RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS - diaadiaeducacao.pr.gov.br · Após estas definições, pode-se então acrescentar que, de acordo com Polya (19954), “Uma grande descoberta resolve um

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: uma ferramenta na aprendizagem da matemática1

Autora: Rubia Mara Rios2

Orientador: Mário Sérgio Benedeti Guilhem3

Resumo

Este artigo propõe a aplicação da Resolução de Problemas nas aulas de matemática, pois sendo uma Tendência Metodológica em Educação Matemática aprimora a inteligência, propicia o pensar raciocinado promove o desenvolvimento do raciocínio lógico, amadurecendo assim as estruturas cognitivas, beneficia a leitura e a interpretação do enunciado no problema, favorece a utilização das habilidades para resolução e estratégias formuladas dos algoritmos já aprendidos e que serão utilizados. Instiga a curiosidade, o que propiciará ao aluno a busca de soluções para as situações-problema. O objetivo deste trabalho é utilizar com os alunos a Resolução de Problemas como uma metodologia de ensino da Matemática, compreendendo os tipos de problemas e suas etapas propostas para resolução. Geralmente os problemas são colocados como exercícios de fixação, atividades para concluir conteúdos nos livros didáticos, o que causa um desinteresse dos alunos para resolvê-los. Várias são as dificuldades que muitos alunos apresentam ao resolver problemas em sala de aula, como: interpretação do enunciado, análise dos dados do problema e escolha do algoritmo a ser utilizado. Assim, esta metodologia de ensino poderá contribuir para que estes alunos solucionem os problemas propostos e os professores possam ter um novo olhar pedagógico inserindo esta metodologia ao trabalharem os conteúdos de matemática ou a partir da Resolução de Problemas estruturar e formalizar um novo conteúdo. A Resolução de Problemas deve ter a sua aplicabilidade não só na educação formal, mas preparar o indivíduo para ser crítico e reflexivo, para saber resolver seus desafios, como ser pensante e atuante na sociedade em que vive. Utiliza-se da pesquisa bibliográfica, a partir do entorno teórico de Dante (1991), Polya (1997), Butts (1997), Onuchic (2008), e Allevato (2008), Costa e Allevato (2008), Kantowski (1997), Schoenfeld (1997), Smole & Diniz (2008), Davis & Mckillip (1997).

Palavras-chave: Resolução de Problemas; Matemática; Habilidades; Estratégias; Algoritmo.

1 Artigo científico apresentado como requisito para conclusão do Programa de Desenvolvimento

Educacional (PDE). 2 Licenciada em Licenciatura em Ciências (FAFI), Habilitada em Biologia e Matemática (FAFI),

Especialista em Biologia (FALM), Matemática (UENP) e Educação de Jovens e Adultos (UTFPR). Professora de Matemática e Ciências – Cornélio Procópio PR. E-mail: [email protected] 3 Mestre em Matemática - IES Vinculada: UENP - Campus Cornélio Procópio. E-mail:

[email protected]

1 introdução

Esta pesquisa apresenta contribuições sobre Resolução de Problemas: uma

ferramenta na aprendizagem da matemática e justifica-se pelo ambiente profissional

da pesquisadora por ser professora no ensino fundamental e Médio, na rede pública

no Estado do Paraná. Surgiu o interesse por este tema ao observar durante as

aulas, que muitos alunos apresentam dificuldades ao resolver um problema, desde a

interpretação do enunciado até as estratégias de resolução.

Portanto, entende-se que a defasagem que esses alunos já trazem por

talvez não terem desenvolvido essa prática no Ensino Fundamental anos iniciais,

pode ser uma das causas da dificuldade no raciocínio lógico agora nos anos finais

do Ensino Fundamental, pois ao resolver problemas não conseguem perceber qual

algoritmo poderiam utilizar e muitas vezes não conseguem desenvolver e assim não

chegam à solução. Neste contexto, durante as aulas de matemática, os alunos

demonstram uma falta de interesse para iniciar a Resolução de Problemas, a

maioria não sabe por onde começar, como começar, mesmo sabendo os algoritmos

que serão utilizados. Na fala de Dante (1991, p.14), “O real prazer de estudar

Matemática está na satisfação que surge quando o aluno, por si só, resolve um

problema.”. Desta forma, acreditamos que quando um aluno consegue desenvolver

o processo de resolução, se sente mais motivado em resolver outras situações-

problemas e quando os dados estão relacionados ao seu cotidiano o interesse é

maior.

Assim, percebe-se que os problemas no livro didático são aplicados não

como Resolução de Problemas, mas sim como exercícios de final de conteúdo,

aplicados sem uma orientação aos alunos a respeito de todo o contexto que envolve

a Resolução de Problemas, na qual exige toda uma elaboração de pensamento, um

reconhecimento para qual tipo de problema está sendo resolvido e quais são os

dados propostos no enunciado para que o aluno faça a sua interpretação, seu

desenvolvimento e a organização dos algoritmos que serão utilizados e que já foram

aprendidos ou não, aperfeiçoando conceitos e idéias que ele já conhece ou

estruturando, formalizando novos conceitos.

No que se refere à Resolução de Problemas, esta pesquisa torna-se

necessária para verificar as reais dificuldades do aluno, propor uma nova visão para

o trabalho docente utilizando esta metodologia de ensino, promover o

desenvolvimento da habilidade de resolver problemas, interpretação do enunciado e

a tradução para a linguagem matemática, estabelecer estratégias de resolução que

facilitem a reflexão, oportunizar o trabalho em equipe, acentuando a cooperação, a

comunicação e autonomia, apresentando também através da Resolução de

Problemas a estruturação e a formalização de um conteúdo ainda não aprendido,

proporcionando assim o desenvolvimento do raciocínio lógico tanto no ambiente

escolar como principalmente na sua vida, contribuindo assim, como competência

futura a sua realização pessoal.

2 Aspectos Teóricos

A Resolução de Problemas é uma das Tendências em Educação

Matemática, sendo parte integrante da Matemática para o desenvolvimento do

raciocínio lógico. Algumas considerações serão evidenciadas neste trabalho, como:

2.1 O que é um Problema?

A Resolução de Problemas aprimora a inteligência, favorecendo o

desenvolvimento do pensar raciocinado, amadurecendo assim as estruturas

cognitivas. Assim, é essencial que se utilize a Resolução de Problemas nas aulas de

matemática, pois propicia o raciocínio e instiga a curiosidade. Assim percebemos

que problemas “É qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-

la.” (DANTE, 1991, p.9). Para resolver um problema, requer o raciocínio, uma

reflexão sobre qual seria o cálculo, algoritmo ou estratégia a ser utilizada.

Desta forma, Polya (1997, p.2) enfatiza que “Resolver problemas é a

realização específica da inteligência, e a inteligência é o dom específico do

homem.”. Assim, resolver problemas aprimora a inteligência, pois sugere que o

aluno pense, interprete, elabore estratégias e formule caminhos utilizando os

algoritmos, levando-o à resolução. “Entretanto, a inteligência é essencialmente a

habilidade para resolver problemas: problemas do cotidiano, problemas pessoais,

problemas sociais, problemas científicos, quebra-cabeças, toda sorte de problemas.”

(POLYA, 1997, p.2). Concorda-se com o autor, pois se entende que o

desenvolvimento da habilidade para resolver problema, aprimora cada vez mais a

inteligência e prepara o aluno para resolver vários tipos de problemas.

Após estas definições, pode-se então acrescentar que, de acordo com Polya

(19954), “Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma

pitada de descoberta na resolução de qualquer problema.”. Todos os problemas,

incentivam para que o aluno investigue, descubram quais os algoritmos necessários

para facilitar o desenvolvimento do seu cálculo. Neste contexto, Dante (1991) afirma

que um problema para ser considerado como realmente resolvido, não é só o aluno

encontrar a resposta certa, mas saber o que fez para resolver, como fez esta

resolução e por que a sua ação para resolver o problema foi apropriada. Estes

procedimentos devem ser fundamentais na Resolução de Problemas para o

retrospecto e verificação. Desta forma, os alunos se sentem muito mais motivados

quando através dos seus algoritmos, conseguem chegar à solução do problema

proposto. Para completar o nosso entendimento, vejamos a fala de Dante:

Ensinar a resolver problemas é uma tarefa mais difícil do que ensinar conceitos, habilidades e algoritmos matemáticos. Não é um mecanismo direto de ensino, mas uma variedade de processos de pensamento que precisam ser cuidadosamente desenvolvidos pelo aluno com o apoio e incentivo do professor. (1991, p.30).

Portanto, entende-se que os professores devem trabalhar com os alunos, a

prática de Resolução de Problemas, desenvolvendo habilidades e estratégias para

que perante as situações problemas possam encontrar as soluções. Ainda neste

contexto, a vida dos seres humanos está naturalmente permeada por desafios e

soluções, por Resoluções de Problemas que levem o indivíduo a se promover como

ser integrante da sociedade. Assim, compreende-se que a inteligência necessita do

raciocínio, do pensar, do refletir, e a Resolução de Problemas favorece este

desenvolvimento mental. No ponto de vista do autor Polya (1997, p.2), “O aluno

desenvolve sua inteligência usando-a; ele aprende a resolver problemas resolvendo-

os.”. Quanto mais se exercita a inteligência, mais ela se desenvolve e quanto maior

a prática da Resolução de Problemas, maior será o desenvolvimento do raciocínio

lógico.

Deste modo, os conhecimentos já apreendidos pelos alunos podem ser

demonstrados, aperfeiçoados e calculados, através de diferentes algoritmos e

estratégias, em diversas situações problemas. Portanto, entendemos que “Resolver

4 A citação deste autor se encontra no Prefácio à Primeira Tiragem, no livro “A Arte de Resolver

Problemas”, p. V.

problemas é da própria natureza humana.” (POLYA, 1997, p.2). O homem é um ser

pensante, contribui para a solução dos problemas que surgem naturalmente na sua

vida e na sociedade. O aluno precisa saber aplicar a lógica matemática para assim

chegar à sua conclusão.

2.2 O que é um Problema Matemático?

Entende-se como qualquer situação-problema que exija para a sua

resolução conhecimentos matemáticos que já foram apreendidos anteriormente.

Para se resolver um problema é necessário ter adquirido os conhecimentos

científicos, de acordo com o grau de complexidade. Para Dante “É qualquer situação

que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para

solucioná-las.” (DANTE, 1991, p.10). Assim acredita-se que, o aluno só pode

aperfeiçoar a sua Resolução de Problemas, praticando suas interpretações e

desenvolvendo as suas habilidades no cálculo.

