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Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
Cap. 3. Tensão
1. Existência das forças internas
2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy
3. Vector das tensões no ponto P
3.1 Componentes cartesianas
3.2 Componentes intrínsecas
4. Tensor das tensões no ponto P
4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões
4.2 Componentes de tensão
4.3 Prova da simetria de componentes em 2D
5. Equações de equilíbrio
5.1 Prova em 2D
6. Cálculo das componentes do vector das tensões
7. Carácter tensorial das tensões
7.1 Prova de lei de transformação em 2D
8. Notas sobre 3D
9. Tensões principais
10. Estados de tensão
11. Outras designações
12. Outras representações
12.1 Elipse de Lamé
12.2 Quadricas de Cauchy
Sebenta da Disciplina MMC, Zuzana Dimitrovová, DEC/FCT/UNL, 2016
1. Existência das forças internas
Tal como referido no capítulo anterior, a tensão é uma das repostas do meio contínuo (MC) ao
carregamento. No entanto, ao contrário da deformação (que será dada no próximo capítulo), a
tensão é uma grandeza física fictícia, porque não se visualiza. A existência das tensões justifica-
se através do conceito de equilíbrio. Veja a animação no slide 2.
Um corpo, ou a sua parte, tem que estar sempre em equilíbrio. Neste contexto considera-se
apenas o equilíbrio estático. Fazendo um corte e separando o corpo em duas partes, o
equilíbrio tem que ser mantido. Por este motivo, deverão existir umas forças distribuídas,
chamadas densidade das forças internas, sobre a área de corte que asseguram o equilíbrio de
cada parte cortada. Na parte A , actuam as forças distribuídas que asseguram o equilíbrio da
parte A , e representam assim o efeito da parte cortada B . Na parte B , actuam as forças
distribuídas que asseguram o equilíbrio da parte B e representam assim o efeito da parte
cortada A . Assim, em cada ponto de corte actua uma força distribuída por área, e este vector
é mutuamente oposto em relação à parte A ou B . Torna-se por isso necessário designar
claramente a parte do corpo considerada. Para este efeito usa-se normal exterior unitária. O
vector da normal é perpendicular à área de corte e aponta para o vazio. Cada corte tem duas
facetas, com normais exteriores opostas e vectores da força interna distribuída opostos.
2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy
Originalmente, a definição do vector das tensões foi introduzida pelos cientistas Euler e
Cauchy, que usavam um corte de uma parte interna do corpo e não o corte como visualizado
na figura acima. Veja o slide 3.
3. Vector das tensões no ponto P
Os vectores das forças internas distribuídas, ou seja a densidade das forças internas, usa-se
para definir o vector das tensões. A cada ponto P que pertence ao corte, pode-se associar da
maneira única a normal exterior n e ao conjunto ,P n um único vector de tensão n
Pt
definido pelo
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0lim
n
PA
Ft
A
onde F é a resultante da densidade das forças internas actuante na área de corte
infinitesimal A . Visto A ser infinitesimal, não é necessário considerar o momento
resultante, mas apenas a força resultante.
Para atribuir sentido a esta definição, é preciso provar que o valor de n
Pt não depende da
maneira como a área de corte tende para o zero, e é indiferente da superfície de corte, desde
que a normal no ponto P seja igual, ou seja, o resultado da operação limite é
inequivocamente definido. O vector das tensões no ponto P é unicamente definido para uma
dada normal, o sentido é sempre relacionado com a faceta onde actua. O sentido do vector
das tensões relacionado às duas facetas que pertencem ao mesmo corte é oposto.
A unidade das componentes do vector de tensão é
2
NPa
m
Visto que esta unidade é muito pequena, usam-se frequentemente
310 Pa=kPa , 610 Pa=MPa , 910 Pa=GPa , 2
kNkPa
m ,
2
NMPa
mm
3.1 Componentes cartesianas
As componentes cartesianas do vector das tensões, correspondem às projecções aos eixos
cartesianos. Por esta razão, há 2 componentes em 2D, e 3 em 3D. De acordo com a figura
acima, as componentes do mesmo vector da tensão actuante nas duas facetas que pertencem
ao mesmo corte, têm o sinal oposto.
