Raciocínio Lógico - I - Parte II

7/25/2019 Raciocnio Lgico - I - Parte II

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RACIOCNIO LGICO PARA INSSAula 01Parte 2

Prof. Guilherme Neves

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Ol, pessoal.

Vamos comear a segunda parte da nossa primeira aula. Aqui vamos resolverquestes bem recentes da FCC que envolvem o chamado RaciocnioMatemtico.

(SABESP 2014/FCC) Para responder s questes de nmeros 01 e 02, considereas informaes abaixo.

Luiz tem que tomar um comprimido do remdio X a cada 3 horas, e doiscomprimidos do remdio Y a cada 5 horas. O tratamento com os comprimidosdeve durar 5 dias e meio, sendo que ele iniciou tomando, simultaneamente, adose recomendada de cada remdio na segunda-feira, s 8 horas da manh.Sabe-se que Luiz realizou o tratamento completo cumprindo rigorosamente asinstrues de doses e horrios.

01. Ao final do tratamento, o total de comprimidos ingeridos por Luiz foi igual a

(A) 90.(B) 88.(C) 96.(D) 92.(E) 66.

Resoluo

O tratamento durar 5 dias e meio. Como cada dia tem 24 horas, o tempo totaldo tratamento ser de 5,5 x 24 = 132 horas.

Luiz toma o remdio X a cada 3 horas, assim ele tomar o remdio X 132/3 =44 vezes. Como em cada vez que ele toma o remdio X ele deve ingerir apenasum comprimido, ento ele deve ingerir 44 comprimidos do remdio X.

Luiz toma o remdio Y a cada 5 horas. Dividindo 132 por 5, teremos 26 e resto2, ou seja, ele tomar o remdio Y 26 vezes. Em cada vez que ele toma oremdio Y ele deve ingerir dois comprimidos. Portanto, ele deve tomar 26 x 2 =52 comprimidos do remdio Y.

O total de comprimidos ingeridos por Luiz igual a 44 + 52 = 96.

Letra C

02. Na semana que Luiz fez o tratamento, o ltimo instante em que ele tomou,simultaneamente, as doses dos remdios X e Y foi no sbado s

(A) 11 horas.

(B) 8 horas.


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(C) 23 horas.(D) 13 horas.(E) 16 horas.

Resoluo

Luiz toma o remdio X a cada 3 horas e o remdio Y a cada 5 horas. Para saberde quanto em quanto tempo ele toma os dois remdios simultaneamente,devemos calcular o MMC (mnimo mltiplo comum) entre 3 e 5. Para tanto,vamos fatorar os dois nmeros simultaneamente.

3,5 31,5 51,1Conclumos que mmc(3,5) = 3x5 = 15, ou seja, Luiz toma os dois remdiossimultaneamente a cada 15 horas.

Dividindo 132 por 15, obteremos quociente 8 e resto 12. Isto significa que eletomar os dois remdios juntos 8 vezes. Como o intervalo de 15 horas, aoitava e ltima vez em que ele tomar os dois remdios juntos ser daqui a 8 x15 = 120 horas. Cada dia tem 24 horas, portanto 120 horas = 120/24 = 5 dias.

Ele comeou o tratamento tomando os dois remdios juntos na segunda-feiras 8 da manh. A ltima vez em que ele tomar os dois remdios juntos ser

exatamente 5 dias depois, ou seja, sbado s 8 da manh.Letra B

03. (TRF 3a Regio 2014/FCC) O nmero de ordens judiciais decretadas pelorgo 1, h quatro anos, era igual ao nmero de ordens judiciais decretadaspelo rgo 2, hoje. Daquela poca para a atual, o nmero de ordens judiciaisdecretadas pelo rgo 1 no mudou, mas o nmero de ordens judiciaisdecretadas pelo rgo 2 cresceu 20%. Sabendo que os rgos 1 e 2 somam,hoje, 6 000 ordens judiciais, ento h quatro anos o nmero de ordens judiciaisdecretadas pelo rgo 2 era igual a

(A) 2 400.(B) 2 600.(C) 2 500.(D) 2 900.(E) 2 800.

Resoluo

Vou montar uma tabelinha para colocar os dados da questo.


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4 anos atrs Hojergo 1rgo 2

Daquela poca para a atual, o nmero de ordens judiciais decretadas pelorgo 1 no mudou, mas o nmero de ordens judiciais decretadas pelo rgo 2cresceu 20%.

Assim, sendo, chamarei a quantidade de ordens judiciais do rgo 4 anos atrsde x. A sua quantidade atual ser igual a 1,2 x (pois aumentou 20%). Lembre-se que para aumentar algo em 20%, devemos multiplicar por 120/100 = 1,2.

4 anos atrs Hojergo 1rgo 2 x 1,2x

O nmero de ordens judiciaisdecretadas pelo rgo 1, h quatro anos, eraigual ao nmero de ordens judiciais decretadas pelo rgo 2, hoje.

Conclumos que a quantidade de ordens judiciais decretadas pelo rgo 1 h 4anos era 1,2x e hoje continua sendo 1,2 x, j que esta quantidade no mudou.

4 anos atrs Hojergo 1 1,2x 1,2xrgo 2 x 1,2x

Os rgos 1 e 2 somam, hoje, 6 000 ordens judiciais.

Conclumos que

1,2+1,2=6.0002,4=6.000

= 6.0002,4 =2.500

Vamos substituir o valor encontrado para x na tabela.

4 anos atrs Hojergo 1 3.000 3.000rgo 2 2.500 3.000

O problema quer saber o nmero de ordens judiciais decretadas pelo rgo 2h quatro anos. Este nmero igual a 2.500.

Letra C


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04. (TRF 3a Regio 2014/FCC) Um tanque com 5 000 litros de capacidadeestava repleto de gua quando, s 00:00 hora de um certo dia, a guacomeou a escapar por um furo vazo constante. 01:00 hora desse mesmodia, o tanque estava com 4 985 litros de gua, e a vazo de escape da guapermaneceu constante at o tanque se esvaziar totalmente, dias depois. Oprimeiro instante em que o tanque se esvaziou totalmente ocorreu em um certodia s

(A) 14 horas e 20 minutos.(B) 21 horas e 20 minutos.(C) 18 horas e 40 minutos.(D) 14 horas e 40 minutos.(E) 16 horas e 20 minutos.

Resoluo

Em um perodo de 1 horas o tanque deixou escapar 5.000 4.985 = 15 litros.

Para esvaziar completamente o tanque, sero necessrios 5.000/15 horas =1.000/3 horas.

Se voc no percebeu que bastava dividir, poderia ter feito uma regrinha detrs.

Horas Litros

1 15x 5.000

Aumentando a quantidade de litros, devemos aumentar a quantidade de horas.As grandezas so diretamente proporcionais.

1 = 155.000

15=5.000

= 5.00015 = 1.0003 Vamos dividir 1.000 horas por 3.

1.000 | 31 333 Tivemos um resto de uma hora. Ora, 1 hora = 60 minutos. Dividindo 60 por 3temos resto igual a 20 minutos. Assim,


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= 5.00015 = 1.0003 =333 20Este o tempo necessrio para esvaziar o tanque.

Vamos ver quantos dias se passaram? Para tanto, vamos dividir 333 por 24.333 | 2421 13 Conclumos que o nosso tempo de 333 horas 20 min igual a 13 dias 21 horase 20 minutos.

Como o tanque comeou a esvaziar meia noite de um determinado dia,deveremos esperar 13 dias completos e mais 21 horas e 20 minutos do 14odia.

Letra B

05. (TRF 3a Regio 2014/FCC) Comparando-se a remunerao, por horatrabalhada, dos servios A e B, verificou-se que no servio B a remunerao era25% a menos do que a remunerao no servio A. Roberto trabalhou 8 horasno servio A e 4 horas no servio B. Paulo trabalhou 4 horas no servio A e 8horas no servio B. A porcentagem a mais que Roberto recebeu, por suas 12horas de trabalho, em relao ao que Paulo recebeu, por suas 12 horas detrabalho, igual a

(A) 50.(B) 10.(C) 25.(D) 0.(E) 12,5.

