-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
1
Anlises Esttica em Sistemas
Eltricos de Potncia
Prof. Edmarcio Antonio Belati
[email protected]
Aula 1Aula 1Apresentao do CursoModelagem dos Componentes do
Sistema Eltrico
Equaes de Fluxo de Carga
05/02/2015
PGEE
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
APRESENTAO DO CURSO
EEL-201: Anlises Esttica em Sistemas Eltricos de Potncia
https://sites.google.com/site/belatiufabc/anasep
Professores:
Edmarcio A. Belati [email protected] Faria -
[email protected]
Avaliao
Trabalhos, Seminrios, prova.
(50% Prof. Edmarcio e 50% Prof. Haroldo)
Contedo: Modelagem do Sistema; Fluxo de Cara AC com
Controles e Limites;Sensibilidade em FC AC; Programas de
Anlises Esttica em SEP; Fluxo de Carga DC; Fluxo de Carga
para Distribuio.
2
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
INTRODUO AO SISTEMA ELTRICO
Da Gerao at a Carga
GERAO
SUBESTAES ELEVADORAS
LINHA DE TRANSMISSO
SUBESTAES ABAIXADORAS
LINHA DE DISTRIBUIO
TRANSFORMADORES ABAIXADORES
EQUIPAMENTOS ELTRICOS E
ELETRNICOS3
Hidroeltricas,
Parques elicos,
Usinas nucleares e etc.
gerao
distribuda
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Estrutura geral do sistema de Potncia:
INTRODUO AO SISTEMA ELTRICO
4
inversor
conversor
c.c .
c.a.
transmisso
distribuio
transformador
gerao
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
DEFINIES
Anlises Esttica:
Utilizada para obter o estado de operao da rede em regime
permanente (o comportamento dinmico no considerado).
Modelagem Esttica:
A rede representada por um conjunto de equaes e inequaes
algbricas.
Ferramentas Utilizadas na Anlises Esttica:
Fluxo de Carga DC (FC DC) ou linearizado;
Fluxo de Carga AC (FC AC) ou no linear;
Fluxo de Potncia timo (FPO).
Obs. Estas ferramentas so utilizadas tanto no planejamento
como na operao.
5
Obs: Fluxo de Carga e Fluxo de Potncia (power flow and load
flow) representa a mesma ferramenta de anlise.
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Fluxo de Carga (aplicao na operao)
Anlise de segurana:
Vrias contingncias (acidentes) so simuladas e o estado de
operao da rede aps a contingncia deve ser obtido.
Eventuais violaes dos limites de operao (limite de tenso,
injeo de potncia reativa, transmisso de potncia entre
outras)
so detectadas e aes de controle corretivo e/ou preventivo so
determinadas.
DEFINIES
6
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Fluxo de Carga Aplicao na Planejamento:
Planejamento da operao (1 semana ou 1 ms):
Define os nveis mais econmicos de gerao de cada gerador do
sistema, necessrio definir quais geradores estaro em
operao e quando estaro.
Este problema est ligado diretamente a escala tima de
manuteno
preventiva/peridica, e tambm limitada pela disponibilidade
das
mquinas, que pode ser afetadas por paradas manuteno
corretiva.
Planejamento da expanso (5 a 20 anos):
Novas configuraes da rede so determinadas para atender ao
aumento da demanda e o estado de operao da rede para a
nova configurao deve ser obtido.
DEFINIES
7
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
ANLISES ESTTICA
A anlises esttica utilizada quando a rede est em regime
permanente.
Obs Quando h uma alterao na rede, h um tempo de oscilao at
voltar em regime permanente.
8
O estado de operao do circuito em regime permanente pode ser
representado pelo espao de estado (tenses nodais):
Espao de estado
Fluxo de Carga
V0
Espao de estado
Fluxo de Carga
V0
H uma alterao no estado
do sistema
(ex. uma chave foi aberta)
V1
Transitrio
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
FORMULAO DO PROBLEMA
Parte a considerar
(Fluxo de Carga para Transmisso)
9
inversor
conversor
c.c .
c.a.
transmisso
distribuio
transformador
gerao
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
FORMULAO DO PROBLEMA
Parte a considerar
(Fluxo de Carga para Distribuio)
10
inversor
conversor
c.c .
c.a.
transmisso
distribuio
transformador
gerao
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
1
Transmisso (Carga) DistribuioGerao
r +jx P2 +jQ2
2
P1 +jQ1
c.a..
