Unidade: I

ESTATÍSTICA APLICADA

Prof. Celso Ribeiro Campos

Teoria elementar da probabilidade

Em estatística indutiva quando nos referimos a uma previsão de comportamento de uma população, com base nos dados colhidos de uma amostra, temos sempre que admitir a possibilidade de erropossibilidade de erro.

O erro identifica uma tolerância do resultado encontrado.

Neste capítulo, veremos o que significa e como são calculadas as probabilidades, que estão ligadas a esse processo indutivo.

Definição de probabilidade

Em Estatística, adotamos três abordagens diferentes na definição de probabilidades: a abordagem clássica, a abordagem como frequência relativa e a abordagem subjetiva.

Entretanto, antes de seguirmos na definição de probabilidade, é necessário definir alguns termos que serão utilizados.

Conceitos básicos

Experimentos aleatórios: ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob as mesmas condições, apresentam resultados imprevisíveis. É também chamado de experimento amostralexperimento amostral.

Espaço amostral: é o conjunto S de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. É também chamado de conjunto universo

Conceitos básicos

Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral.

Exemplo: no lançamento de um dado, considere o evento A dado pela ocorrência de um número ímpar.

Temos então:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 3, 5}

Conceitos básicos

Evento certo: é o próprio conjunto universo S. Intuitivamente, é o fato que ocorre sempre, com certeza.

Evento impossível: o conjunto vazio também é subconjunto de S, portanto também é um evento, chamado de impossível porque nunca ocorre.

Exemplo: no lançamento de um dado, o evento número maior que 6 é um evento impossível e o evento número menor que 7 é um evento certo.

Probabilidade – def. clássica

Probabilidade: é uma idéia quantitativa da chance de ocorrência ou não de um evento qualquer.

Abordagem clássica: a probabilidade de ocorrência de um evento A é dada pela razão entre a quantidade de elementos do conjunto evento A e a quantidade de elementos do espaço amostral S.

Assim, a probabilidade de ocorrência de um evento A é dada por:

P(A) = n(A)/n(S)

Exemplo 1

Qual é a probabilidade de, ao se jogar um dado honesto, obter um número primo?

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6

Eprimo = {2, 3, 5} n(E) = 3

P(E) = 3/6 = 0 5 ou 50%P(E) = 3/6 = 0,5 ou 50%

Probabilidade – def. frequentista

Probabilidade é a razão entre o número de vezes que determinado resultado ocorre, e o número total de realizações do experimento, quando repetimos o experimento aleatório um número elevado de vezeselevado de vezes.

P(A) = f(A)/ftotal

Exemplo: jogamos uma moeda 1.000 vezes e em 512 dessas vezes saiu cara. Podemos dizer, por esta definição que a probabilidade de sair cara nessa moeda é de 512/1.000, ou seja, 51,2%.

Probabilidade – def. subjetiva

A probabilidade não é um valor objetivo, mas algo que indica a “crença” do analista naquela ocorrência.

Evidentemente que esta probabilidade não é fruto de um “palpite”, e sim algo embasado em dados complementados por aspectos pessoais.

É o caso, por exemplo, do meteorologista que prevê 80% de chances de ocorrerem chuvas em determinado período.

Este capítulo da estatística é estudado em análise bayesiana de decisão.

Interatividade

Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça ao acaso, a probabilidade de que ela não seja defeituosa é:

a) 4/10

b) 1/4

c) 1/2

d) 1/3

e) 2/3

Árvore de decisões

Consiste em representar graficamente todas as possibilidades de resultados dos experimentos aleatórios, de modo a não se perder nenhum evento e ao mesmo tempo se compreender a mecânica do experimentomecânica do experimento.

No próximo slide temos a árvore de possibilidades do lançamento de 2 moedas honestas.

Exemplo

cara

cara

coroa

2 moedas

caracoroa

coroa

Análise combinatória

É comum termos de calcular a quantidade de agrupamentos possíveis de elementos para determinar a probabilidade de ocorrência de um grupo específico.

Esses agrupamentos geralmente se dão na forma de arranjo, combinação ou permutação.

O arranjo de n elementos em grupos de k elementos é dado por:

!

!,

kn

nA kn

Análise combinatória

O arranjo é usado quando, ao invertermos a ordem dos elementos do grupo, obtemos um novo grupo. É comum em agrupamentos de números.