Resoluo

Vamos supor que a remunerao por hora trabalhada no servio A seja de 100reais. A remunerao no servio B 25% menor, ou seja, 75 reais.

Roberto trabalhou 8 horas no servio A e 4 horas no servio B. Ele ganhou:

8 100 + 4 75 = 800 + 300 = 1.100 Paulo trabalhou 4 horas no servio A e 8 horas no servio B. Ele ganhou:

4 100 + 8 75 = 400 + 600 = 1.000 Roberto recebeu 100 reais a mais que Paulo. Como Paulo ganhou 1.000 reais,

ento Roberto recebeu a mais 100/1.000 = 0,10 = 10%. Letra B


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= 6 75 = 450 Para transformar em minutos, devemos dividir 450 por 60.

450 | 6030 7 = 7 30Letra C

07. (TRF 3a Regio 2014/FCC) Quatro funcionrios dividiro, em partesdiretamente proporcionais aos anos dedicados para a empresa, um bnus de R$36.000,00. Sabe-se que dentre esses quatro funcionrios um deles j possui 2anos trabalhados, outro possui 7 anos trabalhados, outro possui 6 anos

trabalhados e o outro ter direito, nessa diviso, quantia de R$ 6.000,00.Dessa maneira, o nmero de anos dedicados para a empresa, desse ltimofuncionrio citado, igual a

(A) 5.(B) 7.(C) 2.(D) 3.(E) 4.

Resoluo

Vamos primeiro organizar a proporo apenas com os 3 funcionrios com otempo de servio conhecido.

O total a ser dividido R$ 36.000,00. Como o quarto funcionrio receber R$6.000,00, ento os outros recebero juntos R$ 30.000,00.

A diviso ser feita em partes diretamente proporcionais aos anos dedicados empresa.

2 = 7 = 6Para prolongar esta proporo, devemos somar os numeradores (R$ 30.000) esomar os denominadores (2+7+6 = 15).

2 = 7 = 6 = 30.00015 =2.000Essa a constante de proporcionalidade, ou seja, quando dividimos a quantia

que cada um ganha pelo seu tempo de servio o resultado ser igual a 2.000.


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Assim, dividindo o valor recebido pelo ltimo funcionrio (R$ 6.000,00) pelo seutempo de servio deveremos encontrar o valor 2.000.

6.000 =2.000

= 3Concluso: O funcionrio que recebeu R$ 6.000,00 j dedicou 3 anos empresa.

Letra D

08. (TRF 3aRegio 2014/FCC) Um tcnico precisava arquivar x processos emseu dia de trabalho. Outro tcnico precisava arquivar y processos, d iferente de

x, em seu dia de trabalho. O primeiro tcnico arquivou, no perodo da manh,2/3 dos processos que precisava arquivar naquele dia. No perodo da tarde,esse tcnico arquivou 3/8 dos processos que arquivara pela manh e aindarestaram 14 processos para serem arquivados. O segundo tcnico arquivou, noperodo da manh, 3/5 dos processos que precisava arquivar naquele dia. Noperodo da tarde, o segundo tcnico arquivou 5/18 dos processos que arquivarapela manh e ainda restaram 42 processos para serem arquivados. Dessaforma, possvel determinar que, o tcnico que arquivou mais processos noperodo da tarde superou o que o outro arquivou, tambm no perodo da tarde,em um nmero de processos igual a

(A) 42.(B) 18.(C) 12.(D) 30.(E) 15.

Resoluo

O primeiro tcnico arquivou 2/3 dos processos que precisava arquivar, ou seja,2/3 de x.

No perodo da tarde, esse tcnico arquivou 3/8 dos processos que arquivarapela manh. Assim, tarde ele arquivou

38 23 = 38 23 = 4Se somarmos os processos que ele arquivou pela manha (2x/3), os processosque arquivou tarde (x/4) e os processos que restaram (14) teremos comoresultado o prprio x, que o total de processos que ele precisava arquivar.


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23 + 4 + 1 4 = Vamos multiplicar todos os membros da equao por 12, que o mmc entre 3e 4.

No caso das fraes, devemos dividir 12 pelo denominador e multiplicar oresultado pelo numerador.

Observe que 12 dividido por 3 4. 4 vezes 2x = 8x.

12 dividido por 4 3. 3 vezes x = 3x.

8 + 3 + 1 6 8 = 1 2 1 1 + 1 6 8 = 1 2 = 1 6 8

Vamos agora calcular o nmero de processos do segundo tcnico.

O segundo tcnico arquivou, no perodo da manh, 3/5 dos processos queprecisava arquivar naquele dia. No perodo da tarde, o segundo tcnico arquivou 5/18 dos processos que arquivara pela manh e ainda restaram 42processos para serem arquivados.

Assim, ele arquivou 3/5 de y pela manh, 5/18 de 3/5 de y tarde e aindarestaram 42 processos. A soma desses valores igual a y.

35 + 518 35 + 4 2 = 35 + 6 + 4 2 = Vamos multiplicar todos os membros da equao por 30, que o mmc entre 5

e 6.Olhe para primeira frao. Vamos dividir 30 pelo seu denominador e multiplicaro resultado pelo numerador. 30 dividido por 5 6. 6 vezes 3y 18y.

Olhe para a segunda frao. 30 dividido por 6 5 e vezes y 5y.

18+5+1.260=30

7=1.260

= 1 8 0


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O primeiro tcnico deveria arquivar 168 processos o segundo tcnico, 180processos.

AGORA PRESTE MUITA ATENO PERGUNTA DO ENUNCIADO!!!

Dessa forma, possvel determinar que, o tcnico que arquivou mais processosnoperodo da tardesuperou o que o outro arquivou, tambm no perodo datarde, em um nmero de processos igual a

Perceba ento que no queremos apenas a diferena entre x e y. Queremossaber a diferena entre as quantidades arquivadas no perodo da tarde.

O primeiro tcnico, no perodo da tarde, arquivou:

4 = 1684 = 42

O segundo tcnico, no perodo da tarde, arquivou:

518 35 = 6 = 1806 = 30A diferena entre essas quantidades 12.

Essa foi uma tima casca de banana, mas quem marcasse 180 168 = 12tambm iria acertar a questo (na sorte).

Letra C

09. (Cmara Municipal de So Paulo 2014/FCC) O preode uma mercadoria, naloja J, de R$ 50,00. O dono da loja J resolve reajustar o preo dessamercadoria em 20%. A mesma mercadoria, na loja K, vendida por R$ 40,00.O dono da loja K resolve reajustar o preo dessa mercadoria de maneira aigualar o preo praticado na loja J aps o reajuste de 20%. Dessa maneira odono da loja K deve reajustar o preo em

(A) 20%.(B) 50%.(C) 10%.(D) 15%.(E) 60%.

Resoluo

O aumento da loja J de 20% de R$ 50,00.

20100 50 = 10


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O preo final da mercadoria na loja J ser de 50 + 10 = 60 reais.

A mesma mercadoria, na loja K, vendida por R$ 40,00. O dono da loja Kresolve reajustar o preo dessa mercadoria de maneira a igualar o preopraticado na loja J aps o reajuste de 20%.

Ou seja, a mercadoria na loja K ser vendida tambm por R$ 60,00. A pergunta: qual o aumento percentual de ume mercadoria que custava R$ 40,00 e queagora custa R$ 60,00?

Vamos aplicar a frmula para calcular a taxa de aumento.

= = 6 0 4 040 = 0 , 5 = 5 0 %Letra B

10. (Cmara Municipal de So Paulo 2014/FCC) Um funcionrio de umaempresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionrio executou3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a semana, ele executou 1/3 do que haviaexecutado na 1asemana. Na 3a e 4asemanas, o funcionrio termina a execuoda tarefa e verifica que na 3asemana executou o dobro do que havia executadona 4a semana. Sendo assim, a frao de toda a tarefa que esse funcionrioexecutou na 4asemana igual a

a) 5/16b) 1/6c) 8/24d) 1/4e) 2/5

Resoluo

Na primeira semana ele executou 3/8 da tarefa.