Na fala do mesmo autor, “Um dos principais objetivos do ensino de

Matemática é fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que

apresentar-lhe situações-problema que o envolvam, o desafiem e o motivem a

querer resolvê-las.” (DANTE 1991, p.11). Portanto o aluno se sentirá motivado se a

situação-problema estiver relacionada com a sua realidade na vida, que o instigue a

se interessar e querer encontrar a solução. Desta forma, uma situação problema

exige um trabalho mental raciocinado para ser solucionada. Quanto mais o aluno

tenha adquirido o conhecimento científico, mais este aluno terá facilidade em

formular algoritmos que lhe indique caminhos para chegar à solução do problema

proposto. De acordo com Davis e Mckillip (1997) quando a situação problema é

analisada, têm-se uma visão maior dos dados a serem levantados e o aluno se

sente mais a vontade para resolver o problema proposto. Assim, o aluno poderá ter

um maior esclarecimento em relação à compreensão do problema, como também

uma ajuda no desenvolvimento da arte de fazer perguntas a si mesmo, como estas:

o que sabemos com certeza? Mais alguma coisa? O que estamos tentando

encontrar? O que nos ajudaria? Como podemos encontrar isso? Percebe-se que ao

analisar o problema através de perguntas, pode-se ter uma melhor compreensão da

situação-problema apresentada aos alunos, e instigar o interesse deles em querer

resolver o problema e encontrar a resposta. Por isso, o professor (a) deve estar

atento para o tamanho e a complexidade dos números, pois um problema que

apresente números grandes, estes devem ser substituídos por números menores e

mais simples, este procedimento faz com que os alunos se concentrem mais na

interpretação do problema do que propriamente só nos cálculos.

Conforme enfatiza Dante, durante as aulas de Matemática “é preciso

desenvolver no aluno a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso

inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas

soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela.”

(DANTE, 1991, p.12). Portanto, deve-se sempre evidenciar para o aluno nas aulas

de Matemática, a necessidade que temos de resolver problemas na vida real, da

necessidade de enfrentar desafios que requerem esforços e dedicação. Mesmo que

eventualmente não se consiga solucionar de imediato, mas a ação de tentar resolver

o problema já se constitui um aprendizado. Ainda na fala de Dante de acordo com as

Diretrizes Curriculares da Educação Básica “Um dos desafios do ensino da

Matemática é a abordagem de conteúdos para a resolução de problemas. Trata-se

de uma metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar

conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a resolver a

questão proposta.” (DANTE apud PARANÁ, 2008, p.63).

Ainda sobre Resolução de Problemas, Butts (1997, p. 32) enfatiza “Para

mim, é suspeito que o mesmo valha para muitas outras pessoas, o verdadeiro

prazer em estudar matemática é o sentimento de alegria que vem da resolução de

um problema ― quanto mais difícil o problema, maior a satisfação.”. Portanto,

entende-se que é gratificante observar a satisfação que os alunos sentem quando

conseguem com o seu conhecimento já adquirido, interpretar e resolver um

problema matemático proposto, encontrar a resposta que satisfaça a indagação do

problema.

2.3 O Professor (a) no Ensino da Resolução de Problemas

No que se refere à prática da Resolução de Problemas durante as aulas de

matemática, ainda não são trabalhadas de forma correta, assim como a leitura e a

interpretação do enunciado, a classificação dos tipos de problemas e as etapas que

precedem o desenvolvimento, enfim todo este contexto que envolve a Resolução de

Problemas. Para completar o nosso entendimento, o Currículo Básico para a Escola

Pública do Paraná propõe que:

O professor deve fazer uso de práticas metodológicas para a resolução de problemas, como exposição oral e resolução de exercícios. Isso torna as aulas mais dinâmicas e não restringe o ensino de Matemática a modelos clássicos. A resolução de problemas possibilita compreender os argumentos matemáticos e ajuda a vê-los como um conhecimento passível de ser apreendido pelos sujeitos do processo de ensino e aprendizagem. (SCHOENFELD apud PARANÁ, 2008, p.63).

Desta forma, a Resolução de Problemas deve ser praticada nas aulas de

matemática, como também a leitura do problema em voz alta pelos alunos, e

explicar para os colegas na hora da correção, quais foram às estratégias a serem

formuladas, quais os conhecimentos científicos aplicados. As situações-problemas

devem envolver um contexto relacionado ao cotidiano do aluno, com esta prática,

ele associará que esses conceitos aprendidos não estão dissociados da sua

realidade, já que esses problemas propostos apresentam situações semelhantes ao

seu cotidiano e, ao mesmo tempo, estará aprimorando a sua habilidade na

resolução.

De acordo com Dante (1991), as aulas de matemática utilizando a prática da

Resolução de Problemas, são incentivadoras, desafiadora e dinâmica, esta postura

torna os alunos mais motivados, pois para eles alguns dos cálculos são trabalhosos,

cansativos e desvinculados da sua realidade, se sentindo desmotivados a manter a

sua atenção nas aulas de matemática. O mesmo autor Dante (1991), coloca alguns

objetivos da Resolução de Problemas, como: fazer o aluno pensar produtivamente;

desenvolver o raciocínio do aluno; ensinar o aluno a enfrentar situações novas; dar

ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações de Matemática; tornar as

aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras; equipar o aluno com

estratégias para resolver problemas; dar uma boa base matemática às pessoas.

Ainda na fala de Dante (1991) é proposto que, durante a Resolução de

Problemas, o professor (a) deverá ter o cuidado de não dar respostas diretas sobre

qual cálculo será efetuado, pois o aluno fará suas contas rápidas, sem desenvolver a

sua estratégia de resolução, ele precisa pensar qual algoritmo utilizará. As perguntas

poderão ser do tipo: vamos pensar juntos? Pense um pouco mais? Será que é

realmente o que o problema está pedindo para fazer? Discutir sobre como resolver o

problema com o seu colega e pedir a ele para que mostre como planejou a sua

resolução, mostrando também os seus cálculos.

Polya (1997) nos diz que, a obrigação de um professor (a) de matemática é

utilizar ao máximo a oportunidade que tem para desenvolver nos alunos a habilidade

de resolver problemas. Esses problemas não seriam nem muito fáceis e nem muito

difíceis, naturais e interessantes, desafiando a sua curiosidade e ao nível de seu

conhecimento. “Se o professor auxilia seus alunos apenas o suficiente e

discretamente, deixando-lhes alguma independência ou pelo menos alguma ilusão

de independência, eles podem se inflamar e desfrutar a satisfação da descoberta.”

(POLYA, 1997, p.3). O professor (a) é o mediador, o facilitador do conhecimento,

orientando seus alunos para que eles mesmos sigam o seu desenvolvimento nos

cálculos e as suas estratégias nos problemas propostos, assim terão uma maior

motivação em querer chegar à resolução.

Estudar matemática é resolver problemas. Consequentemente, cabe aos professores de matemática, em todos os níveis, ensinar a arte de resolver problemas. O primeiro passo nesse processo é formular o problema adequadamente. (BUTTS, 1997, p. 48).

O problema bem formulado facilita à compreensão do enunciado e propicia

um melhor desempenho no raciocínio. Schoenfeld (1997) neste contexto afirma que,

os professores na sala de aula têm oportunidades de mostrar aos alunos como

pensar matematicamente. O mesmo autor Schoenfeld (1997, p. 23) pontua que, “se

realmente esperamos que os alunos levassem a sério as estratégias de resolução

de problemas, devemos convencê-los de que vão tirar proveito do estudo delas.”.

Para isso, os professores devem sempre enfatizar a importância do pensar, para

resolver as situações-problema, é o incentivador (a), e orienta para que o aluno

relacione o seu conhecimento com a busca de soluções, que futuramente

proporcionará à sua formação como cidadão crítico, reflexivo e integrante da

sociedade, ao qual está inserido.

Ensinar a resolver problemas é algo que difere de todos os outros aspectos da educação matemática. A maioria dos professores concordaria que planejar o ensino de maneira a ajudar os alunos a se tornarem mais aptos para a resolução de problemas difíceis e não rotineiros é a tarefa mais desafiadora enfrentada por eles nas aulas de matemática. (KANTOWSKI, 1997, p. 270).

Ensinar a resolver problemas é um dos aspectos da matemática que

proporciona ao aluno desenvolver a sua curiosidade, a reflexão, a utilização dos

conteúdos, por isso se deve sempre de forma gradativa, procurar propor problemas

com maior grau de dificuldade, que instigue o raciocínio dos alunos. Desta forma,

eles aprendem a resolver problemas mais complexos, mais desafiadores. Concorda-

se com os autores Smole & Diniz que propõem vários recursos que são utilizados

para resolver problemas e chegar ao resultado, estes recursos são evidenciados nas

Diretrizes Curriculares da Educação Básica que nos diz:

Cabe ao professor assegurar um espaço de discussão no qual os alunos pensem sobre os problemas que irão resolver, elaborem uma estratégia, apresentem suas hipóteses e façam o registro da solução encontrada ou de recursos que utilizaram para chegarem ao resultado, Isso favorece a formação do pensamento matemático, livre do apego às regras. O aluno pode lançar mão de recursos como a oralidade, o desenho e outros, até se sentir à vontade para utilizar sinais matemáticos. (SMOLE & DINIZ apud PARANÁ, 2008, p.63).

Assim, acredita-se que, quando os alunos têm a chance de terem um

espaço disponível para que discutam sobre a Resolução de Problemas, os

pensamentos matemáticos, vão se aprimorando, surgem à elaboração de hipóteses

de estratégias, de registros de como foram formuladas e quais os recursos que

utilizaram para resolver o problema. De acordo com Schoenfeld (1997) o professor

(a) deve sempre indagar quando for resolver problemas “por que fiz isso assim” e

não dizer “é assim que se faz”, esta análise durante a Resolução de Problemas

ajuda o aluno à reflexão de suas estratégias. Conforme afirma Dante (1991), os

professores devem incentivar os alunos a pensarem alto, pois facilita a observação

para perceber como eles estão desenvolvendo a solução dos problemas, as

estratégias que estão utilizando e as dificuldades que estão encontrando. Ainda

neste contexto. “Explicar aos alunos de onde vêm os argumentos ― ou, melhor

ainda, compreender os argumentos com eles, quando possível ― pode ajudar a

desmistificar a matemática e permitir-lhes enfrentá-la com menos medo e

apreensão.” (SCHOENFELD 1997, p. 22).