A combinação de n elementos em grupos de k elementos é dada por:

A combinação é usada quando, ao invertemos a ordem dos elementos do

!!

!,

knk

nC kn

invertemos a ordem dos elementos do grupo, obtemos o mesmo grupo. É comum em agrupamentos de pessoas.

Análise Combinatória

A permutação de n elementos é dada por:

É usada quando apenas trocamos a ordem dos elementos sem ficar nenhum

!nPn

ordem dos elementos, sem ficar nenhum de fora dos grupos.

Um exemplo de permutação: de quantas maneiras distintas podemos colocar 4 livros diferentes em uma prateleira?

Experimentos aprox. aleatórios

São eventos que tratam, por exemplo, de moedas ou dados não honestos, que nesse caso são chamados de viciados.

A probabilidade de ocorrência de um evento pode ser calculada pela frequência relativa, repetindo-se o experimento um grande número de vezes.

Para poucas repetições, não é possível assumir que um dado ou uma moeda não são honestos.

Eventos independentes

Dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.

Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.

Eventos independentes

Assim, temos: P(A e B) = P(A) . P(B)

Exemplo: Lançamos dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é pA = 1/6. A probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é pB = 1/6. Logo, a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é:

P = 1/6 . 1/6 = 1/36.

Eventos mutuamente exclusivos

Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro.

Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “cara” e o evento “coroa” são mutuamente exclusivos, pois ao se realizar um deles o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize.

Eventos mutuamente exclusivos

Assim, P(A ou B) = P(A) + P(B)

Exemplo: Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é:

P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Eventos vinculados ou condicionados

São eventos cujo aparecimento de um dependa ou seja influenciado pelo aparecimento de outro, do mesmo experimento.

Exemplo: a retirada de duas cartas de um baralho. Quando você retira a primeira carta, existem 52 cartas no baralho, 26 vermelhas e 26 pretas. Quando você for retirar a segunda carta o baralho terá apenas 51 cartas e poderão ser 25 vermelhas e 26 pretas oupoderão ser 25 vermelhas e 26 pretas ou 26 vermelhas e 25 pretas, dependendo da cor da primeira carta. com o primeiro.

Interatividade

A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que os dois estejam vivos daqui a 10 anos é igual a

a) 30%

b) 36%

c) 56%

d) 38%

e) 44%

Distribuições de probabilidades

O fato de trabalharmos muitas vezes com variáveis discretas e outras tantas com variáveis contínuas nos conduz à divisão das distribuições de probabilidades em dois grandes grupos, cada um deles com modelos matemáticos específicos:modelos matemáticos específicos:

Entre as distribuições de probabilidades discretas, a principal é a distribuição binomial.

Entre as distribuições de probabilidades contínuas, a principal é a normal.

Distribuição binomial

Vamos considerar experimentos que satisfaçam as seguintes condições:

a) O experimento deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito de vezes (n).

b) As provas repetidas devem ser independentes,.

c) Em cada prova ocorre um dos dois possíveis resultados: sucesso ou insucesso (fracasso).insucesso (fracasso).

d) A probabilidade p do sucesso e a probabilidade q (q = 1 – p) do fracasso são constantes.

Distribuição binomial

Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obterem k sucessos em n tentativas. Se a probabilidade de sucesso é p e do fracasso é q, a chance de que um evento se realize exatamente k vezes em um total de nexatamente k vezes em um total de n tentativas é dada pela função:

knk qpk

nkP )(

k

Distribuição binomial

O número binomial é dado por:

k

n

!!

!

knk

n

Que é a mesma fórmula da combinação.

Exemplo 1: Calcular o binomial

S l ã

3

5

20!345!55Solução: 10

2

20

!2!3

!345

!35!3

!5

3

Distribuição binomial

Exemplo 2: Um vendedor sabe que, ao sair para fazer um determinado tipo de venda, tem 30% de probabilidade de concretizá-la. Em um dia qualquer, ele sai para atender a vinte clientes. Qual é a probabilidade de ele fazer exatamenteprobabilidade de ele fazer exatamente oito vendas?