Na segunda semana, ele executou 1/3 do que havia executado na primeirasemana, ou seja: 13 38 = 13 38 = 18Somando a primeira e a segunda semana, temos:

38 + 18 = 48 = 12


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Portanto, nas duas primeiras semanas ele executou metade da tarde. Sobrar aoutra metade para a terceira e a quarta semana.

Vamos considerar que a frao executada na quarta semana seja igual a x. Na3asemana executou o dobro do que havia executado na 4asemana, ou seja,2x.

+ 2 = 123 = 12

=16

Sendo assim, a frao de toda a tarefa que esse funcionrio executou na 4asemana igual a1/6.

Letra B

11. (Cmara Municipal de So Paulo 2014/FCC) Uma prefeitura destinou aquantia de 54 milhes de reais para a construo de trs escolas de educaoinfantil. A rea a ser construda em cada escola , respectivamente, 1.500 m2,1.200 m2 e 900 m2 e a quantia destinada cada escola diretamenteproporcional a rea a ser construda. Sendo assim, a quantia destinada

construo da escola com 1.500 m2, em reais, igual a

(A) 22,5 milhes.(B) 13,5 milhes.(C) 15 milhes.(D) 27 milhes.(E) 21,75 milhes.

Resoluo

Questozinha bem fcil sobre diviso proporcional. Devemos dividir 54 milhesem partes diretamente proporcionais a 1.500, 1.200 e 900. Podemos simplificarestas quantidades por 100, obtendo 15, 12 e 9. Podemos agora dividir estastrs quantidades por 3 e obter 5, 4 e 3. Assim, iremos dividir 54 milhes empartes diretamente proporcionais a 5, 4 e 3.

5 = 4 = 3 = + + 5 + 4 + 3 = 5412 =4,5A quantia destinada construo da escola com 1.500 m2:

= 5 4 , 5 = 2 2 , 5


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5 = 464 = 3 0 = 7,5 = 7 30Letra D

13. (Cmara Municipal de So Paulo 2014/FCC) Uma empresa foi constitudapor trs scios, que investiram, respectivamente, R$ 60.000,00, R$ 40.000,00e R$ 20.000,00. No final do primeiro ano de funcionamento, a empresa obteveum lucro de R$ 18.600,00 para dividir entre os scios em quantias diretamenteproporcionais ao que foi investido. O scio que menos investiu dever receber

(A) R$ 2.100,00.(B) R$ 2.800,00.(C) R$ 3.400,00.(D) R$ 4.000,00.(E) R$ 3.100,00.

Resoluo

Isso regra de sociedade. O lucro deve ser dividido em partes diretamenteproporcionais aos capitais investidos e ao tempo de investimento. Neste caso,s temos a grandeza capital.

Assim, vamos dividir 18.600 reais em partes diretamente proporcionais a60.000, 40.000 e 20.000. Simplificando esses valores por 20.000, vamos dividir18.600 reais em partes diretamente proporcionais a 3, 2 e 1.

3 = 2 = 1 = + + 3 + 2 + 1 = 18.6006 =3.100Assim, os valores recebidos sero iguais a:

= 3 3 . 1 0 0 = 9 . 3 0 0 = 2 3 . 1 0 0 = 6 . 2 0 0 = 1 3 . 1 0 0 = 3 . 1 0 0

O scio que menos investiu dever receberR$ 3.100,00.

Letra E


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14. (Sergipe-Gs 2013/FCC) A empresa X, de materiais de construo, ofereceaos clientes uma promoo na qual ela d desconto de 3% sobre qualquerpreo de empresas concorrentes, inclusive sobre os preos que j contmdesconto. Uma encomenda de materiais, cotada a R$ 21.000,00 na empresa Y,pode ser negociada por R$ 19.320,00 na empresa W. O menor preo a ser pagona empresa X, correspondente a um nico desconto em relao cotao naempresa Y, de, aproximadamente,

(A) 6.(B) 9.(C) 11.(D) 12.(E) 8.

Resoluo

O menor preo a ser pago na empresa X quando damos um desconto de 3%no preo cotado na empresa W.

3100 19.320=579,60Assim, o preo a ser pago de 19.320 579,60 = 18.740,40 reais.

A pergunta a seguinte: qual o desconto que deve ser dado na empresa Y

(cotada em R$ 21.000,00) para que o valor pago seja de R$ 18.740,40? = = 18.740,4021.00021.000 = 2.259,6021.000 Para transformar esta frao em taxa percentual, devemos multiplic-la por100%.

= 2.259,60

21.000100%= 2.259,60

210%=10,76%

Letra C

15. (Sergipe-Gs 2013/FCC) Uma mquina gira 1 volta e 2/3 de volta, emsentido horrio e gasta 20 segundos nesse movimento. Em seguida ela gira 1/3de volta em sentido contrrio e gasta 10 segundos nesse movimento. Amquina segue realizando sempre esses dois tipos de movimentos, um aps ooutro e sempre iniciando da posio que parou no movimento anterior. Aps 4minutos e 50 segundos a mquina para. Em relao posio inicial, a mquinaparou na posio correspondente a um giro, no sentido horrio, de


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a) zero voltab) 2/3 de voltac) 1/3 de voltad) 1/2 de voltae) 1/3 de volta

Resoluo

Vamos ver o que acontece em 30 segundos. A mquina gira 1 volta e 2/3 devolta em sentido horrio e depois retorna no sentido contrrio 1/3 de volta. Nofinal dos 30 segundos:

1 + 23 13 = 1 + 13 Assim, a cada 30 segundos, ele d uma volta completa (ou seja, passa pela suaposio inicial) e avana mais 1/3 de volta. Concluso: a cada 30 segundos asua posio avana 1/3 de volta. Em 60 segundos ele avana 2/3 de volta e em90 segundos ele chega na posio inicial.

Percebeu? Depois de 90 segundos ele para na posio inicial, como se notivesse sado do lugar.

Queremos saber a posio final aps 4 minutos e 50 segundos, que igual a290 segundos.

No 90o segundo ele est na posio inicial. No 180osegundo ele est na posioinicial. No 270osegundo ele est na posio inicial. S faltam agora 20segundos para finalizar o movimento. E o que a mquina faz em 20 segundos?Gira 1 volta e 2/3 de volta! Portanto, a mquina finalizar o movimento a 2/3de volta em relao a posio inicial.

Letra B

16. (Sergipe-Gs 2013/FCC) Para realizar uma tarefa em grupos, eranecessrio separar os participantes em dois tipos de grupos. A diferena entre onmero de participantes de dois grupos diferentes um elemento. Aquantidade de grupos com maior nmero de elementos deve ser um a menosdo que a quantidade do outro tipo de grupo. O coordenador dos gruposverificou, a partir do total de participantes do projeto, que poderia realizar adiviso em grupos e seriam 8 grupos com nmero menor de participantes.Levando em conta que o total de participantes era a primeira possibilidademenor que 156, o nmero total de participantes dos grupos maiores de

(A) 72.(B) 66.

(C) 68.


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(D) 70.(E) 56.

Resoluo

A diferena entre o nmero de participantes de dois grupos diferentes umelemento.

Vamos considerar ento que cada grupo menor possua x elementos e que cadagrupo maior possua (x+1) elementos.

So 8 grupos menores. Assim, o total de pessoas nos grupos menores 8x.

A quantidade de grupos com maior nmero de elementos deve ser um a menosdo que a quantidade do outro tipo de grupo.

Conclumos que so 7 grupos maiores. Como cada grupo maior tem (x+1)pessoas, ento o total de pessoas nos grupos maiores 7(x+1)=7x+7.

O total de pessoas menor que 156.

8 + 7 + 7 < 1 5 615


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(D) 8%(E) 4%

Resoluo

Vamos considerar que 100 pessoas deram entrada no hospital. 80% dessenmero liberado no mesmo dia, ou seja, 80 pessoas foram liberadas. Aindafaltam 20 pessoas.

Dos pacientes que no so liberados no mesmo dia, 80% ficam internados noprprio hospital e os demais so removidos para outros hospitais.