Transmisso
(Carga) Distribuio
Gerao
FORMULAO DO PROBLEMA
11
Fluxo de carga para transmissoFluxo de carga para transmisso
shunt shunt
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
COMPONENTES DA REDE CONSIDERADO
NA FORMULAO
Gerador (G)Carga (L)Elemento shuntCompensador sncrono
Linhas de Transmisso (LT)Transformadores (TR)
Ligado entre um n (barra) qualquer
e o n terra
Ligados entre dois ns (barras)
quaisquer
Suceptncia shunt (bsh) Ligado entre a linha e a terra
Gerao
TR
LT
Carga
Elemento
shunt
shunt shunt
COMPONENTE POSIO
12
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Barra:
Os estudos de fluxo de potncia em geral utilizam um modelo
da
rede eltrica chamado de modelo barra-linha no qual as barras
(ou barramentos) so os ns da rede e as
linhas/transformadores
so os elos entre esses ns.
As barras na realidade, na transmisso, so condutores com
resistncia desprezveis, pelo menos quando comparadas com as
impedncias de linhas e transformadores e isto, justifica sua
representao na forma de ns eltricos nos quais a tenso
uma s em toda parte do condutor.
As barras em geral esto localizadas em subestaes e na
realidade podem ser constitudas por vrias sees de barras
ligadas atravs de chaves ou disjuntores. Na distribuio os
transformadores abaixadores (ex:13.8 kV para 220 V) so
considerados as barras do sistema.
COMPONENTES DA REDE
13
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Exemplo de um
sistema de 118
barras.
COMPONENTES DA REDE
14
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Gerador Sncrono:
A gerao de energia eltrica em grandes blocos processa-se
pela ao de mquinas rotativas que acionadas mecanicamente
por uma mquina primria (turbina hidrulica, a vapor, a gs, ou
mquina de combusto interna, ou turbina elica) produzem
atravs de campos de induo eletromagnticos, uma onda
senoidal de tenso com frequncia fixa e amplitude definida
pela
classe de tenso do gerador.
COMPONENTES DA REDE
15
TurbinaMquina
Sncrona
gua,
vapor
Potncia
menica
Potncia
eltrica
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
COMPONENTES DA REDE
16
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Controle da Mquina:
O gerador sncrono, na prtica, faz parte de um grande sistema
de
gerao, transmisso e distribuio de energia eltrica.
COMPONENTES DA REDE
17
Gerador
Transformador
Barramento
da Usina
ModeloPg, Qg
Sistema Eltrico
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Em relao as mquinas sncronas tem-se :
A tenso terminal (magnitude, ngulo de fase e frequncia)
determinada pela interao entre o gerador e o restante da rede.
Redes de grande porte so compostas por vrios geradores.
As seguintes aes de controle podem ser realizadas em
nogerador.
Abertura ou fechamento da vlvula de gua (hidro) ou vapor(turbo)
que aciona a turbina (fornece mais ou menos potncia);
Variao da corrente de campo do gerador (fazendo que amquina
absorva ou fornea potencia reativa).
COMPONENTES DA REDE
18
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Levando em conta todas as limitaes possveis na capacidade
dos geradores sncronos tem-se a seguinte curva final:
COMPONENTES DA REDE
19
Gerador Subexcitado recebe potncia reativa da
barra
Gerador Sobreexitado fornece potncia reativa a
barra
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Compensadores Sncronos:
Os compensadores sncronos podem ser encarados como um
caso particular de geradores sncronos para os quais a
potncia
ativa gerada nula.
So utilizados na compensao reativa do sistema, o que podem
fazer de forma dinmica, pois so mquinas sncronas com suas
capacidades de controle; ao contrrio de dispositivos
estticos
como os elementos shunts.
COMPONENTES DA REDE
20
Elementos shunts:
Os elementos shunts so basicamente capacitores e indutores.
Esses elementos podem ser fixos ou variveis. As variaes
podem ocorrer atravs de chaveamentos manuais ou
automticos.
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Cargas:
COMPONENTES DA REDE
Entre todos os componentes de um sistema de energia eltrica,
talvez os que ofeream maiores dificuldades para modelagem
sejam as cargas. As cargas representam agregados de
consumidores com diferentes caractersticas e nem sempre
previsveis.
Alm da diversidade de elementos que as compem, as
variaes com o tempo um fator adicional na dificuldade de
modelagem. Deve-se, portanto, encarar o modelo representado
na figura a seguir no como um circuito, mas simplesmente
como uma representao esquemtica na qual se faz
referncia ao fato de as cargas serem variveis e apresentarem
duas componentes, ou seja, potncias ativa e reativa.
21
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
A maneira mais usual de se modelar
cargas consiste em represent-las atravs
de valores constantes de potncias ativas
e reativas (modelo de potncia constante).
