Secções Cônicas

José Antônio Araújo Andrade Graziane Sales Teodoro

Ana Paula Pedroso

Secções Cônicas

Elipse

Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta só uma das duas folhas do cone, a cônica é uma elipse.

Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se elipse ao conjunto dos pontos P do plano tais que

1F 2F

1 2, ,d P F d P F é constante.

ANIMAÇÕES

ouFazendo o esboço com um lápis...

Verificando a soma...

Simetria: Pela própria definição a elipse é uma curva simétrica em relação à reta e também à mediatriz do segmento conforme mostra a figura.

1 2 ,FF

1 2 ,FF

O.

2F.

1F.

Mediatriz de 1 2FF

P.P.

P.

Equações de Elipses na posição-padrão

..

a a

cc

b

b

.. 2 2b cb

cc.P

.Q2 2b c

a c

a c 2 2 2 2b c b c a c

2a 2 22 b c

a 2 2b c

1,dist F Q a

2 ,dist F Q a

1 2, , 2dist F Q dist F Q a

2 2 2a b c

1 ,0F c .

1,d F P

1 2, , constantedist P F dist P F

y

x

,P x y.

2 ,0F c.

1 2, , 2dist P F dist P F a

2 2x c y

2 ,d F P 2 2x c y

sabemos que

2 22 2 2x c y x c y a

2 2

2 22 2 2x c y x c y a

22 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( )x c y a a x c y x c y

2 2

2 2 2 22 ( )x c y a x c y

22 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x xc c a a x c y x xc c

2 2 2( )a x c y a xc

222 2 4 2 22a x c y a a xc x c

2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2a x a xc a c a y a a xc x c

2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c

2 2 2 2 2 2 4 2 2a x x c a y a a c

2 2 2 2 2 2b x a y a b 2 2 2 2 2 2a b a b a b

2 2 2 2 2 2b x a y a b

lembrando que resulta 2 2 2 ,a b c

2 2

2 21

x y

a b

com focos em centro

,Ox 0,0 . e b a

2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c

ELIPSES EM POSIÇÃO-PADRÃOy

x

y

x ,0c.

,0c.

aa

b

b

,0c

.

,0c.

a

a

bb

2 2

2 21

x y

a b

2 2

2 21

y x

a b

Uma técnica para esboçar elipses

Determinar se o eixo maior está sobre o eixo x ou o eixo y. Isso pode ser verificado a partir do tamanho dos denominadores na equação. Tendo em mente que a2 > b2 (uma vez que a > b), o eixo maior está ao longo do eixo x se x2 tiver o maior denominador, e está ao longo do eixo y se y2 tiver o maior denominador. Se os denominadores forem iguais, a elipse é um círculo.

Determine os valores de a e b e desenhe uma caixa estendida a unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo maior, e b unidades em cada lado a partir do centro ao longo do eixo menor.

Usando a caixa como guia, esboce a elipse de modo que seu centro está na origem e toca os lados da caixa onde os lados interseccionam os eixos coordenados.

Exemplo 1: Esboce os gráficos das elipses.

2 2

19 16

x y (a) 2 22 4x y (b)

Exemplo 2: Determine uma equação para a elipse com focos e o eixo maior com extremos 0, 2 0, 4 .

Se o plano secante não é paralelo a uma geratriz e corta ambas as folhas do cone, a cônica é uma hipérbole.

Definição: Dados dois pontos e do plano, chama-se hipérbole ao conjunto dos pontos do plano tais que

1F 2F

1 2, ,d P F d P F é constante.

P

Hipérbole

Equações da hipérbole na posição-padrão

c c

a a1F 2F

1F 2F

a

c

Do triângulo retângulo obtido no esquema ao lado, chamaremos de b o cateto ainda indefinido e escreveremos que

2 2 2b c a b

2 2b c a

2 2c a b

a a

c a c a

Pela definição de hipérbole

1 2, , constante:dist P F dist P F

1 2, , 2dist P F dist P F a

para 1 2, ,dist P F dist P F

P

V

2c a a c a 2a

daí

a a

,P x y

V ,0c ,0c

1 2, , 2 ,dist P F dist P F a

sabemos que

então vale que

2 22 2 2x c y x c y a

2 2

2 22 2 2x c y x c y a

22 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( )x c y a a x c y x c y

2 2

2 2 2 22 ( )x c y a x c y

22 2 2 2 2 22 4 4 ( ) 2x xc c a a x c y x xc c

2 2 2( )a x c y xc a

22 2 2 2 2 2 2 2 2 42 2a x a xc a c a y x c a xc a

2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c

2 2 2 2 2 2 4 2 2a x x c a y a a c

2 2 2 2 2 2b x a y a b 2 2 2 2 2 2a b a b a b

2 2 2 2 2 2b x a y a b

lembrando que resulta 2 2 2 ,c a b

2 2

2 21

x y

a b

2 2 2 2 2 2b x a y a b

2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c

y

x.

HIPÉRBOLES EM POSIÇÃO-PADRÃO

0,c

0, c

a

a

bb

2 2

2 21

x y

a b

2 2

2 21

y x

a b

aa

b

b

. ,0c ,0c

y

x

.

.b

y xa

by x

a

ay x

b

ay x

b

...

.

Uma técnica para esboçar hipérboles

Determine se o eixo focal está sobre o eixo ou eixo .

Determine os valores e e desenhe um retângulo...

Desenhe as assíntotas ao longo das diagonais do retângulo.

