. (D) 22,4cm. (E) 21,3cm.

08. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) Sobre a função seno, afirma-se:

I. é uma função de R em R. II. tem D = [-1,1] e Im = R. III. sen x = - sen(-x), x R. IV. é uma função periódica de período p = . Estão corretas as afirmações (A) I e III. (B) I e IV. (C) II e III. (D) II e IV. (E) I, II e III.

09. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) O funcionamento de uma bomba de água pode ser descrito, simplificadamente, pela função seno. Suponha que, para uma determinada bomba de água, o volume v de água na bomba, medido em litros, seja dado, aproximadamente, pela fórmula abaixo:

323

onde t é o tempo medido em segundos. Assinale a alternativa correta. a) A bomba aspira e expira água a cada dois segundos.



b) A bomba aspira e expira água a cada quatro segundos. c) O valor máximo atingido pelo volume de água da bomba é 3 litros. d) O valor mínimo atingido pelo volume de água da bomba é 2 litros. e) O valor mínimo atingido pelo volume de água da bomba é 3 litros.

10. (AFT 2006/ESAF) Sabendo-se que 3 1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a:

a) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) 1/7

11. (Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Seja o triângulo retângulo representado na figura abaixo:

Assinale a alternativa que representa o valor de cos θ.

a) 0,5 b) 0,6 c) 0,71. d) 0,75. e) 0,8 12. (Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Para cercar um terreno triangular, o proprietário precisa determinar o comprimento do muro para que providencie a compra do material necessário. Na figura abaixo, você pode visualizar uma representação esquemática do terreno:



Assinale a alternativa que representa o comprimento do muro, sabendo-se que esta medida é dada pelo perímetro do triângulo apresentado.

a) 1 2√3 b) 2 2√3 c) 1 √3 d) 2 √3 e) 3 √3

13. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A função f: R R é crescente, se f (4x – 2) > f (6 + 2x), então (A) 2<x<3. (B) x > 4. (C) x < 4. (D) x > 0. (E) x< 2.

14. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Quais as raízes da equação: x² - 8x + 7 = 0 (A) (1,-1) (B) (-7,-1) (C) (7,1) (D) (-7,1) (E) (-1,0) 15. (Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Indique a alternativa que represente o conjunto solução em R, para a equação: x4+13x2+36 =0 (A) S={-2,2,-3,3} (B) conjunto vazio (C) S={-2,-3} (D) S={2,3} (E) S={-2,-3,-1,1}



16. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) O valor de m para que a soma das raízes da equação de segundo grau mx2 – 7x + 10 = 0 seja igual a 7 é: (A) - 7 (B) - 2 (C) 1 (D) - 1 (E) 7 17. (Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Na equação de segundo grau 5x2 – 10x + 2m – 4 = 0, a soma das raízes é igual ao produto das mesmas, nessas condições, o valor de m é igual a: (A) -2 (B) -1 (C) 5 (D) 7 (E) 2 18. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) As raízes da função quadrática y = 2x2 +mx + 1 são positivas e uma é o dobro da outra. A soma dessas raízes é: a) 2,4 b) 2,1 c) 1,8 d) 1,5 e) 1,2 19. (LIQUIGÁS 2007/CETRO) A maior raiz da equação 32x + 1 – 16. 3x + 5 = 0 é (A) 4. (B) 0,5. (C) log3 5. (D) log5 3. (E) 5.

20. (Companhia Catarinense de Águas e Saneamento 2008/FEPESE) Um dos problemas da captação de água de rios é a presença de algas potencialmente tóxicas, responsáveis pelo mau cheiro e o gosto ruim na água. No entanto, se a quantidade de células (algas) estiver dentro dos limites tolerados pelo organismo, as algas não causam riscos à saúde. O padrão considerado preocupante é a partir de 20 mil células por mililitro. Suponha que a quantidade n de células (algas) por mililitro em função do tempo, em semanas, seja dada pela expressão algébrica n(t) = 20 · 2t. Determine, aproximadamente, o tempo necessário, em semanas, para que entre no padrão “preocupante”. (Considere: log2 10 = 0,3)



a) 4 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16

21. (TRT-SC 2007/CETRO) Assinale a alternativa que não representa gráfico de uma função y = f(x).

22. (Pref. Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO)Admita que z é um número primo. Quantos pares ordenados de números inteiros (x, y) existem tal que x . y = z? (A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 8 (E) Nenhuma das alternativas anteriores. 23. (AFRFB 2009/ESAF) Considere as inequações dadas por:

2 1 0 2 3 2 0. Sabendo que A é o conjunto solução de e B o conjunto solução de

, então o conjunto é igual a: a) 2

b) 2



c) | 1 d) | 0 e) | 0

24. (Secretaria de Estado da Administração – Santa Catarina 2006/FEPESE) O lucro obtido na venda de mouses é dado pela função L(x) = –x2 + 90x – 800, sendo L o lucro do fabricante e x o preço de venda do mouse. O gráfico da função lucro é representado na figura abaixo.

Assinale a alternativa que indica o maior lucro do fabricante. a) R$ 45,00 b) R$ 80,00 c) R$ 1.000,00 d) R$ 1.225,00 e) R$ 1.400,00



25. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m “cortado” por um arco de circunferência.

Considerando =3,14, a área da região pintada de preto é de (A) 7,74m² (B) 7,98m² (C) 8,42m² (D) 8,86m² (E) 9,12m²



Gabaritos oficiais

01) C 02) C 03) B 04) A 05) C 06) B 07) C 08) A 09) D 10) A 11) B 12) E 13) B 14) C 15) B 16) C 17) D 18) D 19) C 20) C 21) C 22) B 23) C 24) D 25) A

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