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3.2 Componentes intrínsecas
As componentes intrínsecas não dependem do referencial, porque são definidas de seguinte
maneira:
A componente normal tem a direcção da normal exterior à faceta e a componente tangencial
(ou de corte) está contida na área de corte (da faceta). Por esta razão, existem sempre apenas
duas componentes intrínsecas, quer em duas, quer em três dimensões. O sinal da componente
normal está convencionado como:
Positivo, quando o seu sentido coincide com o sentido da normal exterior, ou seja quando a
sua actuação provoca tracção
Negativo, quando o seu sentido é oposto ao sentido da normal exterior, ou seja quando a sua
actuação provoca compressão
Pode-se facilmente concluir que o sinal da componente normal é igual nas duas facetas. No
entanto, não se pode atribuir sinal à componente tangencial sem alguma ligação ao
referencial. Em 2D é possível atribuir o sinal quando o respectivo referencial tem eixos
alinhados com a normal e a tangencial à faceta. Este sinal segue as regras das facetas positivas
e negativas, que será explicado mais tarde. Se o referencial for igual nas duas facetas, o sinal
da componente tangencial seria também igual. Este facto está ligado com a construção da
circunferência de Mohr. A componente tangencial nas facetas que pertencem ao mesmo corte
roda no mesmo sentido e por isso tem o mesmo sinal.
Nota: Os pontos da circunferência de Mohr correspondem às componentes intrínsecas
actuantes nas todas as possíveis facetas que passam pelo mesmo ponto. As componentes
actuantes nas facetas que pertencem ao mesmo corte formam um único ponto da
circunferência.
4. Tensor das tensões no ponto P
4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões
Como explicado anteriormente, mantendo o mesmo ponto P e alterando o corte, ou seja
alterando a normal, as componentes do vector de tensão alteram-se. Isso comprova que a
tensão não é um vector. É preciso determinar quantos vectores de tensão é necessário saber
para se poder dizer que o estado das tensões neste ponto é plenamente definido, ou seja
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para se poderem calcular as componentes relacionadas a qualquer faceta que passe pelo
mesmo ponto P .
É possível provar que é necessário saber o vector das tensões relacionado a 3 facetas
diferentes em 3D (2 facetas diferentes em 2D), que também passam pelo ponto P . Este facto
já foi mencionado no primeiro capítulo, onde se explicou que um tensor de segunda ordem em
3D (3D) é definido pelos 3 (2) vectores actuantes em 3 (2) planos distintos não paralelos. Prova
em 2D está representada em animação no slide 8. Por razões de simplicidade, assume-se que
as facetas em que se conhecem as componentes do vector das tensões são mutuamente
perpendiculares. Por isso, é possível escolher um referencial cujos eixos são alinhados com as
facetas. Nas facetas podem colocar-se as componentes cartesianas do vector das tensões.
Recorda-se que em cada prova é preciso introduzir as grandezas físicas nos seus sentidos
positivos. A prova mostra, que usando as componentes conhecidas é possível calcular as
componentes cartesianas na faceta inclinada.
cos sinn x y
x x xt t t
cos sinn x y
y y yt t t
ou seja
n x y
x x x x
n x yyy y y
t t t n
nt t t
Usando as componentes intrínsecas, verifica-se que neste caso a actuação delas é oposto à
actuação das componentes cartesianas (veja a definição das facetas positivas e negativas e a
actuação das componentes do tensor de segunda ordem no Capítulo 1). Por isso:
n x y
x xn t
n x yyy t n
t nt t
nt t t
4.2 Componentes de tensão
Foi comprovado, que o conhecimento de vector das tensões nas duas facetas é suficiente para
determinar o vector das tensões a qualquer faceta, ou seja, é suficiente para definir o estado
das tensões no ponto P . O estado das tensões representa-se por isso unicamente pelas
componentes de tensor de segunda ordem. As componentes do tensor de facto correspondem
às componentes intrínsecas nas facetas definidas pelo referencial. Na representação
geométrica, cada faceta representa-se nas suas duas formas e assim recorta-se um rectângulo
elementar em 2D (um paralelepípedo em 3D) do meio contínuo. Visto que o sinal da
componente tangencial não está definido, convenciona-se o seguinte:
Faceta positiva: define-se como faceta em que o sentido da normal coincide com o sentido do
eixo coordenado.
