Rel. Lab. Física II - 3

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS

CAMPUS CATALÃO

Departamento de Física

Laboratório de Física II

Prof. Marcionilio T. O. Silva

Relatório III – O PÊNDULO FÍSICO

Catalão, 2011

Laboratório de Física II

Data: 11/04/2011

O Pêndulo Físico

Turma A – Engenharia de Produção

Bruno Felipe da Silva Rodrigues – 104840

Carlos Henrique Menezes Abbade Paro – 104842

Fernando Assunção Cardoso – 104847

Nelson Dias da Costa Júnior – 104872

Poliana Calaça de Souza – 104876

Catalão, 2011

Introdução

Objetivos

Este experimento tem como objetivos: i) Determinar experimentalmente o período de oscilação T de um pêndulo físico e, conseqüentemente, o valor da aceleração da gravidade; ii) Determinar experimentalmente o comprimento do pêndulo simples síncrono com um pêndulo físico (uma haste retangular uniforme); iii) Determinar o centro de oscilação do pêndulo físico.

Considerações Teóricas

Qualquer corpo rígido montado de forma que possa oscilar em um plano vertical em relação a algum eixo que passa por ele é chamado de pêndulo físico. Esta é uma generalização do pêndulo simples, onde um cabo sem peso sustenta uma única partícula. Na realidade, todo pêndulo real é um pêndulo físico.

Na figura 1, um corpo de forma irregular é rotulado em direção a um eixo horizontal liso que passa pelo ponto O e é deslocado de sua posição de equilíbrio por um ângulo θ. A posição de equilíbrio é aquela em que o centro de massa C fica na vertical abaixo de O.

Figura 1 – Um Pêndulo Físico.

A força que atua no centro de massa do pêndulo é o seu peso mg, devido à força gravitacional Fg. As componentes radiais Fr e tangencial Ft

da força gravitacional são dadas por:

F r=Fg . cosθ e F t=Fg . senθ (1)

Onde Fg = mg; g a aceleração da gravidade. A componente tangencial da força gravitacional é a responsável pelo torque restaurador em torno do ponto de articulação do pêndulo. Este torque atua no sentido contrário do movimento de modo a trazer o pêndulo à posição de equilíbrio. O torque restaurador para um deslocamento angular θ pode ser calculado por:

τ=−h ( Fg senθ )=−mgh senθ (2)

Por outro lado, de acordo com a Segunda Lei de Newton na forma angular o torque pode ser escrito como:

τ=I . α (3)

Onde I é a inércia à rotação e α a aceleração angular.

Assim, para pequenas oscilações – θ << 1 – a aceleração α do corpo em rotação pode ser dada por:

α=−mghI

senθ ≈−mghI

. θ (4)

Quando se faz a aproximação sen θ = θ, o pêndulo oscila em movimento harmônico simples. No caso de um oscilador harmônico simples, a aceleração linear é dada por:

a=−ω2 . x (5)

Então, comparando as equações 4 e 5, obtém-se;

ω=√ mghI

(6)

Onde ω é a freqüência angular, relacionado com o período T pela equação:

ω=2 πT

(7)

E, portanto, encontra-se o período:

T=2 π .√ Imgh

(8)

Na qual h é a distância do ponto de rotação O ao centro de massa do pêndulo físico.

O pêndulo físico pode ser utilizado para determinar a aceleração da gravidade g em um local específico sobre a superfície da Terra. Para isso, considera-se uma haste uniforme de comprimento L, suspensa por uma extremidade. Neste caso, pelo Teorema do Eixo Paralelo, dado por:

I=I CM+M h2 (9)

Onde ICM é o momento de inércia do corpo em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e M a massa total do corpo. Considerando que h = L/2, o momento de inércia I do pêndulo em uma das extremidades da barra é:

I= M L2

3 (10)

Neste caso, o período T será dado por:

T=2 π .√ 2 L3g

(11)

E a aceleração da gravidade:

g=8 π2 L3T 2 (12)

Para um dado pêndulo físico, é possível encontrar um pêndulo simples equivalente de comprimento L0, que tenha o mesmo período do pêndulo físico. Para determinar o valor de L0:

T 0=T ❑⇒

2 π .√ L0

g=2 π .√ I

mgh (13)

Onde T0 e T são, respectivamente, os períodos do pêndulo simples e físico. Assim, para uma haste retangular:

L0=I

mh=2

3L (14)

Onde L é o comprimento da haste. Este valor fornece a distância do centro de oscilação O ao ponto de suspensão P.

Assim, estimando-se os valores do período T e da aceleração da gravidade g, podem-se comparar os valores obtidos experimentalmente com os teóricos pela fórmula:

Er %=|Eexp−Eteo

Eteo |.100 % (15)

Na qual, Eexp e Eteo são, respectivamente, os valores encontrados no experimento e os valores teóricos.