Outros modelos possveis so os modelos
corrente constante e impedncia
constante. Tambm pode ser modelado
com as cargas variando com a tenso.
COMPONENTES DA REDE
A figura ao lado indica dois tipos possveis de
cargas: em ambos os casos, a carga absorve
potncia ativa, mas a potncia reativa pode ser
positiva ou negativa. Na maioria dos casos
prticos, as cargas so do tipo indutivo
(absorve potncia reativa), devido aos efeitos
dos motores de induo e aos reatores
utilizados em iluminao, por exemplo.
22
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Os sistemas de transmisso
proporcionam sociedade um
benefcio reconhecido por todos: o
transporte da energia eltrica entre
os centros produtores e os centros
consumidores.
COMPONENTES DA REDE
Linha de Transmisso:
As linhas de transmisso em corrente alternada possuem
resistncia, indutncia e capacitncia uniformemente
distribudas
ao longo da linha. A resistncia consome energia, com perda
de
potncia de RI2 (efeito Joule). A indutncia armazena energia
no
campo magntico. A capacitncia armazena energia no campo
eltrico.
23
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Uma caracterstica importante das linhas a impedncia srie
zkm=rkm+jxkm que varia com o comprimento da linha ( no caso
de
linhas mais curtas varia proporcional ao comprimento). Ambos
os
parmetros so positivos: indicando que a linha dissipa
potncia
ativa e que a reatncia do tipo indutivo.
Para sistemas com tenses elevadas (ex. 500 kV ou 750 kV), xkme
da ordem de 20 a 30 vezes maior rkm. Para nveis de tenso
mais baixos, o valor relativo da resistncia aumenta e, para
sistemas de distribuio, os valores de rkm e xkm so
comparveis.
COMPONENTES DA REDE
No clculo de fluxo de
carga e em alguns
problemas correlatos, as
linhas de transmisso so
apresentadas por um
modelo do tipo ilustrado
ao lado.
k m zkm=rkm+jxkm
shkmjb
shkmjb
24
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
COMPONENTES DA REDE
Transformadores:
Transformadores em Fase:
So equipamentos empregados para elevar ou baixar astenses entre
os subsistemas de um sistema eltrico. Os
transformadores so os equipamentos mais caros em uma
subestao de transmisso ou de distribuio.Os transformadores
so
modelados e seu efeito
considerado nas equaes
de rede.
25
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
COMPONENTES DA REDE
Estes transformadores so referenciados como transformadores
em fase com controle automtico de tap e podem ser utilizados
na regulao de magnitudes de tenses nodais.
Transformador defasador:
outro tipo de transformador presente nas redes de energia
eltrica com controle automtico de fase, esse tipo de
transformador pode ser utilizado para regular o fluxo de
potncia
ativa nos ramos onde so inseridos.
Tanto o tap dos transformadores em fase como a defasagem
angular do transformador defasador podem ser includos na
modelagem do sistema e calculados para auxiliar no controle
dos parmetros da rede como: limite de tenso; controle de
fluxo ativo em linhas e sub-sistemas.
26
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Parte Externa da rede:
Geradores e Carga.
(So modelados como injeo de potncia nas barras).
Relacionada com uma rede temos: Parte Externa e Parte
Interna.
COMPONENTES DA REDE
CONSIDERADO NA FORMULAO
TR
LT
Compensador
shunt
shuntshuntGerao
(Carga) Distribuio
P1+jQ1P2+jQ2
27
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Parte Interna da rede:
Demais componentes (transformadores, compensadores shunts,
linhas, etc.).
(Podem ser representados na matriz Y, matriz que representa
o
sistema).
COMPONENTES DA REDE
CONSIDERADO NA FORMULAO
P1+jQ1P2+jQ2
TR
LT
Compensador
shunt
shunt shuntGerao (Carga) Distribuio
28
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Z12 Z23
Q (incgnitas)
Barra (PV)
Barra (PQ)
V (incgnitas)
G G
2
3
1
Barra (V) - Slack
PV (incgnitas)
MODELAGEM DA REDE
Para realizar a anlises esttica no sistema tem-se que
determinar
o estado do sistema (determinar todas as variveis do
sistema).
Para tanto necessrio modelar o sistema e aplicar as leis de
circuitos afim de definir as incgnitas do sistema.
Aps conhecidas as variveis do sistema: potncia nas barras;
magnitude de tenso; ngulo de fase e taps dos transformadores
pode se determinar outros parmetros, como perdas nas linhas,
fluxo de potncia nas linhas, etc.