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Faceta negativa: define-se como faceta em que o sentido da normal é oposto ao sentido do
eixo coordenado.
O sentido positivo das componentes do tensor de tensão nas facetas positivas, coincide com
os eixos coordenados, e nas facetas negativas é oposto aos eixos coordenados. Facilmente
confirma-se que estas regras estão em concordância com a regra de sinal das componentes
normais intrínsecas e atribui unicamente o sinal às componentes tangenciais.
A figura acima, representa a situação em 2D por razões de simplicidade. Analogamente,
representam-se as componentes em 3D o que se vai mostrar no texto a seguir. O índice da
componente normal, coincide com a designação do eixo paralelo com a normal à faceta.
Verifica-se facilmente que as componentes normais, x e y induzem tracção, ou seja,
apontam para fora do rectângulo elementar (da vizinhança rectangular) do ponto P .
O índice da componente tangencial está composto por duas letras, a primeira coincide com a
designação da normal, a segunda com a designação da direcção. Verifica-se que as
componentes tangenciais positivas apontam para quadrantes positivos, ou seja, para I. e III.
quadrante.
Representação das componentes na forma matricial: x xy
yx y
Verifica-se que as componentes na faceta de x correspondem à primeira linha da matriz de
componentes.
Em resumo, pode-se ver que no rectângulo elementar, as componentes de tensão e as
componentes de vector das tensões, têm as mesmas direcções. O que faz a diferença é o
sentido positivo. Também chama-se à atenção para a designação diferente, ou seja t para
vector das tensões e para tensor das tensões, mais ainda, para componentes normal
do tensor das tensões, e para componente tangencial.
Usando a matriz de componente definida acima, pode-se concluir que as componentes do
vector das tensões calculam-se
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n
x x yx x
nxy y yy
t n
nt
ou seja
Tn
t n
No entanto, vai se provar que o tensor de tensão é simétrico, e assim a operação transposta
vai ser possível omitir.
O estado das tensões num ponto deveria ser correctamente dito como “numa vizinhança
elementar em torno deste ponto”. Convenciona-se uma vizinhança rectangular (na forma de
um paralelepípedo) e as componentes do tensor representam as componentes intrínsecas
actuantes nas arestas (faces) desta vizinhança, quando representada em 2D (3D).
4.3 Prova da simetria de componentes em 2D
Esta prova, representa equilíbrio dos binários na vizinhança elementar rectangular em torno
do ponto P , mergulhada no meio contínuo. Usando a figura abaixo
escreve-se
0xy yxy x x y
o que implica a igualdade das componentes tangenciais. É preciso salientar que o equilíbrio
tem que envolver as componentes de forças, e não de tensão. Visto que as componentes de
tensão representam forças distribuídas, tem que se estabelecer uma força resultante. Devido
ao facto que os lados do rectângulo são infinitesimais, assume-se a distribuição uniforme e por
isso, por exemplo, a força resultante vertical na faceta positiva de x é dada por xy y ,
etc. O binário correspondente às forças verticais nas facetas de x é xy y x e roda no
sentido anti-horário. x representa o braço destas forças. Salienta-se, que as forças de
volume e as variações de tensão entre facetas não foram consideradas, porque contribuem
com o termo de ordem maior, ou seja desprezável.
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5. Equações de equilíbrio
5.1 Prova em 2D
Para simplificar, as provas serão representadas em 2D. As componentes de tensão têm que
verificar as equações de equilíbrio em todos os pontos do meio contínuo. Assim, existem dois
tipos destas equações, um que tem que ser verificado nos pontos internos, e outro para os
pontos de superfície. No interior as componentes de tensão têm que equilibrar o
carregamento na forma de forças de volume, na superfície têm que equilibrar as forças
externas de carregamento de superfície.
Interior.