80% 20 = 80100 2 0 = 1 6Ainda faltam 4 pessoas, que sero removidos para outros hospitais. Como ototal de pessoas 100, as pessoas removidas para outros hospitaisrepresentam 4%.

Letra E

18. (MPE-AM 2013/FCC) No campeonato brasileiro de futebol, cada equipedisputa um total de 38 jogos, recebendo 3 pontos a cada vitria, 1 ponto a cadaempate e nenhum ponto em caso de derrota. Em 2012, o Fluminense foi ocampeo brasileiro, conquistando um total de 77 pontos e sendo derrotado

apenas 5 vezes. Dessa forma, o nmero de vitrias obtidas pelo Fluminense nocampeonato brasileiro de 2012 igual a

(A) 23(B) 22(C) 21(D) 20(E) 19

Resoluo

So 38 jogos. Como o Fluminense perdeu 5 vezes, o total de vitrias e empates igual a 33.

+ = 3 3 = 3 3

Cada vitria d 3 pontos e cada empate 1 ponto. O total de pontos igual a 77.

3 + 1 = 7 7


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Vamos substituir e por 33 v.

3 + 3 3 = 7 72 = 4 4

= 2 2Letra B

19. (DPE-SP 2013/FCC) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$350,00. Para estabelecer o preo de venda desse produto em sua loja, ocomerciante decidiu que o valor deveria ser suficiente para dar 30% dedesconto sobre o preo de venda e ainda assim garantir lucro de 20% sobre opreo de compra. Nessas condies, o preo que o comerciante deve vender

essa mercadoria igual a

(A) R$ 620,00.(B) R$ 580,00.(C) R$ 600,00.(D) R$ 590,00.(E) R$ 610,00.

Resoluo

O comerciante quer garantir 20% de lucro sobre o preo de compra. = 20% 350 = 20100 3 5 0 = 7 0Assim, o comerciante quer que o cliente pague 350+70 = 420 reais, mesmodando um desconto de 30% sobre o preo de venda.

Ento a situao a seguinte: o comerciante vai anunciar a mercadoria por xreais. Dar um desconto de 30% de tal forma que o cliente pague 420 reais.

30% = 420 0 , 3 = 4 2 00,7=420

= 6 0 0A mercadoria deve ser anunciada por R$ 600,00.

Letra C


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20. (DPE-SP 2013/FCC) Carlos e Alberto disputam um jogo, um contra o outro, sendo que a cada jogada o dinheiro que um perde equivalente ao que o outroganha. De incio, Carlos tem o dobro do dinheiro de Alberto para apostar.Depois de algumas partidas, Carlos perdeu R$ 400,00 e, nessa nova situao,Alberto passou a ter o dobro do dinheiro de Carlos. No incio desse jogo, Carlose Alberto tinham, juntos, para apostar um total de

(A) R$ 1.200,00.(B) R$ 1.100,00.(C) R$ 1.250,00.(D) R$ 1.150,00.(E) R$ 1.050,00.

Resoluo

No incio, Carlos tem o dobro de Alberto. Se Alberto possua x reais, Carlospossua 2x reais.

Carlos perdeu 400 reais. Ficou com 2x 400 reais.

O dinheiro que um perde equivale ao que o outro ganhou. Portanto, Albertoganhou 400 reais e ficou com x + 400.

Nesta nova situao, o dinheiro de Alberto o dobro do dinheiro de Carlos.

+ 4 0 0 = 2 ( 2 4 0 0 ) + 4 0 0 = 4 8 0 04 0 0 + 8 0 0 = 4

3=1.200 = 4 0 0

Conclumos que Alberto possua 400 reais e Carlos 800 reais. Eles tinham juntos

400+800 = 1.200 reais.

Letra A

21. (DPE-SP 2013/FCC) A sequncia chamada a partir de agora de DS (dobroda soma) : 1; 1; 4; 10; 28; 76; ... . Os dois primeiros termos da sequncia DSso o nmero 1 e os termos seguintes so criados com a regra: dobro da somados dois termos imediatamente anteriores. Assim, o terceiro termo 4 pois 4 o dobro da soma entre 1 e 1. O quarto termo 10 porque 10 o dobro dasoma entre 4 e 1. E a sequncia segue dessa maneira ilimitadamente. Sabendo


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que o 8o termo de DS 568 e o 10o termo de DS 4240, o 9o termo dessasequncia

(A) 2120.(B) 1552.(C) 1136.(D) 2688.(E) 3104.

Resoluo

Vamos considerar que o nono termo igual a x.

Pela lei de formao da sequncia, o dcimo termo tem que ser igual ao dobroda soma do oitavo e do nono termo.

= 2 ( + )4 .2 4 0 = 2 (+ 5 6 8 )2+1.136=4.240

2=3.104

=1.552

Letra B

22. (Metro-SP 2013/FCC) Hoje, a soma das idades de trs irmos 65 anos.Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade doirmo do meio, que por sua vez tinha o dobro da idade do irmo mais novo.Daqui a dez anos, a idade do irmo mais velho ser, em anos, igual a

(A) 55.(B) 25.(C) 40.

(D) 50.(E) 35.

Resoluo

A soma das idades hoje 65 anos. A soma das trs idades 10 anos atrs era

65 10 10 10 = 35 anos.

Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do

irmo do meio, que por sua vez tinha o dobro da idade do irmo mais novo.


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Considerando que o irmo mais novo tinha x anos, o irmo do meio tinha 2xanos e o mais velho 4x anos. A soma era 35.

+ 2 + 4 = 3 5

7 = 3 5 = 5 Isto significa que h 10 anos, o mais novo tinha 5 anos, o do meio 10 anos e omais velho 20 anos. Hoje o mais novo tem 15 anos, o do meio 20 anos e o maisvelho 30 anos (observe que a soma das idades hoje 15+20+30=65 anos).

Queremos saber a idade do mais velho daqui a 10 anos. Como ele tem 30 anos,daqui a 10 anos ter 40 anos.

Letra C

23. (DPE-RS 2013/FCC) Em uma empresa, 2/3 dos funcionrios so homens e3/5 falam ingls. Sabendo que 1/12 dos funcionrios so mulheres que nofalam ingls, pode-se concluir que os homens que falam ingls representam,em relao ao total de funcionrios, uma frao equivalente a

(A) 3/10(B) 7/20

(C) 2/5(D) 9/20(E) 1/2

Resoluo

Se voc quiser evitar trabalhar com fraes, pode colocar um valor para o totalde funcionrios da empresa. De preferncia escolha um nmero que sejamltiplo de 3, 5 e 12. Por exemplo, vamos dizer que a empresa tem 60funcionrios.

2/3 dos funcionrios so homens.23 60 = 23 60 = 40 Consequentemente, so 20 mulheres.

3/5 falam ingls.

35 60 = 35 60 = 36


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Consequentemente, 24 no falam ingls.

1/12 dos funcionrios so mulheres que no falam ingls.

112 60 = 112 60 = 5 Vou montar uma tabelinha para colocar os dados.Falam Ingls No falam ingls Total

Homens 40Mulheres 5 20

Total 36 24 60

So 20 mulheres. Como 5 no falam ingls, ento 15 falam ingls.

So 24 pessoas que no falam ingls das quais 5 so mulheres. Portanto, 19homens no falam ingls.

Falam Ingls No falam ingls TotalHomens 19 40Mulheres 15 5 20

Total 36 24 60

Como so 40 homens e 19 no falam ingls, ento 21 homens falam ingls.

Falam Ingls No falam ingls TotalHomens 21 19 40Mulheres 15 5 20

Total 36 24 60

Veja o que a questo pede:pode-se concluir que os homens que falam inglsrepresentam, em relao ao total de funcionrios, uma frao equivalente a:

So 21 homens que falam ingls em um total de 60 pessoas. A frao pedida :

2160 = 720Letra B


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24. (TRT 5a Regio 2013/FCC) Para montar, com palitos de fsforo, oquadriculado 2 2 mostrado na figura a seguir, foram usados, no total, 12palitos.

