Resumo Mat

Prova 635 • Página 6/ 12

6. Na Figura 2, estão representados, num referencial o. n. xOy , uma circunferência e o triângulo [OAB ]

Sabe-se que:

• O é a origem do referencial;

• a circunferência tem centro no ponto O e raio 1

• A é o ponto de coordenadas (-1, 0)

• B pertence à circunferência e tem ordenada negativa;

• o ângulo AOB tem amplitude igual a 32p radianos.

�

�

�

� �

��

Qual é a área do triângulo [OAB ] ?

(A) 43

(B) 21

(C) 41

(D) 3

7. Sejam k e p dois números reais e sejam z k p i z p k i3 2 3 4 2 5e= + + = − + −1 2^ _ ^h i h dois números complexos.

Quais são os valores de k e de p para os quais z1 é igual ao conjugado de z2 ?

(A) 1 3k pe= − =

(B) 1 3k pe= =

(C) k p0 2e= = −

(D) k p1 3e= = −

Heaven

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Prova 635.V1/1.ª F. • Página 8/ 8

6. Na Figura 5, está representado um trapézio retângulo [ABCD]

Sabe-se que:

• BC 1=

• 1CD =

• a é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC

• ,2!a r r;E

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

6.1. Mostre que o perímetro do trapézio [ABCD] é dado, em função de a , por sencosP 3 1aaa= + -^ h

6.2. Para um certo número real i , tem-se que tg 82

, com 1 1i r i r=-

Determine o valor exato de P il^ h

Comece por mostrar que sencosP 12

aaa= −l^ h

FIM

COTAÇÕES

GRUPO I

1. a 8. ................................................ (8 × 5 pontos) ..................... 40 pontos

40 pontosGRUPO II

1. 1.1. ........................................................................................... 15 pontos1.2. ........................................................................................... 15 pontos

2. 2.1. ........................................................................................... 15 pontos2.2. ........................................................................................... 10 pontos

3. .................................................................................................... 15 pontos4.

4.1. ........................................................................................... 15 pontos4.2. ........................................................................................... 15 pontos

5. 5.1. ........................................................................................... 15 pontos5.2. ........................................................................................... 15 pontos

6. 6.1. ........................................................................................... 15 pontos6.2. ........................................................................................... 15 pontos

160 pontos

TOTAL ................................... 200 pontos

A B

D C

Figura 5

Prova 635.V1 • Página 7/ 13

5. Para um certo número real positivo, k, a função g definida em por

g x

xx

x

k x x

( )

sen

ln( )

=>

− ≤

30

0

se

se

é contínua.

Qual é o valor de k ?

(A) e3 (B) e3 (C) e—3

(D) 3e

6. Na Figura 2, está representado, num referencial o. n. xOy, o círculo trigonométrico.

��

�

�

� �

� �

��

Sabe-se que:

• C é o ponto de coordenadas (1, 0)

• os pontos D e E pertencem ao eixo Oy

• [AB ] é um diâmetro do círculo trigonométrico

• as rectas EA e BD são paralelas ao eixo Ox

• q é a amplitude do ângulo COA

• θπ∈

02

,

Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na Figura 2?

(A) 2 (cos q + senq)

(B) cos q + sen q

(C) 2 (1 + cos q + sen q)

(D) 1 + cos q + sen q

Heaven

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Prova 635.V1/2.ª F. • Página 8/ 8

6. Na Figura 4, está representado o quadrado [ABCD]

Sabe-se que:

• AB 4=

• AE AH BE BF CF CG DG DH= = = = = = =

• x é a amplitude, em radianos, do ângulo EAB

• ,x 0 4! r ;E

6.1. Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por 16 tga x x1= −^ ^h h

6.2. Mostre que existe um valor de x compreendido entre 12 5

er r para o qual a área da região sombreada é 5

Se utilizar a calculadora em eventuais cálculos numéricos, sempre que proceder a arredondamentos, use duas casas decimais.

FIM

COTAÇÕES

GRUPO I

1. a 8. .................................................(8 × 5 pontos) ...................... 40 pontos

40 pontos

GRUPO II1.

1.1. ............................................................................................. 15 pontos1.2. ............................................................................................. 15 pontos

2. 2.1. ............................................................................................. 15 pontos2.2. ............................................................................................. 15 pontos

3. ...................................................................................................... 15 pontos4.

4.1. ............................................................................................. 10 pontos4.2. ............................................................................................. 15 pontos4.3. ............................................................................................. 20 pontos

5. ...................................................................................................... 15 pontos6.

6.1. ............................................................................................. 10 pontos6.2. ............................................................................................. 15 pontos

160 pontos

TOTAL ..................................... 200 pontos

D C

A B

G

E

FH

Figura 4

Teste Intermédio de Matemática A - 11.º Ano - Versão 1 - Página 2

GRUPO I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.

• Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.

• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letracorrespondente à opção que seleccionar para responder a esse item.

• .Não apresente cálculos, nem justificações

• Se apresentar mais do que uma opção, ou se a letra transcrita for ilegível, a resposta seráclassificada com zero pontos.

1. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço

grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo SB

Em qual das figuras esse ângulo pode ter radianos de amplitude?$

(A) (B) (C) (D)

2. Considere a equação trigonométrica senB œ ! ",

Em qual dos intervalos seguintes esta equação tem solução?não

(A) (B) ’ ’� !1 1

# #ß ß“ “ 1

(C) (D) ’ ’!ß ß1 1 1

' ' #“ “

3. Considere, num referencial o.n. , as rectas e , definidas, respectivamente, por:BSC < =

< À ÐBß CÑ œ Ð"ß $Ñ � 5Ð#ß !Ñ ß 5 − = À C œ B � "‘$%

Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às

unidades)?

(A) (B) (C) (D) $( $* %" %$° ° ° °

Heaven

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Heaven

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4. Considere, num referencial o.n. , a recta e o plano , definidos,SBCD < α

respectivamente, por:

< À B œ œ À $ B � D œ !C

# $D

α

Qual é a intersecção da recta com o plano ?< α

(A) (B) É o ponto É o ponto Ð!ß #ß $Ñ Ð!ß !ß !Ñ

(C) (D) É o conjunto vazio. É a recta <

5. Considere o seguinte problema de Programação Linear:

Um agricultor tem um terreno com 100 hectares, onde pretende semear centeio e

tomate.

Devido a problemas de regadio, não pode semear mais do que 30 hectares de tomate.

Cada hectare de centeio dá um lucro de 800 euros e cada hectare de tomate dá um

lucro de 1000 euros.

Quantos hectares de centeio e quantos hectares de tomate deve o agricultor semear, de

modo a obter o maior lucro possível?

Seja o número de hectares de centeio e seja o número de hectares de tomate.B C

Em qual das figuras seguintes está representada a região admissível deste problema e

nela assinalado o vértice correspondente à solução?W

(A) (B)

(C) (D)

Heaven

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Heaven

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GRUPO II

• Nas respostas aos itens deste grupo, apresente que tiver de efectuar etodos os cálculos

todas as justificações necessárias.

• : quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre oAtenção

valor exacto.

1. Na figura 1, está representado o quadrado de lado ÒEFGHÓ #

Figura 1

Considere que um ponto se desloca ao longo do lado , nunca coincidindo com oT ÒGHÓ

ponto , nem com o ponto G H

Para cada posição do ponto , seja a amplitude, em radianos, do ângulo T B FET

Œ B − Ó Ò1 1

% #ß

Resolva os três itens seguintes, sem recorrer à calculadora, a não ser para efectuar

eventuais cálculos numéricos.

1.1. Mostre que a área da região sombreada é dada por % �#Btg

1.2. Determine o valor de para o qual a área da região sombreada é B"#�# $

$

È

1.3. Para um certo valor de , sabe-se que B B � œ � cosŠ ‹1

# "("&

Determine, para esse valor de , a área da região sombreada.B


2. Na figura 2, está representada, num referencial o.n. , a circunferência de equaçãoBSC ÐB � %Ñ � ÐC � "Ñ œ #&# #

O ponto é o centro da circunferência.G

2.1. O ponto , de coordenadas ,E !ß � # ( )

pertence à circunferência.