29
deciohNotaBarramento que regula a potencia do sistema
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
MODELAGEM: BARRAS DO SISTEMA
A cada barra do sistema (formulao bsica) so associadas 4
variveis:
Vk magnitude da tenso nodal (barra k);
k ngulo de tenso nodal;
Pk injeo liquida (gerao menos carga) de potncia ativa;
Qk injeo liquida de potncia reativa.
Barra k
k
Sk=Pk+jQk
kkk VE =
Conveno para os sentidos das
injees de potncia: A injeo da
potncia em uma barra k ser
positiva se entrar na barra (gerao)
e negativa se sair da barra (carga).
Esta conveno tambm valida
para os elementos shunt.
30
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
C
K
G
KK SSS =
Consideraes nas barras com gerao e carga:
MODELAGEM: BARRAS DO SISTEMA
31
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Tipo de Barra:
As barras so definidas dependendo de quais variveis nodais
entram como dados e quais so consideradas como incgnitas:
PQ (barra de carga) so especificados Pk e Qk, e calculados Vk,
k;
PV (barra de gerao) so especificados Pk e Vk, e calculados Qk e
k;
SLACK (barra de referncia) so especificados Vk, k, e calculados
Pk e Qk.
Obs1. A barra de referncia, tambm chamada de V ou swing tmduas
funes:
1) fornece a referncia angular para a rede e;
2) fazer o balano de potncia no sistema.
Obs2. Outros tipos de barras podem ser definidos, em funo de
situaes de operaes particulares.
MODELAGEM: BARRAS DO SISTEMA
32
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
BARRA DE REFERNCIA
Referncia Angular:
Fornecer uma referncia angular para a rede (a referncia da
magnitude
de tenso o prprio no terra)
33
Balano da Potncia
Fechar o balano de potncia da rede, levando em conta as
perdas
ocorridas na transmisso. As perdas de transmisso no so
conhecidas
antes de determinar o ponto de operao, e devem ser supridas
pelas
unidades geradoras.
Para casa: Calcular a potncia ativa consumida pela impedncia Z2
do
circuito a seguir em que: , e .
V1
Z1
Z2
9010Z1 =3015Z2 = =1001V
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Comentrios:
Os fasores de tenso e corrente dos elementos dependem de ; As
defasagens entre os fasores no dependem de ; Determinou-se a
potncia consumida sem que se conhecesse ovalor de ;
As potncias no dependem dos ngulos de fase das tenses ecorrentes
e sim das diferenas angulares entre as grandezas.
pode ser escolhido livremente pois no altera os
resultadosfinais.
BARRA DE REFERNCIA
34
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
BARRA DE REFERNCIA
Exemplo: Considere a rede abaixo de 2 ramos e 3 barras.
Perdas
Z12 Z23 G G
slack
PQ
P3=200 MW
P2=170 MW
2
3
1
35
Comentrios:
a barra slack deve fornecer 30 MW adicionais para alimentar
ademanda na barra 3, pois o gerador da barra 2 entrega somente
170 MW.
a barra slack deve fornecer ainda uma quantidade adicional
depotncia para suprir as perdas de potncia nos 2 ramos.
Obs. A barra slack no sistema tem que ser robusta, pois ela
que
absorver as variaes de carga e perdas que ocorrerem no
sistema.
Muitos algoritmos de alocao de perdas levam em conta a
localizao
da barra slack.
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
No clculo de fluxo de potncia (fluxo de carga) e em alguns
problemas correlatos, as linhas de transmisso so
representadas por um modelo do tipo ilustrado a seguir.
Nestetipo de modelo unifilar (vlido para sistemas
equilibrados),
aparecem as barras terminais entre as quais a linha est
ligada.
k m zkm=rkm+jxkm
shkmjb
shkmjb
MODELAGEM: LINHA DE TRANSMISSO
36
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
MODELAGEM: LINHA DE TRANSMISSO
O modelo definido por trs parmetros: a resistncia srie rkm;
a
reatncia srie xkm; e a susceptncia shunt bsh
km .
A impedncia do elemento srie :
kmkmkm jxrz =
J a admitncia srie dada pela expresso:
2
km
2
km
km
2
km
2
km
km1
kmkmkmkmxr
xj
xr
rzjbgy
===
ou seja, a condutncia srie gkm e a susceptncia srie bkm so
dadas respectivamente, por:
2
km
2
km
kmkm2
km
2
km
kmkm
xr
xb;
xr
rg
=
=
37
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
A parte shunt do modelo :
A parte shunt em geral do tipo capacitiva. Nas linhas de
transmisso os condutores so bastantes afastados o que nos
leva
a valores relativamente pequenos de capacitncia shunt. J
para
cabos subterneos, dada a proximidade entre os condutores, o
efeito capacitivo pode ser bastante acentuado.
k m zkm=rkm+jxkm
km
.