Os professores ao explicarem o processo de resolução, comentarem sobre

os argumentos utilizados, pois esta ação ajuda a compreensão dos alunos e

desenvolve as habilidades para resolução. Outra forma de aprendizagem seria os

próprios alunos formarem situações-problema, formularem dados de acordo com a

sua realidade. Os alunos se sentem mais motivados em formular os problemas,

inventarem os dados e cada um com a sua realidade, assim se empenham mais em

chegar à solução do problema. E com base neste contexto, a fala de Dante (1991, p.

12) evidencia “E, para isso, é fundamental desenvolver nele iniciativa, espírito

explorador, criatividade e independência através da Resolução de Problemas.”. A

imaginação, a criatividade, ajuda muito na formulação de problemas inventados por

eles, quanto mais tipos de problemas são aplicados, mais motivados a explorar, a

resolver eles estarão.

Os alunos devem ser encorajados a fazer perguntas ao professor e entre eles mesmos, quando estão trabalhando em grupos. Assim, eles vão esclarecendo os pontos fundamentais e destacando as informações importantes do problema, ou seja, vão compreendendo melhor o que o problema pede e que dados e condições possuem para resolvê-lo. (DANTE, 1991, p. 31).

As indagações sobre o problema no trabalho em grupo é essencial para que

os alunos se interessem em resolvê-lo, questionando tanto para o professor (a)

como também para os colegas, ajudam a interpretar o enunciado e também os

dados.

2.4 Tipos de Problemas

Butts (1997) pontua os tipos de problemas em cinco: o primeiro tipo são os

exercícios de reconhecimento: quando é necessário que o aluno reconheça os

conteúdos apreendidos, recorde uma definição ou um enunciado, para resolver o

problema; o segundo tipo são os exercícios algorítmicos: que são exercícios que

podem ser resolvidos seguindo um passo a passo, utilizando no mínimo um

algorítmico numérico; o terceiro tipo são os problemas de aplicação: são

denominados problemas tradicionais, que necessitam de formulação do problema e

utilização dos símbolos através de algoritmos diversos; o quarto tipo são os

problemas de pesquisa aberta: são aqueles problemas em que o enunciado não

necessita de uma estratégia para resolvê-los. São expressos por: prove que...,

encontre todos..., para quais..., é..., seja..., etc. Sobre estes problemas de pesquisa

aberta, Butts (1997, p.35) nos diz que, “Uma das opiniões mais erradas envolvendo

problemas de pesquisa aberta é que eles necessariamente se relacionariam com

conceitos matemáticos sofisticados.”. Neste tipo de problema, o aluno necessita

muito mais do conhecimento científico, quanto mais conhecimento ele tiver

adquirido, melhor será o desenvolvimento de suas estratégias e consequentemente

do seu desenvolvimento. Ainda na fala de Butts (1997), entende-se que os

problemas de pesquisa aberta, como não são necessários o uso de estratégias de

acordo com o enunciado, então, para que o aluno o resolva é necessário um

raciocínio mais elaborado.

Portanto tem como função incentivar a conjectura, o cálculo vem depois,

podendo ser aplicados em todos os níveis de matemática. Neste tipo de problema

estão os jogos matemáticos e os quebra-cabeças, onde geralmente a sua

formulação é através de perguntas; e o quinto tipo de problema são as situações-

problema: que não são problemas propriamente ditos, mas são situações em que se

exige identificar o problema independentemente da situação proposta, em que achar

a solução irá melhorá-la. Todos estes tipos de problemas ajudam o aluno na sua

escolha, identificando qual o tipo de problema que mais desperta o seu interesse,

mais o motiva a querer resolver o problema proposto.

Neste contexto, Dante (1991) também destaca os problemas em vários

tipos: o primeiro tipo são os exercícios de reconhecimento: que tem como objetivo

fazer com que o aluno reconheça, identifique ou lembre um conceito; o segundo tipo

são os exercícios de algoritmos: que seguem um passo a passo, onde são utilizados

os algoritmos da adição, subtração, multiplicação e divisão de números naturais; o

terceiro tipo são os problemas-padrão: que exige a aplicação de um ou mais

algoritmos já apreendidos sem a utilização de qualquer estratégia, como por

exemplo, os problemas que são colocados no final de cada conteúdo nos livros

didáticos; o quarto tipo são os problemas-processo ou heurísticos: que envolvem

operações que não estão contidas no enunciado, não podendo ser traduzidos

diretamente para a linguagem matemática, nem resolvidos imediatamente utilizando

os algoritmos, pois necessitam um tempo de raciocínio e estratégias que leve o

aluno a solução, por isto são considerados interessantes. Sobre os problemas-

processo ou heurísticos, o quinto tipo são os problemas de aplicação: apresentam

situações do dia-a-dia e que exigem o conhecimento da matemática para serem

utilizados, também denominados de situações-problema; o sexto tipo são os

problemas de quebra-cabeça: eles são envolventes e desafiadores para os alunos

constituem a Matemática recreativa5 e sua solução depende de sorte ou da

facilidade em perceber algum truque. No que se refere aos tipos de problemas de

Butts (1997) e de Dante (1991), o tipo de problema de pesquisa aberta é semelhante

ao tipo de problemas-processo ou heurísticos, pois as operações a serem efetuadas,

5 Matemática recreativa refere-se à prática da matemática por meio de quebra-cabeças e jogos.

não podem ser traduzidas do enunciado para a linguagem matemática de imediato,

necessitando de tempo e de um raciocínio mais elaborado. Outro tipo diferente de

problema é o de quebra-cabeça, que são motivadores e desafiadores, e o aluno terá

que fazer uso da sua percepção.

2.5 Etapas para a Resolução de Problemas

De acordo com Polya (1995), são quatro as principais etapas para a

Resolução de Problemas: a primeira etapa é a compreensão do problema: em que é

necessário compreender o problema, analisar a pergunta do enunciado e querer

resolvê-la, verificar qual a incógnita apropriada, fazer um levantamento de dados e

determinar qual é a condicionante; a segunda etapa é o estabelecimento de um

plano: onde se deve sempre chamar a atenção do aluno para encontrar a conexão

entre os dados do problema e a incógnita, verificar qual será a estratégia utilizada,

para isto, recordar um problema conhecido ou formular um problema como exemplo,

que tenha a mesma incógnita ou outra parecida que possa ajudar o aluno chegar à

solução e resolver o problema por partes; a terceira etapa é a execução do plano: é

por em prática o plano elaborado, verificar passo a passo e demonstrar se os passos

estão corretos; a quarta etapa é o retrospecto: que informa ao aluno o que se deve

examinar e qual a solução encontrada, conferir os passos que foram desenvolvidos,

verificar o resultado, analisar se é possível chegar à solução utilizando outros

algoritmos. Deve-se indagar ao aluno se é possível perceber de imediato outro tipo

de resolução, se seria possível utilizar o mesmo método ou o resultado em outro

problema. As etapas da Resolução de Problemas também são pontuadas nas

Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná, como afirma o autor:

As etapas da resolução de problemas são: compreender o problema; destacar informações, dados importantes do problema, para a sua resolução; elaborar um plano de resolução; executar o plano; conferir resultados; estabelecer nova estratégia, se necessário, até chegar a uma solução aceitável. (POLYA apud PARANÁ, 2008, p.63).

As Diretrizes Curriculares dão ênfase a essas etapas na Resolução de

Problemas, pois o aluno pode observar claramente a sequência de resolução para

que o seu desenvolvimento tenha êxito e chegue à sua solução.

2.6 Exercício e Problema

Como podemos distinguir exercício de um problema? Os exercícios são

atividades que tem por objetivo praticar os algoritmos já aprendidos, conceitos que já

foram elaborados e como forma de fechamento de conteúdo. Enquanto que as

situações-problema, o aluno interpreta o enunciado, vai buscar as estratégias de

resolução em que serão utilizados os algoritmos já aprendidos, além de analisar e

verificar as soluções encontradas. “Exercício, como o próprio nome diz, serve para

exercitar, para praticar um determinado algoritmo ou processo. O aluno lê o

exercício e extrai as informações necessárias para praticar uma ou mais habilidades

algorítmicas.” (DANTE, 1991, p. 43). Nos exercícios, os alunos ao lerem o

enunciado, já sabem qual algoritmo deverá ser utilizado. Já na Resolução de

Problemas, o aluno ao ler o enunciado, terá que interpretar para verificar qual o

algoritmo que ele irá recorrer, para efetuar o seu desenvolvimento e conseguir

resolver.

O mesmo autor enfatiza que problema “é a descrição de uma situação onde

se procura algo desconhecido e não se tem previamente nenhum algoritmo que

garanta sua solução.”. Desta forma o aluno utilizará várias estratégias de cálculo

para ver se consegue chegar à solução do problema. A pergunta do problema

informa se os dados necessitam dos algoritmos previamente aprendidos ou de uma

formulação de procedimentos e estratégias, que levem o aluno resolver novas

situações desafiadoras.

2.7 Características evidenciadas em um Problema

Dante (1991) pontua algumas características de um bom problema, como

por exemplo: a primeira é ser desafiador para o aluno: geralmente os problemas

trabalhados com os alunos são problemas-padrão que não os desafiam. Ao

contrário, os problemas dados aos alunos devem ser desafiadores, instigando a

motivação, a curiosidade para querer solucioná-los; a segunda característica é ser

real para o aluno: quando os problemas não são relacionados com a vida real,

tornam-se desmotivadores, fora do contexto da vida desses alunos, tanto na

veracidade das informações contidas, como nos valores numéricos estabelecidos; a

terceira característica é ser interessante para o aluno: a motivação é considerada

fator preponderante no envolvimento dos alunos com o problema, sendo

interiorizada naturalmente quando os dados do problema fazem parte da vida

cotidiana desses alunos como: música popular, esportes, televisão, etc.: a quarta

característica é ser o elemento desconhecido de um problema realmente

desconhecido: o elemento desconhecido que se procura no problema, deve ser

mesmo desconhecido para que o aluno precise descobrir; a quinta característica é

não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas: é

necessário que os problemas levem o aluno a processos de pensamentos, de

hipóteses e propicie várias estratégias para que se chegue à solução; a sexta

característica é um nível adequado de dificuldade: onde os problemas além de

serem motivadores, devem ser desafiadores, mas capazes de serem resolvidos

pelos alunos da série em que estão sendo aplicados, para não constituírem em

frustrações, desânimos que podem prejudicar a relação desses alunos não só com a

resolução de problemas, mas também com a Matemática no sentido geral e

desmotivá-los até nas atividades escolares.

