Secções

ESCOLA SECUNDÁRIA PADRE BENJAMIM SALGADO Disciplina de Geometria Descritiva A

Professor: Bernardo Cruz

SECÇÕES DE SÓLIDOS

Noções gerais

A secção de um sólido consiste em cortar um sólido geométrico (pirâmide, cone, prisma, cilindro ou esfera) com um plano, da qual resulta uma figura plana – figura da secção. Plano secante - plano que secciona um sólido Figura da secção – figura plana resultante da secção produzida no sólido pelo plano secante Truncagem - Um sólido, ao ser seccionado, fica dividido em dois sólidos. Ao abandonarmos um dos sólidos, ficamos com um sólido truncado. Por exemplo: pirâmide truncada, ou tronco de pirâmide.

Representação da secção produzida numa pirâmide triangular regular por um plano

horizontal ν. 0 plano horizontal intersecta as arestas laterais da pirâmide nos pontos D, E e F, o que resulta num triângulo equilátero [DEF] paralelo à base e com a projecção horizontal em verdadeira grandeza.

Representação da pirâmide truncada, que resulta da secção produzida numa pirâmide triangular regular (matriz) com a base assente no plano horizontal de projecção, por um plano horizontal. A figura de secção está identificada a tracejado (conforme é norma em desenho técnico).



1. Secções de Pirâmides

A figura de secção numa pirâmide será variável, consoante as arestas laterais e as arestas da base que o plano secante intersectar.

Note-se que os lados da figura de secção serão visíveis ou não, na projecção frontal, consoante as respectivas faces laterais sejam os não visíveis na mesma projecção.

Processo para determinação de secções em pirâmides

Determinar se o plano secante corta a base do sólido (se intersectar a base, fá-lo

sempre em dois pontos);

Determinar os pontos de intersecção do plano secante com as arestas laterais que

pertencem aos contornos aparentes (horizontal e frontal);

Determinar os pontos de intersecção do plano secante com as restantes arestas laterais.

Exemplos:

Pirâmide seccionada por um plano frontal

A pirâmide tem a base no v0. 0 plano φ, de frente, determina no sólido a secção [FGHI], de frente, e por isso em verdadeira

grandeza no φ0, com forma trapezoidal.

Os pontos da secção são o resultado da

intersecção do plano φ com as arestas do

sólido - laterais e da base.

Os pontos H e G pertencem,

respectivamente, às arestas laterais [DV] e

[EV].

Os pontos F e I pertencem, respectivamente,

às arestas da base [AE] e [CD].

Primeiro são determinadas as projecções

horizontais sobre h φ, e a partir destas, as

frontais.



2. Secções de Cones

Determinação prévia do tipo de secção produzida no cone por um plano projectante

Sempre que nos deparamos com este tipo de problema, é conveniente que saibamos, de antemão, qual será o tipo de secção produzida no cone, de modo a melhor podermos escolher o processo de resolução a utilizar.

• Por plano paralelo à base

Se o plano secante for paralelo à base do cone, a secção produzida será um CÍRCULO.

• Por planos não paralelos à base

Situação 1 – plano secante oblíquo à base e a todas as geratrizes

O plano não intersecta a base - a figura da secção é uma ELIPSE

O plano intersecta a base - a figura da secção é uma parte de ELIPSE



Situação 2 – plano secante paralelo a uma geratriz

A figura da secção é uma PARÁBOLA

Situação 3 – plano secante paralelo ao eixo do cone (ou a duas geratrizes)

A figura da secção será um ramo de HIPÉRBOLE

Situação 4 – plano secante contém o vértice do cone

A figura da secção será um TRIÂNGULO



Note-se que estas conclusões, desde que necessariamente adaptadas, serão igualmente válidas, seja qual for a posição do plano que contém a base do cone em relação aos Planos de projecção e independentemente do facto de o cone ser recto ou oblíquo.