I shkmjb
shkmjb
.
1I
.
2I O objetivo que uma corrente
injetada em um dos terminais
atinja o terminal oposto: no caso
parte da corrente flui via
capacitncia shunt, entrando, e
parte flui via a linha.
MODELAGEM: LINHA DE TRANSMISSO
38
Modelagem
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
k m zkm=rkm+jxkm
km
.
I shkmjb
shkmjb
.
1I
.
2I
mk
.
I
Ekm
Em
MODELO EQUIVALENTE DA LINHA DE TRANSMISSO:
MODELAGEM: LINHA DE TRANSMISSO
39
.
2
.
1km
.
III =
)eVeV(yeVjbI mjmkj
kkmkj
kshkmkm
. =
Analogamente tem-se:
)eVeV(yeVjbI kjkmj
mkmmj
mshkmmk
. =
kmmkshkmkkm
.
y)EE(jbEI =
Pela Lei de Kirchhoff das Correntes
mjmm eVE
=kjk eVE k
=
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Obtendo as expresses dos fluxos Pkm e Qkm utilizando Ikm e
as
perdas Pperdas e Qperdas da linha k m.
)(.
mj
m
kj
kkm
kj
k
sh
kmkm eVeVyeVjbI =
k
ykm Pm + jQm
m
Pk + jQk
Pkm
Qkm
Pmk
Qmk
)sengcosb(VV)jbb(VQ kmkmkmkmmkkmshkm
2kkm =
)senbcosg(VVgVP kmkmkmkmmkkm2
kkm = soluo esperada
MODELAGEM: LINHA DE TRANSMISSO
40
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
A componente formada de uma componente srie e uma
componente shunt, e pode ser calculada a partir das tenses
e terminais e , e dos parmetros do modelo equivalente :
km
.
I
kE.
mE.
Sabendo que:kj
kk eVE=
.mj
mm eVE=
.
e
km
.
I.
2
.
1km
.
III =
kmmkshkmkkm
yVVjbVI )(....
=
calcula-se
)(.
mjm
kjkkm
kjk
shkmkm
eVeVyeVjbI =
Analogamente calcula-se mk
.
I
)(.
kjk
mjmkm
mjm
shkmmk
eVeVyeVjbI =
MODELAGEM: LINHA DE TRANSMISSO
41
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati:
em seguida calcula-se os fluxos de potncia na linha km,
sabendo que
*.
IVS =
*.
kmkkm IES =*.
)]([ mjmkj
kkm
kj
k
sh
kmkkm eVeVyeVjbES =
)]([ mjmkj
kkm
kj
k
sh
km
kj
kkm eVeVyeVjbeVS =
)])(([ mjmkj
kkmkm
kj
k
sh
km
kj
kkm eVeVjbgeVjbeVS =
)( mjmkmkj
kkm
mj
mkm
kj
kkm
kj
k
sh
km
kj
kkm eVjbeVjbeVgeVgeVjbeVS =
mkjkmmkkmk
mkj
kmmkkmk
sh
kmkkm ejbVVjbVegVVgVjbVS =
222
Temos:
MODELAGEM: LINHA DE TRANSMISSO
42
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Utilizando o teorema de Euler temos, senjcose j =
e fazendo mkkm = a equao do fluxo toma a seguinte
forma:
= )jsen(cosgVVgVjbVS kmkmkmmkkm2
k
sh
km
2
kkm
)jsen(cosbVVjbV kmkmkmmkkm2
k
mas, kmkmkmjQPS =
Agrupando os termos temos reais e imaginrios temos:
= )cos(2
kmkmkmkmmkkmkkm senggVVgVS
)cosbVVbVsengVVbV(j kmkmmkkm2
kkmkmmk
sh
km
2
k
MODELAGEM: LINHA DE TRANSMISSO
43
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
portanto:
)cos(2
kmkmkmkmmkkmkkm senbgVVgVP =
)sengcosb(VV)bb(VQ kmkmkmkmmkkmsh
km
2
kkm =
MODELAGEM: LINHA DE TRANSMISSO
Clculo das Perdas:
As expresses de Pmk e Qmk tambm podem ser obtidas
simplesmente trocando os ndices k e m nas expresses Pkm e
Qkm .
