SeminárioSeminário MATEMÁTICA NAMATEMÁTICA NAAbERTA AbERTA 22 Abril 200922 Abril 2009

Geometria do mercado Geometria do mercado financeirofinanceiroTANYA ARAÚJOTANYA ARAÚJOResearch Unit on Complexity and Economics (UECE) Departamento de Economia – ISEG UTL

Conteúdo 1 Geometria do Mercado Financeiro

Reconstrução de espaços de mercadoReconstrução de espaços de mercado

Forma do Espaço e ocorrência de crisesForma do Espaço e ocorrência de crises

Medida de EstruturaMedida de Estrutura

Nova estrutura a partir de 1997Nova estrutura a partir de 1997

2 Redes de Mercado

Da geometria à TopologiaDa geometria à Topologia

Redes dentro e fora das crisesRedes dentro e fora das crises

Distribuição da intensidade das ligaçõesDistribuição da intensidade das ligações

3 Sincronização

Estados, o papel dos sectoresEstados, o papel dos sectores

4 Trabalho em curso: precursores das crises

Volume, Skewness e kurtosis

A métrica

tomando os retornos diários e a partir das correlações entre os mesmos, definem-se distâncias entre empresas

)1(2 ijij cd

))(log())(log()(1kpkpkr

tt p: preçor: retorno

Espaços de mercado 1. As coordenadas de cada stock são

calculadas a partir das distâncias2. Corrigem-se as coordenadas em

relação ao Centro de Massa 3. Constrói-se o Tensor de Inércia

4.4. Identificamos as Identificamos as f f direcções direcções principais do Tensor por principais do Tensor por ccomparação à aplicação do mesmo processo usando Random Permutations dos dados originais

Geometria do Mercado FinanceiroGeometria do Mercado Financeiro

CC

IBMIBMIBMIBM

GEGEGEGE

AAAAAAAA

BABABABA

SSSS

TTTT

KKKK

Qual é o nº de dimensões da variedade (geométrica) capaz de representar todas as empresas consideradas?

S&P500 e Dow Jones, dados diários

35 empresas, 10 anos 70 empresas, 10 anos 249 empresas, 33 anos 253 empresas, 35 anos 253 empresas, 22 anos 424 empresas, 10 anos

Em todos os casos: bastam 6 dimensões !

Geometria do Mercado Financeiro

Cada distância contém

componente sistemática componente sistemática ccijij +

componente específica componente específica ii jj

a componente sistemática de ca componente sistemática de cijij cabe cabe

em em f f dimensões dimensões f f <<N<<N

Reconstrução de espaços de mercado

dd

IBMIBM

GEGE

Valores próprios ordenados e normalizadosValores próprios ordenados e normalizados

+(1-+(1-’)’)

: actual’ : random

Geometria do Mercado FinanceiroReconstrução de espaços de mercado

0 10 20 300.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

11998-2008 424 Stocks

+

(1-

*)

0 10 20 300.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

+

(1-

*)

1988-2008 253 Stocks

Redes de Mercado

Haverá modificações da Formada Forma do espaço de mercado ?

Forma do Espaço e ocorrência de crises

Forma “esférica”Proporcionalidade

entre as projecções em todas as dimensões é

típicado “surrogate data” e

dos períodos de “business-as-usual”

Durante as crises há uma distorção na

forma acrescida da redução das distâncias

-0.5

0

0.5

-0.5

0

0.5-0.5

0

0.5

Uti IT Fin Heal Cons Ind Ene

-0.5

0

0.5

-0.5

0

0.5-0.5

0

0.5

Uti IT Fin Heal Cons Ind Ene

-0.5

0

0.5-0.5

0

0.5

-0.5

0

0.5

Uti IT Fin Heal Cons Ind Ene

A Forma do Mercado: S&P500

Redes de Mercado

Estarão orientadas pelo comportamento dentro dos

sectores?

Forma do Espaço e ocorrência de crises

-0.50 0.5-0.500.5

-0.5

0

0.5

2001 253 stocks

e2

e3

-0.5 0 0.5-0.500.5

-0.5

0

0.5

e1

2007 253 stocks

e3

e2

-0.50 0.5

-0.50

0.5

-0.5

0

0.5

e1

1992 253 stocks

e3

e2

-0.50

0.5

-0.500.5

-0.5

0

0.5

e1

Surrogate Data 253 stocks

e3

e2

as crises reforçam a estrutura,provocam interpretações mais homogéneas dos processos de