Solução: p = 3/10 q = 7/10

n = 20 k = 8

970.1258

20

Distribuição binomial

A probabilidade procurada é:

8208

10

7

10

3970.125P

Resolvendo os exponenciais e fazendo os produtos, temos:

P = 0,1144 ou 11,44%

Valor e variância esperados

O valor esperado de uma variável X, geralmente designado por esperança de X, é dado por:

E(X) = p1.X1 + p2.X2 + ... + pn.Xn

Exemplo: em uma certa especulaçãoExemplo: em uma certa especulação comercial, um homem pode ter um lucro de R$300,00 com a probabilidade de 0,6, ou um prejuízo de R$100,00, com a probabilidade de 0,4. Determinar a sua esperança.

Solução: E = 300 . 0,6 + (-100) . 0,4 = 180 – 40 = 140 ou R$140,00

Valor e variância esperados

Perceba que esse resultado não é uma certeza, é um valor sujeito à variabilidade. Essa variabilidade é medida pela variância, que tem a mesma definição e as mesmas características daquela definida para a amostra e édaquela definida para a amostra, e é calculada pela fórmula:

Var(x) = E(x²) [E(x)]2

Devemos também lembrar que o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

Interatividade

A probabilidade de um tiro acertar um alvo é 1/3. Qual é a probabilidade de, em uma série de três tiros independentes, pelo menos um acertar o alvo?

a) 19/27

b) 8/27

c) 5/9

d) 4/9

e) 1

Distribuição normal

Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição normal. Muitas variáveis analisadas em pesquisas sócio-econômicas correspondem à distribuição normal oucorrespondem à distribuição normal ou dela se aproximam.

O aspecto gráfico da distribuição normal é o de uma figura, que apresenta uma curva simétrica e mesocúrtica.

No próximo slide, vemos o modelo da curva normal.

Distribuição normal

Distribuição normal

A curva recebe o nome de curva de Gauss.

A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, o que representa a probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.

Como a curva é simétrica em relação à média aritmética, a probabilidade de encontrarmos um valor menor que a média é de 50%, o mesmo para valores maiores que a média.

Distribuição normal

Quando temos uma variável aleatória em distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor dentro de um certo intervalo.

Para calcular essa probabilidade, definimos uma variável transformada z, dada por:

xxz i

Sendo S o desvio padrão.

Sz

Distribuição normal

Essa variável reduz a distribuição em um modelo padrão com média 0 e desvio padrão 1.

As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são encontradas em tabelas, não havendo a necessidade de serem calculadas.

Observe que a fórmula permite apenas que calculemos a probabilidade da variável estar entre um certo valor xi e a média.

Distribuição normal

Exemplo 1: Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente, em torno da média de R$500, com desvio padrão de R$40. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado entreter um salário semanal situado entre R$490 e R$520.

Solução: vamos calcular duas probabilidades e depois somar: entre 490 e a média e depois entre a média e 520. Para isso precisamos reduzir os doisPara isso, precisamos reduzir os dois valores:

Distribuição normal

25,040

10

40

5004901z

5,040

20

40

5005202z

A probabilidade para z1 é 0,0987 e para z2

é 0,1915 (dados pela tabela).

A solução é: P (490 < X < 520 ) = 0,0987 + 0,1915 = 0,2902 ou 29,02%

Observe que o sinal negativo de z1 foi q g 1

desprezado, pois estamos tratando de áreas e sabemos que não existem áreas negativas.

Distribuição normal

Abaixo vemos a ilustração da curva normal com destaque para as áreas calculadas.

Distribuição normal

Exemplo 2: Os depósitos efetuados no Banco B, num determinado mês, têm distribuição normal com média R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questãotodos os referentes ao mês em questão. Qual a probabilidade de que o depósito exceda R$ 6.000,00?

Solução:

00,290006000

z

Na tabela, esse valor corresponde a 0,4772 ou 47,72%

,1500

Distribuição normal

Assim, a probabilidade procurada é:

47,72 + 50 = 97,72%

Interatividade

As taxas de retorno no mercado de um determinado investimento distribuem-se normalmente com média igual a 5% e desvio padrão igual a 4%. Selecionando ao acaso uma taxa de retorno, a probabilidade dela ser maior que 6% é:dela ser maior que 6% é:

a) 9,87%

b) 40,13%

c) 59,87%

d) 50 13%d) 50,13%

e) 37,25%

ATÉ A PRÓXIMA!