As perdas de potncia ativa na linha so dadas por:
44
2
22 )cos2(
mkkm
kmmkmkkmmkkmperdas
EEg
VVVVgPPP
=
==
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
45
222
2222
)(
)cos2()(
mkkmmk
sh
km
kmmkmk
sh
kmmk
sh
kmmkkmperdas
EEbVVb
VVVVbVVbQQP
=
==
As perdas de potncia reativa na linha so dadas por:
MODELAGEM: LINHA DE TRANSMISSO -
PERDAS
Observaes:
2
mk EE
2
mkkm EEg
)( 22 mksh
km VVb
magnitude da tenso sobre os elementos sries;
perdas micas;
perdas reativas no elemento srie ( ; potencia positiva - consome
potncia);
corresponde gerao de potncia reativa nos elementos shunt (
;potencia negativa - fornece
potncia).
2
mkkm EEb
0shkmb
0kmb
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
46
MODELAGEM: LINHA DE TRANSFORMADOR
EM FASE E DEFASADOR
Transformador em fase
Transformador defasador:
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
47
)]()cos([()()( 2 kmkmkmkmkmkmmkkmkmkkmkm senbgVVagVaP =
)]()([)()()( 2 kmkmkmkmkmkmmkkmkmsh
kmkkmkm senbsengVVabbVaQ =
)]()cos([)(2
kmkmkmkmkmkmmkkmmkmmk senbgVVaVgP =
)]cos()([)()( 2 kmkmkmkmkmkmmkkmmsh
kmkmmk bsengVVaVbbQ =
EXPRESSES GERAIS DOS FLUXOS
Equipamento do Sistema Valores:
Linha de transmisso
Transformador em fase
Transformador defasador
sh
kmkmkm bea ;
0;1 == kmkma
0;0 == shkmkm b
)(1;0 purodefasadorforseab kmsh
km ==
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
FLUXOS DE POTNCIA NOS RAMOS
Conveno para os fluxos de potncia: Os fluxos de potnciaem ramos,
ou de corrente, so positivos se saem da barra e
negativos se entram na barra."
Pkm e Pmk so definidos como setas saindo da barra do
primeiro
ndice em direo a barra do segundo ndice.
Se Pkm > 0, o fluxo de potncia da barra k para a barra m.
Se Pkm < 0, o fluxo de potncia da barra m para a barra k.
O mesmo vale para Pmk e para os fluxos de potncia reativa.
48
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
FORMULAO MATRICIAL POR INJEO DE
CORRENTE
Aplicao da lei das correntes de Kirchhoff das correntes para
uma
dada barra k:
em que:k e o conjunto composto pelas barras vizinhas da barra k
e;
NB e o nmero total de barras
da rede.
49
=km
km
sh
kk III
Expresso geral da corrente em um ramo k-m:
mkm
j
kmk
sh
kmkmkmkm EyeaEjbyaIkm )()( 2
=
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
A corrente a corrente por um elemento reativo (indutor ou
capacitor) ligado entre a barra k e o no terra:
sh
kI
FORMULAO MATRICIAL POR INJEO DE
CORRENTE
50
k
sh
k
sh
k EjbI =
Injeo lquida de corrente na barra k:
para k = 1; ...; NB
=
==
k
km
k
k
km
k
m
mkm
j
kmk
m
sh
kmkmkm
sh
kk
k
sh
k
m
mkm
j
kmk
sh
kmkmkm
m
sh
kkmk
EyeaEjbyajbI
EjbEyeaEjbyaIII
)()(
)()()(
2
2
Desta forma podemos ter um sistema matricial da forma:
I=Y . E
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Exemplo: Considere a rede de 5 barras e 5 ramos a seguir:
Aplicando a equao da corrente nodal para cada
barra da rede, chega-se a:
Observaes:
- os coecientes Yij dependem dos parmetros dos ramos;
- Yij ser no nulo quando houver ramo ligando as barras i e
j.
A partir das expresses das injees de corrente de todas as
barras da rede (Ik para k = 1; ...; NB) pode-se obter uma
expresso
na forma matricial:
FORMULAO MATRICIAL POR INJEO DE
CORRENTE
51I=Y . E
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
em que:
I - vetor das injees de corrente, cujos elementos so Ik, k = 1;
...; NB;
E - vetor das tenses nodais, cujos elementos so Ek, k = 1; ...;
NB;
Y = G + jB - matriz admitncia nodal, composta pelas matrizes
condutncia
nodal (G) e susceptncia nodal (B).
Para a rede anterior:
Os elementos da matriz Y
so obtidos dos
coeficientes das tenses Eida expresso da injeo de
corrente Ik:
Fora da diagonal
Diagonal
FORMULAO MATRICIAL POR INJEO DE
CORRENTE
52
)( 2 kmkmsh
km
m
sh
kkk
km
j
kmmk
km
j
kmkm
yajbjbY
yeaY
yeaY
km
km
=
=
=
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Observaes:
Y e esparsa (grande numero de elementos nulos);
Ykm = 0 se no h um ramo (linha ou transformador)conectando as
barras k e m;
Ykk e sempre no nulo;
Se os ramos forem somente linhas de transmisso etransformadores
em fase a matriz Y e estrutural e
numericamente simtrica;
Se houver transformadores defasadores a matriz Y
eestruturalmente simtrica mas numericamente assimtrica.