mercado

Estrutura = resultado da interpretação da

Economia por parte dos seus agentes

-0.5

0

0.5-0.5

0

0.5

-0.5

0

0.5

Uti IT Fin Heal Cons Ind Ene

Geometria do Mercado FinanceiroÌndice de Estrutura

Distorções na FormaDistorções na Forma

6

1

1)(

)('

i t

tt i

iS

Ìndice de Ìndice de EstruturaEstrutura

A partir de 1997 aparecem períodos em que a forma do

espaço de mercado é frequentemente

distorcida

: actual’: random

17/04/71 07/10/76 30/03/82 20/09/87 12/03/93 02/09/98 23/02/04 15/08/090

10

20

30

40

50230 stocks

S

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 080

5

10

15

20253 stocks A new regime after 1997

S

S>

5

Redes de MercadoRedes de Mercado

Como passar às Redes de Mercado?

Os coeficientes de rede aplicam-se a redes esparsas ( k << N)As redes de mercado são redes completas

1. hierarchical clustering

2. minimal spanning tree

3. LD6 menor dist. em R6

que garante a

conectividade da rede

4. Projectam-se as dist.

02

12

,,6

,,6

6

6

jiD

ji

jiD

ji

bL

d

bL

d

Aug2000

28

Energy

73

Industrial

114

Consumer

44

Health

70

Financial

56

Technology

39

Utilities

Períodos normais têm muito poucas ligações

Redes de Mercado

Os agentes económicos em períodos de crise comportam-se de forma mais uniforme, maiscorrelacionada.Este comportamento é reflectido na variação dos preços das acções.

Redes de MercadoTopologia

Jan2008

28

Energy

73

Industrial

114

Consumer

44

Health

70

Financial

56

Technology

39

Utilities

Períodos de crise: aumento do nº de ligações sobretudo dentro dos sectores

Redes de Mercado

Redes de MercadoTopologia

Sep2001

28

Energy

73

Industrial

114

Consumer

44

Health

70

Financial

56

Technology

39

Utilities

Nalgumas crises: aumentogeneralizado do nº de ligaçõesem todos os sectores

Redes de MercadoRedes de Mercado

Coeficiente de distribuição das ligações fortes e fracas

1. hierarchical clustering

2. minimal spanning tree

3. LD6

4. Coeficiente de

distribuição das

ligações fortes e fracas

1997 1998 2000 2001 2002 2004 2005 2006 20080

0.5

1

1.5424 stocks From Jan.1998 to Mar.2008

R

1997 1998 2000 2001 2002 2004 2005 2006 2008

R>0

.5

66

66

),(

6

),(

6

),(

),(

Dt

Dt

Ljid

t

Ljid

t

tjid

jid

R

SincronizaçãoSincronização

Redes de MercadoEstados

Sep2001

Uti IT Fin Heal Cons Ind Ene

Mar1998otherwises

Ljids

i

Dti

02

),(166

O estado

depende da

existência de

ligação dentro

ou fora do

sector da

companhia

Redes de MercadoTopologiaEstados

Dec2007

Jan2008

Feb2008

Uti IT Fin Heal Cons Ind Ene

Aug2000

Sep2000

Caracterização da Forma

Volume, assimetria e abas

Mardia: Skewness K3 e Kurtosis K4

O Volume é o produto do primeiros 6 val.próprios

K3 e K4 são calculados depois da normalização pelo Volume

n

i

n

jji XXSXX

nK

1 1

31'

23

1

n

iii XXSXX

nK

1

21'

4

1

Precursores?Forma enquanto precursora das crises?

Forma enquanto precursora das crises?

07/09/97 17/09/97 27/09/97 07/10/97 17/10/97 27/10/97 06/11/97

102

K4

w=8 2nd Black Monday: 27/10/97

28/08/97 07/09/97 17/09/97 27/09/97 07/10/97 17/10/97 27/10/97 06/11/97 16/11/9710

0

101

102

K3

w=8 2nd Black Monday: 27/10/97

07/09/97 17/09/97 27/09/97 07/10/97 17/10/97 27/10/97 06/11/97

10-3

V

w=8 2nd Black Monday: 27/10/97

07/09/97 17/09/97 27/09/97 07/10/97 17/10/97 27/10/97 06/11/97850

900

950

1000

PS

&P

500

Forma enquanto precursora das crises?

