Séries infinitas

{uk} = {u1, u2, u3, ..., un ...} é uma sequência infinita

A soma dos termos dessa sequência é uma série infinita

∑𝑘=1

∞

𝑢𝑘=𝑢1+𝑢2+𝑢3+…+𝑢𝑘+…

uk são os termos da série infinita ∑𝑘=1

∞

𝑢𝑘

Ex: 0,3333 ... Dízima periódica simples

0,3333 ... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = 1/3 Mostrar!

Ex: 2,5434343 ... = 2 Dízima periódica composta

• A n-ésima soma parcial da série

A convergência de uma série

∑𝑘=1

∞

𝑢𝑘

Sn = ∑1

𝑛

𝑢𝑘=𝑢1+𝑢2+𝑢3+…+𝑢𝑛

{Sn } = sequência infinita de somas parciais (SSP)

{Sn } = {S1, S2, S3, ..., Sn, ... }

S1 = u1; S2 = S1 + u2 = u1 + u2

S3 = S2 + u3 = u1 + u2 + u3

.........Sn = Sn-1 + un = u1 + u2 + u3 + ... + un

Seja Sn = ∑1

𝑛

𝑢𝑘=𝑢1+𝑢2+𝑢3+…+𝑢𝑛

Se a sequência de somas parciais (SSP)

{Sn }n=1 = {S1, S2, ..., Sn, ...}

convergir para um limite S dizemos que a série

converge para S e que S é a soma da série.

Escrevemos S = (na verdade, S = )

Se {Sn } n=1 diverge dizemos a a série diverge (não tem soma).

Exemplo: verificar se as séries convergem ou divergem.a) 1 -1 + 1 – 1 + ... + (-1)n+1, ...

Algumas séries especiais!

1. As séries geométricas

para n ≠ 0 convergem para S = se |q| < 1 e divergem se |q| ≥ 1

Exemplos (p. 647)

2. As séries telescópicas

=

convergem para 1.

3. As séries p ou séries híper harmônicas (p > 0)

= 1+

convergem se p > 1 e divergem se 0 < p < 1

Exemplos: a)

Propriedades das séries (propriedades dos somatórios)

a) Se e

-

b) Se a ≠ 0 então as séries e ou ambas convergem ou

ambas divergem e

= e =

= c) A convergência ou divergência não é alterada pela retirada de um número finito de termos de uma série, isto é, para Ⱪ > o e inteiro,

∑1

∞

𝑢𝑘=𝑈 1+𝑈 2+𝑈 3+…∑Ⱪ

∞

𝑢𝑘=𝑈Ⱪ +𝑈Ⱪ+1+𝑈Ⱪ+2+…

ambas convergem ou ambas divergem

Exemplos (página 654)

Testes de convergência

Séries alternadas, convergências condicional e absoluta