Usando o retângulo e as assíntotas como guia, esboce o gráfico da hipérbole.

x y

a b

Exemplo 3: Esboce os gráficos das hipérboles

mostrando os vértices, focos e assíntotas.

2 2

14 16

x y (a) 2 2 1y x (b)

Exemplo 4: Determine a equação da hipérbole com vértice

e assíntotas 0, 8 4.

3y x

Se o plano secante é paralelo a uma geratriz do cone, a cônica é uma parábola.

Definição: Dados um ponto e uma reta (diretriz) de um plano, chama-se parábola ao conjunto dos pontos do plano que equidistam do ponto e da reta Ou seja,

dF

, ,dist P F dist P DF .d

Parábola

Equações de parábolas na posição-padrão

Diretriz

Eixo de Simetria. .p p2p

2p

y

x

y

x. ,0p

x p x p

. ,0p

PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃOCom vértice na origem e eixo de simetria a reta Ox

.

2 4y px 2 4y px

.

y

x

y

x

. 0, p

y p

y p

. 0, p

PARÁBOLAS EM POSIÇÃO-PADRÃOCom vértice na origem e eixo de simetria a reta Oy

.

2 4x py 2 4y px

.

y

x.

,0F p

. ,D p y ,P x y.

Pela definição de parábola, sabemos que

dist PF dist PD

PF PD

dito de outra forma

2 22x p y x p

2 2PF x p y

2PD x p

considerando que

2 22x p y x p 2 2

2 22x p y x p

2 2 22x xp p y 2 22x xp p

22 2xp y xp

2 4y px

Uma técnica para esboçar parábolasDetermine se o eixo de simetria está ao longo do eixo x ou eixo y. O eixo de simetria está ao longo do eixo x se a equação tiver um termo y2, e está ao longo do eixo y se tiver um termo x2.Determine de que maneira a parábola se abre. Se o eixo de simetria estiver ao longo do eixo x, então a parábola abre-se à direita se os coeficientes de x forem positivos, e abre-se à esquerda se os coeficientes forem negativos. Se o eixo de simetria estiver ao longo do eixo y, então a parábola abre-se para cima se os coeficientes de y forem positivos, e abre-se para baixo se forem negativos.Determine o valor de p e desenhe uma caixa que se amplie p unidades da origem ao longo do eixo de simetria em direção na qual a parábola abre e se estende 2p unidades, em cada lado do eixo de simetria.Usando a caixa como guia, esboce a parábola de forma que seu vértice esteja na origem e passa nos cantos da caixa.

Exemplo 5: Esboce o gráfico das parábolas.

e mostre o foco e a diretriz de cada um.

2 12x y(a) 2 8 0y x (b)

Exemplo 6: Determine uma equação da parábola que é simétrica em relação ao eixo , tem vértice na origem e passa no ponto .

y 5,2

CÔNICAS TRANSLADADAS

Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo 2

4y k p x h

24y k p x h

,h k x

[aberta à direita]

[aberta à esquerda]

Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo Parábolas com vértice e eixo paralelo ao eixo 2

4x k p y h

24x k p y h

,h k y

[aberta para cima]

[aberta para baixo]

Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo

,h k x

2 2

2 21

x h y k

a b

b a

Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo Elipse com centro e eixo maior paralelo ao eixo

,h k y

2 2

2 21

x h y k

b a

b a

Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo

,h k x

2 2

2 21

x h y k

a b

Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo Hipérbole com centro e eixo focal paralelo ao eixo

,h k y

2 2

2 21

y k x h

a b

Exemplo 7: Determine uma equação para a parábola que tenha seu vértice em e o foco em . 1,2 4,2

Exemplo 8: Determine o gráfico da equação

2 8 6 23 0y x y

Exemplo 9: Descreva o gráfico da equação

2 216 9 64 54 1 0x y x y

Exemplo 10: Descreva o gráfico da equação

2 2 4 8 21 0x y x y

CÔNICAS ROTACIONADAS

Uma equação da forma

É chamada de uma equação de segundo grau em e . O termo nesta equação é chamado de termo misto. Se o termo misto estiver ausente da equação , então a equação se reduz a e, neste caso, o gráfico é uma secção cônica (possivelmente degenerada) que esta ou na posição-padrão ou transladada. Pode ser provado que se o termo misto estiver presente , então o gráfico é uma cônica (possivelmente degenerada) rodada de sua orientação-padrão.

2 2 0ax bxy cy dx ey f

x ybxy

0b 2 2 0ax cy dx ey f

PROPRIEDADES DA REFLEXÃO

DAS

SEÇÕES CÔNICAS

TEOREMA I (Propriedade de Reflexão da Parábola): A reta tangente em um ponto sobre a parábola faz ângulos iguais com a reta que passa por paralela ao eixo de simetria e com a reta que passa por e o foco.

PP

P

P

Eixo de simetria

Reta tangente em P

Foco

...P

Reta tangente em P

TEOREMA II (Propriedade de Reflexão da Elipse): Uma reta tangente a uma elipse em um ponto faz ângulos iguais com as retas que unem aos focos.P

P

TEOREMA III (Propriedade de Reflexão da Hipérbole): Uma reta tangente à hipérbole em um ponto P faz ângulos iguais com as retas que unem P aos focos.

..

Reta tangente em P

P.

ANIMAÇÕES

Propriedade de Reflexão da Elipse

Propriedade de Reflexão da Hipérbole

Propriedade de Reflexão da Parábola