Processo para determinar a secção num cone

Determinar se plano corta a base

do sólido (se intersectar a base, fá-

lo sempre em dois pontos). Quando

o plano secante não intersecta a

base do cone, significa que a secção

resultante será uma elipse;

Determinar os pontos de intersecção

do plano secante com as geratrizes

que pertencem aos contornos

aparentes (horizontal e frontal);

Determinar o(s) ponto(s) máximo(s)

da curva da secção (ponto W no

exemplo) – estes pontos pertencem

aos eixos da figura da secção

(elipse, porção de elipse, parábola

ou ramo de hipérbole);

Determinar outros pontos da secção

(em número suficiente para a sua

representação) através de um dos

seguintes métodos:

- intersecção do plano secante com

outras geratrizes do cone

- recurso a secções produzidas por planos paralelos à base (plano de nível β no exemplo)



3. Secções de Primas

Processo para determinação de secções em prismas

Determinar se o plano secante corta a(s) base(s) do sólido (se intersectar a base, fá-lo

sempre em dois pontos);

Determinar os pontos de intersecção do plano secante com as arestas laterais.



4. Secções de Cilindros

No caso do cilindro, tal como acontece com o cone, é conveniente que saibamos, de antemão, qual será o tipo de secção produzida no cilindro, de modo a melhor podermos escolher o processo de resolução a utilizar.

Tomando como exemplo um cilindro de revolução de base horizontal podemos estabelecer as seguintes conclusões:

Se o plano secante for paralelo às bases do cilindro, a secção produzida será um círculo.

Se o plano secante for oblíquo, em relação às bases do cilindro, poderemos as seguintes figuras de secção:

1- Elipse 2- Porção da Elipse

Exemplos



Processo para determinação de secções em cilindros

Determinar se o plano secante corta a(s) base(s) do sólido (se intersectar a base, fá-lo

sempre em dois pontos), definindo assim o tipo de secção obtida;

Determinar os pontos de intersecção do plano secante com as geratrizes dos contornos

aparentes (horizontal e frontal);

Determinar outros pontos da secção (em número suficiente para a sua representação)

através de um dos seguintes métodos:

- intersecção do plano secante com outras geratrizes do cilindro

- recurso a secções produzidas por planos paralelos às bases

5. Secção da Esfera

No caso da esfera, a secção produzida será sempre um círculo, o qual poderá apresentar-se em

verdadeira grandeza, numa das projecções, dependendo do tipo de plano secante.



SECÇÕES PRODUZIDAS EM SÓLIDOS - CONCLUSÕES GERAIS

Sempre que um sólido é seccionado por um plano projectante, os pontos de secção serão

determináveis na intersecção entre o traço absorvente do plano e a projecção do sólido

correspondente, a saber:

- se o plano secante for horizontal, os pontos de secção determinar-se-ão na intersecção entre o

seu traço (único) frontal e a projecção frontal do sólido (após o qual se determinará então a

projecção horizontal de cada ponto de secção)

- se o plano secante for frontal, os pontos de secção determinar-se-ão na intersecção entre o

seu traço (único) horizontal e a projecção horizontal do sólido (após o qual se determinará então

a projecção frontal de cada ponto de secção)

- se o plano secante for de topo, os pontos de secção determinar-se-ão na intersecção entre o

seu traço frontal e a projecção frontal do sólido (após o qual se determinará então a projecção

horizontal de cada ponto de secção)

- se o plano secante for vertical, os pontos de secção determinar-se-ão na intersecção entre o

seu traço horizontal e a projecção horizontal do sólido (após o qual se determinará então a

projecção frontal de cada ponto de secção)

- se o plano secante for de perfil, as projecções frontal e horizontal dos pontos de secção

determinar-se-ão, respectivamente, na intersecção entre os traços frontal e horizontal do plano e

a projecção frontal e horizontal do sólido, uma vez que o plano de perfil, contendo rectas

projectantes frontais e horizontais, é um plano duplamente projectante.

- se o plano secante for de rampa, apesar de não ser um plano projectante, os pontos de

secção poderão ser determinados na intersecção entre o seu traço lateral (3ª projecção) e a

projecção lateral do sólido, com recurso à representação triédrica (e após o qual se

determinarão então, por inversão do processo, as projecções frontal e horizontal de cada ponto

de secção).

- se o plano secante for (de rampa) passante, os pontos de secção poderão ser determinados

na intersecção entre o seu traço lateral e a projecção lateral do sólido, com recurso à

representação triédrica (e após o qual se determinarão então, por inversão do processo, as

projecções frontal e horizontal de cada ponto de secção).

Se o plano secante for oblíquo (não-projectante no sistema diédrico ou triédrico), os pontos de

secção deverão ser determinados com recurso ao Método Geral de Intersecção de Planos,

considerando-se um plano auxiliar para cada face ou aresta do sólido e determinando-se a

intersecção de cada uma com o plano oblíquo dado.

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