Para montar um quadriculado 6 6 seguindo o mesmo padro, devero serusados, no total,

(A) 64 palitos.(B) 72 palitos.(C) 84 palitos.(D) 96 palitos.(E) 108 palitos.

Resoluo

Observe que para formar um quadriculado 2x2 so necessrias 3 linhas e 3colunas com dois palitos.

Para formar um quadriculado 6x6, precisamos de 7 linhas e 7 colunas com 6palitos.

Assim, teremos 14 fileiras com 6 palitos dando um total de 14 x 6 = 84 palitos.

Letra C


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25. (TRT 9aRegio 2013/FCC) Em um loja de bijuterias, todos os produtos sovendidos por um dentre os seguintes preos: R$ 5,00, R$ 7,00 ou R$ 10,00.Mrcia gastou R$ 65,00 nessa loja, tendo adquirido pelo menos um produto decada preo. Considerando apenas essas informaes, o nmero mnimo e onmero mximo de produtos que Mrcia pode ter comprado so,respectivamente, iguais a

(A) 9 e 10.(B) 8 e 11.(C) 8 e 10.(D) 9 e 13.(E) 7 e 13.

Resoluo

Para comear, Mrcia compra pelo menos um produto de cada tipo. Assim, jgarantimos um gasto inicial de 5 + 7 + 10 = 22 reais. Como o gasto total deMrcia tem que ser de R$ 65,00, ento ela ainda deve gastar 65 22 = 43reais.

Suponhamos que ela tenha que comprado x objetos de 5 reais, y objetos de 7reais e z objetos de 10 reais. Portanto:

5 + 7 + 1 0 = 4 3Vamos atribuir valores a x.

Se colocarmos x = 8, ficamos com:

4 0 + 7 + 1 0 = 4 37 + 1 0 = 3

Neste caso, no h valores naturais para y e z que satisfaam a equao.

Se colocarmos x = 7, ficamos com:

3 5 + 7 + 1 0 = 4 37 + 1 0 = 8

Novamente, no h valores naturais para y e z que satisfaam a equao.


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Se colocarmos x = 6, temos:

3 0 + 7 + 1 0 = 4 37 + 1 0 = 1 3

No h valores naturais para y e z que satisfaam a equao.

Colocando x = 5:

2 5 + 7 + 1 0 = 4 3

7 + 1 0 = 1 8


Colocando x =4:

2 0 + 7 + 1 0 = 4 3

7 + 1 0 = 2 3


Colocando x = 3.

1 5 + 7 + 1 0 = 4 37 + 1 0 = 2 8

Neste caso, podemos colocar y = 4 e z = 0. Assim, o total de produtoscomprados 3+4+0+1+1+1=10. Coloquei 1+1+1 porque Mrcia tinhacomprado inicialmente um produto de cada tipo.Colocando x = 2, temos:

1 0 + 7 + 1 0 = 4 37 + 1 0 = 3 3



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Colocando x = 1, temos:

5 + 7 + 1 0 = 4 37 + 1 0 = 3 8

Neste caso, podemos colocar y = 4 e z = 1. Assim, o total de produtoscomprados 1+4+1+1+1+1=9, lembrando que (1+1+1) se refere aosprodutos comprados inicialmente.

Finalmente, colocando x = 0, temos:

7 + 1 0 = 4 3

Novamente no h valores naturais para y e z que satisfaam a equao.

Assim, a quantidade mxima de produtos 10 e a quantidade mnima 9.

Letra A

26. (TRT 9a Regio 2013/FCC) Atendendo ao pedido de um cliente, um

perfumista preparou 200 ml da fragrncia X. Para isso, ele misturou 20% daessncia A, 25% da essncia B e 55% de veculo. Ao conferir a frmula dafragrncia X que fora encomendada, porm, o perfumista verificou que havia seenganado, pois ela deveria conter 36% da essncia A, 20% da essncia B e44% de veculo. A quantidade de essncia A, em ml, que o perfumista deveacrescentar aos 200 ml j preparados, para que o perfume fique conforme aespecificao da frmula igual a

(A) 32.(B) 36.(C) 40.(D) 45.(E) 50.

Resoluo

Vamos calcular as quantidades iniciais.

= 20% 200 = 20100 200 = 40 = 25% 200 = 25100 200=50


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= 55% 200 = 55100 200=110Ao conferir a frmula da fragrncia X que fora encomendada, porm, operfumista verificou que havia se enganado, pois ela deveria conter 36% da

essncia A, 20% da essncia B e 44% de veculo.

Observe agora o que a questo pede: A quantidade de essncia A, em ml, queo perfumista deve acrescentar aos 200 ml j preparados, para que o perfumefique conforme a especificao da frmula igual a.

Assim, a quantidade da essncia B permanecer a mesma, mudar apenas oseu percentual. Poderamos raciocinar tambm com o veculo. A quantidade deveculo permanece a mesma, mudando apenas o seu percentual.

Temos 50 ml da essncia B. Antes este nmero representava 25% dafragrncia X. Depois de aumentar a quantidade da essncia A, este percentualdiminuir para 20%. Digamos que o volume total final seja F.

20% = 5020100 = 5 0

= 2 5 0

O volume final igual a 250 ml. Como no incio tnhamos 200 ml, a quantidadede essncia A que foi acrescentada igual a 50 ml.

Letra E

27. (TRT 9aRegio 2013/FCC) Em uma disciplina de um curso superior, 7/9 dosalunos matriculados foram aprovados em novembro, logo aps as provas finais.Todos os demais alunos fizeram em dezembro uma prova de recuperao.Como 3/5 desses alunos conseguiram aprovao aps a prova de recuperao,o total de aprovados na disciplina ficou igual a 123. O total de alunos

matriculados nessa disciplina igual a

(A) 136.(B) 127.(C) 130.(D) 135.(E) 126.

Resoluo

Vamos considerar que o nmero de alunos matriculados igual a x.


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7/9 dos alunos matriculados foram aprovados em novembro. Isto significa que2/9 dos alunos ainda no foram aprovados e faro uma prova de recuperaoem dezembro. 3/5 destes 2/9 conseguiram aprovao aps a recuperao.

35 29 = 35 29 = 215O total de aprovados na disciplina igual a 123.79 + 215 =123

Vamos calcular mmc(9,15).

9,15 3

3,5 3

1,5 51,1(9,15) = 3 3 5 = 4 5Vamos multiplicar todos os membros da equao por 45.

No caso das fraes, primeiro dividimos 45 pelo denominador e multiplicamos oresultado pelo numerador.

3 5 + 6 = 1 2 3 4 54 1 = 1 2 3 4 5 = 1234541

Observe que 123/41=3.

= 3 4 5 = 1 3 5

Letra D

28. (TRT 15aRegio 2013/FCC) Em um Tribunal havia um percentual de 30%de funcionrios fumantes. Aps intensa campanha de conscientizao sobre osriscos do tabagismo, 6 em cada 9 fumantes pararam de fumar. Considerandoque os funcionrios que anteriormente eram no fumantes permaneceram comessa mesma postura, a nova porcentagem de funcionrios fumantes desseTribunal passou a ser de

(A) 8%.

(B) 12%.


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(C) 10%.(D) 16%.(E) 14%.

Resoluo

Vamos considerar que o total de pessoas no tribunal seja de 100 pessoas.

30% so fumantes, ou seja, 30 pessoas so fumantes.

6 em cada 9 fumantes pararam de fumar. Isto quer dizer que 6/9 = 2/3 dosfumantes pararam de fumar.

23 30 =

23 30 = 20

10 pessoas continuam a fumar. Como o total de pessoas 100, ento aindatemos 10% de fumantes.

Letra C

29. (TRT 1aRegio 2013/FCC) Em um planeta fictcio X, um ano possui 133 diasde 24 horas cada, dividido em 7 meses de mesma durao. No mesmo perodoem que um ano terrestre no bissexto completado, tero sido transcorridosno planeta X, exatamente,

(A) 1ano,6 meses e 4 dias.(B) 2 anos e 4 dias.(C) 2 anos e 14 dias.(D) 2 anos, 5 meses e 14 dias.(E) 2 anos, 5 meses e 4 dias.