No que se refere a um bom problema, o Currículo Básico para a Escola

Pública do Paraná nos diz que, “O que se deve é evitar, a todo custo, o uso de

problemas modelo, “problemas tipo”, uma vez que a resolução de problemas implica

o uso de raciocínio e depende do domínio que o aluno possui dos conteúdos.”

(PARANÁ 1990, p. 66-67). Propor aos alunos problemas modelo, o aluno não

desenvolve plenamente a sua habilidade para resolução, já os problemas

diferenciados, o aluno terá que utilizar o seu raciocínio lógico, suas estratégias e

principalmente o seu conhecimento.

2.8 Fatores que dificultam a Resolução de Problemas

Dante (1991) ressalta também como contornar fatores que dificultam um

problema, são eles: linguagem usada na redação do problema: ressalta-se que a

linguagem normalmente usada nos problemas geralmente é diferente da utilizada no

usual. Em um único parágrafo são apresentadas muitas idéias e no usual quase

sempre há uma única idéia. É importante que a linguagem e o vocabulário sejam

coerentes a série trabalhada e de acordo com a realidade do aluno, sendo clara e

simples a fim de uma melhor compreensão; o tamanho e estrutura das frases: as

frases longas e complexas dispersam os alunos, é conveniente separá-las em duas

ou mais frases curtas e simples; o vocabulário matemático específico: os problemas

apresentam linguagem matemática específica, os alunos necessitam da ajuda dos

professores para saber distingui-las e esclarecer o significado das palavras

desconhecidas, para que este aluno saiba interpretar corretamente o problema; o

tamanho e complexidade dos números: quando o problema apresenta números

muito grandes, o aluno dispersa a atenção na interpretação do mesmo, se

concentrando nesses números e no algoritmo que irá utilizar.

Já o problema com números pequenos, faz o aluno focalizar o problema em

si, facilitando assim o seu processo de pensamento para chegar a sua resolução e

não apenas fazer os cálculos; como apresentar o problema: a maneira como o

problema é apresentado, o aluno apresentará maior ou menor dificuldade para

resolvê-lo, como também poderá desenvolver ou não a sua motivação; número de

condições a serem satisfeitas e sua complexidade: é quando o problema apresenta

duas ou mais condições que satisfaçam, ele se torna mais difícil, pois o aluno

quando satisfaz só uma das condições, ele pensa que o problema já está resolvido;

número e complexidade de operações e estratégias envolvidas: quando o problema

apresenta uma só operação, ele se apresenta mais simples do que necessitar de

duas ou mais operações para resolvê-lo. No que se refere às estratégias, também

há este enfoque, pois se os problemas requererem somente algoritmos é mais

simples, mas se necessitar de tentativa e erro, tabelas, gráficos e sua interpretação,

generalizações, a resolução dos problemas se tornará mais difícil. Todos os fatores

já citados podem ajudar a diminuir a dificuldade que os alunos demonstram, ao

resolver um problema e desenvolver um novo olhar na resolução desses.

A resolução de problemas não deve se constituir em experiências repetitivas, através da aplicação dos mesmos problemas (com outros números) resolvidos pelas mesmas estratégias. O interessante é resolver diferentes problemas com uma mesma estratégia e aplicar diferentes estratégias para resolver um mesmo problema. Isso facilitará a ação futura dos alunos diante de um problema novo. (DANTE, 1991, p.59).

Portanto entende-se que, na aplicação do problema aos alunos, o problema

repetido, apenas com números diferentes, não propicia o desenvolvimento das

habilidades e do raciocínio lógico, mas sim utilizar problemas diferentes e utilizar as

mesmas estratégias ou se utilizar os mesmos problemas, formular estratégias

diferentes, facilitando assim um maior desempenho dos alunos.

Os problemas em que são necessários os cálculos algébricos, os alunos

devem ser orientados na interpretação das palavras no enunciado e sua tradução na

linguagem matemática, a registrar as suas estratégias no papel, pois este

procedimento facilita o desenvolvimento dos alunos para serem bons resolvedores

de problema. Para Butts (1997), resolver problemas de álgebra é necessário traduzir

as palavras do português para a linguagem matemática. Mas, quando o problema

formulado tem características da realidade, este problema torna-se um problema

aritmético, assim como na “arte”, é preciso formular um problema com a criatividade

de um artista para que o resolvedor potencial: seja motivado a resolver o problema;

entenda e retenha conceito envolvido na solução do problema e aprenda alguma

coisa sobre a arte de resolver problemas.

Butts (1997), ainda enfatiza algumas sugestões para formular esses

problemas, são elas: exercícios de reconhecimento: como estes exercícios

necessitam de relembrar os conceitos já apreendidos, devem ser propostos na

forma de verdadeiro ou falso, múltipla escolha, preencher os espaços ou utilizar a

comparação. Estes exercícios podem levar a um debate sobre os conceitos

trabalhados; exercícios algorítmicos: estes problemas ressaltam as habilidades

básicas que o aluno demonstra nos cálculos, exige exercícios e prática, incluindo os

desafios para torná-lo mais interessante; problemas de aplicação: o seu

aperfeiçoamento é através das situações reais, tanto nas informações como nos

dados numéricos, em que a incógnita do problema seja realmente desconhecida,

pois exigirá do aluno a utilização de estratégias para chegar à sua resolução. Neste

contexto, Butts (1997) nos diz que, os problemas de aplicação para serem melhores

compreendidos é preciso que os resolvedores destaquem os seus próprios dados,

resultando assim em uma situação problema. Desta forma a Resolução de

Problemas oferece um desenvolvimento amplo no raciocínio matemático dos alunos,

propicia a prática das habilidades para formularem recursos utilizando os diversos

algoritmos já dominados.

2.9 A Resolução de Problemas e o Currículo de Matemática

Se na educação antiga a ênfase era a aritmética, onde os algoritmos

priorizavam os cálculos. Atualmente a matemática também utiliza à aritmética, os

algoritmos, a álgebra, mas com ênfase para a Resolução de Problemas, que deve

ser aplicada como parte integrante de um currículo, trabalhada na sala de aula

durante todo o ano letivo, praticando a aplicação dos algoritmos e conceitos

matemáticos necessários que foram aprendidos e utilizando as etapas que facilitam

a sua compreensão e o seu desenvolvimento. Na fala de Dante (1991), entre as

principais razões de a Matemática estar inserida no currículo do Ensino

Fundamental, é querer que os alunos saibam praticar os problemas cujas soluções

necessitam de conceitos matemáticos, que por sua vez exijam o modo de pensar

matemático desses alunos.

Polya (1997, p.3) reforça que “o currículo para futuros professores de

matemática deve enfatizar muito mais do que é normalmente feito hoje em dia, a

habilidade prática de resolver problemas avançados demais e os métodos de

solução.”. Os planejamentos dos professores de matemática devem ser permeados

pela Resolução de Problemas, trabalharem com seriedade, para desenvolver esta

capacidade nos alunos, e salientar sobre a importância da prática de resolver

problemas como conhecimento para ser utilizado durante toda a vida. Os conteúdos

de matemática têm a sua aplicabilidade na Resolução de Problemas, por isso essa

prática é essencial ao pleno desenvolvimento do aluno, para aperfeiçoar o seu

conhecimento matemático. O Currículo Básico para a Escola Pública afirma que: “É

fundamental compreendermos que os problemas não são um conteúdo e sim uma

forma de trabalhar os conteúdos.” (PARANÁ, 1990, p.66). A Resolução de

Problemas é uma metodologia de ensino da matemática que trabalha os conceitos já

aprendidos pelos alunos, com a qual utilizará para os seus cálculos.

Ainda o currículo propõe que: “Os conceitos básicos deverão ser

desenvolvidos a partir de problemas e estes problemas podem ser utilizados

também como um desafio à reflexão dos alunos.” (PARANÁ, 1990, p.66). Os

conceitos devem ser inseridos nos problemas, instigando o aluno à interpretação e

análise do enunciado, propondo a partir daí estratégias de resolução. Além disso, é

enfatizado que “Ao longo do desenvolvimento dos conceitos, deverão estar

presentes novos problemas e estes poderão aparecer também ao fim do tratamento

dado ao tópico em estudo, como uma forma tradicional de sistematização.”

(PARANÁ, 1990, p.66). Os professores devem ter uma atenção especial para que

estes problemas não sejam aplicados como exercícios de fixação, mas sim como

situações problemas que necessitará do conhecimento do aluno para o

desenvolvimento da sua habilidade.

2.10 A Compreensão do Problema através da Leitura

Para que se tenha uma melhor compreensão do problema, é essencial a

interpretação do enunciado, que deve apresentar uma situação em que o aluno

deverá analisar matematicamente, qual é o melhor caminho para encontrar a

solução correta. Os autores Davis e Mckillip (1997) pontuam que, uma encenação

ou uma representação do problema, como: mudar o enunciado sem alterar a

redação do original, resolver um problema de apoio, para que este aluno visualize a

situação que está sendo mostrada no problema proposto, seria uma das finalidades

para que este aluno compreenda a sua aplicabilidade na vida real. Para esta ação é

necessário tempo para que estes alunos pensem nas ações apropriadas e

trabalhem, não para competir, mas para observar todos os dados do problema,

esboçar uma ilustração que o ajude na compreensão, estabelecer suas estratégias,

seus objetivos.

A resolução de problemas não é uma atividade isolada para ser desenvolvida separadamente das aulas regulares, mas deve ser parte integrante do currículo e cuidadosamente preparada para ser realizada de modo contínuo e ativo ao longo do ano letivo, usando as habilidades e os conceitos matemáticos que estão sendo desenvolvidos. Não se aprende a resolver problemas de repente. É um processo vagaroso e contínuo, que exige planejamento. (DANTE, 1991, p.59).