FORMULAO MATRICIAL POR INJEO DE
CORRENTE
53
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
54
O estudo de vrios problemas associados a redes eltricas de
potncia passam pela resoluo de um sistema de equaes
algbricas lineares do tipo:
em que a matriz A e esparsa e os vetores x e b podem ser
chamados de esparsos sob certas condies.
Alguns exemplos de problemas:
anlise de contingncias;
despacho econmico;
planejamento da expanso de redes;
clculo de curto-circuito;
anlise de estabilidade.
CLCULO DE REDE
bxA =
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
55
Matrizes esparsas
Considere o circuito eltrico de
corrente contnua mostrado ao
lado.
Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff para todos os ns
do
circuito:
CLCULO DE REDE
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
56
Utilizando a lei de Ohm e considerando que todas as resistncias
do
circuito so iguais a 1:
ou:
Colocando na forma matricial:
VGI =
CLCULO DE REDE
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
57
Circuitos de corrente alternada:
I e E so os fasores de corrente e tenso. Y a matriz
admitncia.
Formao da matriz Y
kkY
kmY
Elemento da diagonal: (+) somatria das admitncias dos ramos
conectados ao n k
Elementos fora da diagonal: (-) admitncias do ramo que
conecta o n k ao n m
Se no h ramos conectando os ns k e m Ykm = 0
I=Y . E
CLCULO DE REDE
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
58
No exemplo anterior, nota-se que os ns do circuito C.C. tm de 1
a 3
ramos conectados.
Em redes eltricas em geral o mesmo no acontece, ou seja,
cada
barra tem alguns poucos ramos conectados
Caracterstica : o nmero mdio de ramos conectados s barras
o mesmo independentemente do tamanho do
sistema.
Resultado : quanto maior for o sistema, maior ser o nmero de
elementos nulos das matrizes de rede.
CLCULO DE REDE
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
59
Em geral as matrizes utilizadas na anlise de sistemas
eltricos
de potncia possuem um nmero de elementos nulos muito maior
que o nmero de elementos no nulos.
Por exemplo:
Y - matriz admitancia nodal
J - matriz Jacobiana para a resoluo do problema de
fluxo de carga pelo mtodo de Newton
Para uma rede de NB barras e NR ramos:
A matriz Y ter dimenso (NB NB);
Todos os elementos da diagonal so no nulos;
Os elementos fora da diagonal Ykm e Ymk sero no nulos se houver
um ramo conectando as barras k e m.
CLCULO DE REDE
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
60
Resumindo:
Nmero total de elementos NB2
Nmero de elementos da diagonal (sempre no nulos) NB
Nmero de elementos no nulos fora da diagonal 2 NR
Nmero total de elementos no nulos NB + 2 NR
Grau de esparsidade porcentagem de elementos nulos da
matriz:
%100)2(
%1002
2
NB
NRNBNB
elementosdetotalnmero
nuloselementosdenmeroGE
==
Valores Tpicos
NB NR GE
10 20 50%
100 200 95%
1000 2000 99,5%
CLCULO DE REDE
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
61
Exemplo
Considerar uma rede com 1663 barras e 2349 ramos (baseada no
sistema eltrico interligado das regies Sul, Sudeste e
Centro-
Oeste do Brasil). A matriz Y ter a seguinte estrutura:
Y=
O grau de esparsidade
neste caso :
%77,99%1001663
)234921663(16632
2
=
=GE
CLCULO DE REDE
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
62
Problema: grande espao de memria necessrio para armazenar
os elementos da matriz Y (e outras), sendo a grande maioria
deles
iguais a zero.
Definio de matriz esparsa: aquela para a qual vantajosa a
utilizao do fato de que muitos de seus elementos so iguais a
zero para fins de economia de memria e clculos
Esta definio geral e envolve dois aspectos bsicos: espao
de memria e volume de clculos.
H aplicaes em que as matrizes possuem um GE no to
elevado mas pode-se obter grandes vantagens em termos de
volume de clculos
CLCULO DE REDE
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
FORMULAO MATRICIAL POR INJEO DE
FLUXOS
Expresses da injeo de corrente na barra k em funo dos
elementos da matriz admitncia:
K e o conjunto formado pela barra k mais todas as barras m
conectadas ela;
k conjunto de barras vizinhas da barra k.