Esta prova representa-se na vizinhança elementar rectangular em torno do ponto P ,
mergulhada no meio contínuo. Usando a figura abaixo
Escreve-se para componentes de forças horizontais
0xyx
x x xy xy xy x y x y x f x yx y
ou seja, após simplificação
0xyx
xfx y
e analogamente para as forças verticais
0xy y
yfx y
Na forma matricial escreve-se
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/ 0
/ 0
x xy x
xy y y
fx
fy
Salienta-se que já foi introduzida a simetria do tensor das tensões. Os termos da figura
anterior envolvem as componentes de tensão com um acréscimo. Para a sua determinação
correcta explica-se o seguinte: o acréscimo da componente tem que se representar no sentido
positivo dos eixos cartesianos. Por isso, as componentes nas facetas negativas não têm
acréscimo, mas as componentes nas facetas positivas sim. O acréscimo corresponde ao
primeiro termo de expansão de Taylor, por isso quando o crescimento da componente
efectua-se na direcção x , a derivada tem que ser também de x .
Nota-se que duas equações não são suficientes para resolver 3 componentes de tensão, o
problema é hiperestéticos, e é preciso definir outras equações para resolução completa do
problema.
Como foi dito anteriormente, ainda são exigidas as equações de equilíbrio nos pontos de
superfície. Estas equações têm o significado matemático de condições de fronteira, visto que
no interior são definidas equações diferenciais. O grau de derivadas é 1 e por isso as equações
de equilíbrio na superfície envolvem as componentes de tensão sem derivadas.
Superfície
Na superfície recorta-se uma vizinhança triangular. A parte inclinada corresponde à superfície,
ou seja, onde está aplicada a carga externa. A carga pode ser introduzida via componentes
cartesianas ou intrínsecas, na figura abaixo usaram-se as componentes cartesianas. Nas
facetas recortadas no interior representam-se as componentes de tensão nos seus sentidos
positivos.
Equilíbrio na direcção horizontal dita:
0, 0x xy xy x p s
Nota-se que não entraram as forças de volume e as variações de componentes. Estas
contribuições representam os termos de ordem maior, e por isso desprezável. Regra geral,
quando se formula uma equação válida usando os termos de ordem zero, os termos de ordem
maior são desprezáveis, tal como aqui. Quando os termos de ordem zero cancelam-se, é
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preciso usar os termos de ordem 1. A diferença entre termos de ordem 1 e zero, é que os
termos de ordem 1 contêm na sua definição o termo absoluto e estão multiplicados pelo
termo infinitesimal com expoente 1. Este caso foi representado nas equações de equilíbrio nos
pontos internos.
Introduzindo na equação acima
sinx s , cosy s
obtém-se
0,x x x xy yp n n
e analogamente
0,y xy x y yp n n
Na forma matricial
0p n
6. Cálculo das componentes do vector das tensões
Na explicação anterior definiu-se o vector das tensões, no entanto a regra de cálculo a partir
de componentes de tensão ainda não foi introduzida. Nota-se que a vizinhança triangular
usada nas condições de fronteira pode ser usada também neste caso. A única diferença será
que a face inclinada será recortada no interior e não vai corresponder à superfície. Neste caso,
na face inclinada não actuam as componentes de carga, mas sim, as componentes do vector
das tensões. Repetindo a dedução anterior, escreve-se que as componentes cartesianas do
vector das tenções calculam-se como:
t n
Esta fórmula permite escrever a condição de fronteira na forma:
0t p
Depois o cálculo das componentes intrínsecas efectua-se de acordo com a definição, ou seja a
componente normal calcula-se como projecção à normal
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cosT
n n n
nt t n t n
E a componente tangencial com a componente contida na faceta, ou seja
22
n n n
t nt t t
Tal como dito anteriormente, a componente normal será positiva quando o sentido coincide
com o sentido da normal exterior e a componente tangencial não tem sinal atribuído, e por
isso calcula-se sempre como positiva. Em consequência, o valor numérico não permite
determinar o sentido de actuação real. Nota-se que em 3D nem a direcção da componente
tangencial resulta da fórmula dada acima. A componente normal designa-se como tensão na
direcção n . Juntando as duas fórmulas, pode-se concluir que
Tn
nt n n
Em 2D pode-se ainda introduzir um outro vector s contido na faceta
e com sentido arbitrário. Depois
T Tn
tt s n n s
Define o valor da componente tangencial com sinal. Este sinal serve para representar o sentido
real da componente, e pode ser determinado da seguinte maneira: valor positivo indica
sentido igual ao vector s e o valor negativo, o sentido oposto ao vector s .