O aluno deve reconhecer que o uso dos algoritmos, deve ser aprimorado e

organizado, para que consigam ser aplicados no desenvolvimento dos problemas,

mesmo estando permeados pela era da tecnologia. Conforme Dante (1991), as

transformações sociais que ocorrem constantemente e o desenvolvimento cada vez

maior das tecnologias mostram que, não podemos diagnosticar quais conceitos

matemáticos seriam prioridades para o desenvolvimento das habilidades

necessárias à sua formação, preparando-o na construção de algoritmos

matemáticos que o ajudem a solucionar tanto os problemas formais, como também

os que eventualmente surgirem na sua vida. O desenvolvimento na prática da

Resolução de Problemas direciona os alunos à análise de novas situações, que os

levam a elaboração de cálculos matemáticos para que cheguem à solução,

propiciando assim uma formação reflexiva e crítica, preparando-os para que sejam

cidadãos conscientes e estarem inseridos na sociedade. Novas perspectivas surgem

através de um novo enfoque, uma nova maneira de se ensinar matemática, em que

os conteúdos curriculares são sempre aplicados através da Resolução de

Problemas. Conforme enfatiza Onuchic (2008), a Resolução de Problemas é uma

metodologia para ensinar e aprender a matemática, e ao mesmo tempo, construir o

conhecimento através dessa resolução. Para a aplicação desta nova visão da

Resolução de Problemas, é proposto aos alunos um problema que é denominado de

problema gerador. Este problema é que conduzirá ao conteúdo que o professor (a)

pretende ensinar.

Allevato (2008) pontua sete sugestões para esta proposta na Resolução de

Problemas, sendo que a primeira: o professor (a) deve formar grupos e entregar o

problema gerador; a segunda deve observar e incentivar os alunos; a terceira é

auxiliar nos problemas secundários que serve de apoio para o desenvolvimento dos

algoritmos; a quarta será pedir aos representantes dos grupos que registrem os seus

cálculos na lousa; a quinta é a realização de uma plenária em que cada grupo

analisará e discutirá sobre todas as resoluções que foram desenvolvidas; a sexta é

todos discutirem e chegarem a um consenso e a sétima é formalizar o conteúdo.

3 Implementação do Projeto

O projeto de Intervenção Pedagógica teve como objeto de estudo a turma do

6º ano B, no Colégio Estadual Monteiro Lobato - Ensino de 1º e 2º graus, na cidade

de Cornélio Procópio – PR, sendo apresentado aos pares da escola, fundamentado

nos autores que o referenciam utilizando o projetor multimídia data show, como

também a divulgação do GTR6 aos professores.

Iniciada a implementação desse projeto, utilizou-se também o projetor

multimídia data show, com uma retificação nos slides que já foram apresentados à

escola, em uma linguagem diferenciada para os alunos, apresentando um breve

histórico sobre os autores que pontuaram o projeto ressaltando sobre a dificuldade

que muitos alunos têm de não conseguirem resolver os problemas na sala de aula,

mesmo sabendo as operações, não sabem qual o algoritmo correto a ser utilizado.

A priori foi explicada a diferença entre exercício e problema e que a

Resolução de Problemas sempre foi trabalhada como exercício dos livros didáticos e

não como uma metodologia no ensino da matemática, desenvolvendo assim a

reflexão, o raciocínio lógico e a habilidade para que consigam resolver os problemas

com todo o contexto que envolve esta metodologia, tanto na escola como também

6 GTR – Grupo de Trabalho em Rede

nas suas vidas. Assim ressaltou-se sobre a necessidade de saber interpretar o

enunciado, de traduzir a linguagem usual para a linguagem matemática, retirando os

dados do problema, saberem as etapas que orientam a Resolução de Problemas, a

utilização das estratégias (com explicação e apresentação de vários tipos de

estratégias para esclarecimento dos alunos) no desenvolvimento dos algoritmos.

Sobre os pareceres escritos, foi orientado que entregassem após a

Resolução de Problemas, em que responderão questões como: acharam fácil ou

difícil o problema? Tiveram muita ou pouca dificuldade na interpretação do

enunciado? Conseguirão traduzir a linguagem usual em linguagem matemática?

Utilizaram conhecimentos que já foram apreendidos? Conseguiram ou não resolver?

Utilizaram problemas ou cálculos de apoio para conseguir resolver o problema?

Foram entregues a cada um dos alunos primeiramente os tipos de problemas

pontuados por Butts (1997), todos digitados e explicitados com a característica de

cada um, sendo aplicados dois problemas a cada implementação para que eles

resolvessem, iniciando com: exercício de reconhecimento e exercícios de algoritmos.

Assim, foram utilizadas duas aulas, com orientações para os alunos para que

analisassem o problema, respondendo questões como: o que sabemos com

certeza? Mais alguma coisa? O que estamos tentando encontrar? O que nos

ajudaria? Como podemos encontrar isso? Pense um pouco mais? Será que é

realmente o que o problema está pedindo para fazer? Discutir sobre como resolver

com o seu colega, desenvolvendo assim o raciocínio matemático e utilizando as

estratégias que acharem necessárias. Nos exercícios de reconhecimento: os alunos

teriam que reconhecer ou lembrar um conteúdo ou propriedade para resolverem.

1) Observe os números 3, 6, 11, 92,105, 182 e responda quais são pares? Este tipo

de problema, os alunos não tiveram dificuldade para resolver.

2) Exercícios de algoritmos: Foram resolvidos passo a passo com a utilização de

algoritmos numéricos. Podendo também usar a decomposição para efetuar o

cálculo. Como no exemplo:

a) 64 + 12 ou (60 + 4 + 10 + 2) = c) 114 – 4 ou (100 + 10 + 4 – 2 – 2) =

b) 208 – 8 ou (200 + 8 – 4 – 4) = d) 81: 9 ou (80 + 1: 9) =

Figura 1 – Resoluções dos Problemas: exercícios de reconhecimento e de algoritmos

Fonte: Autoria de um aluno (2013)

Nesta implementação, os dois tipos de problemas trabalhados, os alunos

não apresentaram nenhuma dificuldade para resolver, já que os conteúdos das

operações fundamentais já foram apreendidos, transformando facilmente a

linguagem usual para a linguagem matemática. Na segunda implementação, foram

aplicados os tipos de problemas: de aplicação e de pesquisa aberta, com entrega

também dos pareceres. No problema de aplicação: Inicialmente foi retomada a

definição de comprimento e altura, observando a figura 2, e o conceito das medidas:

perímetro e área. Sendo P = Perímetro (é a medida do comprimento de um

contorno), devendo efetuar a soma dos lados e A = Área (é a medida de uma

superfície), devendo multiplicar a base pela altura.

3) Um retângulo mede no seu comprimento 8cm e na sua altura 4cm. Qual é o

perímetro e área deste retângulo?

Figura 2 – Problema de aplicação: retângulos

Fonte: Autoria própria (2013)

Figura 3 – Resoluções do Problema de aplicação

Fonte: Autoria de dois alunos (2013)

Os alunos encontraram o perímetro e a área do retângulo, utilizando as

operações de adição e multiplicação, não apresentando nenhuma dificuldade. A

implementação seguinte foi o tipo de problema pesquisa aberta.

4) Imagine n armários, todos fechados, e n homens. Suponha que o primeiro homem

passe e abra todos os armários. Depois, que o segundo homem passe e feche um

sim outro não, começando pelo número 2. O terceiro homem, então, passa e altera o

estado dos armários, de três em três, começando pelo número 3 (se este está

aberto, ele o fecha, e vice-versa). Se esse procedimento tiver continuidade até que

todos os n homens tenham passado por todos os armários, quais então ficam

abertos? Problema sugerido por Butts (1997).

Figura 4 – Problema sugerido por Butts (1997) Armário aberto Armário fechado

O primeiro homem passou e abriu todos os armários;

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

O segundo homem passa e fecha um sim outro não, começando pelo armário 2;

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

O terceiro homem, então, passa e altera o estado dos armários, de três em três, começando pelo

número 3 (isto é, se este está aberto, ele o fecha, e vice-versa).

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

O quarto homem passa e altera os armários novamente só que de 4 em 4, a partir do número 4:

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

O quinto homem tem o mesmo procedimento, de 5 em 5 e a partir do armário 5:

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

O sexto homem repete novamente, só que de 6 em 6 e a partir do armário 6:

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

O sétimo homem, de sete em sete, a partir do 7:

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

E o oitavo homem, de oito em oito, a partir do 8:

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16


Podemos então observar que: o armário 1 é tocado pelo homem 1; o armário

2 é tocado pelos homens 1 e 2; o armário 3 é tocado pelos homens 1, 3; o armário 4

é tocado pelos homens 1, 2, 4; o armário 5 é tocado pelos homens 1, 5; o armário 6

é tocado pelos homens 1, 2, 3, 6; o armário 7 é tocado pelos homens 1, 7; o armário

8 é tocado pelos homens 1, 2, 4, 8. Assim, conclui-se que o número de homens que

tocaram os armários formam divisores em relação ao número do armário que está

sendo aberto ou fechado. Portanto os armários que ficarão abertos desde o primeiro

homem que passou são os armários: 1, 11 e 13, também denominados de números

primos, pois possuem apenas dois divisores, o 1 e ele mesmo. O conteúdo citado

neste problema, vai ser também trabalhado na proposta de Onuchic e Allevato

(2008).

Figura 5 – Resoluções com estratégias diferenciadas do Problema de pesquisa aberta

Fonte: Autoria de três alunos (2013)

Figura 6 – Resoluções com estratégias diferenciadas do Problema de pesquisa aberta

Fonte: Autoria de quatro alunos (2013)

Os alunos utilizaram os seus raciocínios lógicos, já que no enunciado do

problema não há dados matemáticos para serem coletados. Utilizaram estratégias

diversificadas e criativas como: tabelas, quadros, desenhos com legenda, sendo que

a maioria dos alunos representou através de desenhos os armários abertos e

fechados, uma aluna utilizou uma tabela representando os armários abertos e

fechados, outros desenharam e escreveram em baixo aberto ou fechado, alguns

desenharam além dos armários, o homem que passava e um aluno utilizou esquema

com legenda para representar o homem e os armários abertos e fechados. A maioria

chegou à solução, sendo poucos alunos que representaram e não conseguiram

visualizar quais armários foram tocados e que o número de homens que tocaram os

armários formam divisores em relação ao número do armário que está sendo aberto

ou fechado. O outro problema a ser implementado foi uma situação-problema.

5) Um Diretor da escola X quer fazer uma pesquisa com os alunos para comprar

iogurte no dia das crianças, nos sabores coco, morango e chocolate. Cada professor

(a) ficará responsável por uma turma. A professora da turma do 6º A com vinte e

seis alunos, será a responsável em fazer um relatório com o valor a ser gasto. Para

iniciar a pesquisa, pede-se aos alunos que respondam as seguintes questões:

quantos alunos gostam de iogurte? Quantos alunos gostam de iogurte de coco?