Por último, ainda é possível encontrar a média e variância do período através das seguintes equações, respectivamente:

x=∑ x i . f i

n (16)

σ 2=∑ (x i−x)2 . f i

n (17)

Onde o desvio padrão é igual a raiz quadrada da variância.

Considerações Experimentais

Material Utilizado

•Uma sustentação para pêndulos físicos com pêndulo simples, regulagem do comprimento, cabeçote de retenção, tripé delta max com sapatas e haste;

•Uma trena de 5m;

•Um pêndulo físico em forma de barra retangular;

•Um cronômetro;

•Um paquímetro.

Diagrama do Experimento

O experimento foi realizado em um conjunto mecânico para pêndulos, de acordo com a montagem experimental abaixo:

Figura 2 – Conjunto para estudo de pêndulos (físico e simples).

Figura 3 - Pêndulo físico: ponto de sustentação P, centro de massa G e centro de oscilação O.

Procedimento Experimental e Apresentação dos Resultados

O experimento consistiu em medir as dimensões do pêndulo simples e do pêndulo físico; medir o período T de oscilações dos pêndulos e fazer comparações e observações. Para isso:

Passo 1: Executou-se a montagem experimental da Figura2;

Passo 2: Com a utilização de uma trena (vide características na seção material utilizado), mediu-se o comprimento L e as distâncias A e H (respectivamente as distâncias P – O e P – G) da haste (pêndulo). A largura

B e a espessura E do pêndulo físico, com a ajuda de um paquímetro (vide características na seção material utilizado). Os resultados assim obtidos estão representados na Tabela 1.

Passo 3: Teoricamente foi determinado o período de oscilação da haste retangular, esse período está apresentado na Tabela 3.

Passo 4: O pêndulo foi suspenso pelo ponto P (Figura3): 4.1: Com o auxílio de um cronômetro, mediu-se 10 vezes o

intervalo de tempo correspondente a 10 oscilações completas (t = 10 T); 4.2: O período T de oscilação foi calculado para cada caso; 4.3: Foi calculado o período médio T das N medidas e o desvio

padrão de acordo com as equaçãoes16 e 17; 4.4: Os resultados obtidos foram apresentados na Tabela 2.

Passo 5: Repetiu-se o passo anterior para um pêndulo simples de comprimento L0 (Equação 14). Os resultados são mostrados na Tabela 4;

Passo 6: Comparou-se o valor obtido do período T tanto para o pêndulo simples (Tabela 5) como para o pêndulo físico (Tabela 3), obtido experimentalmente, com o valor teórico calculado anteriormente.

Passo 7: O pêndulo foi suspenso pelo ponto O (Figura3): 7.1: Com o auxílio de um cronômetro, mediu-se 10 vezes o

intervalo de tempo correspondente a 10 oscilações completas (t = 10 T); 7.2: O período T de oscilação foi calculado para cada caso, e o

período médio T foi determinado; 7.3: Os resultados obtidos foram apresentados na Tabela 6.

Passo 8: O período medido para a suspensão pelo ponto P com o medido para a suspensão pelo ponto O foram comparados.

Passo 9: O fio do pêndulo simples deveria ter sido regulado até que a marca central do corpo suspenso estivesse alinhada a extremidade inferior da haste uniforme. Então medir-se-ia 10 vezes o intervalo de tempo correspondente a 10 oscilações completas (t=10 T), determinando-se assim o período médio de oscilação do pêndulo simples. Essa parte foi suprimida,

pois tal é equivalente ao experimento realizado com o pêndulo simples com comprimento igual a L0 (Vide Passo 5).

Passo 10: Os valores dos períodos obtidos experimentalmente deveriam ter sido comparados (justificativa – Passo 9).

Passo 11: Simultaneamente o pêndulo simples de comprimento L e o pêndulo físico suspenso pelo ponto O foram postos em oscilação e o ocorrido é comentado mais adiante.

Passo 12: “O ponto de oscilação O, denominado de centro de oscilação, é o ponto por onde deve ser suspenso o pêndulo físico para que ele tenha o mesmo período de oscilação do pêndulo simples de mesmo comprimento L”. A validade da afirmação foi analisada e comentada nas Considerações Finais.

Passo 13: Foi substituído h = 0m na expressão teórica (Equação 8) do pêndulo físico arbitrário, tornando T inexistente. Porém, quando tal situação foi colocada experimentalmente notou-se que T→∞.

Passo 14: O valor da aceleração da gravidade g obtido experimentalmente foi comparado ao valor obtido no experimento anterior (pêndulo simples ) e calculou-se o desvio percentual que pode ser visto nas Tabelas 7 e 8.