Resoluo

Vamos dividir 365 dias por 133.365 | 13399 2 Assim, em um perodo de 365 dias, temos 2 anos (de 133 dias) e ainda sobram99 dias.

Cada ms deste planeta fictcio tem 133/7 = 19 dias.

Vamos dividir os 99 dias por 19 para saber quantos meses temos.


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99 | 194 5 Conclumos que em 365 dias, temos 2 anos, 5 meses e 4 dias no planeta fictcioX.

Letra E

30. (ALERN 2013/FCC) O preo de uma mercadoria controlado pelo governo.Durante um ms esse preo s pode ser reajustado em 22%. Na primeirasemana de um determinado ms, um comerciante reajustou o preo em 7%.Aps cinco dias, o mesmo comerciante queria reajustar o preo novamente deforma a chegar ao limite permitido de reajuste no ms. O reajuste pretendidopelo comerciante de aproximadamente

(A) 15%.(B) 12%.(C) 19%.(D) 13%.(E) 14%.

Resoluo

Vamos considerar que inicialmente a mercadoria custava R$ 100,00. Como oreajuste mximo de 22%, a mercadoria poder custar no mximo R$ 122,00.

O comerciante reajustou a mercadoria em 7%, passando a custar R$ 107,00.

O comerciante agora quer reajustar a mercadoria de tal forma que passe acustar R$ 122,00. Qual o aumento percentual?

= = 122107107 14%Letra E

31. (ALEPB 2013/FCC) Ernesto comprou uma calculadora que est comproblemas na realizao de adies de nmeros naturais. Algumas adies sofeitas corretamente, e outras de forma incorreta, mas seguindo sempre umamesma lgica. Veja a seguir oito exemplos de adies com os respectivosresultados indicados nessa calculadora:


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Ernesto fez nessa calculadora a conta 339+872 e, em seguida, pegou oresultado fornecido por ela e somou, na calculadora, com um nmero naturalque indicaremos por x. O resultado final indicado na calculadora foi 1230. Nascondies descritas, todos os possveis valores de x vo de

(A) 19 at 29.(B) 20 at 30.(C) 10 at 14.(D) 16 at 24.(E) 9 at 20.

A calculadora est "arredondando" os resultados.

Se a soma termina em 0 ou 5, a calculadora fornece o resultado correto.

Se terminar em um nmero diferente de 5, temos duas possibilidades:

i) O resultado termina em 1,2,3 ou 4. Neste caso, arredondamos para baixo.

ii) O resultador termina em 6,7,8 ou 9. Neste caso arredondamos para cima.

Por exemplo, 536+731= 1267. Terminou em 7.. arredondamos para cima =1270.234+88=322. Terminou em 2. arredondamos para baixo = 32097+158 = 255. Terminou em 5, no precisa arredondar.

A calculadora no arredonda se terminar em 0 ou 5.

Ernesto agora vai fazer a conta 339+872=1211. Vamos arredondar para baixo.A calculadora vai fornecer o nmero 1210.

Agora vamos somar 1210 com um nmero x e o resultado da calculadora ser1230.

Neste caso, se a calculadora fizer a conta correta teremos x = 20.

Se a calculadora fizer a conta errada, a calculadora pode arredondar para cimaou para baixo.

O menor valor aceito pela calculadora para arredondar para cima ser quando1210+x=1226 --> x = 16.O maior valor aceito pela calculadora para arredondar para baixo ser quando1210+x = 1234 --> x = 24.

Portanto, x varia de 16 a 24.


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Letra D

32. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Um torneio de futebol passar a ser disputadoanualmente por seis equipes. O trofu ser de posse transitria, isto , ocampeo de um ano fica com o trofu at a prxima edio do torneio, quandoo passa para o novo campeo. Uma equipe s ficar definitivamente com otrofu quando vencer quatro edies consecutivas do torneio ou sete edies nototal, o que acontecer primeiro. Quando isso ocorrer, um novo trofu serconfeccionado. Os nmeros mnimo e mximo de edies que devero ocorrerat que uma equipe fique com a posse definitiva do trofu valem,respectivamente,(A) 4 e 7(B) 4 e 37(C) 4 e 43(D) 6 e 36

(E) 6 e 42

Resoluo

O nmero mnimo dado quando uma das equipes vence as 4 primeirasedies consecutivamente.

O nmero mximo dado quando cada equipe vencer 6 edies noconsecutivas (6x6=36) e alguma das equipes vencer mais uma ediototalizando 37 edies.

Letra B

33. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Os alunos de uma faculdade de Histria criaram aEspiral do Tempo num dos ptios da escola. Na Espiral do Tempo, todos os anosda era crist so representados segundo a lgica da figura a seguir, na qual sforam mostrados os anos de 1 a 9.

A espiral atualizada anualmente, representando-se o ano que se inicia

seguindo a mesma lgica dos anteriores. Se a soma de todos os nmeros que


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compem a Espiral do Tempo em 2009 igual a S, ento, em 2010, essa somapassar a ser igual a(A) S + 4040100(B) S + 4038090(C) S + 4036081(D) S + 2010(E) S + 2009

Resoluo

Observe que o nmero 1 aparece uma vez, o nmero 2 aparece duas vezes, onmero 3 aparece trs vezes, o nmero 4 aparece quatro vezes e assimsucessivamente.

Desta forma, o nmero 2010 aparecer 2010 vezes. Se a soma dos nmeros

at o ano de 2009 igual a S, ento em 2010 a soma ser:+2010+2010+2010++2010 =+20102010=+4.040.100Letra A

34. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Em toda a sua carreira, um tenista j disputou Npartidas, tendo vencido 70% delas. Considere que esse tenista ainda vdisputar, antes de se aposentar, mais X partidas, e que vena todas elas. Paraque o seu percentual de vitrias ao terminar sua carreira suba para 90%, X

dever ser igual a(A) N.(B) 1,2 N.(C) 1,3 N.(D) 1,5 N.(E) 2 N.

Resoluo

O tenista venceu 70% das N primeiras partidas. Portanto, o nmero partidas

vencidas igual a: 70% = 70100 = 0 , 7 O tenista jogar mais X partidas e vencer todas as X partidas. Portanto, onmero de partidas vencidas pelo tenista ao longo de toda a sua carreira serigual a:

0 , 7 +

Sabemos que ao longo da carreira o tenista jogou + jogos.


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Queremos que o nmero de partidas vencidas seja igual a 90% do nmero totalde jogos. Portanto:

= 90%

0 , 7 + = 90100 ( + )0 , 7 + = 0 , 9 ( + )0 , 7 + = 0 , 9 + 0 , 9

0,9 = 0,9 0,7 0 , 1 = 0 , 2

= 0 , 2 0,1 = 2 Letra E

35. (SEFAZ-SP 2009/FCC) No perodo de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto, aqueles com 366 dias) so todos aqueles divisveis por 4. Sabendo que 2010ter 53 sextas-feiras, o primeiro ano desse perodo em que o dia 1ode janeirocair numa segunda-feira ser

(A) 2013(B) 2014(C) 2016(D) 2018(E) 2019

Resoluo

Para verificar se um ano bissexto ou no, devemos dividir o ano por 4 everificar o resto. Se o resto for igual a 0, ento o ano bissexto e tem 366 dias,caso contrrio, no ser um ano bissexto e ter 365 dias.

Gosto de dar uma boa dica para verificar se um ano ou no bissexto. Paracomear, os anos bissextos devem ser pares. Ora, sabemos que os anos paresou so anos de Copa do Mundo ou so anos de Olimpadas.

Se o ano for de Copa do Mundo, ento no bissexto.

Se o ano for de Olimpada, ento o ano bissexto.


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Gostou?

Quando dividimos 2010 por 4, obtemos resto igual a 2. O ano de 2010 no um ano bissexto porque no divisvel por 4, portanto tem 365 dias. Estamosem Copa do Mundo, 2010 no , portanto, um ano bissexto.