A recta é tangente à circunferência no>

ponto E Determine a equação reduzida da recta >

Figura 2

2.2. e são dois pontos da circunferência. A área da região sombreada é T U#&'1

Determine o valor do produto escalar ��

GT Þ GU��

3. Na figura 3, está representada, num referencial o.n. , uma pirâmide quadrangularSBCD

regular cuja base está contida no plano ÒEFGHZ Ó BSC

Sabe-se que:

• o ponto pertence ao eixo E SB

• o ponto tem coordenadas F Ð&ß $ß !Ñ

• o ponto pertence ao plano de equaçãoZ

D œ '

• é uma equação do'B � ")C � &D œ #%

plano EHZ

• é uma equação do")B � 'C � &D œ (#

plano EFZ

3.1. Determine o volume da pirâmide.

Figura 3

3.2. Determine as coordenadas do ponto ,Z sem recorrer à calculadora.

3.3. Seja o ponto de coordenadas W Ð � "ß � "&ß &Ñ

Seja a recta que contém o ponto e é perpendicular ao plano < W EHZ

Averigúe se a recta contém o ponto < F

FIM


GRUPO I


• Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.

• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letracorrespondente à opção que seleccionar para responder a esse item.


• Se apresentar mais do que uma opção, ou se a letra transcrita for ilegível, a resposta seráclassificada com zero pontos.

1. Seja a função cujo gráfico está0

representado na figura 1.

Seja a função inversa da função 0 0�"

Qual é o valor de ?0Ð � %Ñ � 0 Ð#Ñ

�"

Figura 1

(A) (B) (C) (D)� # ! " #

2. Sejam e duas funções reais de variável real.0 1

Sabe-se que: • a função tem domínio e tem cinco zeros;0 ‘ • a função tem domínio e tem três zeros;1 ‘ • um, e só um, dos zeros da função também é zero da função 0 1

Quantos zeros tem a função ?0

1

(A) (B) (C) (D)( & % #

Heaven

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3. Seja a função cujo gráfico está0

representado na figura 2.

Seja a função, de domínio , definida1 ‘

por

1ÐBÑ œ � B � $

Qual é o valor de ?Ð1 ‰ 0ÑÐ$Ñ

(o símbolo designa a composição de funções)‰

Figura 2

(A) (B) (C) (D)� " ! " #

4. Na figura 3, está representado um triângulo rectângulo

ÒEFGÓ $ % & cujos lados medem , e

Considere que um ponto se desloca ao longo doH

cateto , nunca coincidindo com o ponto ÒEFÓ E

Para cada posição do ponto , seja o comprimentoH B

do segmento de recta ÒEHÓ

Qual das expressões seguintes dá o perímetro do

triângulo , em função de ?ÒEGHÓ B Figura 3

(A) (B)B � % � #& � B B � & � #& � BÈ È# #

(C) (D)B � % � B � 'B � #& B � & � B � 'B � #&È È# #

5. Seja um diâmetro de uma esfera de centro e raio ÒEFÓ G %

Qual é o valor do produto escalar ?��

GE ÞGF��

(A) (B) (C) (D)"' � "' % # #È È� %

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Heaven

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GRUPO II

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente que tiver de efectuar etodos os cálculos


Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre ovalor exacto.

1. Na figura 4, está representada, num referencial o.n. , parte de um plano SBCD EFG

Figura 4

Cada um dos pontos , e pertence a um eixo coordenado.E F G

O plano é definido pela equação EFG 'B � $C � %D œ "#

Seja a recta que passa no ponto e é perpendicular ao plano < E EFG

Determine uma equação vectorial da recta <

2. Considere, num referencial o.n. , a superfície esférica , de equaçãoSBCD I

B � C � D � # œ %# # #� �

Para um certo valor de pertencente ao intervalo , o ponto , deα Ó Ò! ß T1

#

coordenadas , pertence à superfície esférica Ðtg sen cosα α αß ß # � Ñ I

Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto T


3. Num certo ecossistema habitam as espécies animais A e B.

Admita que, anos após o início do ano 2009, o número de animais, em , da> milhares

espécie A é dado aproximadamente por

+Ð>Ñ œ > !"" >� '>�"

� �

e que o número de animais, em , da espécie B é dado aproximadamente pormilhares

,Ð>Ñ œ > !>� *>�$

� �

Resolva os dois itens seguintes, .usando exclusivamente métodos analíticos

3.1. Desde o início do ano 2009 até ao início do ano 2010, morreram animais da&!!

espécie A.

Determine quantos animais dessa espécie nasceram nesse intervalo de tempo.

3.2. Na figura 5, estão representadas

graficamente as funções e + ,

Tal como estes gráficos sugerem, a

diferença entre o número de animais

da espécie A e o número de animais

da espécie B vai aumentando, com o

decorrer do tempo, e tende para um

certo valor.Figura 5

Determine esse valor, recorrendo às assimptotas horizontais dos gráficos das

funções e cujas equações deve apresentar.+ ,,


4. Considere:

• a função , de domínio , definida por0 ÏÖ!× 0ÐBÑ œ $ �‘

'B

• a função , de domínio , definida por1 1ÐBÑ œ B � $B � )B � $‘

"$

$ #

Resolva os itens , , e .4.1. 4.2. 4.3. usando exclusivamente métodos analíticos

Nota: a calculadora pode ser utilizada em cálculos numéricos.

4.1. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação

0ÐBÑ Ÿ &

Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

4.2. Seja o ponto do gráfico da função que tem abcissa igual a T 0 #

Seja a recta tangente ao gráfico da função no ponto < 0 T

Determine a equação reduzida da recta <

4.3. Na figura 6, está representada, num referencial

o.n. , parte do gráfico da função BSC 1

Os pontos e pertencem ao gráfico daE F

função , sendo as suas ordenadas,1

respectivamente, o máximo relativo e o mínimo

relativo desta função.

Os pontos e pertencem ao eixo G H SB.

A abcissa do ponto é igual à do ponto e aG F

abcissa do ponto é igual à do ponto H E

Determine a área do triângulo ÒSEGÓ

Figura 6

4.4. A equação tem exactamente duas soluções, sendo uma delas0ÐBÑ œ 1ÐBÑ

positiva e a outra negativa.

Determine a solução positiva, utilizando as capacidades gráficas da sua

calculadora.

Apresente essa solução arredondada às centésimas.

Apresente o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora e assinale o ponto relevante

para a resolução do problema.

FIM

3. Admita que a variável peso, expressa em gramas, das maçãs de um pomar é bem modelada por uma

distribuição normal N (60;�5), em que 60 é o valor médio e 5 é o valor do desvio-padrão da distribuição.

Retira-se, ao acaso, uma dessas maçãs.

Considere os acontecimentos:

A : «o peso da maçã retirada é superior a 66 gramas»

B : «o peso da maçã retirada é inferior a 48 gramas»

Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) P(A) =�P(B) (B) P(A) <�P(B)

(C) P(B) <�P(A) (D) P(A) +�P(B) =�1

4. Seja a um número real maior do que 1.

Qual dos seguintes valores é igual a 2 loga ?

(A) (B) (C) (D)

5. Na figura 1, está representada parte do gráfico de uma função f de domínio .

Fig. 1

A recta t, de equação , é assimptota do gráfico de f quando x tende para – ∞ .

Qual é o valor do ?

(A) −1 (B) 0 (C) 1 (D) +∞

( )lim ( )x

f x x→−∞

+ + 1

y x= − − 1

�

�

�

�

�

] [ – ,∞ 2

23

13

– 13

– 23

a13


7. Na Figura 4, estão representados, num referencial o.n. xOy , uma circunferência e o triângulo [OAB ].

Sabe-se que:

• a circunferência tem diâmetro [OA];

• o ponto A tem coordenadas (2, 0);

• o vértice O do triângulo [OAB ] coincide com a origem do referencial;

• o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência superior.

Figura 4

Para cada posição do ponto B, seja α a amplitude do ângulo AOB, com

Resolva os dois itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

7.1. Mostre que o perímetro do triângulo [OAB ] é dado, em função de α , por

7.2. Determine o valor de α para o qual o perímetro do triângulo [OAB ] é máximo.

FIM

( ) ( cos sen )f = 2 1 + +α α α

,πα

∈ 0 2

O A

B

1

y

α

x


4. Considere a função f , de domínio , definida por , e a função g , de

domínio R , definida por (ln designa logaritmo de base e ).

Indique as soluções inteiras da inequação , recorrendo às capacidades gráficas da sua

calculadora.

