Sistemas de Equações Lineares � Equação Linear é toda equação da forma

em que naaaa ,...,,, 321 são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas

nxxxx ,...,,, 321 , e b é um número real chamado termo independente. Por exemplo, 1−=+−+ tzyx é uma equação linear a quatro incógnitas. Quando b = 0, a equação denomina-se linear homogênea. Uma equação não linear é aquela que apresenta termos da forma 21

21 . , xxx . Portanto as

equações 24 e 323 221 =+−−=+ zxyxx não são lineares. Nas equações lineares, cada termo da

equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1. � Sistema Linear de m equações e n incógnitas é o conjunto de equações lineares da forma:

Uma solução para este sistema é uma n-upla de números reais ordenados ( )nxxxx ,...,,, 321 , que

satisfaça simultaneamente as m equações do sistema. No caso particular em que 0...321 ===== nbbbb , o sistema é chamado de sistema linear

homogêneo. A n-upla ( )0,...,0,0,0 é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas não-triviais

=++++

=++++=++++

mnmnmmm

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

...

...

...

332211

22323222121

11313212111

(*)

bxaxaxaxa nn =++++ ...332211

� Expressão Matricial de um Sistema de Equações Lineares Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de equações lineares. Utilizando matrizes, podemos representar o sistema (*) da seguinte forma:

1

3

2

1

1

3

2

1

mxn321

3333231

2232221

1131211

mxmnxnmnmmm

n

n

n

b

b

b

b

x

x

x

x

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

=

MM

K

MKMMM

K

K

L

matriz dos termos independentes

matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas matriz constituída pelas incógnitas ou equivalentemente AX = B. Outra matriz que podemos associar ao sistema é:

3

2

1

321

3333231

2232221

1131211

mmnmmm

n

n

n

b

b

b

b

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

M

K

MKMMM

K

K

L

que chamamos matriz ampliada ou completa do sistema. Cada linha desta matriz, é simplesmente uma representação abreviada da equação correspondente no sistema.

Por exemplo, consideremos o sistema de equações lineares

=−−=++

=++

523

4452

134

321

321

321

xxx

xxx

xxx

sua forma matricial é:

=

−− 5

4

1

231

452

341

3

2

1

x

x

x

e a matriz ampliada do sistema

5

4

1

231

452

341

−−

� Classificação dos Sistemas Lineares

Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma: Determinado Possível ou Compatível (admite uma única solução)

(quando admite solução) Indeterminado (admite infinitas soluções)

Sistema Linear

Impossível ou incompatível (quando não admite solução)

Cada uma destas situações pode ser representada geometricamente no caso de sistemas de equações lineares de 2 equações e 2 incógnitas e também para o caso de sistemas de 3 equações e 3 incógnitas. Para ilustrar o que foi exposto, vejamos os exemplos a seguir:

Consideremos os sistemas,

a) � 2� + � = 4−� + 2� = 3 b) � 2� + � = 48� + 4� = 12 c) � 2� + � = 48� + 4� = 16

a) �� = −2� + 4� = �

� � + ��

b) � � = −2� + 4� = − �

� � + ���

c) � � = −2� + 4� = − �

� � + ���

,

Por meio de operações apropriadas, os sistemas acima podem ser reescritos como,

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Material elaborado pelos professores Diego Lieban e Zeliane Arruda

Cada equação presente nos sistemas acima representa uma reta no Plano Cartesiano. Repare que a primeira equação é comum a todos os sistemas e tem por gráfico, a reta representada abaixo:

Para cada ponto desta reta, temos associado um par (�, �) que satisfaz a primeira

equação, ou seja, é solução desta equação. Observe que, sendo assim, uma única equação linear com 2 incógnitas apresenta

infinitas soluções, a saber, todos os pares (�, �) que satisfazem a equação da reta. O conjunto solução do SISTEMA em cada caso dar-se-á, então, quando

confrontarmos estas soluções com as soluções da equação. Isto é, corresponderá ao conjunto interseção de soluções das duas retas (equações).