Para saber o nmero de semanas em um ano, basta dividir 365 por 7.365/ 71 52Isto significa que os anos no bissextos possuem 52 semanas completas e mais1 dia. Ou seja, cada dia da semana aparece em um ano exatamente 52 vezes,sendo que um desses dias aparece 53 vezes. O dia da semana que aparece 53vezes o dia que comea e termina o ano. No caso de 2010, este dia sexta-feira. Conclumos que o ano de 2010 comeou na sexta-feira e terminar nasexta-feira.

Se o ano for bissexto, sero dois dias que aparecero duas vezes: o dia dasemana que comear o ano (1 de janeiro) e o dia da semana que for 2 dejaneiro. Seguindo o mesmo raciocnio, o dia da semana de 31 de dezembro omesmo de 2 de janeiro.

Se 2010 terminar na sexta-feira, ento 2011 (que tambm no bissexto

porque mpar) comear e terminar no sbado.2012 um ano bissexto ( divisvel por 4 e ser ano de Olimpada). Como 2011terminar no sbado, ento 2012 comear no domingo. O dia 2 de janeiro seruma segunda-feira. Portanto, 2012 terminar na segunda-feira.

Seguindo mesmo raciocnio, 2013, que no bissexto (porque mpar),comea e termina na tera-feira. 2014 (tambm no bissexto porque o restoda diviso por 4 igual a 2. Lembre-se que 2014 ser a Copa do Mundo noBrasil) comea e termina na quarta-feira, 2015 (tambm no bissexto porque

mpar) comea e termina na quinta-feira.

2016 (basta dividir 2016 por 4 e verificar que o resto da diviso 0) um anobissexto e comear na sexta-feira. O dia 2 de janeiro de 2016 ser um sbado.Portanto, 2016 terminar no sbado.

O ano de 2017, que no bissexto (porque mpar), comear e terminar nodomingo.

Assim, o ano de 2018 comear na segunda-feira.

Letra D


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36. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Nos ltimos n anos, ocorreram 22 edies de umcongresso mdico, sempre realizadas em uma nica dentre as trs seguintescidades: So Paulo, Rio de Janeiro e Belo Horizonte. Esse congresso nuncaocorreu duas vezes no mesmo ano, mas houve anos em que ele no foirealizado. Sabe-se ainda que, nesse perodo de nanos, houve 24 anos em queo congresso no ocorreu em So Paulo, 23 anos em que no aconteceu no Riode Janeiro e 27 anos em que no foi realizado em Belo Horizonte. Nessascondies, o valor de n igual a

(A) 29(B) 30(C) 31(D) 32(E) 33

Resoluo

Vamos considerar que o congresso foi realizado vezes em So Paulo, vezesno Rio de Janeiro e vezes em Belo Horizonte. Vamos considerar ainda que ocongresso no foi realizado durante anos (no necessariamenteconsecutivos). Desta forma, = + + + .Como ocorreram 22 edies do congresso, conclumos que:

+ + = 2 2

Houve 24 anos em que o congresso no ocorreu em So Paulo.

+ + = 2 4Houve 23 anos em que no aconteceu no Rio de Janeiro.

+ + = 2 3Houve 27 anos em que no foi realizado em Belo Horizonte.

+ + = 2 7

Temos o seguinte sistema de equaes:

{ + + = 2 2 + + = 2 4 + + = 2 3 + + = 2 7Observe que no estamos interessados em saber o valor particular de cada umadessas incgnitas. Estamos interessados no valor de

que igual a

+ + +.


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Vamos somar todas as equaes obtidas membro a membro.( + + ) + ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) = 2 2 + 2 4 + 2 3 + 2 7

3 + 3 + 3 + 3 = 9 6

Dividindo os dois membros desta equao por 3:

+ + + = 3 2 = 3 2

Letra D

37. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Os dados da tabela a seguir referem-se s cincoescolas municipais de uma pequena cidade.

Sabe-se que nenhum professor leciona ao mesmo tempo em duas dessasescolas e que a proporo entre professores e alunos em cada uma delas de 1

para 20. Sero sorteados n professores da rede municipal dessa cidade pararealizar um curso. Para que entre os sorteados tenha-se, certamente, pelomenos um professor de cada escola, n dever ser, no mnimo,(A) 5(B) 72(C) 73(D) 121(E) 122

Resoluo


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A proporo entre professores e alunos em cada uma das escolas de 1 para20. Isso quer dizer, que para calcular a quantidade de professores, devemosdividir a quantidade de alunos por 20.

Na escola A h 16 x 20 = 320 alunos. Portanto, so 320/20 = 16 professores.

Na escola B h 20 x 25 = 500 alunos. Portanto, so 500/20 = 25 professores.

Na escola C h 8 x 15 = 120 alunos. Portanto, so 120/20 = 6 professores.

Na escola D h 48 x 30 = 1.440 alunos. Portanto, so 1.440/20 = 72professores.

Na escola E h 8 x 20 = 160 alunos. Portanto, so 160/20 = 8 professores.

Resumindo:

Escola Quantidade de ProfessoresA 16B 25C 6

D 72E 8

Realizar-se- um sorteio de n professores. Queremos que pelo menos umprofessor de cada escola seja sorteado. Qual o nmero mnimo de professoresque devem ser sorteados para que isso acontea?

Devemos pensar na pior das hipteses:

Imagine que os professores da escola D (a que mais tem professores) estocom MUITA sorte. E, por coincidncia ou no, todos eles so sorteados. Ento,com 72 sorteios, podemos garantir que teremos pelo menos um professor decada escola sendo sorteado? No!

Agora os professores da escola B (a segunda no ranking de nmero deprofessores) esto com muita sorte. E todos os 25 professores so sorteados.

Podemos concluir que, em um caso muito extremo, realizando 72 + 25 = 97sorteios seriam sorteados apenas professores das escolas D e B.


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Em seguida, a mar de sorte segue para os professores da escola A e depoispara os professores da escola E.

J temos um total de 72 + 25 + 16 + 8 = 121 sorteios. Pensando em casosextremos, poderia acontecer que destes 121 sorteados, todos os contempladoslecionassem nas escolas A, B, D e E. Realizando mais um sorteio, agora notem como fugir: o prximo contemplado seguramente ser um professor daescola A (porque todos os professores das outras escolas j o foram).Conclumos que com 122 sorteios, pelo menos um professor de cada escolaser sorteado.

Letra E

38. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Tiago capaz de cortar a grama do jardim de suacasa em 2/3 do tempo que seu irmo Gabriel faria o mesmo servio e em 1/3do tempo que seu outro irmo, Rodrigo, conseguiria. Se os trs decidiremcortar a grama do jardim juntos, levaro 10 minutos. O tempo, em minutos,que Gabriel e Rodrigo levariam para cortar a grama do jardim de sua casajuntos (A) 15

(B) 18(C) 20(D) 27(E) 30

Resoluo

Se Tiago capaz de cortar a grama do jardim de sua casa em 2/3 do tempoque Gabriel faria, ento enquanto Tiago corta a grama do jardim todo, Gabrielcorta apenas 2/3 da grama.

Se Tiago capaz de cortar a grama do jardim de sua casa em 1/3 do tempoque Rodrigo faria, ento enquanto Tiago corta a grama do jardim todo, Rodrigocorta apenas 1/3 da grama.

Juntando as duas informaes temos o seguinte: o tempo que Tiago leva paracortar a grama toda do jardim igual ao tempo que Gabriel e Rodrigo (juntos)levam para cortar a grama toda (pois 2/3 + 1/3 = 1).

Ou seja, Tiago tem a mesma capacidade de trabalhar de Gabriel e Rodrigojuntos.


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Se os trs decidem cortar a grama do jardim juntos e levam 10 minutos, istoquer dizer que nestes 10 minutos Tiago cortou metade da grama e Gabriel eRodrigo (juntos) cortaram a outra metade.

Se Gabriel e Rodrigo cortam metade da grama em 10 minutos, eles cortam agrama toda em 20 minutos.

