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MA22 - Unidade 6 - Resumo
Luiz Manoel Figueiredo
Mrio Olivero
PROFMAT - SBM
29 de Maro de 2013
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Regra de Substituio
Proposio (Regra de Substituio) Sejam f e g duas funes
para as quais faz sentido formar g f . Seja a um nmero real
talque lim
xa f (x) = b. Suponha que limyb g(y) = L e que existaum um
intervalo da forma (a r , a+ r) tal que f (x) 6= b para todox na
interseo do domnio de f com o conjunto
(a r , a + r) \ {a}. Ento
lim
xa g(f (x)) = L.
Prova Seja (xn
) uma sequncia qualquer de nmeros reaisdistintos de a no domnio
de f que converge para a. Como (xn
)converge para a, existe n
0
N tal que xn
(a r , a+ r) para todon n0
. Logo, a sequncia (yn
)nn0
, onde y
n
= f (xn
), tem seuselementos no domnio de g , distintos de a, e converge
para b, j
que lim
xa f (x) = b. Portanto, como limyb g(y) = L, temos quea sequncia
(g(f (xn
))) converge para L, o que mostra quelim
xa g(f (x)) = L.PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 6 - Resumo slide
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Regra de Substituio
Exemplo A regra de substituio nos permite calcular, por
exemplo, lim
xa cos(p(x)), no qual p(x) um polinmio noconstante.
De, fato consideremos o polinmio no constante q(x) = p(x) b,onde
b = p(a), do qual a uma raiz. Como um polinmio no nulotem um nmero
nito de razes, claro que podemos encontrar um
nmero real r > 0 tal que q(x) no se anula em(a r , a + r) \
{a}, ou seja, p(x) 6= p(a) = b. Comolim
xa p(x) = p(a) e limyb cos y = cos b, temos que
lim
xa cos(p(x)) = cos(p(a)).
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Clculo de Limites de Sequncias
Exemplo Seja a > 0. Ento, limn n
a = 1.Para a > 1. Seja (dn
) a sequncia dn
= na 1. Temos qued
n
> 0. Da identidade
a 1 = ( na 1) ( nan1 + nan2 + + na + 1) ,obtemos que a 1 < (
na 1) n = dn
n.Da,
0 < dn
1. Pelo caso j calculado, temos
lim
nn
a = limn1
n
1
a
=1
lim
n n1
a
= 1.
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Clculo de Limites de Sequncias
Proposio Seja a > 0 um nmero real. Tem-se que
lim
n an =
{0, se 0 < a < 1,, se a > 1Prova O caso a > 1.
Escrevamos h = a 1, logo a = 1+ h comh > 0. Pela desigualdade de
Bernouilli temos que
a
n = (1+ h)n 1+ nh.Como lim
n(1+ nh) =, temos pela propriedade de limites quelim
n an =.O caso 0 < a < 1. Logo, 1a
> 1. Do que acabamos de provar,temos que
lim
n
(1
a
)n
= limn1
a
n
=,logo da propriedade de limite,
lim
n an = limn1
1
a
n
= 0.
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Limites de Funes
Proposio Seja f : (d ,) R uma funo crescente. Suponhaque exista
uma sequncia (xn
) de elementos em (d ,) tal quelim
n xn = e limn f (xn) =. Ento limx f (x) =.Prova Devemos mostrar
que dada uma sequncia (ym
) tal quelim
m ym =, ento limm f (ym) =.Seja M um nmero real positivo
qualquer. Como
lim
n f (xn) =, existe n0 tal que f (xn0
) > M. Se (ym
) umasequncia tal que lim
m ym =, ento existe m0 tal que paratodo m m0
se tenha y
m
> xn
0
. Como f crescente, temos
m > m0
ym
xn
0
f (ym
) f (xn
0
) > M,
o que prova que lim
m f (ym) =.
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Limites de Funes
Proposio
lim
x f (x) = limx1
f (x)= 0.
Exemplo Vamos considerar a funo exponencial f : R R,f (x) = ax ,
em que a um nmero real positivo diferente de 1.Se a > 1, sabendo
que a exponencial uma funo crescente e quelim
n an =. Entolim
x ax =, para todo a > 1.
No caso em que 0 < a < 1, temos que 1a
> 1 e portanto,
lim
x1
a
x
= limx
(1
a
)x
=,
donde
lim
x ax = 0.
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