Para resolver esta inequação, percorra os seguintes passos:

• visualize as curvas representativas dos gráficos das duas funções;

• reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvas visualizadas na calculadora;

• assinale, ainda, os pontos A e B, de intersecção dos gráficos das duas funções, indicando as suas

coordenadas, com aproximação às décimas.

5. Na figura 4 estão representadas duas rectas paralelas, a recta AB (em que A e Bsão pontos fixos) e a recta s.

O ponto S é um ponto móvel, deslocando-se ao longo de toda a recta s.

Para cada posição do ponto S , seja x a amplitude, em radianos, do ângulo BASe seja a(x) a área do triângulo [ABS ].

Apenas um dos seguintes gráficos pode representar a função a.

Numa composição, explique por que razão cada um dos outros três gráficos não

pode representar a função a.

Fig. 4

��

� �

�

��

�

�

��

� �

�

�

��

� �

�

�

�

�

�

��

�

f x g x( ) > ( )

g x x( ) = − 2

ln xf xx

(2 + 1)( ) =2 + 1 , 1 − + ∞ 2


Heaven

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6. Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera.

A Figura 6 e a Figura 7 representam dois cortes do mesmo depósito, com alturas de combustível distintas.

Os cortes são feitos por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.

Figura 6 Figura 7

Sabe-se que:

• o ponto O é o centro da esfera;

• a esfera tem 6 metros de diâmetro;

• a amplitude θ, em radianos, do arco AB é igual à amplitude do ângulo ao centro AOB correspondente.

A altura , em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de θ , por h , de

domínio

Resolva os itens seguintes, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

6.1. Mostre que , para qualquer

6.2. Resolva a condição

Interprete o resultado obtido no contexto da situação apresentada.

FIM

( ) , ] , [h θ θ π= 3 ∈ 0

] , [θ π∈ 0( ) cos( )h θ θ= 3 − 3

[ , ]π0AC

O

A

BC

θ

A

B

O

C θ


Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2

Grupo I

• Os sete itens deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada um deles, são indicadas quatro alternativas de resposta, das quais só umaestá correcta.

• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada questão.

• Se apresentar mais do que uma letra, o item será anulado, o mesmo acontecendo se aletra transcrita for ilegível.


1. Na figura estão representados:

• um quadrado ÒEFGHÓ

• uma semi-recta GH†

Admita que um ponto , partindo de , se desloca, a velocidade constante, ao longoT F

do percurso sugerido pelas setas (primeiro percorre o segmento e seguidamenteÒFGÓ

a semi-recta ).GH†

Qual dos gráficos seguintes dá a distância , do ponto ao ponto , em função do. T E

tempo , contado a partir do instante em que inicia o seu movimento?> T

(A) (B)

(C) (D)

Heaven

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2. Na figura estão representadas:

• parte do gráfico de uma função quadrática ;0

• parte do gráfico de uma função afim .1

Qual dos seguintes conjuntos pode ser o

conjunto solução da inequação ?0ÐBÑ1ÐBÑ Ÿ !

(A) (B) Ó �∞ß � % Ò ∪ Ò � #ß ! Ò Ó �∞ß � % Ó ∪ Ó � #ß ! Ó

(C) (D) Ó � %ß � # Ó ∪ Ó !ß �∞ Ò Ò � %ß � # Ò ∪ Ò !ß �∞ Ò

3. Na figura 1 está representada graficamente a função .0 Na figura 2 está representada graficamente a função .1

Figura 1 Figura 2

Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

(A) (B) 1ÐBÑ œ � 0ÐB � "Ñ � " 1ÐBÑ œ 0ÐB � "Ñ � "

(C) (D)1ÐBÑ œ 0ÐB � "Ñ � " 1ÐBÑ œ � 0ÐB � "Ñ � "

4. De uma função quadrática sabe-se que o conjunto solução da inequação 0 0ÐBÑ !

é o intervalo .Ò" & Ó, Qual é o contradomínio de ?0

(A) (B) Ó �∞ 0Ð"ÑÓ Ò 0Ð&Ñß �∞ Ò,

(C) (D)Ò0Ð$Ñ �∞Ò Ó �∞ 0Ð$ÑÓ, ,

Heaven

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Heaven

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5. Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo .ÒSTVÓ

O ponto desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante.T O ponto desloca-se ao longo do eixo , de tal modo que o triângulo éV SB ÒSTVÓ

sempre isósceles.

Sendo a amplitude, em radianos, do ângulo , qual das expressões seguintesα VSTdá a do triângulo , em função de ?área ÒSTVÓ α

(A) (B) sen senα α α αÞ Þcos cos# Þ

(C) (D) " � " �sen senα α α αÞ

# #Þcos cos� �

6. Da amplitude de um certo ângulo orientado sabe-se que e .α α αcos � ! � ! tg

Qual das expressões seguintes dá o valor de ?senα

(A) (B) È È" � " �cos cos# #α α�

(C) (D)È È" � � " �cos cos# #α α

7. Sabe-se que é uma solução da equação " ‘− B œ sen"&

Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação ?cosB œ �"&

(A) (B) 1 � �" "

1

#

(C) (D)� �" "1

#

Heaven

Highlight

Heaven

Highlight

Heaven

Highlight


Grupo II

Nos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos

que tiver de efectuar e necessárias.todas as justificações

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o

exacto.

1. Considere a função , de domínio , definida por 0 ÏÖ"× 0ÐBÑ œ # �‘"

"�B

1.1. Sem recorrer à calculadora, determine o conjunto dos números reais taisBque

0ÐBÑ Ÿ � "

Apresente a resposta final na forma de intervalo (ou união de intervalos).

1.2. O gráfico da função tem duas assimptotas. Escreva as suas equações.0

2. Um agricultor deseja semear trigo e milho numa área não superior a 160 hectares.

Pretende semear pelo menos 50 hectares de trigo e pelo menos 30 hectares de milho.

Sabe-se que

o custo de produção de um hectare de trigo é euros,• " &!! o custo de produção de um hectare de milho é euros,• " !!!

e que

cada hectare de trigo dá um lucro de euros,• '!! cada hectare de milho dá um lucro de euros.• &!!

Sabendo ainda que o agricultor não pode investir mais do que euros nesta#!! !!!produção, quantos hectares de trigo e quantos hectares de milho deve o agricultor semear

de modo que tenha um lucro máximo?

3. Na figura está representado um rectângulo .ÒEFGHÓ

Mostre que o produto escalar é igual a ��

EF ÞEG EF#


4. Na figura está representada, em referencial

o.n. , uma pirâmide regular.SBCD

Sabe-se que:

• a base é um quadrado de áreaÒVWXY Ó% com centro na origem do referencial;

• a aresta é paralela ao eixo ;ÒVWÓ SC

• , , o vértice tem coordenadas .Z ! ! #� �

4.1. Mostre que a recta definida pela condição é perpendicularB œ ! • C œ # Dao plano e escreva uma equação deste plano.WXZ

4.2. Considere agora um ponto que se desloca ao longo do segmento ,T ÒSZ Ónunca coincidindo com o ponto , nem com o ponto .S Z

Para cada posição do ponto Tconsidere o cilindro tal que:

• a base inferior do cilindro tem

centro na origem do referencial eestá contida no plano ;BSC

• a base superior do cilindro tem

centro no ponto e está inscritaTno quadrado que é a secçãoproduzida na pirâmide pelo planoparalelo ao plano que passaBSCno ponto .T

Seja a cota do ponto e seja a função que dá o volume do cilindro, emD T 0 função de .D

4.2.1. Justifique que o domínio da função é o intervalo e que0 Ó !ß # Ò

0ÐDÑ œ � D � D1Œ D$

%#

4.2.2. Considere o seguinte problema: Entre que valores deve variar a cota do ponto de tal modo que oT

volume do cilindro seja superior à quinta parte do volume dapirâmide?

Traduza o problema por meio de uma inequação e, utilizando a suacalculadora, resolva-a .graficamente

Apresente os valores pedidos arredondados às milésimas. Apresente na sua resposta os elementos recolhidos na utilização da

calculadora: gráficos e coordenadas relevantes de alguns pontos.

FIM


Grupo I

• As sete questões deste grupo são de escolha múltipla.

• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letra

seleccionar para responder a cada questão.

• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo

acontecendo se a letra transcrita for ilegível.