-10

1-1

01

-1

0

1

08/31/01

-10

1-1

01-1

0

1

09/03/01

-10

1-1

01

-1

0

1

09/04/01

-10

1-1

01

-1

0

1

09/05/01

-10

1-1

01-1

0

1

09/06/01

-10

1-1

01

-1

0

1

09/07/01

-10

1-1

01

-1

0

1

09/12/01

-10

1-1

01-1

0

1

09/14/01

-10

1-1

01

-1

0

1

09/17/01

08/31/01 09/03/01 09/04/01

09/05/01 09/06/01 09/07/01

09/12/01 09/14/01 09/17/01

Para além da EconomiaPara além da Economia

novamente a Economia …

Dinâmica inter-sectorial

-1

-0.5

0

0.5

-0.5

0

0.5

1

1.5-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

142836913226

18

2220647355

16702931746045905272

65637585243380305125

e2

19

21

6237540

152366

34

276741175013

35

9271

61

e1

e3

Printed matter and recorded media 22

Trade, maintenance and repair services of motor vehicles and mo 50

Wholesale trade and commission trade services, except of motor v 51

Retail trade services, exc. of motor vehicles and motorcy.; repair 52

Supporting and auxiliary transport services; travel agency services 63

Post and telecommunication services 64

Financial intermediation services, except insurance and pension 65

Insurance and pension funding services, except compulsory social 66

Services auxiliary to financial intermediation 67

Real estate services 70

Renting services of machinery and equipment without operator a 71

Computer and related services 72

Research and development services 73

Other business services 74

Education services 80

Health and social work services 85

Sewage and refuse disposal services, sanitation and similar 90

Membership organisation services n.e.c. 91

Recreational, cultural and sporting services 92

Dinâmica inter-sectorial

5

13

14

15

16

1718

1920

2122232425262728

2930

3132

33

34

35

36

37

40

41

45

50

51

5255

6061

6263 64 65 66 67 70 71

7273

7475

80

85

90

91

92

5

13

14

15

16

1718

1920

2122232425262728

2930

3132

33

34

35

36

37

40

41

45

50

51

5255

6061

6263 64 65 66 67 70 71

7273

7475

80

85

90

91

92

5

13

14

15

16

1718

1920

2122232425262728

2930

3132

33

34

35

36

37

40

41

45

50

51

5255

6061

6263 64 65 66 67 70 71

7273

7475

80

85

90

91

92

5

13

14

15

16

1718

1920

2122232425262728

2930

3132

33

34

35

36

37

40

41

45

50

51

5255

6061

6263 64 65 66 67 70 71

7273

7475

80

85

90

91

92

Printed matter and recorded media 22

Trade, maintenance and repair services of motor vehicles and mo 50

Wholesale trade and commission trade services, except of motor v 51

Retail trade services, exc. of motor vehicles and motorcy.; repair 52

Supporting and auxiliary transport services; travel agency services 63

Post and telecommunication services 64

Financial intermediation services, except insurance and pension 65

Insurance and pension funding services, except compulsory social 66

Services auxiliary to financial intermediation 67

Real estate services 70

Renting services of machinery and equipment without operator a 71

Computer and related services 72

Research and development services 73

Other business services 74

Education services 80

Health and social work services 85

Sewage and refuse disposal services, sanitation and similar 90

Membership organisation services n.e.c. 91

Recreational, cultural and sporting services 92

Araújo, T. and Vilela Mendes, R. Market shape: are there precursors? em preparação

Araújo, T. and Louçã, F. (2009)Modeling Network of Agents - A metaphoric exploration of the unexpected, International Journal of Agent Technologies and Systems, Junho 2009.

Araújo, T. and Louçã, F. (2008)The Seismography of Crashes in Financial Markets      

Physics Letters A, Volume/issue: 372/4 pp. 429-434.

Araújo, T. and Louçã, F. (2007)The Geometry of Crashes: A measure of the dynamics of stock market crises

Quantitative Finance, n.7, v.1, pp.63-74.

Vilela Mendes, R., Araújo, T.; and Louçã, F.  (2003)Reconstructing an Economic Space from a Market Metric       

Physica A n.323, pp.625-648.

Redes de MercadoArtigos

• Tanya Araújo and Francisco Louça, 2008

The Dynamics of Speculative Markets: The Case of Portugal's PSI20, Working Paper 2008/34, Department of Economics, ISEG-UTL

• Tanya Araujo & Francisco Louçã, 2008

Tribes under Threat - The Collective Behavior of FirmsDuring the Stock Market Crisis, Working Paper 2008/28, Department of Economics, ISEG-UTL.

• Tanya Araujo & Francisco Louçã, 2008

Bargaining Clouds, or Mathematics as a MetaphoricExploration of the Unexpected, Working Paper 2008/27, Department of Economics, ISEG-UTL.

• Tanya Araujo & Francisco Louçã, 2008

Trouble Ahead - The Subprime Crisis as Evidence of a New Regime in the Stock Market Working Paper 2008/26, Department of Economics, ISEG-UTL.

Working Papers(pascal.iseg.utl.pt/~tanya)