Quantos alunos gostam de iogurte de morango? Quantos alunos gostam de iogurte

de chocolate Quantos vão tomar apenas leite? Algum aluno tem alergia à lactose?

Foi sugerido aos alunos que entregassem uma pesquisa sobre o que é

lactose na aula seguinte. Após, foi realizado um debate com indagações se alguém

da família ou alguém conhecido também tinha esta sensibilidade à lactose

interdisciplinando com Ciências. Com os dados da pesquisa, dos vinte e seis alunos

da classe, cinco alunos gostam de iogurte de coco, sete alunos gostam de iogurte de

morango, dez alunos gostam de iogurte de chocolate e três alunos não gostam de

iogurte, só de leite. Todos os iogurtes custam R$ 2,00 e como só três alunos gostam

de leite, será comprado um litro que custa R$ 1,00. Para o aluno que não toma leite

porque tem alergia a lactose, comprará um suco de laranja que custa R$3,00. O

professor (a) deve levantar questionamentos para ajudar na reflexão dos alunos.

Quantos iogurtes nos sabores de coco, morango e chocolate serão

comprados? Os alunos que só tomam leite tomarão um copo de 250 ml cada um.

Um litro dará para os três alunos? Sobrará leite ou não? Quanto a Diretora irá gastar

só com esta turma no dia das crianças? A primeira etapa é compreender o

problema: os questionamentos devem continuar: o que se procura no problema? O

que o problema está perguntando? O que está dito no problema e que podemos

utilizar? Quais são os dados que estão no problema e podemos usar? É possível

utilizar uma figura da situação? Os alunos podem retirar os dados do problema. Só

vinte e dois alunos gostam de iogurte, sendo que cinco alunos gostam de coco, sete

alunos de iogurte de morango, dez alunos de iogurte de chocolate. Três alunos só

gostam de leite e um só aluno não pode tomar leite, pois tem alergia à lactose, então

tomará um suco de laranja. A segunda etapa é elaborar um plano: fazer uma

conexão com os dados e o que o problema está perguntando. Vocês já resolveram

um problema como este? Vocês conseguem lembrar um problema que seja

semelhante e que pode ajudá-los a resolver este? É possível resolver o problema

por etapas? É possível elaborar vários caminhos para chegar à solução do

problema? A classe tem vinte e seis alunos e cada iogurte custa R$2,00, mas nem

todos os alunos poderão tomar o iogurte. Serão comprados também leite e suco de

laranja. Estratégia: representar a situação do problema:

Figura 7 – Tipos de iogurte

Coco Chocolate Morango


Os iogurtes serão comprados para vinte e dois alunos.

Figura 8 – Litro de leite


Um litro de leite dará para quatro alunos, então sobrará um copo de 250 ml.

Figura 9 – Copo com suco de laranja


O aluno observará que um copo de suco de laranja será para um aluno,

assim o ajudará a pensar em qual operação deverá utilizar. A terceira etapa é

colocar o plano em ação: verificar cada passo, utilizar várias estratégias para

resolver o problema. Para cinco alunos será comprado iogurte de coco, para sete

alunos iogurte de morango, para dez alunos iogurte de chocolate, se todos custam

R$ 2,00, então: vinte e dois alunos tomarão iogurte a R$ 2,00 cada um. O número

dois será necessário 22 vezes: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 44 ou 2 . 22 = 44, totalizando então R$ 44,00. Um

litro de leite custará R$ 1,00, sendo que caberá quatro vezes 250 ml, 250 ml + 250

ml + 250 ml + 250 ml = 1000 ml ou 1000 : 250 = 4, como são três alunos, sobrará

um copo de 250 ml. Os alunos observaram que: 750 ml corresponderão a 3/4 do litro

de leite que os três alunos tomarão e que 250 ml será o leite que irá sobrar,

correspondendo a 1/4 deste mesmo litro.

Figura 10 – Representação geométrica de 1/4 ou 250 ml do litro de leite


Um só aluno tomará um suco de R$ 3,00. Adicionando os valores: 44 + 1 + 3

= 48. Os alunos confirmarão que a diretora gastará só com esta turma R$ 48,00. A

quarta etapa: é o retrospecto ou verificação. Esta etapa é considerada necessária no

processo de Resolução de Problemas, pois devem observar e afirmar porque a

solução encontrada está correta, fazendo um retrospecto de todo o

desenvolvimento, ações e estratégias e justificar o que e como ele desenvolveu para

chegar à solução do problema. Se vinte e dois iogurtes à R$ 2,00 custarão R$ 44,00,

mais um litro de leite que custou R$1,00, mesmo que tenha sobrado 250 ml, mais

um suco de R$ 3,00 totalizando então R$ 48,00. Assim as soluções do problema

foram satisfeitas, sendo a resposta encontrada: será gasto com o 6º A um total de

R$ 48,00. Após a verificação do resultado, das estratégias utilizadas, ainda poderá

ser formulada algumas questões como: há alguma outra maneira, outro algoritmo a

ser utilizado? É possível utilizar estas mesmas estratégias para resolver um

problema semelhante?

Figura 11 – Resoluções diferenciadas da situação-problema


Como é uma situação que necessita identificar o problema e através dos

cálculos matemáticos melhorarem aquela situação, encontrando a solução, os

alunos demonstraram bastante interesse nesta situação-problema contextualizada

com o cotidiano deles, não tiveram dificuldades, acharam a situação-problema fácil,

utilizando conteúdos já apreendidos. Todos acertaram a representação geométrica

do litro de leite, sendo que a maioria dos alunos chegou à solução encontrando o

valor gasto que o Diretor da escola X teve com a turma do 6º A. Em seguida foram

implementados os tipos de problemas classificados por Dante (1991): problemas-

padrão: simples e composto, com entrega dos pareceres.

Problemas-padrão: este tipo de problema utiliza alguns algoritmos que já

foram aprendidos e não necessitam de estratégias para resolvê-los. Estes são os

tradicionais problemas encontrados no final dos capítulos dos livros didáticos, o

enunciado que está na linguagem usual será transformado na linguagem

matemática e os alunos identificarão quais algoritmos acharão necessário para a

sua resolução. Assim os alunos estarão construindo as quatro operações

fundamentais através dos números naturais. Estes problemas são classificados em

simples e composto. Problema-padrão simples:

6) Em um estacionamento há seis carros. Se cada carro possui quatro rodas.

Quantas rodas estão no estacionamento?

Primeira etapa: é compreender o problema. O que se procura no problema?

O que o problema está perguntando? O que está dito no problema e que podemos

utilizar? Quais são os dados que estão no problema e podemos usar? É possível

fazer um desenho da situação? É possível estimar ou “chutar” a resposta? Um chute

poderia ser 4 . 6 = 24 rodas o que satisfaz a resposta. A segunda etapa é elaborar

um plano: fazer uma conexão com os dados e o que o problema está perguntando.

Vocês já resolveram um problema como este? Conseguem lembrar um problema

que seja semelhante que pode ajudá-los a resolver este? É possível resolver o

problema por etapas? É possível elaborar vários caminhos para chegar à solução do

problema? Podemos representá-lo?

Figura 12 – Representação com carros


A terceira etapa é colocar o plano em prática: verificar passo a passo e efetuar os

cálculos necessários: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 ou duas rodas dianteiras e duas

rodas traseiras: (2 + 2) . 6 = 4 . 6 = 24 ou através da utilização dos segmentos:

Figura 13 – Segmentos de reta


Figura 14 – Representação com rodas

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24


A quarta etapa é fazer um retrospecto ou verificação: uma análise das ações

desenvolvidas no problema, como foi formulada as estratégias, como efetuaram os seus cálculos e fazer a verificação do resultado, assim: 4 . 6 = 24 ou 6 . 4 = 24 e 24 : 4 = 6. Portanto, pode-se afirmar que no estacionamento há 24 rodas de carro. Após a verificação do resultado, das estratégias utilizadas, pode-se ainda formular algumas questões como: há alguma outra maneira, outro algoritmo a ser utilizado? É possível utilizar estas mesmas estratégias para resolver um problema semelhante?

Figura 15 – Resoluções com estratégias diferenciadas do Problema padrão-simples


Figura 16 – Resoluções com estratégias diferenciadas do Problema padrão-simples


Neste problema os alunos não tiveram dificuldades, utilizaram os algoritmos

que já conheciam chegando à solução. Desenvolveram várias estratégias: desenhos

de carros iguais e diferentes com as rodas, outro aluno desenhou só as rodas para

cada carro e um aluno desenhou só um recipiente em que estavam todas as rodas,

não visualizando os carros. Problema-padrão composto:

7) A soma das idades de João e Pedro são cinquenta e sete anos. Sendo que João

tem nove anos a mais que Pedro. Quantos anos têm cada um?

Os alunos poderão neste tipo de problema utilizar a representação

geométrica, a algébrica com os princípios aditivos e multiplicativos das igualdades,

estratégias da tentativa e erro ou qualquer uma que possa ajudá-lo para encontrar a

solução. A primeira etapa é compreender o problema. O que está pedindo no

problema? O que está procurando no problema? Qual é a pergunta do problema?

Nessa questão o que se está perguntando é: quantos anos têm cada um?

Quais são os dados do problema? O que está escrito no problema que podemos

utilizar? Nestas indagações pode-se retirar do problema: os dois juntos têm

cinquenta e sete anos. João tem a idade de Pedro mais nove.

A segunda etapa é elaborar um plano: quais serão as estratégias utilizadas.