1. Para um certo valor de e para um certo valor de , a expressão+ ,

0ÐBÑ œ + � 0"

B� , define a função cujo gráfico está parcialmente representado

na figura.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

(A) (B)+ � ! • , � ! + � ! • , � !

(C) (D)+ � ! • , � ! + � ! • , � !

Heaven

Highlight


2. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação B � "

#�B

#

� !

(A) (B) (C) (D)Ó � "ß # Ò Ó "ß # Ò Ó �∞ß # Ò Ó #ß �∞Ò

3. Considere as seguintes funções:

definida pela tabela 0 À Ö"ß #ß $× Ä Ö"ß #ß $×B " # $0ÐBÑ $ " #

definida por 1 À Ä 1ÐBÑ œ #B � "‘ ‘

cujo gráfico é2 À Ò!ß %Ó Ä Ö"ß #ß $×

Indique o valor de 0 Ð#Ñ � 1 ‰ 2 Ð # Ñ�" � � È

(A) (B) (C) (D)% & ' (

4. Considere a função , de domínio , definida por 0 0ÐBÑ œ " � B‘#

Seja a recta tangente ao gráfico de no ponto de abcissa > 0"

#

Qual é a inclinação da recta ?>

° ° ° °(A) (B) (C) (D)$! %& "$& "&!

Heaven

Highlight


5. Na figura estão representados dois

vectores, e , de normas��

EH EI

"# "& e , respectivamente.

No segmento de recta estáÒEHÓ

assinalado um ponto .F

No segmento de recta estáÒEIÓ

assinalado um ponto .G

O triângulo é rectângulo eÒEFGÓ

os seus lados têm , e $ % &

unidades de comprimento. Indique o valor do produto escalar

�� EH Þ EI

(A) (B) (C) (D) "!) "#) "$% "%%

6. Indique as soluções da equação que pertencem ao intervalo & � # B œ ' Ò!ß # Ócos 1

(A) (B)1 1 1 1

$ $ $ $

% & e e

(C) (D)1 1 1 1

' ' ' '

( "" e e

7. Na figura junta está representada a região

admissível de um problema de Programação

Linear. Esta região corresponde ao sistema

ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ

B !C !B Ÿ &C Ÿ '#B � C Ÿ "#

Qual é o valor máximo que a função objectivo, definida por , pode alcançarD œ B � C

nesta região?

(A) (B) (C) (D) ( * "" "$

Heaven

Highlight

Heaven

Highlight

Heaven

Highlight


Grupo II

Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os

cálculos todas as justificações que tiver de efectuar e necessárias.

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o

exacto.

1. Durante os ensaios de um motor, a velocidade de rotação do seu eixo variou, ao longo dos

primeiros oito minutos da experiência, de acordo com a função

@Ð>Ñ œ > � "& > � '$ >$ #

onde designa o tempo (medido em minutos), contado a partir do início da experiência, e>@Ð>Ñ designa a velocidade de rotação do eixo do motor (medida em de rotações porcentenas

minuto).

1.1. , a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos,Sem recorrer à calculadora

determine qual foi a velocidade máxima atingida, nos primeiros oito minutos da

experiência. Apresente o resultado em centenas de rotações por minuto.

1.2. Recorrendo às , determine durante quanto capacidades gráficas da calculadora

tempo é que, a velocidade de rotaçãonos primeiros oito minutos da experiência, do

eixo do motor foi superior a rotações por minuto. Escreva o ' !!! resultado final em

minutos e segundos (com o número de segundos arredondado às unidades).

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente

o gráfico, ou gráficos, obtidos, bem como as coordenadas dos pontos relevantes para a

resolução do problema (apresente as ). abcissas com duas casas decimais

2. Considere, em referencial o.n. , o ponto SBCD T Ð!ß %ß $Ñ

2.1. Seja o plano que contém α o ponto e é perpendicular à recta de equaçãoT

vectorial ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß "ß � $Ñ � 5 Ð"ß !ß #Ñß 5 − ‘

Determine a área da secção produzida pelo plano na esfera definida pela condiçãoα

ÐB � #Ñ � ÐC � "Ñ � ÐD � %Ñ Ÿ $# # # .

Sugere-se que:

• Determine uma equação do plano .α

• Mostre que o centro da esfera pertence ao plano .α

• Atendendo ao ponto anterior, determine a área da secção.

2.2. Admita que um ponto se desloca ao longo do semieixoUpositivo , nunca coincidindo com a origem doSD Sreferencial.

Seja a função que faz corresponder, à cota do ponto0 DU ÒSTUÓ, o perímetro do triângulo .

2.2.1. Mostre que 0ÐDÑ œ D � & � D � 'D � #&È #

2.2.2. Sem recorrer à calculadora, determine a cota do

ponto de modo que o perímetro do triânguloUÒSTUÓ "' seja igual a .


3.

3.1. Na figura junta estão representados, em

referencial o. n. :BSC

• o círculo trigonométrico

• a recta , de equação < B œ "

• o ângulo, de amplitude , que tem por ladoα

origem o semieixo positivo e por ladoSBextremidade a semi-recta SE

Þ

• o ponto , intersecção do prolongamento daFsemi-recta com a recta .SE <

Þ

Como a figura sugere, a ordenada de é F )È

Sem recorrer à calculadora, determine o valor

de

& � � # $ �sen cosŠ ‹ � �1

#α 1 α

3.2. Considere agora um ponto , do primeiroTquadrante (eixos não incluídos), pertencente à

circunferência de centro na origem e raio 1.

Sejam as coordenadas do ponto .Ð<ß =Ñ T

Seja a recta tangente à circunferência no>ponto .T

Seja o ponto de intersecção da recta comU >o eixo .SB

Prove que a abcissa do ponto é U"

<

FIM


Grupo I



• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada item.

• Se apresentar mais do que uma letra, o item será anulado, o mesmo acontecendo se aletra transcrita for ilegível.


1. Num referencial o. n. , sejam e os planos definidos pelas equações:SBCD α "

α "À B � C � D œ " À #B � #C � #D œ " e

A intersecção dos planos e éα "

(A) (B) o conjunto vazio um ponto

(C) (D) uma recta um plano

2. Na figura está representado um triângulo com dois ângulos de amplitude e umÒEFGÓ α

ângulo de amplitude ."

Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições?

(A) (B) cos cos " "œ œsen Ð# Ñ Ð# Ñα α cos

(C) (D) cos cos " "œ � œ �sen Ð# Ñ Ð# Ñα α cos

3. Seja um valor pertencente ao intervalo ) Ó Ò1

#ß 1

Qual das expressões seguintes designa um número real positivo?

(A) (B) cos cos) ) ) )� ‚sen sen

(C) (D) sen tg sen tg) ) ) )‚ �


4. Considere a equação " � $ tg Ð#BÑ œ %

Qual dos seguintes valores é solução desta equação?

(A) (B) (C) (D) �1 1 1 1

) ) ) )

$ & (

5. Considere o seguinte problema:

Uma frutaria confecciona dois tipos de bebidas com sumo de laranja e sumo de manga.

Bebida X : com um litro de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga.

Bebida Y : com dois litros de sumo de laranja por cada litro de sumo de manga.

Para confeccionar estas bebidas, a frutaria dispõe diariamente de 12 litros de sumo de

laranja e de 10 litros de sumo de manga. Cada litro de bebida X dá um lucro de 4 euros e

cada litro de bebida Y dá um lucro de 5 euros. Supondo que a frutaria vende diariamente

toda a produção destas bebidas, quantos litros de bebida X e quantos litros de bebida Y

deve confeccionar por dia, para maximizar o lucro?

Sendo o número de litros de bebida e sendo o número de litros de bebida , qualB CX Y

das opções seguintes traduz correctamente este problema?

(A) (B) Maximizar sujeito a Maximizar sujeito a %B � &C "#B � "!C

Ú ÚÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÛ ÛÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÜ Ü

B ! B !

C ! C !

B #C B #C

# $ # $� Ÿ "# � Ÿ &

B C B C

# $ # $� Ÿ "! � Ÿ %

(C) (D) Maximizar sujeito a Maximizar sujeito a %B � &C "#B � "!C

Ú ÚÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÛ ÛÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÝ ÝÜ Ü

B ! B !

C ! C !