Tabela 1 – Medidas da haste.L (m) A(m) H(m) B(m) E(m)

(495 ± 0,5) . 10-3

(330 ± 0,5) . 10-3

(245 ± 0,5) . 10-3

(30 ± 0,05) . 10-3

(5 ± 0,05) . 10-3

Tabela 2 – Período para o pêndulo físico no ponto de sustentação P.N t = 10T (s) T(s)

1 11,68 ± 0,01 1,168 ± 0,001

2 11,69 ± 0,01 1,169 ± 0,001

3 11,63 ± 0,01 1,163 ± 0,001

4 11,66 ± 0,01 1,166 ± 0,001

5 11,68 ± 0,01 1,168 ± 0,001

6 11,66 ± 0,01 1,166 ± 0,001

7 11,72 ± 0,01 1,172 ± 0,001

8 11,69 ± 0,01 1,169 ± 0,001

9 11,72 ± 0,01 1,172 ± 0,001

10 11,65 ± 0,01 1,165 ± 0,001

T (s) σ (s)

1,1685 2,45 . 10-3

Tabela 3 – Pêndulo físico: período teórico e experimental.T(s) Er %

Teórico Experimental

1,41,1524 1,1685

Tabela 4 – Período do pêndulo simples de comprimento L0.N t = 10T (s) T(s)

1 11,72 ± 0,01 1,172 ± 0,001

2 11,75 ± 0,01 1,175 ± 0,001

3 11,65 ± 0,01 1,165 ± 0,001

4 11,78 ± 0,01 1,178 ± 0,001

5 11,79 ± 0,01 1,179 ± 0,001

6 11,78 ± 0,01 1,178 ± 0,001

7 11,78 ± 0,01 1,178 ± 0,001

8 11,85 ± 0,01 1,185 ± 0,001

9 11,72 ± 0,01 1,172 ± 0,001

10 11,69 ± 0,01 1,169 ± 0,001

T (s) σ (s)

1,1764 5,5 . 10-3

Tabela 5 – Pêndulo simples: período teórico e experimental.T(s) Er %


2,081,1524 1,1764

Tabela 6 – Pêndulo físico sustentado pelo ponto O.N t = 10T (s) T(s)

1 11,82 ± 0,01 1,182 ± 0,001

2 11,94 ± 0,01 1,194 ± 0,001

3 11,62 ± 0,01 1,162 ± 0,001

4 11,75 ± 0,01 1,175 ± 0,001

5 11,82 ± 0,01 1,182 ± 0,001

6 11,79 ± 0,01 1,179 ± 0,001

7 11,64 ± 0,01 1,164 ± 0,001

8 11,93 ± 0,01 1,193 ± 0,001

9 11,78 ± 0,01 1,178 ± 0,001

10 11,56 ± 0,01 1,156 ± 0,001

T (s) σ (s)

1,178 9,8 . 10-3

Tabela 7 – Gravidade obtida com o pêndulo físico

Gravidade(m/s2) Er %


2,049,8 9,6

Tabela 8 – Gravidade obtida com o pêndulo simplesGravidade(m/s2) Er %


3,069,8 9,5

Considerações Finais

Discussão e Conclusão

Comparando o período teórico com os experimentais do pêndulo físico, sustentado pelo ponto P, e do pêndulo simples, de comprimento L0, notou-se que o que mais se aproximou do valor teórico foi o período médio obtido através do pêndulo físico. Ainda é possível observar que ambos tiveram erros percentuais quase irrelevantes – inferiores a 3%.

Ao se comparar os períodos médios do pêndulo físico, ora suspenso pelo ponto P, ora pelo ponto O, é possível notar uma diferença de 0,0105s do primeiro para o último. Tal fato é difícil de ser explicado, pois o período “em O” deveria ser menor que “em P”, pois o momento de inércia daquele é menor que o deste. Outro fato que dificulta ainda mais a analise é que os erros encontrados durante a medição não são sistemático, mas, muito provavelmente, grosseiros – advindos da ativação manual do cronometro e a falta de precisão para determinação do ângulo de abandono do pêndulo, e aleatórios.

Quando os pêndulos simples (de comprimento L) e físico (sustentado pelo ponto O) foram colocados em oscilação simultaneamente, observou-se que a amplitude do último diminuiu muito rapidamente até ser igual a 0. Já o primeiro, praticamente, manteve sua amplitude. Portanto a afirmação “O ponto de oscilação O, denominado centro de oscilação, é o ponto por onde deve ser suspenso o pêndulo físico para que ele tenha o mesmo período de

oscilação do pêndulo simples de mesmo comprimento L” não é verídica, pois, se a amplitude do pêndulo físico diminui muito mais rapidamente que a do pêndulo simples, logo seu período diminui proporcionalmente.