63
=
=== m
mkm
NB
m m
kkkmkmmkmk EYEYEYEYI1
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
Injeo lquida de potncia complexa na barra k :
FORMULAO MATRICIAL POR INJEO DE
FLUXOS
64
))(cos(
))((
))((
)(
*
*
*
**
**
*
=
=
=
=
=
=
m
kmkmkmkmmkk
m
j
mkmkmkk
m
j
mkmkm
j
kk
m
mkmkk
kkk
kkk
jsenjBGVVS
eVjBGVS
eVjBGeVS
EYES
IES
jQPS
km
mk
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
FORMULAO MATRICIAL POR INJEO DE
FLUXOS
Identificando as partes real e imaginaria, obtm-se as equaes
das potncias nodais:
para k = 1; ...; NB.
tm-se duas equaes para cada barra da rede, resultando em
um total de (2 NB) equaes.
65
=
=
m
kmkmkmkmmkk
m
kmkmkmkmmkk
BsenGVVQ
senBGVVP
)cos(
)cos(
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
EQUAES DOS FLUXOS
Os transformadores podem ser representados nas equaes de
duas formas:
Nas magnitudes de tenso e ngulos de fase;
Na matriz Y;
66
)]()cos([()()( 2 kmkmkmkmkmkmmkkmkmkkmkm senbgVVagVaP =
)]cos()([)()()( 2 kmkmkmkmkmkmmkkmkmsh
kmkkmkm bsengVVabbVaQ =
=
m
kmkmkmkmmkk senBGVVP )cos(
=
m
kmkmkmkmmkk BsenGVVQ )cos(
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
EQUAES DO FLUXO DE CARGA
Considere uma barra k de uma rede eltrica.
Aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes para cada barra
corresponde ao balano das potncias na barra:
Potncia injetada na barra = soma das potncias distribudas
pelos ramos conectados a ela.
67
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
==km
mkmkkmCGk ,,V,VPPPP kk
==km
mkmkkmk
sh
kCGk
sh
kk VVQVQQQVQQ kk ,,,
k = 1,. . . . . NB, sendo NB o nmero de barras de rede;
k conjunto de barras vizinhas da barra k;
Vk, Vm magnitude das tenses das barras terminais do ramo k
m;
k,m ngulo das tenses das barras terminais do ramo k m;
Pkm fluxo da potncia ativa no ramo k m;
Qkm fluxo da potncia reativa no ramo k m;
Qksh componente da injeo da potncia reativa devida ao
elemento
shunt da barra k (capacitor ou indutor).
2
k
sh
k
sh
k VbQ =Em que:
EQUAES DO FLUXO DE CARGA
susceptncia shunt ligada na barra68
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
69
Exerccio: Considere o sistema de 3 barras e 2 linhas a
seguir,
cujos dados em p.u esto tabelados: (pg 16. Monticelli Fluxo de
Carga em Redes de
Energia Eltrica)
Linha
de - parar x bsh
1-2 0,10 1,00 0,05
1-3 0,20 2,00 0,10
2-3 0,10 1,00 0,05
a) Determine a matriz admitncia nodal Y tomando o n terra
como referncia;
b) Colocar a matriz Y na forma Y = G + jB, em que G a matriz
condutncia nodal e B a matriz susceptncia nodal;
c) Determinar a matriz impedncia nodal (Z= Y-1).
EXERCCIO
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
70
TRABALHO -1
Trabalho individual.
Ser atribuda uma nota de 0-10 para o trabalho.
A entrega do trabalho dever ser feita via e-mail em arquivo pdf
acompanhado dos
arquivos solicitados , em portugus, com a descrio (EEL-201
TRABALHO 1). Adata limite para entrega at o dia 15/02/2015.
Trabalhos entregues aps a data
limite no sero considerados. Endereo de e-mail:
[email protected].
Trabalho 1Trabalho 1
1- Resolver o exerccio do slide 69 utilizando o Matlab.
Apresentar o cdigo fonte e
a soluo.
2- Realizar um estudo para os seguintes itens:
a) representao por unidade (p.u) para sistemas eltricos de
potncia;
b) representao por fasores de forma do onda senoidal ou
co-senoidal;
c) potncia complexa;
d) Potncia trifsica.
-
UF
AB
C
An
lis
es E
st
tica
em
SE
P
Edmarcio Belati
71
REFERNCIAS
Alcir J. Monticelli Fluxo de Carga em Redes de Energia Eltrica.
Edgard Blucher 1983.
Carlos A. Castro J. - Unicamp (anotaes de aulas)