B � #C Ÿ "# B � #C Ÿ &

B � C Ÿ "! B � C Ÿ %


Grupo II

Nos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculosque tiver de efectuar e necessárias.todas as justificações

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o exacto.

1. Na figura estão representadas, em referencial o. n.

BSC EF, uma recta e uma circunferência com

centro na origem e raio igual a &

Os pontos e pertencem à circunferência.E F

O ponto também pertence ao eixo das abcissas.E

1.1. Admitindo que o declive da recta é igualEF

a , resolva as três alíneas seguintes:"

#

1.1.1. Mostre que uma equação da recta é EF B � #C � & œ !

1.1.2. Mostre que o ponto tem coordenadas F Ð$ß %Ñ

1.1.3. Seja o ponto de coordenadas G Ð � $ß "'Ñ Verifique que o triângulo é rectângulo em ÒEFGÓ F

1.2. Admita agora que o ponto se desloca aoF

longo da circunferência, no primeiro quadrante.

Para cada posição do ponto , seja aF α

amplitude do ângulo orientado cujo lado origem

é o semieixo positivo e cujo ladoSB

extremidade é a semi-recta SF.

Seja o comprimento do segmento . ÒEFÓ

1.2.1. Mostre que . œ &! � &!# cosα

1.2.2. Para uma certa posição do ponto , tem-se F tg α œ #%È etermine, para este caso, o valor de Sem recorrer à calculadora, d .


2. Na figura está representado, em

referencial o. n. , um cuboSBCDÒSTUVWXYZ Ó & de aresta

O vértice do cubo coincide com aSorigem do referencial.

Os vértices , e do cuboT V Wpertencem aos semieixos positivos

SB SC SD, e , respectivamente.

O triângulo escaleno é aÒQRUÓsecção produzida no cubo pelo plano αde equação

"! B � "& C � ' D œ "#&

2.1. Escreva uma condição que defina a recta que passa por e é perpendicular aoY

plano α

2.2. Seja a amplitude, em , do ângulo . Determine " graus QUR "

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo,

três casas decimais.

: comece por determinar as coordenadas dos pontos e Sugestão Q R

FIM


Grupo I


• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letracorrespondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item.


• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zeropontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Considere, num referencial o. n. , a superfície esférica de equaçãoSBCD B � C � D � # œ %# # #� � A intersecção desta superfície com o plano éBSC

(A) (B) o conjunto vazio um ponto

(C) (D) uma circunferência um círculo

2. Considere, num referencial o. n. , a recta de equação BSC < C œ � B � " $# &

Seja a recta perpendicular a que passa no ponto de coordenadas = < Ð"ß %Ñ

Qual é a equação reduzida da recta ?= (A) (B) C œ #B � # C œ � #B � '

(C) (D) C œ � #B � C œ #B �& $$ &

3. Considere a equação trigonométrica cos B œ � ! $, Num dos intervalos seguintes, esta equação tem solução. Em qual deles?apenas uma

(A) (B) ’ “!ß Ò!ß Ó1# 1

(C) (D) ’ “ ’ “1 1 1# # #$ $ß ß # 1


4. Na figura estão representados, em referencial

o.n. : BSC• o círculo trigonométrico

• o raio deste círculoÒSFÓ • o arco de circunferência , de centro noEF

ponto GTal como a figura sugere, o ponto Fpertence ao primeiro quadrante, os pontos Ee pertencem ao eixo e a recta éG SB FGperpendicular a este eixo.

Seja a amplitude do ângulo ) ESF

Qual é a abcissa do ponto ?E

(A) (B) " �� sen ) ) " cos

(C) (D) cos cos) ) ) )� " �sen sen �

5. Num certo problema de Programação Linear, pretende-se maximizar a função objectivo, a

qual é definida por P œ $B � C Na figura está representada a região admissível.

Qual é a solução desse problema?

(A) (B) B œ ' C œ $ B œ % C œ # e e

(C) (D) B œ % C œ $ B œ ' C œ # e e


Grupo II

Nas respostas a itens deste grupo apresente que tiver de efectuar e todos os cálculos todas asjustificações necessárias.

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o

exacto.

1. Relativamente à figura junta, sabe-se que:

• o triângulo é rectânguloÒEFHÓ• o ponto pertence ao cateto G ÒFHÓ• designa a amplitude, em radianos, do ângulo B FEH

• e EF œ # FG œ "

1.1. Mostre que a área do triângulo é dada porÒEGHÓ # B � "tg� �1.2. Determine o valor de para o qual a área do triângulo é igual a B ÒEGHÓ "

1.3. Sabendo que e que , determine o valor desenŠ ‹1 1# "$ #

& � + œ + − !ßÓ Ò

# + � "tg� �2. Na figura está representado, em referencial o. n.

SBCD, um cone de revolução. Sabe-se que:

• a base do cone está contida no plano deαequação B � #C � #D œ ""

• o vértice do cone tem coordenadas Z Ð"ß #ß 'Ñ• o ponto é o centro da base do coneG

2.1. Determine uma equação do plano que contém o vértice do cone e que é paralelo ao#plano α

2.2. Seja o plano definido pela equação " #B � C � D œ $ Averigúe se os planos e são perpendiculares.α "2.3. Seja o ponto simétrico do ponto , em relação ao plano . Indique as coordenadas[ Z BSC

do ponto e escreva uma condição que defina o segmento de recta .[ ÒZ[Ó2.4. Sabendo que o raio da base do cone é igual a , determine o volume do cone.$ : comece por escrever uma condição que defina a recta que contém o vértice doSugestão

cone e que é perpendicular ao plano e utilize-a para determinar as coordenadas doαponto .G


3. Na figura está representada uma circunferência de centro e raio . S < Sabe-se que:

• é um diâmetro da circunferênciaÒEFÓ

• O ponto pertence à circunferência G • é a amplitude do ângulo α GSF • é perpendicular a ÒSHÓ ÒEGÓ

Prove que ��EF EG œ % <.

�� # #cos ˆ ‰α#

Sugestão

Percorra as seguintes etapas:

• Justifique que o triângulo é isóscelesÒSEGÓ• Justifique que EG œ # EH• Justifique que a amplitude do ângulo é GEF

α#

• Escreva , em função de e de EH α# <

• Conclua que ��EF EG œ % <.

�� # #cos ˆ ‰α#

FIM


Grupo I



• Escreva na sua folha de respostas correspondente à alternativa queapenas a letraseleccionar para responder a cada item.

• Se apresentar mais do que uma letra, a resposta será classificada com zero pontos, omesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

• Não apresente cálculos, nem justificações.

1. Na figura estão representadas, em referencial

o.n. :BSC

• parte do gráfico de uma função 2

• uma recta , tangente ao gráfico de no> 2

ponto de abcissa "

Tal como a figura sugere, a recta intersecta>

o eixo no ponto de abcissa e oSB � #

eixo no ponto de ordenada .SC "

Indique o valor de , derivada da função no ponto 2 Ð"Ñ 2 "w

(A) (B) (C) (D) � # � #

" "

# #

2. Na figura está representada parte do

gráfico de uma função 1

Seja a função de domínio definida0 ‘

por 0ÐBÑ œ lBl

Qual é o valor de ?ˆ ‰0 ‰ 1 Ð � $Ñ

(A) (B) (C) (D) � % ! $ %


3. Na figura está representado, em referencial o.n.

BSC EF, um arco de circunferência , de centro

na origem do referencial e raio igual a ."

A recta tem equação < C œ "

O ponto pertence ao arco G EF

Seja a amplitude do ângulo α ESG

Qual das expressões seguintes dá a distância do.

ponto à recta ?G <

(A) (B) " � " �sen sen� � � �α α

(C) (D) " � " �cos cos� � � �α α

4. Seja B !ß− Ó Ò1

#

Qual das expressões seguintes designa um número positivo?

(A) (B) cos sen� � � �1 1� B � B

(C) (D) cos senŠ ‹ Š ‹$ $

# #

1 1

� �B B

5. Considere, num referencial o.n. , a recta definida porSBCD <

ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß $Ñ � 5 Ð!ß !ß "Ñß 5 − ‘

Qual das condições seguintes define uma recta paralela à recta ?<

(A) ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß $Ñ � 5 Ð!ß "ß !Ñß 5 − ‘

(B) ÐBß Cß DÑ œ Ð!ß !ß "Ñ � 5 Ð"ß #ß $Ñß 5 − ‘

(C) B œ # • C œ "

(D) B œ # • D œ "


Grupo II

Nos itens deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculosque tiver de efectuar e necessárias.todas as justificações

Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o exacto.