Substituiu-se ainda, na eq. do período, h por 0 e comparou-se o resultado com o pêndulo físico sustentado pelo ponto G. No primeiro caso T inexistia, porém, no segundo T tendeu ao infinito.

Através desses experimentos foi, ainda, possível determinar a aceleração da gravidade. Tal foi feito com p pêndulo físico “em P”, e com pêndulo simples, de comprimento L0, e comparou-se os resultados com a teoria. Notou-se que para melhor determinar, experimentalmente, a gravidade utiliza-se o pêndulo físico, pois apresentou um erro menor que o simples.

Com tal experiência foi possível observar a relação que há entre pêndulos físico e simples, comparar seus períodos experimentais com o teórico, entender que quando a distância do ponto de sustentação de um pêndulo físico até seu centro de massa é igual a zero, seu período tende ao infinito. Foi possível ainda, determinar a gravidade experimentalmente, com um erro muito pequeno, o que evidência a eficácia do experimento para tal fim.

Referências Bibliográficas

1. Sears e Zemansky Física / Hugh D. Young, Roger A. Freedman; tradução e revisão técnica: Adir Moysés Luiz. – 10ª Ed. – São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2003, pp.323-324.

2. Fundamentos de física, v.2 : gravitação, ondas e termodinâmica / David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker ; tradução Flávio Menezes de Aguiar, José Wellington Rocha Tabosa. – Rio de Jaaneiro : LTC, 2006, pp. 1-4.

3. Estatística 1 / Ermes Medeiros da Silva ... |et al|. – 4.ed. – São Paulo: Atlas, 2010; pp. 85-88.

4. Apostila: Erros de Medição, Precisão e Exatidão, Erros de Representação e Propagação de Erros. Prof. Dr. Plínio José Oliveira. pp. 1-5.

Parte do Nelson

1) Não é minha parte!

2) Comprimento da haste(L): 500mmLargura: 30mmEspessura: 5mmDistância do ponto P ao centro de oscilação(O): 330mm

3) Sabendo que o Momento de Inércia do pêndulo é 1/3mL³ (dado pelo professor)

T = 2π*(I/mgh)^1/2 = 2π*(mL³/3mgh)^1/2

Cortando ‘m’ e substituindo ‘h’ por L/2, temos:

T= 2π . (2L²/3g)^1/2

Substituindo ‘L’ e ‘g’ pelos seus devidos valores, temos:

T = 2π*[2*(0,5)²/3*9,8]^1/2T = 0,82s

4) Tabela 1 do Excel


6) Texp = 1,168s ~ Tteo = 0,82s => Comparar e comentar (Pêndulo Físico)

Texp = 1,175s ~ Tteo = 0,82s => Comparar e comentar (Pêndulo Simples)


8) Tp = 1,168s ~ To = 1,177s => Comparar e comentar (Período no ponto P e O, respectivamente)

9) Não tenho os dados!

10) Tp = 1,168 ~ Tlo = 1,175 ~ To = 1,177 ~ T? = ? (Período do número 9, no qual não tenho os dados)

11) Oscilação simultânea do pêndulo simples de comprimento L e pêndulo físico suspenso pelo ponto O. Comentar o observado.

12) Comentar a afirmação... Ponto de oscilação O do pêndulo físico e pêndulo simples de comprimento L tem períodos são iguais.

13) T = 2π*(L³/3mgh)^1/2, com h = 0, significa que:

T → ∞

14) Com a haste uniforme suspensa pelo ponto G, não houve oscilação, ou seja, experimentalmente foi encontrado T → ∞, já que assim, o pêndulo demoraria ∞ unidades de tempo para completar uma oscilação completa.

15) Comparar os resultados acima(sobre o ponto G), teórico com o experimental.

16) g = 8π²L/3T², então:

Gravidade encontrada com haste no ponto P

g = 8π²*(0,5)/3*(1,168)²g = 9,6m/s²

Gravidade encontrada para pêndulo simples(Lo)

g = 8π²*(0,5)/3*(1,175)²g = 9,5m/s²

Gravidade encontrada com haste no ponto O

g = 8π²*(0,5)/3*(1,177)²g = 9,4m/s²

Gravidade encontrada para os dados que eu não tenho!

g = ?

Parte Final (Cálculo dos erros percentuais)

Usando a Fórmula E% = |(Texp – Tteo)/Tteo|*100

Resultados nas Tabelas 4, 5, 6, 7 e 8, 9, 10, 11 do Excel, relativas ao erro percentual de cada período médio encontrado e de cada gravidade, respectivamente.

Obs.: O cálculo do desvio padrão foi feito através da fórmula:

σ=√∑n=1

10 (Texp−Tteo )²n

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