Letra C

(SEFAZ-SP 2009/FCC) Instrues: Para responder s questes de nmeros 39 e40, considere o texto e o quadro abaixo. O tabuleiro a seguir usado em umjogo que uma professora de Matemtica costuma propor a seus alunos do 6ano.

A cada rodada, cada jogador, inicialmente colocado na casa onde est marcadoo nmero 7, deve jogar um dado numerado de 1 a 6 e dividir o nmero da casaonde se encontra pela pontuao obtida no dado. O resto dessa diviso indicara quantidade de casas que ele dever avanar. Por exemplo, se na primeirarodada um jogador tirar 5, ele dever avanar 2 casas, que o resto da divisode 7 por 5, chegando casa onde est marcado o nmero 27. O jogador queprimeiro atingir a casa onde est escrito CHEGADA o vencedor.

39. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Lendo-se as regras do jogo, percebe-se que suadinmica depende dos nmeros marcados nas diversas casas do tabuleiro. Onmero 27, marcado na terceira casa, poderia ser trocado, sem que houvessequalquer alterao na dinmica do jogo, pelo nmero(A) 77(B) 81(C) 84(D) 87(E) 96

Resoluo


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O nmero a ser trocado, deve possuir os mesmos restos das divises de 27 por1, 2, 3, 4, 5 e 6 respectivamente.

Obviamente no precisamos testar as divises por 1, j que qualquer nmerointeiro dividido por 1 deixa resto 0.

O resto da diviso de 27 por 2 igual a 1.O resto da diviso de 27 por 3 igual a 0.O resto da diviso de 27 por 4 igual a 3.O resto da diviso de 27 por 5 igual a 2.O resto da diviso de 27 por 6 igual a 3.

(A) 77


Observe que a lista de restos no coincidiu. A alternativa A falsa.

(B) 81

O resto da diviso de 81 por 2 igual a 1.

O resto da diviso de 81 por 3 igual a 0.O resto da diviso de 81 por 4 igual a 1.O resto da diviso de 81 por 5 igual a 1.O resto da diviso de 81 por 6 igual a 3.

Observe que a lista de restos no coincidiu. A alternativa B falsa.

(C) 84


O resto da diviso de 84 por 3 igual a 0.O resto da diviso de 84 por 4 igual a 0.O resto da diviso de 84 por 5 igual a 4.O resto da diviso de 84 por 6 igual a 0.

Observe que a lista de restos no coincidiu. A alternativa C falsa.

(D)

87


O resto da diviso de 87 por 3 igual a 0.O resto da diviso de 87 por 4 igual a 3.


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O resto da diviso de 87 por 5 igual a 2.O resto da diviso de 87 por 6 igual a 3.

A lista de restos coincidiu e a resposta a letra D.

(E) 96


Observe que a lista de restos no coincidiu. A alternativa E falsa.

No precisaramos efetuar todas as divises. Quando voc percebe que algumresto no coincide, podemos eliminar a alternativa e verificar a prxima.40. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Se um jogador cair em uma determinada casa dotabuleiro, ele no poder mais ganhar o jogo, pois no conseguir mais avanara partir daquela casa. Por esse motivo, essa casa chamada de buraco negro.Para que um jogador caia no buraco negro, ele dever, necessariamente,estar numa outra casa especfica do tabuleiro e, ao jogar o dado, obterpontuao igual a(A) 2(B) 3

(C) 4(D) 5(E) 6

Resoluo

O buraco negro uma casa que a pessoa fica presa, ou seja, o nmero decasas a serem avanadas ao lanar o dado igual a 0. Isto significa que umnmero divisvel por 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Para encontrar um nmero que sejadivisvel por 1, 2, 3, 4, 5 e 6 devemos calcular o mnimo mltiplo comum entreeles.

1,2,3,4,5,6 21,1,3,2,5,3 2

1,1,3,1,5,3 31,1,1,1,5,1 51,1,1,1,1,1


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41 dividido por 1 deixa resto 0 e o aluno fica parado.41 dividido por 2 deixa resto 1, o aluno avana apenas uma casa e no cai noburaco negro.41 dividido por 3 deixa resto 2, o aluno avana duas casas e cai no buraconegro.

Esta a casa que nos interessa. Portanto, o aluno deve estar na casa denmero 41 e obter 3 pontos no dado.

Letra B

41. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Numa cidade existem 10 milhes de pessoas.Nenhuma delas possui mais do que 200 mil fios de cabelo. Com esses dados, correto afirmar que, necessariamente,

(A) existem nessa cidade duas pessoas com o mesmo nmero de fios de cabelo.(B) existem nessa cidade pessoas sem nenhum fio de cabelo.(C) existem nessa cidade duas pessoas com quantidades diferentes de fios decabelo.(D) o nmero mdio de fios de cabelo por habitante dessa cidade maior doque 100 mil.(E) somando-se os nmeros de fios de cabelo de todas as pessoas dessa cidadeobtm-se 2 1012.

Resoluo

A alternativa A verdadeira, pois mesmo se tentarmos fazer com que todos oshabitantes tenham quantidades de fios de cabelo diferentes, comeando em 0at 200.000, quando chegarmos no habitante de nmero 200.002 teremos querepetir a sua quantidade de fios com a de algum outro habitante.

O problema no garante a alternativa B.

A alternativa C falsa. Basta pensar no caso extremo de todos os habitantes da

cidade terem a mesma quantidade de fios de cabelo.No podemos calcular o nmero mdio de fios de cabelos porque no sabemosquantos fios de cabelo tem cada habitante. A alternativa D falsa.

No podemos somar os nmeros de fios de cabelo de todas as pessoas, pois oproblema no forneceu as quantidades individuais de fios de cabelo. Aalternativa E falsa.

Letra A


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42. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Uma loja promove todo ano uma disputa entre seustrs vendedores com o objetivo de motiv-los a aumentar suas vendas. Osistema simples: ao final de cada ms do ano, o primeiro, o segundo e oterceiro colocados nas vendas recebem a, b e c pontos, respectivamente, nohavendo possibilidade de empates e sendo a, b e cnmeros inteiros e positivos.No fim do ano, o vendedor que acumular mais pontos recebe um 14osalrio. Aofinal de n meses (n > 1), a situao da disputa era a seguinte:

Nessas condies, conclui-se que n igual a(A) 2(B) 3(C) 5

(D) 7(E) 11

Resoluo

Em cada ms o primeiro lugar ganha pontos, o segundo lugar ganha pontose o terceiro lugar ganha pontos. Desta forma, o somatrio das trspontuaes por ms igual a + + .Em dois meses, a soma das pontuaes ser igual a

2 ( + + ).

Em trs meses, a soma das pontuaes ser igual a

3 ( + + ).

Em quatro meses, a soma das pontuaes ser igual a 4 ( + + )....Em n meses, a soma das pontuaes ser igual a ( + + ).Ao final de n meses (n > 1), a situao da disputa era a seguinte:

Portanto: ( + + ) = 1 5 + 1 4 + 6 ( + + ) = 35

= 35 + +


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Sabemos que a quantidade de meses, portanto deve ser um nmero inteiroe positivo e maior que 1. Desta forma, o nmero + + deve ser um divisorde 35.

Os divisores de 35 so 1,5,7 e 35.

Temos as seguintes possibilidades:

+ + = 1 + + = 5 + + = 7 + + = 35Os nmero a,b, c so inteiros positivos e distintos.

Desta maneira impossvel que + + = 1, pois se o terceiro lugar ganhar 1ponto, o segundo lugar e o primeiro lugar ganharo mais de 1 ponto e a somados trs ser maior que 1.

Tambm no possvel + + = 5. Se o terceiro lugar receber a menorpontuao possvel que 1, o segundo lugar receber a menor pontuaopossvel para ele que 2 e o primeiro lugar receber a menor pontuao possvelpara ele que 3, ento + + = 6. No tem como + + ser igual a 5.Tambm no possvel fazer + + = 3 5. Isto porque

=35

+ + =3535 = 1

e o problema mandou considerar > 1.Conclumos que + + = 7. Desta forma,

= 35 + + = 357 = 5Letra C


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Raciocínio Lógico - I - Parte II