Figura 17 – Representação geométrica


Representação algébrica: a utilização da letra n ou poderia ser qualquer

outra letra é a representação do número que ainda não se tem conhecimento. Se

Pedro tem n anos e João tem n + 9 então, n + (n + 9) = 57, sendo que n é a idade de

Pedro que não se conhece e a idade de João é a idade de Pedro n mais nove;

n + (n +9) = 57 Retirando os parênteses;

n + n + 9 = 57 Somando n + n, temos:

2n + 9 = 57

Aplicando-se o princípio aditivo das igualdades, têm-se: subtraindo o número

9 nos dois membros dessa igualdade, ela não se altera. Cancela-se 9 no 1º membro

e subtrai 9 no 2º membro;

então 2n = 48

Aplicando-se o princípio multiplicativo das igualdades, têm-se: dividindo os

dois membros dessa igualdade por um mesmo número que seja diferente de zero,

ela também não se altera. Então dividimos por 2. Portanto cancelando 2 no 1º mem-

bro têm-se :

n = 2

48, fazendo a divisão: n = 24 (Pedro). E João tem quantos anos? n + 9 = 24 + 9 = 33

Outra estratégia é a tentativa e erro em que poderia ser encontrado dois

números, cuja soma seja 57 e destes números, escolhe-se dois cuja diferença seja

9. A terceira etapa: colocar o plano em ação: verificando passo a passo: coloca-se

de lado o nove e repartimos o restante entre Pedro e João: 57 – 9 = 48, então 48 : 2

= 24. Assim, Pedro = 24 e João = 24. Mas, se João tem 9 anos a mais que Pedro,

então: João tem 24 + 9 = 33 anos que somados com o de Pedro 24, o total será de

57 anos. Podemos representar com a estratégia da tentativa e erro: dois números

em que a soma seja 57 e escolhemos dois destes números em que a subtração seja

9, exemplos no quadro abaixo:

Quadro 1 – Dois números em que a soma seja 57e a subtração seja nove

50 e 7 50 + 7 = 57 50 – 7 = 43

49 e 8 49 + 8 = 57 49 – 8 = 41

48 e 9 48 + 9 = 57 48 – 9 = 39

47 e 10 47 +10 = 57 47– 10 = 37

. . .

. . .

. . .

33 e 24 33 + 24 = 57 33 – 24 = 9


A quarta etapa é o retrospecto ou verificação: em que será feita a análise da

solução encontrada e verificar o resultado. João tem 33 anos e Pedro tem 24 anos.

Juntos eles possuem 33 + 24 = 57 anos, ou seja:

João tem 9 anos a mais que Pedro. Portanto, as duas soluções do

problema estão corretas. Pedro tem 24 e João tem 33 anos.

Figura 18 – Resolução do Problema padrão-composto


Alguns alunos acertaram todo o desenvolvimento e chegaram à solução,

outros tiveram dificuldades na interpretação do enunciado para descobrir as idades,

mesmo com todo o contexto e orientação das questões pertinentes. Utilizaram as

operações fundamentais, mas não utilizaram estratégias diferenciadas que os

ajudassem na solução do problema.

O próximo tipo de problema a ser implementado foi o problema-processo ou

heurístico, no qual envolve operações que não estão no enunciado, não podem ser

traduzidos da linguagem usual para a linguagem matemática de imediato, necessita

utilizar estratégias para chegar à solução. Assim, são mais interessantes que os

problemas-padrão.

8) Um grupo de amigos se encontra no shopping. Rafaela, Guilherme, Jorge, Renan,

Alberto, Sandra, Márcio, Cristina, ficaram felizes com o reencontro e se

cumprimentaram. Se cada um apertar uma vez a mão de todos os amigos, quantos

apertos de mão serão ao todo?

Rafaela Guilherme Jorge Renan Alberto Sandra Márcio Cristina

Guilherme Jorge Renan Alberto Sandra Márcio Cristina

Jorge Renan Alberto Sandra Márcio Cristina

Renan Alberto Sandra Márcio Cristina

Alberto Sandra Márcio Cristina

Sandra Márcio Cristina

Márcio Cristina 7+6+5+4+3+2+1= 28

Cristina

Colocando o plano em ação, por meio de diagramas

a) R G J R A S M C

Figura 19 – Diagrama do Problema-processo ou heurístico


b) R G J R A S M C

Figura 20 – Diagrama do Problema-processo ou heurístico

Cristina cumprimenta todos os outros 7 e sai; 7

Márcio cumprimenta todos os outros 6 e sai 6

Sandra cumprimenta todos os outros 5 e sai; 5

Alberto cumprimenta todos os outros 4 e sai; 4

Renan cumprimenta todos os outros 3 e sai; 3

Jorge cumprimenta os outros 2 e sai; 2

___ Guilherme cumprimenta a ultima que sobrou e sai. 28


c) Figura 21 – Diagrama do Problema-processo ou heurístico

7+6+5+4+3+2+1= 28


Figura 22 – Resoluções diferenciadas do Problema-processo ou heurístico


A maioria dos alunos acertou este problema, encontrando a solução sem

nenhuma dificuldade, utilizaram estratégias como: desenhos, tabelas representando

o número de apertos de mão de cada amigo citado no problema, outros construíram

esquemas representando o número de apertos de mão e uma aluna utilizou um

quadro representado pelos nomes e pelos amigos se cumprimentando. Na aplicação

do problema de quebra-cabeça, como são desafiantes, denominados de matemática

recreativa, usa-se a percepção, a lógica, para chegar à solução.

9) Como retirar 4 varetas e deixar somente 5 quadrados?

Figura 23 – Quadrado


Figura 24 – Resolução do Problema quebra-cabeça


Neste problema alguns alunos acertaram com representações diferenciadas,

na demonstração dos cinco quadrados. Apesar de ser um tipo de problema

recreativo, poucos alunos conseguiram visualizar, quais seriam as 4 varetas que

poderiam ser retiradas para que restassem 5 quadrados. Algumas duplas ficaram

até o final da aula para chegar à solução. Quando todos terminaram e entregaram

os problemas, um aluno foi ao quadro e demonstrou quais as varetas deveriam ser

retiradas. Alguns alunos ficaram surpresos que um problema que estava tão fácil e

ao mesmo tempo exigia um pouco mais de raciocínio lógico.

O próximo tipo de problema a ser implementado é o de aplicação, que está

relacionado a situações do dia a dia e necessitam da matemática para serem

resolvidos. Nesse contexto está à situação-problema que através dos procedimentos

matemáticos, procura-se matematizar uma situação real. Exigem pesquisa e

levantamentos de dados dentro de uma contextualização.

10) Os vinte e cinco alunos do 6º ano A, resolveram montar um projeto chamado

“Geometria colorida”. Eles construirão sólidos geométricos e através de um

concurso, elegerá o sólido mais bonito e mais original. Dois alunos ficaram

responsáveis para comprar os materiais da sala. Quantos reais serão necessários

para cada um contribuir? Para este tipo de problema ser resolvido, há a necessidade

de uma pesquisa e levantamentos de dados, realizados pelos alunos que ficaram

responsáveis pela pesquisa, e que foram discutidos na aula seguinte. Os

questionamentos foram realizados, observando as etapas que orientam a resolução.

A primeira etapa que é compreender o problema. Que tipo de papel será

utilizado? Qual é o custo do papel? Em que loja poderá comprar mais barato? Se

comprar uma maior quantidade, quanto terá de desconto na loja? Todos têm cola e

tesoura sem pontas? Quanto se deve comprar a mais de papel, caso algum

estrague? Qual será o custo total de todo o material? Observação: para responder

estas questões os alunos foram acompanhados de seus pais. Será questionado

também aos alunos sobre a origem do papel e a conscientização da proteção

ambiental. Uma pesquisa sobre a origem do papel foi sugerida para ser entregue na

próxima aula. A segunda etapa é elaborar um plano. Com as questões já aplicadas

na sala, faz-se o levantamento dos dados. O papel utilizado será a cartolina, sendo a

unidade no valor de R$ 0,80. Na loja Casa Z, o preço é de R$0,70, portanto mais

barato. Se comprar uma maior quantidade o desconto será de 5% sobre o total

gasto. Como todos os alunos têm tesoura e cola, não será necessário comprar. Na

produção dos sólidos geométricos, poderão estragar alguma cartolina, portanto

serão necessário pelo menos quatro cartolinas a mais. Com o resultado dos dados,

se efetua os cálculos matemáticos para saber o custo total dos materiais a serem

comprados. Se o papel custa R$0,80 e são vinte e cinco alunos, o total de cartolinas

será de R$ 20,00 mais quatro cartolinas extras que custam R$ 3,20 totalizando R$

23,20. A terceira etapa é colocar o plano em ação: 0.80 . 25 = R$20.00, sendo 4 .

0,80 = R$3,20, assim R$20.00 + R$3,20= R$23,20.

Comprando uma maior quantidade, terá um desconto de 5% totalizando

R$22,04. Mas na loja Casa Z, o preço das cartolinas foi de R$0,70 a unidade, assim

o valor será de: 0,70 . 25 = R$17,50, assim: 4 . 0,70 = R$ 2,80, portanto: R$ 17,50 +

R$ 2,80 = R$ 20,30. Tendo ainda o desconto de 5%, o valor total será aproximado

R$ 19,28. A quarta etapa é o retrospecto ou verificação: se cada cartolina custar

R$0,80, então: R$20,00 + R$3,20= R$23,20. Com 5% de desconto: 5/100. 23,20 =

116,00/100 = 1,16, então: 23,20 – 1,16 = 22,04. O total será de R$22,04. Na Casa Z

é 0,70, portanto mais barato, o preço será: R$17,50 + R$2,80 = R$20,30. Com o

desconto de 5%: 5/100. 20,30 = 101,50/100 = 1,015 assim, 20,30 – 1,015 = ~19,28.

portanto ficará mais barato na Casa Z, assim o 6º ano A irá economizar R$ 2, 76.

Figura 25 – Resoluções diferenciadas da situação-problema


Por ser esta uma situação-problema que vai matematizar uma situação real

em uma sala de aula, os alunos se interessaram muito em querer saber o resultado.

A maioria dos alunos resolveu sem dificuldades, mas alguns acharam um

pouco difícil e não acertaram os vários cálculos que a situação exigia. Sendo que um

cálculo se referia a uma livraria qualquer e o outro seria da Casa Z, os dois com

preços diferenciados e com desconto de 5%. A maior dificuldade de alguns alunos

foi em subtrair o valor de 5% do total encontrado. Mas o desenvolvimento dos alunos

foi ótimo, pois eles estavam conjecturando para chegar à solução.

O próximo tipo de problema implementado foi a proposta de Allevato (2008),

que utiliza a Resolução de Problemas como uma nova proposta na matemática.