1. Na figura está representada, em referencial o.n. ,BSC

parte do gráfico de uma função , bem como as duas0

assimptotas deste gráfico.

Tal como a figura sugere,

• a origem do referencial pertence ao gráfico de 0

• uma das assimptotas é paralela ao eixo SB

• a outra assimptota é paralela ao eixo e intersectaSC

o eixo no ponto de abcissa SB #

1.1. Seja a função, definida por 1 1ÐBÑ œ $B � *de domínio ,‘

Tendo em conta o gráfico de e a expressão analítica de , a inequação0 1 resolva

0ÐBÑ ‚ 1ÐBÑ Ÿ !, a seguinte tabela de variação de sinal, que devecompletando

transcrever para a sua folha de prova:

B �∞ �∞0ÐBÑ1ÐBÑ

0ÐBÑ ‚ 1ÐBÑ

Apresente o da inequação utilizando a notação de intervalos deconjunto solução

números reais.

1.2. Admita agora que:

• a assimptota do gráfico de paralela ao eixo das abcissas tem equação 0 C œ $

• é definida por uma expressão do tipo 0 0ÐBÑ œ + �,

B� -

onde , e designam números reais.+ , -

Indique os valores de e de e determine o valor de .+ - ,


2. Na figura está representada, em referencial o.n. ,Oxyzuma pirâmide quadrangular.

Admita que o vértice se desloca no semieixoIpositivo , entre a origem e o ponto de cota , nuncaOz 'coincidindo com qualquer um destes dois pontos.

Com o movimento do vértice , os outros quatroIvértices da pirâmide deslocam-se no plano , de talxOyforma que:

• a pirâmide permanece sempre regular

• o vértice tem sempre abcissa igual à ordenadaE

• sendo a abcissa de e sendo a cota de ,B E - Item-se sempre

B � - œ '

2.1. Seja Z ÐBÑ B B − Ó !ß ' Ò o volume da pirâmide, em função de .� �

Mostre que Z ÐBÑ œ ) B � B# $%

$

2.2. Utilizando a função derivada de e recorrendo a métodos exclusivamenteZanalíticos, estude a função quanto à monotonia, conclua qual é o valor de paraZ Bo qual é máximo o volume da pirâmide e determine esse volume máximo.

2.3. Admita agora que . Indique, para este caso, as coordenadas dos pontos ,B œ " EF I EFI e e determine uma equação cartesiana do plano .

3. A Maria vai sempre de carro, com o pai, para a escola, saindo de casa entre as sete e meia e

as oito horas da manhã.

Admita que, quando a Maria sai de casa minutos , a duração da> depois das sete e meia

viagem, em , é dada porminutos

.Ð>Ñ œ %& �&'!!

> �$!!# � �> − Ò !ß $! Ó

As aulas da Maria começam sempre às oito e meia.

3.1. Mostre que, se a Maria sair de casa às 7 h 40 m, chega à escola às 8 h 11 m, mas, se

sair de casa às 7 h 55 m, já chega atrasada às aulas.

3.2. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, resolva o seguinte problema: Até

que horas pode a Maria sair de casa, de modo a não chegar atrasada ?às aulas

A sua resolução deve incluir:

• uma explicação de que, para que a Maria não chegue atrasada às aulas, é

necessário que > � .Ð>Ñ Ÿ '!

• o(s) gráfico(s) visualizado(s) na calculadora

• a resposta ao problema em horas e minutos (minutos arredondados às unidades)

FIM


GRUPO I


• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letracorrespondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item.


• Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos,o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Na figura 1 está representado, em referencial o.n. , o círculo trigonométrico.BSC

Figura 1

Os pontos e pertencem à circunferência, sendo a recta paralela ao eixo .T U TU SBO ponto pertence ao eixo . O ângulo tem de amplitude.V SB VST &$°

Qual é o perímetro do triângulo (valor aproximado às décimas) ?ÒSTUÓ

(A) (B) (C) (D) $ # $ % $ ' $ ), , , ,

2. A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10 h e 45 min.

Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos

minutos tinha rodado radianos.� $1

Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante?

(A) (B) (C) (D) 11 h e 15 min 11 h e 45 min 12 h e 15 min 13 h e 45 min


3. Seja o diâmetro de uma esfera de centro e raio .ÒEFÓ G &

Qual é o valor do produto escalar ?��GE Þ GF

��

(A) (B) (C) (D) � #& � & # & # #& È È

4. O gráfico de uma função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo cujo0vértice é o ponto . Seja a função derivada da função .Ð$ß #Ñ 0 0w

Qual dos valores seguintes é negativo ?

(A) (B) (C) (D) 0 Ð"Ñ 0 Ð#Ñ 0 Ð$Ñ 0 Ð%Ñw w w w

5. Seja a função cujo gráfico está representado na figura 2.0

Figura 2

Seja a função de domínio definida por 1 1ÐBÑ œ � #B � "‘

Qual é o valor de ? (o símbolo designa a composição de funções)ˆ ‰0 ‰ 1 Ð#Ñ ‰

(A) (B) (C) (D) � # � " " #


GRUPO II

Nas respostas a itens deste grupo apresente que tiver de efectuar etodos os cálculos


Atenção valor: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o exacto.

1. Considere a função , de domínio , definida por 0 ÏÖ � #× 0ÐBÑ œ % �‘%

B�#

Sem recorrer à calculadora, resolva os itens seguintes:

1.1. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação 0ÐBÑ $

Apresente a sua resposta utilizando a notação de intervalos de números reais.

1.2. Na figura 3 estão representados, em referencial

o.n. :BSC

• parte do gráfico da função 0

• as rectas e assimptotas do gráfico de < = 0,

• o quadrilátero ÒEFGHÓ

e são os pontos de intersecção do gráficoE Fda função com os eixos coordenados.0

é o ponto de intersecção das rectas e .G < =

é o ponto de intersecção da recta com oH <eixo .SC

Determine a área do quadrilátero ÒEFGHÓ

�

�

�

�

��

�

�

Figura 3


2. Na figura 4 está representado um referencial

o.n. .SBCD

Cada um dos pontos , e pertence aE F G

um eixo coordenado.

O ponto pertence ao plano .T EFG

O ponto desloca-se no plano , deT EFGtal modo que é sempre vértice de um prisma

quadrangular regular, em que os restantes

vértices pertencem aos planos coordenados.Figura 4

O plano é definido pela equação EFG B � #C � $D œ *

2.1. Seja a abcissa do ponto + T + − Ó !ß $Òˆ ‰

Mostre que o volume do prisma é dado, em função de , por + Z Ð+Ñ œ $+ � +# $

2.2. sem recorrer à calculadoraEstude a função quanto à monotonia, , e conclua qualZ

é o valor de para o qual o volume do prisma é máximo.+

2.3. Seja a recta que contém o ponto e é perpendicular ao plano .< E EFG

Determine uma equação vectorial da recta .<


3. Na empresa onde o Manuel trabalha, o cumprimento do horário é controlado por relógio

electrónico. De acordo com o de trabalho, qualquer trabalhador deve entrar às oitocontrato

horas e sair ao meio-dia. Porém, se o trabalhador chegar atrasado, terá de continuar a

trabalhar depois do meio-dia.

Sempre que um trabalhador chega minutos atrasado, o número de minutos, depois do>meio-dia, que ele tem de permanecer na empresa é dado por

-Ð>Ñ œ > !> � #& >

>� "

#

� �

3.1. Na segunda-feira, o Manuel entrou na empresa às nove horas e um quarto.

A que horas deveria ter saído, de modo a cumprir o estipulado no contrato?

Apresente a sua resposta em horas e minutos (minutos arredondados às unidades).

3.2. Ontem, o Manuel saiu da empresa às 12 horas e 25 minutos.

Com quantos minutos de atraso é que ele chegou à empresa?

3.3. Ao sair ontem da empresa, o Manuel pensou: «Então eu atrasei-me tão pouco e tive

de ficar a trabalhar quase meia hora depois do meio-dia?! Não é justo.»