7. Carácter tensorial das tensões
7.1 A prova da lei de transformação em 2D
A prova que as componentes de tensão obedecem lei de transformação baseia-se novamente
no equilíbrio. Por razões de simplicidade, mostra-se a prova em D, usando uma vizinhança
triangular mergulhada no meio contínuo. Neste caso, os termos absolutos definem uma
equação válida e por isso não é preciso introduzir as forças de volume e a variação de
componentes.
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Escrevendo o equilíbrio na direcção de eixo x , obtêm-se:
cos sin sin cos 0x xy y xy xy x s
ou seja:
2 2cos sin 2 sin cosx x y xy
Na direcção x é válido:
2 2sin cos cos sinxy x y xy
E analogamente pode-se provar que
2 2sin cos 2 sin cosy x y xy
Mas para isso seria necessário efectuar outra rotação ou cortar outra faceta, porque na figura
acima, esta componente não se visualiza.
As formulas derivadas correspondem às formulas de rotação o que comprova que
T
R R
ou seja caracter tensorial.
8. Notas sobre 3D
Representação geométrica das componentes no paralelepípedo elementar (facetas positivas),
visualiza-se na figura abaixo.
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As equações de equilíbrio (de Cauchy) no interior do meio contínuo, escrevem-se na seguinte
forma:
0xyx xz
xfx y z
0xy y yz
yfx y z
0yzxz z
zfx y z
A representação das componentes na forma matricial é:
x xy xz
y yz
zsim
9. Tensões principais
As tensões principais calculam-se conforme Capítulo 1.
10. Estados de tensão
Assume-se a distribuição das componentes do tensor de tensão uniforme. Quando se verifica,
que apenas algumas das componentes são diferences de zero, o estado de tensão designa-se
de uma forma especial. Por exemplo, o primeiro caso corresponde à tracção pura, ou seja,
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existe apenas uma componente horizontal de tracção e por isso de tensão principal máxima (a
outra componente é nula). O caso ao lado, representa o estado de compressão pura, ou seja,
existe apenas uma componente horizontal de compressão e por isso de tensão principal
mínima (a outra componente é nula). Último caso representa pressão hidrostática, caso que
tem representação em componentes
0
0
p
p
em qualquer referencial.
Na figura acima visualiza-se o estado de corte puro. Nota-se que esta designação, como as
outras anteriores, depende do referencial. Neste caso, rodando o referencial pelo 45º, o
estado de tensão passa a ter uma componente de tracção e outra de compressão no valor da
tensão de corte. Este facto usa-se na execução de alguns ensaios. É mais fácil introduzir no
provete tracção e compressão, do que a componente tangencial.
O estado de corte puro visualiza-se na circunferência de Mohr, em que o centro da
circunferência está colocado em zero.
max
max
0
0
m
m
Isostáticas
Isostáticas são curvas que em cada ponto são tangentes às direcções principais. No caso da
tracção ou compressão pura, formam assim uma rede de rectas horizontais e verticais, e no
caso tangencial puro, uma rede de rectas inclinadas a 45º (slide 20).
11. Outras designações
Tensor esférico e tensor desviador de tensão
D
m I
O tensor esférico, e o tensor desviador de tensão, correspondem à separação na parte
volúmica e desviatórica do tensor de tensão.
Tensão octaédrica
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Tensão octaédrica, corresponde às componentes intrínsecas do vector de tensão no plano
octaédrico. O plano octaédrico correspondente ao primeiro octante, tem a normal exterior na
forma 1
1,1,13
, outros planos definem-se da forma semelhante. As componentes da tensão
octaédrica são invariantes.
1 / 3oc mI , 2
1 2 2
2 23
3 3
D
oc I I I
Tensão von Mises
23vM I
Tensão von Mises define-se de acordo com a fórmula acima, e corresponde também a um
invariante. O seu valor é sempre positivo e não depende do estado hidrostático. Forma um
valor essencial na definição do limite de cedência no comportamento dos materiais
isotrópicos, principalmente metais. Outras formulações são:
Em 2D 2 2 2 2
1 1 2 2 3vM m R
Em 3D 2 2 2
1 2 1 3 2 3
1
2vM
12. Outras representações
Matéria não obrigatória.