lista de exercıcios

sequencias e series de funcoes

Adilson E. Presoto

O texto base desta lista e o Capıtulo 12 de [1]

1. Mostre que a sequencia de funcoes fn : [0,∞)→ R, dadas por fn(x) = xn/(1 + xn), converge pontual-mente. Determine a funcao limite, mostre que a convergencia nao e uniforme.

2. Prove que a sequencia do exercıcio anterior converge uniformemente em todos os intervalos do tipo[0, 1− δ] e [1 + δ,∞), 0 < δ < 1.

3. (Criterio de Cauchy) Uma sequencia de funcoes converge uniformemente se, e somente se, para todoε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal que m,n ≥ n0 ⇒ |fm(x)− fn(x)| < ε qualquer que seja x ∈ X. Forumuleo Criterio de Cauchy para a convergencia uniforme de Series de Funcoes e o prove.

4. Se a sequencia de funcoes fn : X → R converge uniformemente para f : X → R, prove que f e limitadase, e somente se, existem K > 0 e n0 ∈ N tais que n ≥ n0 ⇒ |fn(x)| ≤ K para todo x ∈ X.

5. Se a sequencia de funcoes fn : X → R e tal que f1 ≥ f2 ≥ . . . ≥ fn ≥ . . . e fn → 0 uniformemente em

X, prove que

∞∑n=1

(−1)nfn converge uniformemente em X.

6. Se

∞∑n=1

|fn(x)| converge uniformemente em X, prove que

∞∑n=1

fn(x) tambem converge uniformemente em

X.

7. Mostre as afirmacoes (1)− (4) da pagina 161 de [1].

8. Se fn → f e gn → g uniformemente no conjunto X, prove que fn + gn → f + g uniformemente em X.Prove ainda que se f e g forem limitadas entao fngn → fg uniformemente em X. Finalmente se existirc > 0 tal que |g(x)| ≥ c para todo x ∈ X, prove que 1/gn → f/g uniformemente em X.

9. Seja p : R → R um polinomio de grau maior do que ou igual a 1. Mostre que a sequencia de funcoesfn : R → R, dadas por fn(x) = p(x) + 1/n, converge uniformemente para p em R, porem (f2n)n∈N naoconverge uniformemente para p2.

10. Seja a sequencia de funcoes fn : [0, 1] → R, onde fn(x) = sen (nx)/√n. Prove que (fn)n∈N converge

uniformemente para 0 mas a sequencia das derivadas f ′n nao converge em ponto algum do intervalo [0, 1].

11. Mostre que a sequencia de funcoes gn(x) = x + xn/n converge uniformemente no intervalo [0, 1] parauma funcao derivavel g e a sequencia das derivadas g′n converge pontualmente em [0, 1], mas g′ nao eigual a lim g′n.

12. Seja g : Y → R uniformemente contınua. Se a sequencia de funcoes fn : X → R converge uniformementepara f , com f(X) ⊂ Y e fn(X) ⊂ Y para todo n ∈ N, prove que g ◦ fn → g ◦ f uniformemente em X.Analise tambem a questao mais simples da convergencia fn ◦ g → f ◦ g.

13. Sejam X compacto, U aberto e f : X → R contınua tal que f(X) ⊂ U . Se uma sequencia de funcoesfn : X → R converge uniformemente para f , prove que existe n0 ∈ N tal que se n ≥ n0 entao fn(X) ⊂ U .

14. Se uma sequencia de funcoes contınuas fn : X → R converge uniformemente num conjunto densoD ⊂ X, prove que (fn)n∈N converge uniformemente em X.

1

15. A sequencia de funcoes fn : [0, 1]→ R, fn(x) = nx(1−x)n, converge, porem nao uniformemente. Mostreque, apesar disso, vale ∫ 1

0

[lim

n→∞fn

]dx = lim

n→∞

[∫ 1

0

fndx

].

16. Dada uma sequencia de funcoes fn : X → R, suponha que exista c ∈ R, tal que n√|fn(x)| ≤ c < 1

para todo x ∈ X e todo n ∈ N suficientemente grande. Prove que

∞∑n=1

|fn(x)| e

∞∑n=1

fn(x) convergem

uniformemente em X.

17. No exercıcio anterior, suponha que f1 e limitada, que fn(x) 6= 0 para todo x ∈ X e todo n ∈ N e,em vez de n

√|fn(x)| ≤ c < 1, suponha que |fn+1(x)/f(x)| ≤ c < 1 para todo x ∈ X e todo n ∈ N

suficientemente grande. Obtenha a mesma conclusao.

Referencias

[1] lima, e., l., Analise Real - funcoes de uma variavel, vol. 1, 10aedicao, Projeto Euclides, Instituto deMatematica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2010.

2