Depois de ter conversado com os seus colegas de trabalho, o Manuel decidiu àpropor

administração da empresa que o tempo de permanência de um trabalhador na

empresa, após o meio-dia, passasse a ser igual ao tempo de atraso, acrescido de 40%

desse tempo (por exemplo, um atraso de 10 minutos deve ser compensado com 14

minutos de trabalho depois do meio-dia).

Numa pequena composição, compare a do Manuel com o em vigor,proposta contrato

contemplando os seguintes tópicos:

• justifique que, de acordo com a proposta do Manuel, o número de minutos

depois do meio-dia que um trabalhador terá de permanecer na empresa, quando

se atrasa minutos, é dado por > :Ð>Ñ œ " % >, ;

• refira se a proposta do Manuel é, ou não, sempre mais favorável ao trabalhador do

que o contrato em vigor;

• considerando que, para um certo atraso, a proposta do Manuel e o contrato em vigor

determinam o mesmo tempo de permanência na empresa, após o meio-dia, refira:

– o atraso;

– o tempo de permanência, depois do meio-dia, que esse atraso determina.

Utilize a calculadora para comparar os gráficos das duas funções ( e );- :transcreva para a sua folha de prova esses gráficos e assinale o ponto relevante que

lhe permite responder a algumas das questões colocadas, bem como as suas

coordenadas, arredondadas às unidades.

FIM

TI de Matemática A – Versão 1 • Página 2/ 7

Formulário

Geometria

Comprimento de um arco de circunferência:

, , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raioa a- -^ h

Áreas de figuras planas

Losango: Diagonal maior Diagonal menor2#

Trapézio: Base maior Base menor Altura2

#+

Polígono regular: í óSemiper metro Ap tema#

Setor circular: , , ;âr amplitude em radianos do ngulo ao centro r raio2

2a a- -^ h

Áreas de superfícies

Área lateral de um cone: ;r g r raio da base g geratrizr - -^ h

Área de uma superfície esférica: r r raio4 2r -] g

Volumes

Pirâmide: Área da base Altura31# #

Cone: Área da base Altura31# #

Esfera: r r raio34 3r -] g


GRUPO I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta.

• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item.


• Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Num referencial o.n. xOy , considere a circunferência definida por x y 52 2+ =

A reta r é tangente à circunferência no ponto de coordenadas (1, 2)

Qual é o declive da reta r ?

(A) –2 (B) 21- (C)

21 (D) 2

2. Seja a um número real.

Considere, num referencial o.n. Oxyz , a reta s e o plano b definidos, respetivamente, por , , , , , , ,x y z k k1 0 3 1 1 1 R!= - + -^ ^ ^h h h e x y az3 3 1+ + =

Sabe-se que a reta s é paralela ao plano b

Qual é o valor de a ?

(A) –3 (B) 1 (C) 3 (D) 6

3. Na Figura 1, está representada, num referencial o.n. xOy , parte da hipérbole que é o gráfico de uma função f

As retas de equações x 2= e y 1= são as assíntotas do gráfico da função f

Para um certo número real k, a função g , definida por g x f x k= +^ ^h h , não tem zeros.

Qual é o valor de k ?

(A) –1

(B) 1

(C) –2

(D) 2 Figura 1

O x

y

1

2

f


4. Seja i um número real. Sabe-se que i é uma solução da equação sen x31=-

Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação sen x31= ?

(A) r i- (B) r i+ (C) 2r i- (D)

2r i+

5. Considere o triângulo ABC6 @ representado na Figura 2.

Sabe-se que:

• AB 2=

• 30ACB º=t

Seja BACa = t

Qual das expressões seguintes representa BC , em função de a ?

(A) 4 sen a (B) sen6 a (C) 4 cos a (D) cos6 a

GRUPO II

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

1. Na Figura 3, está representada, num referencial o.n. xOy , parte da hipérbole que é o gráfico de uma função f O gráfico da função f intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa –1As retas de equações x 1= e y 2=- são as assíntotas do gráfico da função f

1.1. Responda aos dois itens seguintes sem efetuar cálculos, ou seja, recorrendo apenas à leitura do gráfico.

1.1.1. Indique o contradomínio da função f

1.1.2. Apresente, usando a notação de intervalos de números reais, o conjunto solução da condição f x 0#^ h

1.2. Defina, por uma expressão analítica, a função f

A

B

Ca 30º

2h

Figura 2

y

O

f

–1

–2

1x

Figura 3


2. Na Figura 4, está representada, num referencial o.n. Oxyz , a pirâmide quadrangular regular ABCDE6 @

Figura 4

A

B

C

D

E

FO

x

z

y

Seja F o centro da base da pirâmide.

Sabe-se que:

• o ponto F tem coordenadas , ,2 1 1- -^ h

• o vetor FE tem coordenadas , ,1 2 2-^ h• a reta EA é definida pela condição , , , , , , ,x y z k k3 3 1 1 5 1 R!= - + -^ ^ ^h h h

2.1. Escreva uma condição cartesiana que defina a reta EA

Nota – Não necessita de apresentar cálculos.

2.2. Mostre que o plano ABC pode ser definido pela equação x y z2 2 2 0- - + =

2.3. Sabe-se que a condição x y

y z

6

2

- =-

- =) define a reta ED

Determine, sem recorrer à calculadora, as coordenadas do ponto D


3. Na Figura 5, está representado, num referencial o.n. xOy ,o círculo trigonométrico.

Sabe-se que:

• o ponto A tem coordenadas ,1 0^ h• o ponto B tem coordenadas ,3 0^ h

Considere que um ponto P se move sobre a circunferência.

Para cada posição do ponto P, seja d PB= e seja ,0 2!a r6 6 a amplitude, em radianos, do ângulo

orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OPo

Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

3.1. Mostre que cosd 10 62 a= -

Sugestão: Exprima as coordenadas do ponto P em função de a e utilize a fórmula da distância entre dois pontos.

3.2. Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que cosd 10 62 a= -

3.2.1. Determine os valores de ,0 2!a r6 6 para os quais d 72 =

3.2.2. Para um certo valor de a pertencente ao intervalo ,0 r6 @, tem-se tg 35a =-

Determine d , para esse valor de a

4. No referencial o.n. xOy da Figura 6, estão representados o quadrado [OABC ] e o retângulo [OPQR ]

Os pontos A e P pertencem ao semieixo positivo Ox e os pontos C e R pertencem ao semieixo positivo Oy

O ponto Q pertence ao interior do quadrado [OABC ]

Sabe-se que:

• OA a=

• OP b=

• RC b=

Prove que as retas QB e RP são perpendiculares.

FIM

O A

P

B

y

x

da

Figura 5

O A

BC

P

QR

x

y

Figura 6


Formulário

Comprimento de um arco de circunferência

ar (a – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)


Losango: Diagonal maior Diagonal menor×2

Trapézio: Base maior Base menorAltura

+×

2

Polígono regular: Semiperímetro Apótema×

Sector circular: ar2––—

2 (a – amplitude, em radia nos, do ângulo ao centro; r – raio)


Área lateral de um cone: prg (r – raio da base; g – geratriz)

Área de uma superfície esférica: 4pr2 (r – raio)

Volumes

Pirâmide: 1–—3

× Área da base × Altura

Cone: 1–—3


Esfera: 4–—3

pr 3 (r – raio)


GRUPO I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.

• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que seleccionar para responder a esse item.



1. Num certo problema de programação linear pretende-se minimizar a função objectivo, a qual é definida por L x y2= +

Na Figura 1, está representada a região admissível.

1 3

1

2

4

O x

y

Figura 1

Numa das opções seguintes está a solução desse problema.

Em qual delas?

(A) yx 11 == e

(B) yx 20 == e

(C) yx 13 == e

(D) yx 10 == e


2. Considere, em , a equação trigonométrica cos ,x 0 9=

Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?

(A) ,p p2 2

-

(B) , p0 (C) ,

p p34 4

(D) ,p p4 4

-

3. De um triângulo isósceles [ABC ] sabe-se que:

• os lados iguais são [AB ] e [AC ], tendo cada um deles 8 unidades de comprimento;

• cada um dos dois ângulos iguais tem 30º de amplitude.

Qual é o valor do produto escalar .AB AC

?