Será proposto um problema gerador denominado de Soma de abdominais,

seguido da orientação de todas as etapas que irão nortear esta proposta, até a

estruturação do conteúdo a ser ainda formalizado. Após a resolução será entregue

os pareceres dos alunos. Onuchic e Allevato (2008) nesta nova proposta de

Resolução de Problemas sugerem estas etapas:

a) Preparação do problema: será escolhido um problema que leve à construção de

um novo conceito; b) Leitura individual: entregar aos alunos individualmente cópia do

problema e sugerir que façam a leitura; c) Leitura em conjunto: formar grupos e pedir

que façam novamente a leitura. Nesta etapa se o aluno tiver alguma dificuldade no

enunciado o professor ou professora poderá ajudar na interpretação; d) Resolução

do problema: esclarecidas as dúvidas, os alunos em grupos procuram resolver o

problema, com cooperação e colaboração, serão os co-construtores, pois

conduzirão ao conteúdo planejado pelo professor ou professora naquela aula; e)

Observar e incentivar: o professor (a) observa, é o mediador, incentiva a utilizarem

os seus conhecimentos já aprendidos, estabelece tempo para a troca de idéias, a

reflexão, a estruturar estratégias para a resolução e auxilia nos problemas

secundários (apoio) que possam ajudar na compreensão e também nos algoritmos

para que possam dar continuidade ao trabalho; f) Registro das resoluções na lousa:

um representante de cada grupo irá registrar a sua resolução na lousa, certa ou

errada e as diferentes estratégias que foram utilizadas; g) Plenária: com a

participação de todos os alunos serão discutidas todas as resoluções registradas na

lousa pelos colegas, onde defenderão as suas estratégias e esclarecerão as suas

dúvidas. Esta etapa é muito enriquecedora na aprendizagem; h) Busca do consenso:

após as discussões e esclarecimentos sobre as resoluções e soluções encontradas

nos problemas, toda a classe deve chegar a um acordo, a um resultado correto. i)

Formalização do conteúdo: o professor (a) registrará na lousa o conteúdo formal

(conceito) de forma estruturada e organizada, na linguagem matemática,

padronizando os princípios e procedimentos construídos através da resolução de

problema. Atividade sugerida por Allevato e Onuchic (2008)

1º) Preparação do problema: escolhe-se o problema gerador:

PROBLEMA GERADOR Figura 26 – Abdominais

Fonte: Allevato e Onuchic (2008)

SOMA DE ABDOMINAIS

11) Como parte de seu programa de ginástica, Beto decidiu fazer abdominais toda

manhã. Em 1º de abril ele fez dois abdominais; no dia 2 de abril fez quatro

abdominais, no dia 3 de abril ele fez seis e no dia 4 de abril fez oito. Suponha que

Beto tenha continuado a aumentar o número de abdominais a cada dia, seguindo

este padrão durante todo o mês de abril. Quantos abdominais ele fez no dia 15 de

abril? Quantos abdominais ele fez até o dia 15 de abril?

Esta proposta de problema propõe: a) uma leitura individual; b) após uma

releitura em grupo, com explicações sobre alguma dúvida que tiverem sobre a

interpretação; c) os alunos resolvem o problema em grupos, com esclarecimentos

sobre eventuais dúvidas que possam surgir; d) o professor (a) atua como mediadora

e incentivadora para que os alunos trabalhem em grupo e em colaboração, pois

serão construtores de um novo conceito de um novo conhecimento; e) após farão o

registro na lousa das soluções corretas ou não corretas realizadas por eles; f) em

seguida será realizada a plenária discussão sobre as resoluções colocadas pelos

colegas que poderão defender as suas estratégias desenvolvidas; g) a busca do

consenso: após as discussões, todos os alunos deverão chegar a um consenso,

concordando com a solução do problema; h) formalização do conteúdo: após todas

as resoluções, será colocado o conteúdo formal e será estruturado o conceito de

forma organizada na linguagem matemática, padronizando os procedimentos que

foram construídos durante a Resolução de Problemas.

Figura 27 – Resoluções diferenciadas do Problema gerador Soma de abdominais

Fonte: Autoria de três alunos (2013)

De acordo com esta proposta, alguns alunos tiveram opiniões diversificadas,

sendo que a maioria achou fácil, acertando o número de abdominais que foram

feitos no dia 15 de abril e até o dia 15 de abril. Utilizaram estratégias diferenciadas e

criativas como: tabelas e quadros. Mas alguns alunos não compreenderam quantos

abdominais foram feitos até o dia 15, havendo dificuldade na interpretação, mesmo

com a leitura individual e depois em grupo. Um aluno de cada equipe colocou a sua

resolução na lousa, foi analisada e discutida cada solução apresentada, sendo que

cada equipe explicou como chegou naquele resultado.

Figura 28 – Registro na lousa das resoluções do problema gerador Soma de abdominais

Fonte: Autoria de um aluno do 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º e 7º grupos (2013)

Após, chega-se a um consenso de qual seria a solução correta,

necessitando da atenção dos alunos para observar que o número de abdominais

aumentava de dois em dois. Houve então a formalização e estruturação dos

conteúdos Múltiplos e Divisores, padronizando os procedimentos que foram

construídos durante a Resolução de Problemas, especificando que eles não

aprenderam ainda estes conteúdos. Foram trabalhados os conceitos dos Conjuntos

dos Múltiplos e dos Divisores, salientando a observação que o menor Múltiplo de

todos os números é o zero e que no conjunto dos divisores, o zero não pode ser

inserido, pois não existe divisão por zero, explicitando que não há nenhum número

que vezes o zero resulta em um número natural. Mostrou-se também a relação entre

os Múltiplos, Divisores e os Números Primos.

Figura 29 – Conteúdos Múltiplos e Divisores, formalizado e estruturado


Conclusão

Após o início da Implementação na escola, este projeto foi discutido no GTR,

com a participação de diversos professores de vários locais, que interagiram nas

questões propostas para o grupo, em relação à forma de ter sido trabalhado até

agora a Resolução de Problemas e as dificuldades que encontravam em sala de

aula ao observarem os alunos resolverem um problema. Estes professores

aplicaram também nas suas aulas de matemática, a proposta deste projeto,

concordando com a necessidade de explicitar aos alunos a diferença entre exercício

e problema e aplicar todo o contexto que envolve a Resolução de Problema, o que

antes não era trabalhado desta forma, e percebiam a falta de interesse dos alunos.

Relataram que, com este projeto que pontua a Resolução de Problemas

como uma metodologia, poderia contribuir na aprendizagem dos alunos em sua

escola, pois puderam perceber diferenças na forma com que os alunos começaram

a compreender e a desenvolver os problemas. Com a Implementação do projeto no

6º B, percebe-se um novo olhar dos alunos ao resolverem um problema, na

interpretação do enunciado, na tradução da linguagem usual para a matemática, nas

etapas que permeiam a resolução e nas diversas estratégias que elaboraram para

resolverem estes problemas. As questões pertinentes que ajudam a orientar a

reflexão dos alunos, durante a resolução, facilitou a compreensão, como também na

escrita dos pareceres a serem entregues, sendo que a maioria chegou à solução.

Desta maneira, não se pode enquanto professores trabalhar os conteúdos

inserindo problemas apenas como atividades a serem resolvidas e sim conceituar,

enumerar as etapas, os tipos de problemas e explicitar todo o contexto que envolve

a Resolução de Problemas para os alunos, para que estes interpretem corretamente

os enunciados, traduzam a linguagem usual para a linguagem matemática e

desenvolvam conjecturas, estratégias, fornecendo subsídios para que aprimorem o

raciocínio lógico, para a sua formação humana.

Devemos refletir sobre a função do professor (a) na prática pedagógica, e

trabalhar as dificuldades que estes alunos têm durante a Resolução de Problemas,

sendo esta uma contribuição para transformar o ensino e a aprendizagem da

Matemática. Vimos que a forma com que os problemas foram trabalhados até agora,

não promove a reflexão, a crítica e a construção de estratégias.

Assim devemos continuar trabalhando todo o contexto que envolve esta

metodologia que é a Resolução de Problemas como também a nova proposta

pontuada neste trabalho que por meio da Resolução de Problemas é trabalhado o

conteúdo que o aluno não aprendeu ainda, para depois ser estruturado e

formalizado, instigando a interação, a participação, promovendo o desenvolvimento

intelectual do aluno, para que este, na sua formação futura possa atuar na

sociedade como ser pensante, crítico e reflexivo nas suas ações.

REFERÊNCIAS ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Diferentes Olhares em Resoluções de Problemas no Brasil e no Mundo. In: I SEMINÁRIO EM RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS, Rio Claro: SP. Unesp, out. 2008. Disponível em: <http://www.rc.unesp.br/serp/apresentacoes/diferentes_olhares_norma_allevato.pdf> Acesso em: 3 out. 2012. BUTTS, T. Formulando problemas adequadamente. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. p. 32-48. COSTA, Manuel dos Santos; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. O que pensam (futuros) professores de Matemática sobre a metodologia de ensino-aprendizagem-avaliação através de resolução de problemas. Perspectivas da Educação Matemática: revista do Programa de Mestrado em Educação Matemática da UFMS / Universidade Federal do Mato Grosso do Sul. – n. 8, v 4 (2008). Campo Grande. MS: A. Universidade, 2011. p. 8-13. DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática. 3. ed. São Paulo: Ática, 1991. ______. Resolução de Problemas. In: PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática. Paraná: 2008. p.63. DAVIS, E. J; MCKILLIP, W. D. Aperfeiçoando a resolução de problemas-história na matemática da elementary school. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. p. 114-130. KANTOWSKI, M. G. Algumas considerações sobre o ensino para a resolução de problemas. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. p. 270-282. ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. O Ensino de Matemática: mudanças no ensino, na aprendizagem, na avaliação e no uso da tecnologia. In: GTER (UNESP/SP) e GPRPEM (UEPB/PB) UNESP, Rio Claro: 2008. Disponível em: <http:// lourdesonuchic.blogspot.com.br>. Acesso em: 06 de out. 2013. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Departamento de Ensino de Primeiro Grau. Currículo Básico para a Escola Pública do Paraná. Curitiba: SEED, 1990. p. 66-67.

POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Tradução de Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: interciência, 1995. 196 p. Tradução de: How to solve it.

______. Sobre a resolução de problemas de matemática na high school. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. p.1-3.

______. Resolução de Problemas. In: PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática. Paraná: 2008. p. 63.

SCHOENFELD, A. H. Heurísticas na sala de aula. In: KRULIK, S.; REYS, R. E. (Org). A resolução de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. p. 13-31. SMOLE & DINIZ. Resolução de Problemas. In: PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática. Paraná: 2008. p. 63.

Documents

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS - diaadiaeducacao.pr.gov.br · Após estas definições, pode-se então acrescentar que, de acordo com Polya (19954), “Uma grande descoberta resolve um