Voltando aos nossos exemplos e, considerando as posições relativas entre retas no plano, temos que as únicas possibilidades para esse conjunto são:

Conjunto Unitário Conjunto Vazio Conjunto Infinito

Resolvendo algebricamente os sistemas, confirmamos o que vimos acima:

a) � 2x + y = 4−x + 2y = 3 ∗⇒ � 2x + y = 4−2x + 4y = 6 ∗∗⇒ �2x + y = 45y = 10 ⇒ y = 2 e x = 1,

• nenhuma solução (dizemos que o SISTEMA é IMPOSSÍVEL)

• Infinitas soluções (dizemos que o SISTEMA é POSSÍVEL e DETERMINADO

• uma única solução

(dizemos que o SISTEMA é POSSÍVEL e DETERMINADO )

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ou seja, o par (1, 2) é a única solução do sistema. *multiplicando a segunda equação por 2; **somando as duas equações e substituindo a resultante na segunda equação;

b) � 2� + � = 48� + 4� = 12 ∗⇒ �−8� + 4� = −168� + 4� = 12 ∗∗⇒ � 0 = −45� = 10,

ou seja, a inconsistência da igualdade obtida denota que o sistema é impossível.

*multiplicando a primeira equação por -4; **somando as duas equações e substituindo a resultante na primeira equação;

c) � 2� + � = 48� + 4� = 16 ∗⇒ �−8� + 4� = −168� + 4� = 16 ∗∗⇒ � 0 = 08� + 4� = 16 ,

ou seja, o sistema resume-se a uma única equação (já que 0 = 0 para quaisquer valores

de � e �) que, como vimos, tem infinitas soluções. *multiplicando a primeira equação por -4; **somando as duas equações e substituindo a resultante na primeira equação;

ESTENDENDO A IDEIA

É fundamental notarmos que ao trabalharmos com 3 equações e 3 incógnitas, embora de natureza geométrica diferente, o sistema também apresentará apenas uma das situações:

• uma única solução – o SISTEMA é POSSÍVEL e DETERMINADO (SPD); • nenhuma solução - o SISTEMA é IMPOSSÍVEL (SI); • infinitas soluções – o SISTEMA é POSSÍVEL e INDETERMINADO (SPI)

Isto se deve ao fato de uma equação linear com 3 incógnitas representar um plano no espaço. Se considerarmos 3 planos concomitantemente, teremos 7 situações possíveis, quais são:

• com uma única solução

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• sem solução

• com infinitas soluções

� Resolução de um Sistema Linear pelo Método de Escalonamento

O processo de resolução de um sistema linear que envolve a eliminação de incógnitas é denominado método de escalonamento. Este método consiste em transformar o sistema linear original AX = B, por meio de operações elementares1, num sistema linear equivalente2 com matriz dos coeficientes triangular superior. A solução do sistema é encontrada por retro-substituição.

Exemplo 1 : Resolva o sistema

====++++−−−−====−−−−1042

234

yx

yx pelo método de escalonamento.

Exemplo 2: Resolva o sistema

====−−−−−−−−====++++−−−−====++++++++

733

822

542

321

321

321

xxx

xxx

xxx

pelo método de escalonamento.

1 São operações realizadas sobre as equações de um sistema linear, que o transformam num sistema triangular equivalente sem alterar a solução do sistema, a saber:

i. Trocar a ordem de duas equações do sistema; ii. Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não nula; iii. Adicionar duas equações do sistema.

2 Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes quando possuem a mesma solução.

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Exercícios

Resolva os seguintes sistemas lineares pelo método de escalonamento:

a)

====++++====−−−−

32

12

yx

yx b)

====++++−−−−====++++====++++====++++

2210

65

6810

852

43

21

42

32

xx

xx

xx

xx

c)

−−−−====++++−−−−====−−−−++++

====−−−−++++

132

3344

532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

d)

−−−−====++++−−−−====−−−−++++

−−−−====++++−−−−

532

642

523

zyx

zyx

zyx

e)

====++++−−−−====++++++++====−−−−++++

2

6

22

zyx

zyx

zyx

f)

====++++++++++++−−−−====−−−−−−−−−−−−

====++++++++++++====++++++++++++

3

1

5432

10234

zwyx

zwyx

zwyx

zwyx

Respostas:

a) � = 1 " � = 1 b) �� = −1; �� = −1; �� = 2 " �� = 2 c) �� = 1; �� = 2 " �� = 3 d) � = −1; � = 2 " $ = 0 e) � = 1; � = 2 " $ = 3 f) Sistema Impossível