(A) 32 3-

(B) 32-

(C) 64

(D) 64 3

4. Na Figura 2, está representado o círculo trigonométrico.

Sabe-se que:

• a recta r é tangente à circunferência no ponto A(1,0)

• a recta s passa na origem do referencial e intersecta a recta r no ponto P, cuja ordenada é 2

• o ponto Q, situado no terceiro quadrante, pertence à recta s

Seja a a amplitude, em radianos, do ângulo orientado, assinalado na figura, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semi-recta OQ

Qual é o valor de a , arredondado às centésimas?

O x

y

r

s

aA

P

Q

2

Figura 2

(A) 4,23

(B) 4,25

(C) 4,27

(D) 4,29


5. Sejam a, b e q três números reais.

Sabe-se que:

• ,p

a 04

∈

• p

a b2

+ =

• a q p2+ =

Qual das expressões seguintes é equivalente a sen sen sena b q+ + ?

(A) sen cosa a2 +

(B) sen cosa a2 -

(C) cosa-

(D) cosa


GRUPO II

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.

1. Na Figura 3, está representada, em referencial o.n. xOy , a circunferência de centro em O e raio 5

Os pontos A e B são os pontos de intersecção da circunferência com os semieixos positivos Ox e Oy , respectivamente.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco AB , nunca coincidindo com o ponto A , nem com o ponto B

P

r

R Q

y

O x

aA

B

Figura 3

Para cada posição do ponto P , sabe-se que:

• o ponto Q é o ponto do eixo Ox tal que PO PQ=

• a recta r é a mediatriz do segmento OQ

• o ponto R é o ponto de intersecção da recta r com o eixo Ox

• a é a amplitude, em radianos, do ângulo ,AOPp

a 02

∈

Seja f a função, de domínio ,p

02

, definida por ( ) sen cosf x x x25=

Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

1.1. Mostre que a área do triângulo [OPQ ] é dada por ( )f a

1.2. Determine o valor de a , pertencente ao intervalo ,p

02

, para o qual se tem ( ) cosf a a225=

1.3. Seja q um número real, pertencente ao intervalo ,p

02

, tal que f(q) = 5

Determine o valor de ( )sen cosq q2

+

1.4. Considere agora o caso em que a abcissa do ponto P é 3

Determine a equação reduzida da recta tangente à circunferência no ponto P


2. Na Figura 4, está representado, em referencial o.n. Oxyz , o poliedro [VNOPQURST ] , que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular.

Sabe-se que:

• a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano xOy

• o ponto P pertence ao eixo Ox

• o ponto U tem coordenadas (4, -4, -4)

• o plano QTV é definido pela equação x y z5 2 2 12+ + =

y

z

x

O

PQ

N

R S

TU

V

Figura 42.1. Para cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma condição cartesiana que o defina.

2.1.1. Plano paralelo ao plano QTV e que passa na origem do referencial.

2.1.2. Plano perpendicular à recta QN e que passa no ponto V

2.1.3. Recta perpendicular ao plano QTV e que passa no ponto U

2.1.4. Superfície esférica de centro em U e que passa no ponto T

2.2. Considere um ponto A , com a mesma abcissa e com a mesma ordenada do ponto U

Sabe-se que .OA OT 8=

Determine a cota do ponto A

2.3. Determine o volume do poliedro [VNOPQURST ]

3. Na Figura 5, está representado o quadrado [ABCD ]

Sabe-se que:

• o ponto I é o ponto médio do lado [DC ]

• o ponto J é o ponto médio do lado [BC ]

Prove que .AI AJ AB2

=

A B

CDI

J

Figura 5Sugestão: comece por exprimir cada um dos vectores AI

e AJ

como soma de dois vectores.

FIM


Formulário

Comprimento de um arco de circunferência

ar (a – amplitude, em radianos, do ângulo ao centro; r – raio)


Losango: Diagonal maior Diagonal menor×2

Trapézio: Base maior Base menorAltura

+×

2

Polígono regular: Semiperímetro Apótema×

Sector circular: ar2––—2

(a – amplitude, em radia nos, do ângulo ao centro; r – raio)


Área lateral de um cone: prg (r – raio da base; g – geratriz)

Área de uma superfície esférica: 4pr2 (r – raio)

Volumes

Pirâmide: 1–—3


Cone: 1–—3


Esfera: 4–—3

pr 3 (r – raio)


GRUPO I

• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correcta.

• Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que seleccionar para responder a esse item.



1. Seja f a função, de domínio 3,1 +7 7, definida por f x x 1= −_ i

Qual é o valor de f 31- ^ h ?

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11

2. Seja h a função, de domínio , definida por h x x 1= +_ i

Seja g a função, de domínio 0R % /, definida por g xx1=_ i

Para um certo número real a , tem-se g h a91=%_ _i i

(o símbolo % designa a composição de funções)

Qual é o valor de a ?

(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10

3. Seja f uma função real de variável real.

Sabe-se que:

• f 2 9=l_ i

• a recta tangente ao gráfico de f , no ponto de abcissa 2, intersecta o eixo Oy no ponto de ordenada -15

Qual é o valor de f (2)?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4


4. Considere, num referencial o.n. Oxyz , a recta r definida por

(x, y, z) = (3, 4, 5) + k(1, 0, 0), k Î

Qual das condições seguintes define uma recta paralela à recta r ?

(A) y z5 6/= =

(B) x y3 4/= =

(C) , , , , , , ,x y z k k1 0 0 3 4 5 R!= +` _ _j i i

(D) , , , , , , ,x y z k k3 4 5 0 1 0 R!= +` _ _j i i

5. Seja un` j a sucessão definida por recorrência do seguinte modo:

1

3u =

2 1u u n nse

1

2= +−n n*

Seja wn` j a sucessão de termo geral 5 13w nn = −

Qual é o valor de n para o qual se tem w un = 2 ?

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

GRUPO II

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto.

1. Estude, quanto à monotonia, a sucessão un` j de termo geral unn3

1 2n = +

−


2. Determine o valor de tg

3 1a- sabendo que ,0

2!α π =G e que cos

23

54π α− = −d n

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

3. Uma floresta foi atingida por uma praga.

Admita que a área, em milhares de hectares, da região afectada por essa praga é dada por

A ttt t3

2 02 $=+

_ _i i

(Considere que t é medido em anos e que o instante t = 0 corresponde ao início da praga.)

3.1. Houve um certo intervalo de tempo durante o qual a área da região afectada pela praga foi, pelo menos, de 500 hectares. Nesse intervalo de tempo, a floresta esteve seriamente ameaçada.

Durante quanto tempo esteve a floresta seriamente ameaçada?

Na sua resposta deve:

• escrever uma inequação que lhe permita resolver o problema;

• resolver analiticamente essa inequação;

• apresentar o valor pedido.

3.2. Utilize as capacidades gráficas da calculadora para resolver o seguinte problema:

Ao fim de quanto tempo, contado a partir do início da praga, foi máximo o valor da área atingida por essa praga?


• reproduzir o gráfico visualizado na calculadora;

• assinalar, no gráfico, o ponto relevante para a resolução do problema e indicar as coordenadas desse ponto, arredondadas às milésimas;

• apresentar a solução do problema em dias, arredondada às unidades (considere 1 ano = 365 dias).


4. Considere:

• a função f , de domínio , definida por 3f x x x x9 11= + − −23_ i

• a função g , de domínio 1R -$ ., definida por g xxx

11=

+−_ i

Utilize métodos exclusivamente analíticos na resolução dos três itens seguintes.

4.1. Estude a função f quanto à monotonia e quanto aos extremos relativos.

Na sua resposta deve apresentar:

• o(s) intervalo(s) em que a função é crescente;

• o(s) intervalo(s) em que a função é decrescente;

• os extremos relativos, caso existam.

4.2. Sabe-se que -1 é um zero da função f

Caracterize a função f g#


• indicar o domínio da função f g#

• apresentar f g x#_ _i i na forma de um polinómio do terceiro grau.

4.3. Seja P o ponto de intersecção das assimptotas do gráfico da função g

Para um certo número real k , o ponto P pertence ao gráfico da função h , de domínio , definida por h x f x k= +_ _i i

Determine o valor de k


5. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular [ABCDE ] cuja base está contida no plano xOy

Sabe-se que:

• o vértice A tem coordenadas , ,1 0 0_ i

• o vértice B tem coordenadas , ,0 1 0_ i

• o plano DCE é perpendicular à recta definida pela condição x y z3 3= =

Determine o volume da pirâmide.

Nota – Pode ser-lhe útil determinar uma equação do plano DCE

FIM

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